Z uzyskanych obliczeń i wykresów płyną następujące wnioski:
• Położenie oraz charakter fotonicznej przerwy wzbronionej jest silnie uzależ-niony od sposobu ułożenia warstw, a tym samym od typu supersieci (Rys.
3.1)-(Rys. 3.72).
• Przerwa energetyczna dla struktury tego samego typu, ale dla różnych po-laryzacji, leży mniej więcej w tym samym obszarze częstości, ich szerokości najczęściej są nieznacznie różne (Rys. 3.21)–(Rys. 3.28).
• W miarę zmniejszania różnicy współczynników załamania warstw (nP = 1.4 =⇒
nP = 1.5 =⇒ nP = 1.7 przy nQ = 2.3) (Rys. 3.37)–(Rys. 3.60), tak jak przewidywano, przerwy energetyczne stają się coraz węższe, następstwem czego jest poszerzenie pasm przewodzenia.
• W miarę zwiększania kąta padania (Rys. 3.61)–(Rys. 3.72) szerokość przerwy energetycznej pozostaje stała, ale przesuwa się w kierunku wyższych częstości.
• Z wypukłości i wklęsłości wykresów prędkości grupowych oraz efektywnego współczynnika załamania wynika, że najszybsze zmiany struktury pasmowej występują na granicach strefy Brillouina (Rys. 3.1)-(Rys. 3.72).
• Zaobserwowano wyraźną zależność pomiędzy szerokością przerwy fotonicznej oraz pasma dozwolonego od numeru wartości własnej. W miarę zwiększania długości fali szerokość przerwy wzbronionej i pasma przewodzenia staje się coraz większa (Rys. 3.13), (Rys. 3.17), (Rys. 3.21), (Rys. 3.25)
• Zmiana wartości współczynników załamania kilku wybranych warstw w bar-dziej skomplikowanej strukturze (Rys. 3.5)–(Rys. 3.12) =⇒ (Rys. 3.13) – (Rys.
3.20) spowodowała istotną zmianę szerokości tylko jednej przerwy fotonicznej.
• Nie zaobserwowano znaczących różnic w charakterystykach struktur pasmo-wych dla takich samych warunków początkopasmo-wych ale różnych polaryzacji (Rys.
3.1)-(Rys. 3.72).
Podsumowanie
Kryształy fotoniczne są bardzo obiecującymi pod względem technologicznym ma-teriałami. Świadczy o tym coraz większe zainteresowanie ze strony największych ośrodków naukowych na świecie [15], [16], [17]. Pomimo tego, że struktury foton-iczne mają dość krótką historię, w porównaniu do innych dziedzin, to zaangażowanie takich centrów uniwersyteckich jak MIT gwarantuje im stałe miejsce we współczes-nej nauce. Przedstawiono możliwe praktyczne realizacje aplikacyjne opartych na tego typu strukturach. Najwięcej uwagi w pracy poświęcono podstawom fizycznym zjawisk zachodzących przy propagacji światła w strukturach o zmiennym współ-czynniku załamania (Rozdział 1). Omówiono także najciekawsze fakty dotyczące ujemnego załamania oraz materiałów lewoskrętnych, które są równie interesującym pod względem naukowo-technicznym zagadnieniem.
W rozdziale drugim został przedstawiony aparat matematyczny do modelowa-nia kwazijednowymiarowego kryształu fotonicznego. Jego zastosowanie przy kon-strukcji powszechnych urządzeniach optoelektronicznych, a nie jak to ma miejsce w chwili obecnej głównie w laboratoriach naukowych, wydaje się być nieuniknione.
Pytanie jakie można postawić to ”Kiedy to nastąpi ?”Faktem jest, że produkuje się już na skalę komercyjną światłowody fotoniczne [69], ale ich cena, głównie wynika-jąca z potrzeby precyzji wykonania i wykorzystania zaawansowanych technologi, jest dużo większa niż światłowodów tradycyjnych. Metody komputerowe wspoma-gają modelowanie struktur fotonicznych co znacznie obniża koszty oraz czas trwania badań naukowych. W pracy badano zależności dyspersyjne dla czterech typów OSA (Fibonacciego, Thue-Morse‘a, z podwojonym okresem, Rudin-Shapiro). Ich zróżni-cowanie pozwala modelować praktycznie każdy sposób ułożenia warstw w struktu-rach aperiodycznych. Szeroka gama możliwych zastosowań kryształów fotonicznych pozwala sądzić, że ich ekspansja w coraz więcej dziedzin życia jest gwarantowana.
Analiza wyników prowadzi do wniosku, że za pomocą kryształów fotonicznych można budować bardzo różnorodne pod względem optycznym materiały (Rozdział 3). Modelując odpowiednio strukturę badanego ośrodka można uzyskać bardzo róż-norodne charakterystyki ”przewodzenia światła”, a w konsekwencji wykorzystać struktury fotoniczne do bardzo szerokiej gamy zastosowań w optoelektronice. Wszys-tkie badane struktury były badane pod kątem wykorzystania ich w zakresie światła widzialnego. Błędy, które się ujawniły podczas przeprowadzanych badań nie wpły-nęły znacząco na wyniki obliczeń.
63
Obliczanie wartości własnych
Do obliczania wartości własnych algebraicznego zagadnienia własnego (AZW) zastosowano algorytm Martina-Dean. Algorytm ten pozwala znaleźć przedział, w którym znajduje się tylko jedna wartość własna, którą następnie wyznacza się za pomocą bisekcji z zadaną dokładnością.
Wyprowadzenie twierdzenia Martina-Deana (o ujemnych wartościach własnych macierzy blokowo kwazi-trójdiagonalnej):
Niech M będzie macierzą o wymiarach NxN
M =
a η(M ) niech oznacza liczbę wartości własnych (lww ) mniejszych od liczby rzeczy-wistej x macierzy M, wtedy
lww = η(M − xI) =
Teraz podzielmy tę macierz na cztery części według schematu
Z twierdzenia o ujemnych wartościach własnych dla macierzy M1(x) otrzymujemy η(M1(x)) = η(X1) + η(Z1− Y1TX1−1Y1) (A.10) W wyrażeniu (A.10) η(X1) jest skalarem o wartości d1− x natomiast Z1− Y1TX1−1Y1 po wymnożeniu jest macierzą kwadratową o wymiarach (N-1)x(N-1), którą zajmiemy się w następnym kroku, o postaci
M2(x) =
Jak widać, oprócz wymiarów macierzy zmieniły się elementy [1,1], [1,N-1], [N-1,1], [N-1,N-1]. Wprowadzając nowe oznaczenia
a1 = e1
x − d1, a1s = e21
x − d1, a1e = e0e?0
x − d1 (A.12) macierz M2(x) przyjmie postać
M2(x) = Można zauważyć, że postępując analogicznie w każdym następnym kroku sytuacja będzie się powtarzała, więc i -ty krok będzie miał postać
Mi(x) = Zi−1− Yi−1T Xi−1−1Yi−1 (i > 1) (A.16) Wyraz w lewym górnym narożniku macierzy będzie się rekurencyjnie zwiększał w stosunku do poprzedniego kroku (dla i > 1), także elementy w pozostałych narożnikach przy kolejnych krokach zmniejszania wymiaru macierzy będą się powięk-szały o kolejne elementy, ostatecznie uiwe wzorze (A.2) stanie się ciągiem liczbowym postaci [23]
u1 = d1− x, ui = di− x − ue2i−1
i−1 (i = 2, . . . , n − 1),
uN = dN −
n−2
X
i=1
|si|2
ui − x − |eN −1+ sN −1|2
uN −1 , (A.19)
s1 = e0, si = −ei−1u si−1
i−1 (i = 2, . . . , n − 1)
[1] Gordon Moore, http://pl.wikipedia.org/wiki/Prawo Moore’a
[2] Włodzimierz Salejda, wykład habilitacyjny pt. Co wiedzieć powinien inżynier o fizycznej naturze informacji i procesach jej przetwarzania?, Politechnika Wrocławska – Instytut Fizyki, Wrocław 1999
[3] Wojciech Cellary, Raport pt. Polska w drodze do globalnego społeczeństwa in-formacyjnego, http://www.kti.ae.poznan.pl/specials/nhdr2002/
[4] L. Jacak, P. Hawrylak, A.Wójs, Quantum Dots, Springer-Verlag, Berlin Heidel-berg New York 1998; Nanostructured Materials and Nanotechnology, Ed.: H. S.
Nalwa, Academic Press, New York 2002.
[5] Paweł Masiak, Mechanika kwantowa. Komputer kwantowy. Zastosowania, http://www.gazetawyborcza.pl/1,75476,93646.html , 1995
[6] Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, wrzesień 2000
[7] Agnieszka Klauzer-Kruszyna, praca doktorancka pt. Propagacja światła spo-laryzowanego w wybranych supersieciach aperiodycznych, Instytut Fizyki Po-litechniki Wrocławskiej, Wrocław, czerwiec 2005
[8] M. Inoue, H. Miyazaki, Optical properties of one-dimensional quasi-periodic crystals. II. Modified Fibonacci lattice with arbitrary initial conditions, J. Phys.
Soc. Japan 59, 2549-2562, 1990
[9] M. Inoue, H. Miyazaki, Optical properties of one-dimensional quasiperiodic crystals. III. Optical reflectivity spectrum and structure of a generalized Fi-bonacci lattice, J. Phys. Soc. Japan 59, 2563-2577, 1990
[10] Greg Parker G, M Charlton Photonic crystals, Physics World, Wrzesień 2000 [11] History of Photonic Crystals, http://www.bergen.org/istf/02-598/comp1.html [12] http://www.sciencebase.com/mar03 iss.html
[13] Steven G. Johnson, John D. Joannopoulos, Photonic Crystals – The Road from Theory to Practice, Kluwer Academic Publishers, Norwell 2002
[14] John D. Joannopoulos, Robert D. Meade, Joushua N. Winn Photonic Crystals Molding the Flow of Light, Princeton University Press, Princeton, 1995
[15] Steven G. Johnson http://ab-initio.mit.edu/photons/tutorial/, MIT 68
[16] David R Smith, http://www.ee.duke.edu/˜drsmith/
[17] R. B. Wehrspohn, http://www.mpi-halle.mpg.de/˜porous m/, Max-Planck-Intitut f¨ur Mikrostrukturphysik
[18] http://photonics.tfp.uni-karlsruhe.de/research.html, Institut fur Theoretische Festkorperphysik – Photonics Group
[19] Sajeev John, http://www2.physics.utoronto.ca/˜john/
[20] Jay Orear, Fizyka, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1998
[21] Milena Dziębaj, praca magisterska pt. Metody otrzymywania i właściwości optyczne materiałów z ujemnym współczynnikiem załamania, Politechnika Wrocławska – Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Wrocław 2006 [22] Z.Kleszczewski Wybrane zagadnienia z optyki falowej, Wydawnictwo
Politech-niki Śląskiej, Gliwice 2003
[23] Włodzimierz Salejda, Michał H. Tyc, Marcin Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schr¨odingera, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002
[24] Griffiths, D. J., Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2006
[25] Jackson, J. D., Elektrodynamika klasyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1982
[26] Suffczynski, M., Elektrodynamika, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1980
[27] M. Bertolotti, P. Masciulli, C. Sibilia, F.Wijnands,H.Hoekstra,Transmission properties of a Cantor corrugated waveguide, J. Opt. Soc. Am., B 13, 628-634, 1996
[28] F. Garzia, P.Masciulli, C. Sibilia, M. Bertolotti, Temporal pulse response of a Cantor filter, Opt. Comm., 147, 333-340, 1998
[29] E. Cojocaru, Temporal pulse response of quasiperiodic Fibonacci Fabry-Perot type optical filters, Opt. Appl., 32, 85-92, 2002
[30] X. Huang, Y. Liu, D. Mo, Transmission of Light through a Class of Quasiperi-odic Multilayers, Sol. St. Comm., 87, 601-604, 1993
[31] C. Schwartz, Reflection properties of pseudorandom multilayers, Appl. Opt., 27, 1232-1234, 1988
[32] Agnieszka Klauzer-Kruszyna, Włodzimierz Salejda, Michał H. Tyc, Polarized light transmission through generalized Fibonacci multilayers: I. Dynamical maps approach, Optik/Optics, 2004, vol. 115, s. 257 266
[33] Agnieszka Klauzer-Kruszyna, Włodzimierz Salejda, Michał H. Tyc, Polarized light transmission through generalized Fibonacci multilayers: II.Numerical re-sults, Optik/Optics, 2004, vol. 115, s. 267 276
[34] Allen Taflove, Susan C. Hagness, Computational Electrodynamics – the Finite-Difference Time-Domain Method, Third edition, Artech Hous, Norwood 2005 [35] Karol Lech Tarnowski, Analiza numeryczna rozkładu i propagacji pola
elek-trycznego w metamateriałach metodą FDTD
[36] Matthew N.O. Sadiku, Numerical Techniques in Electromagnetics, Second Edi-tion, CRC Press LLC., 2000
[37] M. Kohmoto, B. Sutherland, K. Iguchi, Localization in Optics: Quasiperiodic Media, Phys. Rev. Lett., 58, 2436-2838, 1987
[38] K. Iguchi, Optical property of a quasi-periodic multilayer, Mat. Sc. En., B 15, L13-L17, 1992
[39] W. Gellermann, M. Kohmoto, B. Sutherland, P. C. Taylor, Localization of Light Waves in Fibonacci Dieletric Multilayers, Phys. Rev. Lett., 72, 633-636, 1994 [40] M. Kanzari, B. Rezig, Optical polychromatic filter by the combination of periodic
and quasi-periodic one-dimensional, dielectric photonic bandgap structures, J.
Opt. A: Pure Appl. Opt., 3, 201-207, 2001
[41] Y. W. Lee, F. C. Fan, Y. C. Huang, B. Y. Gu, B. Z. Dong, M. H. Chou, Nonlinear multiwavelength conversion based on an aperiodic optical superlattice in lithium niobate, Opt. Lett. 27, 2191-2193, 2002
[42] Y. Avishai, D. Berend, Transmission through Fibonacci chain, Phys. Rev., 41, 5492- 5499, 1990
[43] Z. C. Tao, M. Singh, Theoretical calculations of reflectance and transmission spectra of periodic and quasiperiodic multiple layers, Sol. St. Comm., 81, 717-720, 1992
[44] D. Munzar, L. Bocaek, J. Humlicek, K. Ploog, Fractal structure in optical spec-tra of Fibonacci superlattices, J. Phys.: Cond. Matt., 6, 4107-4118, 1994
[45] X. Q. Huang, S. S. Jiang, R. W. Peng, A. Hu, Perfect transmission and self-similar optical transmission spectra in symmetric Fibonacci-class multilayers, Phys. Rev., B 63, 245104-245112, 2001
[46] H. Miyazaki, M. Inoue, Optical properties of one-dimensional quasi-periodic crystals. I. Optical reflectivity spectrum of a Fibonacci lattice, J. Phys. Soc.
Japan 59, 2536-2548, 1990
[47] G. J. Jin, Z. D. Wang, A. Hu, S. S. Jiang, Scaling properties of coupled optical interface modes in Fibonacci dielectric superlattices, J. Phys.: Cond.Matt. 8, 10285-10292, 1996
[48] X. Q. Huang, Y. Wang, C. D. Gong, Numerical Investigation of Light Wave Lo-calization in Optical Fibonacci Superlattices with Symmetric Internal Structure, J. Phys.: Cond. Matt. 11, 7645-7651, 1999
[49] X. B. Yang, Y. Y. Liu, X. J. Fu, Transmission properties of light through the Fibonacciclass multilayers, Phys. Rev., B 59, 4545-4548, 1999
[50] X. Wang, S. Pan, G. Yang, Antitrace maps and light transmission coefficients for a generalized Fibonacci multilayers, arXiv: cond-mat/0106378, 2001
[51] M. Dulea, M. Severin, R. Riklund, Transmission of light through deterministic aperiodic non-Fibonaccian multilayers, Phys. Rev. B 42, 3680-3689, 1990 [52] R. Riklund, M. Severin, Optical properties of perfect and non-perfect
quasiperi-odic multilayers: a comparison with periquasiperi-odic and disordered multilayers, J. Phys.
C: Solid State Phys., 21, 3217-3228, 1988
[53] M. S. Vasconcelos, E. L. Albuquerque, A. M. Mariz, Optical localization in quasi-periodic multilayers, J. Phys.: Cond. Matt., 10, 5839-5894, 1998
[54] Jerzy Zachorowski, Lasery i elementy optoelektroniki, Instytut Fizyki Uniwer-sytetu Jagielońskiego
[55] Rafał Kotyński, Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki, Zakład Optyki Informacyjnej, Wydział Fizyki UW
[56] V.G.Veselago, The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of e and m, Sov. Phys. Usp. 10, s.509-14, (1968);
[57] E. Yablonovitch, Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics, Phys. Rev. Lett., 58, 2059 (1987); S. John, Strong localization of photons incertain disordered dielectric superlattices, Phys. Rev. Lett., 58, 2486 (1987)
[58] Zbigniew Kąkol, Wykłady z Fizyki, http://galaxy.uci.agh.edu.pl/˜kakol
[59] Marcin Stachurski, metody numeryczne w programie MATLAB, Wydawnictwo MIKOM, Listopad 2003
[60] Bernard Baron et alm Metody numeryczne w Delphi 4, Wydawnictwo Helion, Listopad 1999
[61] Fortuna Zenon, Macukow Bohdan, Wąsowski Janusz, Metody numeryczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Kwiecień 2005
[62] Richard Feynman, The Character of Physical Law, BBC, 1965
[63] David R Smith, Beating the diffraction limit, Physics in Action, Maj 2004 [64] David R.Smith, Willie J. Padilla, D. C. Vier, S. C. Nemat-Nasser i S. Schultz
Composite Medium with Simultaneously Negative Permeability and Permittiv-ity, Phisycal Review Letters, vol.84 nr.18, 1 Maj 2000
[65] Batop optoelectronics GmbH, http://www.batop.de/informations/r Bragg.html [66] http://pl.wikipedia.org/wiki/Prawo Bragga
[67] R. A. Shelby, D. R. Smith, S. Schultz, Experimental Verification of a Negative Index of Refraction, SCIENCE http://www.sciencemag.org, Kwiecień 2001 [68] J.B.Pendry, Negative refraction makes a perfect lens, Phys.Rev.Lett. vol. 85, nr
18, 3966-9 (2000);
[69] http://www.crystal-fibre.com/