Układy równa´n liniowych

Układy równa ´n liniowych

Mirosław Sobolewski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW

1. wykład z algebry liniowej Warszawa, pa´zdziernik 2015

Podstawowy podr ˛ecznik

T. Ko´zniewski Wykłady z algebry liniowej

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 2 / 1

Równanie liniowe z n niewiadomymi

a₁x₁+a₂x₂+ · · · +a_nx_n=b

a₁,a₂, . . . ,an – współczynniki, b – wyraz wolny

Układ m równa ´n z n niewiadomymi (zmiennymi)

U :











a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · a_1nx_n =b₁ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ · · · a_2nx_n =b₂

... ... . .. ... ... a_m1x₁+ a_m2x₂+ · · · a_mnx_n =b_m

Równanie liniowe z n niewiadomymi

a₁x₁+a₂x₂+ · · · +a_nx_n=b

a₁,a₂, . . . ,an – współczynniki, b – wyraz wolny

Układ m równa ´n z n niewiadomymi (zmiennymi)

U :











a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · a_1nx_n =b₁ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ · · · a_2nx_n =b₂

... ... . .. ... ... a_m1x₁+ a_m2x₂+ · · · a_mnx_n =b_m

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 3 / 1

Równanie liniowe z n niewiadomymi

a₁x₁+a₂x₂+ · · · +a_nx_n=b

a₁,a₂, . . . ,an – współczynniki, b – wyraz wolny

Układ m równa ´n z n niewiadomymi (zmiennymi)

U :











a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · a_1nx_n =b₁ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ · · · a_2nx_n =b₂

... ... . .. ... ... a_m1x₁+ a_m2x₂+ · · · a_mnx_n =b_m

Układ jestjednorodny– je´sli wszystkie wyrazy wolne s ˛a 0 tzn. jest postaci











a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · a_1nx_n =0 a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ · · · a_2nx_n =0 ... ... . .. ... ... a_m1x₁+ a_m2x₂+ · · · amnxn =0

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 4 / 1

n-elementowy ci ˛ag liczb s₁,s₂, . . . ,s_nnazwiemyrozwi ˛azaniemukładu równa ´n liniowych U, je´sli po zast ˛apieniu nimi kolejno zmiennych x₁,x₂, . . . ,xnotrzymujemy ze wszystkich równana ´n równo´sci prawdziwe.

Uwaga:

Układ jednorodny ma zawsze rozwi ˛azanie, jest nim ci ˛ag zło˙zony z zer, tzn. s₁=s₂= · · · =s_n=0.

Układ nazwiemysprzecznymje´sli nie ma rozwi ˛aza ´n (tzn. zbiór rozwi ˛aza ´n jest pusty)

Dwa układy nazwiemyrównowa˙znymije´sli maj ˛a te same zbiory rozwi ˛aza ´n

n-elementowy ci ˛ag liczb s₁,s₂, . . . ,s_nnazwiemyrozwi ˛azaniemukładu równa ´n liniowych U, je´sli po zast ˛apieniu nimi kolejno zmiennych x₁,x₂, . . . ,xnotrzymujemy ze wszystkich równana ´n równo´sci prawdziwe.

Uwaga:

Układ jednorodny ma zawsze rozwi ˛azanie, jest nim ci ˛ag zło˙zony z zer, tzn. s₁=s₂= · · · =s_n=0.

Układ nazwiemysprzecznymje´sli nie ma rozwi ˛aza ´n (tzn. zbiór rozwi ˛aza ´n jest pusty)

Dwa układy nazwiemyrównowa˙znymije´sli maj ˛a te same zbiory rozwi ˛aza ´n

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 5 / 1

n-elementowy ci ˛ag liczb s₁,s₂, . . . ,s_nnazwiemyrozwi ˛azaniemukładu równa ´n liniowych U, je´sli po zast ˛apieniu nimi kolejno zmiennych x₁,x₂, . . . ,xnotrzymujemy ze wszystkich równana ´n równo´sci prawdziwe.

Uwaga:

Układ jednorodny ma zawsze rozwi ˛azanie, jest nim ci ˛ag zło˙zony z zer, tzn. s₁=s₂= · · · =s_n=0.

Układ nazwiemysprzecznymje´sli nie ma rozwi ˛aza ´n (tzn. zbiór rozwi ˛aza ´n jest pusty)

Dwa układy nazwiemyrównowa˙znymije´sli maj ˛a te same zbiory rozwi ˛aza ´n

n-elementowy ci ˛ag liczb s₁,s₂, . . . ,s_nnazwiemyrozwi ˛azaniemukładu równa ´n liniowych U, je´sli po zast ˛apieniu nimi kolejno zmiennych x₁,x₂, . . . ,xnotrzymujemy ze wszystkich równana ´n równo´sci prawdziwe.

Uwaga:

Układ jednorodny ma zawsze rozwi ˛azanie, jest nim ci ˛ag zło˙zony z zer, tzn. s₁=s₂= · · · =s_n=0.

Układ nazwiemysprzecznymje´sli nie ma rozwi ˛aza ´n (tzn. zbiór rozwi ˛aza ´n jest pusty)

Dwa układy nazwiemyrównowa˙znymije´sli maj ˛a te same zbiory rozwi ˛aza ´n

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 5 / 1

Operacje na równaniach liniowych i ich układach

Równania liniowe mo˙zna mno˙zy´c przez liczb ˛e tzn. iloczynemrównania a₁x₁+a₂x₂+ · · · +a_nx_n =b przez liczb ˛e d jest równanie

a₁⁰x₁+a⁰₂x₂+ · · · +a⁰_nx_n =b⁰, w którym a⁰_i =da_i, dla i = 1, 2, . . . , n oraz b⁰ =db

oraz dodawa´c do siebie

Sumarówna ´n a₁x₁+a₂x₂+ · · · +a_nx_n=b oraz a₁⁰x₁+a⁰₂x₂+ · · · +a⁰_nx_n =b⁰ to równanie a₁⁰⁰x₁+a⁰⁰₂x₂+ · · · +a⁰⁰_nxn=b⁰⁰,

w którym a⁰⁰_i =a_i+a⁰_i,dla i = 1, 2, . . . , n oraz b⁰⁰=b + b⁰

Operacje na równaniach liniowych i ich układach

Równania liniowe mo˙zna mno˙zy´c przez liczb ˛e tzn. iloczynemrównania a₁x₁+a₂x₂+ · · · +a_nx_n =b przez liczb ˛e d jest równanie

a₁⁰x₁+a⁰₂x₂+ · · · +a⁰_nx_n =b⁰, w którym a⁰_i =da_i, dla i = 1, 2, . . . , n oraz b⁰ =db

oraz dodawa´c do siebie

Sumarówna ´n a₁x₁+a₂x₂+ · · · +a_nx_n=b oraz a₁⁰x₁+a⁰₂x₂+ · · · +a⁰_nx_n =b⁰ to równanie a₁⁰⁰x₁+a⁰⁰₂x₂+ · · · +a⁰⁰_nxn=b⁰⁰,

w którym a⁰⁰_i =a_i+a⁰_i,dla i = 1, 2, . . . , n oraz b⁰⁰=b + b⁰

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 6 / 1

Operacje na równaniach liniowych i ich układach

Równania liniowe mo˙zna mno˙zy´c przez liczb ˛e tzn. iloczynemrównania a₁x₁+a₂x₂+ · · · +a_nx_n =b przez liczb ˛e d jest równanie

a₁⁰x₁+a⁰₂x₂+ · · · +a⁰_nx_n =b⁰, w którym a⁰_i =da_i, dla i = 1, 2, . . . , n oraz b⁰ =db

oraz dodawa´c do siebie

Sumarówna ´n a₁x₁+a₂x₂+ · · · +a_nx_n=b oraz a₁⁰x₁+a⁰₂x₂+ · · · +a⁰_nxn =b⁰ to równanie a₁⁰⁰x₁+a⁰⁰₂x₂+ · · · +a⁰⁰_nxn=b⁰⁰,

w którym a⁰⁰_i =a_i+a⁰_i,dla i = 1, 2, . . . , n oraz b⁰⁰=b + b⁰

Twierdzenie

Nast ˛epuj ˛ace operacje prowadz ˛a do układu równowa˙znego z danym:

1 Dodanie do równania innego równania układu pomno˙zonego przez liczb ˛e

2 Zamiana dwóch równa ´n miejscami

3 pomno˙zenie jednego z równa ´n przez niezerow ˛a liczb ˛e Rozwi ˛azaniem ogólnymukładu równa ´n liniowych U nazywamy równowa˙zny jemu układ U⁰postaci:

U⁰ :







x_j1 = c₁₁x₁+ · · · + c_1nxn+d₁ ... . .. . .. ... x_jk = c_{k 1}x₁+ · · · c_knxn+d_k

przy czym c_ij =0, dla j = j₁, . . . ,j_k(tzn. zmienne x_j1, . . . ,x_jk nie wyst ˛epuj ˛a po prawej stronie – nazywamy je zmiennymizale˙znymi, pozostałeniezale˙znymi, b ˛ad´zparametrami).

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 7 / 1

Twierdzenie

Nast ˛epuj ˛ace operacje prowadz ˛a do układu równowa˙znego z danym:

1 Dodanie do równania innego równania układu pomno˙zonego przez liczb ˛e

2 Zamiana dwóch równa ´n miejscami

3 pomno˙zenie jednego z równa ´n przez niezerow ˛a liczb ˛e Rozwi ˛azaniem ogólnymukładu równa ´n liniowych U nazywamy równowa˙zny jemu układ U⁰postaci:

U⁰ :







x_j1 = c₁₁x₁+ · · · + c_1nxn+d₁ ... . .. . .. ... x_jk = c_{k 1}x₁+ · · · c_knxn+d_k

przy czym c_ij =0, dla j = j₁, . . . ,j_k(tzn. zmienne x_j1, . . . ,x_jk nie wyst ˛epuj ˛a po prawej stronie – nazywamy je zmiennymizale˙znymi, pozostałeniezale˙znymi, b ˛ad´zparametrami).

Twierdzenie

Nast ˛epuj ˛ace operacje prowadz ˛a do układu równowa˙znego z danym:

1 Dodanie do równania innego równania układu pomno˙zonego przez liczb ˛e

2 Zamiana dwóch równa ´n miejscami

3 pomno˙zenie jednego z równa ´n przez niezerow ˛a liczb ˛e Rozwi ˛azaniem ogólnymukładu równa ´n liniowych U nazywamy równowa˙zny jemu układ U⁰postaci:

U⁰ :







x_j1 = c₁₁x₁+ · · · + c_1nxn+d₁ ... . .. . .. ... x_jk = c_{k 1}x₁+ · · · c_knxn+d_k

przy czym c_ij =0, dla j = j₁, . . . ,j_k(tzn. zmienne x_j1, . . . ,x_jk nie wyst ˛epuj ˛a po prawej stronie – nazywamy je zmiennymizale˙znymi, pozostałeniezale˙znymi, b ˛ad´zparametrami).

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 7 / 1

Twierdzenie

Nast ˛epuj ˛ace operacje prowadz ˛a do układu równowa˙znego z danym:

1 Dodanie do równania innego równania układu pomno˙zonego przez liczb ˛e

2 Zamiana dwóch równa ´n miejscami

3 pomno˙zenie jednego z równa ´n przez niezerow ˛a liczb ˛e

Rozwi ˛azaniem ogólnymukładu równa ´n liniowych U nazywamy równowa˙zny jemu układ U⁰postaci:

U⁰ :







x_j1 = c₁₁x₁+ · · · + c_1nxn+d₁ ... . .. . .. ... x_jk = c_{k 1}x₁+ · · · c_knxn+d_k

przy czym c_ij =0, dla j = j₁, . . . ,j_k(tzn. zmienne x_j1, . . . ,x_jk nie wyst ˛epuj ˛a po prawej stronie – nazywamy je zmiennymizale˙znymi, pozostałeniezale˙znymi, b ˛ad´zparametrami).

Twierdzenie

Nast ˛epuj ˛ace operacje prowadz ˛a do układu równowa˙znego z danym:

1 Dodanie do równania innego równania układu pomno˙zonego przez liczb ˛e

2 Zamiana dwóch równa ´n miejscami

3 pomno˙zenie jednego z równa ´n przez niezerow ˛a liczb ˛e Rozwi ˛azaniem ogólnymukładu równa ´n liniowych U nazywamy równowa˙zny jemu układ U⁰postaci:

U⁰ :







x_j1 = c₁₁x₁+ · · · + c_1nxn+d₁ ... . .. . .. ... x_jk = c_{k 1}x₁+ · · · c_knxn+d_k

przy czym c_ij =0, dla j = j₁, . . . ,j_k(tzn. zmienne x_j1, . . . ,x_jk nie wyst ˛epuj ˛a po prawej stronie – nazywamy je zmiennymizale˙znymi, pozostałeniezale˙znymi, b ˛ad´zparametrami).

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 7 / 1

Macierze

Macierz ˛a m × n ( czyli o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablic ˛e

D =











d₁₁ d₁₂ · · · d_1n d₂₁ d₂₂ · · · d_2n ... ... . .. ... d_m1 d_m2 · · · dmn











Piszemy tak˙ze D = [d_ij], gdzie d_ij (dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) nale˙z ˛a do zbioru X

Rz ˛edy poziome nazywamy wierszami, za´s pionowe – kolumnami

Macierze

Macierz ˛a m × n ( czyli o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablic ˛e

D =











d₁₁ d₁₂ · · · d_1n d₂₁ d₂₂ · · · d_2n ... ... . .. ... d_m1 d_m2 · · · dmn











Piszemy tak˙ze D = [d_ij], gdzie d_ij (dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) nale˙z ˛a do zbioru X

Rz ˛edy poziome nazywamy wierszami, za´s pionowe – kolumnami

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 8 / 1

Macierze

Macierz ˛a m × n ( czyli o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablic ˛e

D =











d₁₁ d₁₂ · · · d_1n d₂₁ d₂₂ · · · d_2n ... ... . .. ... d_m1 d_m2 · · · dmn











Piszemy tak˙ze D = [d_ij], gdzie d_ij (dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) nale˙z ˛a do zbioru X

Rz ˛edy poziome nazywamy wierszami, za´s pionowe – kolumnami

Macierz układu równa ´ n liniowych

Układowi

U :











a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · a_1nxn =b₁ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ · · · a_2nx_n =b₂

... ... . .. ... ... a_m1x₁+ a_m2x₂+ · · · a_mnx_n =b_m

Przypisujemy macierz liczbow ˛a m × (n + 1)











a₁₁ a₁₂ · · · a_1n b₁ a₂₁ a₂₂ · · · a_2n b₂ ... ... . .. ... ... a_m1 a_m2 · · · amn bm









 nazywan ˛amacierz ˛a układuU.

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 9 / 1

Macierz układu równa ´ n liniowych

Układowi

U :











a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · a_1nxn =b₁ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ · · · a_2nx_n =b₂

... ... . .. ... ... a_m1x₁+ a_m2x₂+ · · · a_mnx_n =b_m Przypisujemy macierz liczbow ˛a m × (n + 1)











a₁₁ a₁₂ · · · a_1n b₁ a₂₁ a₂₂ · · · a_2n b₂ ... ... . .. ... ...

a a · · · a b











Macierz m × n











a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a₂₁ d₂₂ · · · a_2n ... ... . .. ... a_m1 a_m2 · · · a_mn









 nazywamymacierz ˛a współczynnikówU.

Ostatnia kolumna macierzy układu U tokolumna wyrazów

wolnych









 b₁ b₂ ... bm











Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 10 / 1

Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Przykład Rozwa˙zmy macierz:









0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 3 0 2 8 0 0









. Po zastosowaniu

do niej kolejno operacji w₁↔ w₂, w₄− 2w₁, ¹₃w₃otrzymamy macierz









0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0









Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c

tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Przykład Rozwa˙zmy macierz:









0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 3 0 2 8 0 0









. Po zastosowaniu

do niej kolejno operacji w₁↔ w₂, w₄− 2w₁, ¹₃w₃otrzymamy macierz









0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0









Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 11 / 1

Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Przykład Rozwa˙zmy macierz:









0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 3 0 2 8 0 0









. Po zastosowaniu

do niej kolejno operacji w₁↔ w₂, w₄− 2w₁, ¹₃w₃otrzymamy macierz









0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0









Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Przykład Rozwa˙zmy macierz:









0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 3 0 2 8 0 0









. Po zastosowaniu

do niej kolejno operacji w₁↔ w₂, w₄− 2w₁, ¹₃w₃otrzymamy macierz









0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0









Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 11 / 1

Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d

tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Przykład Rozwa˙zmy macierz:









0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 3 0 2 8 0 0









. Po zastosowaniu

do niej kolejno operacji w₁↔ w₂, w₄− 2w₁, ¹₃w₃otrzymamy macierz









0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0









Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Przykład Rozwa˙zmy macierz:









0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 3 0 2 8 0 0









. Po zastosowaniu

do niej kolejno operacji w₁↔ w₂, w₄− 2w₁, ¹₃w₃otrzymamy macierz









0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0









Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 11 / 1

Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Przykład Rozwa˙zmy macierz:









0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 3 0 2 8 0 0









. Po zastosowaniu

do niej kolejno operacji w₁↔ w₂, w₄− 2w₁, ¹₃w₃otrzymamy macierz









0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0









Upraszczanie macierzy

Rozpatrujemy nast ˛epuj ˛aceelementarneoperacje na wierszach:

1 Dodanie do wiersza w_i = [w_i1,w_i2, . . . ,w_in]innego wiersza w_j = [w_j1,w_j2, . . . ,w_jn]pomno˙zonego przez liczb ˛e c tzn. wiersz w_i zast ˛epujemy wierszem

w_i⁰= [w_i1+cw_j1,w_i2+cw_j2, . . . ,w_in+cw_jn]

2 Zamiana dwóch wierszy miejscami

3 Pomno˙zenie wiersza w_i przez niezerow ˛a liczb ˛e d tzn. zast ˛epujemy w_i przez w_i⁰⁰= [dw_i1,dw_i2, . . . ,dw_in]

Przykład Rozwa˙zmy macierz:









0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 3 0 2 8 0 0









. Po zastosowaniu

do niej kolejno operacji w₁↔ w₂, w₄− 2w₁, ¹₃w₃otrzymamy macierz









0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0









Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 11 / 1

Elementem wiod ˛acymwiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element.

Macierz liczbowa jest wpostaci schodkowejje´sli

Wszystkie wiersze zerowe s ˛a poni˙zej niezerowych (o ile istniej ˛a) Elementy wiod ˛ace kolejnych wierszy niezerowych znajduj ˛a si ˛e w kolumnach o coraz wy˙zszych numerach

Elementem wiod ˛acymwiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element.

Macierz liczbowa jest wpostaci schodkowejje´sli

Wszystkie wiersze zerowe s ˛a poni˙zej niezerowych (o ile istniej ˛a) Elementy wiod ˛ace kolejnych wierszy niezerowych znajduj ˛a si ˛e w kolumnach o coraz wy˙zszych numerach

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 12 / 1

Elementem wiod ˛acymwiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element.

Macierz liczbowa jest wpostaci schodkowejje´sli

Wszystkie wiersze zerowe s ˛a poni˙zej niezerowych (o ile istniej ˛a)

Elementy wiod ˛ace kolejnych wierszy niezerowych znajduj ˛a si ˛e w kolumnach o coraz wy˙zszych numerach

Elementem wiod ˛acymwiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element.

Macierz liczbowa jest wpostaci schodkowejje´sli

Wszystkie wiersze zerowe s ˛a poni˙zej niezerowych (o ile istniej ˛a) Elementy wiod ˛ace kolejnych wierszy niezerowych znajduj ˛a si ˛e w kolumnach o coraz wy˙zszych numerach

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 12 / 1

Przykład









0 2 4 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0









Macierz jest wzredukowanejpostaci schodkowej je´sli jest w postaci schodkowej, wszystkie elementy wiod ˛ace wierszy sa równe 1 oraz w kolumnach, w których stoj ˛a s ˛a poza nimi same zera.

Przykład









0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0









Przykład









0 2 4 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0









Macierz jest wzredukowanejpostaci schodkowej je´sli jest w postaci schodkowej, wszystkie elementy wiod ˛ace wierszy sa równe 1 oraz w kolumnach, w których stoj ˛a s ˛a poza nimi same zera.

Przykład









0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0









Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 13 / 1

Przykład









0 2 4 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0









Macierz jest wzredukowanejpostaci schodkowej je´sli jest w postaci schodkowej, wszystkie elementy wiod ˛ace wierszy sa równe 1 oraz w kolumnach, w których stoj ˛a s ˛a poza nimi same zera.

Przykład









0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1









Twierdzenie

Ka˙zd ˛a macierz liczbow ˛a mo˙zna za pomoc ˛a elementarnych operacji na wierszach sprowadzi´c do(zredukowanej) postaci schodkowej

Metoda rozwi ˛azywania układów równa ´n liniowych

Sprowadzi´c macierz układu do (zredukowanej) postaci schodkowej. Je´sli element wiod ˛acy ostatniego niezerowego wiersza pojawi si ˛e w ostatniej kolumnie (wyrazów wolnych) to układ jest sprzeczny. W przeciwnym przypadku wybra´c jako zmienne zale˙zne te, w których kolumnach stoj ˛a elementy wiod ˛ace, za´s pozostałe jako parametry i odczyta´c rozwi ˛azanie ogólne.

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 14 / 1

Twierdzenie

Ka˙zd ˛a macierz liczbow ˛a mo˙zna za pomoc ˛a elementarnych operacji na wierszach sprowadzi´c do(zredukowanej) postaci schodkowej

Metoda rozwi ˛azywania układów równa ´n liniowych

Sprowadzi´c macierz układu do (zredukowanej) postaci schodkowej.

Je´sli element wiod ˛acy ostatniego niezerowego wiersza pojawi si ˛e w ostatniej kolumnie (wyrazów wolnych) to układ jest sprzeczny. W przeciwnym przypadku wybra´c jako zmienne zale˙zne te, w których kolumnach stoj ˛a elementy wiod ˛ace, za´s pozostałe jako parametry i odczyta´c rozwi ˛azanie ogólne.

Twierdzenie

Ka˙zd ˛a macierz liczbow ˛a mo˙zna za pomoc ˛a elementarnych operacji na wierszach sprowadzi´c do(zredukowanej) postaci schodkowej

Metoda rozwi ˛azywania układów równa ´n liniowych

Sprowadzi´c macierz układu do (zredukowanej) postaci schodkowej.

Je´sli element wiod ˛acy ostatniego niezerowego wiersza pojawi si ˛e w ostatniej kolumnie (wyrazów wolnych) to układ jest sprzeczny. W przeciwnym przypadku wybra´c jako zmienne zale˙zne te, w których kolumnach stoj ˛a elementy wiod ˛ace, za´s pozostałe jako parametry i odczyta´c rozwi ˛azanie ogólne.

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 14 / 1

Przykład

Rozwa˙zmy układ U :

 x₁+ x₂+ 2x₃− 2x₄ =1 2x₁+ 2x₂+ 5x₃+ x₄ =4 Macierz ˛a tego układu jest

 1 1 2 −2 1

2 2 5 1 4



. Operacj ˛a w₂− 2w₁ sprowadzamy j ˛a do postaci schodkowej M =

 1 1 2 −2 1

0 0 1 5 2

 . Widzimy, ˙ze układ jest niesprzeczny i, ˙ze jako zmienne zale˙zne mo˙zna przyj ˛a´c x₁i x₃natomiast x₂i x₄jako parametry.

Przykład (cd)

Macierz M przeprowadzamy operacj ˛a w₁− 2w₂do postaci schodkowej zredukowanej M⁰ =

 1 1 0 −12 −3

0 0 1 5 2



, z której spisujemy układ U⁰ równowa˙zny U

U⁰ :

 x₁+ x₂ − 12x₄ = −3 x₃+ 5x₄ =2 przekształcamy go do rozwi ˛azania ogólnego

 x₁ = −3 − x₂+12x₄ x₃ = 2 − 5x₄

Ka˙zde rozwi ˛azanie układu U mo˙zna zapisa´c w postaci (−3 − x₂+12x₄,x₂,2 − 5x₄,x₄), gdzie x₂,x₄∈ R

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesie ´n 2015 16 / 1