UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI W KRAKOWIE
Manipulacja ultrazimną materią kwantową:
od układów z polem cechowania po lokalizację fal materii
Arkadiusz Kosior
Praca doktorska napisana pod opieką prof. dra hab. Krzysztofa Sachy
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego
„Być wolnym – to móc nie kłamać.”
Albert Camus
„Jeśli naprawdę chcesz do czegoś dojść w życiu, musisz na to zapracować. A teraz cisza! Będą podawać wyniki totolotka...”
UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI W KRAKOWIE
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego
Oświadczenie
Ja, niżej podpisany: Arkadiusz Kosior (nr indeksu: 1034594), doktorant Wydziału Fi-zyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego, oświadczam, że przedłożona przeze mnie rozprawa doktorska pt. „Manipulacja ultrazimną materią kwantową: od układów z polem cechowania po lokalizację fal materii“ jest oryginalna i przedstawia wyniki badań wykonanych przeze mnie osobiście, pod kierunkiem prof. dra hab. Krzysztofa Sachy. Pracę napisałem samodzielnie.
Oświadczam, że moja rozprawa doktorska została opracowana zgodnie z Ustawa o pra-wie autorskim i prawach pokrewnych z dnia 4 lutego 1994 r. (Dziennik Ustaw 1994 nr 24 poz. 83 wraz z późniejszymi zmianami).
Jestem świadom, że niezgodność niniejszego oświadczenia z prawdą ujawnioną w do-wolnym czasie, niezależnie od skutków prawnych wynikających z ww. ustawy, może spo-wodować unieważnienie stopnia nabytego na podstawie tej rozprawy.
Podpis doktoranta:
Podziękowania
Największe podziękowania pragnę złożyć profesorowi Krzysztofowi Sacha, bez którego ta praca by nie powstała. Przez pięć lat współpracy wskazywał mi właściwą, życiową i naukową drogę, okazując przy tym niezwykłą życzliwość i cierpliwość.
Dziękuję kierownikowi Zakładu Optyki Atomowej, profesorowi Jakubowi Zakrzew-skiemu, oraz wszystkim pracownikom zakładu za zapewnienie dobrych warunków i at-mosfery pracy. W szczególności pragnę podziękować doktorowi Romanowi Marcinkowi i pani Danusi Myrek za okazanie pomocy, kiedy tylko jej potrzebowałem.
Chciałbym również podziękować byłym i obecnym koleżankom i kolegom doktorantom za lata wspólnej pracy w życzliwej i pełnej humoru atmosferze: Kasi Targońskiej, Mar-cinowi Płodzieniowi, Mateuszowi Łąckiemu, Markowi Smaczyńskiemu, Małgosi Mochol-Grzelak, Jankowi Majorowi, Romkowi Panasiowi, Krzyśkowi Biedroniowi, Andrzejowi Syrwidowi oraz Oli i Piotrkowi Sierantom. Dziękuję również Tomkowi Pięcie i Kamilowi Ziemianowi, którzy byli częstymi gośćmi w naszym zakładzie, za długie i stymulujące dyskusje. Also, to Omjyoti Dutta for giving me useful pieces of advice.
Dziękuję również wszystkim pracownikom administracyjnym wydziału i instytutu, w tym paniom: Alicji Mysłek i Małgorzacie Nałódce za pomoc w pokonywaniu barier biurokratycznych.
Dziękuję mojej rodzinie, w szczególności moim rodzicom, dziadkom i rodzeństwu za nie-ocenioną pomoc na każdym etapie życia.
Na końcu dziękuję mojej żonie Lucynie za cierpliwość, wyrozumiałość, wsparcie, za-angażowanie oraz mnóstwo radości, dobroci i miłości.
Streszczenie w języku polskim
Niniejsza rozprawa poświęcona jest badaniom nad ultrazimną materią kwantową, a w szczególności wykorzystaniem jej do symulacji kwantowych innych, bardziej nie-dostępnych układów i zjawisk. Każdy z rozdziałów stanowi podsumowanie wyników za-wartych w publikacjach autora będących zasadniczą częścią rozprawy.
Rozdział 1 zawiera krótkie wprowadzenie do idei symulacji i symulatorów kwanto-wych. Ponadto, w rozdziale zaprezentowano formalizm teorii Floquet, której podstawy umożliwiają wprowadzenie efektywnego opisu czasowo periodycznych układów.
Rozdział2poświęcony jest symulacji sfrustrowanych klasycznych modeli spinowych za pomocą ultrazimnych bozonów tworzących kondensat Bosego-Einsteina. W szczególno-ści, w rozdziale dyskutowana jest stabilność rozwiązań stacjonarnych oraz konsekwencja złamania symetrii odbicia w czasie podczas potrząsania siecią optyczną.
Rozdział3opisuje możliwość symulacji układów w obecności nieabelowych, sieciowych pól cechowania za pomocą jednoskładnikowego gazu atomowego. Co więcej, dyskutowane są konsekwencje wprowadzenia parametru masy w kontekście topologicznego przewod-nictwa brzegowego.
Rozdział4poświęcony jest metodzie rekonstrukcji zespolonej fazy funkcji falowej kon-densatu Bosego-Einsteina. W szczególności, metoda jest testowana w kontekście odzy-skiwania domen przestrzennych zdegenerowanego poziomu podstawowego.
Rozdział 5 poświęcony jest symulacji efektu lokalizacji Andersona w jednowymiaro-wym modelu sieciojednowymiaro-wym ze skorelowanym binarnym nieporządkiem, przy użyciu dwóch frakcji ultrazimnych atomów. Poza tym, w rozdziale rozważany jest wpływ występowania dalszych tunelowań w układzie.
Rozdział6 zawiera podsumowanie wyników przedstawionych w rozprawie.
Streszczenie w języku angielskim
Thesis Abstract
This thesis is devoted to the study of ultracold quantum matter and its applications in quantum simulations of other, more elusive systems and phenomena. Each chapter describes published results which were obtained by the author.
Chapter 1 describes an idea of quantum simulations and quantum simulators. More-over, it contains a basic introduction to the formalism of Floquet theory, which enables to introduce an effective description of time periodic systems.
Chapter2 is devoted to simulations of frustrated classical spin models with ultracold bosons in a Bose-Einstein condensate state. In particular, the chapter discusses the stabi-lity problem of stationary solutions and consequences of the breakdown of time reversal symmetry while periodically shaking an optical lattice.
Chapter3describes a possibility of simulating non-Abelian lattice gauge theories with a single-component atomic gas. What is more, the chapter discusses the consequences of a massive theory in a context of topological edge conductivity.
Chapter 4 is devoted to a method of reconstruction of the complex phase of Bose-Einstein condensate wavefunction. In particular, the method is tested in order to retrieve spatial domains of a degenerate groundstate level.
Chapter 5 is devoted to simulations of the effect of Anderson localization in a one dimensional lattice with correlated binary disorder with two fractions of ultracold atoms. Moreover, the chapter discusses the impact of next-to-nearest neighbor tunnelings on the transmission resonances.
Chapter6 concludes the main results presented in this thesis.
Lista publikacji
Publikacje, które stanowią podstawę niniejszej pracy doktorskiej:
• A. Kosior, K. Sacha. Simulation of frustrated classical XY models with ultra-cold atoms in three-dimensional triangular optical lattices. Physical Review A 87, 023602 (2013).
Wszystkie wyniki zostały otrzymane przez doktoranta.
• A. Kosior, K. Sacha. Simulation of non-Abelian lattice gauge theories with a single-component gas. EPL (Europhysics Letters) 107, 26006 (2014).
A. Kosior, K. Sacha. Erratum: Simulation of non-Abelian lattice gauge theories with a single-component gas. EPL (Europhysics Letters) 112, 39901 (2015).
Wszystkie wyniki zostały otrzymane przez doktoranta.
• A. Kosior, K. Sacha. Condensate Phase Microscopy. Physical Review Letters 112, 045302 (2014).
Wszystkie wyniki zostały otrzymane przez doktoranta.
• A. Kosior, J. Major, M. Płodzień, J. Zakrzewski. Controlling disorder with period-cially modulated interactions. Physical Review A 92, 023606 (2015).
Wszystkie wyniki modelu z uwzględnieniem tunelowań do drugich sąsiadów w ukła-dzie zostały otrzymane przez doktoranta, tj. rozdział IV publikacji, włącznie z do-datkiem B.
Inne publikacje:
• A. Kosior, J. Major, M. Płodzień, J. Zakrzewski. Role of correlations and off-diagonal terms in binary disordered one dimensional systems. Acta Physica Polo-nica A 128 (2015).
Spis treści
Oświadczenie o autorstwie ii
Podziękowania iii
Streszczenie w języku polskim iv
Streszczenie w języku angielskim v
Lista publikacji vi
1. Wstęp 1
1.1. Symulatory kwantowe . . . 1
1.2. Potrząsane sieci optyczne . . . 1
2. Symulacje klasycznego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej 5 2.1. Wprowadzenie . . . 5
2.1.1. Klasyczny model XY . . . 5
2.1.2. Symulacja modelu w sieciach optycznych . . . 6
2.2. Stabilność rozwiązań stacjonarnych . . . 9
2.3. Łamanie symetrii odbicia w czasie. . . 11
2.4. Wnioski . . . 13
3. Symulacja nieabelowych pól cechowania jednoskładnikowym gazem 15 3.1. Wprowadzenie . . . 15
3.1.1. Model z lokalną symetrią U (1). . . 16
3.1.2. Model z lokalną symetrią U (N ) . . . 16
3.1.3. Liczby Cherna. . . 17
3.2. Imitacja wielokomponentowych cząstek przez sieć optyczną . . . 19
3.3. Widmo energetyczne . . . 20
3.4. Wnioski . . . 22
4. Mikroskopia fazy kondensatu 23 4.1. Wprowadzenie . . . 23
4.1.1. Motywacja . . . 23
4.1.2. Detekcja metodą po czasie przelotu . . . 24
4.1.3. Podwójnie zdegenerowany stan podstawowy . . . 25
4.2. Rekonstrukcja zespolonej funkcji falowej kondensatu . . . 25
4.3. Odzyskiwanie domen przestrzennych . . . 27
4.4. Wnioski . . . 30
SPIS TREŚCI viii
5. Rola i efekty korelacji na lokalizację Andersona 31
5.1. Wprowadzenie . . . 31
5.1.1. Lokalizacja Andersona . . . 31
5.1.2. Diagonalny nieporządek binarny. . . 32
5.1.3. Nieporządek pozadiagonalny . . . 32
5.2. Energie rezonansowe dla N -merów . . . 33
5.3. Uwzględnienie dalszych tunelowań . . . 35
5.4. Wnioski . . . 36
6. Podsumowanie 38
Bibliografia 39
Oświadczenia o współautorstwie 46
Mojej małej Zosi. . .
Rozdział 1
Wstęp
1.1.
Symulatory kwantowe
Symulatory kwantowe to szczególne układy kwantowe, które same będąc łatwo kontro-lowalne, mogą zostać wykorzystane do naśladowania zachowania innych układów [1–3]. Symulatory kwantowe mają ogromne zastosowanie, kiedy symulowany układ jest nie-dostępny eksperymentalnie i/lub zbyt trudny do analizy numerycznej. Innymi słowy, symulatory kwantowe to komputery kwantowe specjalnego przeznaczenia. Znakomitym przykładem symulatora kwantowego jest gaz ultrazimnych atomów spułapkowany w sieci optycznej [4]. Sieci optyczne jako praktycznie idealne potencjały periodyczne, których głębokość, geometrię i inne parametry można bardzo łatwo zmieniać, w sposób natu-ralny znajdują zastosowanie do symulacji najróżniejszych układów sieciowych [5–10]. Co więcej, wykorzystując rezonans Feshbacha [11,12], można praktycznie dowolnie ma-nipulować siłą oddziaływań międzyatomowych, a w szczególności całkowicie je wygasić. Te fenomenalne własności pozwalają na obserwację samej esencji badanego zjawiska po-przez wykluczenie niepożądanych efektów. Na przykład, po-przez wyłączenie oddziaływań międzyatomowych oraz dzięki nieobecności drgań fononowych, doświadczalnie zaobser-wowano lokalizację Andersona fal materii [13–15].
1.2.
Potrząsane sieci optyczne
W tej części chciałbym przybliżyć czytelnikowi podwaliny formalizmu teorii Floquet [16, 17], której konsekwencje znajdują olbrzymie zastosowanie w eksperymencie [18– 20]. Formalizm ten pozwala na efektywną zmianę parametrów modelu [21–24] poprzez wprowadzenie szybkiego, periodycznego w czasie zaburzenia układu. Z wyników tej sekcji będę korzystał w rozdziałach2,3 i5.
Rozdział 1 Wstęp 2
Gaz ultrazimnych atomów w sieci optycznej, w przybliżeniu ciasnego wiązania, jest opisywany przez standardowy hamiltonian [7]
H = −X hi,ji Jijˆa†iˆaj + U 2 X i ˆ ni(ˆni− 1), (1.1)
który odzwierciedla tunelowanie atomów pomiędzy sąsiednimi oczkami z amplitudą Jij i kontaktowe oddziaływanie U . Hamiltonian (1.1) może opisywać zarówno fermiony (mo-del Hubbarda) jak i bozony (mo(mo-del Bosego-Hubbarda). Fundamentalna różnica pomię-dzy nimi, kryje się w relacjach (anty)komutacyjnych operatorów kreacji ˆa†i i anihilacji ˆai, oraz dopuszczalnym obsadzeniu oczek sieci przez atomy ˆni (zakaz Fermiego dla fermio-nów).
Załóżmy, że sieć optyczna, w której znajdują się atomy periodycznie oscyluje wzglę-dem układu laboratoryjnego po dowolnie zadanej trajektorii R(t) z okresem T . Jako, że atomy nie znajdują się w inercjalnym układzie odniesienia, w hamiltonianie (1.1) musimy uwzględnić dodatkowy wyraz związany z siłą bezwładności, otrzymując:
H(t) = −X hi,ji Jijˆa†iˆaj+ U 2 X i ˆ ni(ˆni− 1) − X i ˆ ni ri· F(t), (1.2)
gdzie F(t) = −M ¨R(t), a M jest masa atomową. Ponieważ H(t) jest periodycznie zależny
od czasu, możemy zastosować formalizm teorii Floquet [16, 17]. Rozwiązania pełnego, zależnego od czasu równania Schrödingera:
i~∂t|ψ(t)i = H(t)|ψ(t)i, (1.3) można przedstawić w formie superpozycji stanów Floquet:
|ψn(t)i = e−iεn/~ t|un(t)i, (1.4)
gdzie |un(t)i jest funkcją T -periodyczną, a εn jest liczbą rzeczywistą, którą nazywamy kwazienergią w analogii do twierdzenia Blocha dla układów przestrzennie periodycznych. Podstawiając (1.4) do równania Schrödingera (1.3) otrzymujemy równanie
H(t)|un(t)i = εn|un(t)i, (1.5)
gdzie H(t) = H(t) − i~∂t. Równanie (1.5) ma formę zagadnienia własnego, jednakże aby taki sens mu nadać, musimy rozszerzyć przestrzeń Hilberta o przestrzeń funkcji T -periodycznych. Kolejnie zauważmy, że jeżeli |un(t)i jest stanem własnym do wartości własnej εn, to wektor |u0n(t)i = eimωt|un(t)i, gdzie ω = 2π/T , a m jest liczbą całkowitą, jest stanem własnym hamiltonianu Floquet H(t) do wartości własnej ε0n = εn+ m~ω.
Rozdział 1 Wstęp 3
Tym samym, wektory |u0n(t)i i |un(t)i są wektorami ortogonalnymi w rozszerzonej prze-strzeni Hilberta.
Jednakże, jak łatwo się przekonać, wektory |u0n(t)i i |un(t)i odpowiadają temu samemu stanowi Floquet:
|ψ0n(t)i = e−iε0n/~ t|u0
n(t)i = e−i(εn+m~ω)/~ teimωt|un(t)i = |ψn(t)i, (1.6)
co oznacza, że |ψn(t)i nie zależy od wyboru m. Dodanie~ω do εnodpowiada przejściu do sąsiedniej strefy Floquet dla kwazienergii (w analogii do stref Brillouina). Z tego powodu, opis układu można zredukować do pojedynczej strefy Floquet.
W ogólności, wyznaczenie stref Floquet nie jest zadaniem łatwym. Wybierzmy bazę rozszerzonej przestrzeni Hilberta jako |wnmi = |wnieiωmt, gdzie |wni to funkcje Wanniera zlokalizowane w n-tym oczku sieci. Macierz hamiltonianu Floquet:
[H]n0,m0;n,m= hhwm 0 n0|H(t)|wmnii, (1.7) gdzie hhwm0 n0 |H(t)|wmnii = 1 T Z T 0 dt eiω(m−m0)thwn0|H(t)|wni, (1.8)
składa się ze sprzężonych ze sobą bloków numerowanych indeksem m, które mieszają wektory należące do różnych stref Floquet. W celu zminimalizowania sprzężeń między blokami hamiltonianu Floquet stosujemy rachunek zaburzeń. W pierwszym przybliże-niu, jeżeli sprzężenia między różnymi blokami są zaniedbywalne, całą dynamikę układu będzie można opisać ograniczając się do pojedynczego bloku. Zastosujmy w tym celu transformację unitarną U (t): H0(t) = U (t)H(t)U (t)†, (1.9) gdzie U (t) = exp −i ~ X i ˆ niWi(t) ! , Wi(t) = −ri· Z t 0 dt0F(t0). (1.10) W rezultacie otrzymujemy H0(t) = −X hi,ji Jij(t)ˆa†iˆaj+ U 2 X i ˆ ni(ˆni− 1), (1.11) gdzie Jij0 (t) = Jijexp i ~Wij(t) , Wij(t) = Wi(t) − Wj(t). (1.12)
Po transformacji unitarnej (1.10), jedyna zależność czasowa hamiltonianu H0(t) znajduje się w eksponentach funkcji Jij0 (t). Ponieważ drugi wyraz w (1.11) nie zależy jawnie od
Rozdział 1 Wstęp 4
czasu, a stany |wnmi dla różnych m są ortogonalne, można się przekonać, że:
Vm,m0 = hhwm 0 n0 |H0(t)|wmnii = − X hi,ji J0(m−m 0) ij hwn0|ˆa†iaˆj|wni, przy m 6= m0, (1.13) gdzie Jij0(m−m0)= 1 T Z T 0 dt eiω(m−m0)tJij0 (t). (1.14)
Wyrażenie (1.14) zawiera szybko oscylujące fazy, dlatego sprzężenia Vm,m0 można zanie-dbać, o ile ω 1. Tym samym, układ można opisać ograniczając się do pojedynczego bloku (np. m = 0): Heff ≡ H0 n0,0;n,0= − X hi,ji Jijeff aˆ†iaˆj+ U 2 X i ˆ ni(ˆni− 1), (1.15) w którym Jijeff = 1 T Z T 0 dt Jij0 (t). (1.16)
W rezultacie otrzymaliśmy efektywny hamiltonian Heff ze zrenormalizowanymi ampli-tudami tunelowania Jijeff, który opisuje zachowanie układu dla długich czasów, znacznie większych od okresu potrząsania T . Wartościami Jijeff możemy manipulować w doświad-czeniu, poprzez zmianę parametrów potrząsania siecią optyczną. W szczególności, mo-żemy zmienić ich znak lub wprowadzić zespoloną fazę [19,24]. Przedstawioną procedurę można również uogólnić na inne typy periodycznego zaburzenia układu [25–27].
Rozdział 2
Symulacje klasycznego modelu XY na
trójwymiarowej sieci trójkątnej
Przedmowa
Niniejszy rozdział poświęcony jest propozycji symulacji klasycznego anizotropowego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej przy użyciu ultrazimnych gazów atomo-wych. Idea, szczegółowy opis eksperymentalnej konstrukcji oraz wyniki symulacji sta-nowiły zasadniczą część pracy magisterskiej doktoranta i zostaną streszczone w podroz-dziale 2.1. W kolejnych częściach zostaną omówione: zagadnienie stabilności rozwiązań stacjonarnych powyższego modelu (podrozdział 2.2) oraz konsekwencje złamania syme-trii odbicia w czasie podczas potrząsania siecią optyczną (podrozdział2.3).
2.1.
Wprowadzenie
2.1.1. Klasyczny model XY
Klasyczny model XY, który jest uproszczoną wersją modelu Heisenbera [28], opisuje oddziaływanie dwuwymiarowych, klasycznych spinów:
~
Sri = (cos θri, sin θri) , (2.1)
sztywno przyczepionych do sieci o dowolnie zadanej geometrii. Hamiltonian całego układu spinów: H = −X hiji Jij S~ri· ~Srj = −2 X hiji Jijcos θri− θrj , (2.2)
jest sumą przyczynków od każdej oddziałującej dwójki najbliższych sąsiadów (ze stałą sprzężenia Jij). Łatwo zauważyć, że jeżeli stała sprzężenia sąsiednich spinów jest ujemna, to preferencyjnym ustawieniem pary jest ustawienie antyferromagnetyczne (tj. antyrów-noległe). Ustawienie antyrównoległe każdej pary jest niemożliwe na sieciach trójkątnych,
Rozdział 2 Symulacje klasycznego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej 6
Rysunek 2.1: Struktura rozważanej sieci odpowiadająca trygonalnej sieci Bravais’ego z anizotropowymi sprzężeniami: J1 (kolor czerwony), J2 (kolor niebieski) oraz J3 (ko-lor zielony). Wektory bazowe sieci prostej a1, a2, a3 wyznaczają czworościan foremny.
gdzie występuje geometryczna frustracja, co oznacza, że geometria sieci nie pozwala na optymalne ustawienie każdej oddziałującej pary [29]. Magnetyczna frustracja spinowa jest bardzo aktualnym i aktywnym kierunkiem badań [30–32].
W naszej pracy [33] skupiliśmy się na symulacji klasycznego anizotropowego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej odpowiadającej strukturze trygonalnej [34], której wektory bazowe sieci prostej a1, a2, a3 tworzą czworościan foremny:
a1= a ex, a2 = a 2 ex+ √ 3 ey , a3= a 2√3 √ 3 ex+ ey+ 2 √ 2 ez , (2.3)
gdzie a jest stałą sieci, a ex, ey, ez to wersory w kartezjańskim układzie współrzęd-nych. W rozważanym modelu struktura połączeń jest anizotropowa, tj. występują w nim trzy niezależne stałe sprzężenia J1, J2, J3 zależne od kierunku sieci. Geometria sieci oraz struktura połączeń zostały zaprezentowane na rysunku 2.1. Model ten jest rozsze-rzeniem dwuwymiarowego modelu, który doczekał się eksperymentalnej realizacji [18].
2.1.2. Symulacja modelu w sieciach optycznych
Symulacja modelu (2.2) w ultrazimnych gazach bazuje na: (i) utożsamieniu kąta kie-runkowego θri klasycznego wektora spinu (2.1) z lokalną fazą funkcji falowej kondensatu
Rozdział 2 Symulacje klasycznego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej 7
Rysunek 2.2: Panel (a): przekrój przez diagram fazowy dla J3= 0.4J . Rozróżniamy na nim fazę ferromagnetyczną (F), romboidalną (R), przejściową (I) oraz trzy fazy spiralne: S1α, S1β i S2. Panel (b): konfiguracja spinowa w fazie S2 (dla parametrów:
J1= −0.3J , J2= 0.2J i J3= 0.3J ). Kolor niebieski i czerwony rozróżnia spiny należące do sąsiednich płaszczyzn a1a2. Panel (c): rzut (wzdłuż osi z) rozkładu pędów atomów odpowiadający fazie przejściowej (I). Dwa rodzaje symboli odpowiadają dwóm zdege-nerowanym stanom (dla J1= 0.2J , J2 = −0.11J oraz J3 = 0.3J ). Analiza rozkładów pędowych jest podstawą eksperymentalnej identyfikacji stanów.
Bosego-Einsteina θri ≡ k · ri w sieci optycznej
1, gdzie k jest wektorem kwazipędu, oraz
(ii) identyfikacji stałych sprzężenia Jij z amplitudami tunelowania atomów w sieci. Za-uważmy, że (i) jest możliwa ze względu na translacyjną niezmienniczość sieci spinowej. Różnica faz θri−θrj może zależeć jedynie od względnego położenia pary spinów, a w rezul-tacie θri musi być liniową funkcją położenia. Konsekwentnie, hamiltonian układu (2.2):
H = −2X hiji Jijcos θri− θrj = −2X hiji Jijcos k · (ri− rj) (2.4)
odpowiada relacji dyspersji E(k) atomów idealnego nieoddziałującego gazu w sieci optycz-nej.
W szczególności, w przypadku anizotropowego trójwymiarowego modelu na sieci trój-kątnej, wprowadzonego w poprzednim paragrafie (zobacz rysunek 2.1), relacja dyspersji
E(k) pojedynczej cząstki wyraża się wzorem:
E(k) = −2J1cos (k · a1) − 2J2cos (k · a2) − 2J2cos (k · a12)
− 2J3cos (k · a3) − 2J3cos (k · a13) − 2J3cos (k · a23) ,
(2.5)
gdzie aij ≡ ai− aj.
1
Rozdział 2 Symulacje klasycznego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej 8
Symulacja układu spinowego przez kondensat w sieci optycznej wiąże się z olbrzymim zyskiem w eksperymentalnej kontroli nad układem - uzyskujemy możliwość doświad-czalnej detekcji stanu i manipulacji parametrami modelu [18]. W szczególności, wyko-rzystując techniki potrząsania siecią optyczną, możliwa jest niezależna zmiana wartości i znaków amplitud tunelowania Ji. Możliwym jest również uczynić tunelowania Ji zespo-lonymi [19,20,24].
Minimalizując relację dyspersji (2.5) otrzymujemy wektor kwazipędu odpowiadający stanowi podstawowemu kondensatu atomów w sieci optycznej, który z kolei odpowiada najbardziej preferowanej konfiguracji spinowej2. W zależności od parametrów układu, energię będą minimalizowały różne konfiguracje3: ferromagnetyczna (F), romboidalna (R), faza przejściowa4 (I) oraz trzy fazy spiralne (S1α, S1β i S2). Przekrój przez pełny dia-gram fazowy, przykładowa konfiguracja spinowa i sygnatura eksperymentalna została przedstawiona na rysunku2.2. Pełną analizę diagramu fazowego przedstawiłem w [35].
W tym miejscy warto podkreślić, że wszystkie trzy amplitudy tunelowania obecne w re-lacji dyspersji (2.5) jesteśmy w stanie niezależnie kontrolować w eksperymencie, a tym samym możemy doświadczalnie odtworzyć diagram fazowy z rysunku 2.2(a). Doświad-czalna manipulacja amplitudami J1, J2, J3 jest możliwa dzięki wykorzystaniu technik potrząsania siecią optyczną (zobacz rozdział1). W tym celu zakładamy, że sieć optyczna porusza się względem układu laboratoryjnego po zadanej trajektorii R(t). W przypadku nieoddziałującego modelu, gaz bozonowy na sieci możemy opisać przez hamiltonian
H(t) = −X hi,ji Jijˆa†iˆaj − X i ˆ ni ri· F(t), (2.6)
gdzie operatory ˆa†i, ˆai odpowiadają kreacji i anihilacji cząstki, a F(t) jest siłą bezwładno-ści F(t) = −M ¨R(t), gdzie M to masa atomowa. Aby odtworzyć model (2.5) wybieramy trajektorię R(t), aby
¨
R(t) = − 1
M [Fxexsin(ωt) + (Fyey+ Fzez) cos(ωt)] , (2.7)
2Eksperymentalną identyfikację stanów dokonuje się poprzez analizę rozkładu pędów atomów w
kon-densacie.
3Zauważmy, że ze względu na symetrię odbiciową R : k → −k relacji dyspersji (2.5) stan podstawowy
jest podwójnie zdegenerowany. Wyjątek stanowią stany odpowiadające konfiguracjom R i F, dla których transformacja R sprowadza się do translacji o wektor bazowy sieci odwrotnej.
4
Rozdział 2 Symulacje klasycznego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej 9
gdzie ω i Fx, Fy, Fz to częstość i amplitudy trajektorii potrząsania5. W rezultacie, po procedurze uśredniania, otrzymujemy:
J1 = J J0 F xa ~ω , J2 = J J0 a 2~ω q F2 x + 3Fy2 , J3 = J J0 a 4√3~ω Fx2+ Fy2 Fy ! , (2.8)
gdzie J jest amplitudą tunelowania pomiędzy sąsiednimi oczkami w niepotrząsanej sieci,
a jest stałą sieci, a J0 to funkcja Bessela zerowego rzędu. Poprzez zmianę parametrów potrząsania Fx, Fy i a/ω jesteśmy w stanie manipulować każdą amplitudą w zakresie od (około) −0.4J do J 6. Tym samym, poprzez periodyczne potrząsanie trójwymiarową siecią optyczną, otrzymaliśmy efektywny, uśredniony model z trzema rzeczywistymi am-plitudami tunelowania [33, 35]. Niemniej, jak pokażemy w podrozdziale 2.3, efektywne amplitudy mogą być także zespolone.
2.2.
Stabilność rozwiązań stacjonarnych
We wcześniejszej analizie założyliśmy, że nieoddziałujące ze sobą atomy tworzą idealny produktowy stan kondensatu Bosego-Einsteina. W rezultacie, cały opis gazu atomowego sprowadza się do relacji dyspersji dla pojedynczej cząstki (2.5). W obecności odpycha-jących oddziaływań międzyatomowych U , stan produktowy możemy otrzymać w sposób przybliżony rozwiązując równanie Grossa-Pitajewskiego, które sprowadza nas do opisu średniopolowego [36–38]. W szczególności, dla jednorodnego układu (tj. kiedy obsadzenie oczek sieci przez atomy ni jest stałe ni = n = const.) równanie Grossa-Pitajewskiego w przybliżeniu ciasnego wiązania sprowadza się jedynie do przesunięcia relacji dyspersji.
Wzbudzone rozwiązania średniopolowe mogą okazać się niestabilne dynamicznie. Fakt ten może mieć ważne konsekwencje w eksperymencie. Zazwyczaj, kondensat w sieci optycznej przygotowywany jest w stanie podstawowym będącym falą Blocha o zerowym kwazipędzie k07. Jednakże, poprzez zmianę amplitud tunelowania, możemy zmienić re-lację dyspersji i stan o k0 = 0 przestanie być stanem podstawowym. Najczęściej stan
5
Dodatkowo zakładamy, że Fz spełnia warunek: Fz= F2
y−Fx2
4√2Fy . W przeciwnym wypadku dostalibyśmy ogólniejszy model, w którym niezależnych stałych sprzężenia jest więcej niż trzy.
6Zakres ten jest związany z zakresem wartości funkcji J
0, która osiąga minimum bliskie −0.4. 7
Rozdział 2 Symulacje klasycznego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej 10
Rysunek 2.3: Wykładniki Lyapunov’a, czyli część urojona λk, w funkcji kx, ky dla
k0= 0 oraz J1= −0.2J , J2= −0.1J i J3= 0.2J (tj. w reżimie stabilności fazy spiralnej S1α). Składowa k
zzostała wybrana tak, aby zmaksymalizować wykładnik Lyapunov’a.
Wykresy zostały przygotowane dla różnych, skrajnych wartości nU : nU = 50J (lewy panel) oraz nU = 0.2J (prawy panel).
o k0 = 0 staje się niestabilny dynamicznie, a układ przechodzi do nowego stanu pod-stawowego. Niemniej, taka sytuacja nie musi mieć miejsca i układ może nie podążać w stronę nowego stanu podstawowego.
W celu zbadania stabilności rozwiązań równania Grossa-Pitajewskiego (gazu ultrazim-nych bozonów w trójwymiarowej trójkątnej sieci optycznej z poprzedniej sekcji) przepro-wadziliśmy standardową procedurę linearyzacji, otrzymując równania Bogoliubov’a-de Gennes [36,37]. Diagonalizacja prowadzi do wartości własnych:
λ±k = 1 2 ∆Ek− ∆ ˜Ek± δλk , (2.9) gdzie δλk= q
(∆Ek+ ∆ ˜Ek)(4nU + ∆Ek+ ∆ ˜Ek),
∆Ek= E(k0+ k) − E(k0), ∆ ˜Ek= E(k0− k) − E(k0), (2.10)
a E(k) jest relacją dyspersji (2.5). W szczególności, dla k0 = 0 wartości własne (2.9) przyjmują dużo prostszą postać:
λ±k = ±λk= ± q
∆Ek(2nU + ∆Ek), (2.11)
Jeśli dla pewnego wektora k wartość λk jest zespolona, to stan o zerowym kwazipędzie
k0 jest niestabilny dynamicznie. W sytuacji dynamicznej niestabilności, stan podąża w kierunku dominującego modu, określonego największą wartością części urojonej λk,
Rozdział 2 Symulacje klasycznego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej 11
istnieje, o ile stan z k0 = 0 nie jest stanem podstawowym, ponieważ nU > 0. Na ry-sunku2.3przedstawiono dwa wykresy części urojonej λk, dla dwóch wartości nU . Jeżeli
nU jest znacznie większe od ∆Ek, to wartość własna λk ∝
√
∆Ek, a więc dominujący
wykładnik odpowiada rozpadowi w kierunku stanu podstawowego. Przeciwnie, jeśli nU jest podobnego rzędu co ∆Ek, to dominujące mody wyznacza warunek:
∆Ek+ nU = 0. (2.12)
Sytuacja jest znacznie ciekawsza, ponieważ w ogólności może istnieć cała rodzina najbar-dziej dominujących modów. W szczególności, takie zachowanie obserwujemy dla parame-tru nU = 0.2J (prawy panel na rysunku 2.3). Ponadto, w tej sytuacji nie obserwujemy rozpadu w kierunku nowego stanu podstawowego.
2.3.
Łamanie symetrii odbicia w czasie
Przypomnijmy, że w podrozdziale2.1wprowadziliśmy periodyczną trajektorię potrzą-sania siecią optyczna R(t) o przyśpieszeniu
¨
R(t) = − 1
M [Fxexsin(ωt) + (Fyey+ Fzez) cos(ωt)] , (2.13)
gdzie ω i Fx, Fy, Fz to częstość i amplitudy trajektorii potrząsania, która wymusza wprowadzenie czasowo periodycznego hamiltonianu H(t):
H(t) = −X hi,ji Jijˆa†iˆaj− X i ˆ niri· F(t), F(t) = −M ¨R(t). (2.14)
W tym podrozdziale, zajmiemy się zagadnieniem istnienia symetrii odbicia w czasie ˆT : t → −t w hamiltonianie H(t), oraz rozważymy konsekwencje wiążące się z jej złamaniem.
Zauważmy, że chociaż F(t) łamię symetrią odbicia w czasie ˆT hamiltonianu H(t), to
posiada on inną uogólnioną symetria odbicia w czasie ˆT , mianowicie
ˆ
T = ˆPxT ,ˆ gdzie ˆPxex= −ex. (2.15)
Obecność uogólnionej symetrii odbicia w czasie jest istotna, ponieważ ˆT jest
opera-torem antyunitarnym. Można łatwo pokazać, że jeżeli istnieje operator antyunitarny, który komutuje z hamiltonianem, to istnieje baza w której ten hamiltonian jest rzeczy-wisty [39]. W konsekwencji, standardowym pomysłem otrzymania zespolonego modelu Bosego-Hubbarda (tj. z zespolonymi amplitudami tunelowania), było złamanie uogólnio-nej symetrii odbicia w czasie ˆT [19,24]. Jednakże, jak zobaczmy na poniższych przykła-dach, nie jest to warunek ani konieczny, ani wystarczający.
Rozdział 2 Symulacje klasycznego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej 12
Przykład 1.
Zastanówmy się najpierw, czy w układzie posiadającym uogólnioną symetrię odbi-cia w czasie mogą pojawić się zespolone tunelowania. Rozważmy nową, dwuwymiarową trajektorię:
¨
R(t) = − 1
M
h
Fxexsin(ωt) + Fyeycos(ωt) + ˜Fyeycos(2ωt) i
. (2.16)
W tym przypadku, hamiltonian zależny od czasu ponownie posiada taką samą uogólnioną symetrię odbicia w czasie ˆT = ˆPxT jak w (ˆ 2.13). Jednakże, jak się okazuje, efektywne tunelowania w ogólności mogą być zespolone. Na przykład:
J2 = J T Z T 0 dt exp i M ~ a2· ˙R(t) = J +∞ X n=−∞ J2n(K1) Jn(K2) e−i2nζ, (2.17)
gdzie T = 2π/ω jest okresem potrząsania, Jm funkcją Bessela m-tego rzędu, oraz
ζ = Fx/ √ 3Fy , K1 = a q F2 x + 3Fy2/(2~ω), K2= a √ 3 ˜Fy/(4~ω). (2.18) Wykorzystując parzystość funkcji Bessela J−m(x) = (−1)mJm(x), wyrażenie (2.17) mo-żemy rozbić dla n parzystego (p) i nieparzystego (np):
J2/J = J0(K1) J0(K2) + 2 +∞ X n=2 n∈p J2n(K1) Jn(K2) cos(2nζ) −2i +∞ X n=1 n∈np J2n(K1) Jn(K2) sin(2nζ), (2.19)
gdzie jawnie widać, że J2 może przyjmować wartości zespolone.
Wynik ten nie jest sprzeczny z obecnością uogólnionej symetrii odbicia w czasie ˆT ,
ponieważ baza funkcji Wanniera dla sieci trójkątnych, która odpowiada laboratoryjnemu układowi odniesienia, takiej symetrii nie posiada. Mamy zatem układ, który w bazie sta-nów Wanniera ma zespolone tunelowania, a z drugiej strony posiada uogólnioną symetrię odbicia w czasie.
Rozdział 2 Symulacje klasycznego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej 13
Przykład 2.
Zastanówmy się nad odwrotnym zagadnieniem, tj. czy brak uogólnionej symetrii odbi-cia w czasie implikuje zespolone tunelowania w układzie? Taka implikacja nie zachodzi, co można zaobserwować na poniższym, prostym przykładzie. Rozważmy jednowymiarową sieć potrząsaną z periodyczną, przedziałami stałą prędkością:
˙ R(t) = vA, 0 < t < T1 vB, T1 < t < 2T1 vC, −vB, . . . −vA, −vC, 5T1 < t < 6T1 , (2.20)
gdzie T1 = T /6, vA> vB > vC > 0. Łatwo się przekonać, że tunelowania w efektywnym modelu są rzeczywiste: J1 = J T Z T 0 dt exp iM ~ R(t)˙ = J 3 cos M v A ~ + cos M v B ~ + cos M v C ~ , (2.21)
pomimo, że zależny od czasu hamiltonian nie posiada żadnej uogólnionej symetrii odbicia w czasie.
2.4.
Wnioski
Symulacje modeli spinowych w ultrazimnych gazach są możliwe poprzez identyfikację lokalnej fazy kondensatu z kątem kierunkowym klasycznego spinu [18]. Ponadto, w eks-perymencie można manipulować geometrią sieci oraz wartością amplitudy sprzężenia między spinami.
Linearyzacja równania Grossa-Pitajewskiego wokół rozwiązań stacjonarnych pokazuje, że stabilność rozwiązań jest zależna od iloczynu średniego obsadzenia oczek sieci przez atomy n oraz wartości oddziaływań międzyatomowych U . Jak się okazuje, dla małych wartości iloczynu nU (porównywalnych z ∆Ek) nie obserwujemy rozpadu stanu
wzbu-dzonego w kierunku stanu podstawowego. Wynik ten może okazać się przydatny w eks-perymencie.
W pracy [33] zaprezentowaliśmy przykłady pokazujące, że złamanie uogólnionej syme-trii odbicia w czasie nie jest warunkiem koniecznym ani wystarczającym do pojawienia
Rozdział 2 Symulacje klasycznego modelu XY na trójwymiarowej sieci trójkątnej 14
się zespolonych tunelowań w efektywnym modelu. Obecność uogólnionej symetrii odbicia w czasie oznacza, że można skonstruować bazę, w której hamiltonian jest rzeczywisty. Baza ta nie musi pokrywać się z bazą funkcji Wanniera i gdy tak się dzieje, amplitudy tunelowania wciąż mogą być zespolone. Z drugiej strony brak jakiejkolwiek uogólnionej symetrii odbicia w czasie nie pozwala sprowadzić macierzy hamiltonianu do macierzy rzeczywistej bez diagonalizacji, ale nie zakazuje układowi posiadania rzeczywistej repre-zentacji w pewnej bazie, która nas interesuje.
Publikacje związane z rozdziałem
• A. Kosior, K. Sacha. Simulation of frustrated classical XY models with ultra-cold atoms in three-dimensional triangular optical lattices. Physical Review A 87, 023602 (2013).
Rozdział 3
Symulacja nieabelowych pól
cechowa-nia jednoskładnikowym gazem
Przedmowa
Rozdział ten opisuje ideę realizacji symulatora kwantowego nieabelowych pól cecho-wania na sieci przy użyciu ultrazimnego, jednoskładnikowego gazu atomowego. Podroz-dział 3.1 ma wprowadzić czytelnika do sieciowych modeli z polem cechowania. W pod-rozdziale 3.2zostanie przedstawiona idea imitacji wielokomponentowych cząstek w sieci optycznej, a w podrozdziale 3.3 zostaną omówione widma energetyczne uzyskane dla konkretnego modelu z symetrią cechowania U (2).
3.1.
Wprowadzenie
Sieciowe teorie z polem cechowania [40] są obiektem badań wielu naukowców spe-cjalizujących się fizyce cząstek elementarnych. W szczególności, sieciowe pola cechowa-nia występują m.in. w elektrodynamice i chromodynamice kwantowej w dyskretnych czasoprzestrzeniach [41, 42]. Perspektywa symulacji podstawowych problemów Modelu Standardowego w ultrazimnych gazach atomowych jest niewątpliwie bardzo ekscytująca, niemniej jest zarazem bardzo odległa. Z drugiej strony, sieciowe pola cechowania są ba-dane z coraz większym zainteresowaniem w kontekście nowych materiałów i egzotycznych stanów materii, takich jak izolatory topologiczne [43,44]. W ostatnich latach, pierwsze symulatory kwantowe topologicznych stanów materii doczekały się eksperymentalnej re-alizacji w ultrazimnych gazach [45].
Istnieje szereg propozycji realizacji sieciowych nieabelowych pól cechowania w ultra-zimnych gazach [46–52]. Wspólną cechą wszystkich prac jest próba sprzężenia prze-strzennych stopni swobody atomów z wewnętrznymi stopniami swobody, np. spinem.
Rozdział 3 Symulacja nieabelowych pól cechowania jednoskładnikowym gazem 16
W pracy [53] pokazujemy, że modele nieabelowe mogą być symulowane w sieciach optycz-nych bez potrzeby odwoływania się do wewnętrzoptycz-nych stopni swobody atomów. W naszym podejściu, wewnętrzna struktura cząstek jest modelowana przez samą sieć optyczną.
3.1.1. Model z lokalną symetrią U (1)
Rozważmy układ cząstek kwantowych, nie oddziałujących pomiędzy sobą, poruszają-cych się na sieci kwadratowej w zewnętrznym statycznym polu magnetycznym:
HU (1)= −J X
hiji ˆ
a†iUijˆaj, (3.1)
gdzie operatory ˆa†i i ˆaiodpowiadają za kreację i anihilację cząstki w i-tym oczku, a J opi-suje amplitudę tunelowania między najbliższymi sąsiadami. Obecność zewnętrznego pola magnetycznego manifestuje się obecnością dodatkowej fazy Uij = eiφij ∈ U (1), którą
cząstka nabywa w trakcie przeskoku pomiędzy oczkami i,j. Model (3.1) ma symetrię
U (1), co oznacza, że jest niezmienniczy po działaniu lokalnej transformacji cechowania:
ˆ
a0j = eiαjˆaj, Uij0 = ei(αi−αj)Uij. (3.2)
Pomimo tego, że Uij zawsze można lokalnie sprowadzić do jedynki Uij0 = 1, to iloczyn
UikUkl. . . Umi= eiΦ, przy przemieszczeniu cząstki po zamkniętej krzywej, nie ulega zmia-nie. Faza Φ, tzw. faza Aharnova-Bohma [54], jest bezpośrednio związana ze strumieniem magnetycznym Φ = ~−1R
B · dS, gdzie B jest wektorem indukcji pola magnetycznego,
i dlatego nie może być zmieniona poprzez transformację cechowania.
3.1.2. Model z lokalną symetrią U (N )
W modelu z lokalną symetrią U (1), pole magnetyczne nie sprzęga się z wewnętrz-nymi stopniami swobody cząstki kwantowej (za wewnętrzne stopnie swobody αi mo-żemy uważać spin, kolor czy też zapach). Sprzężenie to momo-żemy narzucić, jeśli zastąpimy liczby Uij przez operatory unitarne Uij ∈ U (N ), a operatory ˆai, ˆa†i przez operatory N -komponentowe ˆΨi, ˆΨ†i, gdzie ˆΨ†i = ˆ a†i,α1, . . . , ˆa†i,αN: HU (N ) = −J X hi,ji ˆ Ψ†iUijΨˆj. (3.3)
Model (3.3) nazywamy nieabelowym (tj. nieprzemiennym), ponieważ w ogólności macie-rze Ui,j i Ui0,j0 ze sobą nie komutują. Hamiltonian (3.3) jest niezmienniczy ze względu na
Rozdział 3 Symulacja nieabelowych pól cechowania jednoskładnikowym gazem 17
lokalną transformację cechowania:
ˆ
Ψ0i= TiΨˆi, U 0
ij = TiUijTj†, gdzie Tk∈ U (N ). (3.4)
Podobnie jak w przypadku abelowym, operatory Uij lokalnie zawsze można strywiali-zować. Odpowiednikiem strumienia magnetycznego dla nieabelowych modeli jest pętla Wilsona W , zdefiniowana jako ślad iloczynu operatorów Uij po zamkniętej krzywej1. Iloczyn macierzy Uij po zamkniętej krzywej nie sprowadza się do identyczności2 jeżeli moduł z pętli Wilsona |W | 6= N .
3.1.3. Liczby Cherna
Izolatory topologiczne [43–45], w odróżnieniu od zwykłych izolatorów, posiadają prze-wodzące mody brzegowe - na brzegu izolator topologiczny staje się metalem. Żeby zro-zumieć, jaką rolę w przewodnictwie tych materiałów odgrywa topologia, rozważmy nie-skończony, dwuwymiarowy układ z rozdzielonymi pasmami energetycznymi, tj. izolator. Równanie własne w zredukowanej przestrzeni Hilberta dla kwazipędu q w pierwszej stre-fie Brillouina (będącej dwu-torusemT2):
Hq|ψn(q)i = n(q)|ψn(q)i, q ∈T2, (3.5) definiuje stany własne dla pasm numerowanych przez n. Stany własne zdefiniowane są z dokładnością do fazy, tj. promieni w przestrzeni Hilberta
h |ψn(q)i i =ng|ψn(q)i, g ∈ U (1) o . (3.6)
Matematycznie możemy powiedzieć, że promienie te tworzą wiązkę włóknistą z grupą strukturalną U (1) nad T2. Na wiązce włóknistej definiujemy jednoformę, tzw. koneksję Berry’ego [43–45]:
An(q) ≡ ihψn(q)|dψn(q)i. (3.7)
Koneksja An zawiera w sobie informacje o strukturze topologicznej wiązki. Najprostszą charakterystyką topologiczną związaną z koneksją jest tzw. liczba Cherna [55,56]
Cn= 1 2π Z T2dAn. (3.8)
Jeżeli An jest zdefiniowana globalnie na całym torusie, to (z twierdzenia Stokesa) liczba Cherna znika, bo torus nie ma brzegu. Jeżeli An nie można zdefiniować globalnie, to
1Najczęściej, pętlę Wilsona W definiuje się na najmniejszej, kwadratowej plakietce. 2
Rozdział 3 Symulacja nieabelowych pól cechowania jednoskładnikowym gazem 18
Rysunek 3.1: W naszym podejściu, nieablowe pola cechowania mogą wyłonić się z pól abelowych, o ile spełnione są specjalne relacje pomiędzy tunelowaniami na sieci. Innymi słowy, sama sieć jest odpowiedzialna za nieabelowe zachowanie układu. Na przykład, dwupunktowa baza dwuwymiarowej sieci kwadratowej (A) może zostać utożsamiona z efektywną, dwukomponentową cząstką (dimerem). W takim opisie przeskoki między oczkami bazy utożsamiamy ze zmianą stanu wewnętrznego dimera. Następnie można za-uważyć, że matematyczny opis układu nie wymaga specjalnego rozdzielenia przestrzen-nego dimerów, więc dwupunktowa baza jest zbędna. Efektywne cząstki mogą zostać zdefiniowane arbitralnie, nawet na prostej sieci kwadratowej (B), o ile przeskoki do naj-bliższych sąsiadów są opisane macierzami unitarnymi Ux,Uy(zobacz definicje macierzy
w głównym tekście). Elementy macierzy Ux i Uy opisują pojedyncze przeskoki między
oczkami sieci kwadratowej (C) i (D). Aby zapewnić unitarność Ux,Uy, ich elementy
macierzowe muszą być starannie dobrane, co łatwiej jest zrealizować eksperymentalnie, jeżeli dimery są zorientowane prostopadle do kierunków sieci (E).
twierdzenie Stokesa już nie obowiązuje i liczba Cherna może być różna od zera3. Układy
z niezerową liczbą Cherna nazywamy nietrywialnymi izolatorami topologicznymi.
Przewodnictwo brzegowe pojawia się w skończonych układach. Stany o różnej topologii nie można przekształcić w siebie nawzajem przez ciągłą transformację, dlatego obecność brzegu: izolator topologiczny - próżnia prowadzi do zamknięcia przerw energetycznych między pasmami. Innymi słowy, w skończonych izolatorach o nietrywialnej topologii mu-szą pojawić się przewodzące stany brzegowe. Można pokazać, że przewodnictwo brzegowe wyraża się przez
σxy = e2 h X n Cn. (3.9)
gdzie suma przebiega po wszystkich pasmach poniżej energii Fermiego [55,56].
Rozdział 3 Symulacja nieabelowych pól cechowania jednoskładnikowym gazem 19
3.2.
Imitacja wielokomponentowych cząstek przez sieć
optyczną
Jednoskładnikowy, ultrazimny i nieoddziałujący gaz atomowy w sieci optycznej jest opisywany przez Hamiltonian:
H = −X
hiji
Jijˆa†iˆaj, (3.10)
gdzie przeskoki atomowe między oczkami sieci Jij niekoniecznie muszą ograniczać się do najbliższych sąsiadów. Geometria sieci optycznej może być dowolnie ukształtowana, w szczególności może to być dwuwymiarowa, kwadratowa sieć Bravais’ego z N -punktową bazą. Jeżeli utożsamimy różne punkty bazy ze stanami wewnętrznymi efektywnej cząstki, to definiując N -komponentowe operatory ˆΨi jesteśmy w stanie przepisać hamiltonian (3.10) do postaci:
H = −X
hi,ji ˜
JijΨˆ†iUijΨˆj. (3.11)
Samo przepisanie (3.10) do (3.11) jest zabiegiem czysto formalnym i nie czyni mo-delu (3.11) nieabelowym, ponieważ w modelu z lokalną symetrią U (N ) macierze Uij są unitarne. Jednakże jak się okazuje, macierze Uij można uczynić unitarnymi wykorzy-stując wielką elastyczność w manipulacji siecią optyczną [53]. Tym samym, symulacja modeli nieabelowych przy użyciu ultrazimnych jednoskładnikowych gazów jest możliwa. Schemat konstrukcji efektywnych, wielokomponentowych cząstek został przedstawiony na rysunku3.1.
Ponieważ w naszej metodzie wykorzystujemy gaz jednoskładnikowy, to z samej kon-strukcji nie musimy przejmować się oddziaływaniem pomiędzy różnymi frakcjami ato-mów. Niewątpliwie, stanowi to jedną z głównych zalet naszej metody. Co więcej, jed-noskładnikowy gaz fermionowy nie oddziałuje ze sobą w niskich temperaturach. Z tego powodu, aby zasymulować nieablowy odpowiednik kwantowego efektu Halla, nie musimy stosować rezonansu Feschbacha do wyłączenia oddziaływań między cząstkami.
W pracy [53] prezentujemy przykład konstrukcji eksperymentalnej konkretnego nie-abelowego modelu z lokalną symetrią cechowania U (2) na dwuwymiarowej sieci kwadra-towej: H = −X m,n JxΨˆ†m+1,nUxΨˆm,n+ JyΨˆ†m,n+1UyΨˆm,n+ h.c. −X m,n ˆ Ψ†m,nM ˆΨm,n, (3.12)
gdzie liczby całkowite m, n określają oczko sieci rm,n = mex+ ney, a Jx, Jy to amplitudy tunelowania atomów w kierunku ex i ey. Macierze Ux, Uy(m, n) są unitarne, przy czym
Rozdział 3 Symulacja nieabelowych pól cechowania jednoskładnikowym gazem 20
Ux = eiAx, Uy(m, n) = eiAy, gdzie
Ax= ασ2, Ay(m, n) = βσ3− 2π(mφx+ nφy), (3.13)
gdzie σi to macierze Pauliego, a α, β, φx, φy to rzeczywiste parametry. W hamiltonianie (3.12) został uwzględniony jeszcze jeden wyraz, który do tej pory nie był omawiany:
M = meffσ1 (3.14)
gdzie meff jest liczbą rzeczywistą. Macierz M pojawia się na skutek uwzględnienia prze-skoków pomiędzy oczkami sieci, utożsamionymi z różnymi komponentami efektywnej cząstki. Z tego powodu, macierz M pojawia się naturalnie, jako efekt uboczny konstruk-cji. Niemniej, nie stanowi to wady naszej metody. Przeciwnie, wyraz P
m,nΨˆ†m,nM ˆΨm,n może być interpretowany jako człon masowy komponentów cząstki ˆΨm,n. Jak się okazuje, wartością meff można manipulować eksperymentalnie.
Dla modelu z symetrią U (2) wyrażonego hamiltonianem (3.12) możemy policzyć pętlę Wilsona po elementarnej, kwadratowej plakietce: W = tr U, gdzie U = UxUyUx†Uy†. W naszym przypadku można pokazać, że
W = 2e−i2πφxcos2α + cos(2β) sin2α, (3.15)
co oznacza, że w ogólności iloczyn macierzy U nie sprowadza się do identyczności. W dodatku załączonym do pracy [53] pokazujemy, że warunek |W | = 2 jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy macierze Ux i Uy komutują lub antykomutują4.
3.3.
Widmo energetyczne
Typowe przykłady widm energetycznych w funkcji parametru φx, odpowiadające ha-miltonianowi (3.12) w reżimie nieabelowym są zaprezentowane na rysunku 3.2. Jak mo-żemy zauważyć, widma energetyczne posiadają strukturę fraktalną, bardzo podobną do struktury słynnego motyla Hofstadtera [57, 58]. Struktura motyla pojawia się, ponie-waż faza φx, która przyczynia się do powstania stałego strumienia pola magnetycznego B = −2πφxez, łamie symetrię translacyjną układu5. Jeżeli faza φx jest liczbą wymierną (tzn. φx = r/s, gdzie r, s to liczby całkowite), to symetria translacyjna zostaje przy-wrócona, ale okresowość w układzie jest zwiększona s-krotnie. W rezultacie, w układzie
4
W ogólności, dla grupy cechowania U (N ), warunek trywialności pętli Wilsona |W | = N jest speł-niony, jeżeli UxUy= (±1)N +1UyUx.
5
Rozdział 3 Symulacja nieabelowych pól cechowania jednoskładnikowym gazem 21
Rysunek 3.2: Widma energetyczne E w funkcji abelowego strumienia φx oraz dla
Jy = 1, Jx = 2, α = 0.3, β = π/3 i meff = 0.8 (lewy panel) oraz Jy = Jx = 1, α =
β = π/3 i meff = 3 (prawy panel). Przede wszystkim, dwa widma rozróżnia parametr meff. Rosnąca masa efektywna każdego komponentu ±meff powoduje rozszerzenie i ostatecznie podzielenie widma na dwie części. W granicy meff 1 otrzymamy dwie rozdzielone, niezależne kopie motyla Hofstadtera.
mogą pojawić się przerwy i pasma energetyczne, których ilość uwarunkowana jest war-tością strumienia magnetycznego6.
Dodatkową modyfikacją, jaką wprowadziliśmy w hamiltonianie (3.12), był wyraz ma-sowy M = meffσ1. Przede wszystkim, obecność członu M eliminuje symetrie odbiciowe: w energii (E → −E) oraz strumieniu (φx → −φx+ 1/2), które występują niezależnie w modelu abelowym (tj. dla widma motyla Hofstadtera). Niemniej, jednoczesne odbicie energii i strumienia pozostaje symetrią Hamiltonianu, co można zauważyć na rysunku3.2. Ponadto, zwiększając parametr meff, widmo rozszerza się, żeby ostatecznie się rozdzie-lić. W granicy meff 1 otrzymujemy całkowicie rozdzielone widma, będące dwiema niezależnymi kopiami motyla Hofstadtera.
Na koniec, rozważmy stan podstawowy układu nieoddziałujących fermionów odpowia-dający energii Fermiego EF. Możemy się spodziewać, że w obecności niezerowego pola magnetycznego B 6= 0 oraz nietrywialnego pola nieabelowego |W | 6= 2, topologia pasm energetycznych będzie również nietrywialna, tzn. będzie scharakteryzowana niezerowymi liczbami Cherna (3.8). Rzeczywiście, układ charakteryzuje się niezerowym przewodnic-twem brzegowym (3.9), którego skwantowana wartość zależy od położenia energii EF. Przykładowe wartości zaprezentowane są rysunku3.3. Co jest warte podkreślenia, nieze-rowe masy komponentów mogą przyczynić się do powiększenia przerw energetycznych, co może być istotne w eksperymentalnej detekcji skwantowanego przewodnictwa brzego-wego [45].
6Hamiltonian można sprowadzić do bloków H
q o wymiarze macierzowym 2s × 2s, gdzie q jest
Rozdział 3 Symulacja nieabelowych pól cechowania jednoskładnikowym gazem 22
Rysunek 3.3: Przewodnictwo brzegowe σxy (w jednostkach 1/h) jako funkcja energii
Fermiego EF obliczone dla: Jy = Jx = 1, α = β = π/3, meff = 1/2, φx = 2/5 (lewy
panel) oraz Jx= 1, Jy= 2, α = 0.3, β = π/3, meff = 0.8, φx= 1/4 (prawy panel).
3.4.
Wnioski
W rozdziale pokazujemy, że symulacja modelu ciasnego wiązania z nieabelowym polem cechowania, przy użyciu jednoskładnikowego gazu jest możliwa. W tym celu wykorzy-stujemy stopnie swobody związane z siecią optyczną.
Uwzględnienie masy komponentów powoduje znaczne zmodyfikowanie widma energe-tycznego. W szczególności, niezerowa masa może przyczynić się do powiększenia przerw energetycznych w układzie. Wynik ten może okazać się istotny w kontekście eksperymen-talnej detekcji przewodnictwa brzegowego.
Publikacje związane z rozdziałem
• A. Kosior, K. Sacha. Simulation of non-Abelian lattice gauge theories with a single-component gas. EPL (Europhysics Letters) 107, 26006 (2014).
A. Kosior, K. Sacha. Erratum: Simulation of non-Abelian lattice gauge theories with a single-component gas. EPL (Europhysics Letters) 112, 39901 (2015).
Rozdział 4
Mikroskopia fazy kondensatu
Przedmowa
W tym rozdziale zostanie zaprezentowana metoda pozwalająca na detekcję zespolonej fazy funkcji falowej kondensatu Bosego-Einsteina ultrazimnych atomów w dwuwymia-rowej sieci optycznej [59]. W podrozdziale 4.1 zostanie przedstawiony problem detekcji zespolonej funkcji falowej, a w szczególności idea pomiaru metodą po czasie przelotu1[7]. W podrozdziale 4.2zostanie omówiona metoda rekonstrukcji funkcji falowej kondensatu z wykorzystaniem algorytmów odzyskiwania fazy, a w podrozdziale4.3zostaną zaprezen-towane rezultaty zastosowania metody do rekonstrukcji domen przestrzennych w ukła-dzie.
4.1.
Wprowadzenie
4.1.1. Motywacja
W perfekcyjnym kondensacie Bosego-Einsteina wszystkie cząstki mogą być opisane za pomocą jednej funkcji falowej ψ(r) [36–38]. Zazwyczaj, ψ(r) można wybrać jako rze-czywistą funkcję, a wszelkie niejednorodności w rozkładzie fazy funkcji falowej powstają jedynie na skutek fluktuacji termicznych [60, 61]. W takim przypadku, pomiar gęsto-ści chmury atomowej2 w pułapce, będącej proporcjonalną do |ψ(r)|2, dostarcza pełnej informacji o układzie. Niemniej, w pewnych sytuacjach funkcja falowa kondensatu ψ(r) w sposób nietrywialny jest funkcją zespoloną. W szczególności, taka sytuacja ma miejsce, kiedy w układzie istnieją efektywne pola magnetyczne, np. wiry w kondensacie [65–67] lub pola cechowania w modelach sieciowych [45].
1
W literaturze anglojęzycznej bardzo często używa się skrótu TOF, z ang. time-of-flight.
2
W dzisiejszych czasach, pomiary gęstości chmury atomowej są możliwe z rozdzielczością sięgającą nawet pojedynczego atomu [62–64].
Rozdział 4 Mikroskopia fazy kondensatu 24
4.1.2. Detekcja metodą po czasie przelotu
Pomiar zespolonej fazy funkcji falowej wymaga zupełnie innego podejścia, niż średni pomiar gęstości atomów w pułapce. Fazy nie jesteśmy w stanie zmierzyć bezpo-średnio, dlatego wszelkie metody jej detekcji opierają się na metodach interferencyjnych. W szczególności, interesująca metoda pomiaru wirów w kondensacie Bosego-Einsteina została zaproponowana w [67]. Poprzez koherentne wzbudzenie części atomów do stanu o wyższym pędzie, stan układu jest superpozycją dwóch stanów wirowych poruszających się względem siebie. Detekcja wzoru interferencyjnego pozwala zweryfikować istnienie wiru, który przejawia się charakterystycznym widełkowatym zniekształceniem prążków interferencyjnych.
Inną, bardzo użyteczną metodą, jest tzw. metoda pomiaru po czasie przelotu, która jest powszechnie stosowana do identyfikacji stanu ultrazimnych bozonów tworzących konden-sat w sieci optycznej [7]. Atomy kondensatu w sieci optycznej zlokalizowane są w lokalnych minimach potencjału, czyli oczkach sieci optycznej, mogą jednak swobodnie tunelować do sąsiednich oczek. Zachowanie wszystkich atomów jest koherentne, opisane pojedynczą funkcją falową: ψk(r) = ϕT F(r) X i eikriw0(r − ri) ! (4.1)
gdzie ϕT F(r) to obwiednia Thomasa-Fermiego, która pojawia się na skutek dodatkowego potencjału pułapkującego, a w0(r − ri) to funkcja Wanniera najniższego pasma ener-getycznego zlokalizowana w ri. Stan kwantowy opisany zespoloną funkcją falową ψk(r) z wyrażenia (4.1), można jednoznacznie zidentyfikować poprzez wektor kwazipędu k.
W metodzie pomiaru po czasie przelotu, w pierwszym kroku zwalnia się atomy z pu-łapki i pozwala im na swobodną ekspansję. Atomy znajdujące się w różnych oczkach sieci optycznej interferują ze sobą, a w reżimie dalekiego pola, tj. dla długich czasów przelotu3 tT OF rozkład przestrzenny chmury atomowej ρ(r) odtwarza rozkład pędowy początkowego stanu, tj. ρ(r) ≡ ρ q = M r ~ tT OF ∝ X i eiq·riψ(ri) 2 , (4.2)
gdzie M to masa atomu, a ψ(ri) to wartość początkowej funkcji falowej w i-tym oczku. Jeżeli ψ(r) to pojedyncza fala Blocha z kwazipędem k, to rozkład ρ(q) jest dyskretny:
ρ(q) = {ρ(qn)}n∈Z, qn= k + n K, (4.3)
3Reżim dalekiego pola osiągamy, gdy M R2
T F/(2~tT OF) ≈ 0, gdzie RT F jest promieniem profilu Thomasa-Fermiego.
Rozdział 4 Mikroskopia fazy kondensatu 25
gdzie K reprezentuje zbiór wektorów sieci odwrotnej. W praktyce, ze względu na skoń-czony rozmiar układu, stan ψ(r) to fala Blocha z obwiednią Thomasa-Fermiego, tak jak w wyrażeniu (4.1). Niemniej, dla zbioru qn rozkład ρ(q) osiąga bardzo wyraźne maksima interferencyjne (tzw. refleksy braggowskie), których położenie pozwala na jed-noznaczne określenie stanu układu (4.1). Zauważmy, że rozkład ρ(q) jest proporcjo-nalny do kwadratu modułu transformaty Fouriera ˜ψ(q) wyjściowej funkcji falowej ψ(r),
tj. ρ(q) ∝ | ˜ψ(q)|2.
4.1.3. Podwójnie zdegenerowany stan podstawowy
Zwróćmy uwagę, że pewnym szczególnym przykładem modelu z abelowym polem ce-chowania jest gaz ultrazimnych bozonów na sfrustrowanej sieci trójkątnej (rozważany w rozdziale 2). W przypadku, gdy wszystkie tunelowania są ujemne, to atomy poru-szające się po każdej najmniejszej, trójkątnej plakietce doznają skoku fazy równej π. Przypomnijmy, że w rozdziale 2 posługujemy się wektorem kwazipędu k, który jest związany z lokalną fazą funkcji falowej θri = k · ri, gdzie ri wskazuje na oczka sieci optycznej. W sfrustrowanym reżimie, stan podstawowy ψ0(r) jest podwójnie zdegenero-wany, tzn. ψ0(r) = ψ±k0(r), gdzie ψ±k0(r) = ϕT F(r) X i e±ik0riw 0(r − ri) ! , (4.4)
gdzie k = ±k0 minimalizują relację dyspersji. W takim wypadku, może się zdarzyć sy-tuacja, w której różne części układu „wybiorą” jeden z dwu zdegenerowanych stanów. Innymi słowy, w układzie pojawią się domeny przestrzenne. Istnienie takich domen prze-strzennych w układzie ultrazimnych bozonów dwuwymiarowej, sfrustrowanej sieci trój-kątnej zostało zaproponowane w pracy [18] na podstawie danych eksperymentalnych. Mianowicie, w rozkładzie gęstości chmury atomowej po czasie przelotu (4.2) zaobserwo-wano jednocześnie refleksy braggowskie odpowiadające kwazipędom k = ±k0.
Próba zrekonstruowania domen przestrzennych, odpowiadających jednemu z równo-ważnych stanów w powyższym układzie, była inspiracją i stanowi motyw przewodni naszej pracy [59]. Aby zrekonstruować domeny, stosujemy algorytmy odzyskiwania fazy [68–70] do odzyskania pełnej informacji o funkcji falowej.
4.2.
Rekonstrukcja zespolonej funkcji falowej kondensatu
Pytanie, jakie sobie stawiamy brzmi: czy jesteśmy w stanie zrekonstruować pełną funk-cję falową ψ(r), opisującą dwuwymiarowy kondensat gazu bozonowego w sieci optycznej, znając (i) rozkład gęstości chmury w przestrzeni położeń |ψ(r)|2oraz (ii) rozkład gęstości
Rozdział 4 Mikroskopia fazy kondensatu 26
w przestrzeni pędów | ˜ψ(q)|2? Jeżeli dysponujemy tylko jednym rozkładem, to odpowiedź jest negatywna. Jeżeli posiadamy informacje (i) i (ii) jednocześnie, to okazuje się, że pełną funkcję falową ψ(r) możemy odzyskać stosując iteracyjne algorytmy odzyskiwania fazy.
Zauważmy najpierw, że każdy z rozkładów |ψ(r)|2, | ˜ψ(q)|2 definiuje pewne podzbiory w zbiorze funkcji zespolonych:
ΛS =nφ(r), jeżeli |φ(r)| = |ψ(r)|o, (4.5)
czyli zbiór wszystkich funkcji zespolonych φ(r), których moduł wynosi |ψ(r)|, oraz:
ΛM = n
φ(r), jeżeli | ˜φ(q)| = | ˜ψ(q)|o, (4.6)
czyli zbiór wszystkich funkcji zespolonych φ(r), których moduł transformaty Fouriera
| ˜φ(q)| wynosi | ˜ψ(q)|. W ogólności, zbiory będą różne: ΛS 6= ΛM. Niemniej, ΛS i ΛM mogą się przecinać. W szczególności, w przecięciu zbiorów ΛST
ΛM musi znajdować się szukana funkcja ψ(r)4. Tym samym, cel algorytmów odzyskiwania fazy jest prosty -znalezienie przecięcia zbiorów ΛST
ΛM. W najprostszej wersji algorytmu postępujemy według schematu:
1. Zaczynamy od funkcji ψ(0)(r) = |ψ(r)|eiζ(r), gdzie ζ(r) jest losową fazą.
2. Stosujemy transformatę Fouriera ψ(0)(r), otrzymując ˜ψ(0)(q) = | ˜ψ(0)(q)|ei ˜ζ(q).
3. W funkcji ˜ψ(0)(q) podmieniamy moduł | ˜ψ(0)(q)| na znany | ˜ψ(q)|.
4. Stosujemy odwrotną transformatę Fouriera funkcji ˜ψ(0)(q) i podmieniamy jej mo-duł na znany |ψ(r)|. Rezultat oznaczamy przez ψ(1)(r).
5. Powtarzamy kroki 2-4 dla funkcji ψ(1)(r).
Po powtórzeniu procedury n-krotnie, otrzymujemy oszacowanie szukanej funkcji falowej
ψ(n)(r) ≈ ψ(r). Aby zwiększyć dokładność, algorytm można stosować równolegle dla wielu realizacji początkowego rozkładu fazy ζ(r), a następnie wybrać najlepszy rezul-tat względem normy Q =R
d2q | ˜ψ
(n)(q)|2− | ˜ψ(q)|2
. Szczegóły techniczne i możliwości rozszerzenia algorytmu opisujemy w materiałach uzupełniających5 pracy [59].
W dalszej części, skupiamy się na testowaniu metody pod kątem niedoskonałości, jakie mogą wystąpić w eksperymencie (tj. szum pomiarowy, niewystarczająca rozdzielczość układu obrazującego), oraz na możliwości detekcji domen przestrzennych.
4Poza funkcją ψ(r) w przecięciu Λ
STΛM znajduje się również cała klasa funkcji równoważnych ψ(r), które można otrzymać przez odbicie współrzędnych i pomnożenie przez stałą fazę eiζψ(±r). Inne, nierównoważne rozwiązania w tym przypadku nie występują.
5
Materiały uzupełniające (suplement) dostępne są pod adresem: http://link.aps.org/supplemental/ 10.1103/PhysRevLett.112.045302.
Rozdział 4 Mikroskopia fazy kondensatu 27
Rysunek 4.1: Panel (a): kwadrat przykrycia χ2= |hψ(n)|ψi|2stanu odzyskanego ψ(n) i stanu modelowego ψ jako funkcja stosunku sygnału do szumu A/σn, gdzie A jest
wartością średnią | ˜ψ(q)|2 po obszarze |q| ¬ 2π/a (a - stała sieci), σ
n to odchylenie
standardowe szumu. Panel (b): kwadrat przykrycia χ2 jako funkcja σ
r/σpeak, gdzie σr
reprezentuje rozdzielczość układu obrazującego (zobacz dyskusję w głównym tekście), σpeak- odchylenie standardowe funkcji Gaussa, dopasowanej do najwyższego maksimum
interferencyjnego rozkładu | ˜ψ(q)|2. W symulacjach przyjęto promień profilu Thomasa-Fermiego RT F = 15a.
Zacznijmy od testowania metody pod kątem występowania szumu pomiarowego. Aby zasymulować warunki eksperymentalne, do modelowego rozkładu | ˜ψ(q)|2dodaliśmy szum gaussowski o odchyleniu standardowym σn. Wyniki symulacji zostały zaprezentowane na rysunku4.1 (a).
Kolejnym źródłem niedoskonałości eksperymentalnych może być niewystarczającą roz-dzielczość układu obrazującego. Aby zasymulować efekt skończonej rozdzielczości wyko-naliśmy splot modelowego obrazu | ˜ψ(q)|2 z rozkładem Gaussa. Odchylenie standardowe rozkładu Gaussa σr służy nam jako miara rozdzielczości. Wyniki symulacji zostały za-prezentowane na rysunku 4.1(b). Jak można zauważyć, dobra rozdzielczość układu ob-razującego jest kluczowa.
4.3.
Odzyskiwanie domen przestrzennych
W tej części zajmiemy się próbą rekonstrukcji domen przestrzennych, jakie mogą wy-stąpić w układzie, kiedy poziom podstawowy jest zdegenerowany [18] (zobacz dyskusję z podrozdziału4.1): ψ±k0(r) = ϕT F(r) X i e±ik0riw 0(r − ri) ! (4.7)
Aby przetestować naszą metodę, przygotowujemy stan modelowy złożony z kilku do-men, a następnie sprawdzamy jak algorytmy radzą sobie ze znaczącymi niedoskonało-ściami eksperymentalnymi.
