Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c

tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 11 / 1

Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 11 / 1

Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d

tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 11 / 1

Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 11 / 1

Elementem wiod ˛acymwiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element.

Macierz liczbowa jest wpostaci schodkowejje´sli

Wszystkie wiersze zerowe s ˛a poni˙zej niezerowych (o ile istniej ˛a) Elementy wiod ˛ace kolejnych wierszy niezerowych znajduj ˛a si ˛e w kolumnach o coraz wy˙zszych numerach

Elementem wiod ˛acymwiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element.

Macierz liczbowa jest wpostaci schodkowejje´sli

Wszystkie wiersze zerowe s ˛a poni˙zej niezerowych (o ile istniej ˛a) Elementy wiod ˛ace kolejnych wierszy niezerowych znajduj ˛a si ˛e w kolumnach o coraz wy˙zszych numerach

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 12 / 1

Elementem wiod ˛acymwiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element.

Macierz liczbowa jest wpostaci schodkowejje´sli

Wszystkie wiersze zerowe s ˛a poni˙zej niezerowych (o ile istniej ˛a)

Elementy wiod ˛ace kolejnych wierszy niezerowych znajduj ˛a si ˛e w kolumnach o coraz wy˙zszych numerach

Elementem wiod ˛acymwiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element.

Macierz liczbowa jest wpostaci schodkowejje´sli

Wszystkie wiersze zerowe s ˛a poni˙zej niezerowych (o ile istniej ˛a) Elementy wiod ˛ace kolejnych wierszy niezerowych znajduj ˛a si ˛e w kolumnach o coraz wy˙zszych numerach

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 12 / 1

Przykład

Macierz jest wzredukowanejpostaci schodkowej je´sli jest w postaci schodkowej, wszystkie elementy wiod ˛ace wierszy sa równe 1 oraz w kolumnach, w których stoj ˛a s ˛a poza nimi same zera.

Przykład

Przykład

Macierz jest wzredukowanejpostaci schodkowej je´sli jest w postaci schodkowej, wszystkie elementy wiod ˛ace wierszy sa równe 1 oraz w kolumnach, w których stoj ˛a s ˛a poza nimi same zera.

Przykład

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 13 / 1

Przykład

Macierz jest wzredukowanejpostaci schodkowej je´sli jest w postaci schodkowej, wszystkie elementy wiod ˛ace wierszy sa równe 1 oraz w kolumnach, w których stoj ˛a s ˛a poza nimi same zera.

Przykład

Twierdzenie

Ka˙zd ˛a macierz liczbow ˛a mo˙zna za pomoc ˛a elementarnych operacji na wierszach sprowadzi´c do(zredukowanej) postaci schodkowej

Metoda rozwi ˛azywania układów równa ´n liniowych

Sprowadzi´c macierz układu do (zredukowanej) postaci schodkowej. Je´sli element wiod ˛acy ostatniego niezerowego wiersza pojawi si ˛e w ostatniej kolumnie (wyrazów wolnych) to układ jest sprzeczny. W przeciwnym przypadku wybra´c jako zmienne zale˙zne te, w których kolumnach stoj ˛a elementy wiod ˛ace, za´s pozostałe jako parametry i odczyta´c rozwi ˛azanie ogólne.

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 14 / 1

Twierdzenie

Ka˙zd ˛a macierz liczbow ˛a mo˙zna za pomoc ˛a elementarnych operacji na wierszach sprowadzi´c do(zredukowanej) postaci schodkowej

Metoda rozwi ˛azywania układów równa ´n liniowych

Sprowadzi´c macierz układu do (zredukowanej) postaci schodkowej.

Je´sli element wiod ˛acy ostatniego niezerowego wiersza pojawi si ˛e w ostatniej kolumnie (wyrazów wolnych) to układ jest sprzeczny. W przeciwnym przypadku wybra´c jako zmienne zale˙zne te, w których kolumnach stoj ˛a elementy wiod ˛ace, za´s pozostałe jako parametry i odczyta´c rozwi ˛azanie ogólne.

Twierdzenie

Ka˙zd ˛a macierz liczbow ˛a mo˙zna za pomoc ˛a elementarnych operacji na wierszach sprowadzi´c do(zredukowanej) postaci schodkowej

Metoda rozwi ˛azywania układów równa ´n liniowych

Sprowadzi´c macierz układu do (zredukowanej) postaci schodkowej.

Je´sli element wiod ˛acy ostatniego niezerowego wiersza pojawi si ˛e w ostatniej kolumnie (wyrazów wolnych) to układ jest sprzeczny. W przeciwnym przypadku wybra´c jako zmienne zale˙zne te, w których kolumnach stoj ˛a elementy wiod ˛ace, za´s pozostałe jako parametry i odczyta´c rozwi ˛azanie ogólne.

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 14 / 1

Przykład

Rozwa˙zmy układ U :

 x₁+ x₂+ 2x₃− 2x₄ =1 2x₁+ 2x₂+ 5x₃+ x₄ =4 Macierz ˛a tego układu jest

 1 1 2 −2 1

2 2 5 1 4



. Operacj ˛a w₂− 2w₁ sprowadzamy j ˛a do postaci schodkowej M =

 1 1 2 −2 1

0 0 1 5 2

 . Widzimy, ˙ze układ jest niesprzeczny i, ˙ze jako zmienne zale˙zne mo˙zna przyj ˛a´c x₁i x₃natomiast x₂i x₄jako parametry.

Przykład (cd)

Macierz M przeprowadzamy operacj ˛a w₁− 2w₂do postaci schodkowej zredukowanej M⁰ =

 1 1 0 −12 −3

0 0 1 5 2



, z której spisujemy układ U⁰ równowa˙zny U

U⁰ :

 x₁+ x₂ − 12x₄ = −3 x₃+ 5x₄ =2 przekształcamy go do rozwi ˛azania ogólnego

 x₁ = −3 − x₂+12x₄ x₃ = 2 − 5x₄

Ka˙zde rozwi ˛azanie układu U mo˙zna zapisa´c w postaci (−3 − x₂+12x₄,x₂,2 − 5x₄,x₄), gdzie x₂,x₄∈ R

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 16 / 1