Nieliniowe problemy w technice

Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska

Nieliniowe problemy w technice

Krzysztof Chełmiński

1 Wstep_,

Skrypt ten zawiera podstawowe metody u˙zywane w nieliniowych r´ownaniach r´o˙zniczkowych czastkowych. Wszystkie zaprezentowane narz_, edzia teoretyczne s_, a zaraz u˙zyte w przykÃladach_, zaczerpnietych z nauk technicznych._, MateriaÃl tego skryptu bazuje na podstawowych wykÃladach z r´owna´n r´o˙zniczkowych czastkowych i analizy funkcjonalnej oraz na wykÃladzie_, z liniowych r´owna´n r´o˙zniczkowych czastkowych w przestrzeniach Sobolewa._,

Zawarto´s´c skryptu

2. Metoda monotoniczno´sci Minty’ego–Browdera.

• Metoda Minty’ego–Browdera (twierdzenie Minty’ego–Browdera; prezentacja me- tody na przykÃladzie nielinowego r´ownania eliptycznego i na przykÃladzie quasilinio- wego r´ownania hiperbolicznego).

3. Potoki gradientowe w przestrzeniach Hilberta.

• Elementy analizy wypukÃlej.

• Aproksymacja Yosidy operatora subr´o˙zniczki funkcji wypukÃlej, wÃla´sciwej i p´oÃlciagÃlej_, dolnie.

• Twierdzenie Brezisa o generowaniu nieliniowej p´oÃlgrupy dla operatora maksymal- nie monotonicznego typu gradientowego.(Zastosowanie wynikow do nieliniowego r´ownania parabolicznego w postaci dywergentnej).

• Zastosowanie poznanych technik operator´ow monotonicznych do ukÃladu zawierajacego_, liniowe r´ownanie eliptyczne sprze˙zone z nieliniowym r´_, ownaniem zwyczajnym.

4. Metody punktu staÃlego.

• Twierdzenie Banacha o punkcie staÃlym (zastosowanie tego twierdzenia w r´ownaniu reakcji–dyfuzji z lipszicowskimi nieliniowo´sciami).

• Twierdzenie o ε-punktach staÃlych dla odwzorowa´n nierozszerzajacych w przestrze-_, niach Banacha i twierdzenie o punkcie staÃlym dla odwzorowa´n nierozszerzajacych_, w przestrzeniach Hilberta.

• Twierdzenie Schaudera o punkcie staÃlym (projekcja Schaudera; twierdzenie Sch¨afera o punkcie staÃlym; zastosowanie poznanych twierdze´n do quasiliniowego r´ownania eliptycznego).

• Zasada Leray’a–Schaudera-Schaefera (zastosowanie do dowodu istnienia stacjonar- nych rozwiaza´_, n r´ownania Naviera–Stokesa).

• Inne twierdzenia o punktach staÃlych (twierdzenie Rothe, twierdzenie Pottera, twier- dzenie Browdera–Pottera).

5. Operatory pseudomonotoniczne i ich zastosowania.

• Elementy analizy wypukÃlej (demiciagÃlo´s´_, c, hemiciagÃlo´s´_, c, typ M ).

• Twierdzenie Brezisa o surjektywno´sci operator´ow pseudononotonicznych, ograni- czonych i koercytywnych (zastosowanie tego twierdzenia do analizy nieliniowego r´ownania eliptycznego w postaci dywergentnej z zaburzeniem semiliniowym).

6. Wybuchy rozwiaza´_, n r´owna´n r´o˙zniczkowych czastkowych i twierdzenia o nieistnieniu_, rozwiaza´_, n.

• R´ownanie Burgersa (metoda charakterystyk i metoda analityczna dowodu wybuchu rozwiazania)._,

• Nieliniowy problem wÃlasny operatora −∆ (r´owno´s´c Derricka–Pocho˙zajewa; twier- dzenie o nieistnieniu rozwiaza´_, n w przypadku nadkrytycznym).

7. Twierdzenie o przeÃleczy g´_, orskiej i jego zastosowanie.

• Twierdzenie o deformacji i twierdzenie o przeÃleczy g´_, orskiej.

• Twierdzenie o istnieniu rozwiaza´_, n w przypadku podkrytycznym.

• Inne warianty twierdzenia o przeÃleczy g´_, orskiej z zastosowaniami.

8. Metoda Perrona

• Funkcje sub- i superharmoniczne

• Twierdzenie Perrona

• Nad- i podrozwiazania r´_, owna´n eliptycznych

9. Rozwiazania lepko´sciowe r´_, ownania Hamiltona–Jacobiego.

• Motywacja wprowadzenia definicji rozwiaza´_, n lepko´sciowych.

• Definicja rozwiaza´_, n lepko´sciowych r´ownania Hamiltona–Jacobiego (zgodno´s´c tej de- finicji z rozwiazaniami klasycznymi)_,

2 Metoda monotoniczno´sci Minty’ego-Browdera

Rozwa˙zmy nastepuj_, acy problem brzegowy: niech Ω ⊂ R_, ⁿ bedzie obszarem ograniczonym_, z gÃladkim brzegiem, szukamy u : Ω → R takiego, ˙ze

−div a(Du) = f , u|∂Ω= 0 , (P )

gdzie f ∈ L²(Ω), a : Rⁿ → Rⁿ ciagÃle pole wektorowe. Pole wektorowe a wnosi nieli-_, niowo´sci do rozwa˙zanego ukÃladu. Gdyby pole a miaÃlo strukture gradientow_, a tzn. a(p) =_,

∇F (p), gdzie F : Rⁿ → R jest funkcja r´, o˙zniczkowalna to problem (P ) byÃlby ukÃladem_, Eulera-Lagrange’a nastepuj_, acego problemu wariacyjnego_,

min

v∈H¹₀

Z

Ω

(F (Dv) − f v) dx .

Problemami tego typu zajmuje sie rachunek wariacyjny. Je˙zeli a nie jest polem gradien-_, towym to metody rachunku wariacyjnego nie moga by´_, c zastosowane do problemu (P). O polu wektorowym a bedziemy zakÃlada´_, c, ˙ze jest monotoniczne.

Definicja 1 Pole wektorowe a : Rⁿ→ Rⁿ nazywamy monotonicznym, je˙zeli

∀ p, q ∈ Rⁿ (a(p) − a(q)) · (p − q) ≥ 0 . PrzykÃlady:

a) a(p) = |p|^kp gdzie k jest dowolna liczb_, a dodatni_, a._, (|p|^kp − |p|^kp) · (p − q) =

|p|^k+2+ |q|^k+2− |p|^kp · q − |q|^kp · q ≥ (|p|^k+1− |q|^k+1)(|p| − |q|) ≥ 0 .

b) z dowodu a) wynika, ˙ze ka˙zde pole wektorowe postaci a(p) = f (|p|)p, gdzie f (|p|)|p|

jest funkcja niemalej_, ac_, a zmiennej |p|, jest polem monotonicznym._, Techniczne zaÃlo˙zenia o polu wektorowym a

warunek wzrostu: ∃ C ≥ 0 ∀ p ∈ Rⁿ |a(p)| ≤ C(1 + |p|),

warunek koercytywno´sci: ∃ γ > 0, β ≥ 0 ∀ p ∈ Rⁿ a(p) · p ≥ γ|p|² − β .

Uwaga: Problem (P) mo˙zna rozwiaza´_, c przy innych warunkach wzrostu (na przkÃlad do- wolny wzrost wielomianowy). Przestrzenie funkyjne,w kt´orych szuka sie wtedy rozwi_, aza´_, n sa inne ni˙z L_, ²(Ω).

Rozwiazanie problemu (P ) metod_, a Galerkina._,

Niech {w_k}^∞_k=1 bedzie baz_, a ortonormaln_, a przestrzeni H_, ¹0(Ω) = {u ∈ L²(Ω) : Du ∈ L²(Ω) , u|∂Ω = 0} rozwa˙zanej z iloczynem skalarnym (u, v) = R

ΩDu · Dv dx. (Na mocy nier´owno´sci Poinc`are w H¹0(Ω) normy kuk_L² + kDuk_L² i kDuk_L² sa r´_, ownowa˙zne w tej przestrzeni.) Szukamy funkcji u_m ∈ lin {w₁, w₂, . . . , w_m} = V_m takiej, ˙ze speÃlnia problem (P ) w sÃlabym sensie po zrzutowaniu prawej strony f na przestrze´n V_m ⊂ L² to znaczy, ˙ze

Z

Ω

a(Du_m) · Dw_kdx = Z

Ω

f w_kdx k = 1, 2 . . . , m . (∗)

(Przypomnijmy, ˙ze u jest sÃlabym rozwiazaniem problemu (P ), gdy (∗) zachodzi dla wszyst-_, kich funkcji pr´obnych z H¹0(Ω).)

Lemat (o zerach ciagÃlych p´_, ol wektorowych) Niech v : Rⁿ → Rⁿ bedzie ci_, agÃlym_, polem wektorowym speÃlniajacym warunek ∃ r > 0_, v(x) · x ≥ 0 dla |x| = r. W´owczas istnieje x ∈ B(0, r) taki, ˙ze v(x) = 0.

Dow´od: Niech v(x) 6= 0 dla wszystkich x ∈ B(0, r). Wtedy pole wektorowe w(x) =

−_|v(x)|^r v(x) dla x ∈ B(0, r) jest ciaÃle oraz dla ka˙zdego x ∈ B(0, r) zachodzi w(x) ∈_,

∂B(0, r) ⊂ B(0, r). Na mocy twierdzenia Brouwera pole wektorowe w posiada w zbiorze B(0, r) punkt staÃly, to znaczy istnieje z ∈ B(0, r) takie, ˙ze w(z) = z. Punkt z le˙zy na brzegu kuli B(0, r) to znaczy r² = |z|² = w(z) · z = −_|v(z)|^r v(z) · z ≤ 0. Otrzymana sprzeczno´s´c dowodzi tezy lematu.

Twierdzenie 1.

Dla ka˙zdej liczby naturalnej m ≥ 1 istnieje funkcja um speÃlniajaca r´_, owno´s´c (∗).

Dow´od: Szukanie funkcji u_m ∈ V_m jest r´ownowa˙zne szukaniu wektora wsp´oÃlczynnik´ow rozkÃladu tej funkcji w bazie tzn. takiego wektora α = (α¹, . . . , α^m) ∈ R^m ˙ze

Z

Ω

à a³X^m

i=1

αⁱDw_i´

· Dw_k− f w_k

!

dx = 0 dla k = 1, 2 . . . , m .

Oznaczmy przez v_k(α) lewa stron_, e powy˙zszej r´_, owno´sci. W ten spos´ob zdefiniowali´smy pole wektorowe v : R^m → R^m. Pok˙zemy, ˙ze v jest ciagÃlym polem wektorowym. Niech α_{, n}→ α.

Ciag {α_, n} jest wiec ograniczony tzn. |α_, n| ≤ M dla wszystkich n ≥ 1. Z warunk´ow wzrostu pola wektorowego a otrzymujemy

¯

¯

¯

¯

¯ a³X^m

i=1

αⁱ_nDw_i´

· Dw_k

¯

¯

¯

¯

¯

≤

¯

¯

¯

¯

¯ a³X^m

i=1

αⁱ_nDw_i´

¯

¯

¯

¯

¯

|Dw_k| ≤ C(1 + M

m

X

i=1

|Dw_i|)|Dw_k| i funkcja stojaca z prawej strony ostatniej nier´_, owno´sci jest niezale˙zna od ciagu {α_{, n}} oraz jest funkcja caÃlkowaln_, a na Ω. St_, ad ze zbie˙zno´sci punktowej a_, ³

Pm

i=1αⁱ_nDw_i´

→ a³

Pm

i=1αⁱDw_i´

(ciagÃlo´s´_, c pola a) i tw. Lebesque’a o zbie˙zno´sci zmajoryzowanej wynika ciagÃlo´s´_, c pola v. Zauwa˙zmy, ˙ze szukanie funkcji u_m ∈ V_m speÃlniajacej (∗) jest r´_, ownowa˙zne szukaniu α ∈ R^m takiego, ˙ze v(α) = 0. Wiec wystarczy sprawdzi´_, c warunek v(α) · α ≥ 0 dla |α| odpowiednio du˙zego.

v(α) · α = Z

Ω

à a³X^m

i=1

αⁱDw_i´

·

m

X

i=1

αⁱDw_i− f

m

X

i=1

αⁱw_i

! dx

≥ Z

Ω

à γ|

m

X

i=1

αⁱDwi|²− β − f

m

X

i=1

αⁱwi

!

dx ≥ γ|α|²− β|Ω| − |α|

m

X

i=1

|(f, wi)|

≥ γ

2|α|²− β|Ω| − 1 2γ

m

X

i=1

|(f, w_i)|² = C₁|α|²− C₂ ≥ 0

gdy |α| jest odpowiednio du˙zy. Stosujac lemat o zerach p´_, ol wektorowych ko´nczymy dow´od tego twierdzenia.

Nastepny krok to uzyskanie dobrego szacowania dla ci_, agu {u_{, m}}.

Twierdzenie 2

Istnieje C > 0 takie, ˙ze dla ka˙zdego m ≥ 1 zachodzi ku_mk_H¹ ≤ C(1 + kf k_L²) .

Dow´od Mno˙zymy r´ownanie definiujace u_{, m}przez α^k_mi sumujemy wzgledem k otrzymuj_, ac_, Z

Ω

a(Du_m) ·

m

X

k=1

α^k_mDw_kdx = Z

Ω

f

m

X

k=1

α^k_mw_kdx

⇔ Z

Ω

a(Du_m) · Du_mdx = Z

Ω

f u_mdx . Korzystajac z koercytywno´sci pola a mamy_,

γ Z

Ω

|Dum|²dx ≤ Z

Ω

a(Dum) · Dumdx + β|Ω| = β|Ω| + Z

Ω

f umdx

≤ β|Ω| + ε Z

Ω

|u_m|²dx + 1 4ε

Z

Ω

|f |²dx

≤ β|Ω| + εdiam²(Ω) Z

Ω

|Du_m|²dx + 1 4ε

Z

Ω

|f |²dx . Wybierajac ε tak maÃle, ˙ze εdiam_, ²(Ω) < γ/2 otrzymujemy γ/2kDu_mk_L² ≤ C(1 + kf k_L²) co ko´nczy dow´od twierdzenia.

Twierdzenie 2 dostarcza nam nastepuj_, acej informacji: istnieje podci_, ag ci_, agu {u_{, m}} (podciag_, ten ponownie oznaczmy przez {um}) taki, ˙ze Dum * A ∈ L²(Ω) oraz um → u ∈ L²(Ω).

Z definicji sÃlabej pochodnej wnioskujemy, ˙ze A = Du (∀ ϕ ∈ C₀^∞(Ω) R

Ω∂_ju_mϕ =

−R

Ωu_m∂_jϕ i przechodzac do granicy z m → ∞ w ostatniej r´_, owno´sci otrzymujemy R

ΩAjϕ = −R

Ωu∂jϕ ⇔ Aj = ∂ju .) Zauwa˙zmy, ˙ze z warunku wzrostu ciag {a(Du_, m)}

jest ciagiem ograniczonym w L_, ²(Ω) i posiada podciag sÃlabo zbie˙zny. St_, ad przechodz_, ac_, ewentualnie do podciagu mamy a(Du_{, m}) * ξ ∈ L²(Ω). Tak wiec wprost z defini-_, cji rozwiazania przybli˙zonego otrzymujemy_, R

Ωξ · Dwkdx = R

Ωf wkdx dla wszystkich k = 1, 2, 3 . . . . Zbi´or lin{w₁, w₂, . . .} jest zbiorem gestym w H_, ¹0(Ω) co pozwala otrzyma´c r´owno´s´c R

Ωξ · Dv dx = R

Ωf v dx dla wszystkich v ∈ H¹0(Ω). PozostaÃlo tylko pokaza´c, ˙ze ξ = a(Du), a wÃla´sciwie wystarczy tylko pokaza´c, ˙ze div ξ = div a(Du) w sÃlabym sensie. I tu trafiamy na prawdziwa przeszkod_, e. Funkcje nieliniowe (nawet bardzo gÃladkie) nie s_, a_, sÃlabo ciagÃle. To znaczy, ˙ze je˙zeli Du_{, m} * Du w L²(Ω) to stad nie musi wynika´_, c ( i w og´olno´sci nie wynika), ˙ze a(Dum) * a(Du) w L²(Ω).

Bardzo prosty kontrprzykÃlad Niech X bedzie dowoln_, a niesko´_, nczenie wymiarowa_, przestrzenia Hilberta i {v_{, n}} niech bedzie dowolnym ci_, agiem ortonormalym. Z nier´_, owno´sci Parsewala mamy

∀ f ∈ X

∞

X

n=1

|(f, v_n)|² ≤ kf k²

co oznacza, ˙ze dla ka˙zdego f ∈ X ciag (f, v_{, n}) → 0. Z twierdzenia Riesza wiemy, ˙ze wszystkie funkcjonaÃly liniowe i ciagÃle na dowolnej przestrzeni Hilberta reprezentowane s_, a_, jako iloczyny skalarne z ustalonym wektorem tej przestrzeni. Tak wiec v_{, n} * 0. Funkcja

k · k : X → R jest funkcja ci_, agÃl_, a na X ale kv_{, n}k = 1 i nie zbiega do normy ze sÃlabej granicy (z wypukÃlo´sci normy wynika jej sÃlaba p´oÃlciagÃlo´s´_, c dolna tzn. kslabej granicyk ≤ lim inf_n→∞kv_nk).

Twierdzenie 3

W sÃlabym sensie zachodzi r´owno´s´c div ξ = div a(Du) to znaczy, ˙ze u jest sÃlabym rozwiazaniem_, problemu (P ).

Dow´od Z warunku monotoniczno´sci mamy

∀_w∈H¹

0(Ω)

Z

Ω

(a(Dum) − a(Dw)) · (Dum− Dw) dx ≥ 0 . Po wymno˙zeniu nawias´ow otrzymujemy cztery skÃladniki

Z

Ω

a(Du_m) · Du_mdx + Z

Ω

a(Dw) · Dw dx − Z

Ω

a(Dw) · Du_mdx − Z

Ω

a(Du_m) · Dw dx ≥ 0 . Ostatnie dwa skÃladniki, z definicji sÃlabej zbie˙zno´sci, zbiegaja do −_, R

Ωa(Dw)·Du dx−R

Ωξ · Dw dx . Drugi skÃladnik nie zale˙zy od m, a pierwszy (?) nie mo˙zemy od razu stwierdzi´c,

˙ze R

Ωa(Du_m) · Du_mdx →R

Ωξ · Du dx . W og´olno´sci operacja mno˙zenia (iloczyn skalarny) nie jest liniowa (jest dwuliniowa) i dlatego nie jest sÃlabo ciagÃla. Jednak˙ze my zajmujemy_, sie ci_, agami speÃlniaj_, acymi pewne dodatkowe warunki i dlatego mamy szans_, e uzyska´_, c sÃlaba_, ciagÃlo´s´_, c dla tych specjalnych ciag´_, ow. Z definicji rozwiazania u_{, m} ∈ V_m wynika, ˙ze

Z

Ω

a(Du_m) · Du_mdx = Z

Ω

f u_mdx Z definicji sÃlabej zbie˙zno´sci prawa strona zbiega doR

Ωf u dx =R

Ωξ · Du dx i rzeczywi´scie otrzymali´smy granice tak_, a jak_, a by´smy chcieli. Zbieraj_, ac wszystkie wyniki razem otrzy-_, mujemy

∀_w∈H¹

0(Ω)

Z

Ω

(ξ − a(Dw)) · (Du − Dw) dx ≥ 0 .

Wybierzmy w w postaci w = u − λv, gdzie λ > 0 i v ∈ H¹0(Ω). Stad mamy_,

∀_v∈H¹

0(Ω)

Z

Ω

(ξ − a(Du − λDv)) · Dv dx ≥ 0 .

Przechodzac do granicy λ → 0_, ⁺ otrzymujemy (podobnie jak w Twierdzeniu 1 wykorzy- stujac twierdzenie Lesbeque’a o zbie˙zno´sci zmajoryzowanej)_,

∀_v∈H¹

0(Ω)

Z

Ω

(ξ − a(Du)) · Dv dx ≥ 0 . Zamieniajac v na −v widzimy, ˙ze_,

∀_v∈H¹

0(Ω)

Z

Ω

(ξ − a(Du)) · Dv dx = 0 ,

a stad wynika, ˙ze div (ξ − a(Du)) = 0. Z istnienia sÃlabej dywegencji −div ξ = f wynika,_,

˙ze w sÃlabym sensie −div a(Du) = f i u jest sÃlabym rozwiazaniem problemu (P)._,

Zajmnijmy sie jeszcze jednoznaczno´sci_, a sÃlabego rozwi_, azania problemu (P ). W tym celu_, zaÃlo˙zymy dodatkowo, ˙ze pole a jest ´sci´sle monotoniczne.

Definicja 2

M´owimy, ˙ze pole wektorowe a : Rⁿ → Rⁿ jest ´sci´sle monotoniczne, je˙zeli

∃θ>0 ∀_p,q∈Rⁿ (a(p) − a(q)) · (p − q) ≥ θ|p − q|². Twierdzenie 4

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze a jest polem ´sci´sle monotonicznym. Wtedy problem (P ) posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie._,

Dow´od Niech u i u^∗ bed_, a dwoma sÃlabymi rozwi_, azaniami problemu (P ). Wi_, ec_,

∀_v∈H¹

0(Ω)

Z

Ω

a(Du) · Dv dx = Z

Ω

a(Du^∗) · Dv dx . Wybierajac v = u − u_, ^∗ i wykorzystujac ´scisÃl_, a monotoniczno´s´_, c pola a mamy

0 = Z

Ω

(a(Du) − a(Du^∗)) · (Du − Du^∗) dx ≥ θ Z

Ω

|Du − Du^∗|²dx . Stad natychmiast Du = Du_, ^∗, co prowadzi do u = u^∗.

Zauwa˙zmy, ˙ze w twierdzeniu 3 nie pokazali´smy, ˙ze a(Dum) * a(Du) a tylko, ˙ze u jest sÃlabym rozwiazaniem problemu (P ), czyli, ˙ze div ξ = div a(Du) ._,

Twierdzenie 5 (Minty ’62, Browder ’63)

Niech Ω bedzie obszarem ograniczonym. ZaÃl´_, o˙zmy, ˙ze a : Rⁿ → Rⁿ jest monotonicz- nym i ciagÃlym polem wektorowym posiadaj_, acym co najwy˙zej liniowy wzrost tzn. ∀ p ∈_, Rⁿ |a(p)| ≤ C(1 + |p|) gdzie C > 0 jest pewna staÃl_, a. Je˙zeli ci_, ag u_, n * u w przestrzeni L²(Ω), ciag a(u_{, n}) * ξ w przestrzeni L²(Ω) i dodatkowo lim_n→∞R

Ωa(u_n)u_ndx =R

Ωξu dx to ξ = a(u).

Dow´od Podobnie jak w twierdzeniu 3 z monotoniczno´sci pola a mamy

∀_v∈L²_(Ω) Z

Ω

(a(u_n) − a(v))(u_n− v) dx ≥ 0 . Rozbijajac na cztery skÃladniki i wykorzystuj_, ac zaÃlo˙zenia mamy_,

∀_v∈L²_(Ω) Z

Ω

(ξ − a(v))(u − v) dx ≥ 0 .

Z przyjetych wy˙zej zaÃlo˙ze´_, n wynika, ˙ze pole a generuje w L²(Ω) operator maksymalnie mo- notoniczny. Wiec z maksymalno´sci tego operatora wynika ju˙z, ˙ze a(u) = ξ. Jednak˙ze teo-_, ria operator´ow maksymalnie monotonicznych rozwineÃla si_, e pod koniec lat sze´s´_, cdziesiatych_, i podobnie jak w twierdzeniu 3 wybierzmy v = u − λw, gdzie λ > 0 i w ∈ L²(Ω). Otrzy- mujemy wiec:_,

∀_w∈L²_(Ω) Z

Ω

(ξ − a(u − λw))w dx ≥ 0 . Przechodzac do granicy λ → 0_, ⁺ otrzymujemy

∀_w∈L²_(Ω) Z

Ω

(ξ − a(u))w dx ≥ 0 ,

co implikuje, ˙ze

∀_w∈L²_(Ω) Z

Ω

(ξ − a(u))w dx = 0 .

Tym samym otrzymujemy a(u) = ξ . Powy˙zszy dow´od przeszedÃl do literatury pod nazwa_, trik monotoniczny.

Jeszcze jeden przykÃlad.

Szukamy rozwiazania u : Ω × R_, + → R nastepuj_, acego problemu pocz_, atkowo-brzegowego_, u_tt(x, t)−∆u(x, t)+a(u_t(x, t)) = 0 , u(x, t)_∂Ω= 0 , u(x, 0) = u⁰(x) , u_t(x, 0) = u¹(x) (P^∗) gdzie a : R → R jest funkcja monotoniczn_, a, rosn_, ac_, a, speÃlniaj_, ac_, a a(0) = 0, posiadaj_, ac_, a_, wzrost wielomianowy tzn.

∃C>0 ,r>1 ∀_p∈R |a(p)| ≤ C(1 + |p|^r)

oraz koercytywna z wykÃladnikiem r tzn. ∀ p ∈ R |a(p)| ≥ α|p|_, ^r − β gdzie α > 0 oraz β ≥ 0. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze stosujac metod_, e Galerkina otrzymujemy istnienie ci_, agu rozwi_, aza´_, n przybli˙zonych u_m ∈ V_m

∀v∈Vm

Z

Ω

um,tt(x, t)v(x) dx + Z

Ω

Dum(x, t) · Dv(x) dx + Z

Ω

a(um,t(x, t))v dx = 0 oraz u_m(0) = u^0,m → u⁰ w przestrzeni H¹0(Ω) i u_m,t(0) = u^1,m→ u¹ w przestrzeni L²(Ω) . Zdefiniujmy funkcje energii zwi_, azanej z rozwa˙zanym problemem_,

E(u)(t) = 1 2

Z

Ω

|u_t(x, t)|²dx + 1 2

Z

Ω

|Du(x, t)|²dx + Z t

0

Z

Ω

a(u_t(x, t))u_t(x, t) dx . Wstawiajac u_{, m} zamiast u i r´o˙zniczkujac po t otrzymujemy_,

d

dtE(u)(t) = Z

Ω

u_m,tu_m,ttdx + Z

Ω

Du_m· Du_m,tdx + Z

Ω

a(u_m,t)u_m,tdx .

Wstawiajac w definicji rozwi_, azania u_{, m} zamiast v funkcje u_{, m,t} widzimy, ˙ze _dt^dE(u_m)(t) = 0 co oznacza, ˙ze E (u_m)(t) = E (u_m)(0) i prawa strona strona jest ciagiem ograniczonym._, Stad_,

1 2

Z

Ω

|u_m,t(x, t)|²dx+1 2

Z

Ω

|Du_m(x, t)|²dx+

Z t 0

Z

Ω

a(u_m,t(x, τ ))u_m,t(x, τ ) dx dτ = E (u_m)(0) i ciag {u_{, m}} jest ograniczony w L^∞(0, T ; H¹0(Ω)) oraz ciag {u_{, m,t}} jest ograniczony w przestrzeni L^∞(0, T ; L²(Ω)) gdzie T > 0 jest dowolna liczb_, a rzeczywist_, a. Wstawiaj_, ac_, do definicji energii u_m,t zamiast u_m i wykorzystujac monotoniczno´s´_, c pola a dostajemy,

˙ze ciag {u_{, m,tt}} jest ograniczony w L^∞(0, T ; L²(Ω)) i ciag {Du_{, m}} jest ograniczony w L^∞(0, T ; L²(Ω)). Wracajac do r´_, owno´sci

Z

Ω

a(u_m,t(x, t))u_m,t(x, t) dx = − Z

Ω

u_m,t(x, t)u_m,tt(x, t) dx − Z

Ω

Du_m(x, t) · Du_m,t(x, t) dx dostajemy, ˙ze R

Ωa(u_m,t)u_m,tdx ≤ C(T ) gdzie staÃla C(T ) mo˙ze rosna´_,c wraz z T . Z ko- ercytywno´sci pola a mamy, ˙ze ciag {u_{, m,t}} jest ograniczony w L^∞(0, T ; L^r+1(Ω)) oraz

z warunku wzrostu i z ostatniego resultatu wynika, ˙ze ciag {a(u_{, m,t})} jest ograniczony w przestrzeni L^∞(0, T ; L^r+1r (Ω)). Przechodzac do podci_, ag´_, ow sÃlabo zbie˙znych mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze u_m * u w L^{∗ ∞}(0, T ; H¹0(Ω)), u_m,t * u^∗ _t w L^∞(0, T ; L^r+1(Ω)) i a(u_m,t) * χ w^∗ L^∞(0, T ; L^r+1r (Ω)). Przechodzac do granicy w sformuÃlowaniu problemu aproksymuj_, acego_, dostajemy, ˙ze w sÃlabym sensie u jest rozwiazaniem problemu._,

u_tt(x, t) − ∆u(x, t) + χ(x, t) = 0 , u(x, t) = 0 , u(x, 0) = u⁰(x) , u_t(x, 0) = u¹(x) . (P∞) Pozostaje pokaza´c, ˙ze a(u_t) = χ. Stosujac metod_, e energetyczn_, a do problemu (P_, ∞) otrzy- mujemy

E(u)(t) = 1 2

Z

Ω

|u_t(x, t)|²dx +1 2

Z

Ω

|Du(x, t)|²dx + Z t

0

Z

Ω

χ(x, t)u_t(x, t) dx = E (u)(0) . Por´ownujac ten wynik z podobn_, a r´_, owno´scia dla u_{, m} i wykorzystujac zbie˙zno´s´_, c energii poczatkowych mamy_,

1 2

Z

Ω

|ut(x, t)|²dx + 1 2

Z

Ω

|Du(x, t)|²dx + Z t

0

Z

Ω

χ(x, τ )ut(x, τ ) dx dτ =

m→∞lim

³1 2

Z

Ω

|um,t(x, t)|²dx + 1 2

Z

Ω

|Dum,t(x, t)|²dx + Z t

0

Z

Ω

a(um,t(x, τ ))um,t(x, τ ) dx dτ

´ . Wyra˙zenia kwadratowe sa sÃlabo p´_, oÃlciagÃle dolnie co oznacza, ˙ze_,

lim inf

m→∞

Z

Ω

|u_m,t(x, t)|²dx ≥ Z

Ω

|u_t(x, t)|²dx , lim inf

m→∞

Z

Ω

|D_mu(x, t)|²dx ≥ Z

Ω

|Du(x, t)|²dx . Stad mamy, ˙ze_,

lim inf

m→∞

Z t 0

Z

Ω

a(u_m,t(x, τ ))u_m,t(x, τ ) dx dτ ≤ Z t

0

Z

Ω

χ(x, τ )u_t(x, τ ) dx dτ . Startujac tak jak w dowodzie twierdzenia Minty’ego-Browdera mamy_,

lim inf

m→∞

Z t 0

Z

Ω

(a(u_m,t) − a(v))(u_m,t− v) dx dτ ≥ 0 ∀ v ∈ L²((0, T ) × Ω) . Korzystajac z poprzednio uzyskanej nier´_, owno´sci dochodzimy do

lim inf

m→∞

Z t 0

Z

Ω

(χ − a(v))(u_t− v) dx dτ ≥ 0 ∀ v ∈ L²((0, T ) × Ω)

i dalej postepujemy jak w dowodzie twierdzenia Minty’ego-Browdera ko´_, nczac dow´_, od ist- nienia rozwiazania rozwa˙zanego przykÃladu. Ko´_, nc´owka tego rozumowania pokazuje, ˙ze gÃl´owne zaÃlo˙zenie w twierdzeniu Minty’ego-Browdera mo˙zna nieco osÃlabi´c.

3 Potoki gradientowe w przestrzeniach Hilberta

Niech H bedzie rzeczywist_, a przestrzeni_, a Hilberta z iloczynem skalarnym (· , ·) i norm_, a_, k · k.

Definicja 3 Funkcje I : H → (−∞, ∞] nazywamy wypukÃl_, a, je˙zeli dla ka˙zdego λ ∈ [0, 1]_, i dla dowolnych u, v ∈ H zachodzi

I(λu + (1 − λ)v) ≤ λI(u) + (1 − λ)I(v) .

Uwaga ZakÃladamy, ˙ze I mo˙ze przyjmowa´c warto´s´c +∞, jednak˙ze nie mo˙ze przyjmowa´c warto´sci −∞.

PrzykÃlad: Niech K ⊂ H bedzie zbiorem wypukÃlym i I_, K: H → (−∞, ∞] bedzie zadana_, przez IK(u) = 0 je˙zeli u ∈ K oraz IK(u) = +∞ je˙zeli u /∈ K. I jest funkcja wypukÃl_, a_, (funkcja indykatorowa zbioru K). Je´sli u, v ∈ K to λu + (1 − λ)v ∈ K oraz z definicji funkcji IK mamy 0 = IK(λu + (1 − λ)v) ≤ λIK(u) + (1 − λ)IK(v) = 0 . Je´sli u lub v nie nale˙zy do K to prawa strona nier´owno´sci wynosi +∞ i nier´owno´s´c jest prawdziwa. Tak wiec funkcja indykatorowa zbioru wypukÃlego jest wypukÃla._,

Definicja 4 Funkcja I : H → (−∞, ∞] nazywa sie p´_, oÃlciagÃla dolnie, je˙zeli_, u_k → u ⇒ I(u) ≤ lim inf

k→∞ I(u_k) .

PrzykÃlad: Niech K ⊂ H bedzie zbiorem domkni_, etym. Wtedy funkcja indykatorowa I_, K

jest p´oÃlciagÃla dolnie._,

1. Je˙zeli u /∈ K to istnieje varepsilon > 0 takie, ˙ze B(u, ε) ⊂ H \ K i od pewnego n zachodzi u_n∈ B(u, ε). Stad lewa i prawa strona wynosz_, a +∞._,

2. Je˙zeli u ∈ K w´owczas lewa strona nier´owno´sci wynosi 0 i nier´owno´s´c jest prawdziwa.

Definicja 5 Niech I : H → (−∞, ∞] bedzie wypukÃla i zb´_, or D(I) = {u ∈ H : I(u) <

+∞} niech bedzie zbiorem niepustym (I nazywa si_, e wtedy wÃla´_, sciwa).

(i) Dla ka˙zdego u ∈ H definiujemy zbi´or ∂I(u) = {v ∈ H : I(w) ≥ I(u) + (v, w − u) ∀ w ∈ H}. Odwzorowanie ∂I : H → 2^H nazywa sie subgradientem (subr´_, o˙zniczka) funkcji I._, (ii) M´owimy, ˙ze u ∈ D(∂I) je˙zeli ∂I(u) 6= ∅.

PrzykÃlad: Niech K ⊂ H bedzie zbiorem wypukÃlym. W´_, owczas ∂IK(u) = ∅ je˙zeli u /∈ K.

Je˙zeli u ∈ K to ∂IK(u) = {v ∈ H : (v, w − u) ≤ 0 ∀ w ∈ H}. Gdy u ∈ int K to

∂IK(u) = {0}.

Je´sli u /∈ K to dla w ∈ K nier´owno´s´c z definicji subr´o˙zniczki nie mo˙ze by´c speÃlniona. Je´sli u ∈ K to wystarczy rozwa˙za´c tylko w ∈ K, gdy˙z dla innych w nier´owno´s´c jest speÃlniona.

Wiec v ∈ ∂I_{, K}(u) ⇔ 0 ≥ (v, w − u) ∀ w ∈ K. Gdy u ∈ int K r´o˙znice w − u generuja nam_, wszystkie kierunki w H i stad v = 0._,

Twierdzenie 6

Niech I : H → (−∞, ∞] bedzie wypukÃla, wÃla´_, sciwa i p´oÃlciagÃla dolnie. W´_, owczas:

a) D(∂I) ⊂ D(I) ,

b) f orall v ∈ ∂I(u) , v^∗ ∈ ∂I(u^∗) (v^∗− v, u^∗− u) ≥ 0 (monotoniczno´s´c ∂I), c) I(u) = min_w∈HI(w) ⇔ 0 ∈ ∂I(u) ,

d) ∀ w ∈ H , ∀ λ > 0 problem: szukamy u takiego, ˙ze u + λ∂I(u) 3 w posiada dokÃladnie jedno rozwiazanie u ∈ D(∂I)._,

Dow´od a) Niech u ∈ D(∂I) i v ∈ ∂I(u). Wtedy I(w) ≥ I(u)+(v, w−u) ∀ w ∈ H. I jest wÃla´sciwa wiec istnieje taki vektor u_{, 0} ∈ H, ˙ze I(u₀) < +∞. Stad I(u) ≤ I(u_{, 0}) + (v, u₀− u) i u ∈ D(I).

b) Niech v ∈ ∂I(u) , v^∗ ∈ ∂I(u^∗) co oznacza, ˙ze I(u^∗) ≥ I(u) + (v, u^∗ − u) oraz I(u) ≥ I(u^∗)+(v, u−u^∗). Obie strony nier´owno´sci sa sko´_, nczone, wiec dodaj_, ac je stronami_, i skracajac sum_, e I(u) + I(u_, ^∗) otrzymujemy (v^∗− v, u^∗− u) ≥ 0.

c) Je˙zeli I(u) = minw∈HI(w) to I(w) ≥ I(u) + (0, w − u) co oznacza, ˙ze 0 ∈ ∂I(u). Od- wrotnie: je˙zeli 0 ∈ ∂I(u) to zachodzi powy˙zsza nier´owno´s´c i I(u) jest minimalna warto´sci_, a_, funcjonaÃlu I.

d) Niech w ∈ H i λ > 0. Oznaczmy przez J nastepuj_, ac_, a funkcj_, e zdefiniowan_, a na prze-_, strzeni H.

J (u) = 1

2kuk²+ λI(u) − (u, w) dla u ∈ H .

Poka˙zemy, ˙ze funkcjonaÃl J posiada globalny punkt minimalny. Dow´od tego faktu prze- biegnie w kilku krokach, a nastepnie wr´_, ocimy do dowodu punktu d).

Krok 1: I jest sÃlabo p´oÃlciagÃla dolnie tzn. je˙zeli u_, k * u to I(u) ≤ lim infk→∞I(uk).

Dow´od Niech u_k * u oraz lim inf_k→∞I(u_k) = lim_k→∞I(u_kj) = l < +∞ (inaczej nier´owno´s´c byÃlaby speÃlniona!). Niech ε > 0. Zbi´or Kε = {v ∈ H : I(v) ≤ l + ε}

jest wypukÃly i domkniety. (WypukÃlo´s´_, c K_ε wynika z wypukÃlo´sci I oraz domknieto´s´_, c z p´oÃlciagÃlo´sci dolnej I._, Stad zbi´_, or K_ε jest sÃlabo ciagowo domkni_, ety (Twierdzenie Ma-_, zura)). Tak wiec od pewnego j zachodzi u_, kj ∈ Kε i sÃlaba granica u ∈ Kε. Stad_, I(u) ≤ l + ε = lim inf_k→∞I(u_k) + ε. Z dowolno´sci ε > 0 wynika teza kroku 1.

Krok 2: Istnieje staÃla rzeczywista C ≥ 0 taka, ˙ze I(u) ≥ −C − Ckuk ∀ u ∈ H.

Dow´od Nie wprost. Niech ∀ k ∈ N istnieje uk ∈ H taki, ˙ze I(u_k) ≤ −k − kku_kk.

Je˙zeli {u_k} jest ciagiem ograniczonym to istnieje podci_, ag u_{, kl} * u. Wykorzystujac_, sÃlaba p´_, oÃlciagÃlo´s´_, c dolna I otrzymujemy I(u) ≤ lim inf_{, l→∞}I(u_kl) ≤ lim inf_l→∞−k_l − k_lku_klk = −∞ i uzyskujemy sprzeczno´s´c. Mo˙zemy wiec zaÃlo˙zy´_, c (przechodzac ewentu-_, alnie do podciagu), ˙ze ku_{, k}k → +∞. Niech u₀ ∈ H bedzie takie, ˙ze I(u_{, 0}) < +∞. PoÃl´o˙zmy z_k = _ku^uk

kk + (1 − _ku¹

kk)u₀ zakÃladajac, ˙ze ku_{, k}k ≥ 1. Stad z wypukÃlo´sci I mamy_, I(z_k) ≤ 1

ku_kkI(u_k) + (1 − 1

ku_kk)I(u₀) ≤ − k

ku_kk − k + (1 − 1

ku_kk)I(u₀) → −∞ . {z_k} jest ciagiem ograniczonym to istnieje podci_, ag sÃlabo zbie˙zny z_{, kl} * z i podobnie jak poprzednio otrzymujemy I(z) = −∞ co prowadzi do sprzeczno´sci.

Krok 3: J jest ograniczona z doÃlu.

Dow´od

J (u) = 1

2kuk²+ λI(u) − (u, w) ≥ 1

2kuk²− λC − λCkuk − kuk kwk .

Prawa strona to funkcja kwadratowa zmiennej kuk i wsp´oÃlczynnik przy kuk² jest dodatni.

Jest wiec to funkcja ograniczona od doÃlu._,

Krok 4: Istnieje globalny punkt minimalny funkcjonaÃlu J .

Dow´od Niech {u_k} bedzie ci_, agiem minimalizuj_, acym J tzn. J (u_{, k}) → inf_w∈HJ (w) = m.