Własności symbolu Newtona

TWIERDZENIE

Dla dowolnych n, k ∈ {0, 1, 2, ...}, takich że n ­ k, zachodzą następujące równości

1 n

0

= ⁿ_n
= 1;

2 n

1

= _n−1ⁿ
= n dla n > 0,

3 n

k

= _n−kⁿ
;

4 n

k

+ _k+1ⁿ
= ⁿ⁺¹_k+1
dla n > k.

Własności symbolu Newtona

TWIERDZENIE

Dla dowolnych n, k ∈ {0, 1, 2, ...}, takich że n ­ k, zachodzą następujące równości

1 n

0

= ⁿ_n
= 1;

2 n

1

= _n−1ⁿ
= n dla n > 0,

3 n

k

= _n−kⁿ
;

4 n

k

+ _k+1ⁿ
= ⁿ⁺¹_k+1
dla n > k.

Własności symbolu Newtona

TWIERDZENIE

Dla dowolnych n, k ∈ {0, 1, 2, ...}, takich że n ­ k, zachodzą następujące równości

1 n

0

= ⁿ_n
= 1;

2 n

1

= _n−1ⁿ
= n dla n > 0,

3 n

k

= _n−kⁿ
;

4 n

k

+ _k+1ⁿ
= ⁿ⁺¹_k+1
dla n > k.

Własności symbolu Newtona

TWIERDZENIE

Dla dowolnych n, k ∈ {0, 1, 2, ...}, takich że n ­ k, zachodzą następujące równości

1 n

0

= ⁿ_n
= 1;

2 n

1

= _n−1ⁿ
= n dla n > 0,

3 n

k

= _n−kⁿ
;

4 n

k

+ _k+1ⁿ
= ⁿ⁺¹_k+1
dla n > k.

Własności symbolu Newtona

TWIERDZENIE

Dla dowolnych n, k ∈ {0, 1, 2, ...}, takich że n ­ k, zachodzą następujące równości

1 n

0

= ⁿ_n
= 1;

2 n

1

= _n−1ⁿ
= n dla n > 0,

3 n

k

= _n−kⁿ
;

4 n

k

+ _k+1ⁿ
= ⁿ⁺¹_k+1
dla n > k.

Trójkąt Pascala

Wartości wszystkich symboli Newtona tworzą tzw. trojkąt

Pascala, będący tablicą liczb ułożonych w wiersze ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ... .

Elementy każdego z wierszy są również ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ...., przy czym numerowanie rozpoczynamy od strony lewej. Można zauwazyć, że w miejscu o numerze k w wierszu o numerze n znajduje się wartość symbolu Newtona _kⁿ
. Pamiętamy, że zarówno wiersze jak i ich elementy numerujemy od 0.

PRZYKŁAD

7 5

= 21,

Trójkąt Pascala

Wartości wszystkich symboli Newtona tworzą tzw. trojkąt

Pascala, będący tablicą liczb ułożonych w wiersze ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ... . Elementy każdego z wierszy są również ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ...., przy czym numerowanie rozpoczynamy od strony lewej.

Można zauwazyć, że w miejscu o numerze k w wierszu o numerze n znajduje się wartość symbolu Newtona _kⁿ
. Pamiętamy, że zarówno wiersze jak i ich elementy numerujemy od 0.

PRZYKŁAD

7 5

= 21,

Trójkąt Pascala

Wartości wszystkich symboli Newtona tworzą tzw. trojkąt

Pascala, będący tablicą liczb ułożonych w wiersze ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ... . Elementy każdego z wierszy są również ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ...., przy czym numerowanie rozpoczynamy od strony lewej. Można zauwazyć, że w miejscu o numerze k w wierszu o numerze n znajduje się wartość symbolu Newtona ⁿ_k
.

Pamiętamy, że zarówno wiersze jak i ich elementy numerujemy od 0.

PRZYKŁAD

7 5

= 21,

Trójkąt Pascala

Wartości wszystkich symboli Newtona tworzą tzw. trojkąt

Pascala, będący tablicą liczb ułożonych w wiersze ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ... . Elementy każdego z wierszy są również ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ...., przy czym numerowanie rozpoczynamy od strony lewej. Można zauwazyć, że w miejscu o numerze k w wierszu o numerze n znajduje się wartość symbolu Newtona ⁿ_k
. Pamiętamy, że zarówno wiersze jak i ich elementy numerujemy od 0.

PRZYKŁAD

7 5

= 21,

Trójkąt Pascala

Wartości wszystkich symboli Newtona tworzą tzw. trojkąt

Pascala, będący tablicą liczb ułożonych w wiersze ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ... . Elementy każdego z wierszy są również ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ...., przy czym numerowanie rozpoczynamy od strony lewej. Można zauwazyć, że w miejscu o numerze k w wierszu o numerze n znajduje się wartość symbolu Newtona ⁿ_k
. Pamiętamy, że zarówno wiersze jak i ich elementy numerujemy od 0.

PRZYKŁAD

7 5

= 21,

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0

wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1

wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2

wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3

wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4

wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5

wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6

wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

W dokumencie Przypomnienie: sumy, iloczyny, silnia, symbol Newtona, ciągi arytmetyczny i geometryczny, logarytmy (Stron 23-77)