6. W eryfikacja hipotez statystycznych
6.4. Weryfikacja hipotez parametrycznych dotyczących różnicy pomiędzy
wskaźnikiem struktury a ustaloną wartością
Załóżm y, że zbiorow ość g en eraln a jest opisyw ana przez zm ienną losową X o rozkładzie zero-jedynkowym, dla którego P ( X = 1) = p. Naszym zadaniem jest porów nanie rzeczywistej w artości p aram etru p z hipotetyczną wartością/?o. W pierw szym kroku należy postawić jed n ą z hipotez zerowych postaci:
Sposób zestawienia hipotezy zerowej z hipotezą alternatyw ą odbywa się an alo gicznie do opisanego w punkcie 6.2 i 6.3.
Jeżeli próba jest dostatecznie liczna, to wówczas w procesie weryfikacji m ożna wykorzystać statystykę U ~ N ( 0,1), przyjm ującą wartości w edług w zoru (zob. punkt 5.6.4):
jest realizacją zm iennej losowej U ~ N ( 0 , l ) .
Sposób budowy przedziału krytycznego oraz zasady podejm ow ania decyzji są analogiczne jak w przypadku weryfikacji różnicy pom iędzy w artością oczekiw aną |i a ustaloną wartością
(Jo-H 0: p = p 0, (6.87)
H o: p < po,
(
6.
88)
H 0: p > po,
której przeciwstawimy odpow iednią hipotezę alternatyw ną: H i : p * p 0, (6.89) (6.90) H w p > po, (6.91) Hi :p < po- (6.92) u = w - p (6.93) w (l-w ) n
gdzie: w = z/n jest w artością statystyki p = W„ opisanej w zorem (5.89). Jeżeli p = po, to również wyrażenie:
w - P o
P rz y k ła d 6.8
Z populacji studentów zdających egzam in z „Z arządzania jakością” pobrano losową pró b ę liczącą « = 100 osób i stw ierdzono, że z = 12 osób otrzym ało ocenę niedostateczną. Przyjmując poziom istotności a = 0,1, zweryfikować hipotezę zerową, że faktyczna frakcja studentów , którzy nie zdali egzam inu, jest m niejsza lub równa 10% tj. Ho:p < 0,1, w obec hipotezy alternatyw nej, że rzeczywista frakcja studentów z ocenam i niedostatecznym i jest w iększa niż 10% tj. H\: p > 0,1.
Frakcję studentów , którzy w badanej próbie nie zdali egzam inu, wyniesie: w = z/n = 12/100 = 0,12. W artość statystyki z próby wyznaczamy, korzystając ze w zoru (6.94). O trzym am y wówczas:
Z tablic dystrybuanty rozkładu norm alnego odczytamy, dla a = 0,1 że u a = 1,28. Przedział krytyczny będzie m iał postać [1,28; + o o ) . Ponieważ wartość m nie leży w przedziale krytycznym, dlatego brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, głoszącej, że rzeczywista frakcja ocen negatywnych nie przekracza 10%. {kp}
6.5. Weryfikacja hipotez parametrycznych
dotyczących dwóch wartości oczekiwanych
Załóżm y, że rozważam y dwie zbiorow ości generalne o rozkładach normalnych iV(|ii, a i); N ( |i?, 0 2), przy czym wartości |Ji i LI2, pozostają nieznane. Załóżm y na początek, że znane pozostają w artości odchyleń standardow ych 01 i 0 2. Załóżmy dalej, że form ułujem y jed n ą z następujących hipotez zerowych:
0
,
12-
0,1 0,02 — = --- = 0,67, 0,1 0,9 0,03 100Ho:
|ii = |i2, Ho: |ii < ^2,Ho:
Ui > | i2, (6.95) (6.96) (6.97) oraz je d n ą z odpow iednich hipotez alternatywnych:H1: JU1 ^ |I2, (6.98)
H\:\i\ > |i2, (6.99)
(6.100) H1: m < (i2.
Sposób przyporządkow ania hipotezy alternatyw nej do odpow iedniej hipotezy zerowej odbywa się według analogicznych zasad, ja k w przypadku weryfikacji jednej wartości oczekiwanej.
W dalszym ciągu rozważań założymy, że rozpatrujem y hipotezę zerow ą (6.95) wobec hipotezy alternatyw nej (6.98). Z badanych populacji p o b iera się dwie losowe
próby o liczności wynoszącej odpow iednio których wyznacza się średnie
Jak pam iętam y (zob. punkt 5.6.5), różnica X \ - X i m a rozkład norm alny o
pa-Dokonując standaryzacji zmiennej losowej X \ - X i , otrzymujemy następujące wy rażenie:
gdzie: U jest zm ienną losową o rozkładzie norm alnym zero-jedynkowym.
Jeżeli założymy, że hipoteza zerow a jest prawdziwa, to wówczas jej weryfikacja odbywa się na podstaw ie wyrażenia:
które jest realizacją zm iennej losowej U o rozkładzie norm alnym standaryzow a nym.
W sytuacji braku znajom ości param etrów oi i 0 2, należy je wcześniej oszacować, używając jed nego z estym atorów S lub S. Załóżm y, że odchylenia standardow e rozważanych populacji są jednakow e, tzn. 01 = o?. Załóżm y w dalszym ciągu, że do oszacowania odchyleń standardow ych w ykorzystano statystkę S*. O dpow iednim sprawdzianem hipotezy zerowej jest wówczas (zob. wzór 5.95)“’:
gdzie: r = ti\ + «7-2, natom iast spjest tzw. uogólnionym oszacow aniem odchylenia
1X 2. ram etrach: H1- H2 i l , _ ( Z , - Z 2) - (m1- h2) (6.101) X l - X l (6.102) X \ - X 2 (6.103)
standardow ego -J a j + a \ i wynosi (zob. wzór 5.99):
_ I ( » ! - ! > ? + (»2-1)^2
” V ( « ! - ! ) + ( /! 2-1) (6.104)
Jeżeli liczebność próby « i = «2, to wówczas wzór (6.103) m ożna przedstawić
Sposób budowy przedziałów krytycznych oraz reguły decyzyjne są analogiczne, ja k w przypadku testow ania hipotez dotyczących różnicy pom iędzy w artością ocze kiwaną, a z góry ustaloną w artością (zob. m odel II).
Stosow anie testu (6.103) ograniczone jest jed n ak tylko do przypadków, w których b ad a n e zm ienne losowe są niepow iązane. Jeżeli pom iędzy zm iennym i występuje za leżność, to wówczas, aby zweryfikować hipotezę o równości dwóch średnich, należy d okonać przekształcenia dwóch jednowym iarowych zm iennych losowych X \ i X i w je d n ą zm ienną dwuwymiarową (X\, X z) o realizacjach (xi.„ xi.t) dla i = 1, ..., n. W takim przypadku wyniki obu prób są traktow ane jako wyniki pom iarów dla tego sam ego elem en tu zbiorow ości generalnej. Typowym przypadkiem jest tu model: wynik x u przed zajściem określonego zdarzenia i wynik x u , gdy zaszło określone zdarzenie dla tej samej i-tej jedno stki populacji. N a przykład liczba wypadków dro gowych na pewnym odcinku drogi przed w prow adzeniem znaków ograniczających prędkość i po ich wprow adzeniu.
W takiej sytuacji należy postaw ić hipotezę zerową:
gdzie: My jest średnią zmiennej losowej Y — X \ - X i , o realizacjach: y, = x u - xzi, dla i = 1,2, .... /i.
S praw dzianem tak sform ułow anej hipotezy zerowej jest wyrażenie:
b ędące realizacją zm iennej losowej t-S tu d en ta o r = n - 1 stopniach swobody. Symbole we w zorach (6.109) i (6.110) oznaczają:
jako: (6.105) 'p przy czym: (6.106) Ho: My — 0, (6.107)
wobec hipotezy alternatyw nej:
H i : my *■ 0, (6.108) (6.109) sY lub (6.110) S Y
yn jest w artością średniej arytm etycznej z próby, nato m iast s'Y i sy oszacow aniem odchylenia standardow ego zm iennej Y, uzyskanym za pom ocą estym atorów S* i S.
Podczas konstrukcji przedziału krytycznego korzysta się z tablic rozkładu Stu denta, przy założeniu, że liczba stopni swobody r = n - 1. Z asady podejm ow ania decyzji są analogiczne do opisanych w tablicy 6.3.
W sytuacji, gdy dwie populacje m ają rozkłady norm alne o nieznanych odchyle niach standardowych, a p obran e próby n i i ri2 są odpow iednio liczne, to wówczas, m ożna przyjąć w przybliżeniu, że w ariancje oszacow ane na podstaw ie prób z wyko rzystaniem estym atora S 2, są w przybliżeniu równe rzeczywistym w artościom wariancji w populacji (tzn. s? « a i oraz s? « a?). Oczywiście w takim przypadku podczas procesu weryfikacji możemy wykorzystać spraw dzian uo postaci (6.1 0 2).
Przykład 6.9
Na dwóch specjalnościach studiów m agisterskich: Rachunkow ość i Z arządzanie firmą, przeprow adzono egzam in z „Z arządzania jakością”. Z akładając, że rozkłady liczby punktów w obydwu próbach są norm alne, postanow iono sprawdzić hipotezę, że średnia liczba punktów na obydwu specjalnościach jest tak a sam a. Podczas w e ryfikacji założono poziom istotności a = 0,05. W celu weryfikacji tak postaw ionej hipotezy, pobrano niezależną próbę losową 121 osób ze specjalności Rachunkow ość, oraz 100 osób ze specjalności Z arządzanie firmą.
Średnia liczba punktów w poszczególnych próbach wyniosła: x\ = 25,5 oraz X2 = 62,2.
O dchylenia standardow e z badanych prób wyniosły: Si = 5,5 oraz s2 = 4,4. Stawiamy hipotezę zerową:
Do spraw dzenia hipotezy zerowej m ożna użyć w zoru (6.102). Po podstaw ieniu wartości do wzoru otrzymamy:
Przedział krytyczny jest w tym przypadku postaci:
Tl к = (-ao ; -W а /2 ] u [U a !2 ; + ° ° ) .
W artości —u a/21 Ua/2 wyznaczane są z tablic dystrybuanty rozkładu /V(0,1), w taki sposób, aby:
Ho: |ii = H2,
oraz hipotezę alternatyw ną:
H 0: n i * | i 2.
Ponieważ próba losowa jest duża, m ożna w przybliżeniu przyjąć, że: S 2 » C 7 ? i s\ ~ CT>
P (U < -Ua/2) = a/2 = 0,025, oraz
P (U > Ua/2) = a/2 = 0,025.
W analizow anym przykładzie przedział krytyczny będzie m iał postać: r)fc = (-co ; -1,96] u [1,96; +<»).
Poniew aż w artość obliczonej statystyki m er|/t, dlatego brak jest powodów, aby odrzucić hipotezę zerow ą głoszącą równość średniej liczby punktów w badanych grupach, {kp}
Przykład 6.10
C elem bad an ia była w eryfikacja wpływu leku na obniżenie ciśnienia tętniczego krwi pacjenta. B adanie ciśnienia prow adzono przez 20 kolejnych dni, przy czym przez dziesięć pierwszych dni nie podaw ano lekarstw a, a przez dziesięć kolejnych dni lekarstw o było podaw ane. N iech X \ oznacza zm ienną losową będącą poziom em ciśnienia skurczowego krwi przed podaniem leku, natom iast X i oznacza zm ienną losową będącą ciśnieniem skurczowym krwi po podaniu leku. Wyniki doświadczenia oraz pom ocnicze obliczenia ujęto w tablicy 6.6.
Tablica 6.6. Obliczenia pomocnicze do przykładu 6.10
D zień i
W ynik pom iaru
y, - X \ J ~ X2.i y,
1 2
C iśnienie p rzed podaniem leku
x u [mmHg] C iśnienie po podaniem leku x 2.i [mmHg] 1 2 3 4 5 1 141 130 11 121 2 150 138 12 144 3 160 132 28 784 4 142 121 21 441 5 166 120 46 2116 6 145 133 12 144 7 160 125 35 1225 8 180 110 70 4900 9 170 130 40 1600 10 150 132 18 324 Suma X X X X X X 297 11799
Naszym zadaniem jest weryfikacja hipotezy zerowej, że lek nie m iał istotnego wpływu na zm ianę poziom u ciśnienia skurczowego krwi (czyli różnica poziom u ciśnienia przed i po podaniu leku jest rów na zero, (Ho: |iy = 0), w obec hipotezy al ternatywnej, że podanie leku spow odow ało istotne zm niejszenie poziom u ciśnienia skurczowego krwi (H u |j.y *■ 0).
Ponieważ każda para pom iarów dotyczy tego sam ego pacjenta, wyniki obu prób możemy potraktow ać jako wyniki jednej próby, której elem en tam i b ęd ą różnice = X\.i-X2.i (zob. kolum na 4, tablica 6.6). H ipotezę zerow ą zweryfikujemy za pom ocą testu (6.109). D o obliczenia w artości statystyki z próby niezbędne jest obliczenie średniej z próby y oraz odchylenia standardow ego s y W analizowanym przykładzie
będą one wynosiły: „
I *
yn = -29? 1Ó~ = — = 29.7, S y = 1 1 n x ■> ~ 1 1 r - 1 Y , y ; - L 1 = 1 r‘ V l= 1 = h 11799 — - (29,7)2 10v _*36,1.Stąd wartość statystyki z próby wyniesie: 29,7
36,1 VlÓ »2,6.
Załóżmy, że poziom istotności testu a = 0,05. Z tablic rozkładu S tu d en ta o d czytamy wartość h y w = 1,833. Ponieważ tg,o = 2,6 > /9.0,05 = 1,833, wnioskujem y - na poziom ie istotności 0,05 - odrzucenie hipotezy zerowej i przyjęcie hipotezy alternatywnej, głoszącej że średnie ciśnienie krwi przed podaniem leku jest większe niż średnie ciśnienie krwi po jego podaniu, {kp}