qj(1−q)n−j . Ka»dy A ⊂ S ma jednakowe prawdopodobie«stwo qj(1− q)|S|−j oraz
IP(X = A|X ∈ S(j)) = 1/
n j
A⊂ S .
Aby wi¦c otrzyma¢ estymator warstwowy generujemy npj replikacji na ka»dej warstwie S(j) z rozkªadem jednostajnym.
5 Uwagi bibliogra czne
O procesach Poissona mo»na przeczyta¢ w wielu ksi¡»kach z procesów sto-chastycznych. Jednak»e warto poleci¢ ksi¡»ki specjalistycznej, jak na przy-kªad Kingmana [20, 21]. Metoda symulacji niejednorodnego procesu Poisson przez przezedzanie pochodzi z pracy [32]. Metoda symulacji po zdarzeniach (discrete event simulation) ma bogat¡ literatur¦. W szczególno±ci mo»na po-leci¢ podr¦cznika Fishmana [15], Bratleya i wspóªautorów [7]. Jesli procesy pomi¦dzy zdarzeniami nie s¡ staªe ale zmieniaj¡ si¦ w sposób determini-styczny, to takie procesy mo»na modelowa¢ za pomoc¡ procesów kawaªkami
5. UWAGI BIBLIOGRAFICZNE 157 deterministycznie Markowa (piecewise deterministic Markov process); patrz monogra a Davisa [10].
O zagadnieniu konserwatora i innych problemach teorii niezawodno±ci mo»na poczyta¢ w ksi¡»ce Kopoci«skiego [25]
O protokoªach w transmisji rozproszonej mo»na poczyta¢ w ksi¡»kach:
Ross [1], str. 148, Bremaud [8], str. 108110, 173178, lub w pracach Kelly (1985) i Kelly & MacPhee [18, 19], Aldous (1987) [3].
Analiza przepªywu w sieci z rys. 4.6 jest wzi¦ta z ksi¡zki Madrasa [?].
gg1.pdf
Rysunek 2.3: Ilustracja pierwszych kroków algorytmu dla G/G/1.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 50 100 150 200 250
Rysunek 3.4: Liczba oczekuj¡cych pakietów Xn (n ≤ 5000) w ALOHA;
λ = 0.31, h = 0.1.
5. UWAGI BIBLIOGRAFICZNE 159
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Rysunek 3.5: Szczelinowa ALOHA; Przepustowo±¢ Bn/n (n ≤ 5000); λ = 0.31, h = 0.1.
Rysunek 4.6: Schemat poª¡cze« w sieci.
Zadania teoretyczne
5.1 W szczelinowym modelu ALOHA z λ = 0.31 oraz h = 0.1 policzy¢
funkcj¦
φ(k) = IE [Xn+1−Xn|Xn= k] = λ−b1(k)a0−b0(k)a1, k = 0, 1, . . . , gdy Ai maj¡ rozkªad Poissona. Zrobi¢ wykres. Czy mo»na na podsta-wie tego wykresu skomentowa¢ rys. 3.4 i 3.5.
5.2 Dla sieci z rys. 4.6 oszacowa¢ dwustronnie I i nast¦pnie przeprowadzi¢
analiz¦ symulacji dla zgrubnego estymatora.
5.3 Dla przykªadu 2.1 pokaza¢, »e estymator ˆρ(t) jest zgodny.
5.4 Zastanowi¢ si¦ w jaki sposób optymalnie przeprowadzi¢ symulacj¦ nie-jednorodnego procesu Poissona z
λ(t) =
1 + sint 0≤ t ≤ tmax/ 10 + sint tmax < t≤ tmax.
Porówna¢ z metod¡ z podrozdziaªu 1.2 oczekiwane liczby replikacji po-trzebne do wygenerowania jednej realizacji procesu Poissona na [0, tmax)
Zadania laboratoryjne
5.5 Wygenerowa¢ A1, A2, . . ., w odcinku [0, 1000], gdzie A0 = 0 oraz A1 <
A2 < . . . s¡ kolejnymi punktami w niejednorodnym procesie Poissona z funkcj¡ intensywno±ci λ(t) = a(2 − sin(2π24t)). Przyj¡¢ a = 10. Niech A(t) b¦dzie liczb¡ punktów w odcinku [0, t]. Zastanowi¢ si¦ jaki ma rozkªad A(t) i znale¹¢ jego ±redni¡. Policzy¢ z symulacji A(1000)/1000
±redni¡ liczb¡ punktów na jednostk¦ czasu, zwan¡ asymptotyczn¡
intensywno±cia ¯λ. Porówna¢ z Z 24
0
λ(t) dt/24 .
5.6 Kontynuacja zad. refzad.proc.Poissona. Wygenerowa¢ τ1, τ2, . . . , τ1000, gdzie τi = Ai − Ai−1, A0 = 0 oraz A1 < A2 < . . . s¡ kolejnymi punktami w niejednorodnym procesie Poissona z funckcj¡ intensyw-no±ci λ(t) = a(2 − sin(2π24t)). Przyj¡¢ a = 10. Obliczy¢ ±redni odst¦p mi¦dzy punktami ˆτ =P1000
j=1 τi/1000.
5. UWAGI BIBLIOGRAFICZNE 161 5.7 Zbada¢ jak szybko P (L(t) = 1) w alternuj¡cym procesie on o zbiega
do wspólczynnika gotowo±ci. Rozpatrzy¢ kilka przypadków:
• Fon Foff s¡ wykªadnicze,
• Fon Foff s¡ Erlanga odpowiednio Erl(3,λ) i Erl(3,µ),
• Fon Foff s¡ Pareto.
Przyj¡¢ IE Ton = 1 i IE Toff = 2.
5.8 Obliczy¢ ±redni¡ IE L(i) (i = 1, . . . , 10) w systemie M/M/1 z a. λ = 1/2 i µ = 1,
b. λ = 1 i µ = 1, je±li L(0) = 0.
5.9 Przeprowadzi¢ symulacje dobroci czystego protokóªu ALOHA. Bardziej dokªadnie, przypu±¢my, »e pakiety przybywaj¡ zgodnie z procesem Po-issona z intensywno±ci¡ λ i wszystkie s¡ dªugo±ci 1. W przypadku kolizji, ka»dy z pakietów jest retransmitowany po czasie wykªadniczym z parametrem µ. Zakªadamy, »e wszystkie zmienne s¡ niezale»ne. W modelu musimy obliczy¢ nast¦puj¡ce zmienne. Na podstawie symulacji zastanowi¢ si¦ nad przepustowo±ci¡ γ przy tym protokóle.
5.10 Napisa¢ algorytm na symulacj¦ protokóªu ETHERNET.
5.11 Obliczy¢ ±redni czas do awarii systemu skªadaj¡cego si¦ z N elemen-tów poª¡czonych równolegle z jednym konserwatorem, je±li czas »ycia elementu ma rozkªad wykªadniczy Exp(1/2), natomiast czas naprawy przez konserwatora Exp(1)). Policzy¢ dla N = 1, . . . , 10. Porówna¢
z ±rednim czasem do awarii systemu skªadaj¡cego si¦ z N elementów poª¡czonych równolegle, ale bez konserwatora.
Projekt
Projekt 3 Zbada¢ dobro¢ protokóªu szczelinowa ALOHA ze wzgl¦du na parametr λ. Przez symulacj¦ znale¹¢ warto±ci krytyczne dla λ i okre±li¢ typowe zachowanie si¦ protokóªu. Zbada¢ inn¡ mody kacj¦
protokóªu szczelinowa ALOHA, w której dopuszcza si¦, »e u»ytkow-nicy maj¡ te» dodatkow¡ wiedz¦ o stanie Xn, i wtedy w n-tej szczelinie przyjmowa¢ h = 1/Xn. Czy ten protokóª mo»e by¢ stabilny, tzn. ma-j¡cy przepustowo±¢ γ > 0; je±li tak to kiedy.
Projekt 4A Produkt jest skªadany z komponentów na dwóch stano-wiskach. Po zako«czeniu prac na pierwszym stanowisku jest dalej opra-cowywany na drugim, z którego wychodzi gotowy produkt. Produkcja trwa ka»dego dnia przez 8 godzin. Na pocz¡tku dnia w magazynie jest przygotowane n1 komponentów, które sukcesywnie s¡ dostarczane na stanowisko pierwsze. Przed stanowiskiem drugim mo»e oczekiwa¢ co najwy»ej k1, w przeciwnym razie praca na stanowisku pierwszym jest zablokowana. Ile nale»y przygotowa¢ komponentów n1 i jak du»y bu-for k1 aby z prawdopodobie«stwem nie mniejszym 0.9 byªa zapewniona produkcja przez caªy dzie«, tj. 8 godzin. Przez zaprzestanie produkcji rozumiemy, »e zarówno magazyn jak i bufor przestaj¡ pracowa¢. Jak du»y nale»y przygotowa¢ magazyn n1+ k1. Przyj¡¢, »e
• czas pracy na pierwszym stanowisku ma rozkªad Erlanga Erl(2,10),
• natomiast na drugim stanowisku jest mieszank¡ rozkladów wy-kªadniczych z g¦sto±ci¡ 0.8 × 9e−9x+ 0.2× 3e−3x,
• koszty magazynowania przed rozpocz¦ciem pracy czy w oczekiwa-niu na prace na drugim stanowisku s¡ liniowe od n1+ k1.
Projekt 4B Produkt jest skªadany z komponentów na dwóch sta-nowiskach. Po zako«czeniu prac na pierwszym stanowisku jest dalej opracowywany na drugim, z którego wychodzi gotowy produkt. Pro-dukcja trwa ka»dego dnia przez 8 godzin. Na pocz¡tku dnia w ma-gazynie jest przygotowane n komponentów, które sukcesywnie s¡ do-starczane na stanowisko pierwsze (zakªadamy, »e nie ma przetstojów).
Przed stanowiskiem drugim mo»e oczekiwa¢ co najwy»ej k produktów, w przeciwnym razie praca na stanowisku pierwszym jest zablokowana.
5. UWAGI BIBLIOGRAFICZNE 163 To znaczy, »e je±li w buforze przed stanowiskiem drugim jest k produk-tów, to wtedy maszyna pierwsza po sko«czeniu pracy nad produktem staje. Taki model nazywamy (n, k).
1. Niech k = 5. Jak du»e musi by¢ n (poda¢ minimalne) aby z praw-dopdobie«stwm nie mniejszym od 0.9 wyprodukowa¢ 35 produktów?
2. Ze wzgl¦dów technicznych przestój maszyny pierwszej jest kosz-towny i musi by¢ brany pod uwag¦. Niech f1 oznacza frakcj¦ czasu w ci¡gu dnia gdy maszyna 1-sza nie pracuje. Zauwa»my, »e f1 jest zmienn¡ losow¡. Funkcja kosztu jest CIE f1+ k. Oczywi±cie przy k = n mamy f1 = 0. Przyjmijmy n = 120. Niech k0(C)b¦dzie k które mini-mizuje funkcje kosztu w zale»no±ci od C. Zbada¢ k(C).
3. Ustalmy n = 120. Jaki du»y musi by¢ bufor k aby IP(f1 = 0) ≥ 0.9.
Przyj¡¢, »e
• czas pracy na pierwszym stanowisku ma rozkªad Erlanga Erl(2,10),
• natomiast na drugim stanowisku jest mieszank¡ rozkladów wy-kªadniczych z g¦sto±ci¡ 0.8 × 9e−9x+ 0.2× 3e−3x,
Projekt 5 Mamy dwa nast¦puj¡ce warianty pracy 2-ch procesorów.
1. Dwa procesory pracuj¡ osobno. Zadania napªywaj¡ do i-tego pro-cesu zgodnie z procesem Poissona z intensywno±ci¡ λi i maj¡ rozkªad rozmiaru G(i). Niech D(i)(t)b¦dzie liczb¡ zada« obsªu»onych przez i-ty procesor to chwili t. Zakªadamy, »e λi <R∞
0 xdG(i)(x), i = 1, 2. Wtedy przepustowo±¢
tlim→∞D(i)(t)/t = λi,
a wi¦c dwa procesory, je±li pracuj¡ osobno maj¡ przepustowo±¢ λ1+ λ2. 2. Mo»emy tak zmieni¢ konstrukcj¦, »e w przypadku gdy jeden z pro-cesów nie ma pracy, to drugi pracuje z szybko±ci¡ 2.
Zbada¢ o ile efektywniejszy jest zparowany procesor, w zale»no±ci od intesywno±ci wej±cia i rozkªadów rozmiarów zada«. Przyj¡c λ1 = 1.
Projekt 6 W banku jest c stanowisk obsªugi. Klienci zgªaszaj¡ si¦
zgodnie z procesem Poissona z intensywno±ci¡ λ i ich czasy obsªugi maj¡ rozkªad G. Zbada¢ nast¦puj¡ce protokóªy kolejkowania.
1. Przed ka»dym okienkiem jest osobna kolejka. Klienci wybieraj¡
okienko w sposób losowy.
2. Przed ka»dym okienkiem jest osobna kolejka. Klienci wybieraj¡ ko-lejne okienko, tj. 1, 2, . . . , c, 1, 2, . . ..
3. Jest jedna kolejka i gdy nadchodzi czas klient idzie do akurat uwol-nionego okienka.