4. Mikroskopia fazy kondensatu 23
5.3. Uwzględnienie dalszych tunelowań
W pracy [71] skupiliśmy się na korelacjach w modelu DRDM [85] (ang. Dual Random Dimer Model - dualnym modelu przypadkowych dimerów). Model DRDM to model z bi-narnym nieporządkiem zarówno diagonalnym, jak i pozadiagonalnym, zobacz równanie (5.4). W modelu DRDM cząstki nieruchome nigdy nie występują obok siebie, a tym samym zrenormalizowane tunelowania J0 = J0(V1/ω)J zawsze występują parami.
Po-nownie, taka forma korelacji może prowadzić do istnienia zdelokalizowanych modów, dla których występuje bezstratna transmisja przez pojedynczy blok. Jak się okazuje, rezo-nans transmisyjny istnieje zawsze, o ile V0 ¬ 2 1 − J02
, a położenie rezonansu zależy od siły nieporządku diagonalnego i pozadiagonalnego [85]. Badanie długości lokalizacji w modelu DRDM nie należało do moich głównych zadań, dlatego przejdźmy do uwzględ-nienia wpływu dalszych tunelowań w układzie, a zainteresowanego czytelnika odsyłam do [71].
Dla typowych długości fali sieci optycznej i głębokości sieci U ≈ 10-20 ER, gdzie ER to energia odrzutu, z powodzeniem możemy stosować model ciasnego wiązania (5.1). Wpływ tunelowania do drugich sąsiadów J(2) ≡ Ji i+2 na ewolucję układu często jest zaniedbywalny, ponieważ stanowi kilka promili amplitudy tunelowania do najbliższych sąsiadów [7]. Niemniej, zdelokalizowane, rezonansowe stany wiążą się pewną szczególną korelacją w układzie (zobacz podrozdział 5.2), a uwzględniając dalsze tunelowania mo-żemy zniszczyć warunek bezstratnej transmisji.
Długość lokalizacji Andersona w modelu DRDM z uwzględnieniem tunelowań do dru-gich sąsiadów obliczamy numerycznie. Niestety, metoda macierzy transferu, która po-zwala na bardzo efektywne wyznaczenie długości lokalizacji w modelu ciasnego wiązania, nie można w sposób prosty zaadaptować do układu z dalszymi tunelowaniami. Zauważmy jednak, że poprzez „nawinięcie” jednowymiarowego łańcucha, możemy zmienić geometrię problemu do dwuwymiarowego pasa (rysunek 5.1), który jest znacznie łatwiejszy nu-merycznie. Metoda, którą używamy, wykorzystuje znajomość elementu macierzowego funkcji Greena pomiędzy krańcami pasa [71,86].
Rezultaty zostały przedstawione na rysunku5.2. Obserwujemy na nim, że nawet eks-tremalnie małe wartości amplitudy do drugich sąsiadów J(2) znacząco wpływają na rezo-nans. W modelu DRDM [71,85] dwa nieruchome atomy, będące źródłem nieporządku, nie mogą ze sobą sąsiadować. Jednakże, dostępne są takie konfiguracje, gdzie dwa nieruchome atomy rozdzielone są dokładnie o jedno oczko sieci. Występowanie takich konfiguracji tłumaczy zanik rezonansu, który obserwujemy. Mówiąc obrazowo, nawet jeśli cząstka mobilna przeskoczy przez pierwszą przeszkodę, istnieje prawdopodobieństwo, że przez
Rozdział 5 Rola i efekty korelacji na lokalizację Andersona 36
Rysunek 5.1: Panel (a): schemat przeskoków w jednowymiarowym modelu z tunelo-waniami do najbliższych sąsiadów (linia ciągła) i drugich sąsiadów (linia kropkowana). Panel (b) prezentuje ten sam model, przedstawiony w inny sposób. Ten sam układ mo-żemy przedstawić w innej geometrii, jako pas z niejednorodnym układem tunelowań.
Rysunek 5.2: Długość lokalizacji jako funkcji kwazipędu dla diagonalnego nieporzadku V0= 1.95J , J0 = 0.1J przy obsadzeniu zamrożonych cząstek ˜ρ = 1/3. Wartość ampli-tudy tunelowania do dalszych sąsiadów sąsiadów wynosi: J(2)/J = 0.0005 (linia czarna przerywano-kropkowana), J(2)/J = 0.0025 (linia czerwona kropkowana), J(2)/J = 0.005 (linia niebieska przerywana) i J(2)/J = 0.01 (linia czarna ciągła). Na wykresie łatwo zaobserwować wygaszenie rezonansu wraz ze wzrostem amplitudy J(2).
dalekozasięgowe tunelowanie rozproszy się na drugiej. Rzeczywiście, jeżeli wykluczyli-śmy takie konfiguracje (tj. jeżeli zamrożone cząstki muszą być oddzielone o co najmniej dwa oczka), to rezonans pojawia się na nowo.
5.4. Wnioski
W pracy [71] badamy efekt lokalizacji Andersona w obecności korelacji w binarnym nieporządku diagonalnym i pozadiagonalnym, przy użyciu dwóch ultrazimnych frakcji atomowych. Zaproponowana metoda implementacji doświadczalnej modelu pozwala ma-nipulować wartością nieporządku w dużym zakresie wartości.
Rozdział 5 Rola i efekty korelacji na lokalizację Andersona 37
Obecność korelacji wiąże się z pojawieniem rezonansowych modów transmisyjnych. Rezonanse te powstają na skutek występowania konkretnych sekwencji w strukturze nie-porządku. Zaburzenie tych struktur, np. przez uwzględnienie bardzo małych tunelowań do dalszych sąsiadów, może całkowicie zniszczyć rezonanse. Wynik ten może okazać się istotny w eksperymencie.
Publikacje związane z rozdziałem
• A. Kosior, J. Major, M. Płodzień, J. Zakrzewski. Controlling disorder with period-cially modulated interactions. Physical Review A 92, 023606 (2015).
Wszystkie wyniki modelu z uwzględnieniem tunelowań do drugich sąsiadów w ukła-dzie zostały otrzymane przez doktoranta, tj. rozdział IV publikacji, włącznie z do-datkiem B.
Rozdział 6
Podsumowanie
Motywem przewodnim pracy było wykorzystanie ultrazimnej materii do symulacji kwantowych innych układów i zjawisk. W szczególności, w naszych badaniach skupi-liśmy się na modelach sieciowych, które mogą być realizowane przy użyciu sieci optycz-nych. Wielkie zaawansowanie w technikach eksperymentalnych pozwala na praktycznie swobodną manipulacje oddziaływań międzyatomowych, zmianę geometrii sieci, a nawet wprowadzanie sztucznych pól cechowania.
W rozdziale 2zaprezentowałem propozycję realizacji symulatora klasycznego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej z anizotropowymi tunelowaniami. Podstawą sy-mulacji jest identyfikacja lokalnej fazy kondensatu z kątem kierunkowym klasycznego spinu.
W rozdziale3przedstawiłem pomysł symulowania wielokomponentowych modeli z nie-belowym polem cechowania przy użyciu jednoskładnikowego gazu atomowego. Podstawą symulacji jest wykorzystanie stopni swobody związanych z siecią optyczną jako wewnętrz-nych stopni swobody efektywwewnętrz-nych cząstek.
W rozdziale4pokazałem, że zespoloną fazę funkcji falowej kondensatu Bosego-Einsteina można zrekonstruować, korzystając przy tym ze znajomości gęstości atomów w prze-strzeni położeń i pędów. Nasza metoda może mieć duże zastosowanie np. przy rekon-strukcji domen przestrzennych zdegenerowanego stanu podstawowego.
W rozdziale5przedstawiłem propozycję eksperymentalnej obserwacji efektu lokalizacji Andersona z binarnym skorelowanym nieporządkiem diagonalnym i pozadiagonalnym. W szczególności pokazałem, że wyjście poza model ciasnego wiązania może doprowadzić do całkowitego zaniku rezonansów transmisyjnych.
Bibliografia
[1] R. P. Feynman. Simulating Physics with Computers. Int. J. Theor. Phys. 21, 467 (1982).
[2] I. Buluta, F. Nori, S. Buluta. Quantum Simulators. Science 326, 108 (2009).
[3] P. Hauke, F. M. Cucchietti, L. Tagliacozzo, I. Deutsch, M. Lewenstein. Can one trust quantum simulators? Rep. Prog. Phys. 75, 082401 (2012).
[4] I. Bloch. Ultracold quantum gases in optical lattices. Nature Phys. 1, 23 (2005).
[5] D. Jaksch, P. Zoller. The cold atom Hubbard toolbox. Ann. Phys. 315, 52 (2005).
[6] M. Lewenstein, A. Sanpera, V. Ahufinger, B. Damski, A. Sen, U. Sen. Ultracold atomic gases in optical lattices: mimicking condensed matter physics and beyond. Adv. Phys. 243, 56 (2007).
[7] I. Bloch, J. Dalibard, W. Zwerger. Many-body physics with ultracold gases. Rev. Mod. Phys. 80, 885 (2008).
[8] M. Lewenstein, A. Sanpera, V. Ahufinger. Ultracold Atoms in Opitcal Lattices: Simulating Quantum Many-Body Systems. Oxford University Press, Oxford (2012).
[9] P. Windpassinger, K. Sengstock. Engineering novel optical lattices. Rep. Prog. Phys. 76, 086401 (2013).
[10] O. Dutta, M. Gajda, P. Hauke, M. Lewenstein, D.-S. Lühmann, B. A. Malomed, T. Sowiński, J. Zakrzewski. Non-standard Hubbard models in optical lattices: a re-view. Rep. Prog. Phys. 78, 066001 (2015).
[11] C. Chin, R. Grimm, P. Julienne, E. Tiesinga. Feshbach resonances in ultracold gases. Rev. Mod. Phys. 82, 1225 (2010).
[12] T. M. Hanna, E. Tiesinga, P. S. Julienne. Creation and manipulation of Feshbach resonances with radiofrequency radiation. New J. Phys. 12, 083031 (2010).
[13] P. W. Anderson. Absence of Diffusion in Certain Random Lattices. Phys. Rev. 109, 1492 (1958).
BIBLIOGRAFIA 40
[14] J. Billy, V. Josse, Z. Zuo, A. Bernard, B. Hambrecht, P. Lugan, D. Clément, L. Sanchez-Palencia, P. Bouyer, A. Aspect. Direct observation of Anderson loca-lization of matter waves in a controlled disorder. Nature 453, 891 (2008).
[15] G. Modugno. Anderson localization in Bose–Einstein condensates. Rep. Prog. Phys. 73, 102401 (2010).
[16] G. Floquet. Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques. Ann. Sci. Ecole Norm. Super. 12, 47 (1883).
[17] J. H. Shirley. Solution of the Schrödinger Equation with a Hamiltonian Periodic in Time. Phys. Rev. 138, B979 (1965).
[18] J. Struck, C. Ölschläger, R. Le Targat, P. Soltan-Panahi, A. Eckardt, M. Lewen-stein, P. Windpassinger, K. Sengstock. Quantum Simulation of Frustrated Classical Magnetism in Triangular Optical Lattices 333, 996 (2011).
[19] J. Struck, C. Ölschläger, M. Weinberg, P. Hauke, J. Simonet, A. Eckardt, M. Le-wenstein, K. Sengstock, P. Windpassinger. Tunable Gauge Potential for Neutral and Spinless Particles in Driven Optical Lattices. Phys. Rev. Lett. 108, 225304 (2012).
[20] J. Struck, M. Weinberg, C. Ölschläger, P. Windpassinger, J. Simonet, K. Sengstock, R. Höppner, P. Hauke, A. Eckardt, M. Lewenstein, L. Mathey. Engineering Ising-XY spin-models in a triangular lattice using tunable artificial gauge fields. Nature Phys. 9, 738–743 (2013).
[21] A. Eckardt, C. Weiss, M. Holthaus. Superfluid-Insulator Transition in a Periodically Driven Optical Lattice. Phys. Rev. Lett. 95, 260404 (2005).
[22] H. Lignier, C. Sias, D. Ciampini, Y. Singh, A. Zenesini, O. Morsch, E. Arimondo. Dynamical Control of Matter-Wave Tunneling in Periodic Potentials. Phys. Rev. Lett. 99, 220403 (2007).
[23] E. Arimondo, D. Ciampini, A. Eckardt, M. Holthaus, O. Morsch. Chapter 10 -Kilohertz-Driven Bose–Einstein Condensates in Optical Lattices. Advances in Ato-mic, Molecular, and Optical Physics, tom 61, 515 – 547. Academic Press (2012).
[24] K. Sacha, K. Targońska, J. Zakrzewski. Frustration and time-reversal symmetry breaking for Fermi and Bose-Fermi systems. Phys. Rev. A 85, 053613 (2012).
[25] M. Aidelsburger, M. Atala, S. Nascimbène, S. Trotzky, Y.-A. Chen, I. Bloch. Expe-rimental Realization of Strong Effective Magnetic Fields in an Optical Lattice. Phys. Rev. Lett. 107, 255301 (2011).
BIBLIOGRAFIA 41
[26] A. Rapp, X. Deng, L. Santos. Ultracold Lattice Gases with Periodically Modulated Interactions. Phys. Rev. Lett. 109, 203005 (2012).
[27] A. Przysiężna, O. Dutta, J. Zakrzewski. Rice–Mele model with topological solitons in an optical lattice. New J. Phys. 17(1), 013018 (2015).
[28] G. S. Joyce. Classical Heisenberg Model. Phys. Rev. 155, 478 (1967).
[29] H. T. Diep. Frustrated Spin Systems. World Scientific (2004).
[30] D. J. P. Morris, D. A. Tennant, S. A. Grigera, B. Klemke, C. Castelnovo, R. Moes-sner, C. Czternasty, M. MeisMoes-sner, K. C. Rule, J.-U. Hoffmann, K. Kiefer, S. Geri-scher, D. Slobinsky, R. S. Perry. Dirac Strings and Magnetic Monopoles in the Spin Ice Dy2T i2O7. Science 326(5951), 411 (2009).
[31] T. Fennell, P. P. Deen, A. R. Wildes, K. Schmalzl, D. Prabhakaran, A. T. Boothroyd, R. J. Aldus, D. F. McMorrow, S. T. Bramwell. Magnetic Coulomb Phase in the Spin Ice Ho2T i2O7. Science 326(5951), 415 (2009).
[32] L. Balents. Spin liquids in frustrated magnets. Nature 464, 199 (2010).
[33] A. Kosior, K. Sacha. Simulation of frustrated classical XY models with ultracold atoms in three-dimensional triangular optical lattices. Phys. Rev. A 87, 023602 (2013).
[34] N. W. Aschcroft, N. D. Mermin. Fizyka ciała stałego. PWN, Warszawa (1986).
[35] A. Kosior. Kwantowe symulacje sfrustrowanych układów magnetycznych w zimnych gazach atomowych. Praca magisterska, Uniwersytet Jagielloński.
[36] K. Sacha. Kondensat Bosego-Einsteina. Inst. Fiz. UJ, Kraków (2004).
[37] C. J. Pethick, H. Smith. Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases, 2nd ed. Cambridge University Press, New York (2008).
[38] L. P. Pitaevskii, S. Stringari. Bose–Einstein Condensation. Clarendon Press, Oxford (2003).
[39] F. Haake. Quantum Signatures of Chaos, 2nd ed. Springer, Berlin (2001).
[40] H. J. Rothe. Lattice gauge theories: An Introduction. World Sci. Lect. Notes Phys. 74 (2005).
[41] T. DeGrand, C. E. Detar. Lattice methods for quantum chromodynamics. World Scientic, New Jersey (2006).
BIBLIOGRAFIA 42
[42] C. Gattringer, C. B. Lang. Quantum chromodynamics on the lattice. Lect. Notes Phys. 788 (2010).
[43] M. Z. Hasan, C. L. Kane. Colloquium : Topological insulators. Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010).
[44] X.-L. Qi, S.-C. Zhang. Topological insulators and superconductors. Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011).
[45] N. Goldman, G. Juzeliunas, P. Öhberg, I. B. Spielman. Light-induced gauge fields for ultracold atoms. Rep. Prog. Phys. 77(12), 126401 (2014).
[46] K. Osterloh, M. Baig, L. Santos, P. Zoller, M. Lewenstein. Cold Atoms in Non-Abelian Gauge Potentials: From the Hofstadter "Moth"to Lattice Gauge Theory. Phys. Rev. Lett. 95, 010403 (2005).
[47] N. Goldman, A. Kubasiak, P. Gaspard, M. Lewenstein. Ultracold atomic gases in non-Abelian gauge potentials: The case of constant Wilson loop. Phys. Rev. A 79, 023624 (2009).
[48] N. Goldman, A. Kubasiak, A. Bermudez, P. Gaspard, M. Lewenstein, M. A. Martin-Delgado. Non-Abelian Optical Lattices: Anomalous Quantum Hall Effect and Dirac Fermions. Phys. Rev. Lett. 103, 035301 (2009).
[49] L. Mazza, A. Bermudez, N. Goldman, M. Rizzi, M. A. Martin-Delgado, M. Lewen-stein. An optical-lattice-based quantum simulator for relativistic field theories and topological insulators. New J. Phys. 14(1), 015007 (2012).
[50] P. Hauke, O. Tieleman, A. Celi, C. Ölschläger, J. Simonet, J. Struck, M. Weinberg, P. Windpassinger, K. Sengstock, M. Lewenstein, A. Eckardt. Non-Abelian Gauge Fields and Topological Insulators in Shaken Optical Lattices. Phys. Rev. Lett. 109, 145301 (2012).
[51] F. Gerbier, N. Goldman, M. Lewenstein, K. Sengstock. Non-Abelian gauge fields. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 46(13), 130201 (2013).
[52] L. Tagliacozzo, A. Celi, P. Orland, M. W. Mitchell, M. Lewenstein. Simulation of non-Abelian gauge theories with optical lattices. Nature Commun. 4, 2615 (2013).
[53] A. Kosior, K. Sacha. Simulation of non-Abelian lattice gauge fields with a single-component gas. EPL (Europh. Lett.) 107(2), 26006 (2014).
[54] Y. Aharonov, D. Bohm. Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory. Phys. Rev. 115, 485 (1959).
BIBLIOGRAFIA 43
[55] T. Fukui, Y. Hatsugai, H. Suzuki. Chern Numbers in Discretized Brillouin Zone: Efficient Method of Computing (Spin) Hall Conductances. J. Phys. Soc. Jpn. 74(6), 1674 (2005).
[56] N. Goldman, P. Gaspard. Quantum Hall-like effect for cold atoms in non-Abelian gauge potentials. EPL (Europh. Lett.) 78(6), 60001 (2007).
[57] D. R. Hofstadter. Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields. Phys. Rev. B 14, 2239 (1976).
[58] M. Aidelsburger, M. Atala, M. Lohse, J. T. Barreiro, B. Paredes, I. Bloch. Realiza-tion of the Hofstadter Hamiltonian with Ultracold Atoms in Optical Lattices. Phys. Rev. Lett. 111, 185301 (2013).
[59] A. Kosior, K. Sacha. Condensate Phase Microscopy. Phys. Rev. Lett. 112, 045302 (2014).
[60] S. Dettmer, D. Hellweg, P. Ryytty, J. J. Arlt, W. Ertmer, K. Sengstock, D. S. Petrov, G. V. Shlyapnikov, H. Kreutzmann, L. Santos, M. Lewenstein. Observation of Phase Fluctuations in Elongated Bose-Einstein Condensates. Phys. Rev. Lett. 87, 160406 (2001).
[61] D. Hellweg, L. Cacciapuoti, M. Kottke, T. Schulte, K. Sengstock, W. Ertmer, J. J. Arlt. Measurement of the Spatial Correlation Function of Phase Fluctuating Bose-Einstein Condensates. Phys. Rev. Lett. 91, 010406 (2003).
[62] W. S. Bakr, J. I. Gillen, A. Peng, S. Fölling, M. Greiner. A quantum gas microscope for detecting single atoms in a Hubbard-regime optical lattice. Nature 462, 74 (2009).
[63] W. S. Bakr, A. Peng, M. E. Tai, R. Ma, J. Simon, J. I. Gillen, S. Fölling, L. Pollet, M. Greiner. Probing the Superfluid–to–Mott Insulator Transition at the Single-Atom Level. Science 329(5991), 547 (2010).
[64] J. F. Sherson, C. Weitenberg, M. Endres, M. Cheneau, I. Bloch, S. Kuhr. Single-atom-resolved fluorescence imaging of an atomic Mott insulator. Nature 467, 68 (2010).
[65] F. Dalfovo, S. Stringari. Bosons in anisotropic traps: Ground state and vortices. Phys. Rev. A 53, 2477 (1996).
[66] R. J. Marshall, G. H. C. New, K. Burnett, S. Choi. Exciting, cooling, and vortex trapping in a Bose-condensed gas. Phys. Rev. A 59, 2085 (1999).
[67] L. Dobrek, M. Gajda, M. Lewenstein, K. Sengstock, G. Birkl, W. Ertmer. Optical generation of vortices in trapped Bose-Einstein condensates. Phys. Rev. A 60, R3381 (1999).
BIBLIOGRAFIA 44
[68] J. R. Fienup. Reconstruction of a complex-valued object from the modulus of its Fourier transform using a support constraint. J. Opt. Soc. Am. A 4(1), 118 (1987).
[69] J. Miao, D. Sayre. On possible extensions of X-ray crystallography through diffraction-pattern oversampling. Acta Crystallogr. Sect. A 56(6), 596 (2000).
[70] S. Marchesini. Invited Article: A unified evaluation of iterative projection algorithms for phase retrieval. Rev. of Sci. Instrum. 78, 011301 (2007).
[71] A. Kosior, J. Major, M. Płodzień, J. Zakrzewski. Controlling disorder with periodi-cally modulated interactions. Phys. Rev. A 92, 023606 (2015).
[72] F. Bloch. Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern. Z. Phys. 52 (1928).
[73] N. Mott. The mobility edge since 1967. J. Phys. C: Solid State Phys. 20(21), 3075 (1987).
[74] S. Ospelkaus, C. Ospelkaus, O. Wille, M. Succo, P. Ernst, K. Sengstock, K. Bongs. Localization of Bosonic Atoms by Fermionic Impurities in a Three-Dimensional Optical Lattice. Phys. Rev. Lett. 96, 180403 (2006).
[75] B. Horstmann, J. I. Cirac, T. Roscilde. Dynamics of localization phenomena for hard-core bosons in optical lattices. Phys. Rev. A 76, 043625 (2007).
[76] U. Gavish, Y. Castin. Matter-Wave Localization in Disordered Cold Atom Lattices. Phys. Rev. Lett. 95, 020401 (2005).
[77] P. Massignan, Y. Castin. Three-dimensional strong localization of matter waves by scattering from atoms in a lattice with a confinement-induced resonance. Phys. Rev. A 74, 013616 (2006).
[78] K. V. Krutitsky, M. Thorwart, R. Egger, R. Graham. Ultracold bosons in lattices with binary disorder. Phys. Rev. A 77, 053609 (2008).
[79] M. Piraud, L. Sanchez-Palencia. Tailoring Anderson localization by disorder corre-lations in 1D speckle potentials. Eur. Phys. J.: Spec. Top. 217(1), 91 (2013).
[80] D. H. Dunlap, H.-L. Wu, P. W. Phillips. Absence of localization in a random-dimer model. Phys. Rev. Lett. 65, 88 (1990).
[81] S. N. Evangelou, E. N. Economou. Reflectionless modes in chains with large-size homogeneous impurities. J. Phys. A: Math. Gen. 26(12), 2803 (1993).
[82] F. M. Izrailev, T. Kottos, G. P. Tsironis. Hamiltonian map approach to resonant states in paired correlated binary alloys. Phys. Rev. B 52, 3274 (1995).
BIBLIOGRAFIA 45
[83] A. Kosior, J. Major, M. Płodzień, J. Zakrzewski. Role of Correlations and Off-Diagonal Terms in Binary Disordered One-Dimensional Systems. A. Phys. Pol. A 128, 1002 (2015).
[84] C. Muller, D. Delande. Les Houches 2009 — Session XCI: Ultracold Gases and Quantum Information. Oxford University Press, Oxford (2011).
[85] J.-F. Schaff, Z. Akdeniz, P. Vignolo. Localization-delocalization transition in the random dimer model. Phys. Rev. A 81, 041604 (2010).
[86] A. MacKinnon, B. Kramer. The scaling theory of electrons in disordered solids: Additional numerical results. Z. Phys. B 53, 1 (1983).
PHYSICAL REVIEW A 87, 023602 (2013)
Simulation of frustrated classical XY models with ultracold atoms in three-dimensional triangular optical lattices
Arkadiusz Kosior and Krzysztof Sacha
Instytut Fizyki imienia Mariana Smoluchowskiego and Mark Kac Complex Systems Research Center, Uniwersytet Jagiello´nski, ulica Reymonta 4, PL-30-059 Krak´ow, Poland
(Received 27 November 2012; published 4 February 2013)
Miscellaneous magnetic systems are currently being intensively investigated because of their potential applications in modern technologies. Nonetheless, a many-body dynamical description of complex magnetic systems may be cumbersome, especially when the system exhibits a geometrical frustration. This paper deals with simulations of the classical XY model on a three-dimensional triangular lattice with anisotropic couplings, including an analysis of the phase diagram and a Bogoliubov description of the dynamical stability of mean-field stationary solutions. We also discuss the possibilities of the realization of Bose-Hubbard models with complex tunneling amplitudes in shaken optical lattices without breaking the generalized time-reversal symmetry and the opposite, i.e., real tunneling amplitudes in systems with the time-reversal symmetry broken.
DOI:10.1103/PhysRevA.87.023602 PACS number(s): 67.85.Hj, 03.75.Lm, 37.10.Jk
I. INTRODUCTION
This paper was inspired by an experiment of the Hamburg University group, who managed to build the first experimental realization of the two-dimensional (2D) quantum simulator of classical frustrated magnetism in an ultracold atomic gas in a triangular optical lattice [1–3]. Frustrated magnetism is the result of competition between interactions and geometry of a lattice and constitutes a very active field of research [4–6].
Quantum simulators are easily controllable quantum sys-tems that can be employed to mimic others [7]. If considered systems are similar enough, one may be able to map one system’s Hamiltonian onto the Hamiltonian of the simulator. Consequently, a time evolution of the quantum simulator imitates a simulated one. Quantum simulators are extremely useful when issues in consideration are substantially too troublesome for computers or their direct observation is laborious or hardly possible.
An exquisite example of a quantum simulator is a system of ultracold bosonic gas in an optical lattice [8–11]. Among other reasons, that is because of the great flexibility of optical lattices, as their geometry can be changed easily, and the possibility to manipulate atomic interactions by changing the depth of a lattice or via Feshbach resonances [12,13]. An optical lattice has the structure of an ideal crystal, being devoid of defects present in material crystals, and therefore is a natural simulator of many solid-state-physics problems, such as miscellaneous spin models.
In our work, we simulate the classical XY model with nearest-neighbor interactions characterized by Jij couplings,
H = −
ij
Jij Sri· Srj, (1)
where
Sri= (cos θri,sin θri) (2) is a two-component classical vector representing the direction of a spin on the ith lattice site. Simulations of such a model in ultracold atomic gases are possible due to the identification of the directional angle θri with a local phase of bosonic condensate wave function θri= k · riof atoms in an optical
lattice of the same geometry as the spin lattice. The vector k is a quasimomentum vector of a single atom, and the couplings Jijare related to elements of the tunneling amplitude matrix. By doing so, the energy per a single spin can be associated with the dispersion relation of an atom of an ideal noninteracting gas. A key to simulations is the possibility of manipulating Jijvalues. One may conclude that it is impossible to simulate antiferromagnetism since tunneling amplitudes Jij naturally have to be non-negative. However, it turns out that they can be effectively made negative or even complex [1,2,14–18].
A model that we are interested in is the classical XY model on a three-dimensional (3D) triangular lattice corresponding to the trigonal structure [19] with basis vectors forming equal angles of π/3 and anisotropic tunneling amplitudes. The primitive vectors of the considered Bravais lattice read
a1= a ex, a2= a 2(ex+√3 ey), (3) a3= a 2√ 3( √ 3 ex+ ey+ 2√2 ez),
where a is the lattice constant. Vectors a1,a2,a3form a regular tetrahedron; see Fig.1.
In the present paper we mainly focus on real tunneling amplitudes which have three different values depending on the tunneling direction, as depicted in Fig.1. Following the preceding identification, the energy per spin depends only on one vector k and takes the form
E(k)= −2(J1cos(k· a1)+ J2{cos(k · a2) + cos[k · (a2− a1)]} + J3{cos(k · a3)
+ cos[k · (a3− a1)]+ cos[k · (a3− a2)]}). (4) This paper is organized as follows. In Sec.IIwe present the background on how to make simulations of classical frustrated magnetism possible. First, we propose a way of constructing a 3D triangular lattice. Then, to manipulate Jij
we revise a procedure proposed in Refs. [1,14] and apply it to our model. In Sec.III we describe the results of our simulations, i.e., a phase diagram and phase transitions. In Sec.IVwe analyze the stability of stationary states within the Bogoliubov formalism. SectionVis devoted to a discussion of 023602-1
1050-2947/2013/87(2)/023602(8) ©2013 American Physical Society
ARKADIUSZ KOSIOR AND KRZYSZTOF SACHA PHYSICAL REVIEW A 87, 023602 (2013)
FIG. 1. (Color online) Triangular optical lattice corresponding to the trigonal Bravais lattice with anisotropic tunneling amplitudes. Lattice vectors aiform a regular tetrahedron. Amplitudes Jirelated to tunneling along different directions are indicated; i.e., J1corresponds to the tunneling along short-dashed red lines, J2along solid blue lines, and J3along long-dashed green lines.
the relation between complex tunneling amplitudes in effective Bose-Hubbard models and the presence or absence of the generalized time-reversal symmetry of systems. Especially, we show that complex amplitudes can be realized by the shaking of an optical lattice that does not break the generalized time-reversal symmetry. Finally, in Sec.VIwe conclude.
II. CONSTRUCTION OF A 3D TRIANGULAR LATTICE MODEL
A. Experimental setup
Optical lattices used to be formed by a system of unipo-larized counterpropagating laser beams that form a standing wave. As practical as this is for quasicubical lattices, it is hardly useful when dealing with triangular ones. The interfering running waves can be shifted to coincide at any angle. In the case of a 2D triangular lattice three coplanar red-detuned and unipolarized beams should be pointed inwards, forming an angle of 2π/3 with each other. Such a construction was successfully realized experimentally in Refs. [2,20]. This method could be further generalized into three dimensions using four beams; however, there emerges the problem of finding their proper polarizations. Under these circumstances, in order to construct a 3D triangular lattice, we propose to combine both methods. Namely, we first construct a 2D lattice, which is, in fact, a lattice of one-dimensional (1D) tubes [2,20]. Then, we add an extra oblique pair of counterpropagating