Str.
Przedmowa ... III W s t ę p . . . . . . . . . . . . . i ... IX Sprostowanie ważniejszych omyłek druku i u z u p e ł n i e n i a ...XXXVII R ozdział I. Pojęcie f u n k c j i ... 1
§ 1. Intuicyjne pojęcie f u n k c j i ... 1
§ 2. Ścisłe określenie funkcji . ... 4
§ 3. Zmienne i s t a ł e ... ... . '... 12
§ 4. Funk cja dwu lub więcej z m i e n n y c h ... 12 Rozdział 7/. Granica funkcji i c i ą g ł o ś ć ... 15
§ 6. Intuicyjne pojęcie granicy funkcji jednej z m i e n n e j ... 15
§ 6. Ścisłe określenie granicy funkcji jednej 2m i e n n e j ... 21
§ 7. Ciągłość funkcji jednej zmiennej ... ...26
§ 8. „Nieskończenie m a ła “ ... 32
§ 9. Funkcja s k o ń c z o n a ... 33
§ 10. Agregat n funkcyj nieskończenie m a ł y c h ... 34
§ 11. Suma funkcyj i jej g r a n i c a ... 37
§ 12. Granica różnicy dwóch f u n k c y j ... 38
§ 13. Granica iloczynu f u n k c y j ... 39
§ 14. Granica ilprazu f u n k c y j ... 40
§ 15. Przykłady. — (Rząd nieskończenie m a ł y c h ) ... 43
§ 16. Twierdzenie o trzech f u n k c j a c h ... 48
§ 17. Wnioski dla funkcyj ciągłych jednej z m i e n n e j ... 51
§ 18. Określenie granicy funkcji dwu zmiennych ... 52
§ 19. Ciągłość funkcji dwu z m i e n n y c h ... 54 R ozdział U l . Ciągi liczbowe i ich granice, Pojęcie potęgi i logarytmu . 54
§ 20. Ciągi liczbowe i ich granice ... 54
§ 21. Liczba e (zasada Icgarytmów n a t u r a l n y c h ) ... 66
§ 22. Dalsze przykłady c i ą g ó w ... 70
§ 23. Twierdzenie Cauchy’ego o c i ą g a c h ... 77^
§ 24. Pojęcie p o t ę g i ... 82
§ 25. Pojęcie l o g a r y t m u ... 95 R ozd zia ł 1 V. Funkcja wykładnicza i l o g a r y t m i c z n a ... ... . . 104
§ 26. Funkcja wykładnicza ... 104
§ 27. Funkcja l o g a r y t m i c z n a ... 112
XI,iY
§ 47. Twierdzenie średniej wartości (zwane też twiordzeniom o przyrostach s k o ń c z o n y c h ) ... ...210
XLV
Str.
§ 6 4 Obliczanie wartości całok określonych ...328
§ 65. Metody c a ł k o w a n i a ...340
§ 66. Przykłady na obliczanie całe k o k r e ś l o n y c h ... 348 R o zd zia ł X I I . Zastosowanie rachunku nieskończonościowego do geometrji 354
§ 67. Badanie kształtu k r z y w y c h ... 354
§ 68. Obliczanie pól płaskich ... . 382
§ 69. Obliczanie długości łu k u krzywej y — f ( x )... 388
§ 70. Obliczanie objętości brył o b r o t o w y c h ... 397
§ 71. Przybliżone obliczanie p ó l ...403
§ 72. Współrzędne b i e g u n o w e ... 421
§ 73. Równanie prostej, elipsy, hyperboli, paraboli i spiralnych w współ
rzędnych b i e g u n o w y c h . 425
§ 74. O krzywych, przedstawionych parametrycznie . ... 432
§ 75. Pomiar pola płaskiego krzywej, danej w układzie biegunowym . . 45 4
§ 76. Równanie algebraiczne 3-go stopnia. Metody.przybliżonego rozwią
zywania równali ... ... ... 456 Rozdział XIII. Całka niewłaściwa ... 467
§ 77. Funkcja podcałkowa nieokreślona w jednym punkcie przedziału cał
kowania ... 467
§ 78. Nieskończone granice c a ł k o w a n i a ... 474 Zadania do rozwiązania ... ... 479
R o z d z ia ł I. P o j ę c i e funkcji.
§ 1. Intuicyjne pojęcie funkcji.
Przykład, 1. Załóżmy, że na termometrze (T) jest oznaczona i skala Celsjusza i skala Rćaumura. Gdy temperatura np. powietrza wynosi y stopni w skali Celsjusza i x stopni w skali Reaumura, to wiemy, że istnieje ścisły związek między liczbami (x) i (y ). Wyprowadzimy ten związek. Rtęć termometru ( T ) niech sięga do miejsca M; odcinek od miejsca O, w którem naznaczono 0 stopni do miejsca M wynosi y°C i zarazem a;0R. Jeżeli N jest punktem na podziałce, przy którym oznaczono liczbę 100 dla skali Celsjusza. 80 dla skali Rćaumura i jeżeli odcinek ON wynosi l cm, to jeden stopień C wynosi cm, jeden stopień R ma długość ^ cm: tedy odcinek
OM, który ma a?°R, ma długość ~ ~ . x cm i zarazem — ¿ .y cm, bo
! S0 ' 100 J
wynosi y° C. Jest więc
/T\ l l , , . . 100 5
U) gQ • * = XQ0 • V' sk^d otrzymujemy y = — • = g x .
Nadając liczbie x dowolne wartości, otrzymujemy odpowied
nie, ściśle określone wartości na y, Np. gdy x = 8. to y = 10.
Gdy liczbie x możemy, podobnie ja k w tym przykładzie, na
dawać dowolne wartości, wówczas nazywamy ją zmienną niezależną.
>a y zmienną zależną albo funkcją zmiennej niezależnej x. Ozna
czamy to symbolem: y — f(x).
Każda funkcja, o ile jest dość prosta, ma swój obraz geome
tryczny (wykres, diagram, grafikon). Tak też funkcja (I) w prosto
kątnym układzie współrzędnych będzie mieć diagram (zob. rys. 1).
Taki rysunek dobrze wykonany na papierze milimetrowym pozwoli nam odczytać zamianę stopni R na stopnie C i odwrotnie, bez wykonywania raehunku oznaczonego wzorem (I).
A . Hoborski: W yższa Matematyka. 1
Wzdłuż prostej K na rysunku 1 zachodzi związek między współrzędnemi x, y:
Zastanówmy się, ja k zmienia się tu rzędna, jeśli przyrosty od
ciętej będą jednakowe. Np.:
x = 8 x = 9
to jest 1 • 45
,, = 10 | * «
-Zatem, gdy odciętą powiększy
liśmy o 1, to przyrost rzędnej wynosił 5 Podobnie:
& li 00 o x — 81
oor—I
II 405
y = ' T
więc i tu wzrostowi odciętej o 1 odpowiada przyrost rzędnej o —.
Przykład 2. Weźmy pod uwagę funkcję y ~ 4:X2n. Jest to równość, podająca zależność miary y powierzchni kuli od długości promienia x. Diagramem takiej funkcji jest łuk paraboli. Zbadajmy teraz, ja k poprzednio, o ile zmieni się rzędna, jeśli weźmiemy równe zmiany odciętej. Otóż:
Gdy x wzrośnie od 5 do 6, a więc o 1, to y wzrośnie o 44 7t. Natomiast, gdy x wzrasta od 10 do 11, a więc znów o 1, to y wzrasta o 84 n.
Przyrost rzędnej jest tu nierów
gdy x — 5 x= 6
to-^est y == 100 77 << II H* *»
-g-dy x = 1 0 X = 11
to jeat y= 4 0 0 « y= 4 8 4 «
nomierny, w przeciwstawieniu do przykładu 1, gdzie przyrost był stały. W przykładzie 1 przyrostowi odciętej o 1 odpowiadał w każ- dem miejscu stały przyrost rzędnej o 5/4; w drugim zaś przykładzie przyrostowi odciętej o 1. odpowiada wzrost rzędnej raz o ‘44 n, dalej zaś o 84 n.
Przykład 3. Weźmy pod uwagę wolny spadek ciała w próżni z pewnej wysokości. Pod wpływem stale działającej siły przycią
gania ziemi ciało spada na ziemię ruchem jednostajnie przyspie
szonym. Jeśli przebyta przez to ciało droga wynosi s centymetrów,
— 3 —
a czas, potrzebny clo jej przebycia, liczony od chwili wypuszczenia ciała, wynosi t sekund, to s = ^ £ 2, gdzie g oznacza przyspieszenie ziemskie, stałe dla pewnego miejsca na powierzchni ziemi. Widzimy stąd, że przebyta przez ciało droga jest zależna od czasu czyli jest funkcją czasu, co można ozna
czyć: Rysując obraz
geom. tej funkcji, przyjmiemy, że zmienna i, jako zmienna niezależna, może otrzymywać wartości tak dodatnie, jak i u- jemne, a przez s będziemy ro
zumieli liczbę, obliczoną z rów
ności s ,==■ t 2\ wykres funkcji s przedstawi się wtedy jako parabola, której wierzchołek będzie leżał w początku uldadu (rys. 2).
Przykład 4. Wyobraźmy so
bie w naczyniu walcowałem
o gładkich ścianach, pod szczelnym tłokiem pewną ilość gazu dosko
nałego, na który ciśnie tłok, obciążony ciężarem (rys. 3). Gaz zaj
muje pewną objętość v, którą
mierzymy w cm3, i wywiera na o
tłok oraz ściany naczynia pewne / \ x~ 7 ciśnienie P, które mierzymy
w K g na 1 cm2 powierzchni naczynia. Jeśli, przy zachowa- niu jednakowej temperatury,
nadamy gazowi przy zwiększo- ' ' ' l i " ' ' -nym ucisku na tłok mniejszą ^ t UrnrnU^
objętość, to ciśnienie P się
zwiększy. Dokładniej: jeśli do- ^ ^
świadczenie przeprowadzimy J j
izotermicznie, to okaże się, że ^ ■ iloczyn P . v = c. gdziec jest licz- ' ■
bą stałą dla pewnej danej ilości
1*
4 —
gazu i danej temperatury. Stąd mamy: P = - ~ . Widzimy więc,c że ciśnienie jest zależne od objętości gazu; możemy też napisać:
P s= f\v). Niech dla danej objętości v0 ciśnienie wynosi Po, przeto:
P0 .v0 — c. Jeęli objętość (zachowując tę samą ilość gazu i tę samą temperaturę) zmniejszymy n razy czyli nowa objętość v = - ~ . toV
sać: P = n P 0. Zmniejszając więc objętość n i’azy, powiększyliśmy ciśnieni.e również n razy. Między ciśnieniem gazu a jego objętością zachodzi więc stosunek odwrotnej proporcjonalności. Jeśli na v bę
dziemy nadawali wartości dodatnie i ujemne, a na P wartości
we-C •.
dług równości P = . to wykresem tej funkcji, dla której v bę
dziemy uważali za zmienną niezależną, a P za jej funkcję, będzie hiperbola równoboczna, leżąca w I i I I I ćwiartce (rys. 4).
§ 2. Ścisłe określenie funkcji.
Weźmy pod uwagę dowolny zbiór liczb rzeczywistych, byle niepusty; oznaczmy go literą X . Niech litera x przedstawia ja k ą kolwiek liczbę tego zbioru; będziemy ją nazywali zmienną nieza
leżną. Załóżmy, że do każdej liczby * ze zbioru X należy pewna
liczba rzeczywista, zupełnie określona, którą ^znaczmy znakiem f { x ) \ x może przyjmować rozmaite wartości, .ale każdej liczbie x ma odpowiadać pewna liczba rzeczywista f{x ). Symbol f ( x ) nazywamy funkcją jednowartościową rzeczywistą zmiennej rzeczywistej x — krótko: funkcją zmiennej niezależnej x, określoną dla liczb zbioru X . Jeżeli w pewnem zagadnieniu zachodzi potrzeba podstawienia za x pewnej specjalnej liczby ze zbioru X , np. liczby a, to powiadamy, że zmienna x przyjmuje wartość a lub: zmiennej x nadajemy wartość a — i wtedy f (a) oznacza wartość, która jest skojarzona z liczbą a. Np. jeśli we wzorze s — ^ g t- zmienna t przyjmuje war
tość 1, to do tej wartości jest przydana w a r to ś ć / ( l ) = -| <7.
Przykład 1. Oznaczmy przez l i zbiór wszystkich liczb rzeczy
wistych; niech c oznacza jedną zupełnie określoną liczbę rzeczy
wistą. Liczbę c przydajmy każdej liczbie zó zbioru li. Jeśli więc x oznacza dowolną liczbę zbioru Ii, to będzie f(x) = c dla wszyst
kich liczb x zbioru R. Powiemy, że funkcja f(x ) ma wartość stałą (constans) c— dla wszystkich liczb x zbioru li, wartość niezmienną dla jakiegokolwiek x. Obraz geotn. takiej funkcji przedstawia rys. 5.
Odróżnimy tu dwa przypadki:
1) c = 0 czyli 0 ; wtedy obrazem geom. runltcji jest oś xj
2) c=J=0 ; obrazem geom jest prosta równoległa do osi x , przecinająca oś y w pun
kcie
t e o ,
c).Przykład 2. Niech zbiór liczb Z zawiera same liczby rzeczywiste, większe od 0 i liczbę 0. Każda więc liczba x takiego zbioru ma wła
sność: x ^ 0 i nalbo równa się liczbie całkowitej albo jest za
wartą między dwiema caikowitemi, po sobie następującemu Np. gdy ar = $ 3 , to: 1 < | 3 < 2. W ogólności < c -j- 1, gdzie c oznacza liczbę całkowitą. Gdy liczba cala c speinia ostatnią nierówność, to nazwiemy j ą n a j w i ę k s z ą l i c z b ą c a ł k o w i t ą , z a w a r t ą w l i c z b i e x i oznaczymy znakiem C(x). Liczba C(x) jest oczywiście zależną oda; czyli C = f { x ) . Rys. 6 przedstawia jej wykres (tylko w ćwiartce I, gdyż przyjęliśmy. że zbiór Z sKlada się
6 —
— 7
Proste: y = = x, y = x — 1, y = x — 2 i t d s ą wszystkie nachy
lone do osi % pod kątem 45° (rys. 8).
Podobnie, ja k w przy-kładzie 2 mamy tu funk
cję nieciągłą dla x — 1, 2, 3 . . . itd. Punkty (1,1), (2,1), (3,1)... nie należą do wykresu funkcji.
Przykład 5. W i e l o m i a n y c a ł k o w i t e
i r ó w n a n i a a l g e b r a ....
i c z n e . Wyrażenie np.:
3a;2 — 5ar -j- 7 nazywać będziemy funkcją
całko-# m ¿ s e f f i S B 1
witą wymierną zmiennej niezależnej (x ) stopnia 2-go. Wyrażenie takie, jak x . \ § —4 będzie takąż funkcją stopnia I go itd.; ogólnie:
«o -|- aix “1“ aix '1 aix * “1” ... “f" gdzie m jest liczbą na
turalną (t. zn. całkowitą, dodatnią), jest wielomianem całkowitym stopnia m-go czyli funkcją całkowitą wymierną stopnia »i-go.
a0) a1} a2, rt3 ... są współczynnikami tej funkcji, niezależnęmi od zmiennej X, a 0 jej wyrazem wolnym, m jest' stopniem funkcji.
Warunek am =)= 0 jest konieczny, aby funkcję można nazwać fun
kcją m-go stopnia. Inne współczynniki mogą być równe zeru, np.
20ar5—- 8 jest funkcją całkowitą wymierną 5-go stopnia, a współ
czynniki przy zmiennej x w stopniu 4, 3, 2,1 są równe zeru Fun
kcję tę (wielomian całkowity) stopnia »¡-go co do ar oznaczmy sym
bolem W,„(x)y t. zn. jest:
(ar) = a0 -f- flj x -f- fl2 x 2 - f - ... -f- a,„xm.
Funkcja ta jest określona dla każdej wartości rzeczywistej na zmienną x. Funkcja Wrm(ar), przyrównana do zera tworzy r ó w n a n i e a l g e b r a i c z n e stopnia »i-go, którego symbol jest:
Wm(x) = 0.
Wartości, które musi przyjąć ar, ażeby równanie było speł
nione, nazywamy pierwiastkami równania albo rozwiązaniami rów
nania. Weźmy równanie stopnia 1-go: c?0 -j-c^a: = 0. Obliczmy pier
wiastek, zakładając, że % =j= 0. (Założenie to jest konieczne, aby można było dzielić przez %!). Stąd kolejno:
— 8 —
axx = — a0, x = — ff°. A więc: jeżeli jest a0 -f- al x = O, at r|=0 ai
to jest x — — a ponieważ a0 -j- a J — — ] = 0, przeto:
ai l ®i/
Równanie stopnia pierwszego ma jeden jedyny pierwiastek.
Udowodnimy teraz twierdzenie:
Równanie algebraiczne stopnia m-go ma co najwyżej ni pier
wiastków (m ^ 1).
Na podstawie zasady indukcji matematycznej (zupełnej) udo
wodnimy to twierdzenie, jeśli zdołamy udowodnić następujące dwa twierdzenia pomocnicze:
1) Równanie algebr, stopnia 1-go ma co najwyżej 1 pierwiastek.
2) .Jeżeli równanie algebr, stopnia p-go (gdy p ^ l ) ma co najwyżej p pierwiastków, to równanie algebr, stopnia ( p - j - l ) - g o ma co najwyżej (p -j- 1) pierwiastków.
Twierdzenie 1) udowodniliśmy już poprzednio, uważamy je więc za prawdziwo.
Dowód na prawdziwość twierdzenia 2):
Ogólna postać równania stopnia (p -(-l)-g o jest:
(I) a0 -j- a; -f- «2 x 2 - j - ... + a„xr -)- ap+1 af+1 — 0,
przyczem «^ = ¡= 0. Co do istnienia pierwiastków tego równania za
chodzi jedna z dwu ewentualności:
a) albo równanie to nie ma żadnego pierwiastka b) albo ma przynajmniej jeden pierwiastek.
Jeśli przypadek (a) jest prawdziwy, to twierdzenie 2) jest prawdziwe (bo wyrażenie: „co najwyżej —|— 1 “ nie wyklucza zera). — W drugim przypadku (b) zakładamy, że równanie (I) ma jeden pierwiastek, który oznaczmy przez y. Wówczas liczba y speł
nia to równanie; więc.jest:
(II) a0 -}- a\ y y2 + ... - f ap y" -j- ar+J y^ 1 = 0.
Odejmując tę równość od równania (I) i wyłączając każdy spółczynnik przed nawias, otrzymamy:
(III) | j (x — y) -f- a2 {x2 — y s) - f ...+ a„ (xfi — y”) + + af+J ( x ^ — y”+1) = 0.
Z każdego nawiasu równania (III) wydączamy czynnik x — y, albowiem jest — jak wiadomo z a lg e b ry :
— 9 —
x — y = x — y x 2 — y2 = '. ( * - * 7) (a + 1)
x 3 ---- y S = ( # ---- y ) ( # 2 y £ _ |_ y 2 )
---- yP — ---- y ) _ J_ x r ~ 2 y _ |_ X P~3 y 2 _ _ j_ £ y l ’- 2 _ |_ y P - l )
x v+1 — yP+1 = (x — y) (xp -f- xv~1 y -j- af~‘2 y2 - f - ... -j- xy’’~' -j- y').
Równanie (III) przybierze zatem formę: (IV)
(a — y) + «2 O — y) (* 4 - y) + «3 (3 — y) O 2 + ay + y2) + - j- at (x — y) (z 3 - j- x 2y - j- ay2 - f- y 3) - f - . . . + ap (x — y) (xp~J -f-+ xP~~y -f-+ • • • x yp~1 + y”-1) + «,.+! (* — y) ^ y + ■ ■ • • +
+ xyp~1 + y”) = 0.
Z wyrazów lewej strony równania (IV) wyłączmy przed na
wias wspólny czynnik x — y; otrzymujemy: (V)
(* — y) [«1 + «2 O + y ) . + «3 (** + *y + y2) + • • ■ • + ap (z”' 1 + -J- ^ y -}- xp~iy2 - ) - __ - |- xyp~~ - j- y!>-1) + a^ (a? - f- z” -1 y +
-f- xp~-y2 -]- .. ..-f- xyp~' -f- y”)] = 0.
Nawias graniasty w tęm równaniu zamyka wielomian całko
wity, stopnia p-go, bo ap+1=j=0. Ponieważ lewa strona jest iloczynem równym zeru na mocy tego równania, więc albo x — y = 0 albo wielomian stopnia jo-go w nawiasie graniastym jest równy zeru.
W pierwszym przypadku mamy równanie x — y = 0 stopnia 1-go 0 jednym pierwiastku y według poprzednio przeprowadzonego do
wodu, w drugim zaś otrzymujemy równanie stopnia p-go, które w myśl naszego założenia (2) ma co najwyżej p pierwiastków. Za
tem równanie V ma co najwyżej p - j - 1 pierwiastków. Ponieważ zaś każdy pierwiastek równania (I) jest zarazem pierwiastkiem rów
nania (V) więc:
Równanie (I) stopnia (p —|— l)-go ma co'najwyżej p -j- 1 pier
wiastków, co było do udowodnienia. Okazaliśmy więc i twierdzenie 2).
Tem samem udowodniliśmy także twierdzenie główne.
To twierdzenie pozwoli nam udowodnić następujące: jeżeli funkcja całkowita i wymierna zmiennej x \ a0 -f- ayx -j- a2x 2 -{- ...
. . . - \ - a nx" jest zerem dla (w + 1) różnych wartości na zmienną x, to wszystkie jej współczynniki są zerami: a0 = al — ai = . . . = a „ = 0 1 przeto przyjmuje ta funkcja wartość zero dla wszystkich war
tości na zmienną x.
— 10 —
G dyby bowiem było a„ =j= 0, to według dopiero co udowodnio
nego twierdzenia równanie a0 -j- axx -]- a%x 2 -)-.•• -j- a„x"= 0 mia
łoby7 co najwyżej n pierwiastków, wbrew założeniu: Jest więc a„ = 0;
niech więc będzie a„_j = a„._2 — . . . = ai+, = 0, zaś ak =(= 0, gdzie jest l|||§fc:<C«. Tedy równanie a0 axx a kxk = 0 ma we
dług założenia n 1 )> h pierwiastków, co jest niemożliwe. Widzimy tedy, że być musi a0 — at = a2 = ... = a„ — 0.
Stąd wynika natychmiast dalsze twierdzenie: jeżeli dwie funkcje całkowite i wymierne zmiennej x: / ’(a;) = ci0-ł-a1a;-j-...-\-a„x'\
<p(x) = b0 -{- bxx b2x 2 -j- ... + b,„xm (gdzie a„ =]= 0, bm ={= 0) są so
bie równe dla nieskończenie wielu wartości na zmienną x, to 1) są obie tego samego stopnia m — n, 2) współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x są sobie równe: a0 = b0, a1 = b 1, a2 = b2, ■■ ■, a„ = b„, wskutek czego obie funkcje są sobie równe dla k a ż d e j w a r t o ś c i zmiennej a;.
Rzeczywiście różnica f( x ) — ę(x) będzie znów funkcją całko
witą i wymierną zmiennej x i będzie równą zeru dla nieskończenie wielu wartości na zmienną x, więc według poprzedniego wszystkie współczynniki różnicy f(x ) — cp(x)- są zerem, a do tego potrzeba i wystarcza, by było m == n, aa = b0, ai = bx, , a„ = b„.
Z tego wynika (przez kontrapozycję),żedwa wielomiany całkowite zmiennej x różnych stopni mogą być sobie równe jedynie dla skończo
nej ilości wartości na x. Geometrycznie znaczy to, że krzywe, przed
stawiające owe funkcje, mają skończoną ilość wspólnych punktów.
Weźmy teraz funkcję całkowitą wymierną stopnia m-go kształtu:
y = a0 -{- % x -j- a2x 2 -f- amxm, gdzie am =j= 0.
Ja k wynika z poprzedniego dowodu, y przybrać może war
tość 0 dla najwyżej m liczb, podstawionych za x. Liczbami temi są w tym przypadku, gdy jest n. p.: y — x ‘l — 5a;-}-6 (funkcja całkow. wymierna stopnia 2-go) liczby 2 i 3. które spełniają rów
nanie: x 2 — hx -)- 6 5= 0. Obrazem geom. tej funkcji jest parabola (rys. 9), przecinająca oś x w punktach x = 2 i x = 3.
Z wykresu widać, że tydko dla wartości na x , zawartych między licz
bami 2 a 3, y ma wartość ujemną.
Symetryczna budowa paraboli jest geometrycznym obrazem faktu, żę dla wartości x' i x" na x takich, -że jest x ' — | == f — x "i funkcja y przybiera równe wartości.
a = 0 i 2 j Ś 3 i 5
y — 6 2 0 ! ~~zęr~ O 2 6
— 1 1 —
Przykład 6. Weźmy funkcję ułamkową wymierną kształtu:
5a: —I— 6 . a0 -4-r ayx -I- «¡¡a:2 -j- — -4- amx y = ■ °8°^nie: v =
Mianownik jest funkcją całkowitą wymierną stopnia n-go, licznik zaś m-go stopnia. Istnieje zatem co najwyżej n takich liczb, które, podstawione w mianowniku za literę x, nadadzą mu wartość 0.
Wówczas będzie y sym
bolem nieoznaczonym
~ ; takich liczb nie mo
żemy zatem podstawiać za zmienną x , jeśli y ma mieć wartość rze
czywistą i określoną.
W przypadku szcze
gółowym y — x 2 ^j- 5x -J- 6
x s — 4
liczbąmi, których za x podstawiać nie wolno, są pierwiastki równa
nia:
x - — 4 = 0, mianowicie —{— 2 i — 2. Podstawione w powyższej funk
cji dadzą one: y1' = ?/a == Dla x = + 2 jest więc ta funk
cja nieokreśloną. Zatem:
Funkcja wymierna (ułamkowa) jest określona dla wszystkich wartości rzeczywistych zmiennej as,-ż wykluczeniem tych, dla któ
rych mianownik jest zerem, a tych jest co najwyżej w, jeśli n jest stopniem dzielnika.
x 4 - 2
U w a g a I. Jeśli y = . to iloraz ten można uprościć:
x -j— 2 x —j— 2 1 i i i -i
—- = -— . ---^- = --- tylko, o ile zmienna x ma
^ 2 — 4 (x -j- 2) (x — 2). x - 2 J
wartość inną, aniżeli ± 2 . Podstawiwszy bowiem x — —f— 2,
o|rzy-4 1 ’ O 1 ,
inujemy - = a przy x — — 2 mamy ^ = . a więc w obu
— 1 2 —
przypadkach symbole nieoznaczone, w drugim tylko po stronie le-wej, w pierwszym po obu stronach rownosci. Jtiownosc —---- - = ;-— ^ jest więc prawdziwą dla wszystkich wartości zmiennej x z wyklu
czeniem dwu wartości x = ± 2.
U w a g a II. Z tego faktu, że niektóre funkcje możemy ilustro
wać wykresem, powstały wyrażenia pochodzenia geometrycznego;
mówimy o wartości funkcji w „'punkcie“ x — c zamiast o wartości funkcji, gdy zmiennej x nadamy wartość c.
§ 3. Zmienne I stałe.
Rozróżniamy w analizie matematycznej wielkości stałe i zmienne.
Przez z m i e n n ą rozumiemy literę lub jakikolwiek inny znak;
przedstawiający dowolną liczbę pewnego zbioru liczbowego niepu- stego. Oznaczamy zmienne zwykle literami: x, y, z, i, u, v etc.
Przez s t a ł ą rozumiemy literę lub jakikolwiek inny znak, który oznacza jedną jedyną liczbę, zupełnie określoną, np.: 3,5, n etc.
W każdem zagadnieniu dokładnie powinno być podane, które symbole uważamy za stałe, a które za zmienne.
§ 4. Funkcja dwu lub więcej zmiennych.
Dotychczas zajmowaliśmy się jedynie funkcjami jednej zmien
nej y = f{x). Obecnie przechodzimy do funkcji dwu zmiennych.
Tak, ja k przy funkcji jednej zmiennej, do każdej liczby x0 pew
nego niepustego zbioru należała pewna ściśle określona liczba y0, których zbiór określa funkcję zmiennej (x), tak też przy funkcji dwu zmiennych do każdej p a r y rzeczywistych liczb (x0, y0) do
wolnie przez nas dobranych będzie należeć pewna trzecia ściśle określona liczba z0 = f ( x 0, y0), których zbiór określa funkcję f ( x , y) dwu zmiennych niezależnych (x, y).
Funkcja (y) jednej zmiennej (a;) oznaczała nam w dość pro
stych przypadkach geometrycznie jakąś linję na płaszczyźnie (x,y);
zapytajmy więc, co oznaczać nam będzie geometrycznie funkcja (z) dwu zmiennych (x, y).
Jak wiadomo z geometrji analitycznej, para liczb (x, y) wy
znacza na płaszczyźnie jednoznacznie pewien punkt i odwrotnie każdemu punktowi na płaszczyźnie odpowiada pewna para liczb t. zw. współrzędnych punktu. Otóż bierzemy , pod uwagę pewien niepusty zbiór par liczb (x, y); geometrycznie zbiór ten wyznaczy
_ 13 —
nam zbiór pewnych punktów na płaszczyźnie np. pewien obszar (Ob). Każdy punkt (x, y) tego obszaru (Ob), leżącego na płaszczyźnie (%, y) wyznacza parę liczb (x, y), dla której funkcja f(x , y) niech będzie określona. Do każdej zatefn pary liczb (#„, y Q) z obszaru (Ob) należy pewna ściśle określona trzecia liczba z 0 t. zn. każdemu punktowi obszaru (Ob) przypisujemy pewien punkt w ściśle okre
ślonej wysokości i w ten sposób dostaniemy nowy zbiór punktów (Z), które utworzą powierzchnię w dość prostych przypadkach.
Geometycznym obrazem funkcji dwu zmiennych może być tedy powierzchnia, a w szczególnym przypadku płaszczyzna, gdy7 jest z = a x -f- by -j- c, gdzie a, b, c są stałemi.
Weźmy pod uwagę np. płaszczyznę (ri), określoną równaniem:
(\) z — 2 x - \ - b y — 7 i przedstawmy ją przy pomocy jej śladów na płaszczyznach (x, y) i (x, z).
Ślad poziomy t. zn. n h> znajdziemy jako krawędź przecięcia się płaszczyzny n z płaszczyzną y); ja k wiemy, równanie z = 0 daje właśnie płaszczyznę poziomą (x, y). Równanie śladu poziomego będzie więc prostą
0 = 2 cc —j— 5 y — 7, z- 0.
Aby tę prostą na płaszczyźnie (x,y) wyrysować, obierzemy dwa punkty na tej prostej leżące, co zawiera oto tabelka: x Krawędź przecięcia się płaszczyzny n z płaszczyzną i {x,y) będzie biegła przez punkty ( 1, 1) i ( —4,3) na — 4 płaszczyźnie (x, y).
Podobnie znajdziemy ślad pionowy te „ , określony równa
niami: z = 2x — 7,ł/ = 0; dość nam znaleźć jeszcze jeden punkt na rzutni pionowej {x. z):
(zob. rys. 10).
D e f i n i c j a ś c is ła : F u n k cję rzeczywistą dwu zmien
nych rzeczywistych (x .y ) okre
śla zbiór liczb rzeczywistych,
który w następujący sposób definiujemy: Weźmy niepusty zbiór par rzeczywistych liczb (x, y)\ każdej takiej parze przydajemy pewną rzeczywistą trzecią liczbę (2), zależną od doboru liczb (x. y).
- 1 4 —
Zmienną (z) nazywamy funkcją dwu zmiennych x, y, co w pi
śmie znaczymy znakiem z — f ( x , y ) .
U w a g a . Jeśli weźmiemy pod uwagę powierzchnię określoną równaniem z — — 7— , to nie możemy tu na i i w nadawać takich
* + y
liczb, dla których zachodziłaby równość x -|- y = 0 ; znaczyłoby to geometrycznie, że powierzchnia, określona równaniem z — x | ni&
przecina się z płaszczyzną x -(- y = 0 ; ta płaszczy
zna przechodzi przez oś (2:) i ma jako ślad po
ziomy dwusieczną kątów między osiami (x , y), prze
chodzącą przez II i IV _> kwadrant płaszczyzny (x,y)
, (rys. 11)."
R y s , 11. Funkcja dwu zmien
nych sprowadza się do funkcji jednej zmiennej, gdy obie. zmienne x, y będą funkcjami jednej zmiennej. Kładąc np. x = 21, y = = 3 t — 8 w związku z — 2 x-Ą -b y — 7, otrzymujemy z — 19Z — 47, jako funkcję jednej zmien
nej t. Geometrycznie znaczy to, że na płaszczyźnie 2 = 2 a;-j- 5 y — 7 wybieramy linję (prostą), której rzut na płaszczyźnie (x,y) ma równanie x = y = 3 1 — 8.
Gdy we funkcji z = f ( x , y) przyjmiemy x = x0, to otrzymamy krzywą- przecięcia się powierzchni z — f { x , y ) z płaszczyzną x = % prostopadłą do osi x i równanie tej k rzy w ej. przybierze postać:
_ . spółrzędna (z) będzie wzdłuż krzywej . funkcją jednej
| ~ __ | tylko spóirzędnej (¿r), będzie bowiem wzdłuż krzywej 2 = f ( x o, y). przyczem x0 oznacza stałą.
Możemy iść dalej i mówić o funkcji trzech i większej ilości zmiennych niezależnych. Niech (w) oznacza liczbę naturalną i weź
my pod uwagę niepusty zbiór (») liczb (xu x s... , x„) tak, iż ele
mentami zbioru będą nie pojedyncze liczby, ale elementem będzie zbiór (n) liczb. Otóż do każdego zbioru (w) liczb rzeczywistych (x1.
x2. . . . . , x„) przydajemy liczbę rzeczywistą y; ten zbiór liczb (y) określi
— 15
-funkcję rzeczywistą (y) zmiennych rzeczywistych (xu ar2... &•„) czyli y = f( x j, xs, xn).
Będziemy stale mówili krótko: funkcja zmiennych (a^, a:2, __ , x„).
R ozd ział II. G r a n ic a funkcji i c i ą g ł o ś ć .
§ 5. Intuicyjne pojęcie granicy funkcji jednej zmiennej.
Przykład 1. Niech y będzie funkcją zmiennej x, określoną x __2
wzorem: y = —---- - . Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb
CC - t: .
rzeczywistych x, z wyłączeniem tych. dla których dzielnik jest równy zeru, co zachodzi w przypadku, gdy x — ± 2.
~ O
Dla tych wartości na a; wzór y — —t zawodzi, t. zn. nie x z — 4
pozwala określić wartości na y czyli nie pozwala nam skojarzyć żadnej liczby określonej z liczbami x = ± 2, Aby więc wyrysować
pozwala określić wartości na y czyli nie pozwala nam skojarzyć żadnej liczby określonej z liczbami x = ± 2, Aby więc wyrysować