Elementy statystyki. Cz. 2. Rachunek prawdopodobieństwa i wnioskowanie statystyczne

Michał Major

Elementy statystyki

Rachunek prawdopodobieństwa

i wnioskowanie statystyczne

Krakowska Szkoła Wyższa im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego

Kraków 2007

im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego

Michał Major

Elementy statystyki

Rachunek prawdopodobieństwa

i wnioskowanie statystyczne

Kraków 2007

Krakowskiej Szkoły Wyższej im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego: Klemens Budzowski, Andrzej Kapiszewski,

Zbigniew Maciąg, Jacek M. Majchrowski

Recenzja:

prof. AE dr hab. Józef Biolik

prof. KSW dr hab. Barbara Podolęc -/<> -Projekt okładki i stron tytułowi$fy Wojciech Prażuch

Redaktor prowadzący: Halina Baszak Jaroń

Korekta redakcyjna: Zespół

Copyright© by Krakowska Szkoła Wyższa im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Kraków 2007

ISBN 978-83-89823-27-4

Żadna część tej publikacji nie może być powielana ani magazynowana w sposób umożliwiający ponowne wykorzystanie, ani też rozpowszechniana w jakiejkolwiek formie za pomocą środków elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych, bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich

Na zlecenie:

Krakowskiej Szkoły Wyższej im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego www.ksw.edu.pl

Wydawca:

Krakowskie Towarzystwo Edukacyjne Spółka z o.o. Oficyna Wydawnicza AFM, Kraków 2007

Sprzedaż prowadzi:

Księgarnia Krakowskiego Towarzystwa Edukacyjnego Spółka z o.o. Kampus Krakowskiej Szkoły Wyższej im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego ul. Gustawa Herlinga-Grudzińskiego 1

30-705 Krakow tel./fax: (012) 252 45 93 e-mail: ksiegarnia(ą)kte.pl

Skład i łamanie: Wojciech Prażuch

Od wydawcy... 9

CZĘŚĆ I ELEMENTY RA CH U N K I1 PRAW DOPODOBIEŃSTW A...11

1. W ybrane zagadnienia z teorii ra ch u n k u p raw d o p o d o b ień stw a... 13

1.1. W prow adzenie... 13

1.2. Pojęcie prawdopodobieństwa... 19

1.3. Podstawowe własności praw dopodobieństw a...23

1.4. Prawdopodobieństwo zupełne i wzór B ayesa... 27

2. Z m ienne losow e... 31

2.1. Jednowymiarowe zmienne losow e...31

2.1.1. Pojęcie zmiennej losow ej... 31

2.1.2. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuanta zmiennej losowej skokow ej... 33

2.1.3. Funkcja gęstości i dystrybuanta zmiennej losowej ciąg łej... 38

2.1.4. Podstawowe charakterystyki liczbowe jednowymiarowej zmiennej losowej...44

2.1.4.1. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej dyskretnej 44 2.1.4.2. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej ciągłej... 46

2.1.4.3. Podstawowe własności wartości oczekiwanej i wariancji zmiennej losowej...47

2.2. Dwuwymiarowe zmienne losow e...49

2.2.1. Dwuwymiarowa zmienna losowa skokowa... 49

2.2.2. Dwuwymiarowa zmienna losowa ciąg ła... 56

3. W ybrane rozkłady zm iennych losowych oraz podstawowe tw ierdzenia graniczne ..59

3.1. Wybrane rozkłady jednowymiarowych zmiennych losowych dyskretnych... 59

3.1.1. Rozkład dwupunktowy i rozkład zero-jedynkowy...59

3.1.2. Rozkład dwumianowy (binom ialny)...61

3.1.3. Rozkład Poissona...63

3.1.4. Rozkład hipergeometryczny... 65

3.1.5. Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy) i rozkład geometryczny... 67

3.2. Wybrane rozkłady jednowymiarowych ciągłych zmiennych losow ych... 69

3.2.1. Rozkład prostokątny (jednostajny, rów nom ierny)...69

3.2.3. Rozkład wykładniczy...81

3.3. Dwuwymiarowy rozkład normalny...83

3.4. Wybrane twierdzenia graniczne...85

3.4.1. Prawo wielkich liczb Bernoulliego...86

3.4.2. Nierówność Czybyszewa... 88

3.4.3. Twierdzenie Moivre’a-Laplace’a ...89

CZĘŚĆ II WNIOSKOW ANIE STATYSTYCZNE...91

4. W nioskow anie statystyczne - podstaw ow e p o ję c ia ...93

4.1. Techniki doboru p ró b y ... 94

4.2. Tablice liczb losowych...97

5. W ybrane zagadnienia z teorii e sty m a c ji...102

5.1. Uwagi w stępne... 102

5.2. Estymatory i ich w łasności...102

5.3. Metody uzyskiwania estymatorów... 105

5.3.1. Estymacja MNW param etrup w rozkładzie dwupunktowym...106

5.3.2. Estymacja MNW param etru X w rozkładzie Poissona... 107

5.3.3. Estymacja MNW parametrów (i i a2 w rozkładzie norm alnym ...109

5.3.4. Estymacja MNW param etru X w rozkładzie wykładniczym... 110

5.4. Estymacja punktowa parametrów jednowymiarowej zmiennej losow ej... 109

5.4.1. Uwagi w stępne...109

5.4.2. Estymacja wartości oczekiwanej...109

5.4.3. Estymacja wariancji i odchylenia standardowego...111

5.5. Rozkłady podstawowych statystyk z próby...117

5.5.1. Rozkład średniej z p ró b y ... 117

5.5.2. Rozkład wariancji i odchylenia standardowego z próby ... 122

5.6. Przedziałowa estymacja podstawowych parametrów zmiennej losowej... 124

5.6.1. Uwagi w stępne...124

5.6.2. Przedziałowa estymacja wartości oczekiwanej...125

5.6.3. Przedziałowa estymacja wariancji i odchylenia standardowego... 130

5.6.4. Przedziałowa estymacja frakcji (wskaźnika struktury)... 133

5.6.5. Przedziałowa estymacja różnicy między dwiema wartościami oczekiwanymi...134

5.6.6. Przedziałowa estymacja stosunku dwóch wariancji...136

5.6.7. Przedziałowa estymacja różnicy między dwoma wskaźnikami struktury... 137

5.6.8. Przedziałowa estymacja współczynnika korelacji liniowej... 137

5.6.9. Szacowanie minimalnej liczebności p ró b y ... 139

6. W eryfikacja hipotez statystycznych... 143

6.1. Uwagi w stępne... 143

6.2. Weryfikacja hipotez parametrycznych dotyczących istotności różnicy między wartością oczekiwaną zmiennej losowej a ustaloną w artością... 153

6.3. Weryfikacja hipotez parametrycznych dotyczących różnicy pomiędzy wariancją a ustaloną w artością... 161

6.4. Weryfikacja hipotez parametrycznych dotyczących różnicy pomiędzy wskaźnikiem struktury a ustaloną w artością... 165

6.5. Weryfikacja hipotez parametrycznych dotyczących dwóch wartości

oczekiwanych... 166

6.6. Weryfikacja hipotez parametrycznych dotyczących dwóch w ariancji... 172

6.7. Weryfikacja hipotez parametrycznych dotyczących dwóch wskaźników struktury (dwóch frakcji)... 175

6.8. Ocena istotności współczynnika korelacji... 177

6.9. Ocena istotności współczynnika regresji liniowej...179

6.10. Wybrane nieparametryczne testy istotności... 183

6.10.1. Test niezależności dwóch cech...183

6.10.2. Test zgodności chi-kwadrat...188

6.10.3. Test serii...192

6.10.3.1. Weryfikacja hipotezy o losowości próby... 192

6.10.3.2. Weryfikacja hipotezy, że dwie próby mają ten sam rozkład 195 6.11. Podsumowanie...198

Cytowana literatura... 199

Drodzy Czytelnicy!

Przekazujem y Państwu podręcznik, który m am y nadzieję, ułatw i proces stu dio­ wania przedm iotu statystyka oraz dyscyplin pokrewnych, takich ja k ekonom etria, m arketing, finanse czy rachunkowość.

Skrypt ten jest kontynuacją książki M ichała M ajora i Janusza Niezgody pt. El e­ menty statystyki. Cz. I. Statystyka opisowa wydanej w 2003 r. na zlecenie Krakowskiej Szkoły Wyższej im. A ndrzeja Frycza M odrzewskiego, przez Krakowskie Towarzystwo Edukacyjne sp. z. o.o., w Krakowie. W podręczniku opisane zostały zagadnienia związane z teorią rachunku praw dopodobieństw a i wnioskow aniem statystycznym. M ateria! zebrany w tej pracy został podzielony na sześć rozdziałów.

Rozdział pierwszy zaw iera opis podstawowych pojęć i zagadnień związanych z teorią rachunku praw dopodobieństw a. Om ów iono tutaj - m iędzy innymi - pojęcie praw dopodobieństw a, własności praw dopodobieństw a oraz praw dopodobieństw o zupełne i wzór Bayesa.

W rozdziale drugim opisano pojęcie zmiennej losowej, rozkładu zm iennej losowej skokowej i ciągłej, dystrybuanty zm iennej losowej, wartości oczekiwanej i wariancji zmiennej losowej, jak również dwuwymiarowe zm ienne losowe.

Rozdział trzeci poświęcony został opisowi wybranych rozkładów zm iennych losowych oraz najważniejszych tw ierdzeń granicznych.

W rozdziale czwartym zebrano podstaw ow e pojęcia zw iązane z wnioskow aniem statystycznym. Rozdział ten stanowi w stęp do zagadnień poruszanych w kolejnych dwóch rozdziałach. O m ówiono tutaj również różne techniki pobierania próby losowej, którą wykorzystuje się w trakcie estymacji i weryfikacji hipotez statystycznych.

W kolejnym rozdziale - piątym - dokonano przeglądu zagadnień należących do tzw. teorii estymacji. W rozdziale tym przedstaw iono techniki punktow ej i p rz e­ działowej estymacji podstawowych param etrów opisujących zbiorow ość generalną, takich jak m.in.: w artość oczekiwana, w ariancja i odchylenie standardow e, frakcja, współczynnik korelacji itd.

O statni z rozdziałów - szósty - zaw iera przegląd m etod służących weryfikacji hipotez statystycznych. O m ów ione zostały tutaj podstawowe param etryczne i niepa­ ram etryczne testy istotności, p o n ad to w zarysie przedstaw iono podstawowe zasady tzw. sekwencyjnych testów.

Podkreślić należy, że w trakcie pisania podręcznika A utor celowo wprowadził jak najwięcej odpow iednio dobranych przykładów liczbowych, aby om aw iane zagadnie­ nia stały się łatwiejsze do zrozum ienia i przyswojenia. I w tym przypadku, podobnie jak we w spom nianym podręczniku z 2003 roku, A utor zastosow ał strukturę przy­ kładów wiodących, do których odw ołuje się w ielokrotnie w kolejnych rozdziałach. Pewne przykłady zostały zaczerpnięte z książki M. M ajora i J. Niezgody pt. Elementy statystyki, cz. I. Statystyka opisowa.

Wszystkie te działania m ają n a celu podkreślenie spójności tych trzech zagad­ nień, jakim i są statystyka opisowa, rachunek praw dopodobieństw a i wnioskowanie statystyczne. Dla lepszej czytelności m iejsca w tekście, gdzie kończą się przykłady, a zaczyna tek st o c h a rak terze ogólnym , zazn aczo no znakiem {kp}. In teg raln ą częścią podręcznika są przypisy i odw ołania do literatury, której studiow anie za­ lecam y osobom pragnącym lepiej poznać zagadnienia statystyki i dyscyplin z nią powiązanych.

Część I

ELEMENTY RACHUNKU

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

z teorii rachunku

prawdopodobieństwa

1

1.1. Wprowadzenie

Pierwszym z ważnych pojęć wykorzystywanych w teorii rach un ku p raw d o p o ­ dobieństwa jest pojęcie d ośw iadczenia losow ego, przez k tó re rozum ieć będziem y powtarzalny eksperym ent fizyczny lub myślowy. W literatu rze p rz ed m io tu 1 spotkać m ożna definicję, według której doświadczeniem losowym jest realizacja (rzeczywista bądź myślowa) określonego zespołu w arunków , w raz z góry określonym zbiorem wyników.

W innym opracow aniu2 dośw iadczenie losowe to każde przedsięw zięcie em pi­ ryczne, rzeczywiste lub symulacyjne, którego wyniku nie m ożna przew idzieć m im o sprecyzowanych w arunków , w jakich jest ono realizow ane. D ośw iadczenie losowe może polegać na przykład na rzucie kostką do gry, obserwacji, czy światło jest zapa­ lone czy zgaszone, ustaleniu liczby jed n o stek wadliwych w p artii p ro du ktu, p rze­ prowadzeniu ankiety na określony tem at itp.

W wyniku przeprow adzonego dośw iadczenia otrzym ujem y w ynik d ośw iad cze­

n ia Wynikiem m oże być odpow iedź „tak ” lub „nie”, odczyt pom iarów przyrządo­

wych, wartość z określonego przedziału itp.

Wyniki doświadczenia nazywane są też zdarzeniam i e le m e n ta rn y m i i o zna­ czane najczęściej sym bolem „co”. Z b ió r wszystkich zd arzeń elem entarn ych (wy­ ników doświadczeń) określany jest m ianem przestrzeni zdarzeń e le m e n ta rn y c h (przestrzenią próby dośw iadczenia) i oznaczany sym bolem „Q ”. P rzestrzeń zdarzeń elem entarnych może być przestrzenią skończoną lub nieskończoną (np. w przypadku pom iarów przyjmujących w artości ciągłe).

Wyniki doświadczeń m ożna prezentow ać algebraicznie lub graficznie (za p o ­ m ocą punktów i symboli graficznych). W ariantom wyników dośw iadczenia możem y 1 W. Krysicki i inni: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach,

cz. 1, PWN, Warszawa 1986, s. 7.

2 Zob. A. Iwasiewicz, Z. Paszek: Statystyka z elementami statystycznych metod monitorowania procesów, Akademia Ekonomiczna, Kraków 2004, s. 9.

przypisywać oznaczenia w postaci liczb typu 1, 2, 3, ..., n, liter a, b, c , ..., lub innych symboli3.

Przykład 1.1

D ośw iadczenie polega na p rzeprow adzeniu ankiety poprzedzającej budowę superm arketu. A nkietow ani m ogą wybrać je d n ą z trzech możliwych odpowiedzi:

1) jestem za budow ą superm arketu, 2) jestem niezdecydowany,

3) jestem przeciw ko budow ie superm arketu.

Sposób zdefiniow ania zdarzeń elem entarnych i przestrzeni zdarzeń elem en­ tarnych zależy w tym przypadku od liczby respondentów , wśród których została przeprow adzona ankieta. Jeżeli rozpatrujem y ankietę dla jednej osoby, to wówczas p rzestrzeń zdarzeń elem entarnych składa się tylko z trzech zdarzeń elem entarnych wi, 0)2 i CD3, odpow iadających odpow iedziom num er 1, 2 i 3.

M amy zatem :

Q = {(Ol, 0)2, 0)3}.

Z biór wszystkich możliwych wyników ankiety dla jednej osoby m ożna przedstawić również graficznie (zob. rys. 1).

Jestem za budow ą Jestem Jestem przeciwko

su p e rm ark e tu niezdecydow any budow ie su p erm ark etu

• • •

---1 2 3

Rys. 1. Zbiór możliwych wyników ankiety dla jednej osoby Źródło: opracowanie własne.

Jeżeli analizujem y wyniki ankiety dla dwóch osob oraz gdy oznaczymy kolejne typy odpow iedzi cyfram i 1 ,2 i 3, to wówczas zbiór Q składa się z dziewięciu zdarzeń elem entarnych. M am y wówczas: Q = {(01, (02, 0)3, (04, 0)5, 0)6, 0)7, (08, 0)y}, gdzie: (Ol = (1,1), 0)2 = (1,2), 0)3 = (1,3), 0)4 = (2,1), (05 = (2,2), 0)6 = (2,3), o)i = (3,1), cos = (3,2), (09 = (3,3).

Przejrzystość analizow anego przypadku m ożna zwiększyć, przedstawiając wyniki ankiety graficznie (zob. rys. 2).

2

1

--1

Pierwszy resp o n d en t

Rys. 2. Zbiór możliwych wyników ankiety dla dwóch osób Źródło: opracowanie własne.

W podobny sposób zdefiniować m ożna przestrzeń zdarzeń elem entarnych dla trzech i więcej respondentów , przy czym graficzna prezentacja wyników w konwencji rysunków 1 i 2 - dla czterech lub więcej osób - staje się niem ożliwa. N a przykład zapis (1,3,1,2) oznacza zdarzenie elem en tarn e, w którym pierwszy i trzeci z czterech badanych respondentów jest za budow ą superm arketu , drugi jest przeciwnikiem budowy, natom iast czwarty jest niezdecydowany. W przypadku trzech osób liczba zdarzeń elem entarnych wyniesie 27, czterech 81, pięciu 729 itd. O gólnie liczba m oż­ liwych zdarzeń elem entarnych wynosi 3", gdzie n jest liczbą osób uczestniczących w ankiecie.

Często w zagadnieniach praktycznych wykorzystuje się nie pojedyncze zdarzenia elem entarne (wyniki dośw iadczeń), lecz ich zbiory, będące podzbioram i przestrzeni Q. Każdy taki podzbiór, dla skończonej lub przeliczalnej przestrzeni zdarzeń loso­ wych, nazywa się zdarzeniem losowym . Podzbiór przestrzeni zdarzeń elem entarnych Q, może stanowić także podzbiór pusty (zdarzenie niem ożliw e) oraz całą przestrzeń Q (zdarzenie pew ne;. D o oznaczenia zdarzeń wykorzystuje się zwykle duże litery początku alfabetu A , B, C, D... itd.

Jeżeli przestrzeń Q jest nieprzeliczalna, to w tedy nie wszystkie jej podzbiory są zdarzeniam i losowymi. Wówczas spośród wszystkich podzbiorów w yodrębnia się określoną klasę B (zbiór zbiorów, rodzinę), której elem enty nazywamy zdarzeniam i losowymi. Klasę taką zwykło nazywać się p rzeliczalnym addytyw nym ciałem

zda-rżeń (lub borelow skim ciałem zdarzeń lub sigm a ciałem zdarzeń). Borelowskie

ciało zdarzeń m usi spełniać następujące w arunki4: I. C ała przestrzeń Q należy do tej klasy:

Q e B . ( 1 . 1 )

II. D opełnienie A ' dow olnego zbioru A należącego do klasy B jest elem entem tej klasy:

A e B = * A ' e B . (1.2)

III. Sum a co najwyżej przeliczalnej (skończonej lub przeliczalnej) liczby zbiorów należących do klasy B również należy do tej klasy:

A i e B, A2 e B , A j e B, .. . =?> (A\ U A2 u A3 u . . . ) e B. (1.3)

Przykład 1.1 cd.

N a podstaw ie dwuwymiarowej przestrzeni zdarzeń elem entarnych m ożna zde­ finiować - na przykład - zdarzenia losowe:

A - co najm niej jed en z uczestników ankiety jest niezdecydowany, B - obaj respondenci dają taką sam ą odpowiedź,

C - je d n a osoba p opiera budow ę superm arketu, a druga jest przeciw. G raficzną prezentację tych zdarzeń przedstaw iono na rys. 3.

Pierwszy re sp o n d en t

Rys. 3. Zdarzenia losowe A, B i C Źródło: opracowanie własne. 4 Zob. Krysicki i inni: op. cit., s. 7.

Z darzenia są zbioram i, a więc m ożna dla nich stosować działania określone w teorii zbiorów. D o oznaczenia koniunkcji (iloczynu) używamy znaku n a alternaty­ wy (sumy) znaku u (n p ./l n B, A r \ B ) . Z naku | używamy natom iast do oznaczenia różnicy pom iędzy zdarzeniam i (np. A \ B oznacza, wszystkie zdarzenia elem en tarn e należące do A , lecz nie należące do B). Z nak c stosujem y do oznaczenia przypadku, kiedy jedno zdarzenie pociąga drugie zdarzenie (np. A < z B oznacza, ż e A pociąga B, lub B jest następstw em zdarzenia A ) . Jeżeli dwa zdarzenia pociągają się naw zajem , to wówczas mówimy o nich, że są równe, i stawiamy pom iędzy nim i znak = (np. jeżeli A czB i B cz A =>A = B). O zdarzeniach możem y również powiedzieć, że się wykluczają (lub wyłączają się), jeżeli ich koniunkcja jest zdarzeniem niemożliwym, (np. A i B wykluczają się, jeżeli A n B = 0 ) .

Przestrzeń zdarzeń elem entarnych i zdarzenia oraz związki pomiędzy nimi przed­ stawiane są często w postaci wykresów E u lera5, w których do oznaczenia przestrzeni Q używa się prostokąta, a do zdarzeń kola lub jego fragm entu6. Zacieniow any obszar ilustruje rozważane zdarzenie. Przykłady takich wykresów ilustruje rys. 4.

fi

A v jB

A \ ( Bv jC)

Rys. 4. Ilustracja graficzna działań na zdarzeniach - wykresy Eulera Źródło: opracowanie własne.

5 Można się również spotkać z nazwą: diagram Venna (zob. np. J.E. Freund: op. cit., s. 92). 6 Dopuszczalne jest również do oznaczenia zdarzeń stosowanie innych nieregularnych kształ­

Przykład 1.1 cd.

O kreślić dla zdarzeń losowych A , B ' \ C \ B \ > C , A r ^ B , A n C , B r ^ C .

B u C oznacza zdarzenie, w którym obydwie osoby odpow iadają tak sam o lub je d n a jest za, a druga przeciw budow ie sklepu. Z darzeniu takiem u odpow iada n a­

stępujący podzbiór:

B u C = {(1,1);(2,2);(3,3);(1,3);(3,1)}.

A n B oznacza zdarzenie, w którym obie osoby odpowiedziały tak sam o i co najm niej jed n a z nich była niezdecydowana. Z darzeniu takiem u odpow iada podzbiór jednoelem entow y:

{(2,2)}.

Z darzen ia/1 i C oraz B i C to zdarzenia rozłączne (wzajem nie się wykluczające), zatem ich część w spólna jest rów na zbiorowi pustem u, co m ożna zapisać:

A n C - B n C = 0 .

Kolejnym ważnym pojęciem występującym podczas badania zbiorów lub zdarzeń jest fu n kcja zbioru, poprzez k tó rą należy rozum ieć funkcję przypisującą liczby różnym podzbiorom zbioru7. Liczby te m ogą odpow iadać np. liczbie elem entów zbioru (liczebności zbioru).

Przykład 1.1 cd.

O kreślić liczebność następujących zdarzeń losowych: Q, A , B , C , A r B , A n C. O znaczając liczebność zbioru symbolem n, otrzymamy:

nn = 9, riA = 5, riB = 3, n<r = 2, tt(A < B) = 1, <, c> = 0.

Funkcja zbioru charakteryzuje się następującym i własnościami:

1) liczby przyporządkow ane poszczególnym zbiorom są zawsze dodatnie lub rów ne zeru,

2) wszystkie liczby są równe lub mniejsze od liczebności całej przestrzeni zdarzeń elem entarnych n n,

3) jeżeli dwa podzbiory nie posiadają wspólnych elem entów , to liczba przypo­ rządkow ana sum ie tych podzbiorów jest równa sum ie liczb przyporządko­ wanych poszczególnym podzbiorom .

1.2. Pojęcie prawdopodobieństwa

P raw dopodobieństw o m ożna określić jak o um ow ną m iarę szansy realizacji w rzeczywistości pewnego zdarzenia. Jest ono liczbą przypisaną różnym zdarzeniom , takim jak na przykład wyrzucenie szóstki kostką sześcienną do gry, trafienie „trójki” w grze hazardowej, zdanie egzam inu z danego przedm iotu, osiągnięcie korzyści na giełdzie itp. N a liczbę tę nakłada się jed n ak pew ne ograniczenia nazw ane pewnikami lub aksjom atam i8. Pewniki te przedstaw iają się następująco9:

1. Każdem u zdarzeniu losowem u А є В m ożna przypisać jed noznacznie nie- ujem ną liczbę P(A) określaną jako praw dopodobieństw o zdarzenia A.

АєВ ( А ) > 0 (1.4)

2. Jeśli Q stanowi przestrzeń próby doświadczenia, to jego praw dopodobieństw o wynosi 1.

P( Q) = 1 (1.5)

3. Jeżeli А і , Л2,Аз,... są zdarzeniam i wzajem nie wyłączającymi się (są param i rozłącznych zdarzeń), to:

P ( Ai uA 2uA 3u...) = P(Ai ) + P ( A 2) + Р { А г ) + .... (1.6) Na podstaw ie powyższych pewników oraz z własności sigma ciała В w niosku­ jemy, że:

1. Jeżeli А і В są zdarzeniam i wzajem nie się wykluczającymi, to wówczas:

P ( AkjB) = P ( A ) + P(B) (1.7)

2. Praw dopodobieństw o zdarzenia niem ożliwego wynosi zero:

P ( 0 ) = 0 (1.8)

Podsumowując, m ożna powiedzieć, że praw dopodobieństw em nazwiemy taką funkcję P, która jest nieujem ną i przeliczalnie addytywną m iarą zdarzeń. Jest to tak zwana aksjom atyczna definicja praw dopodobieństw a. Dzięki funkcji praw ­ dopodobieństw a (P) zdefiniow aną we wcześniejszym paragrafie przestrzeń zdarzeń elem entarnych możemy zastąpić pełniejszą charakterystyką doświadczeń losowych, jaką jest przestrzeń probabilistyczna postaci:

(fi, В, P) (1.9)

8 Zob. J.E. Freund: op. cit., s. 98, zob. także M. Sobczyk: Statystyka, PWN, Warszawa 1998, s. 67.

Przykład 1.2

O kreślić przestrzeń probabilistyczną dla doświadczenia losowego, polegającego n a jednok rotnym rzucie m onetą.

Aby określić przestrzeń probabilistyczną typu (1.9), należy zdefiniować jej trzy składowe: Q, B oraz P.

W wyniku rzutu m onetą realizuje się jed n o z dwóch możliwych zdarzeń elem en­ tarnych: wypadnie orzeł (o), w ypadnie reszka (r).

Przestrzeń zdarzeń elem entarnych (Q) tworzy tu zbiór dwuelementowy: Q = {o,r}. Ciało zdarzeń B tworzą cztery zbiory B = { 0 , Q , {o}, {r}}, gdzie 0 oznacza zdarzenie niem ożliwe, Q - zdarzenie pew ne (wyrzucono orła (o) lub reszkę (r)).

P raw dopodobieństw a zdarzeń losowych są rów ne odpow iednio: P ( o ) = P(r) — lh (oczywiście P(D.) = 1 i P ( 0 ) = 0). {kp}

D efinicja aksjom atyczna nie jest jed n ak jedyną definicją praw dopodobieństw a, jak ą m ożna znaleźć, studiując literatu rę przedm iotu. F unkcjonują trzy zasadnicze definicje praw dopodobieństw a. Najstarszą z nich jest definicja sform ułow ana w 1912 roku przez L aplace’a (tzw. definicja klasyczna), która głosi, że jeżeli przestrzeń zda­ rzeń elem entarnych Q jest skończonym zbiorem , jednakow o możliwych i wzajemnie wykluczających się n zdarzeń, oraz jeśli m z nich tworzy zdarzenie A , to

P(A) = — ■■ (1.10)

7 n

D efinicja ta m oże być stosow ana tylko wtedy, gdy każdy wynik doświadczenia jest jednakow o praw dopodobny.

Przykład 1.3

Niech zdarzenie A oznacza zdarzenie losowe polegające na wylosowaniu asa z talii 52 kart do gry w brydża. P rzestrzeń zdarzeń f i składa się z 52 elem entów (kart), natom iast zdarzeniu^! sprzyjają cztery wyniki (as karo, as kier, as pik, as trefl). Ko­ rzystając z klasycznej definicji, praw dopodobieństw o zajścia zdarzenia A wyniesie:

4

P(A) = — = 0,0769 . {kp}

D efinicja klasyczna zawiera jed n ak pew ien błąd logiczny, gdyż do opisu pojęcia praw dop odo bieństw a wykorzystuje pojęcie praw dopodobieństw a. W niektórych pozycjach literatury, aby wybrnąć z tej niedogodności, zastępuje się słowo praw do­ podobnych słowem możliwych, co nie usuwa jed n ak tej niedogodności, gdyż praw ­

dopodobny i możliwy to synonimy. W adą tej definicji jest również to, że przestrzeń Q oraz z d a rz e n ie ^ muszą być zbioram i znanym i i skończonymi.

Rozszerzając klasyczną definicję praw dopodobieństw a n a nieprzeliczalne zbiory zdarzeń elem entarnych utw orzono tzw. geom etryczną definicję praw dopodobień­

stwa. Głosi ona, że jeżeli przestrzeń Q jest zbiorem geometrycznym G o znanej mierze

(tj. długość, pole, objętość), to praw dopodobieństw o zdarzeniami polegającego na losowym wyborze p unktu (zbioru punktów ) g e G wynosi:

(m d

ntes(Ci)

gdzie mes jest skrótem angielskiego słowa measure (m iara), {kp}

P rz y k ła d 1.4

Załóżmy, że przestrzeń zdarzeń elem entarnych tworzy przedział n a osi liczbowej G = [10; 20], a zdarzeniem! polega n a tym, że losowo wybrany p unkt będzie należał do przedziału g = [12; 15]. Jak o m iarę zbioru przyjm iem y długości rozważanych przedziałów, które oznaczymy odpow iednio AG i Ąg.

W ykorzystując wzór (1.10), obliczamy iloraz długości: Ą g i «, _ i ?

p <'4 > = - # = 2 5 T T ó “ , w - , k P |

Prawdopodobieństw o m ożna również zdefiniować, wykorzystując pojęcie często­ ści względnej (frakcji) - tzw. definicja częstościow a10. U podstaw tej definicji leży

prawo w ielkich liczb. Głosi ono, że jeśli liczba pow tórzeń dośw iadczenia rośnie

nieograniczenie, to frakcja liczby przypadków , w którym otrzym ano dany wynik (częstość względna danego wyniku) dąży do praw dopodobieństw a pojaw ienia się tego wyniku w jednym doświadczeniu. M ożna zatem zapisać, że:

P(A) = lim (1.12)

n >CC n

gdzie

n (A) - liczba doświadczeń, w których zrealizow ało się zdarzenie lo s o w e ^ ,

n - liczba wykonanych doświadczeń.

Z aletą definicji częstościowej jest to, że usuwa ona błąd idem per idem charak ­ terystyczny dla definicji klasycznej. W adą natom iast jest to, że aby ustalić d ok ład ną

10 Definicję w ujęciu częstościowym przypisuje się R.V. Misesowi, austriackiemu statystykowi żyjącemu w latach 1883-1953.

w artość praw dopodobieństw a - wykorzystując definicję czystościową - należy prze­ prow adzić nieskończoną liczbę doświadczeń, co w praktyce jest niemożliwe.

Przykład 1.5

Postanow iono oszacować praw dopodobieństw o zdarzenia A polegającego na wyrzuceniu orla w pojedynczym rzucie m onetą. W tym celu przeprow adzono d o ­ świadczenie polegające na 150-krotnym rzucie m onetą jednozlotow ą i obserwowano, co w ypadnie - „o rzet” czy „reszka”. W każdym kroku dośw iadczenia wyznaczano i nanoszono na wykres wartość frakcji wyrzuconych ortów, dzieląc liczbę wyrzuconych orłów przez liczbę doświadczeń. Wyniki dośw iadczenia przedstaw ia rys. 5.

liczba doświadczeń

Rys. 5. Frakcje „orłów” w kolejnych 150 rzutach monetćj Źródło: opracowanie na podstawie badań własnych.

Patrząc na rysunek 5, m ożna wyraźnie zauważyć, że w m iarę zwiększania liczby rzutów frakcja wyrzuconych orłów dąży do wartości 0,5, k tó ra jest oszacowaną w ar­ tością praw dopodobieństw a wyrzucenia orła w pojedynczym rzucie.

Z auw ażm y rów nież, że p ra w d o p o d o b ień stw o zd a rze n ia A m ożna rów nież wyznaczyć, stosując definicję klasyczną. S pełnione są bowiem warunki jej stosowal­ ności. P rzestrzeń zdarzeń elem entarnych jest skończona. Składa się ona z dwóch rozłącznych zdarzeń elem entarnych (o - w yrzucono orła i r - wyrzucono reszkę), Liczebność zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A wynosi m = 1.

C oraz częściej w literaturze m ożna spotkać się z jeszcze jednym ujęciem praw ­ dopodobieństw a, tzw. u jęcie m su b ie k ty w n y m 11, przez k tóre rozum ie się pew ną postawę albo wątpliwość dotyczącą jakiegoś zd arzenia przyszłego. N a przykład form ułując tw ierdzenia w rodzaju: „praw dopodobnie ju tro będę w pracy”, „m ałe jest-prawdopodobieństwo, że zdam za pierwszym razem ten egzam in” czy „uważam, że mam 90 procent szans na 100, że skończę stu d ia” lub „praw dopodobieństw o, że pacjent wyzdrowieje, wynosi W', dajem y wyraz pewnym odczuciom lub w ątpliw oś­ ciom w odniesieniu do zdarzeń przyszłych.

W wielu przypadkach subiektywne odczucie szansy zajścia określonego zjawiska w przyszłości staje się początkiem (zaczynem ) przeprow adzanych eksperym entów i badań empirycznych, które m ają potw ierdzić lub zaprzeczyć subiektywnie oszaco­ waną wartość praw dopodobieństw a.

1.3. Podstawowe własności prawdopodobieństwa

Z trzech aksjom atów praw dopodobieństw a wynikają dalsze w łasności12: 1. Praw dopodobieństw o każdego z d a rz e n ia /l jest liczbą z przedziału [0;1]:

A e B 0 * P ( A ) * l . (1.13)

3. Praw dopodobieństw o zdarzenia niem ożliwego wynosi zero:

P ( 0 ) = 0. (1.14)

4. Praw dopodobieństw o zdarzenia A ' , k tóre jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A , jest równe:

P ( A J) = 1 - P(A). (1.15)

5. Jeżeli zdarzenie losowe A zaw iera się w zdarzeniu losowym B (A c B), to wówczas:

P(B) ' >P(A). (1.16)

6. Praw dopodobieństw o sumy dowolnych dwóch zdarzeń losowych A i B jest równe sum ie praw dopodobieństw tych zdarzeń pom niejszonych o praw do­ podobieństw o ich iloczynu:

P(Ay B) = P{A) + P ( B ) - P ( A n B ) . (1.17)

11 Zob. np. G. A. Ferguson, Y. Takane: Analiza statystyczna w psychologii i pedagogice, PWN, Warszawa 2002.

7. Jeżeli А і В są zdarzeniam i losowymi należącymi do pewnej przestrzeni f 2, oraz jeżeli P(B) *■ 0, to praw dopodobieństw o w arunkow e (względne) z d a rz e n ia ^ pod w arunkiem В jest określane wzorem:

Р ( А г л В ) P ( A \ B ) = --- ~ , P ( A ) > 0 , (1.18) P(B) stąd Р { А г л В ) = P { A ) - V { A \ B ) . (1.19) Podobnie РІ Аг лВ ) P ( A \ B ) = — L , P ( B ) > 0 , (1.20) P(B) stąd Р ( А г л В ) = P ( A ) P ( B \ A ) . (1.21)

8. Jeżeli А і В są zdarzeniam i niezależnym i, to wówczas:

P ( A \ B ) = P(A), (1.22) oraz P ( B \ A ) = P ( B ) , (1.23) oraz P ( A ^ B ) = P(A) P(B). (1.24) Przykład 1.6

Załóżm y, że zdarzeniom elem entarnym opisanym w przykładzie 1.1 przyporząd­ kujem y następujące w artości praw dopodobieństw :

P(m i) = /»(1,1) = 1/20, Р((ог) = P (l,2 ) = 2/20,P ( m ) = P(l , 3) = 1/20, P(oii) = P(2, l ) = 3/20, P(io5) = P(2,2) = 6/20. /'(co,,) = P(2,3) = 3/20, P (№ ) = P (3 ,l) = 1/20, P (cog) = P ( 3,2) = 2/20, P{а») = P (3,3) = 1 20. Rozważmy następujące zdarzenia losowe:

A - pierw sza osoba jest niezdecydow ana,

В - co najm niej jed n a z badanych osób p oprze budow ę superm arketu. W artości praw dopodobieństw oraz zdarzenia losow eЛ і В prezentuje rys. 6.

"O c o 5" i 1'20< 3/20 < 1/2 0 «

/

Rys. 6. Graficzna prezentacja zdarzeń losowych Źródło: opracowanie własne.

Wyznaczyć praw dopodobieństw o następujących zdarzeń losowych: P{A), P(B), P(A n B), P(A j B ) .

Praw dopodobieństw o każdego zdarzenia losowego rów na się sum ie p raw d op o­ dobieństw wyników do niego należących. M am y zatem :

P(A) = 2/20 + 6/20 + 2/20 = 10/20 = 1/2, oraz

P(B) = 1/20 + 3/20 + 1/20 + 2/20 + 1,20 = 8/20 = 2/5.

Praw dopodobieństw o iloczynu zdarzeń losowychml i B jest rów ne p raw d op od o­ bieństwu przypisanem u punktowi o w spółrzędnych (2,1), co daje:

P ( A r ^ B ) = 2/20 = 1/10. Korzystając z własności (1.17), m ożna wyznaczyć, że:

Przykład 1.7

W śród dziesięciu osób przeprow adzono ankietę na tem at budowy superm arketu. Dwie osoby opow iadały się za budow ą sup erm arketu, trzy były niezdecydowane, n ato m iast pięć kolejnych było przeciw budow ie su p erm ark etu . A nkiety zostały um ieszczone w urnie.

Obliczyć praw dopodobieństw o następujących zdarzeń losowych:

a) losując trzykrotnie bez zwracania ankietę z urny, trzy razy otrzym ano ankietę z zaznaczoną odpow iedzią: jestem niezdecydowany,

b) losując ankietę dw ukrotnie bez zw racania do urny, dokładnie za drugim razem wylosowano ankietę z zaznaczoną odpowiedzią: jestem przeciwny budow ie superm arketu.

ad a)

Przyjmijmy następujące oznaczenia poszczególnych zdarzeń losowych:

G - w pierwszym losowaniu wyciągnięto ankietę z zaznaczoną odpow ie­

dzią: „jestem niezdecydow any”;

C2 1 Ci - w drugim losowaniu wyciągnięto ankietę z zaznaczoną odpowiedzią: „jestem niezdecydow any”, przy założen iu (pod w arunkiem ), że w pierwszym losowaniu wyciągnięto ankietę z zaznaczoną identyczną odpow iedzią;

C31C2C1 - w trzecim losowaniu wyciągnięto ankietę z zaznaczoną odpowiedzią: „jestem niezdecydow any”, przy założen iu (pod w aru nk iem ), że w pierwszym i drugim losowaniu wyciągnięto ankiety z zaznaczoną identyczną odpow iedzią;

C - wylosowano po kolei trzy ankiety z zaznaczonym i odpowiedziam i:

„jestem niezdecydow any”.

N a realizację zd arzenia A składa się koniunkcja trzech pierwszych zdarzeń. M ożna zatem zapisać:

C = { C i } n { C2| C i } n { C3|C2Ci}. Praw dopodobieństw a tych zdarzeń będą równe:

P ( C x ) = — , P ( C 2 \ C x ) = _ L , P ( C 3 | C 2C i ) = — , 1 0 9 8 i w konsekwencji 3 2 1 6 PIC) = --- — = * (UNIK. 10 9 8 720

ad b)

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

fi? - w drugim losow aniu wyciągnięto ank ietę z zaznaczoną odpow iedzią: „jestem przeciwny budow ie su p erm a rk etu ”;

B \ - w pierwszym losowaniu wyciągnięto ankietę z zaznaczoną odpowiedzią: „jestem przeciwny budow ie su p erm a rk etu ”;

A i - w pierwszym losowaniu wyciągnięto ankietę z zaznaczoną odpowiedzią: „jestem za budow ą su p erm ark etu ”;

C i - w pierwszym losowaniu wyciągnięto ankietę z zaznaczoną odpow iedzią: „jestem niezdecydowany”.

Z darzenie B2 tj. dokładnie za drugim razem wylosowano ankietę z zaznaczoną odpowiedzią: „jestem przeciw budow ie su p erm ark etu ”, jest konsekw encją realizacji następujących zdarzeń:

B2 — {C i o fi?} u {A \ o B 2} u {fi, o B2}.

P raw dopodobieństw o zd arzenia B2, będzie sum ą iloczynów poszczególnych prawdopodobieństw:

P ( B 2) = P ( C \ o B2) + P ( A ] o B 2) + P ( B \ o B 2) .

Korzystając z zależności (1.21), m ożna zapisać:

P ( B 2) = P ( C i ) P ( f i 2 | C i ) + P { A x ) - P ( B 2 \ A i ) + P { B i ) - P ( B 2 \ B { ) =

3 5 2 5 5 44 5

= --- — + --- — + --- — = --- = 0,5. {kp}

10 9 10 9 10 99 0

1.4. Prawdopodobieństwo zupełne i wzór Bayesa

Jeżeli A i , A 2, — , A k są zdarzeniam i wykluczającymi się param i, oraz zdarzeniam i, A z , . . . , A k tworzą uktad zupełny zdarzeń (tzn. P( A\ ) + P ( A2) + ... + P(Ak) = 1), to wówczas praw dopodobieństw o zdarzenia fi, m ogącego się zrealizow ać pod w arun­ kiem zajścia poszczególnych zdarzeń A„ m ożna obliczyć w sposób następujący:

k

P { B ) = Y JP ( A l) P ( B \ A , y (1.25)

i = 1

Jeżeli ^ 1, A 2, ...,Ak są zdarzeniam i wykluczającymi się param i oraz P(B) > 0, to wówczas praw dopodobieństw o zajścia dow olnego zdarzeniami, pod w arunkiem , że zaszło fi, m ożna obliczyć ze wzoru:

P W B ) _ ■} ( 1 .2 6 ) P<B)

i = 1

Zależność (1.25) określa się m ianem praw dopodobieństw a zu p ełnego (całko­

w itego), natom iast wzór (1.26) nazywany jest w zorem Bayesa.

Przykład 1.8

W urnie znajduje się 1000 ankiet sondażu poprzedzającego budow ę sup erm ar­ ketu. W śród badanych było 550 kobiet i 450 mężczyzn. S truk tu ra odpowiedzi wśród kobiet kształtow ała się następująco:

odpowiedź: jestem za budow ą su perm arketu - 65% głosów,

odpowiedź: jestem przeciwny budowie su perm ark etu - 25% głosów,

odpowiedź: jestem niezdecydowany - 10% głosów.

S tru k tu ra odpow iedzi wśród mężczyzn przedstaw iała się następująco:

odpow iedź: jestem za budową su p erm ark etu - 55% głosów,

odpow iedź: jestem przeciwny budow ie superm arketu - 25% głosów,

odpow iedź: jestem niezdecydowany - 20% głosów.

1) obliczyć praw dopodobieństw o zdarzenia losowego, że wybierając w sposób

losowy jed n ą ankietę, trafimy na ankietę z zaznaczoną odpowiedzią: „jestem za budow ą su p erm a rk etu ”,

2) wylosowano ankietę z zaznaczoną odpow iedzią: „jestem za budow ą su ­ p e rm a rk e tu ”, jak ie jest praw dopodobieństw o, że tę an kietę w ypełniała kobieta.

ad 1)

Używając symboli K, M , A , B, C, oznaczymy następujące zdarzenia losowe: K - wylosowano ankietę w ypełnioną przez kobietę,

M - wylosowano ankietę w ypełnioną przez mężczyznę,

A - w yciągnięto ankietę z zaznaczoną odpowiedzią: „jestem za budową sup er­ m a rk e tu ”,

B - wyciągnięto an kietę z zaznaczoną odpow iedzią: „jestem przeciw budowie su p erm a rk etu ”,

C - w yciągnięto ankietę z zaznaczoną odpow iedzią: „jestem niezdecydow a­ ny”.

Zauważm y, że zdarzenie A m oże zrealizow ać się w następujących układach: A = { K n A \ K ) v { M < \ A \M}.

Ponieważ zdarzenia K i M s ą zdarzeniam i wykluczającymi się, p raw do po do bień­ stwo zdarzeniami możem y obliczyć zgodnie z w zorem (1.24):

P{A) = P(K) ■ P(A | K) + P ( M) ■ P(A | M).

W analizowanym przykładzie poszczególne praw dopodobieństw a wynoszą: 550 P(K) = --- , P(A |K ) - 0,65, 1000 450 P(M) = --- , P ( A \ M ) = 0,55. 1000

W konsekwencji, praw dopodobieństw o zdarzenia losowego polegającego na wy­ ciągnięciu ankiety wypełnionej przez zw olennika budow y su p erm ark etu wynosi:

P(A) = 0,55 ■ 0,65 + 0,45 • 0,55 - 0,3575 + 0,2475 - 0,605 (60,5% ). ad 2)

P raw dopodobieństw o zdarzenia losowego, że wylosowaną an kietę w ypełniła kobieta, zakładając, że jest to ankieta resp o n d en ta popierającego budow ę sup erm ar­ ketu, m ożna wyznaczyć, stosując wzór Bayesa (1.26). Przyjmując powyższe oznaczenia z punktu 1 niniejszego przykładu, m ożem y zapisać:

= P(K) P ( A \ K ) _ P(K) P ( A \ K )

P(K) ■ P(A | K) + P(M) ■ P(A |M ) P(A)

W analizowanym przykładzie szukane praw dopodobieństw o wyniesie

0,55 0,65 0,3575

P ( K \ A) = --- = * 0,59 (59% ). 0.55 0,65 + 0,45 0,55 0,605

W procesie wyznaczania praw dopodobieństw a określonych zdarzeń losowych dosyć często wykorzystuje się technikę dendrytu (drzewa zdarzeń). D rzew o zdarzeń analizowanych w przykładzie 1.8 przedstaw iono n a rys. 7.

kobieta m ęzczyzna t ’( k ) = 0,55 P( M) = (1.45 M m A P ( K \ A ) = 0,65 t'(B\K •I / ’(B | M ) = 0,25

\

\

Zauważm y, że do zdarzenia A prow adzić mogą dwie alternatyw ne ścieżki (za­ znaczone linią przeryw aną) biegnące przez punkt (zdarzenie) K lub przez punkt (zdarzenie) M. Po przem nożeniu praw dopodobieństw przypisanych gałęziom ścieżki pierw szej, a następnie drugiej i zsum ow aniu tych iloczynów otrzym am y praw dopo­ dobieństw o zupełne zdarzenia A .

M ożemy zatem zapisać:

2.1. Jednowymiarowe zmienne losowe

2.1.1. Pojęcie zmiennej losowej

Intuicyjnie zm ienną losową możemy nazwać tak ą wielkość, k tó ra w wyniku d o ­ świadczenia przyjmuje określoną wartość, znaną po zrealizow aniu dośw iadczenia, a nie dającą się przewidzieć przed realizacją dośw iadczenia1.

Jest to więc taka funkcja, k tóra w wyniku dośw iadczenia przybierze jed n ą i tylko jed n ą wartość, ze zbioru tych wartości, k tóre ta zm ienna m oże przyjąć.

D o oznaczenia zm iennych losowych używa się najczęściej wielkich końcowych liter alfabetu: A', Y, Z , ..., a wartości tych zm iennych (realizacje zm iennych losowych) oznacza się odpow iednim i m ałymi literam i: x , y, z, które w razie potrzeby rozszerza się dodatkow o o indeksy dolne np.: jci,JC2,-t3, ...;yi,y2, y3, ... itd.

W literaturze przedm iotu znajdujem y następującą fo rm aln ą definicję zm iennej losowej2.

Niech (Q, B, P) będzie dow olną przestrzenią probabilistyczną. Z m ien ną losow ą nazywać będziem y dow olną funkcję X, określoną na przestrzeni zdarzeń elem en ­ tarnych Q, o w artościach ze zbioru liczb rzeczywistych R , posiadającą następujące własności: dla dowolnej, ustalonej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elem entarnych co, dla których spełniona jest nierów ność X(co) < x, jest zdarzeniem , czyli

W arunek (2.1) staje się nieistotny, jeżeli przestrzeń zdarzeń elem entarnych jest skończona. Wówczas każda funkcja X , k tó ra odw zorow uje zbiór zdarzeń elem en ­ tarnych Q w zbiór liczb rzeczywistych R będzie zm ienną losową.

1 Z. Helwig: Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Warszawa 1967, s. 59.

2 Definicja ta pochodzi z pracy: W. Krysicki i inni: Rachunek..., op. cit., s. 48.

R o z ró żn ić m o ż n a dw a typy zm ien n y ch losow ych:

- zm ienn e losow e skokow e (d y sk re tn e , zia rn iste ),

- zm ienn e losow e ciągle.

Pierw szy ro d zaj zm ien n y ch (z m ie n n e losow e skokow e) to takie, dla których daje się o k reślić skoń czo n y lub p rzeliczalny z b ió r w artości. P rzy k ład em takich zm iennych m o że być: liczba dzieci w ro d z in ie , liczba a n k ie t z z a z n a cz o n ą o d p o w ied zią: „p o p ie ­ ram b u d o w ę s u p e rm a r k e tu ”, liczba u ro d z e ń , liczba zaw artych m ałżeń stw itp.

D o zm iennych losow ych ciągłych zaliczan e są te zm ie n n e, k tó re m ogą przybierać d o w o ln e w arto ści liczbow e, z p ew n eg o p rzed ziału liczbow ego (w szczególności m oże to być p rz e d z ia ł n iesk o ń czo n y ). D o zm ien n y ch tych zalicza się n a przykład: w zrost w cm , c ię ż a r w g ram ach , te m p e ra tu r ę w sto p n ia c h C elsjusza, ciśn ien ie w m ilim e­ tra c h słu p a rtęci, g ru b o ść w m m , szero k o ść w cm itp. W p rak ty ce, zb ió r w artości zm ien n e j losow ej je s t zaw sze skoń czo n y łub przeliczalny. W artości zm iennej losowej i ró żn ice m iędzy nim i zależ ą o d czułości m e to d y badaw czej. Im m e to d a badaw cza je s t b a rd ziej czuła, tym z b ió r w arto ści z m ie n n ej je s t liczniejszy, a różnice m iędzy d w iem a kolejnym i dow olnym i w arto ścia m i są n a tyle m ałe, że z b ió r w artości m oże być tra k to w a n y ja k p rz e d z ia ł na osi liczb rzeczyw istych. W ynika z tego, że właściwie z m ie n n e losow e p o w in n o dzielić się na zm ie n n e ciąg łe i tzw. z m ie n n e quasi-ciąg\e,. W dalszych rozw ażan iach p o zo stan iem y je d n a k , przy nazw ie zm ien n e losowe ciągle, p a m ię ta ją c je d n o c z e śn ie , że ta k i ro d zaj z m ie n n e j m o że istn ieć jed y n ie w czysto te o re ty c z n ej fo rm ie.

Przykład 2.1

W je d n e j z g ru p d ziek ań sk ic h stu d ió w m ag istersk ich p rz e p ro w a d zo n o egzam in z „ Z a rz ą d z a n ia ja k o ś c ią ” i o trz y m a n o n a stę p u ją c e w yniki zesta w io n e w tablicy 2.1.

Tablica 2.1. nr (ro,) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ocena 4,0 2,0 4,0 3,0 4,0 2,0 4,5 2,0 3,0 3,5 /*r f ro,) 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ocena 3,5 3,0 4,5 3,0 2,0 3,0 3,0 4,0 3,0 4,0 nr (o*) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ocena 2,0 3,5 2,0 3,0 5,0 3,0 4,5 5,0 5,0 4,0

Zrodlo: opracowanie na podstawie badań własnych.

P rz e strzen ią zd arzeń e lem e n tarn y ch Q je s t tutaj zbiór 30 stu d en tó w wchodzących w sk ład b a d a n e j g ru p y stu d e n tó w . D o św iad czen ie p o leg a na w ylosow aniu je d n e g o

studenta z badanej grupy dziekańskiej. D yskretną zm ienną losową A"jest ocena egza­ minowanego studenta. Zm ienna A" może przyjmować wartości z sześcioelementowego skończonego zbioru {2,0; 3,0; 3,5; 4,0; 4,5; 5,0}. Jeżeli przez w, oznaczymy nu m er studenta na liście obecności, to wówczas zm ienną A' możem y określić następująco:

A'((ifc) = *(o>r,) = X(a*) — Ar((Ois) - * ( 0)21) = A'((0b) = 2,0;

A^om) — *(g>i) = A'(coi2) = A'(o)i4) = A'(toih) — * (017) = * (0)19) = A^ote*) — X(air26) — 3,0; X(a>io) X((On) = A^ote) = 3,5;

A'(coi) — A'(ci)?) - A'(ci)s) = *(o)i8) = A^cifcn) - A’(a)3o) = 4,0; X(wn) = A'(o)n) = X{(s)n) — 4,5;

X(ate) = *(0)28) = *(0)29) = 5,0. {kp}

Zdefiniujmy obecnie pojęcie niezależności zm iennych losowych. Dwie zm ienne lo s o w e * i Y nazywamy niezależnym i, jeżeli określone są n a tej sam ej przestrzeni probabilistycznej (Q, B , P) i dla dowolnych zbiorów borelow skich prostej B u B 2, zachodzi równość3:

P ( X e B i * X e B 2) = P ( X e B i ) P ( X e B 2). (2.1)

2.1.2. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

i dystrybuanta zmiennej losowej skokowej

Zm ienna losowa A" opisana w przykładzie 2.1 to zm ienna skokowa, poniew aż może przyjmować tylko wybrane sześć wartości z przedziału od 2,0 do 5,0. Zauważmy, że zdarzeniu losowemu polegającem u na tym, że losowo wybrany stu den t otrzym a jed n ą ze zbioru sześciu ocen, m ożem y przypisać określone praw dopodobieństw o (częstość) realizacji. Prawdopodobieństw o to m ożna określić, wykorzystując zdefinio­ waną w punkcie 1.3 częstościową definicję praw dopodobieństw a. R egułę (m etod ę), na podstawie której odbywa się rozdział masy praw dopodobieństw a, na poszczególne wartości zm iennej losowej, nazywa się funkcją rozkładu praw dopodobieństw a (rozkładem praw dopodobieństw a) lub krócej rozkładem zm iennej.

W przypadku zmiennej dyskretnej funkcję rozkładu praw dopodobieństw a m ożna zdefiniować następująco:

P ( X = Xi) = p(Xi) = pi, i = 1, k (2.3)

lub w form ie tabelarycznej:

X \ X 2 X i X k

Pl P2 Pi Pk

(2.4)

W obydwu przypadkach musi być spełniony w arunek: k

^ ^ P i — Pl + P2 + ... + Pi + ... + Pk = 1 (2.4)

i - 1

Przykład 2.2

W ykorzystując d ane z przykładu 2.1, określić rozkład praw dopodobieństw a zm iennej losowej X w form ie analitycznej i tabelarycznej.

Rozwiązanie: px = P ( X = 2,0) = — , P 2 = P ( X = 3,0) = — , p3 = P ( X = 3,5) = — , 30 30 30 6 3 3 p 4 = P ( X = 4,0) = — , p 5 = P ( X = 4,5) = — , pe = P ( X = 5,0) = — . 30 30 30

Funkcję rozkładu praw dopodobieństw a zm iennej X m ożna przedstawić n astę­ pująco:

X , 2,0 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

P ‘ 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1 0,1

Oczywiście y , p, = 1 ■ i = i

D la określonego rozkładu zmiennej losowej X , można również sporządzić wykres. W rozważanym przykładzie wykres taki zaprezentow ano na rys. 8.

0,30- ♦ 3; 0,3 0,25-0 ,20,25-0‘ ♦ 2; 0,2 ♦ 4; 0,2 0 ,15' 0 ,10' 3,5;0,1 4,5;0,1 ♦ ♦ 5; 0,1 ♦ 0,05' 1 1--- r

Rys. 8. Wykres funkcji rozktadu prawdopodobieństwa zmiennej X z przykładu 2.2 Źródło: opracowanie wtasne. {kp}

Zdefiniujm y obecnie pojęcie dystrybuanty zm iennej losowej skokowej. D ystrybuanta zm iennej losowej X w punkcie xo (xo e R ) jest p raw do po do bień­ stwem zdarzenia losowego polegającego na tym, że zm ienna losowa X przybierze wartość m niejszą niż^o. D o oznaczenia dystrybuanty używać będziem y dużej litery Fx bądź F, jeżeli nie ma wątpliwości, jakiej zm iennej losowej o n a dotyczy. M ożem y więc zapisać, że:

Fx : R R i Fx(xq) = P ( X < x 0). (2.5)

Je ż e liA je s t zm ienną losową dyskretną, to wówczas dystrybuanta wynosi:

Fx{xx) = YjP<. (2.6)

x i < x 0

D ystrybuanta zm iennej losowej przyjm uje następujące własności:

1) x ^ F ( x ) e [ Q - l ] , (2.7)

2) jeżeli A, < x i ^ F { x \ ) < F(x2), (2.8)

3) J im ^ F (x ) = 0, (2.9)

4) lim / ( v) = I. (2.10)

5) P ( a < X < b ) = F ( b ) - F ( a ) , (2.11)

Przykład 2.3

W ykorzystując rozkład praw dopodobieństw a zm iennej losowej X określony w przykładzie 2.2, wyznaczyć analitycznie i graficznie dystrybuantę Fx.

D ystrybuantę znajdujem y, wykorzystując wzór (2.6). Z m ien n a losowa może przybierać sześć wartości, zatem dystrybuanta określona będzie sześcioma nastę­ pującym i wzoram i: Jeżeli xo g (-°o; 2,0] to F(xo) = y p, — 0, JC, < x0 Jeżeli xo g (2,0; 3,0] to F(xo) = y p, = p i = 0,2, .r, < x0 J e ż e lixo g (3,0; 3,5] to F(^o) = ^ P i - p i + p i = 0;2 + 0,3 = 0,5, Jeżeli xo g (3,5; 4,0] to F(xo) = ^ /?, = pi + p i + p i = 0;2 + 0,3 + 0,1 = 0,6, X, < x0 Jeżeli *o g (4,0; 4,5] to F(jc0) pi - p i + p2 + p i + Pa = = 0;2 + 0,3 + 0 ,1 -+ 0,2 = 0,8, Jeżeli * 0 g (4,5; 5,0] to F(x0) - ^ pi - p i + p i + p i + pa + ps = Xi < x0 = 0;2 + 0,3 + 0,1 + \ 0,2 + 0,1 = 0,9, Jeżeli Xo e (5,0; + cc) to F(xo) = ^ p t = p i + p i + P3 + Pa + p$ + Pb -X, < x0 = 0;2 + 0,3 + 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,1 = 1.

D ystrybuantę m ożna również ująć w form ie następującej tabelki:

X o (-0°; 2,0] (2,0; 3,0] (3,0; 3,5] (3,5; 4,0] (4,0; 4,5] (4,5; 5,0] (5,0; + oo)

F(x0) 0 0,2 0,5 0,6 0,8 0,9 1

W ykres dystrybuanty przedstaw ia rys. 9.

Zauw ażm y, że wykorzystując w łasność (2.11), m ożna wyznaczyć, ile wynosi praw dopodobieństw o P(3,5 < X < 4). Z godnie z tą własnością:

P ( 3,5 < X < 4,5) = F(4,5) - F(3,5) = 0,8 - 0,5 = 0,3.

Rys. 9. Wykres dystrybuanty zmiennej losowej X z przykładu 2.3 Źródło: opracowanie własne.

Rys. 10. Prawdopodobieństwo P(3,5 < X < 4,5) jako przyrost dystrybuanty Źródło: opracowanie własne.

Taki sam wynik otrzymamy, wykorzystując podczas obliczeń funkcję rozkładu praw dopodobieństw a, wyznaczoną w przykładzie 2.2. M am y wówczas:

P(3,5 < X < 4,5) = P ( X = 3,5) + P ( X = 4,0) = 0,1 + 0,2 = 0,3.

W łasność (2.11) m ożna wykorzystać tylko wówczas, jeżeli przedział, dla którego chcemy wyznaczyć w artość praw dopodobieństw a, jest lewostronnie domknięty. Jeżeli np. będziem y chcieli wyznaczyć P ( 3,5 < X < 4,5), to wówczas korzystając z funkcji rozkładu praw dopodobieństw a zm iennej, otrzymamy:

P(3,5 < X < 4,5) = P ( X = 3,5) + P ( X = 4) + P ( X = 4,5) = 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,4. To sam o m ożem y otrzym ać stosując następującą zależność:

P (3,5 < X < 4,5) = [F ( 4 ,5 )-F ( 3 ,5 )J + P ( X = 4,5) - ( 0 , 8 - 0 , 5 ) + 0,1 = 0,4. {kp}

2.1.3. Funkcja gęstości i dystrybuanta

zmiennej losowej ciągłej

W przypadku zm iennych losowych ciągłych nie jest możliwe wyznaczenie funkcji rozkładu praw dopodobieństw a, poniew aż, zgodnie z definicją zm ienna ciągła to taka, k tóra m a nieprzeliczalny zbiór wartości. Nie jest możliwe - tak jak w przypad­ ku zm iennej dyskretnej - wym ienienie wszystkich p a r (x,; p,), gdyż zbiór wartości zm iennej losowej ciągłej jest nieskończenie liczny. Jeżeli zm ienna losowa m oże przyjąć nieskończenie wiele wartości, to praw dopodobieństw o zdarzenia losowego, że przybierze ona jed n ą z nich, jest rów ne zero. Z atem m ożem y zapisać:

P ( X = x 0) = 0, (2.13)

gdzie:

X - zm ienna losowa typu ciągłego,

xu - dow olna w artość z przedziału liczb rzeczywistych R.

W przypadku zm iennej losowej ciągłej wyznacza się tzw. fu n kcję gęstości

praw dopodobieństw a.

Funkcją gęstości praw dopodobieństw a zmiennej losowej ciągłej X nazwiemy funk- cję/(x), określoną na zbiorze liczb rzeczywistych R zdefiniowaną następująco:

P ( x ^ X < x + A x )

/ ( * ) = h m - ^ A (2.14)

A* .11

AX

F unk cja/(x ) m a następujące własności:

1. f ( x ) > 0, (2.15)

b

Z własności (2.16) wynika własność: +oo

3. j f ( x ) d x = P ( -co<? X < + c c ) = 1. (2.16a)

- 0 0

Ujmując, rzecz opisowo, powiemy, że funkcja gęstości jest funkcją nieujem ną, a pole obszaru ograniczone jej wykresem i osią odciętych jest rów ne 1.

Ilustruje to rysunek 11, na którym został przedstaw iony przykładowy wykres funkcji gęstości.

Natomiast na rysunku 12 przedstawiono graficzną interpretację własności (2.16).

Rys. 11. Przykładowy wykres funkcji gęstości

Źródło', opracowanie własne.

Źródło: opracowanie własne.

Zdefiniujm y obecnie pojęcie dystrybuanty zm iennej losowej ciągłej. D ystrybuantą zm iennej losowej ciągłej A jest funkcja F : R ^ > R , tak a że:

*0

F(jto) = P { X < -To) = dlaxo e R

Pomiędzy funkcją dystrybuanty a funkcją gęstości zachodzi związek:

F'(xo) = f (x o), (2.18)

co oznacza, że jeżeli funkcja dystrybuanty m a p o ch od ną w punkcie xo, to pochodna ta jest funkcją gęstości zm iennej losowej w punkcie xo.

W łasności funkcji dystrybuanty opisaliśmy już w punkcie 2.2. Modyfikacji ulegnie jedynie własność (2.11), która z uwagi na własność (2.13) będzie teraz następująca: P(a < X < b) = P(a < X <b) = P(a < X < b ) = P(a < X < b) = F ( b ) - F ( a ) . (2.19)

P rz y k ła d 2 .4 4

Tram w aj linii 15 w K rakow ie w n ied ziele i św ięta pom iędzy godziną 9:00 a 18:00 kursuje regularnie co 20 m inut (źródło: www.m pk.krakow.pl). Załóżmy, że pasażer przychodzi n a przystanek w losowo wybranym m om encie badanego o kre­ su, nie kierując się rozkładem jazdy. N iech zm ienna X oznacza czas oczekiwania (w m inutach) na przystanku na przyjazd tram w aju. Określić, dla tak zdefiniowanej zm iennej losowej, funkcję gęstości oraz funkcję dystrybuanty a następnie obliczyć praw dopodobieństw o zdarzenia losowego, że czas oczekiwania pasażera na tramwaj będzie liczbą z przedziału [5, 10] m inut.

Jeżeli przyjm iem y założenia, że tram waj jeździ regularnie (co 20 m inut), oraz że pasażer nie kieruje się rozkładem jazdy i przychodzi na przystanek w losowo wybranym m om encie, to możemy stwierdzić że:

- praw dopodobieństw o zdarzenia losowego, że będzie czekał krócej niż 0 minut lub dłużej niż 20 jest rów ne zero, oraz

- gęstość praw dopodobieństw a w przedziale [0, 20] min. jest funkcją stałą p o ­ s t a c i / ^ ) = c (tzn. że wszystkie wartości zm iennej losowej w tym przedziale są jednakow o praw dopodobne).

Funkcja gęstości f (x) m a zatem następującą postać:

m =

-0 dla x < -0 c dla 0 < x < 20. 0 dla x >20

Aby wyznaczyć w artość c, m ożna skorzystać z zależności (2.16a). Otrzymamy wówczas:

2° « 2 Q

|

+

+|

-

0 20

+ 0 = 20c,

4 Inspiracją dla przykładu (2.4) był Przykład 1.9 z książki J. Jóźwiaka i J. Podgórskiego Sta­ tystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1994.

oraz

20c = 1 = > c = — .

20

1

Po podstaw ieniu w miejsce stałej c w artości — otrzym am y n astępującą funkcję

gęstości: 20

/0 0

20

0 dla x > 20 Graficznie wykres tej funkcji przedstaw ia rys. 13.

0 dla x < 0 1

/•(*)

I '20

IM 15 20

Rys. 13. Wykres funkcji gęstości do przykładu 2.4 Źródło: opracowanie własne.

W artość praw dopodobieństw a P(5 < X < 10) m ożna obliczyć, wykorzystując własność (2.16); otrzym am y wówczas:

10 10

P ( 5 <X < 10) =

J

J

5 _ 20 20 ~ 20 _ 4

Na rysunku 14 przedstaw iono graficzną in terpretację szukanego p raw d o p o d o ­ bieństwa.

Rys. 14. Graficzna interpretacja P(5 <X< 10) Źródło: opracowanie własne.

Jak łatwo zauważyć, szukanem u praw dopodobieństw u odpow iada zacieniowa- ny obszar będący w tym przypadku polem p rostokąta o bokach równych 5 i 1/20 jednostek.

Aby wyznaczyć funkcję dystrybuanty, należy skorzystać ze wzoru (2.17). ''U

Jeżeli *0 ^ 0, to dystrybuanta F(*o) = jo d ? = 0. 00 0 x° 1 1 Jeżeli 0 < Xo < 20, w ów czasF(xo) = j o dt + f — dt = — t = J 0 2 0' 0 20 J e ż e li*o > 20, to F(xo) = fo dt + f — dt + fo dt = 0 h 1

v

J

Z astępując symbol Vn sym bolem *, m ożemy zapisać: 0 dla x < 0 — x dla 0 < x < 20.

20

0 dla x > 20 Wykres tej funkcji przedstaw ia rys. 15.

Rys. 15. Dystrybuanta czasu oczekiwania na tramwaj Źródło: opracowanie własne.

Obliczane wcześniej praw dopodobieństw o P(5 < X < 10) m ożna rów nież wyzna­ czyć, korzystając z dystrybuanty zm iennej X oraz z własności (2.19):

/> f5 < X < 1 0 ) = F (10) - F ( 5 ) = — 1 0 - — - 5 = — - — = — = - .

20 20 20 20 20 4

G raficzną interpretację tego praw dopodobieństw a pokazano na rys. 16.

Rys. 16. Prawdopodobieństwo / ’(5 < X < 10) jako przyrost dystrybuanty Źr ódło: opracow anie własne.

Szukane praw dopodobieństw o jest reprezentow ane przez odcinek na osi rzęd­ nych pom iędzy w artościam i dystrybuanty w punktach 10 i 5. {kp}

2.1.4. Podstawowe charakterystyki liczbowe

jednowymiarowej zmiennej losowej

2.1.4.1. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej dyskretnej

W artość oczekiw ana5 stanow i pew ien odpow iednik - om aw ianej w ram ach statystyki opisowej - średniej arytm etycznej. D o oznaczenia wartości oczekiwanej zm iennej X używać będziem y symbolu E ( X ) i w przypadku zm iennej losowej dys­ kretnej definiow ać jak o sum ę iloczynów w artości zm iennej x, oraz przypisanych im praw dopodobieństw realizacji p t.

M ożna zatem zapisać:

E ( X ) = £ x lPi, (2.20)

'

pod w arunkiem , że szereg ^ x lp lj e s t bezwzględnie zbieżny. Jeżeli tak nie jest, to I

mówimy, że zm ienna losowa nie posiada w artości oczekiwanej.

P odobnie - jak to m a miejsce w statystyce opisowej - w artość oczekiwaną m oż­ na wykorzystać do wyznaczenia wariancji i następnie odchylenia standardow ego. W ariancję w rachunku praw dopodobieństw a oznaczać będziem y symbolem D 2(X), a odchylenie standardow e D(X). O gólnie w ariancją zm iennej losowej nazywamy wyrażenie:

D 2(X) = E [ X - E ( X ) ] 2, (2.21)

n atom iast odchylenie standardow e to:

D ( X ) = yj D 2( X ) . (2.22)

Jeżeli zm ienna losowa jest typu skokowego i posiada w artość oczekiwaną, to wówczas w ariancją nazywamy wyrażenie:

D 2{ X ) ^ \ x - E { X ) Y p r (2.23)

f

D ość często w praktyce do wyznaczenia wariancji wykorzystuje się równoważny wzór o postaci:

5 W literaturze można spotkać też inne określenia tej miary, takie jak: wartość przeciętna, średnia, nadzieja matematyczna.

D2 (A) = E { X * ) - E \ X ) = J x * Pi - J x iPl

\2

(2.23a)

Przykład 2.5

Wykorzystując funkcję rozkładu praw dopodobieństw a określoną w przykładzie

2.2, wyznaczyć w artość oczekiwaną, w ariancję i odchylenie standardow e określonej tam zmiennej losowej X.

Przypomnijmy, że zm ienna losowa zdefiniow ana w przykładzie 2.2 oznacza ocenę uzyskaną przez losowo w ybranego stud en ta, a jej rozkład przedstaw ia się następująco:

Xi 2,0 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Pi 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1 0,1

Aby wyznaczyć w artość oczekiwaną, a n astępnie w ariancję, rozbudujem y p o ­ wyższą tabelkę o kolejne trzy wiersze.

1 X, 2,0 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

2 _P> 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1 0,1

3 x ,p , 0,4 0,9 0,35 0,8 0,45 0,5

4 4,0 9,0 12,25 16,0 20,25 25,0

5 x}p, 0,8 2,7 ■ 1,225 3,2 2,025 2,5

Sumując wartości w wierszu 3, obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej X: E ( X ) = 0,4 + 0,9 + 0,35 + 0,8 + 0,45 + 0,5 = 3,4.

Do obliczenia wariancji wykorzystamy natom iast rów nanie (2.23a).

Pierwsza składowa tego równania £ . 1 7 p , , to sum a wartości w wierszu 5 powyższej

tabelki, natom iast druga: '

, P , = (3,4)2 = 11,56.

^ 1

W ariancja zm iennej losowej X jest równa:

D 2(X) = (0,8 + 2,7 + 1,225 + 3,2 + 2,025 + 2,5) - 11,56 = 0,89, natom iast odchylenie standardow e:

W ariancję m ożna również obliczyć, stosując wzór (2.23). Otrzym am y wówczas: D \ X ) = 0,2 • (2 - 3,4)2 + 0,3 • (3-3,4)2 + 0,1 • (3,5 - 3,4)2 +

+ 0,2 • (4 - 3,4)2 + 0,1 ■ (4,5 - 3,4)2 + 0,1 ■ (5 - 3,4)2 = 0,89.

W artość oczekiw ana oznacza w tym przypadku, że przeciętna ocena w badanej grupie wynosi 3,4, nato m iast w artość odchylenia standardow ego inform uje nas, że oceny badanych studentów odchylały się od oceny przeciętnej średnio o ±0,94 stopnia, {kp}

2.1.4.2. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej ciągłej

W przypadku zm iennych losowych ciągłych w artość oczekiwaną obliczamy sto­ sując następujący wzór:

+

E ( X ) = \ x f { x ) d x , (2.24)

natom iast podczas wyznaczania w ariancji należy wykorzystać wzór: + oa

D 2( X ) - J [ x - E ( X ) ] 2f ( x ) d x , (2.25)

lub alternatyw nie wzór

/ -

f

D 2( X ) = E ( X 2) - E 2( X ) = j x 2f ( x ) d x - j x f ( x ) d x (2.26)

Przykład 2.6

W ykorzystując funkcję gęstości określoną w przykładzie 2.4, wyznaczyć wartość oczekiw aną czasu oczekiw ania pasażera n a tram waj, a n astępnie w ariancję i odchy­ lenie standardow e.

Korzystając z rów nania (2.24), otrzymamy:

E ( X ) = Jx f(x )d x = Jx OćZr+j* ^ dx + Jjc 0dx =

20

20= ± ! U I0

0 40

W ynika z tego, że jeżeli pasażer w badanym okresie będzie przychodzi! na ten przystanek w ielokrotnie, to wówczas będzie on czekał na przyjazd tram waju prze­ ciętnie 10 m inut.

+® 1 * ZU / 2 D \ X )=j [ x - E ( X f f ( x ) d x = j ( x -1 0 )2- ± dx = J [ ^ + 5 U / U I) V Z U * v 60 "2 + 5x 20_ 8000 _ 2Q0 _ 33 J_ 0 60 3 dx =

Pierwiastkując w artość wariancji, otrzym ujem y w artość odchylenia sta n d a rd o ­ wego:

D ( X ) = j D 2( X ) J 3 3 ^ * 5 ,7 7

Z powyższych obliczeń wynika, że jeżeli pasażer będzie w ielo k ro tn ie korzystał w badanych godzinach w niedziele i św ięta z tego tram w aju, to wówczas jego czas oczekiwania na przystanku będzie się odchylał od średniego czasu oczekiw ania (10 min) przeciętnie o 5,77 minuty, {kp}

2.1.4.3. Podstawowe własności wartości oczekiwanej i wariancji zmiennej losowej

Istnieje kilka podstawowych własności ujm owanych niekiedy jako tw ierdzenia dotyczące wartości oczekiwanej i w ariancji zm iennej losowej6.

1. Wartość oczekiwana dowolnej stałej c jest rów na tej stałej, natom iast wariancja stałej c jest równa zero:

E (c) = c, (2.27)

D 2(c) = 0. (2.28)

2. Wartość oczekiwana sumy dwóch zm iennych losowych X i Y jest rów na sumie wartości przeciętnych tych zmiennych losowych, oraz w ariancja sumy dwóch niezależnych zm iennych losowych X i Y jest rów na sum ie w ariancji tych zmiennych:

E ( X + Y) = E ( X ) + E(Y), (2.29)

a gdy X i y są niezależne, to:

D 2( X + Y ) = D2(X) + D 2(Y). (2.30)

Powyższe tw ierdzenie m ożna również uogólnić dla n zm iennych losowych.

6 Dowody zamieszczonych poniżej twierdzeń można znaleźć np. w Z. Helwig: Elementy rachunku..., op. cit., rozdział 4.2.2. i 4.3.2., s. 97-111.