D R ANTONI HO BORSK l
PR O F E SO R Z W Y C Z A J N Y A K A D EM JI GÓRNICZEJ W K R A K O W IE
WYŻSZA MATEMATYKA
(Z LICZNYMI PRZYKŁADAMI I RYCINAMI)
W D W Ó C H CZĘŚCIACH
C Z Ę Ś Ć P IE R W S Z A
W Y D A N O Z Z A PO M O G I Z W R O T N E J M INISTERSTW A W. R. I O. P. n
- U |
a
K R A K Ó W NAKŁADEM AUTORA
1923
W s z e lk ie prawa zastrzeżono.
Każd y egzemplarz zaopatrzony jest w numer porządkow y i podpis autora.
Nr. 2 1 9 9
122738
Kraków — Drukarnia Uniwersytetu Jagiellońskiego pod zarządem J. Filipowskiego.
P R Z E D M O W A .
Pisząc podręcznik „Wyższej .Matematyki", zdawałem sobie sprawę z wielkości zadania, jakiego się podjąłem, gdyż populary
zować rachunek różniczkowy i całkowy jest przedsięwzięciem bar
dzo trudnem.
Autor bowiem każdego p o d r ę c z n i k a n a u k o w e g o powi
nien przed rozpoczęciem swej pracy określić możliwie najdokładniej tę grupę ludzi, dla której go pisze; to określenie ma być dla autora drogowskazem we wyborze i treści podręcznika i metody popula
ryzatorskiej, nadto — co również nie jest łatwem — pozwoli mu oznaczyć zasób tych wiadomości, które przyjmuje za znane czytel
nikowi.
Otóż, pisząc podręcznik, który dziś oddaję na usługi społeczeń
stwa naszego, postanowiłem go przeznaczyć dla studentów akade
mickich szkól technicznych i studentów przyrodoznawstwa Ta grupa czytelników, choć tak różnorodna, bo obejmująca i przyszłego inży
niera i botanika, chemika, fizyka itd., itd., ma jednak tę wspólną cechę, że, posługując się matematyką, robi z niej n a r z ę d z i e ba
dań naukowych, nie uważając jej za cel ostateczny. Stąd pochodzi określenie zakresu treści podręcznika, który podawać winien rzeczy przedewszystkiem klasyczne, choć może niejednokrotnie nieogdlnie postawione, ale najzupełhiej wystarczające dla stosującego dziś ma
tematykę do różnych gałęzi wiedzy. Dlatego niejedno zagadnienie, choć piękne i nęcące, choć ogólniejsze od zagadnienia klasycznego i dlatego prostsze dla zawodowego matematyka, zostało nieuwzględ- nione. Jest to punkt widzenia — rzec można — utylitarny, ale na
kazany względami rozumnymi — nie wszystkie bowiem partje ma
tematyki znajdują zastosowanie w zagadnieniach przyrodoznawstwa łub techniki.
Oczywiście możnaby słusznie zarzucić, że trudno przewidzieć
rozwój nauk, stosujących matematykę, wobec czego może się zda
rzyć, że znajomość gaięzi matematyki, dziś jeszcze nieprzydatnej do naukowego ujęcia życia praktycznego lub zagadnień przyrodniczych, stanie się jutro konieczną; czyż więc czytelnik mego podręcznika będzie przygotowanym ńa tyle, by mógł uzupełnić swe wiadomości matematyczne, gdyby się tego potrzeba okazała? To pytanie pozo
staje w ścisłym związku z drugą kwestją. przezemnie wyżej poru
szoną, t. j. ze sprawą metody wykładu. Otóż wykład winien być jasny, przystępny i ścisły. Jasność i przystępność wykładu są to jednak wymagalniki tak często nieuchwytne, tak nieokreślone, że w ich rozbiór wdawać się nie mogę. Zresztą, co dla jednego czy
telnika będzie jâsnem i przystępnem, może być dla drugiego ciem- nem, zawiłeni i trudnem; oprócz dyspozycji umysłowych czytelnika wchodzić tu będzie w grę, także stopień przygotowania, z jakiem przystępuje do czytania podręcznika, o czem zresztą słów kilka poniżej.
Tymczasem ścisłość wykładu nie podlega takiej dowolności poglądów, jak jasność i przystępność^ w tej materji mamy już wcale dobre kryterja tak, iż sąd ci tem, czy podręcznik jest ścisły lub nie, może wypaść jednakowy u wszystkich matematyków zawodo
wych. Ale właśnie w tym punkcie różnią się poglądy matematyków zawodowych i tych, którzy matematykę stosują. Postulat ścisłości nietylko bowiem dotyczy sposobu wysłowienia definicji i twierdzeń i-sposobu dowodzenia, lecz także powoduje zwiększenie materjału pomocniczego, a więc wymaga pomocniczych określeń, wielu lem- matów bez wartości dla zastosowań, wysłowienia aksjomatów, re
dukcji intuicji w dowodach do minimum itd. Jednem słowem, po
stulat ścisłości ma wpływ Da objętość podręcznika. Tymczasem sfery inżynierów stale matematykom powtarzają, że inżynier nie może dużo czasu poświęcić matematyce i dlatego woli czytać książeczki Wydawnictwa Goschen. niż podręcznik Kowalewskiego lub Rothego.
Oczy wiście, tkwi tu pewnego rodzaju nieporozumienie. Przecież każde twierdzenie matematyczne ma postać zdania: z P wynika Q.
Nieścisłość najpospolitsza małych podręczników polega na tem, że założenie F jest albo zupełnie pominięte albo niekompletnie podane, wskutek czego podręcznik podaje inne twierdzenie: z p wynika Q, co jest zwykle nieprawdą. Ze nieścisłe podręczniki zawierają nie
prawdziwe sądy,'(!) z tego sobie niewielu zdaje sprawę. Poza tem mogą być i określenia nieścisłe, niby-dowody itd. Czy można tedy
na nieściśle skonstruowanych pojęciach i fałszywych twierdzeniach zbudować jakąś poprawną teorję? Wszak na kruchych fundamen
tach stanąć musi budynek, walący się za podmuchem słusznej krytyki!
Drugim powodem nieporozumienia są popularne poglądy na stosowanie matematyki. Niektórzy sądzą, że rzecz zasadza się na tem, by dane eksperymentalnie ująć we wzory matematyczne. Tymcza
sem wzór sam dla siebie jest nieokreślonym, gdyż setki wzorów mogą być w zgodzie z wynikami doświadczeń. Nie we „wzorach“
więc tkwi sedno zastosowania matematyki. Charakterystyczną cechą jest forma dedukcji t zn. do teorji jakiejś można dopiero wtedy stosować matematykę, gdy znaleziono dla teorji przesłanki (hypo- tezy, aksjomaty), dające się ująć matematycznie. Typowych przy
kładów dostarcza nam w tym kierunku fizyka (t. zw. matematyczna), która stoi najwyżej z pomiędzy nauk, stosujących matematykę.
O tem właściwein zadaniu stosowania matematyki nie wolno zapominać. I tego nie może nauczyć podręcznik matematyki, jeżeli nie wykazuje niemal ciągle, jak to z P wynika Q. Otóż tego po
dręcznik nieścisły nigdy nie zdoła nauczyć.
Oto główne powody, dla których wolałem być ściślejszym we wykładzie od wielu podobnych podręczników zagranicznych.
Stąd też konieczność ograniczenia się do materjału klasycz
nego i niezbyt obszernego. Jeszcze jedna sprawa, która i w recen
zjach lat ubiegłych była poruszana i jest częstokroć omawiana, a dotyczy przykładów, ilustrujących teorję. Stosujący matematykę domagają się, by przykłady dobierać z fizyki (termodynamiki, me
chaniki), elektrotechniki, teorji wytrzymałości materjałów itd., itd.
Żądania tego rodz-iju tylko w pewnej mierze są słuszne.
Wszak każda z tych nauk spoczywa na pewnych zasadach, któ
rych znajomość nie jest ogólną. Autor nieco ostrożny nie może więc takich zagadnień wprowadzać bez odpowiednich wstępów i dlatego często woli z nich rezygnować. Nadto przykłady mają za cel wy
jaśnienie rzeczy teoretycznych, a nie łatwych; jeżeli więc użyjemy przykładu, wymagającego znacznego przygotowania, to cel właściwy nie będzie osiągnięty przez autora. Miara więc pewna w tym kie
runku jest konieczną.
Trzecią, bardzo ważną rzeczą, którą autor podręcznika ciągle mieć powinien przed oczyma, to stopień przygotowania, który przy
pisuje czytelnikowi. Tkwi tu trudność nie lada. Czas świeżo powo-
V I
wojenny nie zezwala na wielki optymizm w tym kierunku, a sprawę pogarsza brak powszechnie u nas znanego dobrego podręcznika matematyki elementarnej, na który mógłbym się powołać bez wszel- .kich zastrzeżeń1). Stąd się wziął w moim podręczniku „W stęp“.
Pragnąłbym jeszcze wyjaśnić pewne szczegóły związane z po
wstaniem niniejszego podręcznika.
Podręcznik powstał z wykładów, które p. t. Wyższa matema
tyka corocznie wygłaszam w Akademji Górniczej i które w pod
ręczniku zostały rozszerzone i uzupełnione. Stąd też nazwa pod
ręcznika, która niejednego matematyka gotowa razić.
Obok Wyższej Matematyki program naukowy Akademji Gór
niczej zawiera algebrę, trygonometrję i geometrję analityczną, jako przedmioty osobnych wykładów i na nich niejeden brak w przy
gotowaniu przedakademickiem zostaje usunięty. Właśnie „W stęp“
w niniejszym podręczniku jest echem tych elementarnych wykła
dów i szczerych usiłowań, by wykład wyższej matematyki uprzy
stępnić. „W stęp“ stanie się zbędnym z chwilą ukazania się druko
wanych wykładów algebry, trygonometrji i geometrji analitycznej.
Metoda wykładu użyta w obecnym podręczniku jest podobną do tej, którą posługiwałem się, pisząc- wraz z Kolegą Prof. D r A.
Wilkiem dziś już wyczerpane: „Zasadnicze pojęcia rachunku róż
niczkowego i całkowego“. Metoda ta, będąca moim pomysłem, stara się wytworzyć w umyśle czytelnika przez odpowiednio dobrane, a proste przykłady intuicyjne pojęcie matematyczne i wykazać po
trzebę i użyteczność tego pojęcia, potem dopiero podaje określenie ścisłe. Przykładów liczy podręcznik ilość bardzo poważną.
Brak u nas zbioru zadań matematycznych, przeznaczonego dla szkół technicznych. Sądziłem początkowo, że zbiór taki będzie mógł powstać w niedługim czasie po ukazaniu się niniejszego pod
ręcznika. Dziś tego złudzenia nie posiadam — warunki materjalne wydawnictwa są dla osób prywatnych tak trudne, że nie można dziś oznaczyć terminu takiej publikacji. Byłaby to praca zbiorowa;
chemicy', fizycy i inżynierowie wraz z matematykiem powinni być współautorami —i początek jest już zrobiony, ale końca nie widać!
Dlatego część pierwszą od § 1 do § 50 zaopatruję w skromny zbiór zadań, które były w Akademji przerabiane na osobnych godzinach
*) Do geometrji posiada naaza literatura kilka podręczników dobrych, ja k : Hadamarda, Eariąuesa-Amaldiego, Wojtowicza i Łomnickiego.
V II
ćwiczeń; od § 50 tekst zaopatruję we większą ilość przykładów i w temata do ćwiczeń.
Jakimkolwiek będzie zbiór zadań, który za lat kilka się ukaże, to dwóch luk w moim podręczniku nie zdoła usunąć. Uważny czytelnik spostrzeże bowiem, że pominąłem teorję wyznaczników i nowoczesną teorję liczb niewymiernych. Pierwszą zawierać ma wykład Algebry; drugą, własną, oryginalną mam gotową w ręko
pisie i wnet ją opublikuję pod tytułem: Nowa teorja liczb niewy
miernych. [Teorję wyznaczników, znajdzie czytelnik wyłożoną w książce prof. Zaremby p. t. Teorja wyznaczników i równań linjowych (wydanej przez Krakowskie Kółko matematyczne)].
Wobec tego, że podręcznik niniejszy zawiera rzeczy klasyczne, uważam się za zwolnionego od cytowania źródeł. Z tego bynajmniej nie wynika, by nie można się było dopatrzyć samodzielnego ujęcia niejednego, mniej lub więcej ważnego szczegółu (określenia całki nieokreślonej str. 247, nierówność o={=0 w tw. ze str. 254 itd.).
O ile chodzi o przykłady praktyczne,; to prócz kilku, które sam wyszukałem, czerpałem j e z całego szeregu podręczników:
Schlömilch, Übungsbuch zum Studien der höheren Analysis;
Nernst-Schönflies. Einführung in die mahtematische Behandlung der Naturwissenschaften;
Scheffers, Lehrbuch der Mathematik für Studierende der Na
turwissenschaften u. der Technik;
Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik;
Perry, H öhere, Mathematik für Ingenieure (w tlóm. niemiec- kiem); Egerer, Ingenieur-Mathematik;
Bouasse, Cours de mathématiques générales;
Townsend and Goodenough, Essentials of Calculus.
O ile książkę Mangoldta należy zalecić, o tyle trzeba przestrzec przed książką P erry’ego; ostatnia bowiem, przeładowana przykła
dami praktycznetni, ma stron 450, a po jej przeczytaniu bardzo wątpię, czy czytelnik będzie znał główne zasady matematyki wyższej.
Nie mogę pominąć tego, że pewne uwagi natury logicznej
* i pojęcie agregatu nieskończenie małych (§ 10), tak bardzo uprasz
czające dowody § 11 —14, zawdzięczam prof. Śleszyńskiemu, zaś pomysł do rozwiązania zagadnienia o ruchu jednostajnym (str. 155) nasunął mi jeden wykład prof. Zaremby, który owe zagadnienie rozwiązał zupełnie odmiennie.
J a k czytać niniejszy, podręcznik? zapyta czytelnik początku
V I I I
jący. Trudno dać wskazówki szczegółowe — jedynie mogę dać rady ogólne: należy czytać skrupulatnie uwagi intuicyjne, definicje, twierdzenia i krótsze dowody1) (dłuższe dowody należy odłożyć do powtórnego czytania). Przyznam, że czytanie książki nie jest łatwem, gdyż ze względów oszczędnościowych nie mogłem sobie pozwolić na druk. który był ozdobą rozpraw przedwojennych. Wzory umiesz
czam w tekście, skąd wynikły nielada trudności natury technicznej.
Że drukowano książkę oszczędnie, to dziś zaleta bardzo ważna!
Jeszcze jedna uwaga pod adresem Czytelnika: jeżeliby Czy
telnik pragnął rozszerzyć swoje wiadomości w dowolnym kierunku, wtedy powinien zaczerpnąć informacji w Poradniku dla samouków (Tom I: Matematyka); tam znajdzie i wskazówki potrzebne i spis książek.
Zamykając przedmowę pragnę wyrazić serdeczne podzięko
wanie tym wszystkim, którzy mi wydanie książki ułatwili, względ
nie wspomagali radą i współpracą. A więc przedewszystkiem dzię
kuję ja k najgoręcej Wydziałowi Nauki i jego Naczelnikowi P. D r Stanisławowi Michalskiemu za udzielenie zwrotnej subwencji, która, całkowity koszt wydawnictwa pokryła.
Rysunki dla podręcznika wykonali moi Uczniowie pp. Stani
sław i Zbigniew Gołąbowie; korektę przeprowadzał p. Stanisław Gołąb. Obu wyrażam szczere podziękowanie za trud i pracę.
Dyrekcji Drukarni U. J. dziękuję, że, uwzględniała z taką, gotowością wszelkie moje specjalne życzenia.
Miło mi również wyrazić uznanie p. Welanykowi za wyko
nanie klisz do rysunków, zawartych w tekście podręcznika.
JProf. Dr. A. Hoborski.
4) Czytelnik, nieobeznany z wyższą matematyką, powinien przed czytaniem książki usunąć biedy według załączonego „Sprostowania“.
W S T Ę P . A. Uwagi ogólne.
W niniejszym podręczniku będzie się czytelnik zajmował określeniami pojęć, twierdzeniami (matematycznemi) i dowodami twierdzeń! Określenie pojęcia czyli definicja nia, jako zadanie, wprowadzenie nowego przedmiotu w krąg rozważań i zarazem wy
jaśnia nową nazwę. Odpowiadając np. na pytanie, co to jest para
bola, definiujemy ją, określamy ją, używając przytem slow nam dobrze znanych i zarazem konstruujemy nowy przedmiot rozważań matematycznych. Równocześnie wyjaśniamy nazwę paraboli, z c/.em łączyć się uproszczenie, na tem polegające, że zamiast długo mówić:
„krzywa płaska, której każdy punkt leży w równej odległości od punktu stałego F i prostej l (przyczem punkt F nie leży na pro
stej /)“ wolno użyć skracającego rzecz terminu „parabola“. Definicja więc w takich przypadkach wprowadza pewną umowę.
Oprócz określeń podaje niniejsza książka twierdzenia, których dowodzi. Każdemu twierdzeniu matematycznemu można nadać po
stać zdania warunkowego: (1) jeżeli jest p, to jest q, co także wy
rażamy we formie: z p wynika q\ p zowie się założeniem, q wnio
skiem twierdzenia.
Odnośnie do słuszności założenia p i wniosku q możemy odróżnić cztery ewentualności: (a) p prawdziwe, q prawdziwe;
(b) p prawdziwe. q nieprawdziwe; (c) p nieprawdziwe, q prawdziwe;
(d) p nieprawdziwe, q nieprawdziwe.
Otóż zdanie warunkowe (1) uważamy za prawdziwe tylko w każdej z trzech ewentualności (a), (c), (d), za nieprawdziwe j e dynie w przypadku (b). • Częstokroć wyraża się to w następujący sposób: z prawdy wynika tylko prawda, z fałszu wynika prawda lub fałsz.
Celem więc udowodnienia tw. 1 należy wykazać słuszność wniosku q, skoro się przyjmie słuszność założenia p.
Załóżmy, że udowodniliśmy twierdzenie: (1) jeżeli jest p, to jest q. Utwórzmy następujące twierdzenie (2): jeżeli jest N ie— q, to jest N ie— p. Przy tem przez Nie — p. Nie — q rozumiemy zaprze
czenia p : względnie q. Otóż zwracamy uwagę czytelnika na to. że, ilekroć razy się przekonał o prawdziwości tw. (1), to wtedy nie jest obowiązanym osobno udowodnić tw. (2), gdyż wtedy tw. (2) jest również słusznem. Nie potrzeba wtedy dla tw. (2) osobnego do
wodu matematycznego, wystarcza się powołać- na zasady logiki formalnej.
Tw. 2 nazywamy twierdzeniem otrzymanem przez kontrapo- zycję z tw. 1. Nie trudno zauważyć, że tw. 1 otrzymuje się z tw.
2 także przez kontrapozycję (zob np. str. 151 i 152).
Obok tw. 1 rozważmy jeszcze twierdzenie: (3) jeżeli jest q, to jest p; ono zowie się odwrotnem względem tw. 1. Jeżeli tw. 1 jest słusznem, to tw. 3 może być słusznem lub niesłusznem; jeżeli więc jesteśmy' pewni słuszności tw. 1, to mimo to powinniśmy prze
prowadzić z osobna dowód, jeżeli pragniemy się upewnić.o słu
szności tw. 3. Widzimy tedy, że stosunek twierdzeń (1) i (2) jest odmiennym od stosunku twierdzeń (1) i (3).
Liczne przykłady na powyższe okoliczności znajdzie czytel
nik w dalszym ciągu w podręczniku. Wróćmy' jeszcze do tw. 1, o którem założymy, że jest słusznem; wtedy tw. 2, ja k wiemy, jest także słnsznem, a ono daje się wyrazić, także w sposób nastę
pujący: q koniecznie zachodzi, gdy p jest prawdą czyli q jest wa
runkiem koniecznym dla p. Tw. 1 wyraża się właśnie w tej formie:
q jest warunkiem koniecznym dla p. Tw. 1 można jeszcze inaczej interpretować, a mianowicie: aby q IjyJo prawdą, wystarcza, by p było prawdą. Dlatego tw. 1 wyrażamy też pod postacią: p jest wa
runkiem wystarczającym dla q.
Jeżeli prawdziwe są oba tw. 1 i 3, to jo nazwiemy warun runkiem koniecznym (tw. 3] i wystarczającym (tw. 1) dla q. Jeżeli więc czytelnik znajdzie w dalszym ciągu twierdzenie: wagimkiem koniecznym i wystarczającym dla q jest p, to powinien wiedzieć o tem, że w ten (krótki) sposób wysłowiono dwa twierdzenia: tw. 1 (p jest icarunkiem wystarczającym dla q) i tw. 3 (p jest wanmkiem koniecz
nym dla q), z których każde z osobna należy udowodnić.
Jak powiedzieliśmy, twierdzenie matematyczne należy udo
wodnić, jeżeli je pragniemy uważać za słuszne. Dowód twierdzenia opiera się na założeniu twierdzenia, na twierdzeniach poprzednio już udowodnionych i na aksjomatach '). przyczem należy wykazać, źe jest dozwolonem powoływanie się na twierdzenia, poprzednio poznane t. zn. należy wykazać, że słusznemi są założenia twierdzeń, na które się właśnie powołujemy.
Specjalną formą dowodu jest dowód t. zw. niewprost lub „per reductionem ad absurdum “.
Aby tę postać dowodu wyjaśnić, załóżmy, że mamy udowodnić tw. (1). Otóż dowód niewprost polega na tem, że wykazujemy, iż zbiór twierdzeń: „(a) słuszne są twierdzenia i aksjomaty poprzednio poznane, (b) słusznem jest zaprzeczenie fiw. (1)“ tworzą zbiór zdań zawierających sprzeczność. A, że tylko z fałszu może wynikać fałsz, więc widocznem, że zdanie (b) jest niesłusznem, przeto prawdą jest, że z p wynika q.
Jak utworzyć zdanie 5? Jak zaprzeczyć zdaniu, że twierdze
nie (1) jest słusznem?
• Otóż początkującemu matematykowi, częstokroć sprawia trud
ność zaprzeczenie zdania.
Podamy kilka uwag, rzecz tę ułatwiających. W tym celu przypomnimy, że zdania można podzielić n? twierdzące i przeczące.
Zdaniami twierdzącemi są np. zdania: (zt) każda liczba całkowita podzielna przez liczbę 100, jest też podzielna przez liczbę 5.0 : (z2) niektóre liczby całkowite, podzielue przez liczbę 50 są podzielne przez 100. Przeczącemi zaś zdaniami są np. zdania: (<s) żaden trój
kąt równoboczny nie jest prostokątnym; (zt) niektóre książki nau
kowe nie są treści matematycznej. Jeszcze jedną klasyfikację zdań podamy; oto zdania (z,) i (2g) mają kształt zdań: każde (żadne) S są (nie są) P \ są to t. z w. zdania ogólne; zaś zdania (^s) i (s*) mają postać zdań: niektóre S są, (nie są) P ; są to t. z w. zdania szczegółowe. Łącząc obie zasady klasyfikacyjne w jedną zasadę, odróżnimy cztery zdania: ogólnie-twierdzące (s,), ogólnie-przeczące (ż3), szczególowo-twierdzące («s), szczegółowo-przecząee (24). Otóż niech czytelnik stwierdzi przykładami, że:
I) zaprzeczeniem zdauia ogólnie-twierdzącego jest zdanie szczegółowo-przeczące;
•) K aid a nauka przyjmuje pewno zdania t. zw. aksjomaty bez dowodu za prawdziwe.
II) zaprzeczeniem zdania ogólnie-przeczącego jest zdanie szcze
gółowo-twierdzące;
III) zaprzeczeniem zdania szczegółowo twierdzącego jest zda
nie ogólnie-przeczące;
IV) zaprzeczeniem zdania szczegółowo-przeczącego jest zdanie ogólnie-twierdzące.
Te cztery zasady pozwolą zorjentować się czytelnikowi we wielu przypadkach dowodzenia niewprost1).
Jeszcze zajmiemy się zaprzeczeniem układu dwu zdań. Niech będą dane dwa zdania: (zB) p jest prawdą i q jest prawdą; (i6) p jest prawdą albo q jest prawdą.
Utwórzmy zaprzeczenia zdań z6 i z6. Zaprzeczenie zdania z5 powinno wyrażać, że i p i q równocześnie nie mogą być słusznemi, co najmniej jedno z nich nie jest prawdą. Widzimy tedy, że za
przeczeniem zdania z5 jest zdanie: albo nie jest p prawdą albo nie jest q prawdą; zaprzeczenie zdania zb ma więc postać zdania z6;
Utwórzmy z kolei zaprzeczenie zdania 26; otóż zdanie wy
raża, że z obu p, q conajmniej jedno jest prawdą, przeto zaprze
czenie będzie orzekało, że żadne z nich nie jest prawdą czyli oba są niesłuszne. Widoczne tedy, że zaprzeczeniem zdania z0 jest zda
nie: nie jest p prawdą ani nie jest q prawdą. Abstrahując od od
nośnej reguły językowej, która zamiast spójnika i przy przeczeniu poleca używać spójnika ani, możemy powiedzieć, że zaprzeczenie zdania za jest postaci zdania zB.
Stąd już będzie zrozumiałem dla czytelnika, że dla zdania potrójnego: „każda z trzech liczb o, b, c jest zerem“ otrzymuje się zaprzeczenie we formie zdania: „albo liczba a jest różną od zera albo liczba b jest różną od zera albo liczba c jest różną od zera“ ; nie jest zaś niem zdanie: „i liczba « jest różną od zera i liczba b jest różną od zera i liczba c jest.różną od zera“, jak to częstokroć
błędnie przypuszcza początkujący.
Dołączymy jeszcze jedną uwagę.
Częstokroć będziemy rozważali zbiory liczb, czy figur geome
trycznych, czy innych przedmiotów. Co to jest zbiór, nie będziemy określali, uważać będziemy to pojęcie za znane czytelnikowi, ale musimy zwrócić jego uwagę na to, że pojęcie to będzie dla nas >
szerszein od pojęcia codziennego. Mówić będziemy także o zbiorach
X I I
*) Przykiad zaprzeczenia zdania podaliśmy w przypiskn na str. 147.
X I I I
jednostkowych i pustych. Zbiór nazwiemy jednostkowym, jeżeli zawiera tylko jeden przedmiot, jeden element. Weźmy np. pod uwagę zbiór liczb x, spełniających równanie x 2 — —(— 1 = 0 ; zbiór taki jest jednostkowym, gdyż jedyna liczba 1 czyni zadość owemu równaniu.
Zbiór może być również pustym t. zn. może nie zawierać żadnego elementu. Abyśmy bowiem mogli rozważać zbiór, musimy znać ogólną własność jego elementów, przyczem ta własność ma być tak określoną, że dla każdego przedmiotu prawdziwem jest jedno i tylko jedno z dwóch zdań: (a) ów przedmiot należy do zbioru, (b) ów przedmiot nie należy do zbioru. To zaś nie przesą
dza, czy wogóle do zbioru jaki przedmiot należy. Weźmy np. pod uwagę zbiór trójkątów prostokątnych i zarazem równobocznych.
Ze stanowiska formalnej logiki zbiór taki jest poprawnie określo
nym; geómetrja zaś poucza nas, że zbiór taki jest pustym.
Pojęcia zbiorów jednostkowych ja k i pustych znacznie upra
szczają wysłowienie twierdzeń i jako wygodne będą przez nas używane.
Zbiór może być skończonym lub nieskończonym. Jeżeli ze zbioru można wybrać kaiżdą ilość elementów, to zowiemy go nie
skończonym, w przeciwnym razie zowie się skończonym zbiorem (zob. § 28).
B. Z analizy elementarnej.
Najprostsze liczby, które najpierw poznajemy, są to. liczby całkowite 1 , 2 ,3 , .. . czyli t. z w. liczby naturalne. Ich własności służą za podstawę d c t. zw. indukcji zupełnej czyli matematycznej, na którą często wypadnie się powołać.
Wyobraźmy sobie, że mamy udowodnić następujące twierdze
nie: jeżeli n oznacza liczbę naturalną, ło cos(180°n)— ( — 1)". Możemy to udowodnić dla » = 1 , 2 , 3 , aż do tak dalekiej liczby n, jak* da
leko chcemy; ale to nic znaczy, że temsamem twierdzenie udowo
dniliśmy dla każdej naturalnej liczby n; trzeba więc inaczej postę
pować, samo sprawdzanie prawdziwości twierdzenia dla tej lub owej liczby naturalnej « nie wystarcza. Ale wystarczy nam, gdy dwa następujące twierdzenia pomocnicze wykażemy: A)-twierdzenie jest prawdziwe dla n — 1 ; B) jeżeli twierdzenie jest.'prawdziwe: dla do
wolnej liczby naturalnej (p), podstawionej za (n). to jest prawdziwem też, gdy za (n) podstawimy liczbę (p -f- 1).
XIV
Poczucie nasze, nasza intuicja mówi nam, że, gdy to wyka
żemy, to twierdzenie jest słusznem dla każdej liczby naturalnej («).
Skoro bowiem na mocy (A) tw. jest prawdziwe dla >¡ = 1, to jest na mocy (B) prawdziwe dla n = 2, przeto znów' na mocy (jB) jest prawdziwem dla « = 3 ,4 ,... itd.
W naszym przypadku dla « = 1 mamy rzeczywiście cos 180°== —
— 1 = ( — l ) 1. Przypuśćmy, że jest cos (180°^) = (— l ) p. Ale cos \{p -j- 1) 180°J —■ cos (180°/; - f - 180°) = cos (180°p) . cos 180° =
= (— l)1“^ — 1) = (— i)7”1"1, bo siu 180° = 0; więc tw. B udowodnione.
Mówi się wtedy, że tw. udowodniliśmy na mocy zasady indukcji zupełnej lub matematycznej, którą ogólnie wysłowimy w sposób następujący: niech będzie dane twierdzenie, w którego wysłowieniu zachodzi litera u. mogąca przyjmować dowolne wartości naturalne, nie mniejsze od liczby naturalnej k (w powyższym przykładzie było
& = 1 ) . Twierdzenie takie należy uważać za prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n ^ k , jeże li1) się udotvodni następujące dwa twier
dzenia 2) pomocnicze :
(A) twierdzenie jest słusznem, gdy 71 — k;
(B) jeżeli twierdzenie jest słusznem, gdy n = p ^ k , (gdzie p oznacza dowolną pozatem liczbę naturalną), to twierdzenie jest słu
sznem, gdy jest n = p - \ - l .
Przykład 1. Twierdzimy: jeżeli A ^> 0 , u ^ 2 i n naturalną liczbą, to jest (1 -\-A )a^> 1 -\-n A . Na mocy zasady indukcji zupeł
nej możemy uważać twierdzenie za prawdziwe, skoro tylko wyka
żemy: (a) że twierdzenie jest słuszne dla # = 2 i (b) gdy wyka
żemy, że twierdzenie jest słuszne dla n = p - \ - 1, jeżeli jest słusz- nem dla / ¿ = = ; ; ^ 2.
Odnośnie do (a). Dla » = 2 mamy (1 -J- A)2 =1 1 -J- 2 A -j- l-f-2 /1 , gdyż jest A 2> 0.
Odnośnie do (b). Przypuśćmy, że jest p ^ 2 i że jest (1 — >
> l - f pA: Otóż jest (1 (1 . (1 - M ) > ( l + j o 4 ) ( l + 4 ) =
= 1 - 4 |M + A + p A * = l ' + { p - Ą - \ ) A + p A ^ > 1 - g ( p + 1)A.
2. Dla ćwiczenia niech czytelnik wykaże: a) sin (180°n) = 0 ; b) sin [(2?; -}- 1) 90°] — (— 1)”; <■) jest a" — b" — (a — b) (an~J -J- - f- a"~-b- f - . . . - ) - a^n~5- ]- 6n~1), gdy h ^ 2 ; d) wyprowadzić wzór na
J) n ^ k c zy tlia y ; n większe lub równe k. a więc nie mniejsze od k.
2) Zob. Zaremba, Zarys pierwszych zasad teorji liczb całkowitych.
XV
n-ty wyraz postępu arytmetycznego (geometrycznego); e) udowodnić dwumian Newtona ł) : (o -j- b)n = a" -j- (i) a n~! b -j- (S) a"~s b2 - j - ... -|- -)-(”) a"~‘ . . . —L-(”) bn, gdzie (") jest t. zw. symbolem Newtona
„ wartości W - ? ( — » ( » - ¡0 - ■■ (>— ■ + »
\ iI 1 . 2 . 3 . . . i 1 . 2 . 3
A więc (a)
Uwaga 1. Równość cos (ISO0, n) = (— 1)" jest słuszną także dla liczb n całkowitych ujemnych i gdy n — 0 .
Uwaga 2. Znak znaczy, że m jest mniejsze lub równe m '.
Możnaby to więc czytać także tak: m nie jest większe od m'. Czę
stokroć piszemy h= ^g t. zn. h nie równa się g.
Jeżeli do liczb naturalnych dołączymy liczbę zero (0), to otrzymamy zbiór liczb całkowitych bezwzględnych. Jest to jeszcze zbyt ciasny zakres liczb, by mógł wystarczyć choćby do elemen
tarnych zagadnień. Elementarna analiza rozszerza też pojęcie liczby, dołączając liczby ułamkowe 2), potem niewymierne, co wszystko ra zem stanowi zakres liczb bezwzględnych. I ten zakres arytmetyce nie wystarcza; uzupełnia się ich zbiór liczbami ujemnemi, uważając iczby dodatnie za równe odpowiednio dobranym liczbom bezwzględ
nym. W ten sposób otrzymuje się zakres liczb rzeczywistych, który niemal do wszystkich zagadnień elementarnych wystarcza.
Liczby rzeczywiste mają szereg własności, które należy pod
kreślić. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie dwu liczb rzeczywi
stych daje zawsze liczbę rzeczywistą — działania te są więc stale wykonalne. Co do dzielenia, to należy podnieść z naciskiem, że dzielenie również jest wykonalne, ale tylko wtedy, gdy dzielnik jesi różnym od zera. Dzielenie przez zero nie daje żadnego ilorazu', przez niektóre podręczniki starszej daty wprowadzana „nieskończoność“, jako iloraz dzielenia liczby różnej od zera przez zero, nie ma żadnego sensu i może tylko prowadzić do błędów. Dlatego należy się wy
strzegać dzielenia przez zero! Ilekroć więc razy ma czytelnik wy
konać dzielenie, niech zbada dokładnie, czy dzielnik nie jest zerem;
>) Izak Newton, wielki matematyk i fizyk angielski, tir, 1643, mn. 1727, j e s t jednym z dwóch głównych twórców wyższej analizy; w r. 1687 wydał pod
stawowe dla niej dzieło p. t. Philoaophiae naturalis principia mathematica. D ro
gim twórcą je s t Gotfryd Wilhelm Leibniz (ur. 1646, um. 1716), matematyk i filo
zof niemiecki, który główne pojęcia wyższej analizy ogłosił drukiem w r. 1684,
*) Ułam ki wraz z liczbami eałemi tworzą zbiór liczb wymiernych.
XVI
tylko to przypadku, gdy dzielnik jest różny od zera, wolno dzielenie wykonać.
Między liczbami rzeczywistemi, a punktami osi liczbowej za
chodzi ścisły związek. Weźmy pod uwagę prostą i na niej dwa różne punkty O, J. Nazwijmy kierunek od punktu 0 do punktu J kierunkiem tej prostej. Weźmy dowolny punkt A na prostej; wy mierzmy odcinek OA przy odcinku 0,7, jako jednostce; niech się mierzy liczbą a. Gdy punkt A schodzi się z punktem 0. to « = 0, w każdym innym przypadku jest- «=(=0. Niech będzie a=j=0; otóż punkt A uważamy za obraz liczby dodatniej (-f-fl) lub liczby uje
mnej (—a) zależnie od tego, czy kierunek od punktu 0 do punktu A jest zgodny z kierunkiem prostej, czy też nie. Tedy rip. punkt J jest obrazem liczby (-j-1). [Rys. I]. Punkt 0 uważamy za obraz liczby zero. Przez tę umowę istnieje odwzorowanie liczb na pro
stej; każdemu punktowi prostej odpowiada jedna liczba rzeczywista i każda liczba rzeczywista ma jeden punkt prostej, jako obraz.
-1 - 3/« -Vi —V< o +1li +1 +2 I— I— !— ! - ! — ! - ---- !— -J— |— 1— 1— !— !'
x O z J y - R
K y s . I.
Takie obrazowanie liczb na prostej (osi) liczbowej ułatwia w wysokim stopniu rozumowanie abstrakcyjne (zob. str. 60).
Damy na to proste przykłady. Oto wszystkie liczby x mniej
sze od liczby y mają obrazy (na rys. I), leżące po lewej stronie obrazu liczby y. Liczby zaś z o własności —1< 2 < [ 2 mają obrazy, leżące na prawo od obrazu liczby (— 1) i zarazem na lewo od obrazu liczby 2. Czytelnik, choć niewprawny, z łatwością już stwierdzi, że liczby u o własności « > 1, ?«< 0 niema, gdyż jej obrazu znaleźć nie może.
Widzieliśmy, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera liczbę zero, liczby dodatnie (-f-a) i liczby ujemne (—a), przyczem a oznacza liczbę bezwzględną, różną od zera.
Liczbę a nazwiemy bezwzględną wartością liczby rzeczywistej (-|-a) lub (—a) i oznaczamy ją znakiem j —|— a •, — a tak, iż jest a — -{-a — — aj; nadto ;0 = 0 , j a\ — a\ przeto np. —}- 3 1 = 3,
7 = 7, - 2 1 = 2.
Bezwzględna wartość liczb rzeczywistych ma następujące wła
sności, na które będziemy się częstokroć powoływali.
X VII
Tw. I. Bezwzględna icartośc sumy liczb rzeczywistych nie jest większą od sumy bezwzględnych wartości składników czyli jest
a -|- b —j— c —j—.... -j— l ; a ; | b \ —j— c 1 —j— .... —j— ■ l \.
Tw. 11. Jeżeli a, b oznaczają liczby rzeczywiste, to jest a —b \j^
\ a \ - \ b \ .
Tw. I I I . Bezwzględna wartość iloczynu czynników jest równą iloczynowi bezwzględnych wartości czynników t. zn. a . b ... I \ —
a | .:\b | ... I .
Tw. I V . Jeżeli a. b oznacza ja liczby rzeczywiste i jeżeli ¿={=0, to \ a \ b | = a : ¡b .
Tw. V. Jeżeli a'oznacza liczbę bezwzględną i jeżeli liczba rze
czywista ; r spełnia nierówność r j ^ a. to stąd icynika, że jest
— a ; i naodwrót, gdy jest — a ^ r ^ ct, to jest także r ^ a.
Jeżeli się zwrócimy do omówionego poprzednio geometrycz
nego obrazu liczb rzeczywistych na osi liczbowej (rys. I) i jeżeli punkt R jest/obrazem liczby r, to bezwzględna wartość \r\ jest długością odcinka OR.
Tw. V staje się wprost widocznem, gdy je zinterpretujemy na osi liczbowej.
Uw. Jeżeli w tw. V zamiast nierówności j r ^ a podstawimy nierówność r < a i zarazem zamiast »ierówności — a ^ r ^ a podstawimy nierówność — a<C.r<^a, to otrzymamy nowe twier
dzenie, również słuszne.
W zakresie liczb rzeczywistych nie każde pierwiastkowanie __ 4 jest wykonalnem, nie ma bowiem liczby rzeczywistej [ —2, \f—-1 itd.
Znak | a oznacza tylko wtedy liczbę rzeczywistą, gdy a przedsta
wia liczbę nieujemną t. zn. a ^ 0. Rozpatrzmy to bliżej. Rozważmy w tym celu równość (1) x 2 = a, przyczem a oznacza liczbę daną, x liczbę szukaną. Jeżeli przypuścimy, że istnieje liczba rzeczywi
sta x , spełniająca równość (1), to jej/ kwadrat x ! nie jest liczbą ujemną; aby więc równość (1) była możliwą, to jest koftieczneni, by było a ^ 0. To jest warunek konieczny, by istniała liczba rze
czywista x , spełniająca równanie ( 1); arytmetyka uczy, że jest także warunkiem wystarczającym i mianowicie: gdy jest a = 0, to tylko liczba zero, podstawiona za x, spełnia równość (1); jeżeli jest
■a >» 0, to dwie liczby rzeczywiste spełniają równość (1), jedna jest dodatnią, druga ujemną, bezwzględne ich wartości są sobie równe;
A . Hoborski: W yższa Matematyka. j l
XVIII
[np. równość x* = 16 spełniona jest przez liczby -f-4, — 4], Otóż znakiem oznaczamy tę liczbę nieujemną, która spełnia równość (1). Jest więc | / l 6 = 4, a nie |/ l 6 = ± 4 , |/0==0,..,; znak tedy \ a, gdy jest a ^ O , przedstawia jedną liczbą, a nie dwie! Równość (1), gdy a ;> 0 spełniają więc liczby \ a (lub —(— [/«) i (— (^a). Tego rodzaju określenie znaku \'a jest nadzwyczaj wygodnem, oczywi
ście pociąga za sobą pewne konsekwencje.
Niech b oznacza dowolną liczbę rzeczywistą i utwórzmy liczbę J/i-; jest to liczba nieujenmą, spełniająca równość (2) y 2 — b2. Za
uważmy, że równość (2) spełniają liczby b i (— 6), gdyż jest 62 = 6S i (— by == [(— 1)&]2 — (— l )2 • b! = b2\ zauważmy jeszcze, że równo
ści (2) czyni także zadość liczba bezwzględna ¡J.J, gdyż jest \b - — j b .' b == b2 : = ¿>2, bo b2^ 0 ; oczywiście liczba b jest równą tej z liczb b i (— b), która jest nieujemną. Otóż znak [/¿>2 ma wła
śnie oznaczać tę liczbę nieujemną, która spełnia równość (2), a więc jest \ b - = j b |; jest to właśnie następstwo powyższej umowy o znaku
\a. Słusznem jest więc twierdzenie:
Tw. VI. Jeżeli b oznacza dowolną liczbę rzeczywistą, to jest V~b-== 6 |.
Uwaga. Nie jest przeto |/(— 3)s = — 3, ale jest =
| — 3 1 = 3; o tem należy pamiętać, by uniknąć błędu.
Powyższa umowa o znaku \~a, wprowadza pewne uproszczenie przez to, że znak \ a oznacza jedną, a nie dwie różne liczby. Za
kres liczb rzeczywistych, jak powiedzieliśmy, wystarcza do wielkiej ilości zagadnień, aż nadto wystarcza, gdy chodzi o liczebne rozwią
zywanie zagadnień, gdy są więc dane liczby i dla nich mamy znaleźć rozwiązanie zagadnienia; wtedy bowiem wyniki podajemy zwykle w ułamkach dziesiętnych, o których zaraz słów kilka; oczy
wiście dość będzie mówić o ułamkach dziesiętnych bezwzględnych (a nie dodatnich i ujemnych).
Mówi się częstokroć o ułamkach dziesiętnych skończonych i nieskończonych. Przez pierwsze z nich rozumiemy ułamki zwy
czajne, których mianownik jest potęgą liczby 10 o wykładniku naturalnym, a więc ułamki ~ są ułamkami dzie
siętnymi skończonymi; jest to tylko sposób pisania, gdy je piszemy pod postacią 3'87 (albo 3.S7) 0Ó05, 0 ’0017, 7-8. Ułamek dziesiętny
X I X
skończony jest tedy szczególnym przypadkiem ułamka zwyczajnego.
Przez ułamek dziesiętny nieskończony rozumiemy nie kończące się następstwo (ciąg, zob. § 20) ułamków dziesiętnych skończonych tak dobranych, że następujący ułamek dziesiętny różni się od poprze
dzającego go w owym ciągu jedynie tem, że do poprzedzającego ułamka dzies. została dopisana cyfra (najniższa) dziesiętna przy zachowaniu wszystkich cyfr z poprzedzającego ułamka dzies. Np.
niech pierwszym wyrazem ciągu będzie ułamek 15, drugim 1'50, trzecim 1-502, czwartym 1-5020, itd., przyczem cyfry 02 mają się stale powtarzać.
Do takiego ułamka dzies. nieskończonego doprowadza nas elementarne zagadnienie zamiany ułamka zvyyczajnego na dziesiętny.
Istnieją bowiem ułamki zwyczajne, których na ułamek dziesiętny (skończony) nie można zamienić.
• Dla ułamka 1487 nie można znaleźć ułamka dzies., jemu rów-
990 J
nego. Wobec tego można znaleźć na każdą ilość miejsc dziesiętnych przybliżenie dziesiętne przez niedomiar i przybliżenie dziesiętne przez n a d m ia r1). Przybliżenia dzies. przez niedomiar kolejno na jedno, dwa. trzy, cztery, pięć... miejsc dziesiętnych podaje ciąg:
(I) 1-5, 1-50, 1502, 1-5020. 1-50202,...
zaś ciąg:
(II) 1-6, 151, 1-503. 1-5021, 1-50203,...
daje pirzybliżenia dzies. przez nadmiar. I właśnie ciąg (I) jest po
przednio podanym ułamkiem dzies. nieskończonym i do tego okre
sowym (perjodycznym). Na razie ciąg (I) ma znaczenie tylko wyżej podane t. zn. jest ciągiem kolejnych przybliżeń dzies. przez nie- domiar dla ułamka 1487-. Ciąg taki będzie miał jeszcze pewne własności, które są przedstawione w Rozdz. III (str. 62 i 72). Je- żelibyśmy szukali ciągów przybliżeń dziesiętnych przez niedomiar i nadmiar dla liczby \ 3, to zauważylibyśmy, że nie posiada żaden
’) D w a ułamki dziesiętne a, y nazywamy przybliżeniami dziesiętneini na tę samą ilość miejsc dziesiętnych dla liczby fi, pierwszą u przez niedomiar, drogą przez nadmiar, jeżeli jest a < ^ f i < ^ y i gdy one, j a k to czytelnik wie z elemen
tarnej arytmetyki, różnią się między sobą tem, że ułamek y ma najniższą cyfrę o jednostkę większą od najniższej cyfry ałainka a (zob. powyżej ciągi I i li).
XX
z nich grupy cyfr powtarzających się; ciągiem pierwszym będzie ciąg;
(III) 1*7, 1-73, 1-732, 1-7320, 1-73205,...
drugim, zawierającym przybliżenia przez nadmiar, będzie ciąg:
(IV) 1-8, 1-74, 1-733, 1-7321, 1-73206,...
W tej materji niestety we wielu podręcznikach elementarnych panuje chaos (zob. także § 79).
Wzory matematyczne, z którymi czytelnik się będzie spotykał w niniejszym podręczniku będą niemal wyłącznie albo równościami albo nierównościami. Zajmiemy się najpierw pierwszemi, a specjalnie równaniami.
W elementarnej algebrze rozważa się równania t. zw. alge
braiczne stopnia 1-go i 2-go o jednej i więcej niewiadomych, rów
nania niewymierne, ja k i równania goniometryczne. Przejdziemy je pokrótce.
Weźmy pod uwagę układ dwu równań jednoczesnych o dwu niewiadomych x, y stopnia 1 go t. j. równania (3) a x -\- b y — c, d x -f- f y = g, gdzie a, b, c, d, f . g oznaczają dane liczby; szukamy liczb x, y, któreby spełniały równocześnie oba równania (3). Za
łóżmy na chwilę, że takie liczby x, y istnieją. Pomnóżmy pierwsze z równań (3) przez / , drugie przez b i odejmijmy je od siebie, a otrzymamy równość (4) (a f — d b ) x — c f — gb, skąd postaramy się obliczyć liczbę z; jeżeli jest różnica a f — db =j= 0, to możemy przez nią podzielić i wtedy otrzymamy (5) x = g^ -~ Podob
nie pomnóżmy pierwsze z równań (3) przez d. drugie przez a i odej
mijmy je od siebie, to otrzymamy: (6) ( a / — db)y = ag — cd, skąd przy założeniu, źe jest a f — db^= 0, mamy (7) y = ^ ~ —— Wi dzimy tedy, że, jeżeli liczby x, y, spełniające równania (3), istnieją i jeżeli jest a f — db 0, to liczby #, y wyznacza się ze wzorów (5) i (7). Czytelnik niech sprawdzi przez podstawienie tych liczb w równania (3), że rzeczywiście spełniają1) równania (3). Wzory (5) i (7) napiszemy jeszcze w inny sposób. Różnicę a f — db napi
szemy pod postacią schematu : ' \ , który nazywamy wyznaczni-
\ “i /
') Zbiór par x , y, spełniających równania (3), je s t więc jednostkowym.
XXI
kiem rzędu 2-go i który ma właśnie ową różnicę przedstawiać, c, b
Wtedy jest x a, ł>\ cj . \a, b I 9- . f ‘ / ' ! ’ i/: ’ 'A f\
W tej postaci łatwiej zapamiętać wzory (5) i (7), trzeba tylko dobrze się przypatrzyć temu, jak z wyznacznika, który jest w dziel
niku, tworzy się wyznacznik dzielnej, tak dla liczby x, ja k dla liczby y. Wyznacznik, jak już z powyższego widzimy, jest to wy
godna postać notowania wielomianów specjalnego, a często powta
rzającego się kształtu.
Inaczej się rzecz przedstawia, gdy jest a f — d b = 0, wtedy równań (4) ani (6) nie wolno dzielić przez różnicę a f — ¿6 = 0!
Jeżeli przynajmniej jedna z różnic c f — gb, ag - cd nie jest równą zeru, to albo równość (4) albo równość (6) zawiera sprzeczność czyli w tym przypadku równania (3) nie mogą być spełnione') przez żadne liczby x, y [np. 3x-f-4 y = 7, 6^ - | - 8y — 15].
Rzecz ipna, gdy a f — db— 0, c f — gb = 0, a g — cd = 0, wtedy równości (4) i (6) mają postać 0.a; = 0, 0.?/ = 0 i wprawdzie nie pozwolą wyznaczyć liczb x, y, ale też nie zawierają sprzeczności i przeto nie wykazują, że równania (3) nie posiadają wcale roz
wiązań na niewiadome x, y. Zajmiemy się tym przypadkiem, ale przy założeniu, że z czterech liczb a, b, d, /, będących współczyn
nikami niewiadomych, conajmniej jedna nie jest równa zeru np. niech na pewne będzie a ^ 0 . Wtedy równość a f — db — 0 d a j e / = zaś równość ag — cd — 0 daje g = — ; połóżmy dla krótkościcd
^ = X czyli d — Aa. wtedy f = b X , g — cX. Wobec tego drugie z równań (3) przyjmie postać A (ax-\- by) = Zc, co wykazuje, że drugie z równań będzie już spełnione, gdy niem będzie pierwsze z nich, wobec czego dość rozwiązać pierwsze z nich. Pierwsze zaś można spełnić w nieskończenie wiele sposobów; dość bowiem obrać dowolnie wartość na niewiadomą y i potem przyjąć x = . C— | Jeżeli więc jest a f — db = 0. c f — gb = 0, ag — cd = 0 i jeżeli jest a =f= 0, to wszystkie liczoy x , y , spełniające równania (3), otrzy
mamy, obierając dowolnie liczbę y , a potem obliczając liczbę x
1) Zbiór rozwiązań równań (3) wtedy je st pustym.
XXII
z równości x — -—~~'^j co wykazuje, że jest nieskończenie wiele par liczb (&, y), spełniających równania (3), kiedy w przypadku a f — db -{= 0 istniała tylko jedna taka para.
Przejdźmy teraz do równania stopnia 2go: (8);r2- j-p x -f- 2 = 0, gdzie p, q są liczbami rzeczy wistemi danemi. Otóż elementarna alge
bra podaje następujące twierdzenie: gdy jest p i — 4 q '> 0, to równanie (8) posiada dwa rozwiązania rzeczywiste, od siebie różne; gdy jest p*—4q = 0, to równanie (8) posiada jedno rozwiązanie i ono jest rzeczywi
ste; gdy wreszcie jest p*— 4q <c 0, to równanie (8) nie posiada żadnego rozwiązania rzeczywistego. Z tego powodu, że wyrażenie p - — 4q służy za podstawę do wyróżnienia trzech przypadków, nazywamy wyra
żenie p l — 4 q wyróżnikiem równania (8). Gdy ten wyróżnik jest nie- ujemnym, to rozwiązania podaje wzór x = — ± J / ^ ---- 2- P°"
wyższe tw. pozwoli nam rozwiązać dalsze zagadnienie, a mianowicie trójman x*-|- p x - \ - q rozłożyć na iloczyn dwu czynników stopnia Igo względem x t. zn. znaleźć liczby rzeczywiste a, /? takie, że dla każdej wartości rzeczywistej x jest x * -\- p x - \-q — {x — a ) { x — /?) Jeżeli to zagaduienie ma rozwiązanie, to wtedy równanie (8) ma postać (x - a)(x — P)— 0, a że iloczyn jest zerem, gdy przynaj
mniej jeden z czynników jest zerem, więc widzimy, że a, ¡3 mają być rozwiązaniami rzeczy wistemi równania (8). Jeżeli więc p 2—4 q < 0, to takich liczb rzeczywistych a,'/? niema. Załóżmy, że je s t p 2 —
— 4 j ^ 0 , wtedy równanie (8) ma rozwiązania rzeczywiste. Weźmy l _
2 i f - f - h więc pod uwagę iloczyn: x — | — | r “l“ J / ^ ' ~ ~
~ ~ y \ —-?| • 0tóż ten iloczyn daje jar-f | — J / ^ —
w — I x ) — l~---q\ — x * p x q . Teinsamem za- +
danie rozwiązaliśmy.
Żeby więc trójm an stopnia '2go x l -{-p x -\-q rozłożyć na czyn
niki stopnia Igo o współczynnikach rzeczywistych, trzeba rozwiązać pomocnicze równanie (8); jeżeli ono ma rozwiązania rzeczywiste a, [i (gdzie może .być a — (i), to x i -|- px -j- q — (x — a) ( x — (3).
Stąd wyciągamy następujące wnioski: 1) gdy jest a<C|3, to trójmian x i J r p x - \ - q przyjmuje wartość dodatnią, gdy jest x < ^ a
X X I I I
lub x > /?, a wartość ujemną, gdy a < 2) gdy « = /?, to trójmian x i -\-p x -\~ q ma postać (a;— a)° i przyjmuje wartość do
datnią, gdy x=|= a; 3) gdy p i — 4 q < i ) , to x i - \- p x - \ - q — —
— ~ (p* ■— 4<?) a więc jest sumą dwu składników , ---- t ? 2 — z których pierwszy jest liczbą nieujemną, drugi
4:
liczbą dodatnią; przeto trójmian przyjmuje wartość ¡dodatnią dla każdej liczby x.
Rozwiążmy obecnie następujące zagadnienie: znaleźć głębokość szybu, gdy po 4 sekundach słychać uderzenie kamienia o dno szybu, skoro kamień wrzucono do szybu z-początkową prędkością równą zeru. Głębokość szybu niech wynosi s metrów; kamień — co przyj
mujemy — będzie spadał ruchem opisanym na str. 2 (przykład 4);
przyspieszenie ziemskie przyjmijmy okrągło 10 (dokładniej 9‘8l);
niech t sekund kamień spada, zaś t sekund niech trwa ruch fal głosowych od dna do otworu szybu, to # —j— -r = 4; jeżeli prędkość fal głosowych wynosi wynosi 333 (tn na sek.), to s = Ą . 10 . is, s = 333 % = 333 ( 4 — i), stąd 5 P = 1332 — 3 3 31 czyli ¿2-j-6 6 -6/ — 266'4 = 0. Otrzymaliśmy więc równanie stopnia 2-go, które ma dwa pierwiastki, jeden dodatni, drugi ujemny, ostatni nie ma żadnego znaczenia dla rozważanego zagadnienia. Jest więc t — — 33’3 -f~
+ Y & W + Z m j k = 3 .78, s = 333(4—i) = 3 3 3 .0-22 = 73-2.6, a więc głębokość szybu wynosi okrągło 73 w.
Z równań niealgebraicznych rozważmy jedynie równanie go- niometryczne sinx = 0. Otóż ono ma nieskończenie wiele rozwiązań, zawartych w ogólnym wzorze: # = 1 8 0 ° n , gdzie?» oznacza dowolną liczbę całkowitą, ujemną, dodatnią lub zero, co łatwo stwierdzić na mocy zasady indukcji zupełnej (zob. wyżej). Ze innych rozwiązań to równanie nie ma, wynika bezpośrednio ze znanych czytelnikowi ■ własności funkcji sinx.
Przejdźmy teraz do nierówności, które napiszemy pod postacią a<C.b. Udowodnimy następujące twierdzenia, które mówią o prze
kształceniach nierówności.
Tw. V II. Jeżeli jest a<Cb, zaś c dowolną liczbą rzeczywistą, to jest też a -f- c < b -j- c. Rzeczywiście jest (6 -f- c) — (« + c) =
= b — a > 0 . a więc b -f- c > a -{- c, skąd wynika, źe jest
< b -f- c.
XXIV
Tw, V III. Jeżeli jest a<^b, to jest też a —- b < O (i O < b — o).
To wynika z tw. VII, gdy położymy c — — b.
Tw. I X . Jeżeli jest a < & i jeżeli jest c > 0 , to jest też ac<^bc;
jeżeli jest a <^b i jeżeli jest e ^ O , to jest ac^ bc. Skoro jest a < 6, to jest b — o > 0, gdy nadto jest e > 0, to iloczyn (b — a)c, jako iloczyn dwu liczb dodatnich jest też liczbą dodatnią, a więc jest (b — a )c > -0 czyli jest bc— ac^>0, skąd ac<^bc. Jeżeli zaś a < ib . c^= 0, to (b— a )c~ ^0, a więc be— a c ^ O czyli a c ^ b c .
Tw. X . Jeżeli jest a< ib. c > 0 , to jest — To twierdzenie c c
łatwo udowodnić niewprost na mocy tw. IX.
Iw. X I . Jeżeli jest a < b, zaś c oznacza dowolną liczbę rzeczy
wistą, to jest c — a ^ > c — b. Jakoż jest (c— a) — (c — b) — c — a — c-j-& = Z> — a > 0, co dowodzi twierdzenia.
c c
Tw. X I I . Jeżeli jest 0 <C a <^b, o > 0, to jest — > Rzeczy-
. . . c c c(b — a) , . , .
wiacie mamy — — — 5 a ‘e Je3t " — a > 0.
¿ > •0 , więc jest —— > 0, o co nam chodziło pośrednio. Zwra
camy uwagę czytelnika na powyższe twierdzenia, bo początkujący częstokroć pomijają założenia, wskutek czego mogą dojść do błęd
nych wyników.
Tw. X I I I . Jeżeli jest 0 < a <C to jest też a* < bl.
Dotychczasowe rozważania z elementarnej analizy uzupełnimy jeszcze jedną uwagą.
Częstokroć będziemy zmuszeni napisać sumę n składników,, gdzie w ^ 2 ; sumę tę możemy napisać we formie a -\-b -\-c-\- ...Ą -L przyczem kropki mają zastępować niewypisane składniki, których ilość zależy od liczby n. Taki sposób pisania jest jednak niepraktycznym, bo ani z niego nie widać bezpośrednio ilości składników sumy ani też niewiadomo, który składnik jest 4-tym, 5 ty m ,.... z kolei. Dla
tego wszystkie składniki sumy oznaczymy jedną literą np. a, którą opatrzymy numerem u dołu tak, iż składnikiem pierwszym będzie Oi,' składnikiem drugim os,.... dziesiątym a10,.... ?i-tym an. Znak tej sumy będzie więc fl, —f- a* —J—.... -)- a„ Zamiast tak długiego sposobu
•
. ... _ n
pisania użyjemy sposobu krótszego: H a,, gdzie grecka litera 2 i-i
nazywa się znakiem sumowym. Numer i składnika a, ma przybie
XXV
rać wszystkie wartości naturalne od liczby 1 do liczby n. Jest
4 8 n
więc 2 b{ = bz -f- ¡hi ^ ci “ e& -f- ce H~ r7 “f" c8 • Przez znak ¿ a „
<«•3 ł-»5 <«»»»
gdzie m < n, przytem tn, n oznaczają liczby cale, rozumiemy sumę, w której składnikami są liczby a„ przyczem numer (wskaźnik) i przyjmuje kolejno wszystkie wartości całkowite od liczby m do liczby n. Jeżeli m < n, to przez znak at rozumiemy to samo, co
i-»7ł
n m
przez sumę S a ,\ wreszcie przez znak 2 a t rozumiemy jedną liczbę bm.
l-m i-m
C) Z geomctrji elementarnej.
Pojęcie stosunku dwu odcinków, dwu kątów, dwu pól itd;, opiera się na pojęciu mierzenia. Przez stosunek bowiem dwu np. kątów np.
kąta A do kąta B rozumiemy liczbę mierząca kąt A , gdy kąt B przyjmiemy za jednostkę mierzenia Dla wielu rodzajów wielkości powszechna umowa określiła stałe jednostki i załóżmy, że jednostką konwencjonalną mierzenia kątów jest kąt O. Otóż elementarna te- orja stosunków dowodzi, że stosunek - równa się ilorazowi dzie-
A B
lenia stosunku —, przez stosunek Podobne twierdzenie jest ważne
O (j
dla stosunku odcinków, pól, objętości. Jeżeli np. A , B, C oznaczają pola np. A pole 15 cm2, B pole 30 cm2, zaś C pole 1 cm 2, to sto
sunek ~ otrzymamy na podstawie cytowanego twierdzenia ~ =
A B 1
= 15:30 == p . Otóż pojęcie stosunku pozwala mierzyć wektory na jednej osi. Przez wektor rozumieć będziemy odcinek, który ma kierunek określony.
W ektor A B znaczy, że odcinek A B skierowano od A do B;
A jest punktem początkowym, B punktem końcowym wektora. Na wektorach wykonywamy działania, ja k dodawanie, odejmowanie i mnożenie. W yjaśnimy dwa pierwsze działania.
Niech będą dane dwa wektory O A i OB o wspólnym punkcie początkowym; albo oba leżą na jednej prostej albo tak nie jest.
1) Gdy oba leżą na jednej prostej, to weźmy na niej odcinek A C = OB, przyczem punkt C ma być tak obrany, by wektor AC był jednako skierowany, .jak wektor OB (powiadamy wtedy, że wektory
XXVI
OB i AC są sobie równe). Wektor OC nazywa się sumą wektorów OA i OB.
2) Gdy wektory OA i OB nie leżą na jednej prostej, rysu
jemy równolegtobok na bokach OA, OB, którego czwarty wierz
chołek oznaczmy przez C; otóż wektor OC nazywamy sumą wekto
rów OA, OB.
W obu przypadkach możemy przyjąć znakowanie OC =
= OA -f- OB. Podobnie można określić dodawanie -większej ilości wektorów. (Gdy wektory nie mają wspólnego punktu początkowego, to dla znalezienia ich sumy przenosi się je do wspólnego punktu początkowego). Aby określić różnicę OA — OB, wyszukajmy wek
tor OB' w następujący sposób: na prostej OB obierzmy punkt B ' tak, by punkt 0 był środkiem odcinka BB'. Przez różnicę O A — OB rozumiemy sumę OA-f- OB'. Radzimy czytelnikowi wykonać odnośne rysunki.
Najprostszym jest przypadek, gdy dane wektory leża wszyst
kie na jednej prostej, której nadajemy kierunek czyli na jednej
_ | ---1--- ;--- 1--- !--- j _ >
D O C J A B
Kys. II.
osi. Niech więc będą dane na osi punkty 0,./, różne od siebie (rys. II); niech oś będzie skierowaną od punktu 0 do punktu ./.
Za jednostkę miary przyjmiemy odcinek OJ. Weźmy na tej osi wektory AB, CD, o kierunkach od A do B , wzgl. od C do D.
Miarą wektora A B na rozważanej osi nazywamy liczbę, której bezwzględna wartość równa się stosunkowi —=-j, zaś znakiem jejA B
U J
jest znak dodatni lub ujemny zależnie od tego, czy kierunki wek
torów A B , OJ są zgodne, czy niezgodne. Stąd miara wektora A B według rys. II jest liczbą dodatnią, zaś miara wektora CD jest liczbą ujemną. Miarę wektora A B oznaczymy symbolem m(AB).
Przytoczymy twierdzenie Chalés’a ł), na które będziemy się często powoływali. Niech będzie danych ?i punktów na osi A V/ A i y ..
A„, przyczein jest n ^ 2 .
') Czytaj : Szala.
XXVII
Otóż z łatwością widaó. że jest:
Z ) -f- m(AsAs) + . . . . -f- m (4n_,4.) - f m(A„Ax) = 0, co można przy pomocy znaku sumowego także w następujący spo
sób napisać:
2 m ( A J . x+J) - f » » (Ł ln ) = 0.
X,“l
Jeszcze jedno podamy o wektorach twierdzenie, które często będzie używane. Niech na płaszczyźnie P leżą dwie'osie OJ, 0'J', przyczem odcinki OJ,
0 'J ' mają być sobie równe. Niech q> ozna
cza kąt między osiami, co niżej określamy. Na osi 0 ’J ' weźmy wektor A 'B ' i rzutujmy go prostopadle na oś OJ, przez co otrzymamy wektor A B na osi OJ.
Otóż między miarami m{AB), m(A'B') istnieje
następujący związek: m [ A B ) m { A ' B ' ) . cos <p; jest to twierdzenie o rzucie wektora. Kąt między osiami określa się elementarnie
w sposób następujący: na płaszczyźnie P obu osi OJ, 0 'J ' obierzmy jeden kierunek obrotów za dodatni (rys. I llb ): obróćmy jedną z osi w stałym kierunku (bez cofania) tak. by się nakryła z drugą i była z drugą zgodnie skie
rowaną; niech kąt, o który należało wykonać ten obrót, wynosi <p°, wtedy miarą tego kąta nazwiemy liczbę-j-ę) lub — zależnie od tego, czy obrót odbywał się w kierunku, przyjętym za dodatni, czy też w kierunku przeciwnym. Przez tę definicję miara kąta między osiami nie jest określoną jednowartościowo. ale w nieskończenie wiele sposobów można tę miarę obrać, jednakowoż, gdy się jedną zna, to wszystkie dadzą się przez nią wyrazić. Niech bowiem jedną będzie (rys. I llb ) liczba (¡p, to drugą będzie też
R-VjS. lll-
R\j6. lli-6.
xxvm
liczba (— cp), trzecią ^ = 360 — (p, czwartą — (p1= cp— 360, piątą
<jPj = 360 -j- <p, szóstą — <p-i — — Cp — 360 itd., każdy bowiem z tych kątów mógł być zatoczonym w kierunku dodatnim obrotów lub temuż przeciwnym. Wszystkie miary będą zawarte we wzorze:
± (p 360 .m, gdzie m oznacza dowolną liczbę całą, dodatnią, ujemną lub zero. (Czytelnik udowodni to na mocy zasady indukcji). Ale jest c o s (iq 9 -f - 3 6 0 w ) = cos(i(jp) — cos<jp; wszystkie tedy miary kątów między osiami, choć ich nieskończenie wiele, mają tę samą dostawę (ten sam cosinus).
D) Z geometrji analitycznej.
Sama nazwa wskazuje na to, źe geometrja analityczna jest połączeniem analizy i geometrji. źe zajmuje się figurami (utworami) geometrycznemi, których własności bada przy pomocy analizy t. j.
rachunkowo. W tym celu położenie punktu wyznacza się przy- po
mocy liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnemi.
Zajmijmy się najpierw płaszczyzną. Punkty jej, ja k wiadomo, określamy przy pomocy odciętej i rzędnej, które wyznaczamy w znany sposób, przyjmując układ K artezjusza') osi prostokątnych.
Weźmy pod uwagę kolo, którego środek S ma współrzędne (a, ß), zaś promień wynosi ę; otóż wiadomo, że odległość punktu M(x, y) koła [rozważanego, jako linja, a nie jako pole] od środ
ka S wynosi ę, a że odległość punktów M (x, y). S {a ,ß ) wynosi
\ { x — o)* + (y -/?)*, więc dla wszystkich punktów M (x ) y) koła b ę dzie Y{x — «)2 + \y — ß)"1 q- (i) (* — °02 -\-(y — ß)' — Q~- Otóż mówimy, że równanie ( 1) jest równaniem koła.
Zapytajmy ogólnie, co znaczy, że równanie R (x,y) = 0 jest równaniem pewnej figury płaskiej F ?.
Otóż równanie R(x, y) — 0 jest równaniem figury płaskiej F znaczy, że: a) kaidy punkt figury F ma współrzędne (¡r, y). speł
niające równanie R(x, y) = 0; b) każdy punkt o współrzędnych (rzeczywistych) (x, y), spełnia jących równanie li(x ,y ) — 0, leży
właśnie na figurze F.
Na tem określeniu się opierając, szukamy równania prostej, elipsy, hyperboli, paraboli itd.
Dla przykładu wyszukajmy równanie paraboli, które określi
liśmy na str. IX. Niech prosta stała (/) będzie prostopadłą do osi y
>i Rene Descartea (Cartesius), inatun atyk francuski, ur. 1696, um. 1650'
