Index of /rozprawy2/11293

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie. rozprawa doktorska. Kolorowania przeªamuj¡ce automorzmy grafów iloczynowych Aleksandra Gorzkowska promotor dr hab. Rafaª Kalinowski. promotor pomocniczy dr Monika Pil±niak. Wydziaª Matematyki Stosowanej Katedra Matematyki Dyskretnej Kraków 2017.

(2) Skªadam serdeczne podzi¦kowania moim promotorom: dr. hab. Rafaªowi Kalinowskiemu oraz dr Monice Pil±niak za po±wi¦con¡ mi uwag¦, czas i cierpliwo±¢ oraz za cenne wskazówki merytoryczne. Bez ich wsparcia i nieustannej motywacji do pracy niniejsza rozprawa nie powstaªaby..

(3) Spis tre±ci Wst¦p . . . . . . . 1. Wprowadzenie 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Denicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Iloczyn kartezja«ski grafów i jego wªasno±ci Kolorowania rozró»niaj¡ce . . . . . . . . . . Rys historyczny . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 6 6 8 10 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Przykªady wprowadzaj¡ce . . . . . . . . . . . . . . . Dwukolorowalne iloczyny drzew . . . . . . . . . . . Dwukolorowalne iloczyny gwiazd . . . . . . . . . . . Uogólnienie dla wi¦kszych indeksów rozró»niaj¡cych. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 17 17 19 22 32. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 40 40 43 46. . Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Iloczyny kartezja«skie ±cie»ek i cykli . . . . . . . . . . . . . Hiperkostka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 51 51 53 57. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 2. Iloczyny drzew 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.. 3. Iloczyny dowolnych grafów spójnych 3.1. 3.2. 3.3.. . Wyniki wst¦pne . . . . . . . . . . . . Pot¦gi kartezja«skie . . . . . . . . . . Grafy zawieraj¡ce cykl . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 4. Koszt rozró»niania kraw¦dziowego grafów iloczynowych 4.1. 4.2. 4.3.. 3. Podsumowanie Bibliograa . .. 2.

(4) Wst¦p Teoria grafów, której dotyczy niniejsza rozprawa doktorska, jest w ostatnich dekadach intensywnie rozwijaj¡c¡ si¦ dziedzin¡ matematyki. Wynika to nie tylko z faktu, »e jest to interesuj¡ca teoria matematyczna, ale tak»e z jej szerokich zastosowa¢ w ró»nych dziedzinach. Tematem pracy jest przeªamywanie automorzmów grafu poprzez nadawanie kolorów kraw¦dziom w taki sposób, aby ka»dy nietrywialny automorzm zmieniaª kolor co najmniej jednej kraw¦dzi. Kolorowanie takie nazywamy rozró»niaj¡cym. Interesuje nas najmniejsza liczba kolorów w kolorowaniu rozró»niaj¡cym. Parametr ten nazywamy indeksem rozró»niaj¡cym grafu. Od roku 1996, w którym Albertson i Collins podali pierwsze denicje zwi¡zane z kolorowaniami wierzchoªkowymi przeªamuj¡cymi automorzmy, temat ten rozwija si¦ bardzo dynamicznie. Powstaªo ju» ponad sto prac o kolorowaniach rozró»niaj¡cych. Badania prowadzone s¡ w kilkunastu krajach, a w samych Stanach Zjednoczonych w kilkunastu o±rodkach, mi¦dzy innymi przez Boutin, Tuckera i Watkinsa. Ponadto zajmuj¡ si¦ tym na przykªad Conder w Nowej Zelandii, Gravier we Francji, Imrich w Austrii, Klavºar w Sªowenii oraz Zhu w Chinach. Szerokie zainteresowanie t¡ tematyk¡ spowodowaªo powstanie ró»nych wariantów kolorowa« rozró»niaj¡cych. Collins i Trenk zapocz¡tkowaªy badania nad kolorowaniami wªa±ciwymi [11]. Przeªamywanie endomorzmów byªo rozwa»ane przez Imricha, Kalinowskiego, Lehnera i Pil±niak [24]. Przypadek kolorowa« kraw¦dziowych, które omawiane s¡ w niniejszej rozprawie doktorskiej, zostaª zapocz¡tkowany przez Kalinowskiego i Pil±niak [28]. Wspólnie z Wo¹niakiem rozwa»ali oni tak»e kolorowania totalne [29]. Niezale»nie od tego, problemy te rozwa»ane byªy równie» dla grafów niesko«czonych, mi¦dzy 3.

(5) Wst¦p. 4. innymi przez Imricha, Klavºara, Smitha, Tuckera i Watkinsa (por. [26], [37], [38], [40]) dla kolorowa« wierzchoªkowych, oraz przez Broerego, Kalinowskiego, Lehnera, Pil±niak i Shekarriza dla kolorowa« kraw¦dziowych (por. [9], [10], [25], [32]). W XXI wieku kolorowania przeªamuj¡ce symetrie grafu znalazªy zastosowania w informatyce. Mi¦dzy innymi dla uogólnienia maszyny Turinga, aby jej dziaªanie odbywaªo si¦ na dowolnym grae, niekoniecznie na ta±mie modelowanej przez ±cie»k¦. Procedura taka zostaªa omówiona w pracy [4]. Ponadto przeªamanie symetrii w grae modeluj¡cym rozwa»an¡ sie¢ uªatwia wybór lidera w samostabilizuj¡cej si¦ sieci, w której maj¡ odbywa¢ si¦ obliczenia rozproszone (jak opisano w pracach [15], [16], [27]). Pierwszymi grafami rozwa»anymi pod k¡tem zastosowa« informatycznych byªy cykle i iloczyny kartezja«skie grafów oraz ich kolorowania wierzchoªkowe. S¡ to wyj¡tkowo interesuj¡ce klasy grafów ze wzgl¦du na bardzo du»¡ regularno±¢ ich struktury oraz maª¡ liczb¦ kolorów potrzebn¡ do przeªamania ich automorzmów. Du»a liczba kolorów generuje ogromne koszty pami¦ciowe na potrzeby przechowywania etykiet wierzchoªków lub kraw¦dzi. Z tego powodu interesuj¡ nas gªównie grafy o indeksie rozró»niaj¡cym równym dwa. Do takich grafów zaliczaj¡ si¦ grafy bez szponów i grafy trasowalne, co zostaªo pokazane w pracy [34], oraz pewne iloczyny kartezja«skie grafów. Celem niniejszej rozprawy jest rozwa»enie wªa±nie iloczynów kartezja«skich grafów spójnych w celu oszacowania ich indeksu rozró»niaj¡cego. Dodatkowo badamy wersj¦ optymalizacyjn¡ dla tego problemu w przypadku grafów, do przeªamania automorzmów których wystarcz¡ dwa kolory. Dla tych klas grafów poszukujemy kolorowa« z minimaln¡ liczb¡ kraw¦dzi w jednym z kolorów. T¦ minimaln¡ liczb¦ nazywamy kosztem rozró»niania kraw¦dziowego grafu. W rozdziale pierwszym podane zostaªy wszelkie niezb¦dne denicje i u»ywane oznaczenia. Przedstawione s¡ w nim podstawowe wªasno±ci iloczynu kartezja«skiego grafów. Ponadto przytaczamy wyniki dotycz¡ce kolorowa« wierzchoªkowych rozwa»anego iloczynu. W rozdziale drugim przedstawiono twierdzenia dotycz¡ce indeksu rozró»niaj¡cego iloczynu drzew, ze szczególnym uwzgl¦dnieniem gwiazd. Wynika to z faktu, »e indeks rozró»niaj¡cy gwiazd jest najwi¦kszy mo»liwy, gdy» ka»d¡ kraw¦d¹ nale»y pokolorowa¢ innym kolorem. Dowód zostaª przeprowadzony najpierw w przypadku grafów o indeksie rozró»niaj¡cym równym dwa, a nast¦pnie zostaª uogólniony na grafy o wi¦kszym indeksie rozró»niaj¡cym. Gªównym wynikiem przedstawionym w tym rozdziale.

(6) Wst¦p. 5. jest wyznaczenie indeksu rozró»niaj¡cego iloczynu kartezja«skiego dwóch gwiazd, z wyj¡tkiem rzadkich przypadków. W rozdziale trzecim zamieszczono lematy i twierdzenia dotycz¡ce iloczynów kartezja«skich dowolnych grafów spójnych, w szczególno±ci pot¦g kartezja«skich. Pokazane zostaªo, »e indeks rozró»niaj¡cy k -tej pot¦gi kartezja«skiej, dla k ≥ 2, dowolnego grafu spójnego jest równy dwa, z wyj¡tkiem drugiej pot¦gi grafu K2 , dla której parametr ten jest równy trzy. Najwa»niejszym wynikiem tego rozdziaªu jest przedstawienie warunku dla rz¦dów dwóch dowolnych grafów spójnych, przy którym indeks rozró»niaj¡cy ich iloczynu kartezja«skiego równy jest co najwy»ej dwa. Korzystaj¡c z zaprezentowanej tu techniki dowodowej, Estaji, Imrich, Kalinowski, Pil±niak i Tucker [14] poprawili wynik Imricha i Klavºara [22] sprzed dziesi¦ciu lat dotycz¡cy liczby rozró»niaj¡cej iloczynu kartezja«skiego dwóch grafów spójnych. W rozdziale czwartym zajmujemy si¦ wyª¡cznie klasami grafów, dla których istniej¡ dwukolorowania kraw¦dziowe przeªamuj¡ce nietrywialne automorzmy. Badamy koszt rozró»niania kraw¦dziowego iloczynu kartezja«skiego dla pewnych klas grafów, na przykªad ±cie»ek oraz cykli, w tym hiperkostki. Je±li w rozprawie pojawia si¦ twierdzenie bez nazwiska, oznacza to, »e jest ono wspóªautorstwa autorki niniejszej rozprawy i pochodzi z jednej z prac [17], [18]. Mianowicie w podrozdziaªach trzecim i czwartym rozdziaªu drugiego znajduj¡ si¦ wyniki z pracy [18]. Wyniki w pozostaªych podrozdziaªach rozdziaªu drugiego oraz w rozdziale trzecim pochodz¡ z pracy [17]. Rozdziaª czwarty zawiera jeszcze nieopublikowane rozwa»ania autorki, powstaªe przy wspóªudziale promotorów..

(7) 1. Wprowadzenie. 1.1. Denicje Grafem G nazywamy par¦ G = (V, E), gdzie V jest niepustym zbiorem sko«czonym, a E jest pewnym zbiorem dwuelementowych podzbiorów zbioru V . Elementy zbioru V nazywamy wierzchoªkami grafu G, natomiast elementy zbioru E nazywamy kraw¦dziami grafu G. Kraw¦d¹ {u, v} oznaczamy przez uv lub vu. Mówimy, »e u oraz v s¡ ko«cami kraw¦dzi uv . Liczb¦ elementów zbioru V nazywamy rz¦dem grafu G i oznaczamy przez |G|. Natomiast liczb¦ elementów zbioru E nazywamy rozmiarem grafu G, oznaczanym przez ||G||. Mówimy, »e wierzchoªki u oraz v s¡ s¡siednie, je±li kraw¦d¹ uv nale»y do zbioru E . W takim przypadku mówimy równie», »e kraw¦d¹ uv jest incydentna z wierzchoªkiem v (analogicznie u). Dwie kraw¦dzie e1 , e2 nazywamy s¡siednimi, je±li e1 ∩ e2 6= ∅, a wi¦c gdy istnieje wierzchoªek nale»¡cy do obu tych kraw¦dzi. Dla wierzchoªka v liczb¦ kraw¦dzi incydentnych z nim nazywamy stopniem d(v) tego wierzchoªka. Stopie« maksymalny grafu oznaczamy przez ∆(G), a minimalny przez δ(G). Graf, którego wszystkie wierzchoªki s¡ parami s¡siednie nazywamy grafem peªnym i oznaczamy przez Kn . cie»ka Pn to graf o zbiorze wierzchoªków V = {v1 , v2 , . . . , vn } i zbiorze kraw¦dzi E = {vi−1 vi : i ∈ {2, . . . n}}. Liczb¦ kraw¦dzi ±cie»ki nazywamy jej dªugo±ci¡, wi¦c ±cie»ka Pn ma dªugo±¢ n − 1. Wierzchoªki v1 i vn nazywamy ko«cami ±cie»ki i mówimy, »e ±cie»ka ª¡czy v1 z vn . Je±li do ±cie»ki dodamy kraw¦d¹ v1 vn , to otrzy6.

(8) 1.1. Denicje. 7. mamy cykl dªugo±ci n, oznaczany przez Cn . Dla dwóch wierzchoªków v i u grafu G, dªugo±¢ najkrótszej ±cie»ki ª¡cz¡cej te wierzchoªki w grae G nazywamy odlegªo±ci¡ wierzchoªków v i u, oznaczan¡ przez d(u, v). Dopeªnieniem grafu G = (V, E) nazywamy graf G = (V, E), gdzie uv jest kraw¦dzi¡ G wtedy i tylko wtedy, gdy uv nie nale»y do zbioru kraw¦dzi grafu G. Graf G0 = (V 0 , E 0 ) nazywamy podgrafem grafu G = (V, E), je±li V 0 ⊆ V oraz E 0 ⊆ E . Mówimy, »e G0 jest podgrafem indukowanym grafu G, je±li ka»da kraw¦d¹ uv grafu G, taka »e u i v s¡ wierzchoªkami grafu G0 jest kraw¦dzi¡ grafu G0 . Podgraf G0 nazywamy rozpinaj¡cym graf G, je±li V 0 = V . cie»k¡ Hamiltona nazywamy podgraf b¦d¡cy ±cie»k¡ o dªugo±ci |V | − 1, czyli przechodz¡c¡ przez wszystkie wierzchoªki grafu G. Graf posiadaj¡cy ±cie»k¦ Hamiltona nazywamy trasowalnym. Graf nazywamy spójnym, je±li jego dowolne dwa wierzchoªki s¡ poª¡czone ±cie»k¡. W przeciwnym przypadku mówimy, »e graf jest niespójny. Lasem nazywamy graf, który nie zawiera cyklu jako podgrafu. Spójny las to drzewo. Wierzchoªki stopnia jeden w drzewie nazywamy li±¢mi. Wiadomo, »e dla drzewa T zachodzi równo±¢ ||T || = |T | − 1. Odchyleniem wierzchoªka v nazywamy liczb¦ równ¡ max{d(v, w) : w ∈ V }. Centrum grafu nazywamy podgraf generowany przez zbiór wierzchoªków o najmniejszym odchyleniu. Jordan udowodniª, »e centrum drzewa skªada si¦ z pojedynczego wierzchoªka lub z kraw¦dzi. Drzewem symetrycznym Th,d nazywamy drzewo o wierzchoªku centralnym, którego wszystkie li±cie s¡ w odlegªo±ci h od centrum oraz ka»dy wierzchoªek nieb¦d¡cy li±ciem ma stopie« równy d. Szczególny przypadek drzewa symetrycznego dla d = n oraz h = 1 stanowi¡ grafy nazywane dalej gwiazdami i oznaczane przez 00 K1,n . Drzewo Th,d nazywamy bisymetrycznym, je±li ma kraw¦d¹ centraln¡, wszystkie li±cie s¡ w odlegªo±ci h od kraw¦dzi centralnej oraz ka»dy wierzchoªek, który nie jest li±ciem, ma stopie« równy d. Drzewem ukorzenionym nazywamy drzewo wraz z wyró»nionym wierzchoªkiem v , nazywanym korzeniem. W drzewie ukorzenionym wierzchoªek u nazywamy synem wierzchoªka w, je±li odlegªo±¢ wierzchoªka u od korzenia jest o jeden wi¦ksza od odlegªo±ci wierzchoªka w od korzenia. W takim przypadku wierzchoªek w nazywamy ojcem wierzchoªka u. Grafy G = (V, E) i G0 = (V 0 , E 0 ) nazywamy izomorcznymi, gdy istnieje taka bijekcja ϕ : V → V 0 , »e uv jest kraw¦dzi¡ grafu G wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ(u)ϕ(v) jest kraw¦dzi¡ grafu G0 . Piszemy wtedy G ∼ = G0 , a funkcj¦ ϕ nazywamy izomorzmem grafów G i G0 . Izomorzm przeksztaªcaj¡cy graf G w samego siebie nazywamy automorzmem (albo symetri¡) grafu G. Zbiór wszystkich automorzmów grafu G oznaczamy.

(9) 1.2. Iloczyn kartezja«ski grafów i jego wªasno±ci. 8. Aut(G). Automorzm trywialny, który ka»demu wierzchoªkowi v przyporz¡dkowuje wierzchoªek v nazywamy identyczno±ci¡ i oznaczamy przez id. Graf, którego jedynym automorzmem jest identyczno±¢ nazywamy asymetrycznym. W dalszych rozwa»aniach posªugiwa¢ si¦ b¦dziemy tak»e zbiorem Aut∗ (G) = Aut(G)\{id}. Niech W b¦dzie podzbiorem zbioru wierzchoªków grafu G. Stabilizatorem zbioru W , oznaczanym przez Stab(W ), nazywamy zbiór takich automorzmów ϕ grafu G, »e ϕ(W ) = W . Stabilizatorem punktowym zbioru W , oznaczanym przez Stabp (W ), nazywamy zbiór takich automorzmów ϕ grafu G, »e ϕ(v) = v dla ka»dego v ze zbioru W . Podzbiór W wierzchoªków grafu G nazywamy zbiorem determinuj¡cym, je±li stabilizator punktowy zbioru W skªada si¦ tylko z automorzmu trywialnego. Liczb¡ determinuj¡c¡ Det(G) nazywamy liczebno±¢ najmniejszego zbioru determinuj¡cego.. 1.2. Iloczyn kartezja«ski grafów i jego wªasno±ci Iloczynem kartezja«skim grafów G i H nazywamy graf GH , którego zbiór wierzchoªków to V (G)×V (H), przy czym dwa wierzchoªki (g, h) oraz (g 0 , h0 ) s¡ s¡siednie, je±li g = g 0 i hh0 ∈ E(H) lub gg 0 ∈ E(G) i h = h0 . Grafy G i H nazywamy czynnikami iloczynu kartezja«skiego GH .. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. Rysunek 1.1. Iloczyn kartezja«ski P5 C3. Wprost z denicji iloczynu kartezja«skiego wynika, »e odwzorowanie ψ : (g, h) → (h, g) jest izomorzmem grafów GH oraz HG. Grafy te mo»emy wi¦c ze sob¡ uto»sami¢. Wynika st¡d, »e iloczyn kartezja«ski jest przemienny. Jest on tak»e ª¡czny, czyli dla grafów G1 , G2 , G3 odwzorowanie ψ : ((v1 , v2 ), v3 ) → (v1 , (v2 , v3 )) jest izomorzmem grafów (G1 G2 )G3 oraz G1 (G2 G3 )..

(10) 1.2. Iloczyn kartezja«ski grafów i jego wªasno±ci. 9. Iloczyn kartezja«ski dwóch grafów izomorcznych oznaczamy przez G2 = GG. Deniujemy rekursywnie k-t¡ pot¦g¦ kartezja«sk¡ grafu G jako Gk = GGk−1 . Zauwa»my, »e dla grafu b¦d¡cego iloczynem kartezja«skim G = G1 . . . Gk dwa wierzchoªki (v1 , v2 , . . . , vk ) oraz (u1 , u2 , . . . , uk ) s¡ poª¡czone kraw¦dzi¡ wtedy i tylko wtedy, gdy ró»ni¡ si¦ na dokªadnie jednej wspóªrz¦dnej oraz wierzchoªki na tej wspóªrz¦dnej s¡ s¡siednie w odpowiednim czynniku. Inaczej. (v1 , . . . , vk )(u1 , . . . , uk ) ∈ E(G) ⇔ ∃i : vi ui ∈ E(Gi ), ∀j 6= i : vj = uj . Graf nazywamy pierwszym wzgl¦dem iloczynu kartezja«skiego, je±li z równo±ci G = G1 G2 wynika, »e G1 = K1 lub G2 = K1 . Dwa grafy G i H nazywamy wzgl¦dnie pierwszymi, o ile nie posiadaj¡ wspólnych czynników w rozkªadzie na czynniki pierwsze wzgl¦dem iloczynu kartezja«skiego. Pryzm¡ grafu G nazywamy graf b¦d¡cy iloczynem kartezja«skim GK2 . Niech v b¦dzie ustalonym wierzchoªkiem grafu H . Gv warstwa grafu GH to graf indukowany przez zbiór wierzchoªków {(u, v) : u ∈ V (G)}. W analogiczny sposób deniujemy H u -warstw¦. Zauwa»my, »e Gv warstwa jest izomorczna z grafem G (analogicznie H u warstwa jest izomorczna z grafem H ).. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. Rysunek 1.2. P5 warstwa (na niebiesko), C3 warstwa (na czerwono). Ka»dy graf ma rozkªad na czynniki pierwsze wzgl¦dem iloczynu kartezja«skiego. Co wi¦cej, dla grafów spójnych rozkªad ten jest jednoznaczny z dokªadno±ci¡ do kolejno±ci i izomorzmu czynników. Zostaªo to udowodnione przez Sabidussiego [36] i niezale»nie przez Wizinga [39]. (Sabidussi 1959 [36]; Wizing 1963 [39]) Ka»dy spójny graf ma jednoznaczny rozkªad na czynniki pierwsze wzgl¦dem iloczynu kartezja«skiego, z dokªadno±ci¡ do kolejno±ci i izomorzmu czynników. Twierdzenie 1.1.. W ogólno±ci nie jest to prawd¡. Istniej¡ grafy niespójne, posiadaj¡ce co najmniej dwa ro»ne rozkªady na czynniki pierwsze. Przykªad dwóch.

(11) 1.3. Kolorowania rozró»niaj¡ce. 10. nieizomorcznych rozkªadów pewnego grafu niespójnego zostaª przedstawiony przez Hammacka, Imricha i Klavºara w monograi [19]. Struktura grupy automorzmów iloczynu kartezja«skiego grafów spójnych zostaªa dokªadnie zbadana i opisana. W dalszej cz¦±ci rozprawy b¦dziemy korzysta¢ z nast¦puj¡cej charakteryzacji grupy automorzmów iloczynu kartezja«skiego grafów spójnych. Twierdzenie 1.2. (Imrich 1969 [20]; Miller 1970 [33]) Niech ϕ b¦dzie automorzmem grafu spójnego G o rozkªadzie na czynniki pierwsze G = G1 G2 . . . Gk . Wtedy istnieje permutacja π ∈ {1, 2, . . . , k} oraz istniej¡ izomorzmy ϕi : Gπ(i) → Gi , takie »e. ϕ(x1 , x2 , . . . , xk ) = (ϕ1 (xπ(1) ), ϕ2 (xπ(2) ), . . . , ϕk (xπ(k) )), dla ka»dego wierzchoªka (x1 , x2 , . . . , xk ) grafu G. Zauwa»amy, »e w przypadku, gdy grafy Gi dla i ∈ {1, 2, . . . , k} s¡ parami nieizomorczne, permutacja π jest identyczno±ci¡, a izomorzmy ϕi s¡ automorzmami poszczególnych czynników.. 1.3. Kolorowania rozró»niaj¡ce Kolorowaniem wierzchoªkowym grafu G = (V, E) nazywamy dowolne odwzorowanie c : V → S , gdzie S jest sko«czonym zbiorem kolorów. Analogicznie odwzorowanie c : E → S nazywamy kolorowaniem kraw¦dziowym grafu G. Gdy |S| = 2, mówimy o dwukolorowaniu grafu i przyjmujemy S = {niebieski, czerwony}. W przypadku wi¦kszej liczby d kolorów, S jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych i mówimy o d-kolorowaniu. Rozwa»amy równie» typ kolorowania, w którym kolory przypisujemy zarówno kraw¦dziom, jak i wierzchoªkom. Odwzorowanie c : V ∪ E → S nazywamy kolorowaniem totalnym. Kolorowanie wierzchoªkowe c przeªamuje automorzm ϕ grafu G, gdy istnieje taki wierzchoªek v , »e c(v) 6= c(ϕ(v)). W przeciwnym przypadku mówimy, »e automorzm ϕ zachowuje kolorowanie c. Liczb¡ rozró»niaj¡c¡ D(G) nazywamy najmniejsz¡ liczb¦ kolorów w kolorowaniu wierzchoªkowym c, przeªamuj¡cym wszystkie nietrywialne automorzmy grafu G..

(12) 1.3. Kolorowania rozró»niaj¡ce. 11. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. Rysunek 1.3. Wierzchoªkowe kolorowanie rozró»niaj¡ce grafu P5 C3. Mówimy, »e kolorowanie kraw¦dziowe c przeªamuje automorzm ϕ grafu G = (V, E), gdy istnieje taka kraw¦d¹ uv , »e c(uv) 6= c(ϕ(u)ϕ(v)). Gdy taka kraw¦d¹ nie istnieje, automorzm ϕ zachowuje kolorowanie c. Analogicznie jak w przypadku kolorowania wierzchoªkowego, indeksem rozró»niaj¡cym D0 (G) nazywamy najmniejsz¡ liczb¦ kolorów w kolorowaniu kraw¦dziowym c, przeªamuj¡cym wszystkie nietrywialne automorzmy grafu G. Takie kolorowanie nazywamy rozró»niaj¡cym. Zauwa»my, »e parametr ten nie jest okre±lony dla grafu K2 .. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. Rysunek 1.4. Kolorowanie rozró»niaj¡ce grafu P5 C3 : liczby kraw¦dzi czerwonych w P5 warstwach s¡ ró»ne, wi¦c automorzmy grafu C3 s¡ przeªamane; C3u warstwa i C3v warstwa, gdzie u oraz v s¡ wierzchoªkami ko«cowymi ±cie»ki, maj¡ inne liczby kraw¦dzi czerwonych, co przeªamuje automorzm grafu P5. Kolorowanie totalne c jest rozró»niaj¡ce, je±li dla ka»dego nietrywialnego automorzmu ϕ istnieje taki wierzchoªek v , »e c(v) 6= c(ϕ(v)) lub istnieje taka kraw¦d¹ e = uv , »e c(uv) 6= c(ϕ(u)ϕ(v)). Niech W b¦dzie podzbiorem zbioru wierzchoªków grafu G. Mówimy, »e kolorowanie c : W → {1, 2, . . . , d} jest d-rozró»niaj¡ce dla zbioru W , je±li ka»dy automorzm ϕ grafu G, dla którego c(ϕ(v)) = c(v) dla ka»dego wierzchoªka v ze zbioru W , nale»y do stabilizatora punktowego zbioru W . Dla grafu G o liczbie rozró»niaj¡cej równej dwa, kosztem rozró»niania wierzchoªkowego ρ(G) grafu G nazywamy najmniejsz¡ liczb¦ r, dla której istnieje dwukolorowanie wierzchoªkowe grafu G o liczbie wierzchoªków.

(13) 1.4. Rys historyczny. 12. w jednym z kolorów równej r. Je±li G jest grafem o indeksie rozró»niaj¡cym równym dwa, to kosztem rozró»niania kraw¦dziowego ρ0 (G) nazywamy najmniejsz¡ tak¡ liczb¦ r, »e istnieje dwukolorowanie kraw¦dziowe grafu G o liczbie kraw¦dzi w jednym z kolorów równej r. Zauwa»my, »e ρ0 (G) ≥ 1.. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. Rysunek 1.5. Koszt rozró»niania kraw¦dziowego grafu P5 C3. 1.4. Rys historyczny W podrozdziale tym przytoczymy te wyniki dotycz¡ce kolorowa« wierzchoªkowych, których odpowiedniki udowadniamy dla kolorowa« kraw¦dziowych. Denicja kolorowania rozró»niaj¡cego zostaªa po raz pierwszy podana przez Albertsona i Collins w pracy [3]. Rozwa»ali oni jedynie kolorowania wierzchoªkowe oraz podali wyniki dla pewnych podstawowych klas grafów. W przypadku cykli mamy D(Cn ) = 2, dla n ≥ 6 oraz D(C3 ) = D(C4 ) = D(C5 ) = 3. Zauwa»yli, »e istniej¡ grafy, które maj¡ izomorczne grupy automorzmów, ale ró»ne liczby rozró»niaj¡ce. W tym celu omówili przykªad grafu peªnego Kn i grafu Gn maj¡cego 2n wierzchoªków utworzonego z grafu peªnego poprzez doczepienie jednego wierzchoªka do ka»dego wierzchoªka Kn . Grup¡ automorzmów obu tych grafów jest grupa permutacji zbioru n-elementowego oznaczana przez Sn i nazywana grup¡ symetryczn¡. Ka»dy wierzchoªek grafu peªnego musi mie¢ inny kolor, aby przeªama¢ wszystkie nietrywialne automorzmy, wi¦c D(Kn ) = n. Dla drugiego grafu ka»da para wierzchoªków utworzona z wierzchoªka kliki oraz jego s¡siada √ stopnia jeden musi otrzyma¢ inn¡ par¦ kolorów. Oznacza to, »e D(Gn ) = d ne. Grafy K1,n i Kn maj¡ liczb¦ rozró»niaj¡c¡ równ¡ n i ich grupy automorzmów s¡ izomorczne z Sn . Dla grafu Kn wynik ten jest oczywist¡ konsekwencj¡ faktu, »e liczby rozró»niaj¡ce grafu oraz jego dopeªnienia s¡ takie same. Jest tak, poniewa» grafy te maj¡ ten sam zbiór wierzchoªków i t¦ sam¡ grup¦ automorzmów, wi¦c kolorowanie wierzchoªkowe grafu jest.

(14) 1.4. Rys historyczny. 13. rozró»niaj¡ce wtedy i tylko wtedy, gdy kolorowanie wierzchoªkowe dopeªnienia tego grafu jest rozró»niaj¡ce. Poni»ej zamieszczono tabel¦ prezentuj¡c¡ liczb¦ rozró»niaj¡c¡ dla kilku podstawowych klas grafów. Wyniki te pojawiaj¡ si¦ w licznych pracach badaj¡cych ten parametr. Formalne dowody podaªy mi¦dzy innymi Collins i Trenk (por. [3], [11]).. G Pn C3 , C4 , C5 Cn dla n ≥ 6 Kn Kp,q dla q > p Kp,p. D(G) 2 3 2 n q p+1. Tablica 1.1. Liczba rozró»niaj¡ca dla wybranych klas grafów. Ogólne ograniczenie dla liczby rozró»niaj¡cej zostaªo udowodnione niezale»nie przez Collins i Trenk oraz Klavºara, Wong i Zhu. (Collins, Trenk 2006 [11]; Klavºar, Wong, Zhu 2006 [30]) Je»eli G jest grafem spójnym, to D(G) ≤ ∆(G), z wyj¡tkiem grafów Kn , Kn,n oraz C5 , dla których D(G) = ∆(G) + 1. . Twierdzenie 1.3.. W pracy skupiamy si¦ na iloczynie kartezja«skim grafów spójnych. Badania dotycz¡ce liczby rozró»niaj¡cej iloczynu kartezja«skiego grafów spójnych rozpocz¦ªa praca Bogstada i Cowena [5], w której rozwa»ali oni pot¦gi grafu K2 . Jest to jeden z podstawowych i najbardziej znanych przykªadów iloczynu kartezja«skiego grafów, gdy» k -ta pot¦ga grafu K2 jest k -wymiarow¡ hiperkostk¡ Qk . Autorzy w pracy [5] wykazali, »e D(Qk ) = 3, je±li k ∈ {2, 3} oraz D(Qk ) = 2, je±li k ≥ 4. Albertson uogólniª ten wynik dla pot¦g spójnych grafów pierwszych, ale jedynie pocz¡wszy od czwartej pot¦gi. Sformuªowaª on równie» hipotez¦, »e dla ka»dego grafu spójnego G istnieje taka liczba naturalna r, dla której D(Gr ) = 2. (Albertson 2005 [1]) Je±li G jest spójnym grafem pierwszym wzgl¦dem iloczynu kartezja«skiego, to D(Gk ) = 2, gdy k ≥ 4. Co wi¦cej, je±li |V (G)| ≥ 5, to D(Gk ) = 2, gdy k ≥ 3. Twierdzenie 1.4..

(15) 1.4. Rys historyczny. 14. Hipoteza Albertsona dotycz¡ca grafów spójnych zostaªa potwierdzona i wzmocniona dwa lata pó¹niej przez Klavºara i Zhu. (Klavºar, Zhu 2007 [31]) Je»eli graf spójny G ma czynnik pierwszy o rozmiarze co najmniej trzy, to D(Gk ) = 2, dla ka»dego k ≥ 3. . Twierdzenie 1.5.. Z twierdzenia tego wynika, »e dla ka»dego pierwszego grafu spójnego o co najmniej trzech wierzchoªkach liczba rozró»niaj¡ca jego k -tej pot¦gi kartezja«skiej jest równa dwa, dla ka»dego k ≥ 3. Problem liczby rozró»niaj¡cej dla pot¦g grafów spójnych ostatecznie rozwi¡zali Imrich i Klavºar nast¦puj¡cym twierdzeniem. (Imrich, Klavºar 2006 [22]) Je»eli G jest grafem spójnym oraz k ≥ 2, to D(Gk ) = 2, z wyj¡tkiem grafów K22 , K23 i K32 , dla których liczba rozró»niaj¡ca jest równa trzy. Twierdzenie 1.6.. Ich technika dowodowa opiera si¦ na wªasno±ciach grupy automorzmów iloczynu kartezja«skiego grafów spójnych i kilku istotnych lematach, które zostaªy zaadaptowane równie» w przypadku kolorowania kraw¦dziowego. Dalsze badania dotycz¡ce liczby rozró»niaj¡cej obejmowaªy iloczyny kartezja«skie grafów nieizomorcznych. W cytowanej wcze±niej pracy Imrich i Klavºar pokazali warunki, przy których iloczyn kartezja«ski dwóch wzgl¦dnie pierwszych grafów spójnych ma indeks rozró»niaj¡cy równy co najwy»ej dwa. (Imrich, Klavºar 2006 [22]) Je»eli G oraz H s¡ wzgl¦dnie pierwszymi grafami spójnymi, k ≥ 2 oraz. Twierdzenie 1.7.. k ≤ |H| ≤ |G| ≤ 2k − k + 1, to D(GH) ≤ 2.. . Kilka lat pó¹niej Estaji, Imrich, Kalinowski, Pil±niak i Tucker [14] poprawili ten wynik pozbywaj¡c si¦ zaªo»enia o wzgl¦dnej pierwszo±ci grafów G oraz H , korzystaj¡c z techniki dowodu twierdzenia 3.10 z niniejszej pracy. Przytoczone dotychczas wyniki zawieraªy warunki, przy których liczba rozró»niaj¡ca iloczynu kartezja«skiego wynosi co najwy»ej dwa. Kolejnym.

(16) 1.4. Rys historyczny. 15. krokiem w rozwa»aniach byªo badanie liczby rozró»niaj¡cej w przypadku, gdy nie istniej¡ dwukolorowania rozró»niaj¡ce. Ten problem zostaª rozstrzygni¦ty w przypadku iloczynu kartezja«skiego dwóch grafów peªnych poprzez nast¦puj¡ce twierdzenie. (Imrich, Jerebic, Klavºar 2008 [21]) Je»eli k, n, d s¡ takimi liczbami naturalnymi, »e d ≥ 2 oraz (d − 1)k < n ≤ dk , to d, je»eli n ≤ dk − dlogd ke − 1, D(Kk Kn ) = d + 1, je»eli n ≥ dk − dlogd ke + 1. Twierdzenie 1.8.. Je±li n = dk − dlogd ke, to D(Kk Kn ) wynosi d lub d + 1 oraz ta warto±¢ mo»e by¢ wyznaczona rekurencyjnie w czasie O(log∗ (n)). Warto zaznaczy¢, »e twierdzenie to podaje górne ograniczenie liczby rozró»niaj¡cej iloczynu kartezja«skiego grafów wzgl¦dnie pierwszych. Bowiem D(GH) ≤ D(K|G| K|H| ), co wynika z twierdzenia Imricha i Millera. Pomysª kolorowa« przeªamuj¡cych symetrie grafu w sposób naturalny zostaª przeniesiony na kolorowania kraw¦dziowe. Formalna denicja oraz pierwsze wyniki w tym zakresie pojawiªy si¦ w pracy Kalinowskiego i Pil±niak [28]. Udowodnili oni mi¦dzy innymi, »e D0 (Pn ) = D0 (Cp ) = 2, dla ka»dego n ≥ 3 oraz p ≥ 6, natomiast D0 (C3 ) = D0 (C4 ) = D0 (C5 ) = 3. Te przykªady pokazuj¡, »e indeks rozró»niaj¡cy mo»e by¢ równy liczbie rozró»niaj¡cej. Cz¦sto jednak zachodzi nierówno±¢ D0 (G) < D(G). Przykªadem grafu speªniaj¡cego t¦ nierówno±¢ jest graf peªny, gdy» D0 (Kn ) = 2, dla n ≥ 6 oraz D0 (Kn ) = 3, dla n = 3, 4, 5. Istniej¡ równie» grafy, dla których indeks rozró»niaj¡cy jest o jeden wi¦kszy od liczby rozró»niaj¡cej. Takim grafem jest mi¦dzy innymi drzewo bisymetryczne. Ogólnie udowodnili oni nast¦puj¡ce twierdzenie porównuj¡ce oba niezmienniki. (Kalinowski, Pil±niak 2015 [28]) Je±li G jest grafem spójnym rz¦du n ≥ 3, to D0 (G) ≤ D(G) + 1. . Twierdzenie 1.9.. Pierwsze ograniczenie indeksu rozró»niaj¡cego ze wzgl¦du na maksymalny stopie« grafu zostaªo równie» podane w pracy [28]..

(17) 1.4. Rys historyczny. 16. Twierdzenie 1.10. (Kalinowski, Pil±niak 2015 [28]) Je»eli G jest grafem spójnym rz¦du n ≥ 3, to D0 (G) ≤ ∆(G), z wyj¡tkiem trzech maªych cykli C3 , C4 i C5 . . W ostatnim czasie Pil±niak w pracy [34] wzmocniªa t¦ tez¦ i scharakteryzowaªa grafy, dla których D0 (G) = ∆(G). Zauwa»my, »e jedynymi grafami o maksymalnym stopniu i indeksie rozró»niaj¡cym równym dwa s¡ cykle Cn dla n ≥ 6 oraz ±cie»ki Pm dla m ≥ 3. (Pil±niak 2017 [34]) Je»eli G jest grafem spójnym, dla którego ∆(G) ≥ 3 , to D(G) = ∆(G) dla drzew symetrycznych, drzew bisymetrycznych oraz grafów K4 i K3,3 . . Twierdzenie 1.11.. Ograniczenie indeksu rozró»niaj¡cego grafu przez jego stopie« maksymalny nie jest zadowalaj¡ce z punktu widzenia zastosowa«. W wielu przypadkach mo»e ono zosta¢ poprawione, gdy pod uwag¦ zostan¡ wzi¦te inne wªasno±ci grafu. W tej samej pracy Pil±niak udowodniªa ograniczenie dla pewnych klas grafów, w tym dla grafów trasowalnych. (Pil±niak 2017 [34]) Je»eli G jest grafem trasowalnym o co najmniej siedmiu wierzchoªkach, to D0 (G) ≤ 2. . Twierdzenie 1.12.. Okazuje si¦, »e szerok¡ klas¦ grafów o indeksie rozró»niaj¡cym równym dwa stanowi¡ tak»e iloczynu kartezja«skie, którymi zajmujemy si¦ w tej pracy. W przypadku dwukolorowa« rozró»niaj¡cych istotne staje si¦ tak»e minimalizowanie liczby wierzchoªków lub kraw¦dzi w jednym z u»ywanych kolorów. W niniejszej rozprawie ten temat jest rozwa»amy w rozdziale czwartym. Koszt rozró»niania wierzchoªkowego byª badany przez Albertsona i Boutin. Wykorzystywali oni w tym celu poj¦cie zbioru determinuj¡cego. Udowodnili oni nast¦puj¡ce twierdzenie ª¡cz¡ce kolorowania rozró»niaj¡ce grafu ze zbiorami determinuj¡cymi. (Albertson, Boutin 2007 [2]) Graf G ma d-rozró»nialny zbiór determinuj¡cy wtedy i tylko wtedy, gdy G ma (d+1)-kolorowanie rozró»niaj¡ce. Twierdzenie 1.13..

(18) 2. Iloczyny drzew. 2.1. Przykªady wprowadzaj¡ce Rozpocznijmy od rozwa»enia iloczynu kartezja«skiego dwóch ±cie»ek Pm Pn dla n 6= m oraz m ≥ 3. Aby przeªama¢ wszystkie nietrywialne automorzmy tego grafu, wystarczy pokolorowa¢ kraw¦d¹ Pm warstwy incydentn¡ z wierzchoªkiem (u, v) na czerwono, gdzie u jest ko«cowym wierzchoªkiem ±cie»ki Pm oraz v jest ko«cowym wierzchoªkiem ±cie»ki Pn . Pozostaªe kraw¦dzie kolorujemy na niebiesko. Graf Pm Pn ma dwa nietrywialne automorzmy, powy»sze kolorowanie przeªamuje oba. Zatem D0 (Pm Pn ) = 2. Zauwa»my tak»e, »e indeks rozró»niaj¡cy iloczynu kartezja«skiego mo»e by¢ dowolnie du»y. Dla ka»dej liczby naturalnej d istnieje bowiem graf, b¦d¡cy iloczynem kartezja«skim gwiazdy i ±cie»ki, o indeksie rozró»niaj¡cym równym d. Obserwacja 2.1.. Je»eli m ≥ 2 oraz n ≥ 2, to √ D0 (K1,n Pm ) = d 2m−1 ne. z wyj¡tkiem pryzmy K1,r3 P2 , dla której D0 (K1,r3 P2 ) = r + 1. Niech d b¦dzie liczb¡ naturaln¡, tak¡ »e (d − 1)2m−1 < n ≤ d2m−1 . Oznaczmy wierzchoªki gwiazdy nast¦puj¡co. Wierzchoªek centralny gwiazdy oznaczamy przez v oraz pozostaªe jej wierzchoªki przez v1 , v2 , . . . , vn . Kolejne wierzchoªki ±cie»ki oznaczmy u1 , u2 , . . . , um . Dowód.. 17.

(19) 2.1. Przykªady wprowadzaj¡ce. 18. Zaªó»my pocz¡tkowo, »e m ≥ 3. Ka»dy automorzm grafu K1,n Pm v warstw¦ na sam¡ siebie. Kolorujemy kraw¦d¹ (v, u1 )(v, u2 ) przeprowadza Pm v kolorem 1, a pozostaªe kraw¦dzie Pm warstwy kolorem 2. W ten sposób v Pm warstwa jest staªa w ka»dym automorzmie, a wi¦c automorzmy permutuj¡ce K1,n warstwy s¡ ju» przeªamane. Poka»emy, »e pozostaªe kraw¦dzie K1,n Pm mog¡ by¢ dokolorowane za pomoc¡ d kolorów w taki sposób, »eby równie» Pm warstwy nie mogªy by¢ wymienione. Wtedy wszystkie nietrywialne automorzmy tego grafu b¦d¡ przeªamane. Zauwa»my, »e kolorowanie kraw¦dzi jeszcze niepokolorowanych mo»e by¢ opisane za pomoc¡ macierzy M o liczbie wierszy równej 2m − 1 i liczbie kolumn równej n, gdzie w j -tej kolumnie m − 1 pocz¡tv kowych elementów odpowiada kolorom kolejnych kraw¦dzi Pmj warstwy, a pozostaªe m elementów to kolory kraw¦dzi K1,n warstw incydentnych v z kolejnymi wierzchoªkami Pmj warstwy. Istnieje automorzm grafu K1,n Pm permutuj¡cy Pm warstwy i zachowuj¡cy kolory kraw¦dzi wtedy i tylko wtedy, gdy M zawiera co najmniej dwie identyczne kolumny. Istnieje dokªadnie d2m−1 ró»nych ci¡gów dªugo±ci 2m − 1 o elementach ze zbioru {1, 2, . . . , d}. Skoro n ≤ d2m+1 , to istnieje macierz M o parami ró»nych kolumnach, wi¦c istnieje rozró»niaj¡ce d-kolorowanie kraw¦dziowe grafu K1,n Pm . Zatem D0 (K1,n Pm ) ≤ d = √ d 2m−1 ne. Ponadto n > (d − 1)2m−1 , wi¦c dla ka»dego (d − 1)-kolorowania grafu K1,n Pm macierz M zawiera co najmniej dwie identyczne kolumny. Oznacza to, »e nie istnieje (d − 1)-kolorowanie rozró»niaj¡ce.. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •. Rysunek 2.1. Dwukolorowanie rozró»niaj¡ce grafu K1,32 P3. W przypadku m = 2, kolorujemy kraw¦dzie grafu K1,n P2 jak poprzednio. Ró»nica polega na fakcie, »e P2 warstwa posiada tylko jedn¡ kraw¦d¹, a wi¦c nie istnieje dla niej kolorowanie rozró»niaj¡ce. Dokªadniej, gdy n = d3 , ka»dy 3-wyrazowy ci¡g o wyrazach ze zbioru {1, 2, . . . , d} musi wyst¡pi¢ jako kolumna macierzy M . Istnieje wtedy permutacja kolumn tej.

(20) 2.2. Dwukolorowalne iloczyny drzew. 19. macierzy, która wraz z permutacj¡ jej wierszy odpowiada nietrywialnemu automorzmowi grafu K1,n Pm , który nie jest przeªamany przez to kolorowanie. St¡d, potrzebujemy dodatkowego koloru, który kªadziemy na jedn¡ kraw¦d¹ dowolnej K1,n warstwy. Gdy n < d3 , za pierwsz¡ kolumn¦ macierzy M przyjmujemy (1, 1, 2) i nie u»ywamy jako kolumny ci¡gu (1, 2, 1). W ten sposób przeªamujemy transpozycj¦ K1,n warstw. . 2.2. Dwukolorowalne iloczyny drzew W tej cz¦±ci przedstawimy twierdzenie daj¡ce warunki wystarczaj¡ce, aby iloczyn kartezja«ski dwóch nieizomorcznych drzew miaª indeks rozró»niaj¡cy równy co najwy»ej dwa. Przypadek dwóch izomorcznych drzew traktujemy osobno w kolejnym rozdziale, jako pot¦g¦ kartezja«sk¡. Je±li rozwa»ane drzewa nie s¡ izomorczne i s¡ asymetryczne, to iloczyn kartezja«ski tych dwóch drzew jest równie» grafem asymetrycznym. St¡d jego indeks rozró»niaj¡cy jest równy jeden. W pozostaªych przypadkach indeks rozró»niaj¡cy musi wynosi¢ co najmniej dwa i wska»emy teraz warunek, przy którym jest to równie» ograniczenie górne. Twierdzenie 2.2. Niech Tm oraz Tn b¦d¡ drzewami rozmiarów odpowiednio m oraz n. Je»eli lmm + 1, 2 ≤ m ≤ n ≤ 22m+1 − 2. to D0 (Tm Tn ) ≤ 2. Zaªó»my, »e Tm oraz Tn nie s¡ izomorczne. Drzewa te s¡ zatem wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c zgodnie z twierdzeniem 1.2 wystarczy wskaza¢ kolorowanie kraw¦dzi iloczynu kartezja«skiego przeªamuj¡ce automorzmy poszczególnych czynników. W dowodzie wykorzystujemy nast¦puj¡cy fakt. W drzewie ukorzenionym, je±li ojciec jest punktem staªym ka»dego automorzmu zachowuj¡cego dane kolorowanie oraz nie istnieje permutacja jego synów zachowuj¡ca to kolorowanie, to s¡ oni równie» punktami staªymi w ka»dym automorzmie zachowuj¡cym to kolorowanie. + 1. Wybieramy korze« u0 Zaªó»my najpierw, »e n = 22m+1 − m 2 drzewa Tm w nast¦puj¡cy sposób. Je±li Tm posiada wierzchoªek centralny, to wybieramy go jako u0 . Je±li Tm posiada kraw¦d¹ centraln¡, to wybieramy jeden z wierzchoªków ko«cowych tej kraw¦dzi jako u0 , a drugi Dowód..

(21) 2.2. Dwukolorowalne iloczyny drzew. 20. jej wierzchoªek oznaczamy u1 . Pozostaªe wierzchoªki drzewa Tm oznaczamy u1 , u2 , . . . , um w kolejno±ci przeszukiwania grafu w gª¡b. Ponadto numerujemy kraw¦dzie E(Tm ) omawianego czynnika nast¦puj¡co. Je±li ui uj ∈ E(Tm ) oraz i < j , to przyjmiemy ej = ui uj . Zatem E(Tm ) = {e1 , e2 , . . . , em }. Niech v0 b¦dzie korzeniem drzewa Tn wybranym w ten sam sposób, co korze« u0 drzewa Tm . W analogiczny sposób numerujemy wierzchoªki i kraw¦dzie drzewa Tn , otrzymuj¡c V (Tn ) = {v0 , v1 , . . . , vn } oraz E(Tn ) = {1 , 2 , . . . , n }. v0 Rozpoczynamy kolorowanie od kraw¦dzi m Tm warstwy. Kªadziemy kolor 0 na kraw¦dzie ei dla i = 1, . . . , 2 , na pozostaªe kraw¦dzie tej warstwy kªadziemy kolor 1. Przy wybranej numeracji kraw¦dzi i wierzchoªków korze« u0 jest ustalony przez wszystkie automorzmy grafu Tm zachowuj¡ce to kolorowanie. W przypadku, gdy u0 jest centralnym wierzchoªkiem, jest on ustalony przez wszystkie automorzmy. Natomiast, gdy u0 u1 jest centraln¡ kraw¦dzi¡, pozostaªe wierzchoªki zostaªy tak ponumerowane, »e wierzchoªki u2 , . . . , ud m e nale»¡ do tego samego poddrzewa grafu 2 Tm − e1 . Dzi¦ki temu zaproponowane kolorowanie przeªamuje automorzmy wymieniaj¡ce ko«ce kraw¦dzi u0 u1 . W podobny sposób kolorujemy kraw¦dzie Tnu0 warstwy za pomoc¡ kolorów 0 oraz 1 tak, aby wierzchoªek v0 byª ustalony przez ka»dy automorzm zachowuj¡cy to kolorowanie. Dzi¦ki temu wierzchoªek (u0 , v0 ) b¦dzie v0 ustalony przez ka»dy automorzm grafu Tm Tn . Zatem Tm warstwa oraz u0 Tn warstwa s¡ przeprowadzane w siebie same przez ka»dy automorzm grafu Tm Tn . Nast¦pnie opiszemy kolorowanie pozostaªych kraw¦dzi rozwa»anego iloczynu kartezja«skiego. Rozwa»my zbiór S wszystkich ci¡gów binarnych vi dªugo±ci 2m + 1. Ka»dej Tm warstwie dla i ≥ 1 przypisujemy inny ci¡g. si = (a0 , a1 , . . . , am , b1 , . . . , bm ) ze zbioru S , gdzie aj dla j = 0, . . . , m jest kolorem kraw¦dzi i ª¡cz¡cej u wierzchoªek (uj , vi ) z jego ojcem w Tn j warstwie (zauwa»my, »e a0 zostaªo ju» zdeniowane dla wszystkich i ≥ 1) oraz bj dla j = 1, . . . , m jest kolovi rem kraw¦dzi Tm warstwy odpowiadaj¡cej kraw¦dzi ej . Poniewa» wszystkie wykorzystane ci¡gi s¡ ró»ne, automorzmy grafu Tm Tn permutuj¡ce Tm warstwy s¡ zªamane. Celem przeªamania permutacji Tn warstw, usuwamy pewne ci¡gi ze zbioru S i nie u»ywamy ich do kolorowania. Zaobserwujmy, »e dla ka»dego i suma po wszystkich ci¡gach i-tych wyrazów jest zawsze równa 22m . Gdy.

(22) 2.2. Dwukolorowalne iloczyny drzew. 21. u 0 u j ≤ m2 < j 0 , to Tn j warstwa oraz Tn j -warstwa nie mog¡ by¢ zamienione, v0 gdy» kraw¦dzie ej oraz ej 0 w Tm warstwie maj¡ ró»ne m kolory. k Rozwa»my zbiór A = {s ∈ S : k = 1, . . . , 2 − 1}, gdzie sk = (a0 , a1 , . . . , am , b1 , . . . , bm ) jest takim ci¡giem, »e aj = ad m e+j = 1, 2. j = 1, . . . , k. + 1. a pozostaªe elementy sk s¡ równe 0. Zatem |S\A| = 22m+1 − m 2 vi U»ywamy zbioru S\A do pokolorowania kraw¦dzi T warstw dla i = m m 2m+1 1, . . . , 2 − 2 + 1. Liczba kraw¦dzi o kolorze 1 b¦dzie ró»na dla wszystkich Tn warstw, wi¦c nie b¦d¡ one mogªy by¢ wymienione przez »aden automorzm zachowuj¡cy to kolorowanie. Ostatecznie, otrzymali±my m 2m+1 rozró»niaj¡ce dwukolorowanie grafu Tm T , gdy n = 2 + 1. − n 2 Zaªó»my teraz, »e ró»nica l = 22m+1 − m +1−n jest dodatnia. Musimy 2 wi¦c usun¡¢ dodatkowe l ci¡gów ze zbioru S\A. W tym celu oznaczmy 0 = 1 oraz 1 = 0. Mówimy, »e para ci¡gów (a0 , a1 , . . . , b1 , . . . , bm ),. (a0 , a1 , a2 , . . . am , b1 , . . . , bm ). ze zbioru S\A jest dopeªniaj¡ca. Gdy l jest parzyste, usuwamy 2l dopeªniaj¡cych par ci¡gów. Gdy l jest nieparzyste, usuwamy ci¡g (0, . . . , 0) oraz l−1 dopeªniaj¡cych par ci¡gów. Kolorowanie grafu Tm Tn przy u»y2 ciu pozostaªych ci¡gów zachowuje ró»n¡ liczb¦ kraw¦dzi o kolorze 1 dla ró»nych Tn warstw. Zatem i w tym przypadku wskazali±my rozró»niaj¡ce dwukolorowanie grafu Tn Tm . Ograniczenie przestawione w twierdzeniu 2.2 nie jest ostre. W kolejnym podrozdziale prezentujemy twierdzenie 2.17 poprawiaj¡ce ten wynik dla dowolnych drzew, ograniczenie w nim zawarte w ogólnym przypadku jest ostre, gdy» nie mo»e zosta¢ poprawione dla iloczynu kartezja«skiego gwiazd. Bior¡c pod uwag¦ struktur¦ obu drzew, mo»liwe jest uzyskanie indeksu rozró»niaj¡cego równego dwa, nawet przy du»ej, dowolnej, ró»nicy w ich rozmiarach. W szczególno±ci iloczyn kartezja«ski dwóch ±cie»ek o co najmniej trzech wierzchoªkach ma indeks rozró»niaj¡cy równy dwa, niezale»nie od ró»nicy rozmiarów tych ±cie»ek. Pokazali±my to we wst¦pie do niniejszego rozdziaªu..

(23) 2.3. Dwukolorowalne iloczyny gwiazd. 22. 2.3. Dwukolorowalne iloczyny gwiazd Podrozdziaª ten rozpoczniemy od twierdzenia b¦d¡cego natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia 2.2. Zauwa»my, »e gwiazda K1,n posiada nietrywialny automorzm, permutuj¡cy jej li±cie. W zwi¡zku z tym iloczyn kartezja«ski gwiazd nie jest asymetryczny i ma indeks rozró»niaj¡cy równy co najmniej dwa. Wniosek 2.3.. Je»eli 2m+1. 2≤m<n≤2. −. lmm 2. + 1,. to D0 (K1,m K1,n ) = 2.. . Warunek ten w przypadku gwiazd jest nieostry, co zostanie pokazane w dalszej cz¦±ci tego rozdziaªu. Najpierw jednak prezentujemy twierdzenie dotycz¡ce gwiazd o wi¦kszej ró»nicy w rozmiarze. Twierdzenie 2.4.. Je»eli n ≥ 22m+1 , to D0 (K1,m K1,n ) > 2.. Zauwa»my, »e m 6= n, czyli czynniki s¡ wzgl¦dnie pierwsze. Niech v b¦dzie wierzchoªkiem centralnym gwiazdy K1,n . Ka»de dwukolorowanie v kraw¦dzi grafu K1,m K1,n poza kraw¦dziami K1,m warstwy mo»e zosta¢ opisane za pomoc¡ macierzy M = [ai,j ] posiadaj¡cej n wierszy i 2m + 1 kolumn. Elementy tej macierzy nale»¡ do zbioru {1, 2}, gdzie 1 odpowiada kolorowi czerwonemu, a 2 kolorowi niebieskiemu. Dla ka»dego i = 1, . . . , n elementy ai,1 , . . . , ai,m+1 odpowiadaj¡ kolorom kraw¦dzi K1,n warstw incydentnych do kolejnych wierzchoªków itej K1,m warstwy. Natomiast elementy ai,m+2 , . . . , ai,2m+1 odpowiadaj¡ kolorom kolejnych kraw¦dzi i-tej K1,m warstwy. Wiersze macierzy M odpowiadaj¡ (2m + 1)-wyrazowym ci¡gom i jest ich n > 22m+1 . St¡d ka»da taka macierz musi zawiera¢ co najmniej dwa identyczne wiersze. Automorzm grafu K1,m K1,n wymieniaj¡cy odpowiadaj¡ce im K1,m warstwy zachowuje to kolorowanie. Dowód.. Zwró¢my uwag¦, »e powy»sze wyniki nie pozwalaj¡ rozstrzygn¡¢ indeksu rozró»niaj¡cego iloczynu kartezja«skiego dwóch gwiazd we wszystkich przypadkach. Celem rozwa»a« prowadzonych w tym rozdziale jest dowód poni»szego twierdzenia, które pozostawia niewielk¡ liczb¦ nierozstrzygni¦tych przypadków..

(24) 2.3. Dwukolorowalne iloczyny gwiazd. 23. Je»eli 2 ≤ m ≤ n ≤ 22m+1 , to 1. D (K1,m K1,n ) = 2, gdy n ≤ 22m+1 − log22 k − 21 , 2. D0 (K1,m K1,n ) = 3, gdy n > 22m+1 − log22 k , gdzie k = d m2 e.. Twierdzenie 2.5.. 0. Podobnie jak w przypadku iloczynu kartezja«skiego drzew omijamy przypadek, gdy K1,m ∼ = K1,n , który jest rozstrzygni¦ty w twierdzeniu 3.7. Zakªadamy wi¦c, »e m < n ≤ 22m+1 . Oznaczmy przez ([2]2 )k zbiór wszystkich ci¡gów o dªugo±ci k o wyrazach b¦d¡cych parami o elementach ze zbioru [2] = {1, 2},. ([2]2 )k = {(v1 , . . . , vk ) : vi = (ai , bi ) ∧ ai , bi ∈ {1, 2}}. Zauwa»my, »e |([2]2 )k | = 22k . Niech π ∈ Sk b¦dzie permutacj¡ k -elementow¡ oraz niech dany b¦dzie zbiór r wektorów V = {v 1 , v 2 , . . . , v r } ⊂ ([2]2 )k . Permutacja π dziaªa na wektor v i ze zbioru V poprzez wymian¦ jego pozycji, co zapisujemy i i πv i = (vπ(1) , . . . , vπ(k) ).. Wprowadzamy równie» oznaczenie. πV = {πv 1 , . . . , πv r }. Mówimy, »e zbiór wektorów V ⊂ ([2]2 )k jest kolumnowo niezmienniczy, je±li istnieje taka permutacja π ∈ Sk \{id}, »e πV = V . W przeciwnym wypadku mówimy, »e zbiór V jest kolumnowo zmienniczy. Przyj¦ta przez nas terminologia wynika z mo»liwo±ci zwi¡zania zbioru V z macierz¡ M (V ), której i-ty wiersz jest wektorem v i ze zbioru V . Macierz ta ma r wierszy oraz k kolumn. Permutacja π ∈ Sk odpowiada permutacji kolumn macierzy M (V ). Kolumnow¡ niezmienniczo±¢ zbioru V da si¦ wi¦c przeformuªowa¢ w j¦zyku macierzy. Macierz M (V ) nazywamy kolumnowo niezmiennicz¡, je±li istnieje permutacja π ∈ Sk \{id} kolumn tej macierzy, dla której istnieje taka permutacja σ ∈ Sr wierszy tej macierzy, »e po zadziaªaniu obu wskazanych permutacji na macierz M (V ) pozostanie ona niezmieniona. Zauwa»my, »e zbiór ([2]2 )k jest kolumnowo niezmienniczy, co wi¦cej dla dowolnej permutacji π ∈ Sk \{id} zachodzi π([2]2 )k = ([2]2 )k . Wynika to wprost z faktu, i» dla dowolnego wektora v ∈ ([2]2 )k oraz dowolnej permutacji π ∈ Sk wektor πv nale»y do zbioru ([2]2 )k . Zaprezentujemy teraz lematy wi¡»¡ce si¦ z powy»sz¡ denicj¡ i prowadz¡ce do dowodu twierdzenia 2.5..

(25) 2.3. Dwukolorowalne iloczyny gwiazd. 24. Niech k oraz r < 22k b¦d¡ liczbami naturalnymi. Je»eli r-elementowy zbiór V ⊂ ([2]2 )k jest kolumnowo niezmienniczy, to zbiór U = ([2]2 )k \V maj¡cy 22k − r elementów jest tak»e kolumnowo niezmienniczy.. Lemat 2.6.. Niech V = {v 1 , . . . , v r } ⊂ ([2]2 )k b¦dzie kolumnowo niezmienniczym zbiorem o r elementach. Wiemy wi¦c, »e istnieje taka permutacja π ∈ Sk \{id}, »e dla ka»dego wektora v i ∈ V speªniony jest warunek πv i ∈ V . Dziaªanie permutacji π na zbiorze ([2]2 )k jest bijekcj¡, wi¦c dla ka»dego v i ∈ V równie» π −1 v i ∈ V . St¡d dla dowolnego wektora u ∈ ([2]2 )k \V musi zachodzi¢ warunek πu ∈ ([2]2 )k \V . Oznacza to, »e zbiór ([2]2 )k \V jest kolumnowo niezmienniczy. . Dowód.. Powy»sze rozumowanie mo»e zosta¢ zastosowane do dowolnego kolumnowo niezmienniczego zbioru V . Zaªó»my, »e dla pewnego r wszystkie r-elementowe podzbiory ([2]2 )k s¡ kolumnowo niezmiennicze. Z powy»szego lematu wynika, »e wszystkie ich dopeªnienia równie» s¡ kolumnowo niezmiennicze. Dopeªnienia te s¡ jedynymi 22k − r-elementowymi podzbiorami zbioru ([2]2 )k . Mo»emy wi¦c zapisa¢ nast¦puj¡cy wniosek.. Niech k oraz r < 22k b¦d¡ liczbami naturalnymi. Wszystkie zbiory V ⊂ ([2]2 )k rozmiaru r s¡ kolumnowo niezmiennicze wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie zbiory U ⊂ ([2]2 )k rozmiaru 22k − r s¡ kolumnowo niezmiennicze. . Lemat 2.7.. e oraz k 0 = b m2 c. Rozwa»my Dla liczby naturalnej m poªó»my k = d m 2 0 zbiory V = {v 1 , . . . , v r } ⊂ ([2]2 )k oraz V 0 = {v 01 , . . . , v 0r } ⊂ ([2]2 )k . Przez V ∗ oznaczmy zbiór wszystkich wektorów utworzonych poprzez konkatenacj¦ odpowiadaj¡cych sobie wektorów zbioru V oraz V 0 , czyli V ∗ = {v i v 0i = (v1i , . . . , vki , v10i , . . . , vk0i0 ) : v i = (v1i , . . . , vki ), v 0i = (v10i , . . . , vk0i0 )}. atwo zauwa»y¢, »e V ∗ ⊂ ([2]2 )m . Deniujmy dziaªanie permutacji π ∈ Sk \{id} na wektorze vv 0 ∈ V ∗ jako πvv 0 = (vπ(1) , . . . , vπ(k) , v10 , . . . , vk0 0 ). Analogicznie permutacja π 0 ∈ Sk0 \{id} dziaªa na wektorze vv 0. π 0 vv 0 = (v1 , . . . , vk , vπ0 0 (1) , . . . , vπ0 0 (k0 ) )..

(26) 2.3. Dwukolorowalne iloczyny gwiazd. 25. Zapisujemy πV ∗ = {πv 1 v 01 , . . . , πv r v 0r } i π 0 V ∗ = {π 0 v 1 v 01 , . . . , π 0 v r v 0r }. Zbiór wektorów V ∗ ⊂ ([2]2 )m nazywamy poªowicznie kolumnowo niezmienniczym, je±li istnieje permutacja π ∈ Sk \{id} lub istnieje permutacja π 0 ∈ Sk0 \{id}, dla których zachodzi warunek πV ∗ = V ∗ lub π 0 V ∗ = V ∗ . W przeciwnym przypadku mówimy, »e zbiór V ∗ jest poªowicznie kolumnowo zmienniczy. Nast¦puj¡ca obserwacja wynika wprost z przedstawionych denicji.. Je»eli zbiory V oraz V 0 s¡ kolumnowo zmiennicze, to zbiór V zdeniowany powy»ej jest poªowicznie kolumnowo zmienniczy. Obserwacja 2.8.. ∗. Zbiór wektorów V ⊂ ([2]2 )k maj¡cy r elementów uto»samiamy z kolorowaniem kraw¦dziowym iloczynu kartezja«skiego gwiazd K1,r K1,k . Kolor czerwony opisujemy przez 1, a niebieski przez 2. Niech u oraz v b¦d¡ centralnymi wierzchoªkami tych gwiazd. Ponumerujmy li±cie gwiazdy K1,k liczbami ze zbioru {1, 2, . . . , k}. Rozwa»amy te K1,k warstwy, które nie zawieraj¡ wierzchoªka (u, v). Dokªadnie jeden wierzchoªek ka»dej takiej warstwy ma stopie« w iloczynie kartezja«skim ró»ny od 2. Przypisujemy ka»dy wektor ze zbioru V do dokªadnie jednej z tych K1,k warstw w taki sposób, »e kolejnym wierzchoªkom stopnia dwa odpowiadaj¡ kolejne elementy wektora v ∈ V . Pierwsza wspóªrz¦dna pary odpowiada kolorowi kraw¦dzi incydentnej z tym wierzchoªkiem w K1,r warstwie, natomiast druga wspóªrz¦dna odpowiada kolorowi kraw¦dzi incydentnej z tym wierzchoªkiem w K1,k warstwie. Procedura ta mo»e zosta¢ odwrócona w przypadku, gdy dane jest kolorowanie kraw¦dziowe iloczynu kartezja«v skiego dwóch gwiazd. Zauwa»my, »e kolory kraw¦dzi K1,r warstwy oraz u K1,k warstwy nie s¡ brane pod uwag¦. Rozwa»amy jedynie kolorowania, dla których zbiór kraw¦dzi obu tych warstw jest monochromatyczny. Je±li takie kolorowanie jest dodatkowo rozró»niaj¡ce, nazywamy je kolorowaniem silnie rozró»niaj¡cym.. Kraw¦dziowe kolorowanie silnie rozró»niaj¡ce iloczynu gwiazd K1,r K1,k istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kolumnowo zmienniczy zbiór r wektorów V ⊂ ([2]2 )k . Lemat 2.9.. Rozwa»my kolorowanie silnie rozró»niaj¡ce iloczynu kartezja«skiego K1,r K1,k . Ka»dy automorzm ϕ ∈ Aut∗ (K1,r K1,k ) jest przeªamany przez to kolorowanie. Tworzymy zbiór r wektorów V reprezentuj¡cy to kolorowanie zgodnie z opisem powy»ej. Permutacja π ∈ Sk \{id} Dowód..

(27) 2.3. Dwukolorowalne iloczyny gwiazd. 26. odpowiada automorzmowi gwiazdy K1,k , a wi¦c zgodnie z twierdzeniem 1.2 odpowiada równie» automorzmowi iloczynu kartezja«skiego gwiazd K1,r K1,k . St¡d nie istnieje taka permutacja π , »e πV = V , wi¦c zbiór V jest kolumnowo zmienniczy. Ten sam argument mo»e zosta¢ u»yty, aby pokaza¢, »e je±li istnieje kolumnowo zmienniczy zbiór r wektorów V ⊂ ([2]2 )k , to generuje on silnie rozró»niaj¡ce dwukolorowanie grafu K1,r K1,k . Dla dowolnego wektora v = ((a1 , b1 ), . . . , (ak , bk )) ze zbioru ([2]2 )k rozwa»amy wektor v = ((a1 , b1 ), . . . , (ak , bk )). Wektory v oraz v 0 nazywamy par¡ dopeªniaj¡c¡, je±li bi + bi = 3, dla ka»dego i ∈ {1, 2, . . . , k}.. Je»eli r ≤ k ≤ 22r − r + 1, to K1,r K1,k ma kolorowanie silnie rozró»niaj¡ce.. Lemat 2.10.. Oznaczmy przez u wierzchoªek centralny gwiazdy K1,r oraz przez v wierzchoªek centralny gwiazdy K1,k . Opisujemy teraz konstrukcj¦ kolorowania silnie rozró»niaj¡cego grafu K1,r K1,k . Zgodnie z denicj¡ kolorowania silnie rozró»niaj¡cego wszystu v warstwy warstwy wraz z wszystkimi kraw¦dziami K1,k kie kraw¦dzie K1,r maj¡ ten sam kolor. Bez straty ogólno±ci przyjmijmy, »e jest to kolor 2. Pozostaªe kraw¦dzie pokolorujemy wykorzystuj¡c specjalny podzbiór wektorów ze zbioru ([2]2 )r . Zaªó»my najpierw, »e k = 22r − r + 1. Ze zbioru wszystkich mo»liwych wektorów usuwamy wektory postaci Dowód.. v i = ((2, bi1 ), (2, bi2 ), . . . , (2, bir )), dla i ∈ {1, 2, . . . , r − 1}, gdzie bij = 1 dla j ≤ i oraz bij = 2 w przeciwnym przypadku. Wektorów tej postaci jest dokªadnie r − 1. Pozostaªych wektorów u»ywamy do konstrukcji kolorowania kraw¦dziowego grafu K1,r K1,k . Kolorowanie to jest silnie rozró»niaj¡ce. W ka»dej z K1,k warstw jest inna liczba kraw¦dzi o kolorze 1, wi¦c je±li którekolwiek z tych warstw zostaªyby wymienione przez automorzm iloczynu kartezja«skiego, kolorowanie nie zostaªoby zachowane. Zauwa»my, »e K1,r warstwy maj¡ inn¡ liczb¦ wierzchoªków incydentnych z kraw¦dzi¡ w kolorze 1, wi¦c równie» nie mog¡ by¢ wymienione z zachowaniem kolorów kraw¦dzi..

(28) 2.3. Dwukolorowalne iloczyny gwiazd. 27. W przypadku, gdy k < 22r − r + 1, poªó»my s = 22r − r + 1 − k . Je±li s jest liczb¡ parzyst¡, usuwamy dodatkowo 2s par dopeªniaj¡cych wektorów ze zbioru ([2]2 )r . Je±li s jest liczb¡ nieparzyst¡, usuwamy wektor ((1, 1), . . . , (1, 1)) oraz s−1 par dopeªniaj¡cych. Kolorowanie iloczynu kar2 tezja«skiego z wykorzystaniem pozostaªych wektorów wci¡» posiada wªasno±ci opisane powy»ej. Jest wi¦c kolorowaniem rozró»niaj¡cym. . Poka»emy za pomoc¡ indukcji wzgl¦dem r, »e r − 1 ≤ 22r−1 . Dla r = 1 nierówno±¢ jest oczywi±cie speªniona. Dla kroku indukcyjnego, chcemy pokaza¢, »e je±li powy»sza nierówno±¢ zachodzi dla pewnego r, to zachodzi równie» nierówno±¢ r ≤ 22r+1 . Przeliczmy, korzystaj¡c z zaªo»enia indukcyjnego. r = r − 1 + 1 ≤ 22r−1 + 1 ≤ 22r−1 + 22r−1 < 22r+1 . Zatem prawdziwa jest nierówno±¢ 22r−1 ≤ 22r − r + 1, wi¦c z lematu 2.10 wynika nast¦puj¡cy wniosek. Wniosek 2.11.. rozró»niaj¡ce.. Je»eli r ≤ k ≤ 22r−1 , to K1,r K1,k ma kolorowanie silnie . Deniujemy pewien podzbiór Sm , oznaczany Sm . Do zbioru Sm nale»¡ m takie permutacje π ze zbioru m Sm , które odwzorowuj¡ elementy {1, . . . , 2 } na siebie i elementy { 2 + 1, . . . , m} na siebie. To znaczy permutacja π m nale»y do zbioru Sm wtedy i tylko wtedy, gdy π(i) ∈ {1, 2, . . . , } dla 2 m m } oraz π(i) ∈ { + 1, . . . , m} dla ka»dego ka»dego i ∈ {1, 2, . . . , 2 2 i ∈ { m2 + 1, . . . , m}.. Zbiór wektorów V ∗ ⊂ ([2]2 )m jest poªowicznie kolumnowo niezmienniczy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka permutacja π ∗ ∈ S m \{id}, »e dla ka»dego wektora v ∗ ∈ V ∗ warunek π ∗ v ∗ ∈ V ∗ jest speªniony.. Obserwacja 2.12.. 0. Dla zbioru V ∗ ⊂ ([2]2 )m niech V ⊂ ([2]2 )k oraz V 0 ⊂ ([2]2 )k b¦d¡ zbiorami jak w denicji zbioru V ∗ . Je±li V ∗ jest poªowicznie kolumnowo niezmienniczy, to istnieje permutacja π ∈ Sk \{id} lub π 0 ∈ Sk0 \{id}, taka »e πV ∗ = V ∗ lub π 0 V ∗ = V ∗ .. Dowód..

(29) 2.3. Dwukolorowalne iloczyny gwiazd. 28. Rozwa»amy permutacj¦ π ∗ ∈ Sm tak¡, »e π = π ∗ | oraz π ∗ | 0 = π 0 . PerV V mutacja π wymienia pierwsze k elementów mi¦dzy sob¡ oraz ostatnie k 0 elementów mi¦dzy sob¡. Zatem nale»y ona do zbioru S m oraz dla ka»dego v ∗ ∈ V ∗ prawd¡ jest, »e π ∗ v ∗ ∈ V ∗ . Niech π ∗ ∈ S m b¦dzie permutacj¡ tak¡, »e dla ka»dego wektora v ∗ ∈ V ∗ speªniony jest warunek π ∗ v ∗ ∈ V ∗ . Rozwa»my restrykcje π = π ∗ | oraz V π 0 = π ∗ | 0 . Wtedy π ∈ Sk oraz π 0 ∈ Sk0 . Ponadto πV = V oraz π 0 V 0 = V 0 . V St¡d zbiór V ∗ jest poªowicznie kolumnowo niezmienniczy. . Je»eli zbiór V ∗ ⊂ ([2]2 )m jest poªowicznie kolumnowo zmienniczy, to zbiór U ∗ = ([2]2 )m \V ∗ jest równie» poªowicznie kolumnowo zmienniczy.. Lemat 2.13.. Dla dowolnej permutacji π ∈ S m \{id} permutacja odwrotna π ∈ S m \{id}. Skoro zbiór V ∗ jest poªowicznie kolumnowo zmienniczy, to dla permutacji π −1 istnieje wektor v ∗ ∈ V ∗ taki, »e u∗ = π −1 v ∗ ∈ / V ∗. Wtedy πu∗ = (π −1 )−1 π −1 v ∗ = v ∗ ∈ V ∗ . Pokazali±my zatem, »e dla dowolnej permutacji π ∈ S m \{id} istnieje wektor u∗ ∈ U ∗ taki, »e πu∗ ∈ / U ∗. Zatem zbiór U ∗ jest poªowicznie kolumnowo zmienniczy. Dowód.. −1. 0. Je»eli istniej¡ zbiory V ⊂ ([2]2 )k oraz V 0 ⊂ ([2]2 )k rozmiaru r, które s¡ kolumnowo zmiennicze, to D0 (K1,m K1,n ) = 2, gdzie k = d m2 e, k 0 = b m2 c oraz n = 22m+1 − r.. Twierdzenie 2.14.. Niech V (K1,m ) = {w0 , w1 , . . . , wm } i V (K1,n ) = {u0 , u1 , . . . , un }, gdzie w0 i u0 s¡ wierzchoªkami centralnymi gwiazd K1,m oraz K1,n . 0 Niech V = {v 1 , . . . , v r } ⊂ ([2]2 )k oraz V 0 = {v 01 , . . . v 0r } ⊂ ([2]2 )k b¦d¡ zbiorami kolumnowo zmienniczymi. Wtedy zbiór V ∗ z nich utworzony jest poªowicznie kolumnowo zmienniczy zgodnie z obserwacj¡ 2.8. Z lematu 2.13 wynika, »e zbiór U ∗ = ([2]2 )m \V ∗ równie» jest poªowicznie kolumnowo zmienniczy. Poni»ej konstruujemy kolorowanie przeªamuj¡ce wszystkie nietrywialne automorzmy grafu K1,m K1,n przy pomocy zbioru U ∗. u0 Kraw¦dziom K1,m warstwy nadajemy kolor, tak aby kraw¦d¹ w0 wi byªa czerwona, je±li i ≤ k oraz niebieska w przeciwnym przypadku. Kolorujemy w0 kraw¦dzie K1,n warstwy w taki sposób, aby u0 ui miaªa kolor czerwony, gdy 2m i ≤ 2 − r, oraz niebieski w przeciwnym przypadku. Wektory ze zbioru U ∗ przypisujemy do pierwszych 22m − r spo±ród K1,m warstw, pozostaªym K1,m warstwom przypisujemy ró»ne wektory ze zbioru ([2]2 )m . Zbiór U ∗. Dowód..

(30) 2.3. Dwukolorowalne iloczyny gwiazd. 29. jest poªowicznie kolumnowo zmienniczy, wi¦c nie istnieje taka permutacja π ∈ S m \{id}, »e dla ka»dego u∗ ∈ U ∗ wektor πu∗ nale»y do zbioru U ∗ , zgodnie z obserwacj¡ 2.12. Dlatego dla ka»dego nietrywialnego automorzmu iloczynu kartezja«skiego gwiazd K1,m i K1,n istnieje co najmniej jedna K1,m warstwa, która nie mo»e zosta¢ tak przeprowadzona na inn¡ warstw¦, aby kolory kraw¦dzi zostaªy niezmienione. . Je»eli 22r < k , to ka»dy zbiór V ⊂ ([2]2 )k rozmiaru r jest kolumnowo niezmienniczy.. Lemat 2.15.. Rozwa»my zbiór V = {v 1 , . . . , v r }, gdzie v i = (v1i , . . . , vki ) dla ka»dego i ∈ {1, . . . , r}. Oznaczmy wektor i-tych wspóªrz¦dnych. Dowód.. uj = (vj1 , . . . , vjr ) ∈ ([2]2 )r dla ka»dego j ∈ {1, . . . , k}. Wiemy, »e k > 22r = |([2]2 )r |, wi¦c istniej¡ co najmniej dwa indeksy m oraz n, gdzie m < n, takie »e um oraz un s¡ i = vni dla wszystkich i. Niech π ∈ Sk b¦dzie tak¡ sobie równe, czyli vm transpozycj¡, »e π(m) = n. Wtedy dla wektora v i ∈ V mamy i i i i i πv i =π(v1i , . . . , vm , . . . , vni , . . . , vki ) = (vπ(1) , . . . , vπ(m) , . . . , vπ(n) , . . . , vπ(k) )= i i =(v1i , . . . , vni , . . . , vm , . . . , vki ) = (v1i , . . . , vm , . . . , vni , . . . , vki ) = v i. Zatem zbiór V jest kolumnowo niezmienniczy.. . Permutacja π z powy»szego dowodu jest transpozycj¡. Co wi¦cej, ka»dy wektor v ∈ V jest swoim wªasnym obrazem poprzez permutacj¦ π . Twierdzenie 2.16.. oraz r = 22m+1 − n.. Je»eli 22r < k , to D0 (K1,m K1,n ) > 2, gdzie k = d m2 e. Dowód. Poka»emy, »e dla ka»dego dwukolorowania kraw¦dziowego iloczynu kartezja«skiego K1,m K1,n istnieje nietrywialny automorzm, który nie jest przeªamany. Niech v oraz u b¦d¡ centralnymi wierzchoªkami gwiazd K1,m oraz K1,n . u v Rozwa»my najpierw K1,m warstw¦ i K1,n warstw¦. Bez straty ogólno±ci u zakªadamy, »e liczba niebieskich kraw¦dzi w K1,m warstwie jest wi¦ksza b¡d¹ równa liczbie czerwonych kraw¦dzi w tej warstwie. Liczb¦ niebieu v skich kraw¦dzi w K1,m warstwie i K1,n warstwie oznaczamy odpowiednio.

(31) 2.3. Dwukolorowalne iloczyny gwiazd. 30. przez k 0 oraz n0 , dodatkowo oznaczmy przez n00 liczb¦ czerwonych kraw¦v dzi w K1,n warstwie. Ponumerujmy wierzchoªki obu gwiazd, tak aby niebieskie kraw¦dzie ª¡czyªy wierzchoªek centralny z pocz¡tkowymi k 0 wierzu v choªkami K1,m warstwy i pocz¡tkowymi n0 wierzchoªkami K1,n warstwy. Pocz¡tkowe n0 spo±ród K1,m warstw nazywamy warstwami niebieskimi, a pozostaªe K1,m warstwy nazywamy warstwami czerwonymi. Oznaczmy zbiory wszystkich wektorów par dªugo±ci m odpowiadaj¡ce kolorowaniu niebieskich warstw przez W 0 oraz odpowiadaj¡ce kolorowaniu czerwonych warstw przez W 00 . Oznaczmy przez V 0 oraz V 00 zbiory wszystkich wektorów par o dªugo±ci k 0 odpowiadaj¡cych pocz¡tkowym k 0 0 wyrazom wektorów ze zbiorów W 0 oraz W 00 . Niech U 0 = ([2]2 )k \V 0 oraz 0 U 00 = ([2]2 )k \V 00 . Oznaczmy ponadto U = U 0 ∪ U 00 oraz r0 = |U |. Wtedy r jest liczb¡ brakuj¡cych wektorów, wi¦c r0 ≤ r i k 0 ≥ d m2 e = k . St¡d 0. 22r ≤ 22r < k ≤ k 0 , 0. czyli 22r < k 0 . Zgodnie z lematem 2.15 zbiór U jest kolumnowo niezmienniczy. Istnieje taka transpozycja π ∈ Sk0 \{id}, »e πU = U . Co wi¦cej, dla ka»dego wektora u0 ∈ U 0 mamy πu0 = u0 . Tak jest te» dla u00 ∈ U 00 . Niech π ∈ Sm \{id} b¦dzie tak¡ permutacj¡, »e π(i) = π(i) dla ka»dego i ∈ {1, . . . , k 0 } oraz π(j) = j dla ka»dego j ∈ {k 0 + 1, . . . , m}. Skoro π([2]2 )m = ([2]2 )m , to dla ka»dego wektora v 0 ∈ V 0 (v 00 ∈ V 00 ) istnieje wektor w0 ∈ V 0 (w00 ∈ V 00 ), taki »e w0 = πv 0 (w00 = πv 00 ). St¡d istnieje automorzm odpowiadaj¡cy permutacji π , który wymienia pocz¡tkowe k 0 spo±ród K1,n warstw zachowuj¡cy kolory kraw¦dzi iloczynu kartezja«skiego K1,m K1,n . Zako«czyli±my prezentacj¦ wszystkich wyników niezb¦dnych do przeprowadzenia dowodu twierdzenia 2.5. Niech r = 22m+1 − n. Je±li r ≥ log22 k + 21 , to k ≤ 22r−1 . Graf K1,r K1,k ma silnie rozró»niaj¡ce kolorowanie zgodnie z wnioskiem 2.11. Ponadto dzi¦ki lematowi 2.9 istnieje zbiór wektorów V ⊂ ([2]2 )k rozmiaru r, który jest kolumnowo zmienniczy. Ostatecznie z twierdzenia 2.14 wynika, »e indeks rozró»niaj¡cy iloczynu kartezja«skiego K1,m K1,n jest równy dwa. Je±li natomiast r < log22 k , to 22r < k . Wtedy zgodnie z twierdzeniem 2.16 dwa kolory nie wystarcz¡ do przeªamania wszystkich nietrywialnych automorzmów grafu K1,m K1,n . Dowód twierdzenia 2.5..