W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo popularnym narz, edziem u˙zywanym w rachunku, wariacyjnym pozwalajacym dowodzi´, c istnienia punkt´ow krytycznych (niekoniecznie glo-balnych, czy warunkowych punkt´ow minimalnych) rozwa˙zanych funkcjonaÃl´ow.
Definicja 12 Niech I : H → R, gdzie H jest rzeczywista przestrzeni, a Hilberta.,
a) m´owimy, ˙ze odwzorowanie I jest r´o˙zniczkowalne w punkcie u ∈ H, je˙zeli istnieje v ∈ H takie, ˙ze I(w) = I(u) + (v, w − u) + o(kw − uk) ∀ w ∈ H, gdzie o(kxk) jest funkcja tak, a,,
˙ze o(kw−uk)kxk → 0 gdy kxk → 0. Element v ∈ H nazywamy pochodna I w punkcie u i, oznaczamy przez I0(u).
b) M´owimy, ˙ze I jest klasy C1(H; R) je˙zeli I(u) istnieje ∀ u ∈ H oraz odwzorowanie I0 : H → H jest ciagÃle. Oznaczmy dodatkowo symbolem CL zbi´, or wszystkich I ∈ C1(H; R) takich, ˙ze I0 jest lipszicowsko ciagÃla na zbiorach ograniczonych.,
c) Punkt u ∈ H nazywa sie punktem krytycznym, je˙zeli I, 0(u) = 0.
d) M´owimy, ˙ze I ∈ C1(H; R) speÃlnia warunek zwarto´sci Palais-Smale’a, je˙zeli dla ka˙zdego ciagu {u, k} ⊂ H zachodzi nastepuj, aca implikacja,
³
{I({uk})} jest zbiorem ograniczonym i lim
k→∞I0(uk) = 0
´
⇒ {uk} jest prezwarty w H . Oznaczmy przez Ac= {u ∈ H : I(u) ≤ c} oraz przez Kc = {u ∈ H : I(u) = c, I(u) = 0}.
Czyli c jest warto´scia krytyczn, a funkcjonaÃlu I, je˙zeli K, c6= ∅.
Twierdzenie 30 (o deformacji)
Niech I ∈ CL, speÃlnia warunek Palais-Smale’a oraz dla pewnego c zachodzi Kc = ∅.
Wtedy dla dowolnego, odpowiednio maÃlego ε > 0, istnieje 0 < δ < ε i funkcja η ∈ C([0, 1] × H; H) taka, ˙ze
(i) ∀ u ∈ H η0(u) = u,
(ii) ∀ u /∈ I−1([c − ², c + ²]) η1(u) = u, (iii) ∀ u ∈ H I(ηt(u)) ≤ I(u),
(iv) η1(Ac+δ) ⊂ Ac−δ gdzie ηt(u) = η(t, u).
Dow´od
Krok 1. Istnieja liczby dodatnie 0 < σ, ε < 1 takie, ˙ze kI, 0(u)k ≥ σ dla wszystkich u ∈ Ac+ε− Ac−ε.
ZaÃl´o˙zmy, ˙ze to nie prawda to istnieja ci, agi σ, k → 0, εk → 0 i wektory uk ∈ Ac+εk − Ac−εk
takie, ˙ze kI0(uk)k ≤ σk. Z warunku Palais-Smale’a istnieje podciag ci, agu ku, k} taki,
˙ze ukl → u∗ w H. Z wÃlasno´sci C1 funkcjonaÃlu I mamy I(u∗) = c oraz I0(u∗) = 0.
Otrzymali´smy sprzeczno´s´c z zaÃlo˙zeniem Kc= ∅.
Krok 2. Konstrukcja specjalnego pola wektorowego V : H → H
Wybierzmy δ > 0 tak, aby 0 < δ < ε, oraz 0 < δ < σ22. Oznaczmy A = {u ∈ H : I(u) ≥ c + ε lub I(u) ≤ c − ε}, B = {u ∈ H : c − δ ≤ I(u) ≤ c + δ}. Wprost z definicji tych zbior´ow widzimy, ˙ze A ∩ B = ∅. Ponadto na zbiorach ograniczonych w H mamy dist (u, A) + dist (u, B) jest funkcja odizolowan, a od zera (pochodna I, 0 jest ograniczona na
zbiorach ograniczonych). Zdefiniujmy
g(u) = dist (u, A)
dist (u, A) + dist (u, B) dla u ∈ H .
Funkcja g jest ciagÃla, 0 ≤ g ≤ 1 oraz g, |A = 0 i g|B = 1. PoÃl´o˙zmy h(t) = 1 dla t ∈ [0, 1] oraz h(t) = t−1 dla t ≥ 1. Wtedy funkcja V : H → H dana wzorem V (u) =
−g(u)h(kI0(u)k)I0(u) jest funkcja ograniczon, a (|V (u)k ≤ kI, 0(u)k) oraz lipszicowska na, zbiorach ograniczonych.
Krok 3. Definicja deformacji η.
Definiujemy η jako rozwiazanie nast, epuj, acego problemu ewolucyjnego, d
dtη(t) = V (η(t)) , η(0) = u , u ∈ H .
Problem ten posiada globalne w czasie rozwiazanie η(t, u). Funkcja η dla t ∈ [0, 1] jest, funkcja klasy C([0, 1] × H; H) i η, 0(u) = η(0, u) = u. Ponadto dla u /∈ I−1([c − ε, c + ε]) mamy g(u) = 0 i η(t, u) = η(0, u) = u. PozostaÃly jeszcze dwa warunki do sprawdzenia.
Krok 4. Sprawdzenie gÃl´ownych warunk´ow twierdzenia.
d
dtI(ηt(u)) = (I0(ηt(u)), d dtηt(u))
= (I0(ηt(u)), V (ηt(u)) = −g(ηt(u))h(kI0(ηt(u))k)kI0(ηt(u))k2 ≤ 0 . Stad I(η, t(u)) ≤ I(η0(u)) = I(u) i zostaÃlo tylko sprawdzi´c punkt (iv).
Niech u ∈ Ac+δ. Chcemy pokaza´c, ˙ze η1(u) ∈ Ac−δ. Wystarczy wiec aby dla pewnego, t ∈ (0, 1] ηt(u) /∈ B (warto´sci I(ηt(n)) nie rosna wraz z t). ZaÃl´, o˙zmy wiec, ˙ze tak nie jest, to znaczy, ˙ze ηt(u) ∈ B dla ka˙zdego t ∈ [0, 1]. Wtedy g(ηn(u)) = 1.
d
dtI(ηt(u)) = −h(kI0(ηt(u)k)kI0(ηt(u))k2. Je˙zeli kI0(ηt(u))k ≥ 1 to z definicji h mamy
d
dtI(ηt(u)) = −kI0(ηt(u))k ≤ −σ . Je˙zeli kI0(ηt(u))k ≤ 1 to
d
dtI(ηt(u)) = −kI0(ηt(u))k2 ≤ −σ2.
Stad I(η, t(u)) ≤ I(η0(u)) − σ2 = I(u) − σ2 ≤ c + δ − σ2 ≤ c − δ co oznacza, ˙ze η1(u) ∈ Ac−δ. Twierdzenie 31 (o przeÃleczy g´, orskiej)
Niech I ∈ CL speÃlnia warunek Palais-Smale’a. Ponadto zaÃl´o˙zmy, ˙ze (i) I(0) = 0,
(ii) ∃ r, a > 0 I(u) ≥ a dla kuk = r,
(iii) ∃ v ∈ H takie, ˙ze kvk > r oraz I(v) ≤ 0.
Niech Γ = {γ ∈ C([0, 1]; H) : γ(0) = 0, γ(1) = v}. Wtedy liczba c = infγ∈Γsupt∈[0,1]I(γ(t))
jest warto´scia krytyczn, a I.,
Dow´od Z zaÃlo˙ze´n wynika, ˙ze c ≥ a. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze c nie jest warto´scia krytyczn, a, czyli, Kc = ∅. Wybierzmy ε > 0 tak maÃle aby 0 < ε < a2. Z twierdzenia o deformacji ist-nieje 0 < δ < ε oraz η : H → H ciagÃla taka, ˙ze η(A, c+δ) ⊂ Ac−δ oraz η(u) = u dla u /∈ I−1([c − ε, c + ε]). Wybierzmy droge γ tak, a, ˙ze max, t∈[0,1]I(γ(t)) ≤ c + δ. Wtedy ˆ
γ = η ◦ γ jest te˙z droga ze zbioru Γ (η(γ(0) = η(0) = 0 oraz η(γ(1)) = η(v) = v). Waru-, nek η(Ac+δ) ⊂ Ac−δ implikuje, ˙ze I(ˆγ(t)) = I(η(γ(t)) ≤ c − δ co jest sprzeczne z definicja, liczby c.
Zastosujemy udowodnione twierdzenie o przeÃleczy g´, orskiej do analizy nieliniowego zagad-nienia wÃlasnego dla operatora −∆ z nieliniowo´scia posiadaj, ac, a subkrytyczny wzrost., PrzykÃlad Niech Ω ⊂ Rn z n ≥ 3 bedzie obszarem ograniczonym z gÃladkim brzegiem., Rozwa˙zamy nastepuj, ace semiliniowe r´, ownanie eliptyczne
−∆u(x) = f (u(x)) w zbiorze Ω , u∂Ω = 0 ,
gdzie f : R → R jest zadana funkcj, a gÃladk, a speÃlniaj, ac, a warunki wzrostu |f (z)| ≤ C(1 +,
|z|p), |f0(z)| ≤ C(1 + |z|p−1) przy czym C > 0 oraz 1 < p < n+2n−2 (jest to zaÃlo˙zenie o subkrytycznym wzro´scie p + 1 < 2∗ = n−22n ). Ponadto zakÃladamy, ˙ze funkcja pierwotna znikajaca w zerze F (z) =, Rz
0 f (t) dt speÃlnia 0 ≤ F (z) ≤ γf (z)z ze staÃla γ ∈ (0,, 12), a|z|p+1 ≤ F (z) ≤ A|z|p+1 dla pewnych staÃlych a, A > 0. Z zaÃlo˙ze´n tych wynika, ˙ze f (0) = 0 i dlatego u ≡ 0 jest trywialnym rozwiazaniem rozwa˙zanego zagadnienia. ÃLatwo, sprawdzi´c, ˙ze wszystkie powy˙zsze zaÃlo˙zenia speÃlnia funkcja f (u) = |u|p−1u z funkcja, pierwotna (p + 1)F (p) = |u|, p+1.
Twierdzenie 32
Istnieje nietrywialne sÃlabe rozwiazanie u ∈ H, 10(Ω) wy˙zej postawionego problemu.
Dow´od Zastosujemy twierdzenie o przeÃleczy g´, orskiej do funkcjonaÃlu I(u) =
Z
Ω
(1
2|∇u|2 − F (u)) dx = 1
2kuk2− Z
Ω
F (u) dx = I1(u) − I2(u)
zdefiniowanego dla dowolnego u ∈ H10(Ω). Przestrze´n ta rozwa˙zamy z norm, a kuk, 2 = R
Ω|∇u|2dx r´ownowa˙zna standardowej normie tej przestrzeni Sobolewa., Krok 1. I ∈ CL.
I1(w) = 1
2kwk2 = 1
2ku + w − uk2 = 1
2kuk2+ (u, w − u) +1
2kw − uk2
i stad natychmiast I, 10(u) = u dla dowolnego u ∈ H10(Ω). Ponadto I10 jest lipszicowska.
ZostaÃlo zanalizowa´c I2.
Niech v∗ ∈ H−1(Ω). Problem brzegowy −∆v = v∗ z jednorodnym warunkiem brzegowym typu Dirichleta ma dokÃladnie jedno rozwiazanie v = Kv, ∗ ∈ H10(Ω). Operator rozwiazuj, acy, K : H−1(Ω) → H10(Ω) jest izometria (kvk, 2 = < v∗, v > ≤ kv∗kkvk oraz < v∗, w > = <
v, w > ≤ kvkkwk ⇒ kv∗k ≤ kvk). Zauwa ˙my, ˙ze je˙zeli w ∈ Ln+22n (Ω) to odwzorowanie u 7→ R
Ωwu dx jest ciagÃlym funkcjonaÃlem nad H, 10(Ω) ((n+22n )−1 + (n−22n )−1 = 1 oraz 2∗ =
2n
n−2). Ponadto dla u ∈ H10(Ω) mamy f (u) ∈ Lr(Ω) je˙zeli rp ≤ 2∗. Dla r = n+22n mamy
2n i zostaÃlo zanalizowa´c reszte R.,
|R| ≤ C poniewa˙z p + 1 ≤ 2∗. W ostatnim oszacowaniu u˙zyli´smy nier´owno´sci H¨oldera z potegami,
p+1
p−1 i p+12 do ostatniego wyrazu. Poka˙zemy teraz, ˙ze odwzorowanie I20 jest lipszicowskie na zbiorach ograniczonych.
i funkcja C(kuk, kvk) jest ograniczona gdy kuk i kvk sa ograniczone. St, ad natychmiast, I2 ∈ CL i ostatecznie I ∈ CL.
Krok 2. I speÃlnia warunek Palais-Smale’a.
Niech {I(uk)} bedzie ci, agiem ograniczonym oraz I, 0(uk) → 0 gdy k → ∞. Wiec u, k − co dla ε = 1 prowadzi do nier´owno´sci
Z
Z zaÃlo˙zenia 0 < 2γ < 1 i dlatego ciag {ku, kk} jest ograniczony. Tak wiec istnieje podci, ag, sÃlabo zbie˙zny ukl * u w przestrzeni H10(Ω) i ukl → u w Lp+1(Ω) poniewa˙z p + 1 < 2∗. Z warunku wzrostu dla f i f0 wnioskujemy, ˙ze f (ukl) → f (u) w Lp+1p (Ω):
Z
Ω
|f (v) − f (u)|p+1p dx ≤ Z
Ω
|f0(λu + (1 − λ)v)|p+1p |u − v|p+1p dx
≤ (H¨older z wykÃladnikami p p − 1, p)
≤³Z
Ω
|f0(λu + (1−)v)|p+1p−1dx´p−1p ³Z
Ω
|u − v|p+1dx´1p
≤ C³Z
Ω
(1 + |u|p−1+ |v|p−1)p+1p−1 dx´p−1p
ku − vk
p+1 p
Lp+1
≤ C(kukLp+1, kvkLp+1)ku − vk
p+1 p
Lp+1.
Stad, ˙ze, p+1p = 1 +1p > 1 +n−2n+2 = n+22n mamy, ˙ze ciag f (u, kl) → f (u) w Ln+22n (Ω) co oznacza,
˙ze tak˙ze f (ukl) → f (u) w H−1(Ω). K jest izometria, a wi, ec K(f (u, kl)) → K(f (u)) w przestrzeni H10(Ω). Czyli
ukl = K(f (ukl)) + ukl− K(f (ukl)) → K(f (u)) w H10(Ω) . Stad ci, ag {u, k} jest prezwarty w H10(Ω).
Krok 3. (pozostaÃle zaÃlo˙zenia twierdzenia o przeÃleczy g´, orskiej)
Wprost z definicji I(0) = 0. Niech kuk = r wtedy I(u) = 12r2 − I2(u) oraz
|I2(u)| = | Z
Ω
F (u) dx| ≤ A Z
Ω
|u|p+1dx = Akukp+1
Lp+1 ≤ Ckukp+1
L2∗ ≤ Ckukp+1= Crp+1. Razem I(u) ≥ r22 − Crp+1≥ r42 = a, gdy r jest odpowiednio maÃle (p + 1 > 2). Niech teraz u ∈ H10(Ω) i u nie jest funkcja zerow, a. Poszukamy wektora v = tu takiego, ˙ze kvk > r, oraz I(v) ≤ 0.
I(v) = I1(tu) − I2(tu) = t2I1(u) − Z
Ω
F (tu) dx ≤ t2I1(u) − atp+1 Z
Ω
|u|p+1dx < 0 , je˙zeli tylko t jest odpowiednio du˙za liczb, a. Z twierdzenia o przeÃl, eczy g´, orskiej istnieje u ∈ H10(Ω) takie, ˙ze I0(u) = 0 co oznacza, ˙ze u = K(f (u)) a to jest z definicji operatora K r´ownowa˙zne r´owno´sci wariacyjnej
∀ v ∈ H10(Ω) Z
Ω
∇u · ∇v dx = Z
Ω
f (u)v dx
i u jest sÃlabym rozwiazaniem problemu −∇u = f (u). Ponadto u nie jest funkcj, a zerow, a, poniewa˙z I(u) ≥ a > 0 a I(0) = 0.
Uwaga
1. ZaÃlo˙zenie f (u)u ≥ 0 m´owi nam, ˙ze f (u) ≥ 0 dla u ≥ 0 oraz f (u) ≤ 0 dla u ≤ 0.
Oznaczmy przez f+funkcje zdefiniowan, a nast, epuj, aco f, +(u) = f (u) dla u ≥ 0 i f+(u) = 0
dla u < 0. Podobnie definiujemy f−. Zauwa˙zmy, ˙ze f+i f− speÃlniaja wszystkie zaÃlo˙zenia, powy˙zszego twierdzenia ((f±)0 jest wtedy sÃlaba pochodn, a!). St, ad je˙zeli zdefiniujemy,
I±(u) = 1 2
Z
Ω
(|∇u|2F±(u)) dx , gdzie F±(u) = Z u
0
(f±(s) ds
to z udowodnionego twierdzenia wynika, ˙ze istnieja sÃlabe rozwi, azania u, ± ∈ H10(Ω) pro-blemu −∆u = f±(u). Ze sÃlabej zasady maksimum wynika, ˙ze u+ ≥ 0 oraz u− ≤ 0 i funkcje u+ oraz u− sa r´, o˙znymi, nietrywialnymi rozwiazaniami problemu −∆u = f (u)., 2. Je˙zeli f jest funkcja nieparzyst, a to stosuj, ac inn, a wersj, e (symetryczn, a) twierdzenia o, przeÃleczy g´, orskiej mo˙zna pokaza´c, ˙ze powy˙zszy problem posiada niesko´nczenie wiele nie-trywialnych rozwiaza´, n. Twierdzenie to korzysta z teorii indeksu odwzorowania. (Patrz M. Struwe - Variational methods Springer).
Fakt Je˙zeli funkcjonaÃl I : H → R jest klasy C1, speÃlnia warunek Palais-Smale’a oraz jest ograniczony z doÃlu to c = infHI(u) jest warto´scia krytyczn, a I.,
Dow´od
1. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze istnieje u∗ ∈ H takie, ˙ze I(u∗) = c. Wtedy mamy I(w) = I(u∗) + (I0(u∗), w − u∗) + o(kw − u∗k) i stad, ˙ze c = inf, HI(u) otrzymujemy 0 ≤ (I0(u∗), w − u∗) + o(kw − u∗k). Niech w = u∗+ λv to wtedy 0 ≤ (I0(u∗), λv) + o(kλvk). Dzielac przez kλvk, i przechodzac z λ do zera dostajemy 0 ≤ (I, 0(u∗),kvkv ). Stad z dowolno´sci v otrzymujemy, I0(u∗) = 0.
2. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze nie istnieje u∗ ∈ H takie, ˙ze I(u∗) = c. Niech {uk} bedzie ci, agiem, minimalizujacym tzn. takim, ˙ze I(u, k) → c. Tak wiec ci, ag {I(u, k)} jest ograniczony.
Wykorzystujac klas, e I oraz fakt, ˙ze c = inf, HI(u) mo˙zna wykaza´c, ˙ze I0(uk) → 0. Sto-sujac warunek Palais-Smale’a otrzymujemy, ˙ze ci, ag {u, k} jest prezwarty. ÃLatwo widzimy,
˙ze punkt skupienia u∗ tego ciagu musi speÃlnia´, c I(u∗) = c co prowadzi do sprzeczno´sci i ko´nczy dow´od.
Przeanalizujemy jeszcze jedno zastosowanie twierdzenia o przeÃleczy g´, orskiej.
PrzykÃlad Rozwa˙zmy teraz nastepuj, acy problem nieliniowy: Ω ⊂ R, n (n ≤ 3) obszar z gÃladkim brzegiem. Szukamy u : Ω → R takiej, ˙ze
−∆u(x) = λg(u(x)) w zbiorze Ω , u|∂Ω = 0 ,
gdzie g ∈ C1(R) i |g(s)| ≤ C(1 + |s|p) przy czym ponownie 1 < p < n+2n−2. ZakÃladamy te˙z,
˙ze |g0(s)| ≤ C(1 + |s|p−1) oraz w pobli˙zu punktu s = 0 g(s) zachowuje sie jak cs, 2 z c > 0.
Ponadto niech istnieje r > 0 takie, ˙ze g|(0,r) > 0 i g(0) = g(r) = 0. (Jako przykÃlad mo˙ze sÃlu˙zy´c funkcja g(s) = s2− s3).
Twierdzenie 33
Powy˙zszy problem posiada dwa nieujemne i nietrywialne sÃlabe rozwiazania: je˙zeli λ >, λ∗ > 0 (czyli dla odpowiednio du˙zych warto´sci λ).
Dow´od Ponownie chcemy zastosowa´c twierdzenie o przeÃleczy g´, orskiej. Oznaczmy przez g+(s) nastepuj, ac, a funkcj, e g, +(s) = g(s) dla s ∈ [0, r] oraz g+(s) = 0 dla s /∈ [0, r].
Funkcja g+(s) jest globalnie lipszicowska o zwartym no´sniku. Niech G+(s) =Rs
0 g+(t) dt.
Z powy˙zszych zaÃlo˙ze´n wynika, ˙ze G+≥ 0 jest funkcja ograniczon, a. Ponadto zachodzi osza-, cowanie G+(s) ≤ cs. ÃLatwo zauwa˙zmy, ˙ze funkcjonaÃl I(u) = 12R
Ω(|∇u|2 − λG+(u)) dx =
1
2kuk2− λR
ΩG+(u) dx zdefiniowany na H10(Ω) z norma, qR
Ω|∇u|2dx jest klasy (CL). (g+ jako funkcja o zwartym no´sniku speÃlnia warunki wzrostu podkrytycznego). Poka˙zemy, ˙ze funkcjonaÃl I speÃlnia warunek zwarto´sci Palais-Smale’a. Niech zatem dla pewnego ciagu, {uk} zachodzi {I(uk)} jest ciagiem ograniczonym oraz I, 0(uk) = uk− λK(g+(uk)) → 0 w przestrzeni H10(Ω). Ograniczono´s´c {I(uk)} daje nam
C ≥ 1
2kukk2− |λ|ckukkL1 ≥ 1
2kukk2− |λ|ckukkL2 ≥ 1
2kukk2− |λ|ckukk
i stad, 12kukk2− |λ|ckukk − C ≤ 0 i ciag {ku, kk} jest ograniczony. Wiec istnieje podci, ag, sÃlabo zbie˙zny ukl * u w H10(Ω). Podobnie jak w poprzednim przykÃladzie mamy g+(ukl) → g+(u) w H−1(Ω) co oznacza, ˙ze K(g+(ukl)) → K(g+(u)) w H10(Ω) i ciag {u, k} posiada podciag zbie˙zny w H, 10(Ω). Oznaczmy przez b = infu∈H1
0(Ω)I(u). Z ostatniego faktu wynika,
˙ze b jest warto´scia krytyczn, a funkcjonaÃlu I. Poka˙zemy, ˙ze je´sli λ jest odpowiednio du˙z, a, liczba dodatni, a to b < 0. Niech ϕ ∈ C, 0∞(Ω) i ϕ(x) ∈ (0, r) dla ka˙zdego x ∈ Ω. Wtedy R
ΩG+(ϕ) dx > 0 i I(ϕ) = 12kϕk2− λR
ΩG+(ϕ) dx < 0 je˙zeli tylko λ jest odpowiednio du˙za, liczba. St, ad istnieje punkt krytyczny u, b ∈ H10(Ω) taki, ˙ze I(ub) = b < 0. ubjest oczywi´scie nietrywialnym rozwiazaniem i Ãlatwo pokazujemy, ˙ze u, b(x) ∈ [0, r] dla prawie wszystkich x ∈ Ω. Z drugiej strony warunek, ˙ze g(s) w pobli˙zu zera zachowuje sie jak cs, 2 implikuje,
˙ze G+(s) ≤ cs3 w pobli˙zu zera. Stad dla kuk = r, I(u) = 1
2r2− λ Z
Ω
G+(u) dx ≥ 1
2r2− λc Z
Ω
|u|3dx ≥ 1
2r2 − λCr3
w pobli˙zu zera. Stad dla maÃlych r mamy I(u) ≥, 14r2 = a > 0. Oczywi´scie I(0) = 0 oraz znalezione ju˙z rozwiazanie u, b sÃlu˙zy´c nam bedzie jako v w twierdzeniu o przeÃl, eczy g´, orskiej.
kubk > r (ewentualnie zmniejszamy r aby tak byÃlo) i I(ub) < 0. Twierdzenie o przeÃleczy, g´orskiej dostarcza nam dodatniej warto´sci krytycznej c i punktu krytycznego uc 6= ub. Ponadto ucjako sÃlabe rozwiazanie problemu −∆u = g, +(u), u|∂Ω = 0 speÃlnia uc(x) ∈ [0, r]
dla prawie wszystkich x ∈ Ω. Tak wiec oba nieujemne i nietrywialne rozwi, azania s, a jed-, nocze´snie rozwiazaniami problemu −∆u = g(u), u, |∂Ω = 0.
Uwaga Gdy λ jest odpowiednio maÃle to w powy˙zszym przykÃladzie b = 0. Wtedy nie mo˙zemy stwierdzi´c, ˙ze punkt krytyczny ub nie jest funkcja zerow, a.,
Twierdzenie 34 (inna wersja twierdzenia o przeÃleczy g´, orskiej)
Niech funkcjonaÃl I : H → R bedzie klasy CL oraz speÃlnia warunek Palais-Smale’a. Po-, nadto zakÃladamy, ˙ze
(i) I(0) = 0,
(ii) ∃ r, a > 0 I(u) ≥ a dla kuk = r,
(iii) ∃ v ∈ H takie, ˙ze kvk > r oraz I(v) ≤ 0.
Niech Wv = {V ⊂ H : V jest otwarty , 0 ∈ V , v /∈ V }. Wtedy liczba b zadana przez b = supV ∈Wvinfu∈∂V I(u) jest warto´scia krytyczn, a funkcjonaÃlu I. Ponadto zachodzi, a ≤ b ≤ c.
Dow´od Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze kula otwarta B(0, r) ∈ Wv oraz infkuk=rI(u) ≥ a co oznacza, ˙ze b ≥ a. Ponadto niech γ ∈ Γ = {γ ∈ C([0, 1]; H) : γ(0) = 0 , i γ(1) = v}
wtedy dla dowolnego zbioru V ∈ Wv zachodzi ∂V ∩γ([0, 1]) 6= ∅ co prowadzi do oczywistej nier´owno´sci infu∈∂V I(u) ≤ supt∈[0,]I(γ(t)). Stad natychmiast b ≤ c. ZaÃl´, o˙zmy teraz, ˙ze b
nie jest warto´scia krytyczn, a I. Skorzystamy z nast, epuj, acej wersji twierdzenia o deforma-, cji. Wprowad´zmy oznaczenie ˆAb = {u ∈ H : I(u) ≥ b}.
Twierdzenie 35 (inna wersja twierdzenia o deformacji)
Niech funkcjonaÃl I : H → R bedzie klasy CL oraz speÃlnia warunek Palais-Smale’a oraz, liczba b nie jest warto´scia krytyczn, a I. Wtedy dla odpowiednio maÃlego ε > 0 istnieje, 0 < δ < ε i funkcja η ∈ C([0, 1] × H; H) taka, ˙ze
(i) ∀ u ∈ H η0(u) = u,
(ii) ∀ u /∈ I−1([b − ², b + ²]) η1(u) = u, (iii) ∀ u ∈ H I(ηt(u)) ≥ I(u),
(iv) η1( ˆAb−δ) ⊂ ˆAb+δ,
(v) η1 jest homeomorfizmem z H w H, gdzie ηt(u) = η(t, u).
Dow´od Dow´od tego twierdzenia przebiega identycznie do dowodu poprzedniego twier-dzenia o deformacji. Zamiast ujemnego pola V : H → H u˙zywa sie dodatniego odpo-, wiednika. Szczeg´oÃly zostawiamy zainteresowanemu czytelnikowi i wracamy do dowodu twierdzenia 34.
We´zmy ε > 0 tak maÃle, aby ε < a2 (wtedy b − ε > 0) i aby speÃlniaÃlo zaÃlo˙zenie twier-dzenia o deformacji. Wtedy istnieje 0 < δ < ε i homeomorfizm η : H → H takie, ˙ze η( ˆAb−δ) ⊂ ˆAb+δ oraz η(u) = u dla u /∈ I−1([b − ², b + ²]). ÃLatwo zauwa˙zamy, ˙ze η(0) = 0 i η(v) = v. Niech V ∈ Wv bedzie takim zbiorem, ˙ze inf, u∈∂V I(u) ≥ b − δ. η jest homeomor-fizmem wiec η(V ) jest zbiorem otwartym i ograniczonym (kη(t, u) − uk ≤ 1). Ponadto, 0 ∈ η(V ) gdy˙z 0 ∈ V i η(0) = 0. Mamy te˙z v /∈ η(V ) = η(V ) poniewa˙z v /∈ V i η(v) = v.
Ostatecznie wnioskujemy, ˙ze η(V ) ∈ Wv i inf
u∈∂η(V )I(u) = inf
u∈η(∂V )I(u) ≥ b + δ
co jest sprzeczne z definicja liczby b. Otrzymana sprzeczno´s´, c ko´nczy dow´od tego twier-dzenia.
Uwaga Mo˙zna nietrudno zauwa˙zy´c, nawet na elementarnych przykÃladach, ˙ze b mo˙ze by´c liczba istotnie mniejsz, a ni˙z c. Szczeg´, oÃly zostawiamy do samodzielnego przemy´slenia.
Twierdzenie 36 (jeszcze inna wersja twierdzenia o przeÃleczy g´, orskiej)
Niech funkcjonaÃl I : H → R bedzie klasy CL oraz speÃlnia warunek Palais-Smale’a. Po-,
nadto zakÃladamy, ˙ze (i) I(0) = 0,
(ii) istnieje v 6= 0 i V ∈ Wv takie, ˙ze I|∂V ≥ 0 oraz I(v) ≤ 0.
Wtedy liczba b zadana przez b = supV ∈Wvinfu∈∂V I(u) jest warto´scia krytyczn, a funkcjonaÃlu, I. Ponadto je˙zeli b = 0 to funkcjonaÃl I posiada punkt krytyczny na brzegu ∂V .
Dow´od Niech b > 0. Wtedy zakÃladajac, ˙ze b nie jest warto´sci, a krytyczn, a i posÃluguj, ac, sie inn, a wersj, a twierdzenia o deformacji (twierdzenie 35) z liczb, a ε <, 2b powtarzamy po-przedni dow´od i dochodzimy do sprzeczno´sci.
Niech b = 0. Stad, ˙ze 0 ∈ V i v /, ∈ V mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze min(dist (v, V ), dist (0, ∂V )) > 1 zmieniajac ewentualnie norm, e przestrzeni przez skalowanie. ZaÃl´, o˙zmy, ˙ze na brzegu ∂V nie ma punkt´ow krytycznych. Z warunku zwarto´sci Palais-Smale’a zbi´or punkt´ow kry-tycznych K0 jest zbiorem zwartym (je˙zeli jest zbiorem niepustym). Stad istnieje zbi´, or
otwarty Θ taki, ˙ze K0 ⊂ Θ oraz Θ ∩ ∂V = ∅. Z twierdzenia 35 o deformacji ist-nieja ε ∈ (0, 1), 0 < δ < ε oraz homeomorfizm η : H → H takie, ˙ze η( ˆ, A−δ) ⊂ ˆAδ (wyrzucamy ewentualnie punkty krytyczne dla warto´sci zero, kt´ore sa odizolowane od, zbioru, kt´orym sie zajmujemy). ∂V ⊂ ˆ, A−δ \ Θ a wiec η(∂V ) = ∂η(V ) ⊂ ˆ, Aδ i dlatego infu∈∂η(V )I(u) ≥ δ > 0. Wystarczy sprawdzi´c, ˙ze η(V ) ∈ Wv i otrzymamy sprzeczno´s´c.
Istnieje u ∈ H takie, ˙ze η(u) = 0. Stad, ˙ze kη(u) − uk = kuk ≤ 1 wnioskujemy u ∈ V, (dist (0, V ) > 1) i zbi´or otwarty η(V ) zawiera zero. Ponadto istnieje y ∈ H taki, ˙ze η(y) = v i kη(y) − yk = kv − yk ≤ 1. Wektor y /∈ V poniewa˙z dist (v, V ) > 1. Ostatecznie mamy wiec, ˙ze v /, ∈ η(V ) co ko´nczy dow´od.
Wniosek Niech funkcjonaÃl I : H → R bedzie klasy CL oraz speÃlnia warunek Palais-,
Smale’a. Je˙zeli I ma dwa r´o˙zne minima lokalne to posiada te˙z trzeci punkt krytyczny.
Dow´od Niech I(u1) ≥ I(u2). Niech I∗(u) = I(u) − I(u1). Wtedy I∗ speÃlnia zaÃlo˙zenia ostatniego twierdzenia i I posiada warto´s´c krytyczna wi, eksz, a ni˙z I(u, 1) lub r´owna I(u, 1).
W tym drugim przypadku istnieje punkt krytyczny na brzegu maÃlego otoczenia u1.