am = F−1(p1+ . . . + pm) = F−1(1).
W przypadku gdy no±nik E rozkªadu F jest wªa±ciwym podzbiorem IR to jak ju» zauwa»yli±my trzeba rozbicie zmody kowa¢.
Teraz Yj =d (Y|Y ∈ Aj) mo»emy symulowa¢ nast¦puj¡co, je±li mamy procedur¦ obliczania odwrotnej dystrybuanty F−1(u)(mo»e to by¢ te» uogól-niona odwrotna). Mamy pj = IP(Aj)
Fakt 1.7 Niech Vj = aj−1+ (aj− aj−1)U. Wtedy F−1(Vj) =d (Y|Y ∈ Aj).
W ksi¡zce Glassermana jest opisany nast¦puj¡ce ekperymenty. W pierw-szym eksperymencie przeprowadzono 500 replikacji z rozkªadu normalnego i zrobiono histogram z 25 klasami. Natomiast drugi eksperyment przeprowa-dzono przy losowaniu w 100 jednakowo prawdopodobnych warstwach losuj¡c w ka»dej 5 replikacji. Wyniki s¡ przedstawione na rys. [????].
2 Zale»no±ci zmniejszaj¡ wariancj¦
2.1 Zmienne antytetyczne
Rozpatrzymy teraz metody symulacji I = IE Y , w których replikacje nie musz¡ by¢ niezale»ne. B¦dzie nam potrzebna nast¦puj¡ca nierówno±¢, która jest natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia XI.1.2.
Wniosek 2.1 Jesli funkcja ψ(x1, . . . , xk), 0 ≤ x1, . . . , xk ≤ 1 jest monoto-niczna (niemalej¡ca lub nierosn¡ca), to dla niezale»nych zmiennych U1, . . . , Uk
o rozkªadzie jednostajnym
Cov (ψ(U1, . . . , Uk), ψ(1− U1, . . . , 1− Uk))≤ 0 .
2. ZALENOCI ZMNIEJSZAJ WARIANCJ 113 Mówimy wtedy, »e zmienne ψ(U1, . . . , Uk), ψ(1− U1, . . . , 1− Uk) s¡ ujemnie skorelowane. Zauwa»my ponadto, »e U i 1 − U maj¡ ten sam rozkªad jedno-stajny U(0, 1). Rozpatrzmy teraz n zmiennych losowych Y1, Y2, . . . , Yn, przy czym n jest parzyste. Ponadto zakªadamy, »e
• pary (Y2i−1, Y2i)i, i = 1, . . . , n/2s¡ niezale»ne o jednakowym rozkªadzie,
• zmienne losowe (Yj)nj=1 maj¡ ten sam rozkªad brzegowy co Y . Je±li rozwa»amy estymator CMC
YˆCMC = 1
Zauwa»my, »e je±li b¦dziemy rozpatrywa¢ estymator Yˆn∗ = 1
A wi¦c je±li korelacja Corr(Y1, Y2)jest ujemna to redukujemy wariancj¦.
Przypu±¢my teraz, »e dla pewnej funkcji ψ : [0, 1]k → IR mamy Y1 =d
nazywamy estymatorem antytetycznym i je±li corr (Y1, Y2) < 0, to z przed-stawionych rozwa»a« ma mniejsz¡ wariancj¦ od estymatora CMC, który ma wariancj¦ Var Y/(n).
Przykªad 2.2 Rozpatrzmy teraz nast¦puj¡cy problem. Przypu±¢my, »e mamy N zada« do wykonania. Czasy zada« s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkªadzie z dystrybuant¡ F . Mamy do dyspozycji c serwerów. Mo»emy te zadania wykona¢ na wiele sposobów.
• wedªug najdªu»szego zadania (Longest Processing Time First - LPTF),
• wedªug najkrótszego zadania (Shortest Processing Time First - SPTF),
• w kolejno±ci numerów (First Come First Served FCFS),
• lub alternuj¡c (ALT), tzn. zadanie pierwsze do serwera pierwszego, zadanie 2-gie do serwera drugiego, itd. zadanie c-te do serwera c-tego, a potem od pocz¡tku.
Nast¦pne zadanie zaczyna by¢ opracowywane jedynie w momentach zako«-czenia poprzednego zadania zada«. Oznacza to, ze niedopuszczamy przery-wa« w trakcie pracy. Celem jest policzenie IE CSPTF, IE CLPTF i IE CFCFS, gdzie C jest czasem do zako«czenia ostatniego zadania wedªug procedury w super-indeksie. Zilustujemy dziaªanie dyscyplin na nast¦pu¡cym prostym przykªadzie. Powiedzmy, »e N = 5 i c = 2 oraz zadania s¡ wielko±ci 3, 1, 2, 4, 5. Wtedy post¦puj¡c wg. SPTF zaczynamy z zadaniami wielko±ci 1 i 2 i po jednej jednostce czasu resztowe wielko±ci tych zada« s¡ 3, 0, 1, 4, 5 a wi¦c mamy teraz zadanie z N = 4 i c = 2. Post¦puj¡c tak dalej widzimy,
»e CSPTF = 9. Post¦puj¡c wg. LPTF zaczynamy z zadaniami wielko±ci 4 i 5 i po 4-ch jednostkach czasu resztowe wielko±ci tych zada« s¡ 3, 1, 2, 0, 1 a wi¦c mamy teraz zadanie z N = 4 i c = 2. Post¦puj¡c tak dalej widzimy, »e CLPTF = 8.
Mo»emy zastanowawia¢ si¦ jaka dyscyplina jest optymalna. B¦dzie to zalez¡ªo od rozkªadu F . Przypu±cmy wi¦c, »e rozmiary zada« s¡ nieza-le»ne o jednakowym rozkªadzie wykªadniczym Exp(1). Procedura ALT jest ªatwa do zanalizowania. Zaªó»my, »e N jest parzyste. Wtedy IE CALT = IE max(X1, X2), gdzie
X1 = XN/2
i=1
ξ1i, X2 = XN/2
i=1
ξ2i,
2. ZALENOCI ZMNIEJSZAJ WARIANCJ 115 gdzie ξij s¡ niezale»nymi zmiennymi losowym o jednakowym rozkªadzie wy-kªadniczym Exp(1). Niestety dla procedur LPTF i SPTF i nawet FCFS nie mamy wzorów teoretycznych. Przeprowadzimy wi¦c symulacj¦ dla N = 10 zada« i c = 2. W ka»dym przypadku czas do zako«czenie wszystkich za-da« C jest pewn¡ funkcj¡ C = ψ(U1, . . . , U10), gdzie ψ zale»y od dyscypliny.
Nie mamy wzoru na konkretne ψ dla dyscyplin LPTF, SPTF, FCFS, ale heurystycznie mo»emy powieidzie¢, »e powinna by¢ niemalej¡ca. W ta-blicy 2.1 podajemy wyniki symulacji IE C dla ró»nych dyscyplin, przy u»yciu metody CMC oraz antytecznej (anthy), dla N = 10 zada« oraz m = 1000 replikacjami; I jest wysymulowan¡ warto±ci¡ IE C = I, s jest odchyleniem standardowym p
Var (C), oraz b jest poªow¡ dªugo±ci przedziaªu ufno±ci na poziomie α = 0.05 (czyli mo»na rzec bª¡d). Dla porównania w tablicy 2.2
dyscyplina I s b
FCFS 5.4820 1.8722 0.1160 SPTF 5.8993 2.0259 0.1256 LPTF 5.0480 1.6908 0.1048 FCFSanthy 5.5536 0.8999 0.0558 SPTFanthy 5.9673 1.0127 0.0628 LPTFanthy 5.0913 0.6998 0.0434.
Tablica 2.1: Szacowanie C przy u»yciu CMC i anthy; N = 10, liczba replikacji m = 1000.
podane s¡ wyniki symulacji z m = 100000 replikacji. Wszystkie symula-cje s¡ robione na tych samych liczbach pseudolosowych, poniewa» algorytmy zaczynaj¡ si¦ od rand('state',0).2
2.2 Wspólne liczby losowe
Przypu±¢my, »e chcemy sprawdzi¢ ró»nic¦ d = IE k1(X)− IE k2(X), gdzie X jest wektorem losowym. Mo»na to zrobic na dwa sposoby. Najpierw estymujemy IE k1(X) a nast¦pnie, niezale»nie IE k2(X) i wtedy liczymy d.
To nie zawsze jest optymalne, szczególnie gdy ró»nica d jest bardzo maªa.
Inny sposobem jest zapisanie d = IE (k1(X)− k2(X)) i nast¦pnie estymo-wania d. W pierwszym przypadku, Y1 = k1(X1) jest niezale»ne od Y2 = k2(X2), gdzie X1, X2 s¡ niezale»nymi replikacjami X. A wi¦c wariancja
2algorytmy: FCFS.m, FCFSanty.m, SPTF.m, SPTFanty.m, LPTF.m LPTFanty.m.
dyscyplina I s b FCFS 5.4909 1.7909 0.0111 SPTF 5.8839 1.9116 0.0118 LPTF 5.0472 1.5945 0.0099 FCFSanthy 5.5015 0.8773 0.0054 SPTFanthy 5.8948 0.9748 0.0060 LPTFanthy 5.0556 0.6858 0.0043.
Tablica 2.2: Szacowanie C przy u»yciu CMC i anthy; N = 10, liczba replikacji m = 100000
Var (k1(X1)− k2(X2)) = Var (k1(X)) + Var (k2(X)). W drugim przypadku Var (k1(X)−k2(X)) = Var (k1(X)) + Var (k2(X))−2Cov (k1(X), k2(X)). Je-sli wi¦c Cov (k1(X), k2(X)) > 0to istotnie zmiejszymy wariancj¦. Tak b¦dzie w przypadku gdy obie funkcje s¡ jednakowo monotoniczne.
Przykªad 2.3 Kontynuujemy przykªad 2.2. Tym razem pytamy si¦ o oczekiwan¡ ró»nic¦ CSPTF − CLPTF, tj. I = IE (CSPTF − CLPTF). Mo»na po prostu odj¡¢ obliczone odpowiednie wielko±ci w poprzednim przykªa-dzie, ale wtedy za wariancj¦ trzeba by wzi¡¢ sum¦ odpowiednich warian-cji, i przy tej samej dªugo±ci symulacji bª¡d byªby wi¦kszy. Mo»na te»
wykorzysta¢ metod¦ wspólnych liczb losowych. W tablicy 2.3 podajemy wyniki symulacji I = IE (CSPTF) − CLPTF) przy u»yciu metody wspólnej liczby losowej (JCN Joint Common Number). Podobnie jak poprzednio, robimy te» symulacje przy u»yciu zgrubnej metody Monte Carlo (CMC), dla N = 10 zada«, z m = 1000 replikacjami, s jest odchyleniem standardowym pVar ((CSPTF− CLPTF), oraz b jest poªow¡ dªugo±ci przedziaªu ufno±ci na poziomie α = 0.05. 3 Wszystkie symulacje s¡ robione na tych samych
licz-dyscyplina I s b
SmLPTFjoint 0.8513 0.5431 0.0352 SmLPTF 1.0125 2.5793 0.1599
Tablica 2.3: Szacowanie I przy u»yciu JCN i CMC; N = 10, liczba replikacji m = 1000
bach pseudolosowych, poniewa» algorytmy zaczynaj¡ si¦ od rand('state',0).
Dla porównania podajemy w tablicy 2.4 wyniki dla 100000 replikacji.
3skrypty SmLPTF.m, SmLPTFjoint.m.