nej granicy, a wyrazy trzeciego ciągu zawierają się stale między odpoWied
niem i wyrazami tych dwóch ciągów lab są im równe, to i ten trzeci ciąg jest zbieżny do tej samej granicy.
Jeżeli więc a„ —» fj i b„ —> y, a ponadto a „ ^ c „ ^ bn, to także c„ —» g.
Doioód. W każdym przedziale, otaczającym g, znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągów {«„) i {b„} a więc także prawie wszystkie wy*
razy ciągu {c„}, ponieważ one leżą zawsze pomiędzy an i bn lub są im równe. To zaś dowodzi, że także ciąg {c„} jest zbieżny i to do tej sa
mej granicy g.
Twierdzenie to odnosi się zarówno do ciągów monotonicznych jak i do ciągów niemonotonicznycb. Przy pomocy tego twierdzenia można nieraz zbadać granicę jakiegoś skomplikowanego ciągu {cn}, opierając się na zbieżności dwóch prostszych ciągów {«„} i {/;„}.
Przykład. Chcemy zbadać zbieżność ciągu cn — (— 1)" • t. j.
ł> i ’ £i •••
Porównajmy ten ciąg z ciągami:
ogólnie an — i
— li — i» — i> — ł . — ł v ogólnie bn = — i Zawsze jest:
an ^ cn ^ K
a mianowicie dla nieparzystych n jest bn = cn a dla parzystych n jest an — cn. Ciągi {«„} i {bn} jako monotoniczne i ograniczone są zbieżne a mianowicie do granicy g — 0. Zatem także c„ — 0, jakkolw iek ciąg ten nie jest monotoniczny.
§ 2 9 . Definicja granicy w arytmetycznej postaci.
Definicja granicy, której używaliśmy dotychczas, nadaje się dobrze do dowodzeń słownych, nie jest jednak odpowiednia przy wykonywaniu obli
czeń. Można ją jednak z łatwością wyrazić w postaci arytmetycznej. I tak przedewszystkiem zamiast mówić: „prawie wszystkie wyrazy anu leżą w jakim ś przedziale, można powiedzieć: „wszystkie wyrazy an o znaczku n ~g> N u. Jeżeli bowiem np. tylko wyrazy aPl,a Pt, . . . a p leżą poza prze
działem, to, oznaczając literą N największą z liczb P i , p t , • •■ps , widzimy, że już wszystkie wyrazy o znaczku n^> N leżą w przedziale. Odwrotnie, jeżeli wszystkie wyrazy an o numerze n j> N leżą w przedziale, to poza przedziałem może leżeć eonajwyżej skończona ilość tych wyrazów, a mia
nowicie conaj wyżej wyrazy al5 a2, ... aN_,, cln. Dalej: zamiast mówić, że wy
razy an leżą w przedziale o środku w g, napiszemy, że:
g - e < a n < g - f £ czyli — £ < a„ — y < + £, lub:
I«« — ^ K 6
przy dowolnem dodatniem £, t. j. przy dowolnej szerokości przedziału (nawet bardzo małej). Wobec tego możemy sformułować arytmetycznie pojęcie granicy zapomocą następującej definicji.
Ciąg {an) dąży do granicy g, to znaczy, że do k a ż d e j dodatniej liczby e można dobrać taką liczbę N, iż dla wszystkich wskaźników n więk
szych od N zachodzi nierówność:
I a n — 9 1 < £
To znaczy, że począwszy od pewnego wyrazu wszystkie dalsze różnią się od liczby g co do bezwzględnej wartości o mniej niż e. Możemy także powiedzieć, że te wszystkie dalsze wyrazy ciągu przedstawiają granicę g z błędem mniejszym przez nadmiar lub niedomiar od każdego obra
nego e.
Jeżeli więc zgóry żądamy, aby błąd był mniejszy co do bez
względnej wartości od dowolnie małej podanej liczby s, to zawsze mo
żemy się posunąć w ciągu tak daleko, że już wszystkie dalsze wyrazy przedstawiają granicę z błędem mniejszym od e, o ile ciąg wogóle po
siada granicę. Podajemy więc zgóry dowolnie dodatnią liczbę e, a do niej dobieramy N; zatem N jest funkcją zmiennej e, co też możemy wy
raźnie zaznaczyć, pisząc N(e) zamiast samego N. Zbadanie, czy jak aś liczba g jest granicą ciągu {a„}, polega zatem na rozwiązaniu nierówności
\an — <71 < i £ czyli \ f ( n ) — y | < £ ze względu na niewiadomą n i na zba
daniu, czy zbiór liczb całkowitych n, spełniających tę nierówność, składa się z wszystkich liczb całkowitych większych od jakiejś jednej liczby N, zależnej od e. W ten sposób sprowadziliśmy badanie zbieżności ciągu do czysto arytmetycznego zagadnienia; mówimy wobec tego, że pojęcie gra
nicy zostało zarytmetyzowane.
Przykłady, a) Wykazać, że granicą ciągu: 1 , . . . o wyrazie ogólnym an = — jest liczba g — 0.
Staramy się znaleźć takie N., aby dla wszystkich liczb całkowitych n f> N spełniała się nierówność:
(I) — 0 < £
przy dowolnem dodatniem e. Rozwiązujemy tę nierówność według n. Po-1
0 jest liczbą dodatnią, zatem:
nieważ n jest liczbą dodatnią, to i — n
A więc ma być:
czyli
1 n - < £ 1n
n > J
0 = - 71
K ładąc N = —, widzimy, że dla wszystkich w > N spełnia się nierów-
£
ność (I), a to dowodzi, że liczba g = 0 jest granicą ciągu a„ = Tak np. żądając, aby wszystkie wyrazy ciągu i , począwszy od jakiegoś w y
razu, różniły się od granicy 0 o mniej, niż e — OOOl, t. j. żądając, aby:
< OOOl, wystarczy obrać n j> = 1000. To znaczy, po-cząwszy od wyrazu a1001 wszystkie wyrazy ciągu — różnią się od zera1 o mniej niż 10}00-. Istotnie te wyrazy są: toV2'»Tt/cs") • • • Tak samo możemy postąpić przy każdem innem £.
Spróbujmy, do czegoby nas doprowadziło przypuszczenie, że jakaś inna liczba, np. g = 2, jest granicą tego ciągu. Należałoby w takim razie rozwiązać nierówność:
(a ) - — 2
n O
Ponieważ przy każdem eałkowitem dodatniem n jest ^ < 1, przeto — — 2 jest liczbą ujemną, a więc ■— — 2 = 2 — Zatem należy rozwiązać nie
równość: 2 — —■ <[ £ czyli 2 n — 1 < iie a stąd:
n < 1 W eźmy np. 0 <T £ <C 1, to:
11 <[ 1
a zatem żadna liczba całkowita dodatnia nie spełnia żądanej nierówności przy £ < 1. A więc nie do każdej dodatniej liczby £ da się dobrać ta
kie IV, aby n > N pociągało za sobą nierówność (a), a to znaczy, że 2 nie jest granicą tego ciągu.
b) Zbadać, czy g — 1 jest granicą ciągu:
1 2 3 . . . n
2 - 8 - i " " °SÓ1," e “* = i + T Należy więc zbadać, czy warunek:
(b)
może się spełniać dla wszystkich odpowiednio wielkich liczb całkowitych i i .
Uwalniając tę nierówność od mianownika n -}- 1, otrzymujemy:
| n — « — 1 [ < ne -f- e czyli:
1 < ; ne -f- £ a stąd:
^ 1 — £
^ 2. £
Kładąc N(e) = --- widzimy, że dla wszystkich », większych od tego
E
N(e), spełnia się nierówność (b) przy każdem dowolnem dodatniem e, a to dowodzi, że g — 1 jest granicą ciągu an — Tl . T ak np. żądając,
Tl Hp* JL
aby było:
(o) n -j- 1 < 0-01
należy obrać N = = 99. Dla wszystkich n > 99, to znaczy dla:
a100J <*101 > <*102 j • • •
spełnia się nierówność (c). Np. n100 = a a100 — 1 = — a więc istotnie |a 100— 1 | = < ; 0'01 i tak samo dla dalszych an. W szystkie te wyrazy, począwszy od a10(h przedstawiają zatem granicę: <7 = 1 z błę
dem przez niedomiar mniejszym od e = 0 0 1 .
c) W ykażemy, że granicą ciągu o wyrazie ogólnym:
4 « + 3 a * = g— !
2 — 7 n jest liczba: g = —
Aby to okazać, rozwiążemy nierówność:
(d) czyli:
29 ^
< £
|7 ( 2 - 7 « ) |
Ponieważ 2 — 7« jest liczbą ujemna dla każdego całkowitego dodatniego «, przeto |2 — 7«| = 7m— 2, wobec czego nasza nierówność ma postać
29 < £ 7(7« — 2)
Stąd 29 < C 4 9n e — 14e (znak nierówności pozostał przy tern mnożeniu niezmieniony, ponieważ 7« — 2 jest liczbą dodatnią).
B ach an ek różniczkowy i całkow y. 8
A więc
29 —|— 14 e W > — 4 9 — = N W
Dla wszystkich całkowitych n większych od tego N(s) spełnia się nie
równość (d); zatem istotnie liczba g = — £ jest granicą badanego ciągu.
Zażądajmy np., aby wszystkie wyrazy tego ciągu, począwszy od pewnego numeru, przedstawiały tę granicę z błędem mniejszym (co do bezwzględnej wartości) od e — 0 05 = ^ ¡ . Uzyskamy to, obierając
29 + 1 4 - ^ _ 580 + 14 _ 49 - A “ 49
a więc dla n = 1 3 ,1 4 ,15 ,... czyli dla als, au , a16, ... Tak np. dla a13 otrzymujemy:
K - ( - * ) | = | ^ + ł l = Y% = 0 - 0 3 6 ...< 0 - 0 5
i podobnie dla wszystkich dalszych an\ natomiast dla n = 12 otrzymujemy:
l « x . - ( - ł ) l “ | ^ + ł H f ^ 7 = 0'0505 >
°-°5-d) W ykazać, że M-ty pierwiastek z każdej liczby dodatniej dąży do 1, gdy n wzrasta nieogranicznie, t. j. że:
n 1
(e) l i m | / a = l czyli lim a n= l dla a > 0
n - > o o n —y oo
Rozważmy najpierw przypadek, gdy a ]> 1. Chodzi nam o spełnienie nierówności:
(f) \Va — 1 1 < e
dla wszystkich n większych od jakiejś odpowiednio dobranej liczby N.
n n
Ponieważ a > 1, to i \a > 1 a zatem \a — 1 jest liczbą dodatnią,
n
wobec czego zamiast | \a — 1 1 możemy w naszej nierówności napisać
n
Y a — 1. Mamy więc spełnić nierówność:
n
Y a— 1 < e
czyli:
(g) a < { l + ey
Na podstawie znanej nierówności (1 -j- d)m > 1 -j- dtn, (której używaliśmy już na str. 106), jest (1 -f- s)n >■ 1 -f- ne. Jeżeli więc spełnimy nierówność:
(h) a <C 1 -f- we
to tembardziej będzie spełniona nierówność (g). Stąd otrzymujemy z łat
wością
n > i = N(e)
£
Otóż znaleźliśmy takie N, że dla wszystkich n ^> N spełnia się (h), a za-n
tem i (g) i (f), a to dowodzi, że Y a —> 1.
Weźmy teraz pod uwagę drugi przypadek, gdy a ■< 1. Wtedy
w n n
\a < 1 a więc \ a — 1 jest liczbą ujemną; zatem zamiast \ \ a — 1 | należy
n
napisać w nierówności (f) liczbę dodatnią: 1 — \a.
Mamy więc spełnić nierówność: (
rt n
1 — \a < e czyli 1 — e < \a
Jeżeli g > 1. to ta nierówność jest zawsze spełniona, dla wszystkich n,
n
bo a jest liczbą dodatnią, a zatem i Ya jest liczbą dodatnią, więc
n
1 — | / a < l - Jeżeli zaś e < 1, to dzieląc obie strony nierówności przez
rt
liczbę dodatnią (1 — e) Ya, otrzym ujemy:
i < 1
y a 1 - 8
czyli:
Stosując tu nierówność (1 -|- d)m > 1 dm, otrzymujemy: | l -f- — j
> 1 . nE
>
1 — e
Jeżeli więc spełnimy nierówność:
(i) ^ < i + a ^ 1 — £” 8
to tembardziej będzie spełniona nierówność (i). Stąd otrzymujemy:
^
--- = N i (e)W ten sposób znaleźliśmy takie W,, że dla wszystkich n > spełnia się nierówność (j) a więc i nierówność: (i) i (f), a to dowodzi, że
rt
[/« -» 1 także i dla a < 1, ale dla a dodatnich.
8*
Wreszcie dla a = 1 jest zawsze \a — \, a więc i lim |/a ^ = 1.
n —>oo
e) Na podstawie poprzedniego przykładu można wykazać, że ogólniej:
(k) lim au" = 1
«—►00
gdy {;/„} jest dowolnym ciągiem liczb dążących do z e r a , zaś « > 0.
Weźmy najpierw pod uwagę ciąg {«„}, złożony z samych liczb do
datnich. Chodzi nam o spełnienie nierówności:
(1) | a"" — 1 1 < £
Tu znowu, jak w poprzednim przykładzie, trzeba osobno rozważyć a > 1, a < ę l i a — 1.
Otóż dla a > 1 jest a“” > 1, a więc a“* — 1 jest liczbą dodatnią i nierówność (1) ma postać:
(m) aan — 1 < e
Abjr spełnić tę nierówność, wyszukujemy najpierw takie M u aby dla wszystkich m > M t było a m— 1 < e; w poprzednim przykładzie widzie
liśmy, że takiem M1 jest np. — • A teraz dobierzmy do tego M x tak wielkie iY,, aby dla n > Ar, było un < ; to się da zawsze
uczy-i l uczy-i , - j - 1
nić, bo ciąg {;<„} dąży do zera, a więc \u„ — 0 | — czyli w tym wypadku Un — Ja się uczynić mniejsze od każdej dowolnej liczby dodatniej.
Ponieważ
un < 1
M x + 1 to
a zatem
i a“n ■< aMi+i
i
a u n — 1 < ; a A,> + ] — 1
i _i
Ponieważ zaś aM' +1 — 1 < £ (bo a m — 1 <C £ dla wsz3'stkich m > ii/,, a więc i dla m = ii/, -(- 1), przeto i
a“n — 1 < £
a stąd wynika, że spełnia się nierówność (1) dla wszystkich n > N x.
czyli a“« —> 1. A więc dla a > 1 wzór (k) jest udowodniony. Dla a < 1 nierówność (1) ma postać:
1 — a“» < £
Postępujemy zupełnie podobnie, ja k w poprzednim przypadku. A więc
najpierw obieramy takie il/2, aby dla m > J/2 było 1 — a m<lE (według
przykładu (d) jest np. iI/ 2 = —---). Do tego Mt dobieramy takie iV2, aby dla n > JS\ było u„ < ‘
1 i
W tedy: a“« j> aM'!+ ', zatem 1 — a"« <C 1 — < i, bo m = A/2-f- -(- 1 > Ms. Wobec tego spełnia się nierówność 1 — a“« < e, czyli nie
równość (1), dla wszystkich n > iV2, a to dowodzi, że a“« —> 1 także dla o < I.
Dla a — i jest a"« = l a więc i teraz a"« —> 1.
Dla ciągów {m„}, o wszystkich wyrazach dodatnich, twierdzenie jest więc udowodnione.
Jeżeli wszystkie wyrazy ciągu {«„} są ujemne, to kładąc u„ = — dn otrzymujemy ciąg {oł„}, złożony z samych wyrazów dodatnich. Chcemy okazać, że
(n) lim a~d'‘ — 1
/ i- > o o
czyli:
11 \rf/i lim ( i
n —> oo \ Cl
Kładąc - = 6, otrzymujemy:
(o) lim ¿A = 1
n-+oo
a to jest ciąg o wykładnikach dodatnich; sprowadziliśmy w ten sposób ten przypadek do poprzedniego, a zatem wzór (o) jest prawdziwy, a więc i wzór (n) jest prawdziwy.
Jeżeli ciąg {un} zawiera dodatnie i ujemne wyrazy, to ciąg {a“n}
dąży do tej samej granicy 1.
Można tu bowiem zastosować twierdzenie o trzech ciągach; i tak a-'"«1 a"« 5S a+l“«' dla a 1
a-'"«1 ^ a“« ^ a+l"«1 „ a <£ 1
a ciągi {u+i"«i} i {a-i“«i} są zbieżne do wspólnej granicy 1 według udo
wodnionych poprzednio twierdzeń.
Udowodniliśmy w ten sposób prawdziwość następującego twierdze
nia, z którego skorzystamy później, przy omawianiu funkcyj wykładni
czych. Jeżeli: a > 0 i nn —> 0, to a“« —> 1.
Uwciyi. P rzy form ułow aniu pojęcia gran icy należy unikać pew nych niepotrzeb
nych lub zgoła błędnych pow iedzeń. T ak np. można się spotkać z określeniem , że g ra nica je s t to ta k a liczba, do której się w yrazy ciągu corctzto ba rd ziej zbliżają. Otóż;
w arunek ten nie je s t ani dostateczny ani konieczny. T a k np. w yrazy ciągu
Opierając się na tej arytmetycznej definicji granicy, nietrudno udo
wodnić prawdziwość następującego twierdzenia.
Mamy więc tembardziej:
— £ < |f l „ | —
|y| <
+ £czyli: dla n > N jest ||a„| — y || <C e. To zaś dowodzi, że lim |a„| = \g\.
—>00
Odwrócenie tego twierdzenia nie jest jednak w ogólności prawdziwe, ja k tego dowodzi np. zachowanie się ciągu —1, - ]- l, — 1, J a k kolwiek tu zawsze |a„| = 1, a więc ciąg jest zbieżny, to mimo to ciąg {an} jest rozbieżny, a mianowicie jego w yrazy oscylują ciągle od
— 1 do - ) - 1. Natomiast dla ciągów, posiadających granicę g = 0, także odwrócenie twierdzenia V jest prawdziwe, a mianowicie:
Va. Jeżeli |o„| —> 0, to i an —> 0.
Dowód. W edług założenia istnieje także N, że dla n > N jest stale
| j | — O J £ czyli ||a „ ||< s czyli |a„|<(£, co też można napisać:\an—0 | < 0.
To zaś dowodzi, że an —> 0.
Tak np. wiemy, że ciąg:
l i i i
’ 2 ’
jest zbieżny do 0. Stąd wynika, że zbieżnym do zera będzie także ciąg, otrzymany z tego ciągu przez zmianę znaku dowolnej liczby wyrazów, np. ciąg:
i» i< 's> "łi —
§ 3 1 1). Granica górna i dolna. Zasada zbieżności Caucliy’ego.
Jeżeli zasób wartości ciągu {a,,} jest obustronnie ograniczony, to istnieje, jak wiemy (por. § 25), kres górny K i kres dolny k tego zbioru, t. j. najmniejsza z liczb ograniczających ten zbiór zgóry i największa z liczb ograniczających go zdołu. Prócz tych liczb wprowadzono jeszcze pojęcie granicy górnej i granicy dolnej, różne w ogólności od kresu gór
nego i dolnego. Weźmy pod uwagę zbiór wszystkich takich liczb A powyżej których znajduje się conajwyżej skończona liczba wyrazów ciągu (t. j. albo żaden wyraz ciągu nie jest większy od A, albo tylko skończona liczba wyrazów ciągu przekracza A ); taką liczbą jest np. K i wszystkie liczby większe od K , lecz mogą istnieć także liczb}^ A mniejsze od K.
Tak np. w ciągu o wyrazie ogólnym: an = 3 -(- (— 1)"^1 -j- ~ j począt-kowemi wyrazami są: 1, 4£, 1§, 4^, 1$, 4-J, 1 $ ,... (fig. 55; por. też fig. 53 na str. 101). Kresem górnym jest IiT = 4 £ a kresem dolnym k — 1.
Liczbą A jest 4jj, a także 4-J- lub 4-£, albowiem powyżej K niema wcale wyrazów ciągu, powyżej 4^ znajduje się tylko jeden wyraz ciągu,
po-l) Z treści tego p arag rafu nie będziem y korzystali w tym tomie.
k 8 G K
t t ---1---h— —
I---o i u r n 3 ą a u s
F ig. 55.
wyżej 4jt tylko dwa wyrazy i t. p. Zbiór liczb A jest ograniczony zdołu (np. liczbą 0, a wogóle każdą liczbą kx mniejszą od k, albowiem powy
żej kx znajduje się już nieskończenie wiele wyrazów ciągu a mianowicie wszystkie wyrazy są większe od kj). Wobec tego zbiór liczb A posiada kres dolny: nazwijmy go G. W naszym przykładzie tym kresem dolnym liczb A jest 4: powyżej każdej liczby G — e mniejszej od 4, leży nie
skończenie wiele wyrazów ciągu a powyżej każdej liczby G -j- e, większej od 4, leży conajwyżej skończona liczba wyrazów ciągu. Ten dolny kres liczb A nazywamy górną granicą ciągu {an} i piszemy:
6r = lim sup a„ (czytaj: „limes superior“ !)
n-+oo
Granica górna jest to więc liczba G, mająca tę własność, ze przy dowolnem dodatniem e conajwyżej skończona liczba wyrazów ciągu przekracza G -j- e a nieskończenie wiele wyrazów ciągu przekracza G — e.
W podobny sposób budujemy pojęcie granicy dolnej.
Bierzemy mianowicie pod uwagę zbiór wszystkich takich liczb B, poniżej których znajduje się conajwyżej skończona liczba wyrazów ciągu {a„}. Taką liczbą jest np. k i wszystkie liczby mniejsze od k. Mogą jed
nak istnieć także liczby B większe od k. W naszym przykładzie liczbą B jest np. k — 1, a także 1-|, 1-$. i t. p. Zbiór liczb B jest ograniczony zgóry (np. każdą liczbą K x większą od K), wobec tego posiada kres górny, nazwijmy go g. W naszym przykładzie tym kresem górnym liczb B jest g = 2, albowiem poniżej g — e leży conajwyżej skończona liczba w yra
zów ciągu, a poniżej g -\- £ leży ich nieskończenie wiele. Ten górny kres liczb B nazywamy dolną granicą ciągu {a„} i piszemy:
y = liminf<7„ (czytaj: „limes inferior“ !)
r t—»■ oo
Granica dolna jest to zatem liczba g, mająca tę własność, ze przy dowolnem dodatniem e conajwyżej skończona liczba wyrazów ciągu leży poni- żej g — £, a nieskończenie wiele wyrazów leży poniżej g -j- e. Z tych defini- cyj wynika, że granica górna nie może być mniejsza od granicy dolnej.
Ciąg ograniczony posiada zatem zawsze granicę górną i dolną. Jeżeli granica górna jest równa granicy dolnej: G = g, to ciąg jest zbieżny, a ta wspólna wartość g jest właśnie jego granicą. W tedy bowiem istnieje tylko skończona liczba wyrazów poza przedziałem (g — e, y -|-e ), a więc prawie wszystkie wyrazy leżą w każdym przedziale, otaczającym g.
Opierając się na tem twierdzeniu, wykażemy, że koniecznym i do
statecznym warunkiem zbieżności ciągu jest, aby począwszy od pewnego wyrazu wszystkie dalsze jego wyrazy różniły się między sobą dowolnie mało. Twierdzenie to, zwane ogólną zasadą zbieżności C a u c h y ’ eg o, wy
raża się ściśle w następującej arytmetycznej postaci.
Koniecznym i dostatecznym warunkiem zbieżności ciągu {a,,} jest, aby do każdej dodatniej liczby e można było dobrać taką liczbę N, żeby się dla wszystkich n N spełniała nierówność:
In) \a ,l+/, — a„| < £
przyczem p oznacza dowolną liczbę całkowitą dodatnią.
Dowód. W y k ażem y najpierw , że ten w arunek je st konieczny, t. j., że, jeżeli
lony w łaśnie o e od dolnego końca drugiego przedziału). Jeżeli się więc spełnia n ie
rów ność (n) dla każdego s przy odpow iednio dobranem N, to gran ica g ó rn a musi się rów nać dolnej, a zatem b ad an y ciąg musi być zbieżny.
P rzykła d .
Z badajm y w ten sposób zbieżność ciągu:
" « + 1
W tym celu tw orzym y:
I #/x I — n + p _ | (n + j>)(« -f 1)— (n + y - f 1) n 1
(" + l ) ( » + i + 1) (« + 1XW+P + 1)
Chcemy znaleźć takie N, ab y się dla n j> N spełniała nierów ność:
(i r + Txf + y + i ) < * czyli (” + 1X,i + i , + 1'> 7
Poniew aż je s t zawsze n - j - p - j-1 )> p , przeto w ystarczy obrać » -f- 1 )> —, czyli:
n > i — 1 = N e
Z naleźliśm y takie N , że dla n j> N je s t | a„+P — a„| <[ fi, a to dowodzi, że b adany ciąg je s t zbieżny.
Skąd w idzim y, że przy zastosow aniu tej ogólnej zasady zbieżności m ożna zba
dać zbieżność ciągu, nie znając granicy.
§ 32. Arytmetyczne działania, wykonywane na ciągach zbieżnych.
Poznamy obecnie szereg twierdzeń o działaniach arytmetycznych, wykonywanych na wyrazach dwóch lub więcej ciągów; twierdzenia te pozwalają często sprowadzić badanie ciągu o wyrazach skomplikowanych do badania ciągów o bardzo prostej budowie.
VI. Jeżeli dwa ciągi są zbieżne, to ciąg, którego wyrazy są sumami (ilub różnicami) odpowiednich wyrazów tych ciągów, jest także zbieżny, a jego granicą jest suma (lub różnica) granic tych ciągów.
To znaczy: jeżeli an —>a i ¿„—>6, to:
K -j- bn) -> a + 6, (an — b„) -> a — b
Dowód: W edług założenia istnieją dwie takie liczby N, i iV2l że przy dowolnem dodatniem e spełniają się następujące warunki:
dla n > W, jest |a„ — « | < |
(A) „ n iV2 „ | bn ó | < g
Nazwijmy nie mniejszą z liczb N u N 2 literą N; możemy to oznaczyć symbolem: N = m & x ( N t , N%), gdzie max jest skróceniem słowa: maxi
mum. Dla n > N spełniają się obydwie nierówności n Nx i n j> iY3
równości (A), to
\an — a| + 1&« — ó| < £
Bezwzględna wartość sumy nie przekracza nigdy sumy bezwzględnych wartości, wobec czego:
\an — a -f- b„ — b\ ;S \a„ — a | + \bn — b\ < e
czyli: | (a„ -f- b„) — (a -(- ó)| ■< e dla wszystkich n > N, a to znaczy, że (a„ -f- b„) —> a b
Twierdzenie jest więc udowodnione dla sumy. Podobnie możnaby przeprowadzić dowód dla różnicy, ale prościej dojdziemy do celu w na
stępujący sposób.
Ponieważ b„ —> b, to dla » > N jest |ó„ — 61 <1 e; ale \b n ~ b \ =
= \ — bn -\-b |, zatem i | — bn -j- ó| <C £, a więc także — b„—> — b.
Stosując do ciągów {«„} i {— b,,} twierdzenie o sumie, otrzymujemy odrazu :
(a„ — b„) —> a ~ b
Przykłady: 1) Zbadajmy zbieżność ciągu o wyrazie ogólnym n -t- 1
C" = —
W tym celu rozkładamy c„ na sumę dwóch dodajników: c„ = l - j - ^ - . Nazwijmy a„ — 1, bn = — . Na podstawie twierdzenia VI jest
c„ = a„ + bn -> 1 + 0 a więc c„ -> 1
Badanie zbieżności tego ciągu sprowadziliśmy więc do dwóch prost
szych ciągów, których granice są znane. Możnaby także w inny sposób dowieść zbieżności tego ciągu, a mianowicie wykazując, że jest on mo- notonicznie malejący i ograniczony zdołu; w ten sposób nie znaleźlibyśmy jednak odrazu także wartości tej granicy.
2) Zbadać granicę ciągu: cn — 3 -|- (^)". Ponieważ 3 —>3, a (£)"—>0 jako ciąg wybrany z ciągu 1, ■£, . . . , zbieżnego do zera, przeto c„ —> 3 + 0 czyli c„ —> 3.
3) Zbadać granicę ciągu: c„ = . Q— . . 2 Tę funkcję ułamkową
?l — o Tl —f— 1 0
możemy rozłożyć na ułamki częściowe (por. str. 91); otrzymamy:
zbieżnego do zera; podobnie bn — - ^ . - »0, a więc c„ -> 0 — 0 czyli c„—> 0.
71 O
To twierdzenie o sumie i różnicy granic można stosować oczy
wiście tylko wtedy, gdy te granice istnieją, czyli gdy składowe ciągi są zbieżne. Stosując niewłaściwie to twierdzenie, możemy dojść do mylnych wniosków. Tak np. ciąg:
C„ --- 1;---- - --- [--- 1, czyli:
ma granicę zero (por. przykład na str. 110). Tymczasem ciągi
skła-77f -J— l
dowe a„ — (— 1) r ó* = (— l n i e posiadają granicy. Wobec tego skłonni bylibyśmy sądzić, że także c, — an — ¿>„ nie posiada granicy
dowe a„ — (— 1) r ó* = (— l n i e posiadają granicy. Wobec tego skłonni bylibyśmy sądzić, że także c, — an — ¿>„ nie posiada granicy