Przypomnienie: sumy, iloczyny, silnia, symbol Newtona, ciągi arytmetyczny i geometryczny, logarytmy

MATEMATYKA DYSKRETNA

Przypomnienie: sumy, iloczyny, silnia, symbol Newtona,

ciągi arytmetyczny i geometryczny, logarytmy

Sumy - Iloczyny

Niech m, n ∈ {0, 1, 2, ...} spełniają nierówność m ¬ n i niech a _m , a _m+1 , ..., a _n ∈ R. Przyjmujemy następujące oznaczenia

n

X

i =m

a i = a m + a m+1 + ... + a n ;

n

Y

i =m

a _i = a m · a _m+1 · ... · a _n .

Symbol i zwany jest wskaźnikiem odpowiednio sumowania lub

mnożenia. Może on być zostąpiony każdą inną literą różną od n i

m.

Sumy - Iloczyny

TWIERDZENIE

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a _m , a _m+1 , ..., a _n , b m , b m+1 , ..., b n , α ∈ R zachodzą następujące równości

1

P n i =m

a _i + ^{P n}

i =m

b _i = ^{P n}

i =m

(a _i + b _i );

2

n

P

i =m

a _i − ^{P n}

i =m

b _i =

n

P

i =m

(a _i − b _i );

3

n

P

i =m

(αa i ) = α

n

P

i =m

a i .

Nierówność Schwarza

TWIERDZENIE

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a ₁ , a ₂ , ..., a _n , b ₁ , b ₂ , ..., b _n , gdzie n ∈ {1, 2, 3, ...} zachodzi nierówność

n

X

i =1

a _i b _i

! 2

¬

n

X

i =1

a ² _i

!

·

n

X

i =1

b _i ²

!

.

Średnia arytmetyczna

DEFINICJA

Średnią arytmetyczną liczb a 1 , a 2 , ..., a n , gdzie n ∈ {1, 2, 3, ...}

nazywamy wyrażenie

a 1 + a 2 + ... + a n

n = 1

n

n

X

i =1

a _i .

PRZYKŁAD

Oblicz średnią arytmetyczną liczb a ₁ = 1, a ₂ = 2, a ₃ = 4, a ₄ = 8, a 5 = 16, a 6 = 32.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32

6 = 63

6 = 10, 5.

Średnia arytmetyczna

DEFINICJA

Średnią arytmetyczną liczb a 1 , a 2 , ..., a n , gdzie n ∈ {1, 2, 3, ...}

nazywamy wyrażenie

a 1 + a 2 + ... + a n

n = 1

n

n

X

i =1

a _i .

PRZYKŁAD

Oblicz średnią arytmetyczną liczb a ₁ = 1, a ₂ = 2, a ₃ = 4, a ₄ = 8, a 5 = 16, a 6 = 32.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32

6 = 63

6 = 10, 5.

Średnia arytmetyczna

DEFINICJA

Średnią arytmetyczną liczb a 1 , a 2 , ..., a n , gdzie n ∈ {1, 2, 3, ...}

nazywamy wyrażenie

a 1 + a 2 + ... + a n

n = 1

n

n

X

i =1

a _i .

PRZYKŁAD

Oblicz średnią arytmetyczną liczb a ₁ = 1, a ₂ = 2, a ₃ = 4, a ₄ = 8,

a 5 = 16, a 6 = 32.

Średnia goemetryczna

DEFINICJA

Średnią geometryczną liczb nieujemnych a ₁ , a ₂ , ..., a _n , gdzie n ∈ {2, 3, ...}, nazywamy wyrażenie

√

a ₁ · a ₂ · ... · a _n =

v u u t

n

Y

i =1

a _i .

PRZYKŁAD

Oblicz średnią goemetryczną liczb a ₁ = 1, a ₂ = 2, a ₃ = 4, a ₄ = 8, a ₅ = 16, a ₆ = 32.

√

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 =

√

2 0+1+2+3+4+5 =

√

2 ¹⁵ = 4 √

2

Średnia goemetryczna

DEFINICJA

Średnią geometryczną liczb nieujemnych a ₁ , a ₂ , ..., a _n , gdzie n ∈ {2, 3, ...}, nazywamy wyrażenie

√

a ₁ · a ₂ · ... · a _n =

v u u t

n

Y

i =1

a _i .

PRZYKŁAD

Oblicz średnią goemetryczną liczb a ₁ = 1, a ₂ = 2, a ₃ = 4, a ₄ = 8, a ₅ = 16, a ₆ = 32.

√

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 =

√

2 0+1+2+3+4+5 =

√

2 ¹⁵ = 4 √

2

Średnia goemetryczna

DEFINICJA

Średnią geometryczną liczb nieujemnych a ₁ , a ₂ , ..., a _n , gdzie n ∈ {2, 3, ...}, nazywamy wyrażenie

√

a ₁ · a ₂ · ... · a _n =

v u u t

n

Y

i =1

a _i .

PRZYKŁAD

Oblicz średnią goemetryczną liczb a ₁ = 1, a ₂ = 2, a ₃ = 4, a ₄ = 8, a ₅ = 16, a ₆ = 32.

√ √ √ √

Średnia arytmetyczna ważona

DEFINICJA

Średnią arytmetyczną ważoną liczb a ₁ , a ₂ , ..., a _n , gdzie n ∈ {1, 2, 3, ...} z wagami α 1 , ..., α n , gdzie α i ­ 0, i = 1, 2, ..., n oraz ^{P n}

i =1

α _i = 1, nazywamy sumę

α 1 a 1 + α 2 a 2 + ... + α n a n =

n

X

i =1

α i a i .

PRZYKŁAD

Oblicz średnią arytmetyczną ważoną liczb a 1 = 9, a 2 = 15, a 3 = 18, a 4 = 20 dla wag α 1 = ¹ ₃ , α 2 = ² ₅ , α 3 = ¹ ₆ , α 4 = ₁₀ ¹ . Zauważy, że ¹ ₃ + ² ₅ + ¹ ₆ + ₁₀ ¹ = 1.

Średnia ważona powyższych liczb jest równa 1

3 · 9 + 2

5 · 15 + 1

6 · 18 + 1

10 · 20 = 3 + 6 + 3 + 2 = 14

Średnia arytmetyczna ważona

DEFINICJA

Średnią arytmetyczną ważoną liczb a ₁ , a ₂ , ..., a _n , gdzie n ∈ {1, 2, 3, ...} z wagami α 1 , ..., α n , gdzie α i ­ 0, i = 1, 2, ..., n oraz ^{P n}

i =1

α _i = 1, nazywamy sumę

α 1 a 1 + α 2 a 2 + ... + α n a n =

n

X

i =1

α i a i .

PRZYKŁAD

Oblicz średnią arytmetyczną ważoną liczb a 1 = 9, a 2 = 15, a 3 = 18, a 4 = 20 dla wag α 1 = ¹ ₃ , α 2 = ² ₅ , α 3 = ¹ ₆ , α 4 = ₁₀ ¹ .

Zauważy, że ¹ ₃ + ² ₅ + ¹ ₆ + ₁₀ ¹ = 1.

Średnia ważona powyższych liczb jest równa 1

3 · 9 + 2

5 · 15 + 1

6 · 18 + 1

10 · 20 = 3 + 6 + 3 + 2 = 14

Średnia arytmetyczna ważona

DEFINICJA

Średnią arytmetyczną ważoną liczb a ₁ , a ₂ , ..., a _n , gdzie n ∈ {1, 2, 3, ...} z wagami α 1 , ..., α n , gdzie α i ­ 0, i = 1, 2, ..., n oraz ^{P n}

i =1

α _i = 1, nazywamy sumę

α 1 a 1 + α 2 a 2 + ... + α n a n =

n

X

i =1

α i a i .

PRZYKŁAD

Oblicz średnią arytmetyczną ważoną liczb a 1 = 9, a 2 = 15, a 3 = 18, a 4 = 20 dla wag α 1 = ¹ ₃ , α 2 = ² ₅ , α 3 = ¹ ₆ , α 4 = ₁₀ ¹ .

1 2 1 1

Średnia ważona powyższych liczb jest równa 1

3 · 9 + 2

5 · 15 + 1

6 · 18 + 1

10 · 20 = 3 + 6 + 3 + 2 = 14

Średnia arytmetyczna ważona

DEFINICJA

Średnią arytmetyczną ważoną liczb a ₁ , a ₂ , ..., a _n , gdzie n ∈ {1, 2, 3, ...} z wagami α 1 , ..., α n , gdzie α i ­ 0, i = 1, 2, ..., n oraz ^{P n}

i =1

α _i = 1, nazywamy sumę

α 1 a 1 + α 2 a 2 + ... + α n a n =

n

X

i =1

α i a i .

PRZYKŁAD

Oblicz średnią arytmetyczną ważoną liczb a 1 = 9, a 2 = 15,

a 3 = 18, a 4 = 20 dla wag α 1 = ¹ ₃ , α 2 = ² ₅ , α 3 = ¹ ₆ , α 4 = ₁₀ ¹ .

Zauważy, że ¹ ₃ + ² ₅ + ¹ ₆ + ₁₀ ¹ = 1.

Silnia

DEFINICJA

Każdej liczbie n ∈ {0, 1, 2, ...} przyporządkowujemy dodatnią liczbę naturalną oznaczaną przez n! (czyt. ”n silnia”), w następujący sposób

1

jeżeli n = 0, to n! = 1;

2

jeżeli n > 0, to n! = (n − 1)!n.

TWIERDZENIE

Dla każdego n ∈ {1, 2, ...}, n! = ^{Q n}

i =1

i .

PRZYKŁAD 3! = 1 · 2 · 3 = 6

5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Silnia

DEFINICJA

Każdej liczbie n ∈ {0, 1, 2, ...} przyporządkowujemy dodatnią liczbę naturalną oznaczaną przez n! (czyt. ”n silnia”), w następujący sposób

1

jeżeli n = 0, to n! = 1;

2

jeżeli n > 0, to n! = (n − 1)!n.

TWIERDZENIE

Dla każdego n ∈ {1, 2, ...}, n! = ^{Q n}

i =1

i .

PRZYKŁAD 3! = 1 · 2 · 3 = 6

5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Silnia

DEFINICJA

Każdej liczbie n ∈ {0, 1, 2, ...} przyporządkowujemy dodatnią liczbę naturalną oznaczaną przez n! (czyt. ”n silnia”), w następujący sposób

1

jeżeli n = 0, to n! = 1;

2

jeżeli n > 0, to n! = (n − 1)!n.

TWIERDZENIE

Dla każdego n ∈ {1, 2, ...}, n! = ^{Q n}

i =1

i .

5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Silnia

DEFINICJA

Każdej liczbie n ∈ {0, 1, 2, ...} przyporządkowujemy dodatnią liczbę naturalną oznaczaną przez n! (czyt. ”n silnia”), w następujący sposób

1

jeżeli n = 0, to n! = 1;

2

jeżeli n > 0, to n! = (n − 1)!n.

TWIERDZENIE

Dla każdego n ∈ {1, 2, ...}, n! = ^{Q n}

i =1

i .

PRZYKŁAD

Symbol Newtona

DEFINICJA

Niech n, k ∈ {0, 1, 2, ...} spełniają nierówność n ­ k.

Symbolem Newtona, oznaczanym przez ⁿ _k
- czyt. ”n po k”, nazywamy wyrażenie

n k

!

= n!

k!(n − k)! .

PRZYKŁAD

6 4

= _4!(6−4)! ^6! = 1·2·3·4·5·6

(1·2·3·4)·(1·2) = ^5·6 ₂ = 15

Symbol Newtona

DEFINICJA

Niech n, k ∈ {0, 1, 2, ...} spełniają nierówność n ­ k. Symbolem Newtona, oznaczanym przez ⁿ _k
- czyt. ”n po k”, nazywamy wyrażenie

n k

!

= n!

k!(n − k)! .

PRZYKŁAD

6 4

= _4!(6−4)! ^6! = 1·2·3·4·5·6

(1·2·3·4)·(1·2) = ^5·6 ₂ = 15

Symbol Newtona

DEFINICJA

Niech n, k ∈ {0, 1, 2, ...} spełniają nierówność n ­ k. Symbolem Newtona, oznaczanym przez ⁿ _k
- czyt. ”n po k”, nazywamy wyrażenie

n k

!

= n!

k!(n − k)! .

PRZYKŁAD

6 4

= _4!(6−4)! ^6! = 1·2·3·4·5·6

(1·2·3·4)·(1·2) = ^5·6 ₂ = 15

Symbol Newtona

DEFINICJA

Niech n, k ∈ {0, 1, 2, ...} spełniają nierówność n ­ k. Symbolem Newtona, oznaczanym przez ⁿ _k
- czyt. ”n po k”, nazywamy wyrażenie

n k

!

= n!

k!(n − k)! .

PRZYKŁAD

6 4

= _4!(6−4)! ^6! = 1·2·3·4·5·6

(1·2·3·4)·(1·2) = ^5·6 ₂ = 15

Własności symbolu Newtona

TWIERDZENIE

Dla dowolnych n, k ∈ {0, 1, 2, ...}, takich że n ­ k, zachodzą następujące równości

1

n

0

= ⁿ _n
= 1;

2

n

1

= _n−1 ⁿ
= n dla n > 0,

3

n

k

= _n−k ⁿ
;

4

n

k

+ _k+1 ⁿ
= ⁿ⁺¹ _k+1
dla n > k.

Własności symbolu Newtona

TWIERDZENIE

Dla dowolnych n, k ∈ {0, 1, 2, ...}, takich że n ­ k, zachodzą następujące równości

1

n

0

= ⁿ _n
= 1;

2

n

1

= _n−1 ⁿ
= n dla n > 0,

3

n

k

= _n−k ⁿ
;

4

n

k

+ _k+1 ⁿ
= ⁿ⁺¹ _k+1
dla n > k.

Własności symbolu Newtona

TWIERDZENIE

Dla dowolnych n, k ∈ {0, 1, 2, ...}, takich że n ­ k, zachodzą następujące równości

1

n

0

= ⁿ _n
= 1;

2

n

1

= _n−1 ⁿ
= n dla n > 0,

3

n

k

= _n−k ⁿ
;

4

n

k

+ _k+1 ⁿ
= ⁿ⁺¹ _k+1
dla n > k.

Własności symbolu Newtona

TWIERDZENIE

Dla dowolnych n, k ∈ {0, 1, 2, ...}, takich że n ­ k, zachodzą następujące równości

1

n

0

= ⁿ _n
= 1;

2

n

1

= _n−1 ⁿ
= n dla n > 0,

3

n

k

= _n−k ⁿ
;

4

n

k

+ _k+1 ⁿ
= ⁿ⁺¹ _k+1
dla n > k.

Własności symbolu Newtona

TWIERDZENIE

Dla dowolnych n, k ∈ {0, 1, 2, ...}, takich że n ­ k, zachodzą następujące równości

1

n

0

= ⁿ _n
= 1;

2

n

1

= _n−1 ⁿ
= n dla n > 0,

3

n

k

= _n−k ⁿ
;

4

n

k

+ _k+1 ⁿ
= ⁿ⁺¹ _k+1
dla n > k.

Trójkąt Pascala

Wartości wszystkich symboli Newtona tworzą tzw. trojkąt

Pascala, będący tablicą liczb ułożonych w wiersze ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ... .

Elementy każdego z wierszy są również ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ...., przy czym numerowanie rozpoczynamy od strony lewej. Można zauwazyć, że w miejscu o numerze k w wierszu o numerze n znajduje się wartość symbolu Newtona _k ⁿ
. Pamiętamy, że zarówno wiersze jak i ich elementy numerujemy od 0.

PRZYKŁAD

7 5

= 21,

Trójkąt Pascala

Wartości wszystkich symboli Newtona tworzą tzw. trojkąt

Pascala, będący tablicą liczb ułożonych w wiersze ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ... . Elementy każdego z wierszy są również ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ...., przy czym numerowanie rozpoczynamy od strony lewej.

Można zauwazyć, że w miejscu o numerze k w wierszu o numerze n znajduje się wartość symbolu Newtona _k ⁿ
. Pamiętamy, że zarówno wiersze jak i ich elementy numerujemy od 0.

PRZYKŁAD

7 5

= 21,

Trójkąt Pascala

Wartości wszystkich symboli Newtona tworzą tzw. trojkąt

Pascala, będący tablicą liczb ułożonych w wiersze ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ... . Elementy każdego z wierszy są również ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ...., przy czym numerowanie rozpoczynamy od strony lewej. Można zauwazyć, że w miejscu o numerze k w wierszu o numerze n znajduje się wartość symbolu Newtona ⁿ _k
.

Pamiętamy, że zarówno wiersze jak i ich elementy numerujemy od 0.

PRZYKŁAD

7 5

= 21,

Trójkąt Pascala

Wartości wszystkich symboli Newtona tworzą tzw. trojkąt

Pascala, będący tablicą liczb ułożonych w wiersze ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ... . Elementy każdego z wierszy są również ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ...., przy czym numerowanie rozpoczynamy od strony lewej. Można zauwazyć, że w miejscu o numerze k w wierszu o numerze n znajduje się wartość symbolu Newtona ⁿ _k
. Pamiętamy, że zarówno wiersze jak i ich elementy numerujemy od 0.

PRZYKŁAD

7 5

= 21,

Trójkąt Pascala

Wartości wszystkich symboli Newtona tworzą tzw. trojkąt

Pascala, będący tablicą liczb ułożonych w wiersze ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ... . Elementy każdego z wierszy są również ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, ...., przy czym numerowanie rozpoczynamy od strony lewej. Można zauwazyć, że w miejscu o numerze k w wierszu o numerze n znajduje się wartość symbolu Newtona ⁿ _k
. Pamiętamy, że zarówno wiersze jak i ich elementy numerujemy od 0.

PRZYKŁAD

7 5

= 21,

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0

wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1

wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2

wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3

wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4

wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5

wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6

wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1 1

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1

2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2

1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1

3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3

3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3

1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1

4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4

6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6

4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4

1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1

5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5

10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10

10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10

5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5

1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1

6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6

15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15

20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20

15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15

6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6

1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1

7 21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7

21 35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21

35 35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35

35 21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35

21 7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21

7 1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7

1

Trójkąt Pascala

wiersz nr 0 wiersz nr 1 wiersz nr 2 wiersz nr 3 wiersz nr 4 wiersz nr 5 wiersz nr 6 wiersz nr 7

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Wzór dwumianowy Newtona

TWIERDZENIE

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b oraz dowolnej liczby n ∈ {1, 2, ...} zachodzi następująca równość

(a + b) ⁿ =

n

X

i =0

n i

!

a ⁿ⁻ⁱ b ⁱ .

Własności logarytmów

TWIERDZENIE

Niech x ,y ∈ (0, +∞), a, b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) , k ∈ R. Wówczas

1

log _a (x · y ) = log _a x + log _a y

2

log _a ( ^x _y ) = log _a x − log _a y

3

log _a x = ^log _log

^x

b

a

4

log _a x ^k = k · log _a x

5

x ^log

^y = y ^log

^x

Własności logarytmów

TWIERDZENIE

Niech x ,y ∈ (0, +∞), a, b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) , k ∈ R. Wówczas

1

log _a (x · y ) = log _a x + log _a y

2

log _a ( ^x _y ) = log _a x − log _a y

3

log _a x = ^log _log

^x

b

a

4

log _a x ^k = k · log _a x

5

x ^log

^y = y ^log

^x

Własności logarytmów

TWIERDZENIE

Niech x ,y ∈ (0, +∞), a, b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) , k ∈ R. Wówczas

1

log _a (x · y ) = log _a x + log _a y

2

log _a ( ^x _y ) = log _a x − log _a y

3

log _a x = ^log _log

^x

b

a

4

log _a x ^k = k · log _a x

5

x ^log

^y = y ^log

^x

Własności logarytmów

TWIERDZENIE

Niech x ,y ∈ (0, +∞), a, b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) , k ∈ R. Wówczas

1

log _a (x · y ) = log _a x + log _a y

2

log _a ( ^x _y ) = log _a x − log _a y

3

log _a x = ^log _log

^x

b

a

4

log _a x ^k = k · log _a x

5

x ^log

^y = y ^log

^x

Własności logarytmów

TWIERDZENIE

Niech x ,y ∈ (0, +∞), a, b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) , k ∈ R. Wówczas

1

log _a (x · y ) = log _a x + log _a y

2

log _a ( ^x _y ) = log _a x − log _a y

3

log _a x = ^log _log

^x

b

a

4

log _a x ^k = k · log _a x

5

x ^log

^y = y ^log

^x

Ciąg arytyczny

TWIERDZENIE

Niech dany będzie ciąg arytmetyczny (a n ) _n∈N o różnicy r . Wówczas

wzór na n − ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący a _n = a ₁ + (n − 1)r

wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego S _n :=

n

P

i =1

a _i = a ₁ + a ₂ + ... + a _n jest następujący

S _n := a ₁ + a _n

2 n.

Ciąg arytyczny

TWIERDZENIE

Niech dany będzie ciąg arytmetyczny (a n ) _n∈N o różnicy r . Wówczas wzór na n − ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący

a _n = a ₁ + (n − 1)r

wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego S _n :=

n

P

i =1

a _i = a ₁ + a ₂ + ... + a _n jest następujący

S _n := a ₁ + a _n

2 n.

Ciąg arytyczny

TWIERDZENIE

Niech dany będzie ciąg arytmetyczny (a n ) _n∈N o różnicy r . Wówczas wzór na n − ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący

a _n = a ₁ + (n − 1)r

wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego S _n :=

n

P

i =1

a _i = a ₁ + a ₂ + ... + a _n jest następujący

S _n := a ₁ + a _n

2 n.

Ciąg arytyczny

TWIERDZENIE

Niech dany będzie ciąg arytmetyczny (a n ) _n∈N o różnicy r . Wówczas wzór na n − ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący

a _n = a ₁ + (n − 1)r

wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego S _n := ^{P n}

i =1

a _i = a ₁ + a ₂ + ... + a _n jest następujący

S := a ₁ + a _n

n.

Ciąg geometryczny

TWIERDZENIE

Niech dany będzie ciąg geometryczny (a n ) _n∈N o ilorazie q.

Wówczas

wzór na n − ty wyraz ciągu geometrycznego jest następujący

a _n := a ₁ q ⁿ⁻¹

wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego S n :=

n

P

i =1

a _i = a 1 + a 2 + ... + a n jest następujący

S n :=

( a ₁ ^1−q _1−q

gdy q 6= 1

a 1 · n gdy q = 1.

Ciąg geometryczny

TWIERDZENIE

Niech dany będzie ciąg geometryczny (a n ) _n∈N o ilorazie q.

Wówczas

wzór na n − ty wyraz ciągu geometrycznego jest następujący a _n := a ₁ q ⁿ⁻¹

wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego S n :=

n

P

i =1

a _i = a 1 + a 2 + ... + a n jest następujący

S n :=

( a ₁ ^1−q _1−q

gdy q 6= 1

a 1 · n gdy q = 1.

Ciąg geometryczny

TWIERDZENIE

Niech dany będzie ciąg geometryczny (a n ) _n∈N o ilorazie q.

Wówczas

wzór na n − ty wyraz ciągu geometrycznego jest następujący a _n := a ₁ q ⁿ⁻¹

wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego S _n := ^{P n}

i =1

a _i = a ₁ + a ₂ + ... + a _n jest następujący

Szereg geometryczny

TWIERDZENIE Szereg geometryczny

S := lim

n→∞ S _n =

∞

X

i =1

a _i = a ₁ + a ₂ + ... + a _n + ...

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1. Wówczas

S =

∞

X

i =1

a _i = a 1

1 − q .