Wektory typu wykªadniczego

f0 n dla wszystkich f0

n ∈ D(A0)⊗n. Obkªadaj¡c obustronnie równo±¢ operatorem

S0 n, z wªasno±ci S0 nU0⊗n t = U0⊗n t S0 n, otrzymujemy d dt^U 0⊗n t f_n⁰ |t=0= ³Xn j=1 A⁰_j ´ f_n⁰ dla wszystkich f0

n ∈ D(A0)¯n i n ∈ Z+. Ostatecznie, korzystaj¡c z (4.52) i (4.47) otrzymujemy d dt^{Ubtf (x) |t=0 =} d dt X n∈Z+ b U¯n t f_n(x) |_t=0 = ^X n∈Z+ d dt^Ub ¯n t f_n(x) |_t=0 = ^X n∈Z+ ¿ x¯n¯ ¯ ¯^d dt^U 0⊗n t f0 n |_t=0 À = ^X n∈Z+ ¿ x¯n¯_¯ ¯ ³Xn j=0 A0 j ´ f0 n À = bAf (x) dla dowolnego f = ^P n∈Z+ f_n∈ W_π(B) i x ∈ B . ¤

4.2 Wektory typu wykªadniczego

grupy automorzmów algebry W

(B)

Niech E(A0) b¦dzie podprzestrzeni¡ wektorów typu wykªadniczego opera-tora A0, a E( bA) analogiczn¡ podprzestrzeni¡ wektorów typu wykªadniczego dla operatora bA, gdzie bA jest generatorem grupy bU_t tak jak w poprzed-nim paragrae. Oznaczmy przez E(A0)⊗n i E(A0)¯n odpowiednio dziedzin¦ i przeciwdziedzin¦ projekcji S0

Twierdzenie 4.2.1. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ reeksywn¡, a Ut izome-tryczn¡ (C0)-grup¡ na X . Wtedy:

1◦ R 3 t 7→ bU_t : W_π(B) → W_π(B) jest izometryczn¡ (C0)-grup¡;

2◦ generator bA tej grupy bUt jest domkni¦tym operatorem o g¦stej dziedzinie D( bA) na algebrze Wienera Wπ(B);

3◦ _Ab-niezmiennicza podprzestrze«, zdeniowana jako liniowe rozpi¦cie

F( bA) := span_C^©E(A0)¯n: n ∈ Z₊^ª,

zawarta w E( bA), jest g¦st¡ podalgebr¡ w Wπ(B) i zaw¦»enie bA |_{F( bA)} jest ró»niczkowaniem na podalgebrze F( bA) (w sensie Leibniza);

4◦ generator bA grupy bU_t jest operatorem konserwatywnym na algebrze Wienera Wπ(B).

Dowód. Poniewa» X jest reeksywna, wi¦c z Twierdzenia Philipsa wynika, »e sprz¦»ony, nieograniczony operator liniowy A0 jest generatorem sprz¦»onej grupy U0

t i A0 ma g¦st¡ dziedzin¦ D(A0) ⊂ X0. Z tego z kolei wynika, »e U0 t

jest (C0)-grup¡ [51, IX,13]. St¡d lim t→0 b Utf = f dla dowolnego f = ^P n∈Z+ f_n∈ W_π(B), poniewa» korzystaj¡c z (4.52) i (4.47) lim t→0 b U_tf (x) = lim t→0 X n∈Z+ b U¯n t f_n(x) = ^X n∈Z+ lim t→0 b U¯n t f_n(x) = ^X n∈Z+ hx^¯n| lim t→0U_t^0⊗nf_n⁰i = ^X n∈Z+ hx^¯n| f_n⁰i = ^X n∈Z+ f_n(x) = f (x).

Wreszcie wªasno±¢ izometryczno±ci zostaªa wykazana w Lemacie 4.1.1, a to ko«czy dowód punktu 1◦.

Dla dowodu punktu 3◦ oznaczmy nA0 := n X j=1 A0 j.

Sprawdzimy, »e podprzestrze« E(A0)⊗n zawiera si¦ w E(nA0). Z denicji wek-torów typu wykªadniczego operatora A0 wynika, »e dla dowolnego yj ∈ E(A0) istnieje νj > 0 takie, »e yj ∈ Eνj(A0). Wtedy dla ka»dego yj ∈ Eνj(A0) ist-nieje staªa cj taka, »e

kA^0kyjk ≤ ν_j^kcj

dla wszystkich k ∈ Z+. Z równo±ci

nA0k(y₁⊗ . . . ⊗ y_n) = ^X k1+...+kn=k k! k₁! . . . k_n!^A 0k1y₁⊗ . . . ⊗ A0kny_n otrzymujemy k_nA0k(y₁⊗ . . . ⊗ y_n)k_π ≤ ^X k1+...+kn=k k! k1! . . . kn!^kA 0k1y₁k . . . kA0kny_nk ≤ ^X k1+...+kn=k k! k1! . . . kn!^c1ν k1 1 . . . c_nνkn n ≤ c ^X k1+...+kn=k k! k₁! . . . k_n!^ν k1 1 . . . νkn n = cνk, gdzie c := ^Qn j=1 c_j i ν := ^Pn j=1 ν_j. Dlatego y1⊗ . . . ⊗ yn∈ Eν(nA0), a to oznacza Eν1(A0) ⊗ . . . ⊗ Eνn(A0) ⊂ Eν(_nA0), st¡d E(A0)⊗n= ^[ ν1,...,νn Eν1(A0) ⊗ . . . ⊗ Eνn(A0) ⊂^[ ν Eν(_nA0) = E(_nA0).

Poniewa» U0

t jest (C0)-grup¡ izometryczn¡, to na mocy Twierdzenia 3.3.3

E(A0) = X0.

Jak odnotowali±my w rozdziale 1, z dokªadno±ci¡ do izomorzmu topologi-cznego zachodzi

(X0⊗n

π )0 = B(X0× . . . × X0),

gdzie B(X0× . . . × X0) jest przestrzeni¡ ci¡gªych n-liniowych funkcjonaªów okre±lonych na iloczynie kartezja«skim. Niech f ∈ (X0⊗n

π )0 b¦dzie takim funkcjonaªem, »e

f (y1, . . . , yn) = 0

dla wszystkich yj ∈ E(A0), j = 1, . . . , n. Z powy»szego izomorzmu otrzymu-jemy, »e dla dowolnych ustalonych y1, . . . , yj−1, yj+1, . . . , yn ∈ E(A0) liniowy funkcjonaª

F_yj: X0 3 y_j 7−→ f (y₁, . . . , y_j, . . . , y_n) nale»y do bidualnej przestrzeni X00 i speªnia równo±¢

F_yj(y_j) = 0

dla wszystkich yj ∈ E(A0). Z g¦sto±ci E(A0) w X0 mamy

F_yj = 0

dla wszystkich yj ∈ X0 i j = 1, . . . , n. Z tego, »e f = 0 i Twierdzenia Hahna-Banacha wynika, »e E(A0)⊗n jest g¦sta w X0⊗n

π . Dlatego dla wszys-tkich n ∈ Z+ podprzestrze« E(A0)¯n jest g¦sta w X0¯n

π jako przeciwdzie-dzina g¦stej podprzestrzeni E(A0)⁰⊗n wzgl¦dem projekcji S0

n. W konse-kwencji rozpi¦cie liniowe F( bA) jest g¦ste w Wπ(B). Oczywiste jest, »e je±li

f0

n∈ E(A0)¯n i g0

k∈ E(A0)¯k, to wtedy

S_n+k⁰ (f_n⁰ ⊗ g⁰_k) ∈ E(A⁰)^¯(n+k),

a st¡d liniowe rozpi¦cie F( bA) jest podalgebr¡ Wπ(B).

Z mocy analityczno±ci funkcji f ∈ F( bA) ⊂ Wπ(B) w kuli B , pochodna

d_xf (y) dla wszystkich x, y ∈ B jest dobrze zdeniowana. Generator bA

speªnia równo±¢

b

gdzie dxf (Ax) jest ró»niczkowaniem f w punkcie x ∈ E(A) ∩ B w kierunku Ax, bo b Af (U_tx) = bA bU_tf (x) =³ d dt^Ubt ´ f (x) = ^d dt ¡_b U_tf (x)^¢= ^d dt ¡ f (U_tx)^¢ = d_Utxf³ d dt^Utx ´ = d_Utxf (AU_tx)). Czyli b Af (x) = bAf (U_tx) |_t=0= d_Utxf (AU_tx)) |_t=0= d_xf (Ax).

Dlatego bA jest ró»niczkowaniem w sensie Frécheta w kierunku Ax na podal-gebrze F( bA).

Ponadto, bA jest równie» ró»niczkowaniem w sensie Leibniza na podalge-brze F( bA), poniewa»

b

A(f · g)(x) = d_x(f · g)(Ax) = d_xf (Ax) · g(x) + f (x) · d_xg(Ax)

= bAf (x) · g(x) + f (x) · bAg(x)

dla wszystkich f, g ∈ F( bA).

Literatura

[1] R. Aron, An introduction to polynomials on Banach spaces, Extracta Mathematics, Vol. 17, T. 3, 2002, p. 303329.

[2] ed. J. Baker, C. Cleaver, J. Diestel, Banach spaces of analytic functions, Lectures Notes in Math., Springer-Verlag, Vol. 604, 1977.

[3] A. Bednarz, Exponential Type Vectors in Wiener Algebras on a Banach Ball, Opuscula Mathematica, Vol. 28, No. 1, 2008.

[4] A. Bednarz, O. Lopushansky, Exponential Type Vectors of Isometric Group Generators, Matematychni Studii (Proceedings of the Lviv Math-ematical Society), Vol. 18, No. 1, 2002, p. 99-106.

[5] Yu. M. Berezanski, Yu. G. Kondratiev, Spectral Methods in Innite-Dimensional Analysis, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1995.

[6] J. Bergh, J. Löfström, Interpolation spaces, Springer-Verlag, 1976.

[7] L. Bieberbach, Analytische fortsezung, Springer-Verlag, 1956.

[8] J. Bochnak, J. Siciak, Polynomials and multilinear mappings in topolog-ical vector spaces, Studia Mathematica, T. XXXIX, 1970, p. 5976.

[9] S. Bong Chae, Holomorphy and Calculus in Normed Spaces, Pure and Applied Mathematics, A Series of Monographs and Textbooks, New York: Marcel Dekker, Inc., 1985.

[10] S. Dineen, Complex Analysis on Innite Dimensional Spaces, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1998.

[11] N. Dunford, J. T. Schwartz, Linear operators, Part I: General Theory, Interscience, New York, 1957.

[12] N. Dunford, J. T. Schwartz, Linear operators, Part III: Spectral Opera-tors, Wiley-Interscience, 1971.

[13] L. Fantappié, I funzionali analitici, Memorie della R. Academia Nazionale dei Lincei.,Vol. 6, 3, 11, 1930. p. 453683.

[14] M. Fréchet, Une denition fontionelle des polinomes, Nouv. Ann. Math., Vol. 9, 1909, p. 145162.

[15] T. W. Gamelin, Analytic Functions on Banach Spaces, in Complex po-tential theory, Nato Adv. Sci. Inst. Ser. C. Math. Phys. Sci., Vol. 439, Kluwer Acad. Publ., 1994.

[16] R. Gâteaux, Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles anal-itiques, C. R. Acad Sci. Pris, S
er. A., Vol. 157, 1913, p. 325327.

[17] R. Gâteaux, Fonctionnelles d'une innit
e des variables ind
ependantes, Bull. Soc. Math. Frane., Vol. 47, 1919, p. 7096.

[18] M. L. Gorbachuk, V. I. Gorbachuk, On approximation of smooth vectors of closed operator by entire exponential type vectors, Ukrainian Mathe-matical Journal, Vol. 47, No. 5, 1995, p. 616-628 (po ukrai«sku).

[19] V. I. Gorbachuk, A. Knyazyuk, The boudary value of solutions of dierential-operators equations, Uspekhi Matem. Nauk, Vol. 44, No. 3, 1989, p. 55-91.

[20] A. Grothendieck, Résumé de la théorie métrique des produits tensorels topologiques, Bol. Soc Math São Paulo 8, 1953, p. 1-79.

[21] M. Hervé, Analyticity in Innite Dimensional Spaces, de Gruyter Stud. in Math., Vol. 10, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1989.

[22] E. Hille, R. Phillips, Functional Analysis and Semi-groups, AMS reprint, 2000.

[23] B. Ya. Levin, Lectures on Entire Functions, Translations of Mathemati-cal Monographs, American MathematiMathemati-cal Society, Vol. 150, 1996.

[24] N. Levinson, Gap and density theorems, Nowy York, 1940.

[25] J. M. Lindsay, Quantum stochastic calculus, Lecture notes for lectures given at the Spring School, Quantum Independent Increment Processes. Structure and Applications to Physics 222 March 2003, Greifswald, Germany.

[26] O. Lopushansky, M. Dmytryshyn, Vectors of exponential type of opera-tors with discrete spectrum, Matematychni Studii (Proceedings of the Lviv Mathematical Society), Vol. 9, No. 1, 1998, p. 70-77.

[27] O. Lopushansky, M. Dmytryshyn, Operator calculus on the exponential type vectors of the operator with point spectrum (w ksi¡»ce "General Topology in Banach Spaces"), Nova Sci. Publ. Huntingon, New York, 2001, p. 137-145.

[28] O. Lopushansky, A. Zagorodnyuk, Hilbert spaces of analytic functions of innitely many variables, Annales Polonici Mathematici, Vol. 81, No. 2, 2003, p. 111122.

[29] J. Ljubi£, V. Macaev, About operators with separable spectrum, Matem. Sbornik, Vol. 56, No. 4, 1962, p. 433-468 (po rosyjsku).

[30] R. S. Martin, Contributions to the theory of functionals, Ph.D. thesis, University of California, 1932.

[31] S. Mazur, W. Orlicz, Grundlegende eigenschaften der polynomischen operationen I, II, Studia Math., Vol. 5, 1935, p. 5068, 179189.

[32] S. Mazur, W. Orlicz, Sur la divisibilit
e des polynomes absraits, C. R. Acad. Sci. Paris.,Vol. 207, 1936, p. 621623.

[33] A. D. Michal, A. H. Cliord, Fonctions analytiques implicites dans des espaces vectoriels abstraits, C. R. Acad. Sci. Paris., Vol. 197, 1933, p. 735737.

[34] A. D. Michal, R. S. Martin, Some expansions in vector spaces, J. Math. Pures. Appl., Vol. 13, N. 9, 1934, p. 6991.

[35] J. Mujica, Complex Analysis in Banach paces, Amsterdam, New York, Oxford: North-Holland, 1986.

[36] L. Nachbin, Topology on spaces of holomorphic mappings, New York: Springer-Verlag, Erd. der Math., Vol. 47, 1969.

[37] E. Nelson, Analitycal vectors, Ann. of Math., Vol. 70, 1969, p. 572615.

[38] S. M. Nikolskii, Approximation of Functions of Several Variables and Embeddings Theorems, Sciense, Moskow, 1977 (po rosyjsku).

[39] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Dierential Equations, Applied Mathematical Sciences, Vol. 44, New York, Springer-Verlag, 1983.

[40] M. Plansherel, G. Polya, Fonctions entiéres et intégrales de Fourier mul-tiples, Comment. Math., Helvetici, Vol. I, 1937, p. 224248.

[41] M. Plansherel, G. Polya, Fonctions entiéres et intégrales de Fourier mul-tiples, Comment. Math., Helvetici, Vol. II, 1938, p. 110163.

[42] Ya. Radyno, The vectors of exponential type in operators calculus and dierential equations, Diferencialnye Urawnienija, Vol. 21, No. 9, 1985, p. 15591569 (po rosyjsku).

[43] G. V. Radzievsky, About the best approximation and rate of conver-gence of expansions along operator root vectors, Ukrain. Math. J., Vol 49, No. 6, 1997, p. 754773 (po rosyjsku).

[44] M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics, Vol. 2, Academic Press, 1975.

[45] W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 2002.

[46] S. Sakai Operator Algebras in Dynamic Systems, Cambridge University Press, Cambridge, New York, Sydney 1991.

[47] H. Schaefer, Topological Vector Spaces, Springer, 1971.

[48] N. Tanabe, Equations of evolution. London: Pitman, 1979.

[49] A. E. Taylor Additions to the theory of polynomials in normed linear spaces, Tohoku Math. Journal, Vol. 44, 1938, p. 302318.

[50] A. E. Taylor, Notes on the history of the uses of analyticity in operator theory, Amer. Math. Monthly, Vol. 78, 1971, p. 331342.

[51] K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1965.