Index of /rozprawy2/10128

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica

Wydziaª Matematyki Stosowanej

Praca doktorska

Izometryczne (C

)

-grupy

na algebrze Wienera funkcji analitycznych

w kuli przestrzeni Banacha

Adam Bednarz

Promotor: prof. dr hab. Oªeh Šopusza«ski

Wst¦p

Algebr¦ Wienera funkcji analitycznych zwykle deniuje si¦ jako przemien-n¡ algebr¦ Banacha funkcji zespolonych okre±lonych w jednostkowej zespo-lonej kuli D = {z ∈ C: |z| < 1} z punktowym mno»eniem funkcji, które posi-adaj¡ rozwini¦cie w bezwzgl¦dnie zbie»ny szereg Taylora f(z) =

∞ X n=0 fnzn z norm¡ kfk = ∞ X n=0 |fn| < ∞ [2].

W niniejszej pracy zostaªo zaprezentowane jedno z wielu mo»liwych uogól-nie« poj¦cia algebry Wienera na przypadek funkcji zespolonych, które s¡ analityczne w jednostkowej kuli B dowolnej niesko«czenie wymiarowej ze-spolonej przestrzeni Banacha X . Tak¡ algebr¦ typu Wienera oznaczamy przez Wπ(B). Elementami Wπ(B) s¡ funkcje analityczne f : B −→ C,

posiadaj¡ce rozwini¦cie w zbie»ny szereg Taylora f(x) =

∞

X

n=0

fn(x), gdzie

x ∈ B, których pochodne Frécheta w zerze fn = dn0f nale»¡ do

domkni¦-tych podprzestrzeni X0¯n

π przestrzeni n-jednorodnych ci¡gªych

wielomia-nów Pn_{(X) na X oraz szereg postaci} ∞

X

n=0

kfnkπ jest zbie»ny, gdzie przez

k · kπ oznaczono projektywn¡ norm¦ symetrycznego iloczynu tensorowego

X0¯n _{= X}0_{¯ . . . ¯ X}0 _{dualnych przestrzeni. W przypadku X = C}

alge-bra Wπ(B) dokªadnie pokrywa si¦ ze zwykª¡ algebr¡ Wienera. Jednak

Wπ(B) nie jest najszerszym z mo»liwych niesko«czenie wymiarowych

uogól-nie«, poniewa» zawieranie X0¯n

π ⊂ Pn(X) na ogóª jest ±cisªe.

Wybór wªa±nie algebry Wπ(B) jest spowodowany zestawem problemów

badanych w pracy, a mianowicie problemami nietrywialno±ci i g¦sto±ci niezmienniczych podprzestrzeni tzw. caªkowitych wektorów typu wykªad-niczego generatorów pewnej klasy (C0)-grup automorzmów, dziaªaj¡cych

na Wπ(B). W przypadku przestrzeni Hilberta X i (C0)-grup

generowa-nych przez nieograniczone operatory samosprz¦»one, te niezmiennicze przestrzenie caªkowitych wektorów typu wykªadniczego s¡ po prostu pod-przestrzeniami spektralnymi ich generatorów. Natomiast problem ich nie-trywialno±ci i g¦sto±ci roztrzyga para znanych Twierdze« Nelsona (o wek-torach analitycznych [37], [44]) i Stone'a (o samosprz¦»ono±ci generatorów unitarnych jednoparametrowych (C0)-grup [45]). W tym sensie teza

pod-sumuj¡cego Twierdzenia 4.2.1 jest pewnym uogólnieniem Twierdze« Nelsona i Stone'a na niehilbertowski przypadek izometrycznych (C0)-grup

automor-zmów algebry typu Wienera funkcji analitycznych w niesko«czenie wymia-rowej jednostkowej kuli w przestrzeni Banacha.

Oprócz Twierdzenia 4.2.1 w pracy zostaªy równie» udowodnione Twier-dzenia 3.2.23.2.3 o warunkach nietrywialno±ci niezmienniczych pod-przestrzeni wektorów typu wykªadniczego dla nieograniczonych operatorów z oddzielanym widmem. W Twierdzeniach 3.3.2 3.3.3 pokazano zwi¡zek pomi¦dzy konserwatywno±ci¡ generatorów, g¦sto±ci¡ ich podprzestrzeni wektorów typu wykªadniczego oraz izometryczno±ci¡ jednoparametrowych (C0)-grup automorzmów algebry Wienera.

Nale»y tutaj podkre±li¢, »e przytoczone w pracy uogólnienie algebry Wienera Wπ(B) w przypadku przestrzeni Hilberta X okazuje si¦ g¦st¡

pod-algebr¡ w znanej symetrycznej przestrzeni Focka, stosowanej w teorii kwan-towej bozonów. Natomiast generatory (C0)-grup automorzmów s¡

wyko-rzystywane w równie znanej metodzie drugiej kwantyzacji [5], [25], [44]. Teraz krótko przypomnijmy gªówne, znane ju» wyniki bada« zwi¡zanych z przedstawion¡ w tej pracy tematyk¡. Abstrakcyjn¡ teori¦ wielomianów niesko«czonej liczby zmiennych jako pierwszy przedstawiª M. Fréchet w pracy [14]. W pó»niejszych pracach udowodniª on, »e dowolny wielomian mo»na przedstawi¢ jako sum¦ wielomianów jednorodnych. Kolejny krok zrobiª Gâteaux [16] i [17], który znalazª zwi¡zek mi¦dzy wielomianami i n-liniowymi funkcjonaªami, wprowadziª poj¦cie Gâteaux-ró»niczkowalno±ci, uogólniª wzór Cauchy'ego. Udowodniª równie» ró»ne twierdzenia o zbie»no±ci funkcji anali-tycznych i znalazª przydatn¡ relacj¦ mi¦dzy pochodnymi funkcji analitycznej a jednorodnymi wielomianami, które s¡ wyrazami jej rozwini¦cia w szereg Taylora.

A. Taylor w [49] zdeniowaª funkcj¦ analityczn¡ jako funkcj¦ ci¡gª¡, której jednowymiarowe zaw¦»enie jest analityczne. Udowodniª on równowa»no±¢ nast¦puj¡cych warunków:

1) f jest ci¡gªa oraz Gâteaux-ró»niczkowalna w ka»dym punkcie; 2) f jest Fréchetró»niczkowalna w ka»dym punkcie;

3) f posiada jednostajnie zbie»ne rozwini¦cie w szereg pot¦gowy w oto-czeniu ka»dego punktu.

L. Fantappié w pracy [13] przedstawiª równowa»n¡ denicj¦ funkcji anali-tycznej. Mianowicie: funkcj¦ ci¡gª¡ f okre±lon¡ w obszarze D przestrzeni Banacha nazywamy funkcj¡ analityczn¡, je±li f ◦ ϕ jest funkcj¡ analityczn¡ (jako funkcja jednej zmiennej zespolonej) dla ka»dej funkcji ϕ: V → D, gdzie

V ⊂ D.

S. Mazur i W. Orlicz w [31] i [32] znale¹li fundamentalny wzór polaryza-cyjny. Niezale»nie od nich wzór polaryzacyjny ustaliª R. Martin [30].

Relacje mi¦dzy ci¡gªo±ci¡ i lokaln¡ ograniczono±ci¡ analitycznych funkcji zostaªy ustalone w [8] przez J. Bochnaka i J. Siciaka.

W latach 1931-1932 A. Michal znalazª, w przypadku ogólnym, zwi¡zek mi¦dzy symetrycznymi n-liniowymi funkcjonaªami i n-jednorodnymi wielo-mianami. Nast¦pnie badania nad denicj¡ wielomianów byªy kontynuowane zarówno przez A. Michala jak i przez jego uczniów A. H. Cliorda, R. Martina i A. Taylora w [33], [34], [49].

Wyniki z lat 1930-1960 dotycz¡ce teorii funkcji analitycznych niesko«cze-nie wielu zmiennych s¡ podane w ksi¡»ce E. Hille'a i R. Phillipsa [22], a tak»e w pracy historycznej A. Taylora [50].

Badanie topologicznych przestrzeni wektorowych funkcji analitycznych o niesko«czonej liczbie zmiennych zaczyna si¦ od pracy L. Nachbina [36].

Wspóªczesny stan teorii funkcji analitycznych na przestrzeniach Banacha zostaª przedstawiony w ksi¡»kach S. Dineena [10], J. Mujica [35], M. Hérve [21], S. Bong Chae [9] oraz w pracach przegl¡dowych T. Gamelina [15] i R. Arona [1]. Algebry typu Wienera funkcji analitycznych w kuli niesko«cze-nie wymiarowej przestrzeni Hilberta zostaªy zbadane w pracy A. Zagorod-nyuka i O. Šopusza«skiego [28]. Natomiast takie algebry w kuli przestrzeni Banacha byªy wprowadzone i badane w pracy autora [3].

Teoria (C0)-grup i póªgrup operatorów w przestrzeniach Banacha zostaªa

szczegóªowo przedstawiona w znanej ksi¡»ce E. Hille'a i R. Phillipsa [22]. W pracy korzysta si¦ te» z nowszych wyników przedstawionych w ksi¡»kach H. Tanabe [48] i A. Pazy'ego [39].

Nale»y odnotowa¢, »e w ksi¡»ce S. Sakai [46, Ÿ1.17] dla unitarnej (C0)-grupy operatorów dziaªaj¡cej w przestrzeni Hilberta, korzystaj¡c z

po-j¦cia wektorów typu wykªadniczego (nazywanych tam geometrycznymi), zostaªo udowodnione fundamentalne twierdzenie o rozwini¦ciu zaburze« grupy w szereg silnie zbie»ny na wektorach wykªadniczych.

Zwi¡zek mi¦dzy wektorami typu wykªadniczego nieograniczonego opera-tora dziaªaj¡cego w dowolnej przestrzeni Banacha a jego uogólnionymi pod-przestrzeniami spektralnymi zostaª opisany przez J. Ljubi£a i V. Macaeva w [29]. W nast¦pnych pracach ró»nych autorów [18], [19], [42], [26], [27], [43], a tak»e autora niniejszej pracy [4] zostaªy zbadane ró»ne spektralne i aproksymacyjne wªasno±ci wektorów typu wykªadniczego.

Spis tre±ci

1 Pomocnicze denicje i twierdzenia 1

1.1 Funkcje analityczne w kuli przestrzeni Banacha . . . 1

1.2 Iloczyny tensorowe przestrzeni Banacha . . . 2

1.3 Jednoparametrowe (C0)-grupy operatorów . . . 7

1.4 Wektory gªadkie i caªkowite operatorów . . . 9

1.5 Wektory caªkowite typu wykªadniczego . . . 12

2 Algebra typu Wienera funkcji analitycznych w kuli 13 2.1 Denicja algebry Wπ(B) . . . 13

2.2 Podstawowe wªasno±ci algebry Wπ(B) . . . 15

3 Wektory typu wykªadniczego generatorów izometrycznych (C0)-grup 19 3.1 Wªasno±ci wektorów typu wykªadniczego . . . 19

3.2 Operatory z oddzielanym widmem na ªuku . . . 26

3.3 Generatory (C0)-grup i operatory konserwatywne . . . 31

4 Izometryczne (C0)-grupy na algebrze typu Wienera 44 4.1 Grupy automorzmów algebry Wπ(B) . . . 44

4.2 Wektory typu wykªadniczego grupy automorzmów algebry Wπ(B) . . . 48

1 Pomocnicze denicje i twierdzenia

1.1 Funkcje analityczne w kuli przestrzeni Banacha

Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Banacha nad ciaªem liczb zespolonych C wyposa»on¡ w norm¦ k · k. W przestrzeni Banacha X przez

B =©x ∈ X : kxk < 1ª

oznaczamy otwart¡ kul¦ jednostkow¡. Przez B(Xn_{) oznaczamy przestrze«}

ograniczonych n-liniowych funkcjonaªów okre±lonych na iloczynie kartez-ja«skim przestrzeni Banacha Xn _{:= X × . . . × X. Niech h ∈ B(X}n_{) b¦dzie}

n_{-liniowym funkcjonaªem. Funkcjonaª h nazywamy symetrycznym, je±li}

zachodzi h(x1, . . . , xn) = h(xs(1), . . . , xs(n)) dla ka»dej permutacji s zbioru

{1, . . . , n}. Przestrze« wszystkich symetrycznych n-liniowych funkcjonaªów oznaczamy przez B(Xn

s).

Przestrzenie B(Xn_{) i B(X}n

s) s¡ przestrzeniami Banacha z norm¡

zbie»no±ci jednostajnej na kuli jednostkowej w Xn_.

Niech ∆n oznacza zanurzenie diagonalne X w Xn okre±lone jako

∆n: X −→ Xn

x 7−→ (x, . . . , x).

Funkcjonaª f : X → C nazywa si¦ ci¡gªym n-jednorodnym wielomianem, je±li

f (x) = (h ◦ ∆n)(x) dla pewnego h ∈ B(Xn).

Przestrze« wektorow¡ takich wielomianów oznaczamy przez Pn_(X).

Prawdziwe jest twierdzenie [10]: Odwzorowanie

B(Xn

s) −→ Pn(X)

h 7−→ h ◦ ∆n

jest izomorzmem mi¦dzy przestrzeni¡ Banacha B(Xn

s) i przestrzeni¡ Pn(X)

z norm¡ zbie»no±ci jednostajnej na kuli B , przy czym

kh ◦ ∆nk ≤ khk ≤

nn

Wi¦c Pn_{(X) równie» jest przestrzeni¡ Banacha i dla ka»dego f ∈ P}n_(X)

ist-nieje dokªadnie jeden symetryczny n-liniowy funkcjonaª hf ∈ B(Xsn),

nazy-wany skojarzonym z f taki, »e f = ∆n◦ hf.

Mówimy, »e f : B 7−→ C jest funkcj¡ Gâteaux-analityczn¡, je±li jej zaw¦»enie do E ∩ B jest funkcj¡ analityczn¡ dla ka»dej jednowymiarowej anicznej podprzestrzeni E ⊂ X .

Funkcj¦ ci¡gª¡ i Gâteaux-analityczn¡ nazywamy funkcj¡ analityczn¡. Je±li f jest funkcj¡ analityczn¡, to dla dowolnego a ∈ B istnieje dokªad-nie jeden ci¡g n-jednorodnych wielomianów dn

af ∈ Pn(X) (pochodnych

Frécheta rz¦du n w punkcie a) takich, »e

f (x + a) = f (a) + ∞ X n=1 1 n!d n af (x) dla wszystkich x ∈ B − a.

1.2 Iloczyny tensorowe przestrzeni Banacha

Algebraiczny iloczyn tensorowy n kopii przestrzeni Banacha

X⊗n_{:= X ⊗ . . . ⊗ X}

jest przestrzeni¡ wszystkich sko«czonych sum postaci

u =X

j

x1j⊗ . . . ⊗ xnj, xij ∈ X, i = 1, . . . , n, j ∈ N

ze zwykªymi zasadami dziaªa« algebraicznych. Na algebraicznym tensoro-wym iloczynie X⊗n_{, zwanym te» inaczej algebraiczn¡ tensorow¡ pot¦g¡,}

mo»na wprowadzi¢ wiele u»ytecznych norm. Norm¦ projektywn¡ deniujemy w nast¦puj¡cy sposób

kukπ = inf

X

j

kx1jk . . . kxnjk,

gdzie inmum jest brane, jak wy»ej, po wszystkich sko«czonych przedstawie-niach u, tzn.

u =X

j

Oczywiste jest, »e zachodzi

kx1⊗ . . . ⊗ xnkπ ≤ kx1k . . . kxnk (1.1)

dla wszystkich x1, . . . , xn∈ X.

Iloczyn tensorowy przestrzeni unormowanych zupeªnych nie musi by¢ przestrzeni¡ zupeªn¡. Uzupeªnienie algebraicznej tensorowej pot¦gi X⊗n

w normie projektywnej oznaczamy przez X⊗n

π i nazywamy projektywn¡

ten-sorow¡ pot¦g¡.

Korzystamy z nast¦puj¡cego faktu [47, Twierdzenie III.6.2], [10]: Przestrze« dualna (X⊗n

π )0 do Xπ⊗n jest izometrycznie izomorczna

z przestrzeni¡ B(Xn_{), czyli}

(X⊗n

π )0 ' B(Xn). (1.2)

Šatwo jest udowodni¢ [15], »e norma projektywna ma wªasno±¢ kross-normy tzn.

kx1⊗ . . . ⊗ xnkπ = kx1k . . . kxnk (1.3)

dla wszystkich x1, . . . , xn ∈ X. W tym celu wykorzystamy izomorzm

izome-tryczny (1.2), zgodnie z którym liniowy funkcjonaª ˜F ∈ (X⊗n

π )0

odpowiada-j¡cy n-liniowemu funkcjonaªowi F ∈ B(Xn_{) jest dany przez formuª¦}

˜ Fµ X j x1j ⊗ . . . ⊗ xnj ¶ =X j F (x1j, . . . , xnj). Je±li u = P j x1j ⊗ · · · ⊗ xnj, to | ˜F (u)| = ¯ ¯ ¯X j F (x1j, . . . , xnj) ¯ ¯ ¯ ≤ kF kX j kx1jk . . . kxnjk.

Nast¦pnie bior¡c inmum po wszystkich sko«czonych przedstawieniach u otrzymujemy

k ˜F k ≤ kF k.

Rozwa»my n-liniowy funkcjonaª postaci F (x1, . . . , xn) = L(x1) · . . . · L(xn),

gdzie L jest funkcjonaªem na X o normie równej jedno±ci takim, »e

L(x) = kxk_{. Wówczas} k ˜F k ≤ kF k = sup xi6=0 |F (x1, . . . , xn)| kx1k . . . kxnk = 1

oraz

˜

F (x1⊗ . . . ⊗ xn) = F (x1, . . . , xn) = kx1k . . . kxnk.

Ostatecznie otrzymujemy nierówno±¢

kx1k . . . kxnk =

¯

¯ ˜_{F (x1⊗ . . . ⊗ xn)}¯_{¯ ≤ k ˜F kkx1⊗ . . . ⊗ xnkπ} = kx1⊗ . . . ⊗ xnkπ,

która wraz z (1.1) daje poszukiwan¡ równo±¢ (1.3).

W pracy wielokrotnie b¦dziemy wykorzystywa¢ nast¦puj¡ce Twierdzenie Grothendicka [47, Twierdzenie III.6.4], [20]:

Dla ka»dego elementu u ∈ X⊗n

π istniej¡ xij ∈ X takie, »e

u =X

j

x1j ⊗ . . . ⊗ xnj, xij ∈ X, i = 1, . . . , n, j ∈ N

gdzie szereg P

j

x1j ⊗ . . . ⊗ xnj jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, tzn.

X

j

kx1jk . . . kxnjk < ∞.

Niech X0 _{b¦dzie unormowan¡ przestrzeni¡ dualn¡ do przestrzeni Banacha}

X. Analogicznie otrzymujemy X0⊗n

π projektywny tensorowy iloczyn

dual-nych przestrzeni Banacha X0_{. Jak wiadomo [47, IV.9], [10]}

X0⊗n

π jest domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ przestrzeni (Xπ⊗n)0 ' B(Xn).

Warto±¢ liniowego funkcjonaªu f0

n ∈ Xπ0⊗n b¦dziemy oznacza¢ przez

hu | f_n0i

dla wszystkich u ∈ X⊗n π .

Niech Gn b¦dzie grup¡ permutacji zbioru {1, . . . , n} oraz niech

Sn: x1⊗ . . . ⊗ xn −→ x1 ¯ . . . ¯ xn:= 1 n! X s∈Gn xs(1)⊗ . . . ⊗ xs(n)

b¦dzie symetryczn¡ projekcj¡ deniowan¡ na X⊗n

π o przeciwdziedzinie Xπ¯n.

B¦dziemy u»ywa¢ oznaczenia

x¯n_{:= x ¯ . . . ¯ x ∈ X}¯n π

dla wszystkich x ∈ X . Tak zdeniowana projekcja jest ci¡gªym odwzorowa-niem, a w szczególno±ci [45, Twierdzenie 5.16] zachodzi równo±¢

X⊗n

π = Xπ¯n⊕ N (Sn),

gdzie po stronie prawej mamy topologiczn¡ sum¦ prost¡ przeciwdziedziny

X¯n

π oraz j¡dra operatora Sn. Powy»sza równo±¢ oznacza, »e Xπ¯n jest

domk-ni¦t¡ podprzestrzeni¡ przestrzeni Banacha X⊗n

π , a wi¦c jest przestrzeni¡

Ba-nacha. Zauwa»my ponadto, »e

kSnk ≤ 1.

Rzeczywi±cie jest tak, poniewa»

kSnukπ = ° ° °Sn ³ X j x1j⊗ . . . ⊗ xnj ´°_° ° π = ° ° °X j Sn(x1j ⊗ . . . ⊗ xnj) ° ° ° π = ° ° °X j 1 n! X s∈Gn xs(1)j⊗ . . . ⊗ xs(n)j) ° ° ° π ≤X j 1 n! X s∈Gn kxs(1)j ⊗ . . . ⊗ xs(n)j)kπ = infX j 1 n! X s∈Gn kxs(1)jk . . . kxs(n)jk = infX j n! n!kx1jk . . . kxnjk = kukπ,

gdzie inmum jest brane po wszystkich sko«czonych przedstawieniach

u =P_jx1j ⊗ . . . ⊗ xnj ∈ X⊗n, przy czym zale»no±ci udowodniamy najpierw

dla sko«czonych przedstawie« u, a dopiero potem rozszerzamy ci¡gª¡ pro-jekcj¦ na sumy niesko«czone z zachowaniem norm.

Przestrze« X¯n

π nazywamy symetrycznym projektywnym iloczynem

Przestrze« dualna (X¯n

π )0 do Xπ¯n jest izometrycznie izomorczna z

pod-przestrzeni¡ B(Xn

s), czyli

(X_π¯n)0 ' B(X_sn). (1.4) Powy»sze rozumowania mo»emy równie» zastosowa¢ do iloczynów ten-sorowych przestrzeni dualnych. Šatwo zauwa»y¢, »e dla projekcji projekty-wnych tensorowych iloczynów przestrzeni dualnych

S0 n: Xπ0⊗n 3 f10 ⊗ . . . ⊗ fn0 −→ f10 ¯ . . . ¯ fn0 ∈ Xπ0¯n, gdzie f0 1¯ . . . ¯ fn0 := 1 n! X s∈Gn f0 s(1)⊗ . . . ⊗ fs(n)0 , fj0 ∈ X0, a X0¯n

π jest przeciwdziedzin¡ Sn0 , zachodz¡ analogiczne jak dla Snwªasno±ci

i wnioski: X0⊗n π = Xπ0¯n⊕ N (Sn0) oraz kS_n0k ≤ 1, a w szczególno±ci, »e X0¯n

π jest domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ w Xπ0⊗n.

Z (1.4) i powy»szych rozumowa« wynika (zostanie sprecyzowane w se-kcji 2.1) nast¦puj¡cy fakt:

X0¯n

π jest domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ przestrzeni (Xπ¯n)0 ' B(Xsn), a

za-tem równie» przestrzeni Pn_(X).

Dalej korzystamy z oznaczenia

P_πn(X) :=©fn: fn0 ∈ Xπ0¯n

ª

.

Nale»y odnotowa¢, »e zawsze zachodzi wªo»enie

Pn

π(X) ⊂ Pn(X).

Przez L(X) oznaczamy algebr¦ Banacha wszystkich ograniczonych opera-torów liniowych T : X 3 x 7−→ T x ∈ X z norm¡ kT k = sup

kxk=1

Odnotujmy te», »e iloczyn tensorowy operatorów postaci U1⊗ . . . ⊗ Un,

gdzie U1, . . . , Un nale»¡ do L(X), jest elementem przestrzeni L(Xπ⊗n)

opera-torów liniowych i ci¡gªych na przestrzeni X⊗n

π , przy czym

U1⊗ . . . ⊗ Un: x1 ⊗ . . . ⊗ xn−→ U1x1⊗ . . . ⊗ Unxn

dla dowolnego x1⊗ . . . ⊗ xn ∈ Xπ⊗n.

1.3 Jednoparametrowe (C

)

-grupy operatorów

Niech Tt dla ka»dego t ≥ 0 b¦dzie ograniczonym operatorem liniowym

na przestrzeni Banacha X . Rodzin¦ takich operatorów {Tt: t ≥ 0}

nazy-wamy jednoparametrow¡ póªgrup¡ ograniczonych operatorów liniowych na

X_{, je±li speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki}

• T0 = I,

• Tt+s = TtTs dla s, t ≥ 0,

gdzie I jest operatorem identyczno±ciowym na przestrzeni X .

Jednoparametrow¡ póªgrup¦ {Tt} nazywamy jednoparametrow¡

póª-grup¡ klasy (C0) lub póªgrup¡ silnie ci¡gª¡ w zerze lub (C0)-póªgrup¡, je»eli

dla granicy prawostronnej jest speªniony warunek lim

t→+0Ttx = x dla wszystkich x ∈ X.

Jednoparametrow¡ póªgrup¦ {Tt} klasy (C0) nazywamy

jednoparame-trow¡ grup¡ klasy (C0), je±li {Tt} jest okre±lona dla wszystkich t ∈ R przez

równo±¢ T−t = Tt−1 oraz jest speªniony warunek silnej ci¡gªo±ci w zerze

lim

t→0Ttx = x dla wszystkich x ∈ X.

Liniowy operator (na ogóª nieograniczony)

A : D(A) ⊂ X −→ X taki, »e Ax = lim t→+0 Ttx − x t = dTtx dt ¯ ¯ ¯ t=0, x ∈ D(A),

gdzie granica jest obliczana wzgl¦dem normy przestrzeni X , nazywamy gene-ratorem póªgrupy {Tt}. Dziedzina generatora D(A) jest z denicji zbiorem

tych elementów z X , dla których powy»sza granica istnieje. Aby odnotowa¢ fakt, »e A jest generatorem póªgrupy {Tt}, piszemy

Tt = etA, t ≥ 0.

Generator póªgrupy {Tt} klasy (C0) ma g¦st¡ w X dziedzin¦ D(A), tzn.

D(A) = X

i A jest operatorem domkni¦tym w tym sensie, »e jego wykres n

(x, Ax) : x ∈ D(A) o

⊂ X × X

jest domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ w iloczynie kartezja«skim X × X .

[22, Twierdzenie Hille'a-Yosidy] Liniowy operator A generuje póªgrup¦

{Tt} klasy (C0) tak¡, »e kTtk ≤ M wtedy i tylko wtedy, gdy

(i) operator A jest domkni¦ty oraz dziedzina generatora A jest g¦sta w

X, tzn.

D(A) = X

(ii) speªniona jest nierówno±¢

k(λI − A)−nk ≤ Mλ−n, λ > 0, n = 1, 2, 3, . . . .

Je±li {Tt} jest jednoparametrow¡ grup¡ klasy (C0), to

T−1

t = T−t = e−tA, t ∈ R

oraz istnieje liczba β ∈ R taka, »e

τ = sup t∈R ° °eβt_T t ° ° < ∞ _(1.5) [45, Twierdzenie 13.35].

Grupa {Tt} nazywa si¦ jednostajnie ograniczon¡, je±li warunek (1.5)

za-chodzi dla β = 0; izometryczn¡, je±li β = 0 oraz τ = 1; zw¦»aj¡c¡, je±li

1.4 Wektory gªadkie i caªkowite operatorów

Dla rozwa»a« w pracy przyjmujemy zaªo»enie, »e

A : D(A) ⊂ X −→ X

jest domkni¦tym, liniowym i nieograniczonym operatorem o g¦stej dziedzinie

D(A) w tej przestrzeni, czyli

D(A) = X (domkni¦cie w normie X ). Nast¦pnie jak zwykle oznaczmy przez

ρ(A) :=©λ ∈ C : (λI − A)−1 _{∈ L(X)}ª_,

ρ(A) 3 λ → (λI − A)−1,

σ(A) := C \ ρ(A)

odpowiednio zbiór rezolwenty, rezolwent¦ i spektrum operatora A.

Dla k = 0, 1, . . . deniujemy indukcyjnie liniowe operatory Ak _w

nast¦-puj¡cy sposób: A0 _{= I, gdzie I oznacza operator identyczno±ciowy na X ,}

A1 _{= A, a nast¦pnie operatory}

Akx = A¡Ak−1x¢, x ∈ D(Ak) o dziedzinach

D(Ak_{) :=}n_{x ∈ D}¡_Ak−1¢_{: A}k−1_{x ∈ D(A)}o_,

na których okre±lamy norm¦

kxk_D(Ak₎ = kxk + kAxk + · · · + kAkxk, x ∈ D(Ak).

Je±li P (λ) = Pk

i=0

αiλi (λ, αi ∈ C) jest wielomianem stopnia k, to przez

symbol P (A) b¦dziemy oznacza¢ operator Pk

i=0

αiAi o dziedzinie D(Ak).

[11, Twierdzenie VII.9.7] Je»eli zbiór rezolwenty ρ(A) operatora A jest niepusty, to operator P (A) jest domkni¦ty.

Dla rozwa»a« w pracy przyjmujemy zaªo»enie

ρ(A) 6= ∅,

które, wobec powy»szego twierdzenia, jest wystarczaj¡ce na to, aby ka»da iteracja Ak _{operatora A byªa domkni¦ta w X .}

Podprzestrze« wektorowa w X

D(A∞_{) :=} \ k∈N

D(Ak_),

na której topologia zadana jest przez ci¡g norm ©

kxk_D(Ak₎: k ∈ N

ª

, x ∈ D(A∞₎

nazywana jest podprzestrzeni¡ wektorów gªadkich operatora A.

Je»eli operator A jest ograniczony, to D(A∞_{) = X. Natomiast, je»eli}

operator A jest nieograniczony, to podprzestrze« D(A∞_{) mo»e okaza¢ si¦}

trywialna. W ogólnym przypadku problem nietrywialno±ci podprzestrzeni

D(A∞_{) roztrzyga nast¦puj¡ce twierdzenie:}

[19, Twierdzenie 1.1] Je»eli w przestrzeni X operator A speªnia warunek

ρ(A) 6= ∅, to podprzestrze« D(A∞_{) jest g¦st¡ podprzestrzeni¡ w X wzgl¦dem}

normy tej przestrzeni. Znany jest te» fakt:

[39, Twierdzenie 2.7] Niech A b¦dzie generatorem póªgrupy {Tt} klasy

(C0). Je±li D(Ak) s¡ dziedzinami operatorów Ak, to podprzestrze« D(A∞)

jest g¦st¡ podprzestrzeni¡ w X .

Przypomnijmy, »e gªadki wektor x ∈ D(A∞_{) nazywamy wektorem}

anali-tycznym nieograniczonego operatora A, je»eli istnieje liczba t ∈ R taka, »e szereg X

k∈Z+

k(tA)k_xk

k! jest zbie»ny. Oznaczmy zbiór takich wektorów

anality-cznych operatora A przez Ht(A∞). Wówczas zbiór

C(A∞_{) :=} \ t∈R

nazywamy zbiorem wektorów caªkowitych operatora A. Je±li oznaczymy H(A∞_{) :=} [ t∈R Ht(A∞), to zbiory C(A∞_{) ⊂ H} t(A∞) ⊂ H(A∞) ⊂ D(A∞)

s¡ podprzestrzeniami wektorowymi w D(A). Korzystaj¡c z tego, »e w prze-strzeni Banacha ka»dy bezwzgl¦dnie zbie»ny szereg jest równie» zbie»ny, dostajemy etA_{x =} X k∈Z+ tk_Ak k! x, x ∈ C(A ∞_),

czyli na podprzestrzeni C(A∞_{) jest okre±lona funkcja R 3 t 7−→ e}tA_x.

[44, Twierdzenie Nelsona] Je±li X jest przestrzeni¡ Hilberta, to domkni¦ty oraz symetryczny (wzgl¦dem iloczynu skalarnego) operator A jest samo-sprz¦»ony wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jego wektorów analitycznych H(A∞₎

jest g¦sty w przestrzeni X .

[44, Twierdzenie Stone'a] Ka»da jednoparametrowa grupa klasy (C0)

ope-ratorów unitarnych na przestrzeni Hilberta X ma posta¢

Tt = eitB, t ∈ R,

gdzie B jest pewnym operatorem samosprz¦»onym w X o g¦stej dziedzinie

D(B), czyli generator takiej grupy ma posta¢ A = iB .

Zachodzi oczywista równo±¢ H(iB∞_{) = H(A}∞_{), wi¦c ª¡cz¡c powy»sze}

twierdzenia mo»emy zauwa»y¢, »e prawdziwy jest nast¦puj¡cy wniosek z Twierdze« Nelsona i Stone'a:

Zbiór wektorów analitycznych H(A∞_{) generatora ka»dej unitarnej grupy}

1.5 Wektory caªkowite typu wykªadniczego

Denicja 1. [27, 42] W przestrzeni X rozwa»my podprzestrze«

Eν_{(A) :=}n_{x ∈ D(A}∞_{) :}°°Ak_x°° ≤ νk_c,

dla ka»dego k ∈ Z+ i pewnej staªej c = c(x, ν)

o z norm¡ kxkEν = sup k∈Z+ ° ° ° °³A_ν ´_k x ° ° ° °.

Elementy podprzestrzeni Eν_{(A) nazywamy wektorami typu wykªadniczego ν}

operatora A. Przez

E(A) := [

ν>0

Eν_(A)

oznaczamy podprzestrze« w przestrzeni X wszystkich wektorów typu wykªad-niczego operatora A.

Z Lematów 3.1.1 i 3.1.2 oraz z Twierdzenia 3.3.3 niniejszej pracy wynika nast¦puj¡cy fakt:

Zachodzi wªo»enie

E(A) ⊂ C(A∞_),

czyli ka»dy wektor typu wykªadniczego operatora A jest jego wektorem caªkowitym. Ponadto, je±li operator T = iA generuje izometryczn¡ silnie ci¡gª¡ grup¦ operatorów na przestrzeni Banacha X , to

E(A) = X (domkni¦cie w normie X ).

Innymi sªowy, Twierdzenie 3.3.3 niniejszej pracy mo»emy potraktowa¢ jako uogólnienie powy»szego wniosku z Twierdze« Nelsona i Stone'a na przy-padek generatorów silnie ci¡gªych operatorowych grup na przestrzeniach Ba-nacha.

2 Algebra typu Wienera funkcji analitycznych

w kuli

2.1 Denicja algebry W

(B)

n ∈ Xπ0¯n odpowiada dokªadnie jeden

n-jedno-rodny ci¡gªy wielomian (jednomian) fn taki, »e

fn(x) := hx¯n| fn0i

dla wszystkich x ∈ X [10]. Wektorow¡ przestrze« takich wielomianów ozna-czamy przez Pn π(X) = © fn: fn0 ∈ Xπ0¯n ª .

Innymi sªowy, przestrzenie Pn

π(X) i Xπ0¯n s¡ algebraicznie izomorczne, czyli

Pn

π(X) ' Xπ0¯n. (2.6)

Jest to algebraiczny izomorzm fn 7−→ fn0 realizowany przez zaw¦»enie

funkcjonaªów z X0¯n

π na totalny zbiór elementów postaci

©

x¯n: x ∈ Xª w przestrzeni X¯n

π . Natomiast totalno±¢ powy»szego zbioru wynika wprost

z tzw. wzoru polaryzacyjnego L(x1, . . . , xn) = 1 2n_n! X 1≤i≤n X ²i=±1 ²1. . . ²nL ◦ ∆n ³_Xn j=1 ²jxj ´ , (2.7) gdzie L ∈ B(Xn_{) i ∆} n : X 3 x 7→ (x, . . . , x) ∈ Xn jest odwzorowaniem diagonalnym. Czyli L(x1, . . . , xn) = 1 2n_n! X 1≤i≤n X ²i=±1 ²1. . . ²nL ³_Xn j=1 ²jxj, . . . , n X j=1 ²jxj ´ .

Stosuj¡c izomorzm (1.4) mo»emy przyj¡¢, »e L jest symetrycznym iloczynem tensorowym. Otrzymujemy wtedy

x1¯ . . . ¯ xn = 1 2n_n! X 1≤i≤n X ²i=±1 ²1. . . ²n ³_Xn j=1 ²jxj ¯ . . . ¯ n X j=1 ²jxj ´ = 1 2n_n! X 1≤i≤n X ²i=±1 ²1. . . ²n ³_Xn j=1 ²jxj ´_¯n .

A je±li przyjmiemy y²1,...,²n := n P j=1 ²jxj, to otrzymamy x1¯ . . . ¯ xn= 1 2n_n! X 1≤i≤n X ²i=±1 ²1. . . ²ny¯n²1,...,²n.

Dalej stosuj¡c wspomniane wy»ej Twierdzenie Grothendicka dowolny ele-ment z X¯n

π mo»emy przedstawi¢ jako zbie»ny szereg elementów postaci

{x¯n_{: x ∈ X}. Czyli {x}¯n_{: x ∈ X} jest totalny w X}¯n

π . Z totalno±ci wprost otrzymujemy (2.6). Denicja 2. Na przestrzeni Pn π(X) deniujemy norm¦ kfnk := kfn0kπ, gdzie f0 n nale»y do podprzestrzeni X 0_¯n π . W konsekwencji, przestrzenie Pn π(X) i Xπ0¯n s¡ izometryczne, czyli (2.6)

jest te» izomorzmem izometrycznym.

Przestrze« wszystkich wielomianów (niekoniecznie jednorodnych) denio-wana jest jako zespolone liniowe rozpi¦cie

Pπ(X) := spanC © Pn π(X) : n ∈ Z+ ª ,

gdzie w szczególno±ci deniujemy P0

π(X) = C i x¯0 = 1 ∈ C.

Teraz, opieraj¡c si¦ na podobnej denicji dla przestrzeni Hilberta z pracy [28], mo»emy poda¢ nast¦puj¡ce uogólnienie algebry typu Wienera:

Denicja 3. Algebr¡ typu Wienera nazywamy `1-sum¦

Wπ(B) := ½ f = X n∈Z+ fn: fn∈ Pπn(X) ¾ ze (sko«czon¡) norm¡ kf k = X n∈Z+ kfnk.

Je±li przyjmiemy, »e X = C, otrzymujemy wtedy klasyczn¡ algebr¦ Wienera, a wielomiany fn staj¡ si¦ zwykªymi wielomianami rz¦du n.

Jaki jest cel wprowadzenia oznaczenia B w powy»szej denicji zostanie wyja±nione w nast¦pnym lemacie.

Mo»emy jeszcze tutaj odnotowa¢ fakt, »e Pπ(X) jest g¦stym podzbiorem

2.2 Podstawowe wªasno±ci algebry W

(B)

Zbadamy kilka wªasno±ci Wπ(B), a tak»e sprawdzimy, czy poj¦cie algebry

w denicji zostaªo poprawnie u»yte.

Twierdzenie 2.2.1. Wπ(B) jest podalgebr¡ Banacha z jedynk¡ w algebrze

wszystkich funkcji ograniczonych i analitycznych w kuli B . Dowód. Przestrze« Pn

π(X) jest przestrzeni¡ zupeªn¡, poniewa» jest

izomor-czna z zupeªn¡ przestrzeni¡ X0¯n

π . Przestrze« Wπ(B) równie» jest zupeªna

jako `1-suma elementów z przestrzeni zupeªnej Pπn(X). Rzeczywi±cie niech

{fk_{} b¦dzie ci¡giem Cauchy'ego w W}

π(B) i fk =

P

n∈Z+

fk

n, gdzie fnk ∈ Pπn(X)

i k = 1, 2, 3, . . . . Wtedy dla dowolnego ε > 0 istnieje taki wska¹nik N , »e zachodzi kfk_{− f}p_{k =} X n∈Z+ kfk n− fnpk ≤ ε, k, p ≥ N. (2.8) St¡d otrzymujemy kfk n− fnpk ≤ ε, k, p ≥ N, n ∈ N. To, poniewa» Pn

π(X) jest zupeªna, poci¡ga zbie»no±¢ ci¡gu {fnk} dla

wszyst-kich n naturalnych . Przyjmijmy fn:= lim k→∞f k n. Z zale»no±ci (2.8) zachodzi nierówno±¢ _r X n=0 kfk n − fnpk ≤ ε, k, p ≥ N, r = 1, 2, . . . ,

a przechodz¡c z p do granicy p → ∞ otrzymujemy

r

X

n=0

kf_nk− fnk ≤ ε, k ≥ N, r = 1, 2, . . . .

St¡d wobec dowolno±ci liczby r wnosimy, »e X

n∈Z+

kf_nk− fnk ≤ ε, k ≥ N. (2.9)

W konsekwencji otrzymujemy, »e X

n∈Z+

Poniewa» P n∈Z+ fn = P n∈Z+ fN n − P n∈Z+ (fN n − fn), wi¦c P n∈Z+ fn ∈ Wπ(B) jako

ró»nica dwóch elementów nale»¡cych do Wπ(B). Je±li przyjmiemy

f = X

n∈Z+

fn,

to wobec nierówno±ci (2.9) mamy

kfk_{− f k ≤ ε, k > N.}

A zatem ka»dy ci¡g Cauchy'ego {fk_{} funkcji z W}

π(B) jest zbie»ny do pewnej

funkcji f ∈ Wπ(B).

Udowodnimy teraz, »e przestrze« Wπ(B) skªada si¦ z ograniczonych

funkcji analitycznych w kuli B . W pierwszej kolejno±ci poka»emy Gateaux analityczno±¢. W tym celu wystarczy udowodni¢, »e funkcje te rozwijaj¡ si¦ w jednostajnie i bezwzgl¦dnie zbie»ny szereg pot¦gowy na cz¦±ci wspólnej dowolnej jednowymiarowej podprzestrzeni w X i kuli B . Ustalmy element ˜a ∈ X taki, »e k˜ak = 1 i we¹my x = ζ˜a, gdzie |ζ| < 1. Wówczas korzystaj¡c z jednorodno±ci wielomianów fn otrzymujemy równo±¢

f (x) = X n∈Z+ fn(ζ˜a) = X n∈Z+ ζn_f n(˜a).

Poniewa» zachodz¡ zale»no±ci P n∈Z+ ¯ ¯ζn_f n(˜a) ¯ ¯ = X n∈Z+ |ζ|n_|f n(˜a) ¯ ¯ ≤ X n∈Z+ |ζ|n _sup a ∈ X kak = 1 ¯ ¯fn(a) ¯ ¯ = X n∈Z+ |ζ|n_kf nk ≤ kf k,

to powy»szy szereg jest bezwzgl¦dnie i jednostajnie zbie»ny. Z dowolno±ci wyboru ˜a, otrzymujemy zbie»no±¢ na cz¦±ci wspólnej kuli B i jednowymia-rowej podprzestrzeni _©

ζ˜a : ζ ∈ Cª.

Tak wi¦c f jest Gateaux analityczna, a wobec nierówno±ci |f(x)| ≤ kfk funkcja f jest równie» ograniczona w B . Wspóªczynniki rozwini¦cia funkcji

w szereg pot¦gowy (wspóªczynniki Taylora) s¡ wielomianami jednorodnymi z Pn

π(X), a wi¦c funkcjami ci¡gªymi. Ostatecznie powoªuj¡c sie na [21,

Propozycja 2.4.2] funkcja f jest ci¡gªa, a na podstawie [21, Denicja 3.1.1]

f jest analityczna. Z równo±ci

Sn+mx¯(n+m)= x¯(n+m)

oraz totalno±ci zbioru

{x¯(n+m)_{: x ∈ X}}

w przestrzeni Xπ¯(n+m) wynika, »e równo±ci

(fngm)(x) = fn(x)gm(x) = hx¯n | fn0ihx¯m| g0mi

= hx¯(n+m)_{| f}0

n⊗ g0mi = hSn+mx¯(n+m) | fn0 ⊗ gm0 i

= hx¯(n+m)_{| S}0

n+m(fn0 ⊗ g0m)i = hx¯(n+m)| fn0 ¯ g0mi

jednoznacznie deniuj¡ funkcjonaª

f_n0 ¯ g_m0 := S_n+m0 (f_n0 ⊗ g_m0 ) ∈ X_π0¯(n+m) dla dowolnego f0

n∈ Xπ0¯n i gm0 ∈ Xπ0¯m. Dlatego (n + m)-jednorodny

wielo-mian fngm jest dobrze zdeniowany i nale»y do Pπn+m(X). Ponadto,

kfngmk = kfn0 ¯ gm0 kπ = kSn+m0 (fn0 ⊗ g0m)kπ

≤ kS0

n+mkk(fn0 ⊗ g0m)kπ ≤ kfn0 ⊗ gm0 kπ

= kf0

nkπkg0mkπ = kfnk kgmk.

Z tego wynika, »e

kf gk = ° ° ° ° X n∈Z+ n X k=0 fkgn−k ° ° ° ° ≤ X n∈Z+ n X k=0 kfkk kgn−kk =³ X n∈Z+ kfnk ´³ X m∈Z+ kgmk ´ = kf k kgk, a w szczególno±ci, »e iloczyn

f g = X n∈Z+ ³_Xn k=0 fkgn−k ´

funkcji analitycznych f = P n∈Z+ fn ∈ Wπ(B), g = P n∈Z+ gn ∈ Wπ(B) równie» nale»y do Wπ(B).

Šatwo zauwa»y¢, »e skalar 1 ∈ P0

π(X) jest równie» jedynk¡ algebry

Wπ(B). Funkcja f ≡ 1 to»samo±ciowa równa 1 jest ograniczona,

anali-tyczna i kfk = 1, wi¦c nale»y do Wπ(B), ponadto dla dowolnej funkcji

g = P n∈Z+ gn∈ Wπ(B) mamy f g = X n∈Z+ µ_Xn k=0 fkgn−k ¶ = X n∈Z+ f0gn+ f1gn−1+ . . . fng0 = X n∈Z+ 1 · gn+ 0 · gn−1+ . . . 0 · g0 = X n∈Z+ gn= g. ¤

3 Wektory typu wykªadniczego

generatorów izometrycznych (C

)

-grup

3.1 Wªasno±ci wektorów typu wykªadniczego

Przypomnijmy, »e element x ∈ D(A∞_{) nazywamy wektorem typu}

wykªa-dniczego ν operatora A, je±li istnieje staªa c = c(x, ν) taka, »e °

°Ak_x°_{° ≤ ν}k_{c, k ∈ Z}

+.

Wprowadzamy oznaczenia podprzestrzeni

Eν 1(A) := n x ∈ D(A∞_{) : lim} k→∞ ° °Ak_x°_°1/k _{= ν < ∞}o z norm¡ kxkEν 1 = X k∈Z+ ° ° ° ° µ A ν ¶_k x ° ° ° ° oraz E1(A) := [ ν>0 E₁ν(A).

Lemat 3.1.1. Dla ka»dego ε > 0 zachodzi

E₁ν(A) ⊂ Eν(A) ⊂ E₁ν+ε(A), a zatem

E1(A) = E(A).

Dowód. Istotnie, je±li x ∈ Eν

1(A), to kxkEν = sup k∈Z+ ° ° ° ° µ A ν ¶_k x ° ° ° ° ≤ X k∈Z+ ° ° ° ° µ A ν ¶_k x ° ° ° ° = kxkEν 1.

St¡d x ∈ Eν_{(A). Z drugiej strony, je±li x ∈ E}ν_{(A), to kA}k_{xk ≤ ν}k_kxk Eν, wi¦c kAk_xk1/k _{≤ ν kxk}1/k Eν . Ponadto lim k→∞kA k_xk1/k _{≤ ν i dla dowolnego τ > ν} szereg kxkEτ 1 = X k∈Z+ ° ° ° ° µ A τ ¶_k x ° ° ° ° jest zbie»ny, czyli x ∈ Eτ

Lemat 3.1.2. Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne : (a) x ∈ Eτ

1(A), tzn. x jest wektorem typu wykªadniczego τ operatora A;

(b) funkcja G(λ, x, A) = X k∈Z+ kAk_xk k! λ k

zmiennej zespolonej λ jest caªkowita i ma wykªadniczy typ τ , tzn.

τ = lim r→∞ ln M(r) r , gdzie M(r) = max |λ|=r|G(λ, x, A)|;

(c) promie« zbie»no±ci szeregu

g(λ, x, A) = X

k∈Z+

kAk_xk

λk+1

jest równy τ .

Dowód. Równowa»no±¢ warunków (a) i (c) wynika wprost z denicji wektora wykªadniczego i promienia zbie»no±ci szeregu. Natomiast równowa»no±¢ (b) i (c) natychmiast wynika z dobrze znanych relacji dla caªkowitych funkcji typu wykªadniczego [7, Twierdzenie 1.1.1].

Mo»na te» ªatwo udowodni¢ równowa»no±¢ warunków (a) i (b). Funkcja

G(λ, x, A) = X

k∈Z+

kAk_xk

k! λ

k

jest wykªadniczego typu τ wtedy i tylko wtedy, gdy [23]

τ = lim k→∞ k e k r kAk_xk k! .

Wystarczy wi¦c udowodni¢ równo±¢ lim k→∞ ° °Ak_x°_°1/k _{= lim} k→∞ k e k r kAk_xk k! .

Korzystaj¡c ze wzoru Stirlinga

1 ≈√2πn · nn

en ·

1

otrzymujemy lim k→∞ k q° °Ak_x°° = lim k→∞ k r √ 2πkkk ek 1 k! ° °Ak_x°° .

Nast¦pnie rozbijaj¡c na czynniki dostajemy lim k→∞ k q° °Ak_x°° = lim k→∞ 2k√ 2πkk e k s° °Ak_x°° k!

i ostatecznie korzystaj¡c z elementarnych wiadomo±ci o granicach otrzymu-jemy lim k→∞ k q° °Ak_x°° = lim k→∞ k e k s° °Ak_x°° k! .

Lemat zostaª udowodniony. ¤

Na podstawie Lematu 3.1.2, wcze±niej zdeniowana przestrze« E(A) mo»e by¢ scharakteryzowana jako zbiór wektorów x ∈ X , dla których szereg

g(ν, x, A) = X

k∈Z+

° °Ak_x°°

νk+1 jest zbie»ny dla jakiego± ν > 0. Innymi sªowy

E(A) = [ ν>0 E₁ν(A), gdzie Eν 1(A) = n x ∈ D(A∞_{) : g(ν, x, A) < ∞}o_,

przy czym dla ka»dego ν > 0 liniowa podprzestrze« Eν

1(A) wyposa»ona jest

w norm¦

kxkEν

1 = ν g(ν, x, A).

Poka»emy kilka prostych wªasno±ci przestrzeni Eν

1(A). Lemat 3.1.3. Zachodz¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci :

(a) Eν

1(A) jest przestrzeni¡ Banacha;

(b) wªo»enie Eν

1(A) ⊂ X jest ci¡gªe i zachodzi nierówno±¢ kxk ≤ kxkEν

1

dla wszystkich x ∈ Eν

1(A);

(c) wªo»enie Eν

1(A) ⊂ E1µ(A) jest ci¡gªe i zachodzi nierówno±¢ kxkE₁µ ≤

kxkEν

1 dla wszystkich x ∈ E

ν

(d) przestrze« Eν

1(A) jest A-niezmiennicza i norma operatora zaw¦»onego

Aν := A | Eν

1(A) speªnia nierówno±¢

kAνkν ≤ ν, gdzie kAνkν := sup 06=x∈Eν 1(A) kAνxkEν 1 kxkEν 1 ; (e) dla ka»dego λ ∈ ρ(A) speªniona jest nierówno±¢

k(λI − Aν)−1kν ≤ k(λI − A)−1k

i widma operatorów A i jego zaw¦»enia Aν speªniaj¡ inkluzj¦

σ(Aν) ⊂ σ(A).

Dowód. (a) W pierwszej kolejno±ci udowodnimy nierówno±¢ ° °Ak_x°° ≤ νk_kxk Eν 1, x ∈ E ν 1(A), k = 0, 1, 2, . . . . (3.10)

Istotnie jest tak, gdy» dla ka»dego k = 0, 1, 2, . . . zachodzi ° °Ak_x°° νk+1 ≤ X m∈Z+ ° °Am_x°° νm+1 .

Mno»¡c obustronnie powy»sz¡ nierówno±¢ przez νk+1 _otrzymujemy

° °Ak_x°_{° ≤ ν}k+1 X m∈Z+ ° °Am_x°° νm+1 , czyli ° °Ak_x°_{° ≤ ν}k_{· ν g(ν, x, A).}

Korzystaj¡c z denicji normy w przestrzeni Eν

1(A) otrzymujemy »¡dan¡

nie-równo±¢ (3.10)

°

°Ak_x°_{° ≤ ν}k_kxk Eν

1.

Z nierówno±ci tej wynika, »e je±li ©xn : n ∈ N

ª

jest ci¡giem Cauchy'ego w Eν

1(A), to ci¡g _©

Ak_x

n: n ∈ N

jest ci¡giem Cauchy'ego w X dla ka»dego ustalonego k ≥ 0. W szczególno±ci (dla k=0) ci¡giem Cauchy'ego w X jest równie»

©

xn: n ∈ N

ª

.

Wobec zupeªno±ci przestrzeni X wnioskujemy, »e istniej¡ wektory x ∈ X i yk ∈ X takie, »e zachodz¡ równo±ci w normie przestrzeni X

lim n→∞kxn− xk = 0 (3.11) oraz lim n→∞ ° °Ak_x n− yk ° ° = 0, k = 0, 1, 2, . . . . (3.12) Z jedyno±ci granicy oraz tego, »e wykres operatora Ak _{jest podprzestrzeni¡}

domkni¦t¡ w X × X otrzymujemy

yk = Akx (3.13)

dla x ∈ D(Ak_{) i dla ka»dego ustalonego k ≥ 0. Czyli z (3.12) oraz (3.13)}

otrzymujemy lim n→∞ ° °Ak_x n− Akx ° ° = 0, k = 0, 1, 2, . . . . (3.14) Z zaªo»enia ©xn : n ∈ N ª

jest ci¡giem Cauchy'ego w Eν

1(A), wi¦c dla

dowol-nego ε > 0 istnieje staªa nε taka, »e dla wszystkich n, m ≥ nε zachodzi

kxn − xmkEν

1(A) < ε. To z kolei wobec nierówno±ci (3.10) oznacza, »e dla

dowolnych k ≥ 0 i n, m ≥ nε zachodzi ° °Ak_(x n− xm) ° ° < ε. Z powy»szej nierówno±ci w szczególno±ci wynika

lim m→∞ ° °Ak_(x nε − xm) ° ° = 0. _(3.15)

Ze zwi¡zków (3.14) i (3.15) wynika, »e dla dowolnego k ≥ 0 istnieje staªa

mε, k≥ nε taka, »e dla wszystkich m ≥ mε, k otrzymujemy

° °Ak_(x nε − xm) ° ° < ε µ ν 2 ¶_k i °°Ak_(x m− x) ° ° < ε µ ν 2 ¶_k . (3.16)

Stosuj¡c nierówno±¢ trójk¡ta otrzymujemy ° °Ak_x°_{° ≤}°_°Ak_x nε ° ° +°°Ak_(x nε − xm) ° ° +°°Ak_(x m− x) ° ° , (3.17) a nast¦pnie wobec zwi¡zków (3.16)

° °Ak_x°_{° ≤}°_°Ak_x nε ° ° + ε µ ν 2 ¶_k + ε µ ν 2 ¶_k =°°Ak_x nε ° ° + 2ε µ ν 2 ¶_k . _(3.18) Ostatecznie kxkEν 1 = X k∈Z+ ° °Ak_x°° νk ≤ X k∈Z+ ° °Ak_x nε ° ° + 2ε¡ν 2 ¢_k νk = X k∈Z+ ° °Ak_x nε ° ° νk + X k∈Z+ 2ε¡ν 2 ¢_k νk = X k∈Z+ ° °Ak_x nε ° ° νk + 2ε X k∈Z+ 1 2k =°°xn(ε) ° ° Eν 1 + 4ε

dla dowolnego ε > 0, co oznacza, »e x ∈ Eν

1(A). Podobnie otrzymujemy

° °Ak_(x n− x) ° ° ≤°°Ak_(x mε,k− x) ° ° +°°Ak_(x n− xmε, k) ° ° ≤ 2ε µ ν 2 ¶_k , a nast¦pnie kxn− xkEν 1 = X k∈Z+ ° °Ak_(x n− x) ° ° νk ≤ X k∈Z+ 2ε¡ν 2 ¢_k νk = 2ε X k∈Z+ 1 2k = 4ε

dla dowolnego ε > 0, co oznacza zbie»no±¢ ci¡gu ©xn: n ∈ N

ª

w przestrzeni

Eν

1(A). Zupeªno±¢ przestrzeni E1ν(A) zostaªa udowodniona.

(c) Dla ka»dego x ∈ Eν

1(A) i ν < µ zachodz¡ poni»sze zale»no±ci

kxk_Eµ 1 = µg(µ, x, A) = µ X k∈Z+ kAk_xk µk+1 = X k∈Z+ kAk_xk µk ≤ X k∈Z+ kAk_xk νk = kxkE1ν.

(d) Najpierw udowodnimy A-niezmienniczo±¢ przestrzeni Eν

1(A). Niech x ∈ Eν 1(A), wtedy X k∈Z+ kAk_xk νk+1 < ∞. Poka»emy, »e Ax ∈ E ν 1(A), tzn. X k∈Z+ kAk_Axk νk+1 < ∞. Z zaªo»enia otrzymujemy X k∈Z+ kAk+1_xk νk+1 = X k∈Z+ kAAk_xk νk+1 ≤ X k∈Z+ kAkkAk_xk νk+1 = kAk X k∈Z+ kAk_xk νk+1 < ∞.

We¹my teraz dowolne 0 6= x ∈ Eν

1(A) i ν > 0. Mamy kAνxkEν 1 = ν X k∈Z+ kAk νAνxk νk+1 = ν X k∈Z+ kAk+1 ν xk νk+1 ≤ ν µ kA0 νxk ν0 + X k∈Z+ kAk+1 ν xk νk+1 ¶ = ν ∞ X k=−1 kAk+1 ν xk νk+1 = ν X p∈Z+ kAp νxk νp = νkxkE1ν,

nast¦pnie dziel¡c przez kxkEν

1 i bior¡c supremum po x otrzymujemy

nierów-no±¢ sup 06=x∈`ν 1(A) kAνxkν kxkEν 1 ≤ ν.

Lewa strona powy»szej nierówno±ci jest z denicji równa normie kAνkν, co

(e) Niech λ ∈ ρ(A) i x ∈ Eν

1(A). Wtedy korzystaj¡c z komutowania

operatora i rezolwenty na dziedzinie operatora [51, Wniosek IX.4.2] otrzy-mujemy ° °(λI − A)−1_x°_° Eν 1 = X k∈Z+ ° °Ak_{(λI − A)}−1_x°° νk = X k∈Z+ ° °(λI − A)−1_Ak_x°° νk ≤ X k∈Z+ ° °(λI − A)−1°°°°Ak_x°° νk =°°¡λI − A¢−1°° X k∈Z+ ° °Ak_x°° νk =°°(λI − A)−1°_{° kxk} Eν 1. (3.19)

Bior¡c pod uwag¦ niezmienniczo±¢ przestrzeni Eν

1(A)wzgl¦dem operatora A,

otrzymujemy relacj¦

(λ − A)−1_{| E}ν

1(A) = (λ − Aν)

−1_{. (3.20)}

Równo±¢ (3.20) oznacza, »e restrykcja rezowenty operatora A do Eν

1(A) jest

rezolwent¡ dla restrykcji Aν operatora A. St¡d wynika, »e λ ∈ ρ(Aν)

i w szczególno±ci prawdziwa jest inkluzja

σ(Aν) ⊂ σ(A).

Z (3.19) i (3.20) wynika nierówno±¢ k(λI − Aν)−1kν ≤ k(λI − A)−1k. Lemat

zostaª udowodniony. ¤

3.2 Operatory z oddzielanym widmem na ªuku

Zaªó»my, »e widmo σ(A) operatora A jest niepuste i zawiera si¦ w pro-stym, otwartym, gªadkim ªuku Γ w pªaszczy¹nie zespolonej C. W szczegól-no±ci ªukiem Γ mo»e by¢ rzeczywista o± liczbowa R.

Rozwa»my nast¦pnie dowolny domkni¦ty odcinek ∆ na ªuku Γ i ozna-czmy przez X∆ domkni¦t¡ podprzestrze« X o nast¦puj¡cych wªasno±ciach:

(I) operator A jest dobrze okre±lony i ograniczony na X∆;

(II) przestrze« X∆ jest A-niezmiennicza;

(III) widmo σ(A∆) speªnia warunki

σ(A∆) ⊂ ∆, σ(A∆) ∩ int ∆ = σ(A) ∩ int ∆,

gdzie int oznacza wn¦trze zbioru, a A∆ jest zaw¦»eniem operatora A do

przestrzeni X∆, czyli w kontek±cie warunku (II) A∆ : X∆−→ X∆;

(IV) je±li operator A jest wsz¦dzie dobrze zdeniowany i ograniczony na pewnej domkni¦tej A-niezmienniczej podprzestrzeni M ⊂ X i dla jego zaw¦»enia AM do M speªniona jest inkluzja σ(AM) ⊂ ∆, to M ⊂ X∆. Denicja 4. [29] Podprzestrze« X∆ speªniaj¡c¡ warunki (I)(IV) nazywamy

podprzestrzeni¡ spektraln¡ operatora A.

Denicja 5. [29] Je»eli σ(A) ⊂ Γ i S

∆⊂Γ

X∆ jest g¦st¡ podprzestrzeni¡ w X ,

gdzie X∆ jest podprzestrzeni¡ spektraln¡ operatora A, to operator A

nazy-wamy operatorem z oddzielanym widmem.

W przypadku rzeczywistego widma wedªug J. Ljubi£a i V. Macaeva ope-rator A z oddzielanym widmem jest te» nazywany S -opeope-ratorem.

Lemat 3.2.1. Niech ν b¦dzie pewn¡ liczb¡ dodatni¡. Dla ka»dego domkni¦-tego odcinka ∆ ⊂ Γ takiego, »e

∆ ⊂©λ ∈ C : |λ| < νª

zachodzi inkluzja

X∆⊂ E1ν(A).

Dowód. Rozwa»my zaw¦»enie A∆ operatora A do podprzestrzeni

spek-tralnej X∆. Z denicji przestrzeni spektralnej i zaªo»e« lematu wynika, »e

zachodzi inkluzja

σ(A∆) ⊂

©

λ ∈ C : |λ| < νª.

Dlatego promie« spektralny operatora A∆, który w sposób równowa»ny mo»e

by¢ przedstawiony jako

r∆= lim

k→∞kA k

speªnia nierówno±¢ r∆< ν. To wobec nast¦puj¡cego zwi¡zku lim k→∞ ð °Ak ∆x ° ° νk !1 k = lim k→∞ ° °Ak ∆x ° °1k ν ≤ r∆ ν < 1

oznacza, »e dla ka»dego x ∈ X∆ szereg

X k∈Z+ kAk_xk νk = X k∈Z+ kAk ∆xk νk

jest zbie»ny. W powy»szej równo±ci wyra»enie po lewej stronie jest norm¡ elementu x w przestrzeni Eν

1(A). St¡d otrzymujemy, »e x ∈ E1ν(A). Lemat

zostaª udowodniony. ¤

Twierdzenie 3.2.2. Niech dla ka»dego punktu ξ ∈ Γ b¦d¡ speªnione nast¦pu-j¡ce warunki:

(i) istnieje niemalej¡ca funkcja Mξ(δ) speªniaj¡ca dla odpowiednio maªego

ε > 0 warunek Levinsona Z _ε

0

ln ln Mξ(δ) dδ < ∞; (3.21)

(ii) istnieje otoczenie O(ξ) takie, »e dla ka»dego λ ∈ O(ξ) \ Γ rezolwenta operatora A speªnia nierówno±¢

°

° (λI − A)−1°_{° ≤ M} ξ

£

δ(λ, Γ)¤,

gdzie δ(λ, Γ) oznacza odlegªo±¢ punktu λ od Γ.

Wtedy dla ka»dego domkni¦tego odcinka ∆ ⊂ Γ istnieje podprzestrze« spektralna X∆ i zachodzi nast¦puj¡ca równo±¢

E(A) = [

∆⊂Γ

X∆. (3.22)

Dowód. Z Lematu 3.2.1 ªatwo wynika inkluzja [ ∆⊂Γ X∆⊂ [ ν>0 Eν 1(A) = E(A).

Wystarczy wi¦c udowodni¢ inkluzj¦ odwrotn¡. Z Lematu 3.1.3 (e) wynika, »e dla ka»dego ν > 0 zbiór σ(Aν) jest ograniczony i nale»y do ªuku Γ, bo

σ(A) z zaªo»enia zawiera si¦ w Γ. Dlatego istnieje odcinek ∆ na ªuku Γ taki, »e zachodzi inkluzja σ(Aν) ⊂ int ∆. W dalszym ci¡gu dowodu przyjmujemy

rozumowanie i oznaczenia takie jak w dowodzie Twierdzenia Ljubi£a-Macaeva [29, Twierdzenie 5] i konstruujemy kontur C−

∆. Jest on utworzony przez

sprz¦»enie bez samoprzeci¦¢ dwóch gªadkich stycznych ªuków, które maj¡ pocz¡tek w ró»nych ko«cach odcinka ∆. Zakªadamy, »e kontur C−

∆ nale»y

do cz¦±ci wspólnej koªa ©λ ∈ C : |λ| < νª i zbioru rezolwenty ρ(Aν) i jest

zorientowany na zewn¡trz. W ko«cach odcinka ∆ kontur C−

∆ ma ostrze do

±rodka, a w pozostaªych punktach kontur C−

∆ jest gªadki.

Z Twierdzenia Levinsona [24, VIII] wynika, »e je±li jest speªniony warunek (3.21), to istnieje funkcja Φ−

∆(λ) o wªasno±ciach:

• Φ−

∆(λ) jest analityczna i ograniczona na zewn¡trz konturu C∆−;

• Φ−

∆(λ) 6= 0 dla wszystkich sko«czonych λ le»¡cych na zewn¡trz konturu

C− ∆; • Φ−_∆(∞) = 0; • Φ− ∆(λ) = O ³ ₁ Mξ[δ(λ, Γ)] ´

, gdy λ → ξ wzdªu» ∆ dla ka»dego punktu ko«cowego ξ odcinka ∆.

Wtedy na podstawie [29, Twierdzenie 5] istnieje przestrze« spektralna

X∆ i zachodzi równo±¢ X∆= N [Φ−_∆(A)], gdzie Φ−_∆(A) := 1 2πi I C_∆− Φ−_∆(λ)(λI − A)−1dλ.

Šatwo zauwa»y¢ z oszacowania rezolwenty, »e caªka Φ−

∆(A) istnieje w normie

operatorowej na przestrzeni X . Poniewa» ρ(A) ⊂ ρ(Aν), to zaw¦»enie

re-zolwenty (λI − Aν)−1 do niezmienniczej podprzestrzeni E1ν(A) jest ci¡gª¡

funkcj¡ na konturze C−

∆ ju» w normie operatorowej na przestrzeni E1ν(A).

Wówczas z warunku (ii) wynika nierówno±¢

k(λI − Aν)−1k ≤ Mξ

£

δ(λ, Γ)¤,

a to oznacza, »e caªka Φ− ∆(Aν) := 1 2πi I C_∆− Φ− ∆(λ)(λI − Aν)−1dλ

równie» istnieje w normie operatorowej na przestrzeni Eν

1(A). Widmo

zaw¦-»enia Aν operatora A do podprzestrzeni E1ν(A) speªnia warunek σ(Aν) ⊂

int ∆ i jest zawarte wewn¡trz konturu C−

∆, wi¦c rezolwenta (λI − Aν)−1 jest

analityczna i ograniczona w normie operatorowej na przestrzeni Eν

1(A) na

zewn¡trz konturu C−

∆. Funkcja podcaªkowa jest ograniczon¡, analityczn¡

funkcj¡ na zewn¡trz konturu C−

∆ i znika w niesko«czono±ci. Z Twierdzenia

Cauchy'ego dla funkcji analitycznych otrzymujemy Φ−

∆(Aν) = 0.

Dlatego Φ−

∆(A)x = Φ−∆(Aν)x = 0 dla wszystkich x ∈ E1ν(A), a st¡d

Eν 1(A) ⊂ N £ Φ− ∆(A) ¤ = X∆. Z dowolno±ci ν otrzymujemy E(A) ⊂ [ ∆⊂Γ X∆.

Twierdzenie zostaªo udowodnione. ¤ Rozwa»my w algebrze Banacha L(X) jednoparametrow¡ silnie ci¡gª¡ grup¦

R 3 t → eitA _{∈ L(X)}

o generatorze T = iA. Opieraj¡c si¦ na [29], A nazywamy operatorem niequasianalitycznym, je±li speªnia warunek

Z _∞

−∞

ln°°eitA°°

1 + t2 dt < ∞. (3.23)

Z Twierdzenia 3.2.2 i [29] wynika nast¦puj¡ce

Twierdzenie 3.2.3. Je±li operator A speªnia jeden z nast¦puj¡cych warun-ków :

(i) A jest niequasianalityczny ;

(ii) T = iA jest generatorem izometrycznej grupy; to zachodzi równo±¢ (3.22) w Twierdzeniu 3.2.2.

Dowód. Widmo operatora niequasianalitycznego le»y na osi rzeczywistej. Ponadto, jak zostaªo udowodnione w [29, Twierdzenie 3], dla niequasianali-tycznego operatora A funkcja

M(δ) = sup

| Im λ|≥δ

k(λI − A)−1k

speªnia zaªo»enia Twierdzenia 3.2.2 w ka»dym punkcie osi rzeczywistej, czyli

w tym przypadku mamy Γ = R. ¤

Tak wi¦c klasa operatorów speªniaj¡cych zaªo»enia Twierdzenia 3.2.2 jest szeroka. Jak zwykle, jednoparametrow¡ grup¦ R 3 t → eitA _{∈ L(X)}

nazy-wamy grup¡ izometryczn¡, je±li

keitAxk = kxk

dla wszystkich x ∈ X i t ∈ R. Oczywisty jest fakt, »e je±li izometryczna gru-pa jest generowana przez operator iA, to A jest niequasianalityczny. Wystar-czy podstawi¢ keitA_{k = 1 do wzoru (3.23).}

3.3 Generatory (C

)

-grup i operatory konserwatywne

We¹my X0 _{dualn¡ przestrze« liniowych, ci¡gªych fukcjonaªów okre±lonych}

na przestrzeni X . Zgodnie z Twierdzeniem Hahna-Banacha dla dowolnego wektora x ∈ X istnieje funkcjonaª ex ∈ X0 taki, »e kxk = hx | exi

i kexk = 1. Opieraj¡c si¦ na idei zaczerpni¦tej z [48] deniujemy funkcjonaª

postaci ϕx := kxk ex. Funkcjonaª ten speªnia warunek

hx | ϕxi = kxk2 = kϕxk2. (3.24)

Przez X0

x oznaczamy zbiór wszystkich funkcjonaªów ϕx ∈ X0, które speªniaj¡

zwi¡zek (3.24).

Denicja 6. Liniowy operator T : D(T ) → X o g¦stej dziedzinie D(T ) ⊂ X nazywamy konserwatywnym, je±li dla ka»dego x ∈ D(T ) istnieje funkcjonaª

ϕx ∈ Xx0, który speªnia relacj¦

Denicja 7. Liniowy operator T : D(T ) → X o g¦stej dziedzinie D(T ) ⊂ X nazywamy dysypatywnym, je±li dla ka»dego x ∈ D(T ) istnieje funkcjonaª

ϕx ∈ Xx0, który speªnia relacj¦

Re hT x | ϕxi ≤ 0. (3.26)

Operator T nazywamy akretywnym, je±li operator −T jest dysypatywny. Zauwa»my, »e operator jednocze±nie dysypatywny i akretywny jest opera-torem konserwatywnym.

Lemat 3.3.1. [48, Propozycja 2.1.5] Dla dowolnego liniowego operatora T nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

(a) T jest operatorem dysypatywnym;

(b) Re λ kxk ≤ k(λI − T )xk dla wszystkich x ∈ D(T ) i wszystkich

λ ∈ C takich, »e Re λ > 0;

(c) λ kxk ≤ k(λI − T )xk dla wszystkich x ∈ D(T ) i wszystkich λ > 0. Nietrudno jest udowodni¢, »e konserwatywno±¢ operatora T jest równo-wa»na temu, »e nierówno±¢

| Re λ| kxk ≤ k(λI − T )xk (3.27) zachodzi dla wszystkich x ∈ D(T ) i wszystkich λ ∈ C takich, »e Re λ 6= 0. Korzystaj¡c z Lematu 3.3.1 otrzymujemy, »e dysypatywno±¢ operatora T jest równowa»na warunkowi

| Re λ| kxk ≤ k(λI − T )xk (3.28) dla wszystkich x ∈ D(T ) i wszystkich λ ∈ C takich, »e Re λ > 0.

Z kolei akretywno±¢ operatora oznacza, »e zachodzi warunek Re β kxk ≤ k(βI + T )xk

dla wszystkich x ∈ D(T ) i wszystkich β ∈ C takich, »e Re β > 0. Stosuj¡c podstawienie β = −λ w ostatniej nierówno±ci otrzymujemy

dla wszystkich x ∈ D(T ) i wszystkich λ ∈ C takich, »e Re λ < 0. Dokonuj¡c przeksztaªce« ostatniej nierówno±ci mamy

− Re (λ) kxk ≤ k − (λI − T )xk,

a nast¦pnie korzystaj¡c z tego, »e | Re λ| = − Re λ ostatecznie otrzymujemy

| Re (λ)| kxk ≤ k(λI − T )xk, (3.29) dla wszystkich x ∈ D(T ) i wszystkich λ ∈ C takich, »e Re λ < 0.

Z warunków (3.28) i (3.29) natychmiast wynika warunek (3.27) z lematu.

Twierdzenie 3.3.2. Niech T = iA b¦dzie domkni¦tym operatorem na prze-strzeni X . Je±li speªnione s¡ nast¦puj¡ce dwa warunki :

(i) E(A) = X (domkni¦cie w normie X );

(ii) operator T jest konserwatywny na przestrzeni X ; to operator T generuje izometryczn¡ grup¦ na przestrzeni X . Dowód. Niech dla pewnej liczby ν > 0 zachodzi

∆ ⊂©λ ∈ C : |λ| < νª∩ Γ

i rozwa»my zaw¦»enie (λI −A∆) operatora (λI −A) do podprzestrzeni

spek-tralnej X∆. Podprzestrze« spektralna X∆ jest przestrzeni¡ Banacha jako

domkni¦ta podprzestrze« przestrzeni Banacha X . Z Lematu 3.2.1 i Twier-dzenia Banacha o operatorze odwrotnym wynika, »e dla ka»dej liczby λ takiej, »e |λ| ≥ ν istnieje ograniczony (ci¡gªy) operator (λI − A∆)−1 na

przestrzeni Banacha X∆. Dlatego z odwracalno±ci operatora na X∆

otrzy-mujemy równo±¢

(λI − A∆)(X∆) = X∆ (3.30)

prawdziw¡ dla wszystkich |λ| ≥ ν .

Poka»emy teraz konserwatywno±¢ operatora T∆ = iA∆ na przestrzeni

X∆. Niech x ∈ X∆. Z konserwatywno±ci operatora T wynika, »e istnieje

funkcjonaª ϕx ∈ Xx0 speªniaj¡cy warunek Re hT x | ϕxi = 0. Deniujemy

funkcjonaª ex :=

ϕx

kxk. Z warunku (3.24) natychmiast otrzymujemy równo±ci kexk = 1 oraz

Niech X⊥

∆ b¦dzie anihilatorem podprzestrzeni X∆ w przestrzeni dualnej X0,

tzn.

X⊥

∆ = {φ ∈ X0 : hx | φi = 0, x ∈ X∆}.

We¹my wi¦c klas¦ równowa»no±ci bex ∈ X0/ X∆⊥ funkcjonaªu ex. Wówczas

b

ex = {ψ ∈ X0 : ψ − ex ∈ X∆⊥},

st¡d wobec denicji anihilatora mamy

hy | ψ − exi = 0 dla wszystkich ψ ∈ bex, y ∈ X∆.

To oznacza

hy | ψi − hy | exi = 0 dla wszystkich ψ ∈ bex, y ∈ X∆

i ostatecznie otrzymujemy

hy | ψi = hy | exi dla wszystkich ψ ∈ bex, y ∈ X∆.

St¡d wobec (3.31) wnioskujemy, »e dla ka»dego elementu ψ z klasy równowa»no±ci bex mamy

hx | ψi = hx | exi = kxk, x ∈ X∆. (3.32)

Wobec powy»szego dla klasy równowa»no±ci bex ∈ X0/ X∆⊥ otrzymujemy

równo±¢

hx | bexi = kxk, x ∈ X∆. (3.33)

Ponadto dla dowolnego ψ ∈ bex wobec (3.32) mamy

kψk = sup x∈X∆ khx | ψik kxk = supx∈X∆ kxk kxk = 1.

Czyli k bexk = 1 w normie przestrzeni ilorazowej X0/ X∆⊥. Dlatego element

b ϕx := kxk bex ∈ X0/ X∆⊥ o normie k bϕxk = ° °kxk bex ° ° = kbexkkxk = kxk (3.34)

speªnia analogiczne warunki do (3.24) i (3.25) dla x ∈ X∆ i bex ∈ X0/X∆⊥.

Mianowicie korzystaj¡c z (3.33) otrzymujemy

hx | bϕxi = hx | kxk bexi = hx | bexi kxk

= kxk kxk = kxk2 _{= k bϕ}