Szymon Kosydor ń Maxwella w kwazijednowymiarowych strukturach fotonicznych Metody numeryczne rozwi ą zywania równa

Wydział Podstawowych Problemów Techniki

Metody numeryczne rozwiązywania równań Maxwella

w kwazijednowymiarowych strukturach fotonicznych

Praca dyplomowa magisterska

Szymon Kosydor

Promotor:

dr hab. inż. Włodzimierz Salejda, prof. nadzw. w PWr

Wrocław 2007

za nieocenioną pomoc naukową podczas pisania tej pracy.

Wstęp 4

Wykaz ważniejszych skrótów i oznaczeń 5

1 Wprowadzenie 8

1.1 Struktury i kryształy fotoniczne . . . 8

1.1.1 Kwazijednowymiarowy kryształ fotoniczny . . . 12

1.2 Równania Maxwella . . . 13

1.3 Prawoskrętne materiały (RHM) . . . 16

1.4 Lewoskrętne materiały (LHM) – metamateriały . . . 18

1.5 Fala elektromagnetyczna na granicy dwóch ośrodków . . . 19

1.6 Prawo Bragga . . . 20

1.6.1 Siatka Bragga . . . 21

1.7 Propagacja światła w strukturach periodycznych . . . 23

1.8 Model kwazijednowymiarowego kryształu fotonicznego . . . 24

2 Metody numeryczne 26 2.1 Zalety i wady metod numerycznych . . . 26

2.2 Metody rozwiązywania równań Maxwella . . . 27

2.3 Algebraiczne zagadnienie własne . . . 28

2.4 Modele optycznych supersieci aperiodycznych . . . 29

2.4.1 Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF) . . . 30

2.4.2 Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (USTM) . . . 31

2.4.3 Supersieć z podwojonym okresem (SPO) . . . 31

2.4.4 Supersieć typu Rudin-Shapiro (SRS) . . . 32

2.5 Programowanie zorientowane obiektowo (OOP) . . . 32

3 Rezultaty obliczeń numerycznych 34 3.1 Opis programu . . . 34

3.2 Wybrane wyniki obliczeń . . . 36

3.3 Uwagi i wnioski . . . 62

4 Podsumowanie 63

A Obliczanie wartości własnych 64

Bibliografia 67

3

Główne cele pracy to:

• przedstawienie metod i algorytmów numerycznych obliczania fotonicznej struk- tury pasmowej optycznych supersieci periodycznych i aperiodycznych,

• wyznaczenie fotonicznej struktury pasmowej dla wybranych ww. układów.

W XXI wieku przesyłanie informacji jest niezwykle istotne dla większości dziedzin życia. Najszybszym znanym nośnikiem informacji jest światło. W związku z nieustan- nym rozwojem technologicznym [1], [2], [3] istnieje potrzeba przesyłania ogromnej ilości danych. Prowadzi to do coraz większej ilości konstruowanych przyrządów opty- cznych, a także do ich miniaturyzacji [4]. Również zwiększanie prędkości przetwarza- nia informacji to jedno z głównych wyzwań stawianych przed współczesną nauką.

Jak się okazuje, nawet komputery o największej aktualnie znanej mocy obliczeniowej nie potrafią sobie poradzić z takimi problemami jak np. symulowanie pogody [5].

Odpowiedzią na te problemy jest komputer kwantowy, który nie operuje na systemie binarnym, ale na bitach kwantowych, tzw. qubitach [6].

Do konstrukcji urządzeń optycznych, przy postępującej miniaturyzacji, poszuki- wane są materiały o coraz to lepszych właściwościach filtracyjnych. Jednym z cie- kawszych rozwiązań w tej dziedzinie jest nowa klasa materiałów o parametrach dużo lepszych niż dotychczas stosowane, znanych jako kryształy fotoniczne.

Porównanie właściwości takich jak zależności dyspersyjne, które są głównym ba- danym zagadnieniem tej pracy, przy różnych zadanych parametrach badanych super- sieci pozwali na analizę zmian ich charakterystyk w zależności od sposobu ułożenia warstw oraz typu sieci.

Zakres zastosowań struktur fotonicznych jest bardzo szeroki. Można dzięki nim konstruować światłowody fotoniczne o bardzo małych stratach, światłowody dwu- rdzeniowe, lustra na krysztale fotonicznym, mikrorezonatory, półprzewodniki fo- toniczne, lasery z rozłożonym sprzężeniem zwrotnym, diody LED o zwiększonej sprawności czy też dwuwymiarowe struktury światłowodowe umożliwiające wyko- nanie ostrych zakrętów w torze światłowodowym.

Przedmiotem naukowych badań w ostatnich latach są optyczne supersieci, [7], [8], [9] które można traktować jako kwazijednowymiarowe struktury fotoniczne.

Obiektem badań w pracy są optyczne supersieci aperiodyczne kilku rodzajów:

• uogólniona supersieć typu Fibonacciego,

• uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a,

• supersieć z podwojonym okresem,

• supersieć typu Rudin-Shapiro.

4

Do wyznaczenia krzywych dyspersyjnych badanych materiałów konieczne jest zdefiniowanie fizycznych podstaw oraz zjawisk zachodzących w modelowanych struk- turach fotonicznych. Zostały one przedstawione w rozdziale pierwszym. Poruszono w nim również temat związany z metamateriałami oraz zjawiskiem ujemnego zała- mania a także przedstawiono rozwiązanie równania falowego w fotonicznych kwa- zikryształach. Argumenty przemawiające za i przeciw stosowaniu metod numery- cznych oraz wybrane zagadnienia z fizyki komputerowej, które zostały użyte do obliczeń struktury pasmowej, zebrano w rozdziale drugim. Rozdział trzeci przed- stawia wyniki obliczeń numerycznych, w tym wykresy krzywych dyspersyjnych, prędkości grupowej oraz efektywnego współczynnika załamania. Ostatni rozdział stanowi krótkie podsumowanie zaprezentowanych w pracy treści.

i oznaczeń

Skróty:

AZW – algebraiczne zagadnienie własne;

OSA – optyczne supersieci aperiodyczne;

fala EM– fala elektromagnetyczna;

USF – uogólniona supersieć typu Fibonacciego;

USTM – uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a;

SPO – supersieć z podwojonym okresem;

SRS – supersieć typu Rudin-Shapiro;

OOP – (ang.) object-oriented programming (programowanie zorientowane obiek- towo);

FK – fizyka komputerowa;

LHM – (ang.) left handed materials (materiały lewoskrętne);

RHM – (ang.) right handed materials (materiały prawoskrętne);

Oznaczenia:

E – wektor natężenia pola elektrycznego;

H – wektor natężenia pola magnetycznego;

D – wektor indukcji elektrycznej;

B – wektor indukcji magnetycznej;

ε – przenikalność elektryczna;

ε₀ – przenikalność elektryczna próżni;

µ – przenikalność magnetyczna;

µ₀ – przenikalność magnetyczna próżni;

6

n – współczynnik załamania światła;

n_P – współczynnik załamania warstwy typu P ; n_Q – współczynnik załamania warstwy typu Q ; c – prędkość światła w próżni;

ω – częstość fali elektromagnetycznej;

k – wektor falowy;

d – grubość warstwy;

˜

ε – wartość własna;

I – macierz jednostkowa;

t – czas;

~

r – wektor położenia;

Wprowadzenie

Kryształy fotoniczne to struktury przestrzenne z periodycznym lub aperiodycznym ułożeniem materiałów dielektrycznych lub metalicznych. To co je odróżnia od in- nych periodycznych struktur to fakt, że okres periodu ośrodka jest porównywalny z długością fali świetlnej, która w nim propaguje się.

1.1 Struktury i kryształy fotoniczne

Koncepcja kryształów fotonicznych powstała w roku 1987 jednocześnie w dwóch ośrodkach naukowych USA [10]. Eli Yablonovitch z Bell Communications Research w New Jersey próbował stworzyć tranzystor do zastosowań fotonicznych. Podczas badań odkrył istnienie fotonicznej przerwy wzbronionej,podobnej do tej z jaką mamy do czynienia w półprzewodnikach. Jednocześnie Sajeev John z Princeton University pracując nad laserami natknął się na to samo zjawisko. Pierwszy sztu- czny kryształ fotoniczny został stworzony przez Yablonovitcha i in. w 1991 roku [11], miał współczynnik załamania równy 3.6 i został on nazwany na cześć twórcy

”Yablonovite”. Yablonovitch do stworzenia swojego kryształu fotonicznego (Rys. 1.1) użył materiału ceramicznego, w którym wywiercono siatkę otworów.

Rysunek 1.1: Yablonovite

Struktury fotoniczne, jak się okazuje zostały już wcześniej stworzone przez naturę.

Istnieje tropikalny motyl o nazwie Morpho sulkowskyi, którego skrzydła mają piękny błękitny kolor, patrz Rys. 1.2. Pomimo tego, że skrzydła wyglądają, jak gdyby były

8

nasycone barwnikiem, to są one prawie całkowicie białe. Wyjaśnienie tej ciekawostki można znaleźć oglądając skrzydło w skali mikroskopowej. Jak się okazuje struktura skrzydła składa się z periodycznie ułożonych, ściśle upakowanych heksagonalnych kształtów z otworami, patrz Rys. 1.3. Dzięki takiemu sposobowi ułożenia otworów powstaje struktura fotoniczna, która odbija tylko określoną długość fali (w tym przypadku światło niebieskie) [12].

Rysunek 1.2: Morpho Sulkowskyi

Rysunek 1.3: Powiększenie fragmentu skrzydła Morpho Sulkowskyi

Modelem najprostszego, jednowymiarowego kryształu fotonicznego [15] jest stru- ktura złożona z naprzemiennie ułożonych warstw o różnych współczynnikach zała- mania. Obszar koloru czerwonego na Rys. 1.4 odpowiada warstwie o współczynniku załamania n₁ natomiast warstwa koloru żółtego reprezentuje materiał o współczyn- niku załamania równym n2, przy czym n1 6= n2. W związku z tym, że wartość współczynnika załamania zmienia się tylko w jednym kierunku nazwany został on jednowymiarowym kryształem fotonicznym. Jak już wspomniano okres takiego ma- teriału powinien być rzędu długości fali, aby wykazywał właściwości charakterysty- czne dla kryształów fotonicznych.

Rysunek 1.4: Model jednowymiarowego kryształu fotonicznego

Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, rozważać można strukturę zło- żoną z dwóch różnych materiałów. Zakładając że jej współczynnik załamania zmienia się w dwóch kierunkach otrzymamy dwuwymiarowy kryształ fotoniczny, co ilustruje Rys. 1.5

Rysunek 1.5: Model dwuwymiarowego kryształu fotonicznego

Analogicznie postępując w przypadku materiału, w którym współczynnik załamania zmienia się w trzech kierunkach otrzymamy trójwymiarowy kryształ fotoniczny.

Rysunek 1.6: Model trójwymiarowego kryształu fotonicznego

Jeśli fala elektromagnetyczna pada na taką strukturę periodyczną, to na każdej granicy warstw ulega ona odbiciu i załamaniu. Zachowanie się fali w takich struk- turach zostało przedstawione w następnych podrozdziałach.

W fotonice zastosowanie kryształów fotonicznych, ze względu na ich właściwości filtracyjne, jest bardzo szerokie. Z powodu coraz większego zainteresowania materi- ałami fotonicznymi, wiele ośrodków naukowo-badawczych [10], [16], [17] zajęło się konstrukcją falowodów wykorzystujących ich wyjątkowe właściwości. Na Rys. 1.7 przedstawiono porowatą płytkę krzemową realizującą dwuwymiarowy kryształ fo- toniczny [18]. Wśród metod wytwarzania tego typu materiałów można wyróżnić technikę uporządkowanego elektrochemicznego wzrostu na podłożu krzemowym.

Kryształ przedstawiony na Rys. 1.7 został wykonany właśnie tą technologią. Jak

Rysunek 1.7: Dwuwymiarowy kryształ fotoniczny

widać na powiększeniu 1.7d zastosowanie tej techniki pozwala osiągnąć bardzo dużą precyzję wykonania. Bardziej interesujące, pod względem powszechnego wykorzys- tania w urządzeniach optycznych, są dwuwymiarowe tory światłowodowe. Przykład aplikacyjny takiego falowodu na krysztale fotonicznym został przedstawiony na Rys.

1.8, który został także wyprodukowany przy użyciu krzemu.

Rysunek 1.8: Dwuwymiarowy kryształ fotoniczny – przykład aplikacji

Pierwszy z zaprezentowanych rysunków 1.8a przedstawia zakręt w torze światło- wodowym. W praktyce możliwe jest wykonanie, spełniających swoje funkcje, tego typu zakrętów pod kątem 90 stopni i większym (wspomniane wcześniej ostre za- kręty w torze światłowodowym). Drugim przykładem jest rozdzielacz na Rys. 1.8b, który działa prawie identycznie jak rozdzielacz światłowodowy, tzn. fala propaguje się częściowo w każdym z kierunków. Ostatni z rysunków 1.8c prezentuje rezonator światłowodowy.

Pomimo tego, że fabrykowanie trójwymiarowych kryształów fotonicznych jest procesem dużo bardziej skomplikowanym, w ostatnich latach otrzymano kryształy

trójwymiarowe, które wykazują fotoniczną przerwę wzbronioną dla długości 1.5 mikrona [19].

1.1.1 Kwazijednowymiarowy kryształ fotoniczny

Kryształy kwazijednowymiarowe, inaczej jednowymiarowe kryształy, to struktury wielowarstwowe, których własności optyczne zmieniają się wzdłuż wybranego kie- runku (wybranej osi, najczęściej OX). Dla uproszczenia zakładamy, że są to warstwy nieprzewodzące i niemagnetyczne.

W optoelektronice przez długi czas poszukiwano idealnego lustra. Konwencjo- nalne lustra dielektryczne cechowały się co prawda odbiciem z małymi stratami, ale ich działanie było w dużej mierze zależne od kąta padania na strukturę. Drugim rodzajem tego typu materiałów są lustra metaliczne, które cechują się małą zale- żnością od kąta padania, ale straty przy odbiciu są bardzo duże. Kryształy fotoniczne rozwiązują oba problemy. Posiadają małe straty oraz małą zależność od kąta.

Kwazikryształy fotoniczne nadają się idealnie do konstrukcji filtrów pasmowo–

przepustowych. Więcej informacji na ten temat znajduje się w rozdziale 1.6.1.

W światłowodach można wykorzystać fotoniczne kwazikryształy jako lustra optoelek- troniczne pomiędzy rdzeniem a płaszczem.

Strukturę tej postaci

zwija się dookoła rdzenia i ostatecznie otrzymuje się światłowód, którego schematy- czny model został przedstawiony na Rys. 1.9

Rysunek 1.9:

Jeśli odpowiednio dobierze się parametry tego kryształu owiniętego dookoła rdzenia, czyli jeśli będzie odbijać długość fali propagującej się w światłowodzie otrzymamy światłowód o bardzo małych stratach. Umożliwi to przesyłanie informacji na znacznie dłuższe odległości, niż jak ma to miejsce w przypadku światłowodów gradientowych.

1.2 Równania Maxwella

Teoria elektromagnetyzmu oparta jest o równania Jamesa Clerka Maxwella, dzięki którym można określić przyszłe położenie i prędkości dowolnego układu oddziałują- cych ze sobą naładowanych cząstek [20], [21], [22].

Maxwell zebrał prawo Gaussa (dla elektryczności i magnetyzmu), prawo Fara- daya oraz poprawione prawo Amp`ere‘a i połączył je w zbiór równań pozwala- jących opisać cały elektromagnetyzm. Równania te można zapisać w postaci róż- niczkowej i całkowej, obie formy łącznie z ich znaczeniem fizycznym przedstawiono w Tabeli 1.

Tabela 1

Postać Postać Nazwa Fakty fizyczne

różniczkowa całkowa wynikające z równania

∇ · ~D = ρ_v ε₀H

SE · d~s =~ R ρv· dV = Q Prawo Gaussa Źródłem pola dla elektryczności elektrycznego są ładunki

Pole magnetyczne jest

∇ · ~B = 0 H

SB · d~s = 0~ Prawo Gaussa bezźródłowe, linie dla magnetyzmu pola magnetycznego

są zamknięte Zmienne w czasie pole

∇ × ~E = −^{∂ ~}_∂t^B H

LE · d~I = −~ ^dΦ_dt^B Prawo Faradaya magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne Przepływający prąd oraz

∇ × ~H = ~j +^{∂ ~}_∂t^D H

LB · d~I = µ~ 0(ε0dΦE

dt + I) Prawo zmienne pole elektryczne Amp`ere‘a–Maxwella wytwarzają wirowe

pole magnetyczne

Równania materiałowe mają postać

D = ε~ ₀ε_rE ,~ (1.1)

B = µ~ ₀µ_rH ,~ (1.2)

gdzie ∇ (nabla) jest operatorem wektorowym postaci

∇ =x_b ∂

∂x +y_b ∂

∂y +_bz ∂

∂z. (1.3)

Propagację fali EM w ośrodku jednorodnym, izotropowym i dielektrycznym opisują równania Maxwella, które przyjmują postaci

∇ × ~E (~r , t) = −∂ ~B (~r , t)

∂t , (1.4)

∇ × ~H (~r , t) = ∂ ~D (~r , t)

∂t , (1.5)

∇ · ~D (~r , t) = 0, (1.6)

∇ · ~B (~r , t) = 0, . (1.7)

Dokonując prostych przekształceń mamy

∇ × ~B (~r , t) = µ₀µ_rε₀ε_r∂ ~E (~r , t)

∂t . (1.8)

Różniczkując równanie (1.8) względem czasu otrzymamy

∇ × ∂ ~H (~r , t)

∂t = ε0εr

∂²E (~~ r , t)

∂²t . (1.9)

Wyznaczając z równania (1.4) pochodną dH

dt i podstawiając do powyższego równa- nia mamy

∇ × (∇ × ~E (~r , t)) = −µ₀µ_rε₀ε_r∂²E (~~ r , t)

∂t² . (1.10)

W równaniu (1.10) korzystając z tożsamości

a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b), (1.11) otrzymujemy

∇(∇ · ~E (~r , t)) − (∇ · ∇) ~E (~r , t) = −µ₀µ_rε₀ε_r∂²E (~~ r , t)

∂t² . (1.12) Zgodnie z prawem Gaussa ∇ · E = 0. Dlatego pierwszy człon powyższego równania zeruje się. Operator ∇ · ∇ jest nazywany laplasjanem i jest oznaczany przez ∇². Podstawiając ∇ · ∇ = ∇² do równania (1.12) otrzymujemy równanie fali EM w liniowym ośrodku jednorodnym [22]

∇²E (~~ r , t) = µ₀µ_rε₀ε_r∂²E (~~ r , t)

∂t² , (1.13)

i analogicznie dla pola magnetycznego

∇²B (~~ r , t) = µ₀µ_rε₀ε_r∂²B (~~ r , t)

∂t² . (1.14)

W obu wzorach występuje wyrażenie µ₀µ_rε₀ε_r jest równe _ϑ¹2 , gdzie ϑ to prędkość fali EM, więc

ϑ² = 1 µ0µrε0εr

= c²

n², (1.15)

gdzie n to współczynnik załamania, a c to prędkość światła w próżni c = 1

√ε₀µ₀ (1.16)

n² = ε_rµ_r (1.17)

Przybliżając falę EM falą płaską

E (~~ r , t) = E₀e^{i(ωt−~k ·~r )}, (1.18) H (~~ r , t) = H₀e^{i(ωt−~k ·~r )}. (1.19)

Wstawiając teraz powyższe wzory do równań Maxwella (1.4 – 1.7) i różniczkując względem czasu otrzymujemy stacjonarne równania Maxwella (niezależne od czasu)

∇ × ~E (~r ) = −iωµ₀µ_rH (~~ r ), (1.20)

∇ × ~H (~r ) = iωε₀ε_rE (~~ r ), (1.21)

∇ · ~E (~r ) = 0, (1.22)

∇ · ~H (~r ) = 0. (1.23)

Z równań (1.20) i (1.21) wynika, że wektory ~E i ~H są do siebie prostopadłe i że są prostopadłe do kierunku propagacji, czyli do wektora falowego

~k = nω

c k.^b (1.24)

Dla rzeczywistych wartości n z równania (1.17) oraz (1.20), (1.21), (1.24) wynikają następujące związki matematyczne

n = +√

ε_rµ_r, (1.25)

n = −√

εrµr, (1.26)

n = +^q(−ε_r)(−µ_r), (1.27) n = −^q(−ε_r)(−µ_r). (1.28) Równania Maxwella dopuszczają dwa przypadki (1.25) oraz (1.28) [56], [21]:

• gdy µ_r> 0 i ε_r > 0, to n > 0 – dotyczy ośrodka prawoskrętnego

• gdy µ_r< 0 i ε_r < 0, to n < 0 – odnosi się do ośrodka lewoskrętnego

1.3 Prawoskrętne materiały (RHM)

Ośrodki dielektryczne, w których współczynnik załamania n przyjmuje wartości dodatnie (1.25), są grupą najczęściej występujących materiałów, należą do nich na przykład powietrze, woda, kwarc. Ich właściwości optyczne zostały szeroko poznane i opisane w literaturze [20], [22]. Jak już wspomniano, współrzędne wektorów ~E , ~H oraz ~k fali płaskiej są do siebie prostopadłe

k × ~b E = ~H , k × ~^b H = ~E , (1.29) gdziek jest wersorem na kierunek ~^b k , oraz tworzą układ współrzędnych jak na Rys.

1.10. Także wektor Poyntinga ~S

S = ~~ E × ~H = 1 µ

E × ~~ B (1.30)

odnoszący się do strumienia energii przenoszonej przez falę jest prostopadły do wek- torów ~E i ~H

Rysunek 1.10: Położenie wektorów ~E , ~H względem ~k i ~S w RHM

Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków spełnia prawo Snelliusa¹[22], a promień załamuje się po przeciwnej stronie normalnej

Rysunek 1.11: Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków RHM

Prędkość fazowa fali harmonicznej, czyli prędkość z jaką rozchodzą się fragmenty

1W literaturze spotykana jest także nazwa prawo Snella

fali o tej samej fazie jest definiowana jako v_f = ω

k = ω λ

2π = λ · f = c

n, (1.31)

Z zależności częstości ω fali EM od wektora falowego ω(k) = ck

n(k) (1.32)

wynika, że prędkość fazowa może być, dla n < 1, większa od prędkości światła.

Prędkość ta, nie jest jednak szybkością przenoszenia informacji, gdyż stało by to w sprzeczności ze szczególną teorią względności Einsteina.

Szybkość rozprzestrzeniania się fali (tym samym szybkość przenoszenia informa- cji) opisuje prędkość grupowa

vg = ∂ω

∂k = v_f 1 + ωn∂n

∂ω

= c

n + ω ∂n

∂ω

(1.33)

W ośrodkach, w których występuje zależność współczynnika załamania od długości fali n = n(ω) mamy do czynienia ze zjawiskiem dyspersji. Ze związku prędkości grupowej z fazową (1.33) wynikają dwa przypadki:

1. _∂ω^∂n > 0 – prędkość grupowa jest mniejsza od prędkości fazowej, 2. _∂ω^∂n < 0 – prędkość grupowa jest większa od prędkości fazowej.

W pierwszym z nich mamy do czynienia z dyspersją normalną, a w drugim z dys- persją anormalną [22]. W większości materiałów dla zakresu widzialnego mamy do czynienia z dyspersją normalną.

Przy superpozycji dwóch fal harmonicznych o nieco różnych częstościach pow- staje fala wypadkowa, Rys. 1.12, której obwiednia (linia przerywana na Rys. (1.13)) propaguje się z prędkością grupową

Rysunek 1.12: Superpozycja fal

Rysunek 1.13: Obwiednia fali wypadkowej

1.4 Lewoskrętne materiały (LHM) – metamateriały

W 1967 roku Victor Veselago przewidział teoretycznie istnienie materiałów posia- dających ujemny współczynnik załamania, które nazwał lewoskrętnymi materia- łami (LHM) [21], [56]. Ponad 30 lat później fenomen ujemnego załamania został potwierdzony doświadczalnie [63]. Powodem intensywnych badań w ostatnich la- tach tej dziedziny było pojawienie się nowej klasy sztucznych struktur materiałów zwanych metamateriałami wskazujących nieoczekiwane i interesujące właściwości z punktu widzenia zastosowań.

Biorąc pod uwagę, że obie względne przenikalności µ_roraz ε_rbędą miały wartości ujemne (1.28), materiał będzie charakteryzował się ujemnym współczynnikiem zała- mania, a wzajemne położenie wektorów ~E , ~H oraz ~k można przedstawić w następu- jący sposób

k × ~b E = ~H , k × ~^b H = − ~E . (1.34) Na Rys. (1.14) przedstawiono wzajemną konfigurację tych wektorów

Rysunek 1.14: Położenie wektorów ~E , ~H względem ~k i ~S w LHM

Podstawową różnicą dzielącą ośrodki na prawoskrętne i lewoskrętne jest sposób, w jaki fala się załamuje na granicy ośrodków. Na granicy ośrodków, których współ- czynniki załamania mają znaki przeciwne, kąt ugięcia fali załamanej będzie leżał po tej samej stronie normalnej, Rys.1.15, przy czym wartość współczynnika załamania ośrodka 2 jest mniejsza od zera n₂ < 0.

Rysunek 1.15: Załamanie fali na granicy ośrodka RHM i LHM

1.5 Fala elektromagnetyczna na granicy dwóch ośrodków

Zakładamy, że fala EM pada na granicę dwóch ośrodków izotropowych o współczyn- nikach załamania odpowiednio n1 i n2, Rys. 1.16. Na granicy tych ośrodków za- chowanie fali można opisać następującymi zależnościami [22],[7]:

• przy kącie padania θ₁ różnym od zera fala ulega załamaniu zgodnie z prawem Snelliusa

|n₁|| sin θ₁| = |n₂|| sin θ₂|, (1.35)

Rysunek 1.16: Odbicie i załamanie na granicy ośrodków

• fala ulega odbiciu, przy czym θ⁰₁ = θ1,

• wektory falowe k₁, k⁰₁ i k₂ leżą w płaszczyźnie padania (przyjmujemy taki układ współrzędnych, że jest to płaszczyzna xz, natomiast płaszczyznę podzi- ału ośrodków oznaczmy jako yz ),

• nie zmienia się częstość ω fali.

Rozwiązanie niezależnych od czasu równań Maxwella (1.4 – 1.7) dla tego przypadku jest superpozycją fali padającej i odbitej

E =

( E⁽⁺⁾₁ e^−ik1r+ E⁽⁻⁾₁ e^−ik01r, x < 0,

E⁽⁺⁾₂ e^−ik2r+ E₂⁽⁻⁾e^−ik02r, x > 0, (1.36) gdzie E⁽⁺⁾₁ – amplituda fali padającej, E⁽⁻⁾₁ – amplituda fali odbitej, E⁽⁺⁾₂ – amplituda fali załamanej. Biorąc pod uwagę, że w obszarze x > 0 nie ma fali odbitej, człon E⁽⁻⁾₂ w równaniu (1.36) zeruje się.

Jeśli założymy, że wektor pola elektrycznego jest prostopadły do płaszczyzny padania

E = [0, E_y, 0], (1.37)

to mamy do czynienia z polaryzacją typu s.

Natomiast gdy wektor pola magnetycznego jest prostopadły do płaszczyzny padania

H = [0, H_y, 0], (1.38)

to mówimy o polaryzacji typu p.

Rysunek (1.17) przedstawia rozkład wektorów E i H dla polaryzacji s i p[7]

Rysunek 1.17: Polaryzacje s i p

1.6 Prawo Bragga

Jeśli światło o długości fali λ pada na strukturę krystaliczną o stałej sieci krystali- cznej d (średniej odległości między kolejnymi atomami sieci) oraz jeśli λ jest znacznie różna od d to propagacja fali odbywa się przez ośrodek bez rozproszenia. Sytuacja jest inna w przypadku gdy λ ∼ d, wtedy następuje ugięcie fali na atomach sieci, Rys. 1.18. Fale odbite od kolejnych płaszczyzn sieci interferują ze sobą i następuje superpozycja fal odbitych. Jakościowy opis tego zjawiska prezentuje prawo Bragga [66], które łączy w sobie zależność jaka wiąże stałą sieci krystalicznej, długość pada- jącego promieniowania oraz kąta odbicia od płaszczyzn sieci krystalicznej.

Wzór opisujący prawo Bragga ma postać

nλ = 2d sin(θ), n = 0, 1, 2, . . . , (1.39) gdzie

Rysunek 1.18: Interferencja fal odbitych od atomów sieci krystalicznej n – kolejne płaszczyzny sieci (liczba naturalna), λ – długość fali, d – średnia

odległość powtarzalnych warstw atomów, na których zachodzi rozpraszanie, θ – kąt odbicia mierzony pomiędzy wiązką pierwotną a płaszczyzną odbijającą.

1.6.1 Siatka Bragga

Rozpatrzmy strukturę złożoną z naprzemiennie ułożonych warstw o różnych współ- czynnikach załamania jak na Rys. (1.19)

Rysunek 1.19: Przykład siatki Bragga przy czym

1 – pierwszy rodzaj warstwy, 2 – drugi rodzaj warstwy, a₁ – fala padająca, b₁ – fala odbita, n₁ oraz n₂ – dwa różne współczynniki załamania warstw.

W oparciu o zależności przytoczone w poprzednim podrozdziale wiemy, że na granicy każdej z tych warstw fala EM ulega odbiciu i załamaniu.

W sytuacji, gdy światło pada na taką strukturę, to ze względu na prawo Bragga powstaje filtr pasmowo–przepustowy, który w zależności od ilości tych dwuwarstw² posiada szerszą lub węższą rozpiętość częstotliwościową.

Rysunek 1.20 przedstawia zależność współczynnika odbicia dla 10, 18 i 27 dwu- warstw [65]. Jak widać dla większej ilości dwuwarstw otrzymujemy lepszą filtrację częstotliwości. Wynika to z tego, że fale padające na kolejne płaszczyzny sieci po odbiciu interferują ze sobą i mogą się albo wzmocnić albo wygasić. Szerokość pasma przepustowego takiego filtra można wyznaczyć korzystając z prawa Bragga

∆ω = ω1− ω2 = 2πc

λ₁ − 2πc

λ₂ = 2πc

an₁ − 2πc

an₂ ≈ n₂− n₁ = ∆n (1.40) przy czym

2dwuwarstwa – struktura złożona z dwóch warstw o współczynnikach n₁oraz n₂

Rysunek 1.20: Współczynnik odbicia w zależności od ilości dwuwarstw a – grubość warstwy, λ₁ = 2an₁, λ₂ = 2an₂, ω₁ – dolna granica pasma

przepustowego, ω₂ – górna granica pasma przepustowego.

1.7 Propagacja światła w strukturach periodycznych – fotoniczna przerwa wzbroniona

Jak już wspomniano w poprzednim podrozdziale, fala padająca na strukturę pe- riodyczną, której długość fali λ jest bliska periodu ośrodka, ulega wielokrotnym odbiciom. W strukturze jak na Rys. 1.21,

Rysunek 1.21: Model struktury periodycznej ze względu na periodyczność, współczynnik załamania ośrodka

n(~r ) = n(~r + ~a ), (1.41)

a także funkcja przenikalności elektrycznej

ε(~r ) = ε(~r + ~a ), (1.42)

gdzie ~a jest wektorem sieci, są okresowymi funkcjami położenia [7].

Zgodnie z twierdzeniem Blocha-Floqueta ogólnym rozwiązaniem stacjonarnego równania falowego w ośrodku periodycznym będą funkcje Blocha [7], [54], [55] postaci E (~~ r ) = u_k(~r )exp(i~k ~r ), (1.43) gdzie

u_k(~r ) = u_k(~r + ~a ), (1.44) co dla przypadku jednowymiarowego przyjmuje postać

E(x) = u_k(x)exp(ikx). (1.45) Rozwiązaniami równania falowego są także funkcje periodyczne w stosunku do wek- tora falowego ~k

E (~~ k ) = ~E (~k + ~G_j), a~_i · ~G_j = 2πδ_ij, (1.46) przy czym ~G_j jest wektorem sieci odwrotnej. W przypadku jednowymiarowym

E(k) = E(k + 2π

a ). (1.47)

Funkcja własna, zgodnie z twierdzeniem Blocha przyjmie postać

E(x + a) = E(x)exp(ika), (1.48) gdzie wektor k przyjmuje niezależne wartości z przedziału −π/a ¬ k < π/a, który nazywamy pierwszą strefą Brillouina. Dla różnych wartości własnych, z za- leżności ω(k) można wygenerować strukturę pasmową ośrodka (zależność dysper- syjną), która dla ośrodków jednorodnych ma postać przedstawioną na rysunku 1.22

Rysunek 1.22: zależność dyspersyjna w ośrodkach jednorodnych

W kryształach fotonicznych natomiast powstaje fotoniczna przerwa wzbroniona

Rysunek 1.23: zależność dyspersyjna w kryształach fotonicznych

Na wykresach z Rys 1.22 i 1.23 przedstawiono nieredukowalną strefę Brillouina (połowę pełnej pierwszej strefy). Przewodzenie światła w takich materiałach oz- nacza, że fale elektromagnetyczne o określonej częstotliwości, należącej do fotoni- cznych pasm przewodzenia będą przepuszczane, natomiast inne, należące do fo- tonicznej przerwy wzbronionej nie będą propagować się. Pasma transmisji i pasma wzbronione tworzą fotoniczną strukturę pasmową kryształu fotonicznego. Przypo- mina ona strukturę pasmową półprzewodników, dlatego materiały te nazywane są półprzewodnikami światła. Szerokość przerwy wzbronionej, jak wykazano w podroz- dziale poświęconym prawu Bragga (1.40), powinna być proporcjonalna do różnicy współczynników załamania ośrodków. Wykresy krzywych dyspersyjnych jakie otrzy- mano w programie zostały przedstawione w rozdziale czwartym.

1.8 Kwazijednowymiarowy kryształ fotoniczny

Rozważana struktura zmienia swoje właściwości optyczne tylko w kierunku osi X, która jest jednocześnie osią symetrii badanego ośrodka. Materiał struktury jest nieprzewodzący, niemagnetyczny ( ~B = µ₀H , µ = 1), liniowy ( ~~ D = ε ~E ) oraz nie występuje w nim dyssypacja energii (=(ε) = 0). Przyjmujemy, że światło pada na obiekt w płaszczyźnie YZ pod kątem θ, a zmienność jego właściwości w kierunku osi X jest opisana zależnością ε(x) = n²(x). Wektory natężeń pól elektrycznego

i magnetycznego, ~E i ~H w interesującej nas strukturze przyjmują postaci

E (~~ r , t) =







E_x(x) Ey(x) E_z(x)





e^i(ωt−βz), H (~~ r , t) =







H_x(x) Hy(x) H_z(x)





e^i(ωt−βz) (1.49) Kontynuując rozważania z rozdziału pierwszego dotyczącego równania Maxwella, otrzymaliśmy równanie falowe (1.13)

c²

n²∇²E (~~ r , t) = ∂²E (~~ r , t)

∂t² .

Przy założeniu, że fala EM rozchodzi się jedynie wzdłuż osi x otrzymujemy c²

n²

∂²E(x, t)

∂x² = ∂²E(x, t)

∂t² . (1.50)

Przyjmując, że rozchodząca się fala EM jest falą harmoniczną E(x, t) = E(x)exp(−iωt) oraz różniczkując względem czasu otrzymujemy

c² n²

∂²E(x)

∂x² = ω²E(x), (1.51)

gdzie ω jest częstością fali. Zakładając, że wektory E i H są zależne tylko od x (1.49) oraz podstawiając je do równań Maxwella (1.4)-(1.7) otrzymujemy stacjonarne rów- nania falowe dla badanych supersieci:

dla polaryzacji s (E_s= [0, E_y(x), 0] i H_s= [H_x(x), 0, H_z(x)])

−d²E_y

dx² + β²E_y = ω²n²

c² E_y, (1.52)

gdzie

Hx= − β

µ₀ωEy, Hz = i µ₀ω

dE_y

dx ; (1.53)

natomiast dla polaryzacji p (E_p= [E_x(x), 0, E_z(x)] i H_p= [0, H_y(x), 0])

− d dx

1 n²

δH_y δx + β²

n²H_y = ω²

c²H_y, (1.54)

gdzie

Ex = − β ε₀ω

1

n²Hy, Ez = i ε₀ω

1 n²

dH_y

dx . (1.55)

Powyższe wzory mają analogiczną postać, w sensie matematycznym, jak równanie Schr¨odingera. Równanie Schr¨odingera było rozwiązywane dla periodycznych potenc- jałów, co w naszym przypadku odpowiada periodycznym zmianom współczynnika załamania, w ramach fizyki ciała stałego. W związku z tym modele rozwiązań z fizyki ciała stałego mogą być tutaj także zastosowane.

Metody numeryczne

Mając na uwadze fakt, że obliczenie struktury pasmowej dla struktur fotonicznych nie jest możliwe na drodze analitycznej, do ich wyznaczenia posłużono się metodami numerycznymi.

2.1 Zalety i wady metod numerycznych

Metody numeryczne w modelowaniu zjawisk fizycznych mają swoje wady i zalety.

Do zalet należą:

• Niewielkie koszty – nie trzeba budować danych układów, które chcemy zbadać, nie trzeba inwestować dużej ilości pieniędzy i ludzi, przestrzeni itd.

• Szybkość – programy komputerowe potrafią wykonywać w stosunkowo krótkim czasie skomplikowane przekształcenia i obliczenia matematyczne.

• Możliwość przeprowadzania eksperymentów naukowych – symulowanie ekstre- malnych problemów bez konieczności ich fizycznej produkcji.

• Projektowanie materiałów – możliwość wpływająca bezpośrednio na koszty realizacji.

• Dostępność – w większości przypadków wystarczy średniej klasy komputer osobisty do modelowania znacznej liczby zjawisk lub procesów.

Natomiast wady i ograniczenia wynikają głównie z błędów czynnika ludzkiego w całym procesie i można do nich zaliczyć:

• Konieczność dobrej znajomości narzędzi programistycznych używanych przy modelowaniu problemu.

• Rozwiązywalne są zagadnienia o potęgowym stopniu złożoności algorytmicznej.

• Nieuwzględnienie wszystkich czynników (np. luk technologicznych).

• Problem źle uwarunkowanych zagadnień.

• Błędy modelu.

• Błędy metody.

26

• Błędy zaokrągleń i dyskretyzacji, a także ograniczenia np. długości typów zmiennych.

• Błędy danych wejściowych.

• Rozwiązania komputerowe są najczęściej przybliżeniami rozwiązań dokład- nych.

2.2 Metody rozwiązywania równań Maxwella

Od czasu sformułowania przez Maxwella równań opisujących własności pola elektro- magnetycznego powstał rozbudowany aparat matematyczny służący do ich rozwiązy- wania. Do bardziej popularnych metod rozwiązywania równań Maxwella należą [36]:

• Metoda elementów skończonych (finite-element method) – polega na rozkładzie badanego obszaru na skończone elementy (najczęściej jest to rozkład skomp- likowanych obszarów na proste figury geometryczne) i problem jest definiowany osobno, dla każdego z tych mniej skomplikowanych elementów. Przeprowadza się obliczenia służące rozwiązaniu problemu dla wszystkich obszarów z os- obna a następnie łączy się wyniki obliczeń (zachowując ciągłość na granicach łączenia aproksymując wyniki z najbliższych węzłów) i w ten sposób otrzymuje się rozwiązanie dla bardziej skomplikowanego obszaru początkowego. Wybór elementów najczęściej jest dokonywany tak, by były zachowane zbliżone właś- ciwości lub kształty podobszarów, co znacznie usprawnia algorytmy oblicze- niowe.

• FDTD (finite difference time-domain) – metoda różnic skończonych w dzie- dzinie czasu. Istotą tej metody jest stworzenie dyskretnego modelu siatkowego badanego obiektu złożonego z komórek elementarnych (zwanych komórkami Yee) a następnie rozwiązanie równań Maxwella z zależnością od czasu pola elektrycznego i magnetycznego. Aproksymuje się pochodne ilorazem różni- cowym

df

dx → lim_∆x→0f (x + ∆x) − f (x − ∆x)

2∆x (2.1)

a obliczenia przeprowadza się w zadanych odstępach czasu. Metoda ta jest bardzo rozpowszechniona głównie ze względu na swoją prostotę i intuicyjność w podejściu do problemu [34], [35].

• Metoda macierzy przejścia (transfer matrix method) – podobnie do poprzed- nio opisanych metod opiera się na podzieleniu badanego obszaru na n elemen- tów. Następnie szuka się wszystkich macierzy (macierzy przejścia) opisujących zmianę stanu badanego układu w kolejnych krokach rozwiązując równanie

[ai] = Tⁱ⁺¹[ai+1] (2.2) gdzie ai – i-ty element, Tⁱ⁺¹ – macierz przejścia dla elementu i+1, ai+1 –

element i+1.

Po przemnożeniu macierzy dla wszystkich kroków otrzymujemy macierz prze- jścia od stanu początkowego do końcowego

[a₀] = T¹ ∗ T²∗ ... ∗ Tⁿ⁻¹∗ Tⁿ∗ [an] (2.3)

2.3 Algebraiczne zagadnienie własne

Jak wspomniano w poprzednim rozdziale, modele rozwiązań równania Schr¨odingera można zastosować do obliczania rozkładu pola elektromagnetycznego w badanych strukturach.

Algebraicznym zagadnieniem własnym (AZW) nazywamy zadanie polegające na wyznaczeniu wartości i wektorów własnych macierzy, której elementy stanowią liczby rzeczywiste lub zespolone.

Wartość własną ˜ε macierzy A nazywamy liczbę, dla której istnieje niezerowy wektor własny ψ spełniający równość

Aψ = ˜εψ. (2.4)

W mechanice kwantowej w zagadnieniu własnym A reprezentuje wielkość fizy- czną, natomiast ψ jest funkcją opisującą stan badanego układu.

Równanie Schr¨odingera jest także zagadnieniem własnym operatora energii, czyli hamiltonianu ˆH

Hψ = Eψˆ (2.5)

Rozwiązanie tego równania prowadzi do znalezienia kwantowomechanicznego opisu badanego układu.

Przy założeniu periodycznych warunków brzegowych oraz sprowadzając rów- nania falowe do dyskretnych postaci otrzymujemy zagadnienia własne z kwazi- symetryczną macierzą trójdiagonalną:

• dla polaryzacji s

S ¯E =ω_e²N ¯E, (2.6)

gdzie

S =





















βe²+ 2 −1 −e^iQ

−1 β^e2+ 2 −1

−1 . .. . ..

. .. β^e2+ 2 −1

−e^−iQ −1 β^e2+ 2





















, N =



















n²₁ n²₂

. ..

n²_{J −1} n²_J



















;

(2.7)

• dla polaryzacji p

P ¯H =ω_e²H,¯ (2.8)

gdzie

P =























1 n²_1/2 +^β_n^e22

1 +_n2¹ 3/2

−_n2¹ 3/2

−_n^e2^iQ 1/2

−_n2¹ 3/2

. .. . ..

. .. _n2¹ J −3/2

+ _n^β2^e2 J −1

+_n2¹ J −1/2

−_n2¹ J −1/2

−^e_n^−iQ2 1/2

−_n2¹ J −1/2

1

n²_{J −1/2} + ^β_n^e2² J

+_n2¹ 1/2























(2.9)

oraz

E =¯



















E₁ E₂ ... E_{J −1}

E_J



















, H =¯



















H₁ H₂ ... H_{J −1}

H_J



















(2.10)

2.4 Modele optycznych supersieci aperiodycznych

Supersieć to struktura, która powstaje w wyniku nałożenia co najmniej dwóch różnych warstw materiałów.

Supersieci optyczne to struktury, w których nałożone warstwy zmieniają swoje właściwości optyczne ( współczynnik załamania, przenikalność elektryczna i magne- tyczna ). Aktualnie nie ma technologicznych barier odnośnie kolejności czy grubości nakładanych warstw, a co za tym idzie możliwe jest skonstruowanie struktury o prak- tycznie dowolnej konfiguracji i grubości. Przykładem może tutaj być technika wyt- warzania warstw na podłożu krystalicznym o nazwie epitaksja z wiązki moleku- larnej¹, która pozwala na produkcję warstw z tempem wzrostu 1 do 300 nanometrów na minutę.

W pracy scharakteryzowano OSA składające się z dwóch rodzajów warstw, okre- ślanych przez P i Q o parametrach optycznych odpowiednio:

• współczynniki załamania: n_P oraz n_Q,

• przenikalności elektryczne: ε_P oraz ε_Q,

• przenikalności magnetyczne: µ_P oraz µ_Q,

• grubości: dP oraz dQ.

Model takiej sieci przedstawiono na Rys. 2.1

Rysunek 2.1: Model OSA

W modelu zakłada się również, że powierzchnie styku materiałów są idealnie równo- ległymi płaszczyznami, a zmiana właściwości optycznych ma charakter skokowy.

Grubość warstw poszczególnych materiałów można zasymulować sposobem ułoże- nia warstw (2 warstwy tego samego typu spełniają taką samą rolę jak jedna warstwa podwójnej grubości)

1Molecular Beam Epitaxy (MBE)

Dla uzyskania różnorodności w modelowanych łańcuchach wzięto pod uwagę cztery matematyczne struktury, których wzajemne ułożenie wyrazów, odpowiada sposobowi układania warstw w badanych OSA. Poddane analizie zostały przykłady modeli ułożenia warstw takie jak:

• Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF) [7]

• Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (USTM)

• Supersieć z podwojonym okresem (SPO)

• Supersieć typu Rudin-Shapiro (SRS)

2.4.1 Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF)

Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF) to przykład supersieci, której kon- strukcja polega na podstawieniach:

Q → PQ, Q → P (2.11)

Konstrukcję supersieci rozpoczyna się od wyrazu S₀=Q, gdzie S_i to łańcuch i - tego pokolenia. Wzór rekurencyjny do tworzenia kolejnego (i+1 ) pokolenia USF ma postać

S_i+1 = S_i^aS_i−1^b , (2.12) gdzie a określa ilość powtórzeń i -tego pokolenia, a b ilość powtórzeń pokolenia (i- 1 ). Ze wzoru (2.12) wynika, że pierwsze dwa pokolenia niezależnie od zadanych parametrów będą zawsze takie same, tj.

S₀ = Q, S₁ = P (2.13)

Innymi słowy są to ”warunki początkowe”generowania OSA. Warto zauważyć, że za S₀ i S₁ można przyjąć pojedyncze warstwy, ale w ogólności może to być zbiór wielu warstw. Należy zaznaczyć, że wyrażenie SiSi−1nie określa mnożenia logicznego tylko proste łączenie łańcuchów tekstowych. W dalszej części pracy zapis USF(a,b) będzie reprezentował supersieć o określonych parametrach odpowiednio a oraz b.

Cała rodzina OSA typu Fibonacciego charakteryzuje się stałą liczbą warstw typu Q sąsiadujących ze sobą oraz zmienną ilością warstw typu P. Dla przykładu pokazano czwarte pokolenie USF(1,2), trzecie pokolenie USF(2,2) oraz trzecie pokolenie USF(2,3):

PQQPPPQQPQQ → P QQ PPP QQ P QQ PPQQPPQQPPPP → PP QQ PP QQ PPPP PPQQQPPQQQPPPPPP → PP QQQ PP QQQ PPPPPP

W grupie USF można wyróżnić także nazwane modele, które mają określone parametry a i b. Ich nazwy zwyczajowe przedstawiamy poniżej [7]

• USF(1,1) – złota,

• USF(1,2) – miedziana,

• USF(1,3) – niklowa,

• USF(2,1) – srebrna,

• USF(3,1) – brązowa.

2.4.2 Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (USTM)

USTM to model sieci, do konstrukcji którego potrzebna jest sieć pomocnicza. Wzór rekurencyjny potrzebny do tworzenia USTM wygląda następująco:

S_i+1= S_i^aS˜_i^b (2.14)

gdzie ˜S_i^b we wzorze (2.14) przyjmuje postać

S˜_i = ˜S_i−1^b S_i−1^a . (2.15)

W modelu tym przyjmuje się, że pierwsze elementy łańcuchów mają postaci odpowiednio S₀ = P oraz ˜S₀ = Q. Ze względu na to, że początkowe wyrazy S₀ oraz ˜S₀ są warstwami przeciwnego typu w USTM w których a=b wzór użyty do konstruowania ciągu pokazuje pewną prawidłowość. W miejscu, gdzie w pierwszym łańcuchu występuje P w drugim łańcuchu występuje Q, a tam gdzie w pierwszym jest Q w drugim występuje P.

Dla przykładu, drugie pokolenie USTM przy a=b=2 ma postać:

S₂ = PPQQPPQQQQPPQQPP S˜₂ = QQPPQQPPPPQQPPQQ

2.4.3 Supersieć z podwojonym okresem (SPO)

Supersieć z podwojonym okresem jest odmianą modelu miedzianej supersieci Fi- bonacciego USF(1,2), z tą różnicą, że zerowe pokolenie (i=0) jest równe Q a pierwsze (L=1) QP. Zatem wzór rekurencyjny dla tego modelu ma postać

S_i = S_i−1S_i−2² , (2.16)

gdzie S₀ = Q i S₁ = QP.

Pozostałe właściwości tej odmiany struktury pozostają takie same jak w przypadku supersieci Fibonacciego.

2.4.4 Supersieć typu Rudin-Shapiro (SRS)

Supersieć typu Rudin-Shapiro charakteryzuje się największym zróżnicowaniem w ułożeniu warstw i z tego powodu wydaje się być najbardziej interesująca pod względem naukowym, ponieważ wprowadza największą różnorodność do badanych modeli. W oryginale budowa tego typu sieci powstaje z czterech typów warstw. Dla potrzeb bieżącej pracy obliczenia przeprowadzono dodatkowo dla dwóch przypadku, gdy trzeci i czwarty typ warstwy zastąpione zostały przez warstwę typu Q. Przy konstrukcji tego modelu należy wprowadzić sieci pomocnicze. Wzór rekurencyjny do konstrukcji SRS przyjmuje postać

S_i+1= S_iS_i⁰, (2.17)

gdzie : S₀ = P, S₀⁰ = P, ˜S₀ = Q, ˜S₀⁰ = Q

Natomiast pomocnicze wzory mają postaci

S_i+1⁰ = S_iS˜_i⁰, S˜_i+1⁰ = ˜S_iS_i⁰, S˜_i+1= ˜S_iS˜_i⁰. (2.18)

2.5 Programowanie zorientowane obiektowo (OOP)

Programowanie obiektowe to podejście do programowania w sposób, który umożli- wia traktowanie logicznych bloków/elementów programu jako oddzielne obiekty, po- siadających określone cechy (właściwości) oraz pewne procedury/funkcje (metody).

Podejście obiektowe jest niejako odwzorowaniem sposobu w jaki postrzegamy rze- czywistość. Zamiast traktować bloki kodu realizujące dane zadanie jako funkcje, które są nie związanymi z innymi elementami, dużo łatwiej pod względem log- icznym podejść do nich jak do obiektów, które potrafią realizować dane zadanie.

W programie, który jest integralną częścią tej pracy, starano się zrealizować założe- nia programowania zorientowanego obiektowo, głównie w takich przypadkach jak klasa supersieci (OSA), która potrafi generować konkretne łańcuchy na podstawie podanych parametrów. Dzięki temu możliwe będzie wykorzystanie, bez ingerencji w kod, tej klasy do innych programów w przyszłości. Głównymi paradygmatami podejścia obiektowego do programowania są:

• Abstrakcja – każdy obiekt posiada pewną funkcjonalność, dzięki której bez ujawniania konkretnej implementacji potrafi się komunikować z resztą sys- temu.

• Hermetyzacja – czyli ukrywanie implementacji, oddzielone od siebie obiekty nie ingerują w działanie innych obiektów, uniemożliwia to popełnianie błędów omyłkowego nadpisania zmiennych globalnych, co często się zdarza przy pro- gramowaniu proceduralnym.

• Polimorfizm – każda klasa może tworzyć dowolną ilość instancji obiektu (egzemplarzy danego modelu) Oddzielone instancje mogą realizować równole- gle te same zadania z różnymi parametrami

• Dziedziczenie – umożliwia implementacje wyspecjalizowanych obiektów dzie- dziczących właściwości i metody z bardziej ogólnych, dzięki temu unika się duplikowania części kodu, co znacznie wpływa na szybkość wykonywanych operacji

Rezultaty obliczeń numerycznych

3.1 Opis programu

Obliczenia numeryczne struktury pasmowej, prędkości grupowej v_goraz efektywnego współczynnika załamania n_ef zostały przeprowadzone dla badanych supersieci przy następujących parametrach:

1. Typ polaryzacji – s lub p;

2. Liczba punktów siatki;

3. Kąta padania θ w zakresie od 0 do π/2;

4. Długości fali promieniowania λ – w zakresie światła widzialnego: od 300 nm do 700 nm;

5. Wartości współczynników załamania warstw typu P i Q – odpowiednio n_P oraz n_Q;

6. Grubości warstw typu P i Q – odpowiednio dP oraz dQ;

7. Typu badanej sieci – Fibonacciego (USF), Thue-Morse‘a (USTM), z podwo- jonym okresem (SPO), Rudin-Shapiro (SRS);

8. Parametrów sieci – pokolenie supersieci, współczynniki potrzebne do kon- strukcji a oraz b dla sieci USF oraz USTM.

Do napisania programu zostało wykorzystane środowisko programistyczne Delphi.

Program na podstawie zadanych parametrów wyznacza model badanej supersieci, następnie dokonuje próbkowania współczynnika załamania i na jego podstawie ob- licza wartości własne. Większość obliczeń jest wykonywana na podstawie danych bezwymiarowych, żeby uniknąć sytuacji wystąpienia błędów związanych z ogranicze- niem długości typów zmiennych. Wartości własne zostały obliczone w oparciu o twier- dzenie Martina-Dean‘a (znalezienia przedziału wartości, na którym znajduje się tylko jedna wartość własna), a następnie metodą bisekcji wyznaczone z dokładno- ścią 10⁻¹⁰. Dokładność obliczeń w znacznym stopniu wpływa na obciążenie proce- sora oraz na czas wykonywanych operacji. Przy dokładności rzędu 10⁻⁶ wyznaczenie wartości własnych daje satysfakcjonujące wyniki odnośnie struktury pasmowej, ale

34

wyniki obliczeń prędkości grupowej i efektywnego współczynnika załamania obar- czone są znacznym błędem. Z powodu braku translacyjnej niezmienniczości w krysz- tałach fotonicznych należało narzucić periodyczne warunki brzegowe [7]

E(x + D) = E(x) =⇒ E (0) = ~~ E (D)e^ikD, gdzie D to całkowita grubość struktury.

Obliczenia prędkości grupowej i efektywnego współczynnika załamania dokonano na podstawie wyznaczonych wcześniej wartości własnych przy pomocy wzorów na:

• prędkość grupową v_g = dω(k)/dk,

• efektywny współczynnik załamania n_ef = c vg

.

Prędkość grupową oraz efektywny współczynnik załamania obliczano dla niere- dukowalnej strefy Brillouina (od 0 do Π).