W ITKOW SKI

(Przemówienie wyyloszone na uroczystej akadem ii w auli Uniwersytetu Jagiellońskiego dnia 17. X I . 1956)

Dzisiejsza uroczystość poświęcona jest pamięci zmarłego przed dwoma laty w iel­ kiego naszego uczonego — Tadeusza B a n a c h ie w i c z a , prof, zwycz. Uniwersytetu Jagiellońskiego, dra honoris causa uniwersytetów: warszawskiego, poznańskiego i sofij- skiego, członka rzeczywistego PA U , członka ty t. PA N , członka Towarzystw N auko­ wych w Warszawie i Poznaniu, członka Międzynarodowej U nii Astronomicznej, członka Akadem ii w Padwie, członka korespondenta Royal Astronomical Society w Londynie i wielu innych towarzystw naukowych krajowych i zagranicznych.

Uroczystość ta nie jest ceremonią, żałobną, lecz podniosłą uroczystością oddania hołdu pam ięci uczonego, którego dziś wprowadzamy do polskiego Panteonu na Skałce.

Nie m a go wśród nas — stał się dziełem, które na wieki pozostanie w narodzie, promieniując naukową myśl polską daleko poza granice naszego kraju.

Tadeusz Banachiewicz był w ciągu całego swego życia najszlachetniejszym typem polskiego uczonego, był założycielem polskiej szkoły astronomicznej, był nauczycielem i przewodnikiem młodzieży. Jako uczony urósł 011 do rozmiarów światowycłi i należyta ocena jego prac naukowych jest możliwa tylko w skali światowej.

Prace Tadeusza Banachiewicza obejmują szeroki wachlarz zagadnień z dziedziny astronomii, geodezji, m atem atyki, mechaniki, geofizyki i rachunku liczbowego. W każdej z tych nauk pozostawił ślady swego geniuszu i przyczynił się do rozwiązania wielu trud­ nych i zaw iłych zagadnień. W szystkie jego liczne prace, pisane przeważnie w językach obcych, odznaczają się niezmierną ścisłością form y, głębokością treści i starannością m atem atycznego opracowania. W ażną ich charakterystyką jest to, że są one głęboko przem yślane w założeniach i doprowadzone do końca w w ynikach. Dzięki konsekwentnie stosowanej przez autora zasadzie „dojrzewania" prac i wielokrotnemu ich sprawdzaniu, nie stwierdzono dotychczas ani jednego błędu w przeszło 240 publikacjach T. B ana­ chiewicza; fakt prawie nie spotykany w literaturze.

Środek ciężkości astronomicznych i geodezyjnych prac Banachiewicza leży w dzie­ dzinie teorii. M atematycznie w yszkolony, jasny i głęboki um ysł w oparciu o dużą intuicję pozwalał mu z łatwością orientować się w najbardziej trudnych i zawiłych zagadnieniach i znajdować właściwą drogę do rozwiązania badanych problem atów.

W r. 1906 pojawiła się jego praca z mechaniki nieba (przedstawiona Akademii Paryskiej przez Henri Poincare), która zwróciła uwagę specjalistów. Prof. L o v e t t z Rice In stitu te w ydał o niej bardzo pochlebną opinię w Quart. Journ. of Pure and A p ­

plied Mathematics Nr 167. W pracy tej zostało rozszerzone znane twierdzenie Lagrange’a

o 3 ciałach na przypadek nierównobocznego trójkąta, w założeniu sił odwrotnie pro­ porcjonalnych do sześcianu odległości, z podaniem poszczególnych rozwiązań zagadnie­ nia. J est to pierwsze w literaturze ścisłe rozwiązanie dla przypadku trzech skończonych mas poruszających się po krzywych podwójnej krzywizny.

Kronika 14 5

Do te jże dziedziny należy p raca p t. TJeber die Anw endbarkeit der Gylden-Brendel'sclien

Stórungstheorie a u j die jupiternahen Planetoiden. Z aw iera ona głęboką analizę teorii

G y l d e n -B r e n d la , dzięki k tó rej w yszła n a ja w iluzoryczność stosow ania tej ta k zach w a­ lanej teorii do p la n e te k bliskich Jow isza. W spom niana te o ria posługuje się rozw inię­ ciam i w edług potęg m im ośrodów ; w grę w chodzi t u je d n a k , ja k w y k azu je Banachiew icz, za n ie d b an y w te o rii w spółczynnik 1//?, gdzie fi je s t m a łą w ielkością; dzięki te m u w zory G ylden-B rendla, ograniczające się do drugich potęg m im ośrodów , są n iedostatecznie ścisłe i nie m ogą być stosow ane. N a p odstaw ie w yprow adzonego przez siebie k ry teriu m rozbieżności, a u to r w ykazuje, że szeregi G ylden’a są w ogóle rozbieżne d la p la n e t ty p u H ilda (2/3) i Tliule (3/4). N a p ię k n y m przykładzie n u m erycznym , w k tó ry m Banachiew icz posługuje się zespolonym i m im ośrodam i, zo staje rozw iązane rów nanie dla sfingowanego zderzenia Jow isza i T hule, a ty m sam ym u zyskane potw ierdzenie rozbieżności szeregów.

N a uw agę zasługuje tu często stosow ana i przez B anacliiew icza w prow adzona m e­ to d a fik cy jn y ch przykładów , in n y m i słowy m eto d a ek sp ery m en tu liczbowego. J e j p o ­ trz e b ę u za sa d n ia on n astęp u jąco : „N ie w olno operow ać w zoram i n a ślepo. P rz y naszej niedoskonałości u jm o w an ia w zorów i łatw ości popełnienia błędów nie należy nigdy zaniedbać sposobności „ożyw iania" ty c h wzorów za pom ocą p rzykładów num erycznych i spraw dzenia t ą d rogą ich słuszności i zastosow alności".

R o zp atry w an a tu p ra c a w ykazała, że te o ria p e rtu rb a c y jn a G ylden-B rendla nie m a zastosow ania dla szeregu ty p ó w m ałych p la n e t i że o p a rte n a niej obszerne p race, ja k np. B u c h h o l z a , są li ty lk o m o n u m e n ta ln ą budow ą wzorów algebraicznych, pozbaw ioną p o d sta w y te o re ty cz n ej i znaczenia naukow ego.

O sobny rozdział stan o w ią p race B anacliiew icza z astro n o m ii teo rety czn ej. K ilk a

rozpraw z 15)16— 17 r. w ję zy k u rosyjskim - O petueuu ypaeuenin raycca, 9 miodu no

meopemtmecKou acmponoMuu— dotyczą ró w n a n ia G aussa: sin (z — q) = m sin4 z ró w n a ­ nia, k tó re odgryw a podstaw ow ą rolę w w yznaczeniu elem entów o rb ity eliptycznej, w edług m eto d y p odanej przez G a u s s a w jego Theoria m otus corporum coelestium. R ów ­ n anie G aussa rozw iązyw ane było m e to d ą stopniow ych przybliżeń, k tó ra stanow i swego ro d za ju m alum necessarium w p ra k ty c e rachunkow ej. B anachiew icz, w ychodząc ze w zoru W r o ń s k i e g o , w skazał p ro ste rozw iązanie ró w n an ia p rz y pom ocy szybko zbieżnego szeregu, w k tó ry m w y sta rc zy uw zględnić dw a, najw yżej trz y w yrazy, dla w szystkich sp o ty k a n y c h w ra c h u n k u o rb it w ypadków . D la uproszczenia rachunków ułożył on specjalne tablice, k tó re sp o tk a ły się z dużym uznaniem specjalistów , n p . H . A n d o y e r a . P o d ał on te ż szczegółową teorię rów n an ia G aussa i różne jego p rzekształcenia. T ablice B ana- ehiew icza w eszły do zn an y ch ta b lic B a u s c l i i n g e r - S t r a c k e : Tajeln zur tlieoretischen

A stronomie.

B anachiew icz poświęcił sporo uw agi w ielokrotnym rozw iązaniom w zagadnieniu w yznaczenia o rb ity parabolicznej i d ał n ajb ard zie j szczegółową i p rz e jrz y stą analizę tego zawiłego i tru d n eg o p roblem u, w y k ry w a jąc i p ro stu ją c b łędy popełnione przez w y b itn y c h specjalistów . W ykazał, że w m etodzie O lbersa istn ie ją p o tró jn e rozw iązania i że zachodzą o n e 'p rz y pew nych w aru n k ac h , m ianow icie dla k o m e t w idzialnych w p o ­ bliżu Słońca lub dla k o m e t praw ie sta c jo n a rn y c h — i to p rz y dowolnej elongacji — w brew te m u , co tw ierd ził L e u s c h n e r . L eu sch n er zarów no ja k C l i a r l i e r , Y o g e l, T s c h e r n y i inni m niem ali, iż udało się im w ykazać jednoznaczność w y prow adzenia o rb ity z trzech obserw acji, a więc niem ożność istn ien ia potró jn eg o rozw iązania. P ogląd ta k i b y ł w ypow iedziany ju ż w roku 1806 przez słynnego m a te m a ty k a francuskiego L e g e n d r e ’a, k tó ry udow odnił, że dw a rów nania, do k tó ry c h sprow adza się problem w y znaczania o rb ity parabolicznej na pod staw ie 3 obserw acji, d a ją ty lk o jed n o ro zw ią­ zanie odpow iadające założeniom . B anachiew icz w ykazał, że L egendre, zarów no ja k i inni autorow ie, opierali się w sw ych w yw odach n a rów naniu L a m b e r t a , k tó re w pew

146

nycb okolicznościach nie ma zastosowania. W tych właśnie wyjątkowych przypadkach istnieją trzy rozwiązania zadośćczyniące warunkom zagadnienia, co Banachiewicz pięknie zilustrował na fikcyjnym przykładzie liczbowym. W yniki te zostały szeroko omówione w literaturze światowej.

Badania jego nad dokładnością orbity wyprowadzonej z 3 obserwacji doprowadziły do znalezienia prostego wyrażenia przybliżonego na błędność względną odległości pla­ nety od Ziemi. Je st to pierwsza dotychczas znana sum aryczna charakterystyka liczbowa dokładności orbity z trzech obserwacji. W ynik ten, na pozór sprzeczny z pewnymi wywodami H a n s e n a , skłania Banachiewicza do zbadania podstawowego wzoru Lagran­ ge’a Q-~(k — l)/r3, w wyniku czego odkrywa przybliżoną zależność, która daje stosunek k: l z dokładnością 0,6P/0, jak to sam stwierdził z 20 przeliczonych w tym celu orbit. W ynik ten pozwala uzgodnić wywody Hansena z otrzym anym wzorem na błędność odległości.

Wielkim osiągnięciem Banachiewicza było zmodyfikowanie i uproszczenie metody Olbersa wyznaczania orbit parabolicznych z przystosowaniem do rachunku arytm o- metrycznego. Usunięte zostały wszystkie k ą ty pomocnicze oraz wprowadzono elementy wektorialne, przez co osiągnięto uproszczenie i przejrzystość wzorów, a także najprostszą ich postać arytm om etryczną w ujęciu krakowianowym. Banachiewicz podał dogodny graficzny sposób wyznaczenia wyjściowej wartości geocentrycznej odległości kom ety, ta k ważnej w pierwszych rachunkach orbity, oparty na porównaniu cięciwy geome­ trycznej z cięciwą dynamiczną, wyprowadzoną z równania Eulera. Sposób ten daje bardzo dobre wyniki i oszczędza rachmistrzom żm udną pracę postępowania drogą kolejnych przybliżeń, stosowanego do tego czasu.

Metoda Banachiewicza wyznaczania orbity parabolicznej wyrugowała klasyczną m etodę Olbersa; została należycie oceniona przez w ybitnych znawców zagadnienia i weszła do podręczników astronomii teoretycznej np. G'. S t r a c k e : Bahnbestimmung der Planeten wnd Kometen. Nadanie problemowi wyznaczania orbit postaci krakowia­ nowej pozwoliło Banachiewiczówi znaleźć nowe, dogodno w praktyce i teorii rozwiązanie zagadnienia popraw iania orbit. Metody klasyczne, uwikłane w pomocniczych wyrazach trygonom etrycznych, były zbyt uciążliwe dla nowoczesnego rachm istrza i nie nadaw ały się do rachunku arytm om etrycznego. Już w r. 1925 wyprowadził Banachiewicz wzory w yrażające geocentryczne przemieszczenie pozornego miejsca kom ety w funkcyjnej zależności od różnicowych zmian elementów jej orbity parabolicznej. AVzory te znalazły wkrótce po ich ogłoszeniu w okólniku Obserwatorium Krakowskiego n r 17 zastosowanie w rachunkach efektywnych (F. K ę p iń s k i, F. Z a g a r). W następnych publikacjach Banachiewicz podał dwa w arianty nowej krakowianowej m etody popraw iania orbit: m etodę bezpośrednią i metodę kwaternionową. Pierwsza z nich oparta jest na rzu to ­ waniu przemieszczenia heliocentrycznego na osi orbitalne, druga natom iast operuje rzutam i na promień wodzący i dwa kierunki prostopadle do niego. Przejście od jednej do drugiej może być uskutecznione przy pomocy podstawowego przekształcenia iloczynu krakowianów obrotowych. Obie m etody w prowadzają do rachunku uproszczenie, przej­ rzystość i wygodną kontrolę. Mają one zastosowanie do orbit o dowolnym mimośrodzie. Ich zalety w porównaniu z dawnymi klasycznymi metodam i sprowadzają się. do n a ­ stępujących punktów :

1) Znaczna redukcja umysłowego wysiłku rachm istrza. 2) W yrugowanie pomocniczych kątów Schonfelda lub innych.

3) Odpada wyznaczanie elementów równikowych z elementów ekliptycznych. 4) Odpada obliczanie stałych Gaussa zarówno przed, jak i po poprawieniu elementów. 5) Skuteczna kontrola rachunku przy pomocy dwóch różnych metod.

6) Znaczne uproszczenie wzorów (21/2 razy mniej niż w m etodach klasycznych). 7) A rytm om etryczną postać wzorów.

K ro n ik a 147

M etody B anachiew icza w yznaczania i p o p raw ia n ia o rb it uzy sk ały pow szechne uznanie i rozpow szechniły się w śród astronom ów w szystkich krajów . N iesposób w y ­ m ienić tu w szystkie m niejsze prace B anachiew icza odnoszące się do om ów ionych problem ów . Z aw ierają one uzupełnienia, w yjaśnienia lu b uw agi k ry ty cz n e. P o d aje m y n ie k tó re z o sta tn ie j g ru p y . Zur angenaherten Bahnverbesserung p ro stu je b łą d p o p eł­ n iony przez S trackego w p ra c y Genaherte Strórungsrechnung und Bahnverbesserung.

(V eriiffentlichung N r 44 des A stronom ischen R e ch en in stitu tes). W p rac y U ber die

Behandlung mehrfaclier Lósungen des Kometenproblems bei Bauschinger z o s ta ją ujaw nione błędy w y stęp u jące w now ym w y d an iu znanego p o d ręcznika J . B a u s c h i n g e r a Bahnbe- stimmung der H im m elskórper; również i w a rty k u le Uber die M uliiplizitdt der Lósungen der Theorie der Bahnbestimmung der Kometen analizuje B anachiew icz p racę niem ieckiego astro n o m a W i l k e n s a , w y k az u jąc podstaw ow e błęd y w ujm ow aniu przez niego zagadnień w ielokrotnych rozw iązań o rb it p arabolicznych. Sur le calcul de la variation de la decli- naison d'une planetę zaw iera dogodne w zory krakow ianow e dla obliczania zm iany d ek li­ n acji p la n e ty i u ja w n ia błędy p ra c y J e k h o w s k i e g o w Gomptes tiendus de VAcademie de P aris, t. 188.

I)o obliczania w pływ u precesji n a w spółrzędne p ro sto k ą tn e gwiazd, a ta k ż e dla przeliczania z jednej epoki mi d ru g ą elem entów w ektorialnych o rb ity ciała niebieskiego, podał Banachiew icz bardzo dogodne w użyciu krakow ianow e w zory liczbowe, o p a rte n a te o rii precesji N e w c o m b a.

R easum ując, należy stw ierdzić, że om ów ione tu prace B anachiew icza sta n ę ły w lite ­ ra tu rz e p rze d m io tu n a rów ni z p rac am i ty c h w ielkich astronom ów i geom etrów , k tó rz y stw orzyli te n dział n a u k i o niebie. D zisiejsza astro n o m ia te o re ty c z n a je s t nierozerw alnie zw iązana z im ieniem B anachiew icza. Bez niego nie m a nowoczesnej teorii, bez niego nie m a now oczesnych rachunków o rb it.

.Nowe m eto d y w yzn aczan ia i p o p raw ian ia o rb it, dostosow ane do m aszynow ych sposobów rac h o w a n ia, sta n o w ią zarów no po d w zględem te o rety czn y m , ja k i p ra k ty c z n y m pierw szy isto tn y postęp , d o k o n an y w tej dziedzinie od czasów O lbersa i G aussa. P chnięcie starego zagadnienia n a now e tory,' w ym agało now ych m eto d m a tem aty c zn y c h i now ych schem atów rachunkow ych. W ty m celu B anachiew icz stw orzył swą teorię krakow ianów .

Pierw sze ślady krakow ianów sp o ty k a m y w w y k ład ach B anachiew icza w ygłoszonych n a U niw ersytecie Jagiellońskim w I try m . ro k u akadem ickiego 1922/23. W ystępow ały one ta m pod nazw ą Ja k o b ian ó w , ja k o zespół 9 kosinusów kierunkow ych, służących do przejścia od w spółrzędnych ek lip ty czn y ch do w spółrzędnych rów nikow ych i dogodnych w ra c h u n k u m aszynow ym . W ty m czasie B anachiew icz żywo interesow ał się p o stę p am i te c h n ik i m aszyn rachunkow ych i ich szerokim zastosow aniem w n au ce i życiu codzien­ ny m . P ropagow ał on w a rty k u ła c h p o p u la rn y c h zastąp ien ie w Polsce archaicznego sposobu liczenia „nieuzbrojoną głow ą", liczeniem p rz y pom ocy „m ózgu stalow ego". P rzew idyw ał on ju ż w ówczas nadejście ery m aszyn, k o n k u re n te k naszego m ózgu, sp raw ­ niejszych od niego i szybszych od m yśli ludzkiej. P rzew idyw ania te spraw dziły się jeszcze za jego życia, w w ynalezieniu m aszyn ty p u elektronow ego, k tó re są w sta n ie sprostać dzisiejszym rosnącym p otrzebom n a u k i i tech n ik i. O nich w spom niał Banachiew icz w sw ym przem ów ieniu jubileuszow ym , m ówiąc o o sta tn ic h osiągnięciach w astronom ii rach u n k o w ej, A oto jego słow a: „Dzieło, o k tó ry m m ow a (Pozycje 5 wielkich planet za okres 1653— 2060), zaw iera w y d ru k o w an y ch przeszło l 1/., m iliona cyfr, a dla o trz y ­ m an ia ich p o trz e b a było użyć około 200 m ilionów cyfr. L e v e r r i e r z p o siad an y m i przez się środkam i m usiałby pracow ać n a d nim 300 la t, a p o n a d to d la niego dzieło to było ty m b ardziej niew ykonalne, że je d n a w nim o m yłka m ogłaby zepsuć w szystko. O tw ierają się te ra z now e h o ry zo n ty przed rac h u n k am i wielkiej w agi dla ogółu. W y starcz y , że w spom nę ty lk o o prognozach p o gody".

148

T ak z dobrze zrozum ianej p o trze b y dnia dzisiejszego i d n ia jutrzejszego pow stały w m yślach B anachiew icza nowe m etody rac h u n k u , k tó rem u n a d a ł nazw ę rac h u n k u krakow ianow ego d la uczczenia m iasta, w k tó ry m spędził długie la ta swego pracow itego życia, a też i d la p o dkreślenia polskości now ych sym bolów m a tem aty c zn y c h i ich teorii.

K rakow iany o kazały się nie ty lk o dogodnym i ekonom icznym schem atem ra c h u n k o ­ w ym , ale w y k az ały również i w ielkie za le ty te o re ty cz n e. P okrew ne m acierzom C a y l e y a, ró żn ią się one od nich definicją m nożenia-— m nożym y kolu m n y przez kolum ny, co p o sia d a duże za le ty w ra c h u n k u m aszynow ym . Z biegiem czasu p o w sta ła algebra k ra k o ­ w ianow a. Do jej podstaw ow ych operacji należy „rozkład n a czynniki elem en tarn e", a tak-że dzielenie i pierw iastkow anie, nieznane w odniesieniu do liczb zespołowych. T a now a algebra p rzeprow adza linię d e m ark ac y jn ą pom iędzy krak o w ian am i a po k rew ­ n y m i im m acierzam i C ayleya. U tożsam ianie krakow ianów z m acierzam i Cayleyowskim i je s t dziś niedopuszczalne. R ach u n ek k rakow ianow y doznał w ciągu przeszło trz y d z ie sto ­ letniego swego istn ien ia intensyw nego rozw oju, do czego p rzyczynił się sam a u to r i jego s z k o ła — S. H a u s b r a n d t , T. K o c h m a ń s k i , K . K o z ie ł, L. S t a n k i e w i c z i inni.

O pinia św ia ta naukow ego, początkow o nacechow ana rezerw ą w odniesieniu do now ych tw orów m a tem aty c zn y c h , sta w ała się z biegiem czasu coraz bardziej p rz y ­ ch y ln ą d la krakow ianów . Uczeni Ita lii, Anglii. Belgii, Chin, Z S R R , USA, D an ii i innych k rajó w zaczęli posługiw ać się krak o w ian am i i n ab ierali coraz większego p rze k o n an ia do ich te o re ty cz n y ch i p ra k ty c z n y c h zalet. W Belgii prof. A r e n d , e n tu z ja sty c z n y zw olennik krakow ianów , opublikow ał wiele ro zpraw naukow ych o k rak o w ian ach i zaleca ich szerokie stosow anie. W swej p ra c y Voies nouvelles dans le calcul scientifique w ypow iada się n a te n te m a t n astęp u jąco : Nous avons pu nows en rendre compte par experience, que le nouveau symbolisme presente des avantages invontestab\es non sevilement d/u point de vue formel, mais encore en ee qui concerne la commodite, la rapidite et la surete de Vexecution des operations numeriques. D alej: d'autres, parm i lesquels U faut citer D . B r o u w e r , P . H e r g e t , de la V i l i e m a r q u e , H . I l l i n g e r , C. B e lk o w ic z . L. J . C o m r ie , L . E . C u n n i n g h a m , W . J . E c k e r t , J . P. M o lie r , K . S t e i n s et de nombreux liommes de science potonais n'ont. pas hesite a faire usage des notations nouvelles.

R ach u n ek krakow ianow y zajął więcej niż rów norzędne m iejsce w śród in n y c h r a ­ chunków , o p eru jący ch geom etrycznym i lub fizycznym i w ielkościam i, rach u n k iem R i c c i e g o , rach u n k iem diadycznym G i b b s a , algebrą m acierzow ą, rach u n k iem m echa­ n ik i kw antow ej D i r a c a i w ieloliniow ym i w ektorow ym i fu n k cja m i N e v a n l i n n a . P o ­ krew ieństw o ty c h rachunków i częściowe icli zazębianie się zostało w y kazane w o sta tn ic h latacli przez P . K u s t a a n h e i m o w jego algebrze tensorow ych pierścieni.

W m iarę rozw oju ra c h u n k u krakow ianow ego p o w stały nowe jego zastosow ania i now e działy, że w ym ienim y tu poligonem etrię sferyczną, rozw iązyw anie rów nań linio­ w ych, m etodę n ajm n iejszy ch k w ad rató w , m etody in te rp o lac y jn e, algebrę jąd ro w ą, ciągi w ielow ym iarow e. W ynalezienie t.zw. krakow ianów obrotow ych pozwoliło B ana- chiewiczowi n a w yprow adzenie p ro sty c h i rachunkow o dogodnych w zorów n a tra n s fo r­ m acje w spółrzędnych p ro sto k ą tn y c h p o d d an y c h kolejno obrotom o k ą ty a x, a £ ... a„ dokoła dow olnej z trze ch osi obracanego u k ła d u . W zory te um ożliw iły w yprow adzenie podstaw ow ego w zoru poligonom etrii sferycznej, bezow ocnie poszukiw anego przez m a te ­ m a ty k ó w od przeszło s tu la t ( R a a b e w 1827). Miało to doniosłe znaczenie dla a s tro ­ nom ii sferycznej, poniew aż poruszane ta m zagad n ien ia pro w ad zą często do ro z p a try ­ w an ia w ielokątów sferycznych, a nie tró jk ą tó w . W yłączne operow anie tró jk ą ta m i było koniecznością w y n ik ając ą z nieum iejętności rozw iązyw ania w ielokątów k u listy ch . O gólny w zór poligonom etrii sferycznej w zastosow aniu do tr ó jk ą ta kulistego d aje w szy st­ kie w zory try g o n o m e trii sferycznej i w yjaśn ia niezrozum iałe do tego czasu osobliwości ty c li wzorów ; dw a u k ła d y G a u s s a i D e l a m b r e ’a o kazały się o dm iennym i po staciam i

K ronika 149

te j sam ej zależności geom etryczno-kinem atycznej. B anacliiew icz zakończył dzieło n a d k tó ry m p racow ały pokolenia m a tem aty k ó w i astronom ów w śród k tó ry c h nie b ra k u czonych te j m ia ry co G a u s s , E u l e r , M o n g e i D e l a m b r e .

U zbrojony w te nowe w zory, B anacliiew icz zastosow ał je m . in. do zagadnień księży­ cow ych. Z asługuje n a uw agę jego m etoda liczbow a obliczania zak ry ć gw iazd przez K siężyc, w y su w ająca się po d w zględem ekonom ii ra c h u n k u n a pierw sze m iejsce. Również i w zagadnieniu red u k c ji zak ry ć w zory B anachiew icza na w spółrzędne sełenograficzne m iejsca o k u lta c ji są dogodniejsze od w zorów H a y n a .

N a szczególne podkreślenie zasługuje m o d y fik acja sposobu klasycznego B e s s e l a red u k c ji heliom etrycznych obserw acji lib ra cji K siężyca, k tó ra uległa rozpracow aniu w rozpraw ie prof. K o z i e ł a , d ają c p iękne i w ażne w yniki.

R ozw iązyw anie ró w n ań liniow ych łączy się z pojęciem w yznaczników , specjalnie do tego celu przez C r a m e r a w ynalezionych. W iadom o je d n ak , że w p ra k ty c e w y zn a­ czniki m ało się do tego n a d a ją i że stosow ane są różne in n e m etody. B anachiew icz podał ła tw y i efek ty w n y sposób krakow ianow y obliczania w yznaczników , a ty m sam y m ro z­ w iązyw ania rów nań liniow ych. Je g o m etoda dekom pozycji, rów noznaczna z dzieleniem krakow ianów , polega n a w yznaczeniu dw óch kanonicznych krakow ianów , k tó ry c h ilo ­ czyn rów na się krakow ianow i w spółczynników i w olnych w yrazów uk ład u . O znacza to d u ż ą oszczędność w rac h u n k ach , w po ró w n an iu ze zw ykłą m e to d ą kolejnego rugow ania niew iadom ych. Is tn ie ją 2 sposoby rozw iązyw ania rów nań liniow ych — rozw iązania oznaczone i nieoznaczone. W pierw szym w y p a d k u zn a jd u je m y k o lu m n ę niew iadom ych d la zupełnie oznaczonej liczbow o danej kolum ny L praw ej stro n y rów n an ia k rak o w ia­ nowego :

X tA = L .

D ru g i sposób polega n a obliczeniu inw ersu A (y!— krak o w ian w spółczynników rów nań liniow ych). J a k w iadom o, rozw iązanie rów nań liniow ych m oże być uskutecznione