Uogólnienie dla wi¦kszych indeksów rozró»niaj¡cych

2.4. Uogólnienie dla wi¦kszych indeksów

rozró»niaj¡cych

W tym podrozdziale rozwa»amy kolorowania kraw¦dziowe iloczynu kar-tezja«skiego gwiazd K1,m oraz K1,n za pomoc¡ d kolorów.

W celu wskazania kolorowa« rozró»niaj¡cych, dzielimy zbiór kraw¦dzi gwiazdy K1,m na pewne podzbiory w nast¦puj¡cy sposób. Dla liczby na-turalnej m oznaczmy k = dm

de oraz k0 = b^m_dc. Niech l oraz l0 b¦d¡ takimi liczbami naturalnymi, »e m = lk + l0k⁰ oraz d = l + l0. Ten ukªad równa« ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie, o ile d nie dzieli m. W przypadku, gdy d dzieli m, przyjmujemy l = d oraz l0 = 0.

Twierdzenie 2.18. Je»eli 2 ≤ m < n ≤ d^2m+1−^lm d m + 1, to D0(K_1,mK1,n) ≤ d.

Dowód. Gwiazdy K1,m oraz K1,n s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wskazujemy wi¦c kolorowanie przeªamuj¡ce automorzmy czynników grafu K1,mK1,n. Oznaczmy V (K1,m) = {u₀, u₁, . . . , u_m} oraz V (K1,n) = {v₀, v₁, . . . , v_n}, gdzie u0 oraz v0 s¡ wierzchoªkami centralnymi gwiazd K1,m oraz K1,n.

Rozpoczynamy kolorowanie od kraw¦dzi Kv0

1,mwarstwy. Na kraw¦dzi (u₀, v₀)(u_i, v₀) kªadziemy kolor c ∈ {1, 2, . . . , d}, gdy (c − 1) < i ≤ c m

d

 oraz c ≤ l lub gdy l m

d + (c − l) m d < i ≤ l m d + (c − l) m d  .

Rozwa»my zbiór S wszystkich ci¡gów dªugo±ci 2m + 1 o wyrazach ze zbioru {1, 2, . . . , d}. Ka»dej Kvi

1,mwarstwie, poza ju» pokolorowan¡ K^v0

1,mwarstw¡, przypisujemy ci¡g ze zbioru S

sⁱ = (a0, a1, . . . , am, b1, . . . , bm),

gdzie aj oznacza kolor kraw¦dzi w K1,nwarstwie incydentnej z wierzchoª-kiem (uj, v_i) natomiast bj oznacza kolor kraw¦dzi w Kvi

1,mwarstwie incy-dentnej z wierzchoªkiem (uj, v_i). W ten sposób otrzymujemy kolorowanie wszystkich kraw¦dzi grafu K1,mK1,n.

Zauwa»my, »e dla ka»dego i liczba wyst¡pie« 1 jako i-tego wyrazu ci¡gu zliczana po wszystkich ci¡gach ze zbioru S jest równa d2m. Rozwa»my zbiór A = {sk ∈ S : k = {1, 2, . . . ,m

d}}, gdzie sk jest takim ci¡giem, »e a_j = a_j+tdm

de = aj+ldm de+t0bm

2.4. Uogólnienie dla wi¦kszych indeksów rozró»niaj¡cych 33 a pozostaªe wyrazy sk s¡ równe 1. Liczba wyst¡pie« 1 jako i-tego wyrazu ci¡gu liczona po wszystkich ci¡gach ze zbioru A jest ró»na dla ka»dego i.

W przypadku, gdy n = d2m+1−m

d + 1, ka»dej K1,mwarstwie przy-pisujemy inny ci¡g ze zbioru S\A. Liczba kraw¦dzi w kolorze 1 jest wi¦c ró»na dla wszystkich K1,nwarstw, poza K1,nwarstw¡. St¡d automorzmy permutuj¡ce K1,n-warstwy zostaªy przeªamane. Dodatkowo wszystkie wy-korzystane ci¡gi s¡ ró»ne, wi¦c i automorzmy permutuj¡ce K1,mwarstwy s¡ przeªamane. Otrzymali±my kolorowanie rozró»niaj¡ce grafu K1,mK1,n.

Zaªó»my teraz, »e d2m+1(d − 2)2m+1−m

d + 1 ≤ n < d2m+1−m d + 1. Oznaczmy p = d2m+1−m

d + 1 − n. Je±li p jest liczb¡ parzyst¡, usuwamy dodatkowo p

2 par dopeªniaj¡cych wektorów ze zbioru S\A. Je±li p jest liczb¡ nieparzyst¡, usuwamy wektor (1, 1, . . . , 1) oraz p−1

2 par dopeªniaj¡-cych. Kolorowanie iloczynu kartezja«skiego z wykorzystaniem pozostaªych wektorów wci¡» posiada wªasno±ci opisane powy»ej. Jest to wi¦c koloro-wanie rozró»niaj¡ce.

W ostatnim przypadku, czyli gdy n < d2m+1(d − 2)2m+1 −m d + 1, oznaczmy t = d2m+1(d − 2)2m+1−m

d + 1 − n. Usuwamy wszystkie pary dopeªniaj¡ce wektorów ze zbioru S\A oraz t dowolnych wektorów, które nie posiadaj¡ par dopeªniaj¡cych. W dalszym ci¡gu kolorowanie utworzone przy pomocy pozostaªych wektorów ma »¡dane przez nas wªasno±ci. Za-tem i w tym przypadku wskazali±my rozró»niaj¡ce dwukolorowanie grafu

K_1,mK1,n. 

Twierdzenie 2.19. Je»eli m ≥ 1 oraz n ≥ d2m+1, to D⁰(K_1,mK1,n) > d.

Dowód. Dla d = 1 teza zachodzi, gdy» | Aut(K1,mK1,n)| ≥ m!n! > 1. Je±li d ≥ 2, to m 6= n, czyli czynniki s¡ wzgl¦dnie pierwsze. Niech v b¦dzie centralnym wierzchoªkiem gwiazdy K1,n. Ka»de d-kolorowanie kraw¦dzi grafu K1,mK1,n poza kraw¦dziami Kv

1,mwarstwy mo»e zosta¢ opisane za pomoc¡ macierzy M = [ai,j]o n wierszach i 2m + 1 kolumnach. Elementami tej macierzy s¡ liczby ze zbioru {1, 2, . . . , d}. Dla ka»dego i = 1, . . . , n elementy ai,1, . . . , a_i,m+1 to kolory kraw¦dzi K1,nwarstw incy-dentnych z kolejnymi wierzchoªkami itej K1,mwarstwy. Natomiast ele-menty ai,m+2, . . . , a_i,2m+1 to kolory kolejnych kraw¦dzi i-tej K1,mwarstwy. Wiersze macierzy M odpowiadaj¡ 2m + 1-elementowym ci¡gom i jest ich n > d2m+1. St¡d ka»da taka macierz musi zawiera¢ co najmniej dwa iden-tyczne wiersze. Automorzm grafu K1,mK1,n wymieniaj¡cy

odpowiada-2.4. Uogólnienie dla wi¦kszych indeksów rozró»niaj¡cych 34 j¡ce im K1,mwarstwy zachowuje to kolorowanie. 

Przygotowujemy si¦ do uogólnienia twierdzenia 2.5 dla wi¦kszych in-deksów rozró»niaj¡cych. W tym celu wykorzystujemy nast¦puj¡cy zbiór wektorów dªugo±ci k

([d]²)^k = {(v1, . . . , vk) : vi = (ai, bi), ai, bi ∈ {1, 2, . . . , d}, i ∈ {1, . . . , k}}. Dla liczby naturalnej m oznaczmy k = dm

deoraz k0 = b^m_dc. Rozwa»my zbiory V = {v1, . . . , vr} ⊂ ([d]2)k oraz V0 = {v⁰¹, . . . , v^0r} ⊂ ([d]2)k⁰. Niech l oraz l0 b¦d¡ takimi liczbami naturalnymi, »e m = lk + l0k⁰ oraz d = l + l0. Ten ukªad równa« ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie, o ile d nie dzieli m. W przypadku, gdy d dzieli m, przyjmujemy l = d oraz l0 = 0. Przez v^∗i oznaczmy wektor b¦d¡cy konkatenacj¡ l kopii wektora vi oraz l0 kopii wektora v0i. Zauwa»my, »e v∗i nale»y do zbioru ([d]2)^k. Oznaczmy przez V^∗ zbiór wszystkich wektorów v∗i.

Ponownie rozwa»my specjalny podzbiór Sm. W tym celu dzielimy zbiór {1, 2, . . . , m} na nast¦puj¡ce podzbiory

I_s = {i : k(s − 1) + 1 ≤ i ≤ ks} dla s ∈ {1, . . . , l}, I_t = {i : kl + k⁰(t − 1) + 1 ≤ i ≤ kl + k⁰t} dla t ∈ {1, . . . , l⁰}. Rozwa»amy zbiór Sd

m, zawieraj¡cy wszystkie permutacje π nale»¡ce do zbioru Sm, takie »e π(i) nale»y do zbioru Is dla ka»dego i ze zbioru Is

i ka»dego s ∈ {1, 2, . . . , l} oraz π(i) nale»y do zbioru It dla ka»dego i ze zbioru It i ka»dego t ∈ {1, 2, . . . , l0}.

Mówimy, »e zbiór V∗ ⊂ ([d]2)m jest d-kolumnowo niezmienniczy, je±li istnieje taka permutacja π ze zbioru Sd

m, »e dla ka»dego wektora v∗ nale»¡-cego do zbioru V∗wektor πv∗ równie» nale»y do zbioru V∗. W przeciwnym przypadku mówimy, »e zbiór Sd

m jest d-kolumnowo zmienniczy.

Dzi¦ki tej notacji wyniki udowodnione w poprzednim podrozdziale mog¡ zosta¢ uogólnione dla przypadku d-kolorowania kraw¦dziowego.

Lemat 2.20. Silnie rozró»niaj¡ce kolorowanie grafu K1,rK1,k za pomoc¡ dkolorów istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje r-elementowy zbiór wek-torów V ⊂ ([d]2)k, który jest kolumnowo zmienniczy.

Dowód. Rozwa»my kolorowanie silnie rozró»niaj¡ce grafu K1,rK1,k za pomoc¡ d kolorów. Wszystkie nietrywialne automorzmy iloczynu kar-tezja«skiego K1,mK1,n s¡ przeªamane. Kolorowanie to odpowiada zbio-rowi r wektorów V ⊂ ([d]2)k. Permutacja π ∈ Sk\{id} dziaªaj¡ca na

2.4. Uogólnienie dla wi¦kszych indeksów rozró»niaj¡cych 35 tym zbiorze wektorów odpowiada automorzmowi iloczynu kartezja«skiego K_1,rK1,k. Zatem zbiór V jest kolumnowo zmienniczy, gdy» dla dowolnej permutacji π ∈ Sk\{id} zachodzi πV 6= V . Przedstawione warunki s¡

równowa»ne. 

Lemat 2.21. Je»eli r ≤ k ≤ d2r − r + 1, to K1,rK1,k ma silnie rozró»-niaj¡ce kolorowanie kraw¦dziowe za pomoc¡ d kolorów.

Dowód. Oznaczmy przez u wierzchoªek centralny gwiazdy K1,r oraz przez v wierzchoªek centralny gwiazdy K1,k.

Skonstruujemy kolorowanie silnie rozró»niaj¡ce grafu K1,rK1,k. Zgod-nie z denicj¡ kolorowania silZgod-nie rozró»niaj¡cego wszystkie kraw¦dzie Kv

1,rwarstwy wraz ze wszystkimi kraw¦dziami Ku

1,kwarstwy maj¡ ten sam kolor. Bez straty ogólno±ci przyjmijmy, »e jest to kolor 1. Pozostaªe kra-w¦dzie pokolorujemy wykorzystuj¡c pewien podzbiór wektorów ze zbioru ([d]2)r.

Zaªó»my najpierw, »e k = d2r− r + 1. Ze zbioru wszystkich mo»liwych wektorów usuwamy wektory postaci

vⁱ = ((1, bⁱ₁), (1, bⁱ₂), . . . , (1, bⁱ_r)), dla i ∈ {1, 2, . . . , r − 1}, gdzie bi

j = 1 dla j ≤ i oraz bi

j = 2 w przeciwnym przypadku.

Wektorów tej postaci jest dokªadnie r − 1. Pozostaªych wektorów u»y-wamy do konstrukcji kolorowania kraw¦dziowego grafu K1,rK1,k. Ko-lorowanie to jest silnie rozró»niaj¡ce. W ka»dej z K1,kwarstw jest inna liczba kraw¦dzi o kolorze 1, wi¦c je±li którekolwiek z tych warstw zostaªyby wymienione przez automorzm iloczynu kartezja«skiego, kolorowanie nie zostaªoby zachowane. Zauwa»my, »e K1,rwarstwy maj¡ inn¡ liczb¦ wierz-choªków incydentnych z kraw¦dzi¡ w kolorze 1, wi¦c równie» nie mog¡ by¢ wymienione z zachowaniem kolorów kraw¦dzi.

W przypadku, gdy dr(d − 2)r − r + 1 ≤ k < d2r − r + 1, poªó»my s = 2^2r − r + 1 − k. Je±li s jest liczb¡ parzyst¡, usuwamy dodatkowo

s

2 par dopeªniaj¡cych wektorów ze zbioru ([d]2)r. Je±li s jest liczb¡ nie-parzyst¡, usuwamy wektor ((1, 1), . . . , (1, 1)) oraz s−1

2 par dopeªniaj¡cych. Kolorowanie iloczynu kartezja«skiego z wykorzystaniem pozostaªych wek-torów wci¡» posiada wªasno±ci opisane powy»ej. Jest to wi¦c kolorowanie rozró»niaj¡ce.

2.4. Uogólnienie dla wi¦kszych indeksów rozró»niaj¡cych 36 W ostatnim przypadku, czyli gdy k < dr(d − 2)^r − r + 1, oznaczmy t = dr(d − 2)r− r + 1 − k. Usuwamy wszystkie pary dopeªniaj¡ce wekto-rów ze zbioru ([d]2)r oraz t dowolnych wektorów, które nie posiadaj¡ par dopeªniaj¡cych. W dalszym ci¡gu kolorowanie utworzone przy pomocy pozostaªych wektorów ma »¡dane przez nas wªasno±ci. 

Przeliczenie analogiczne do tego, które zostaªo przedstawione przed wnioskiem 2.11 pozwala zapisa¢ nast¦puj¡c¡ obserwacj¦.

Obserwacja 2.22. Je»eli r ≤ k ≤ d2r−1, to K1,rK1,k ma silnie rozró»-niaj¡ce kolorowanie kraw¦dziowe za pomoc¡ d kolorów.  Lemat 2.23. Je»eli V∗ ⊂ ([d]2)^m jest d-kolumnowo zmienniczym zbiorem wektorów, to zbiór U∗

= ([d]²)^m\V^∗ równie» jest d-kolumnowo zmienni-czym zbiorem wektorów.

Dowód. Je±li zbiór V∗ jest kolumnowo zmienniczy, to dla ka»dej permu-tacji π ∈ Sd

m\{id} istnieje taki wektor v∗ ∈ V∗, »e πv∗ ∈ V/ ∗. St¡d dla ka»dej permutacji π−1 ∈ Sd

m\{id} istnieje taki wektor πv∗ ∈ U∗, »e wektor π⁻¹πv^∗ ∈ V∗. Zatem zbiór U∗ równie» jest d-kolumnowo zmienniczy.  Twierdzenie 2.24. Je»eli istniej¡ zbiory V ⊂ ([d]2)^k oraz V0 ⊂ ([d]2)^k0 rozmiaru r, które s¡ kolumnowo zmiennicze, to D0(K_1,mK1,n) = d, gdzie k = d^m_de, k = bm

dc oraz n = d2m+1− r.

Dowód. Przy pomocy kolumnowo zmienniczych zbiorów V ⊂ ([d]2)k oraz V⁰ ⊂ ([d]2)k⁰ konstruujemy wektory v∗i poprzez konkatenacj¦ l kopii wek-tora vi ∈ Vioraz l0 kopii wektora v0i ∈ V0, gdzie l+l0 = doraz lk+l0k⁰ = m. Wektory v∗itworz¡ zbiór V∗ ⊂ ([d]2)m, który jest d-kolumnowo zmienniczy. Równie» zbiór U∗ = ([d]2)m\V∗ jest d-kolumnowo zmienniczy na podsta-wie lematu 2.23. Zbiór U∗ wykorzystujemy do konstrukcji kolorowania iloczynu kartezja«skiego K1,mK1,n.

Niech V (K1,m) = {w₀, w₁, . . . , w_m} i V (K1,n) = {u₀, u₁, . . . , u_n}, gdzie w₀ i u0 s¡ wierzchoªkami centralnymi gwiazd K1,m oraz K1,n.

Kraw¦dzi w0w_i nale»¡cej do Ku0

1,mwarstwy nadajemy kolor s, je±li  k(s − 1) < i ≤ ks

i ≤ kl lub ^{ kl + k}_{i > kl}^{0(s − l − 1) < i ≤ kl + k0(s − l)} Kolorujemy kraw¦dzie Kw0

1,nwarstwy w taki sposób, aby kraw¦d¹ u0u_i miaªa kolor s, gdy (s − 1)d2m − r < i ≤ sd2m− r. Wektory ze zbioru

2.4. Uogólnienie dla wi¦kszych indeksów rozró»niaj¡cych 37 U^∗ przypisujemy do pierwszych d2m− r spo±ród K1,mwarstw, pozostaªym K_1,mwarstwom przypisujemy wektory ze zbioru ([d]2)m w taki sposób, aby Kui

1,mwarstwa oraz Kuj

1,mwarstwa otrzymywaªy ró»ne wektory, je±li (s − 1)d^2m− r < i, j ≤ sd2m− r dla pewnego s ∈ {1, 2, . . . , d}. Zbiór U∗

jest d-kolumnowo zmienniczy, wi¦c nie istnieje permutacja π ∈ Sd m\{id}, taka »e dla ka»dego u∗ ∈ U∗ wektor πu∗ nale»y do zbioru U∗. Dlatego dla ka»dego nietrywialnego automorzmu iloczynu kartezja«skiego gwiazd K_1,m oraz K1,n istnieje co najmniej jedna K1,mwarstwa, która nie mo»e zosta¢ tak przeprowadzona na inn¡ warstw¦, aby kolory kraw¦dzi zostaªy

niezmienione. 

Lemat 2.25. Je»eli d2r < k, to ka»dy zbiór V ⊂ ([d]2)k rozmiaru r jest kolumnowo niezmienniczy.

Dowód. Rozwa»my zbiór V = {v1, . . . , v^r}, gdzie vi = (v₁ⁱ, . . . , v_kⁱ) dla ka»dego i ∈ {1, . . . , r}. Oznaczmy wektor i-tych wspóªrz¦dnych

uj = (v_j¹, . . . , v^r_j) ∈ ([d]²)^r

dla ka»dego j ∈ {1, . . . , k}. Je±li k > d2r, to istniej¡ co najmniej dwa indeksy m < n, takie »e um oraz un s¡ sobie równe, czyli vi

m = vi n dla wszystkich i. Niech π ∈ Sk b¦dzie tak¡ transpozycj¡, »e π(m) = n. Wtedy dla wektora vi ∈ V mamy

πvⁱ =π(v₁ⁱ, . . . , v_mⁱ , . . . , v_nⁱ, . . . , v_kⁱ) = (v_π(1)ⁱ , . . . , v_π(m)ⁱ , . . . , vⁱ_π(n), . . . , vⁱ_π(k)) = =(v₁ⁱ, . . . , vⁱ_n, . . . , v_mⁱ , . . . , vⁱ_k) = (v₁ⁱ, . . . , v_mⁱ , . . . , v_nⁱ, . . . , v_kⁱ) = vⁱ

St¡d zbiór V jest kolumnowo niezmienniczy.  Twierdzenie 2.26. Je»eli d2r < k, to D0(K_1,mK1,n) > d, gdzie k = dm

de oraz n = d2m+1− r.

Dowód. Podajemy warunek, przy którym D0(K_1,mK1,n) = d + 1. Ana-logicznie do dowodu twierdzenia 2.16 mo»na pokaza¢, »e dla ka»dego kolo-rowania iloczynu kartezja«skiego K1,mK1,n za pomoc¡ d kolorów istnieje nietrywialny automorzm, który nie zostaª przeªamany. Ten automorzm odpowiada transpozycji π wyznaczonej w lemacie 2.25.

Niech v oraz u b¦d¡ centralnymi wierzchoªkami gwiazd K1,m oraz K1,n. Rozwa»my najpierw Ku

1,mwarstw¦ i Kv

2.4. Uogólnienie dla wi¦kszych indeksów rozró»niaj¡cych 38 zakªadamy, »e liczba kraw¦dzi w kolorze 1 w Ku

1,mwarstwie jest wi¦k-sza b¡d¹ równa liczbie kraw¦dzi w dowolnym innym kolorze w tej war-stwie. Liczb¦ kraw¦dzi w kolorze 1 w Ku

1,mwarstwie i Kv

1,nwarstwie oznaczamy odpowiednio przez k1 oraz n1, dodatkowo oznaczmy odpo-wiednio przez kioraz ni liczb¦ kraw¦dzi w kolorze i w Ku

1,mwarstwie oraz Kv

1,nwarstwie. Ponumerujmy wierzchoªki obu gwiazd, tak aby kraw¦dzie w kolorze 1 ª¡czyªy wierzchoªek centralny z pocz¡tkowymi k1 wierzchoª-kami Ku

1,mwarstwy i pocz¡tkowymi n1 wierzchoªkami Kv

1,nwarstwy. Po-nadto dla i = 2, . . . , d kraw¦dzie w kolorze i ª¡cz¡ wierzchoªek centralny K_1,m^u warstwy z wierzchoªkami o numerach od Pi−1

j=1kj + 1 do Pi i=1kj, a wierzchoªek centralny Kv

1,nwarstwy z wierzchoªkami o numerach od Pi−1

j=1n_j + 1 do Pi i=1n_j.

Oznaczmy zbiory wszystkich wektorów par dªugo±ci m odpowiadaj¡ce kolorowaniu pocz¡tkowych n1 spo±ród K1,m-warstw przez W1 oraz odpo-wiadaj¡ce kolorowaniu warstw o numerach Pi−1

j=1n_j + 1 do Pi

i=1n_j przez W_i. Oznaczmy przez Vi zbiory wszystkich wektorów par o dªugo±ci k1 od-powiadaj¡cych pocz¡tkowym k1 wyrazom wektorów ze zbiorów Wi. Niech U_i = ([d]2)k1\V_i. Oznaczmy ponadto U = Sd

i=1U_i oraz r0 = |U |. Wtedy r jest liczb¡ brakuj¡cych wektorów, wi¦c r0 ≤ r i k1 ≥ dm

de = k. St¡d d^2r0 ≤ d2r

< k ≤ k1, czyli d2r0

< k1. Zgodnie z lematem 2.25 zbiór U jest kolumnowo niezmien-niczy. Istnieje taka transpozycja π ∈ Sk1\{id}, »e πU = U. Co wi¦cej, dla ka»dego wektora ui ∈ U_i mamy πui = u_i. Niech π ∈ Sm\{id} b¦dzie tak¡ permutacj¡, »e π(i) = π(i) dla ka»dego i ∈ {Pi−1

j=1kj + 1, . . . , Pi i=1kj}. Skoro π([d]2)^m = ([d]²)^m, to dla ka»dego wektora vi ∈ V_i istnieje wektor w_i ∈ V_i, taki »e wi = πv_i. St¡d istnieje automorzm odpowiadaj¡cy permutacji π, który wymienia pocz¡tkowe k1 spo±ród K1,nwarstw zacho-wuj¡cy kolory kraw¦dzi iloczynu kartezja«skiego K1,mK1,n. 

Ten rozdziaª zako«czymy dowodem twierdzenia b¦d¡cego uogólnieniem twierdzenia 2.5 dla wi¦kszego indeksu rozró»niaj¡cego.

Twierdzenie 2.27. Je»eli m ≥ 2 oraz (d − 1)2m+1< n ≤ d2m+1, to 1. D0(K_1,mK1,n) = d, gdy n ≤ d2m+1− ^logdk 2 − 1 2, 2. D0(K_1,mK1,n) = d + 1, gdy n > d2m+1− ^logdk 2 , gdzie k = dm de.

2.4. Uogólnienie dla wi¦kszych indeksów rozró»niaj¡cych 39 Dowód. Niech r = d2m+1 − n. Je±li r ≥ log_dk

2 + ¹₂, to k ≤ d2r−1. Graf K_1,rK1,k ma silnie rozró»niaj¡ce kolorowanie zgodnie z obserwacj¡ 2.22. Ponadto dzi¦ki lematowi 2.20 istnieje zbiór wektorów V ⊂ ([d]2)k roz-miaru r, który jest kolumnowo zmienniczy. Ostatecznie z twierdzenia 2.24 wynika, »e indeks rozró»niaj¡cy iloczynu kartezja«skiego K1,mK1,n jest równy d.

W przypadku gdy r < log₂k

d , to d2r < k. Wtedy zgodnie z twierdzeniem 2.26 nie istnieje d-kolorowanie rozró»niaj¡ce grafu K1,mK1,n. 

Zauwa»my, »e istniej¡ liczby m, n oraz liczba d, dla których twierdze-nie 2.27 twierdze-nie determinuje indeksu rozró»niaj¡cego iloczynu kartezja«skiego K_1,mK1,n. Przypadek ten zachodzi, gdy speªniona jest nierówno±¢

d^2m+1−^logdk 2 − ¹

2 ^{< n ≤ d}

2m+1− ^logdk 2 ^.

Przypadki takie wyst¦puj¡ rzadko. Zaªó»my, »e dane s¡ liczby m oraz d. Wtedy powy»szy warunek jest równowa»ny istnieniu takiej liczby natural-nej l, »e zachodzi nierówno±ci log_dk

2 ≤ l < ^logdk

2 +¹₂. Ponadto n = d2m+1− l jest jedyn¡ tak¡ liczb¡, »e indeks rozró»niaj¡cy grafu K1,mK1,n wynosi d lub d + 1. Taka liczba l nie istnieje, gdy m < d3 − d + 1, wówczas D⁰(K_1,mK1,n) jest wyznaczony w twierdzeniu 2.27. Podsumowuj¡c in-deks rozró»niaj¡cy iloczynu kartezja«skiego K1,mK1,n pozostaje niewy-znaczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba l, »e m = d2l + i, dla i ∈ {1, 2 . . . , d2l+1− d2l}.

D⁰(K_1,mK1,n) =

2 lub 3 3 lub 4 4 lub 5

m n = 22m+1− l m n = 32m+1− l m n = 42m+1− l 7 2¹⁵− 1 25 3⁵¹− 1 61 4¹²³− 1 8 217− 1 26 353− 1 ... (4m− 1) 17 2³⁵− 2 27 3⁵⁵− 1 64 4¹²⁹− 1 ... (22m+1− 2) 82 3¹⁶⁵− 2 257 4⁵¹⁵− 2 32 265− 2 ... (32m+1− 2) ... (42m+1− 2) 65 2¹³¹− 3 243 3¹⁵− 2 1024 4²⁰⁴⁹− 2

Tablica 2.1. Pocz¡tkowe liczby m oraz n, dla których indeks rozró»nia-j¡cy grafu K1,mK1,n nie jest wyznaczony w twierdzeniu 2.27

3. Iloczyny dowolnych grafów