W niniejszej pracy przeanalizowano numerycznie wpływ parametrów prostokątnych barier potencjalnych na prawdopodobieństwo transmisji i tunelowania T padających na nie cząstek kwantowych. Nie zajmowaliśmy się przy tym bardzo interesującym zagadnieniem wyznaczenia czasu tunelowania szeroko dyskutowanym m.in. w pracach [9 ÷ 12].
W celu obliczenia współczynnika transmisji T skorzystaliśmy z formalizmu macierzy przejścia. Badanie bardziej skomplikowanych układów barier nieprostokątnych tą metodą wymaga duŜych mocy obliczeniowych. Dlatego skupiliśmy się w tej pracy jedynie na najprostszych.
Wyniki obliczeń numerycznych przedstawiono za pomocą map transmisji/tunelowania1. Na osi poziomej i pionowej mapy zostały odłoŜone odpowiednio szerokość układu barier i energia padającej cząstki. Zastosowane kolory reprezentują wartości współczynnika transmisji lub tunelowania. Kolorem czerwonym zaznaczone duŜe jego wartości, a niebieskim i czarnym małe.
PoniŜej przedstawiamy wnioski, które moŜna sformułować na podstawie zawartych w pracy wybranych wyników.
Analizując mapy transmisji przez pojedynczą barierę 6.2, 6,3 oraz 6.15 moŜemy stwierdzić jak na T wpływa zmiana masy cząstki oraz parametrów bariery (wysokości i szerokości). Zgodnie z oczekiwaniami dla bardzo wąskich barier T przyjmuje duŜy wartości (bliskie 1) nawet dla cząstek o bardzo małej energii. Natomiast, co ciekawe, gdy energia cząstki jest nawet dwa razy większa niŜ potencjał bariery obserwujemy znaczne oscylacje wartości T, tj. naprzemienny wzrost i spadek współczynnika transmisji przy ustalonej szerokości bariery. Jest to zgodne z wynikami analitycznymi [2-5] i spowodowane tym, Ŝe bariera staje się częściowo przeźroczysta (T<1) dla padającej na nią cząstki, jeśli szerokość bariery jest całkowitą wielokrotnością długości fali de Broglie’a stowarzyszonej z cząstką (2.9). Efekt ten staje się wyraźniejszy przy wyŜszych barierach (porównaj rys. 6.2 i 6.3 oraz 6.15). Obserwowane oscylacje amplitudy współczynnika T (dla ustalonych wysokości barier) zanikają wraz ze wzrostem energii cząstki, a rosną wraz z szerokością bariery.
1 Mapa reprezentuje wartości współczynnika transmisji cząstek o energii wyŜszej od wysokości bariery/barier
Omówimy zmiany współczynnika transmisji obserwowane w przypadku tunelowania cząstki przez układ dwóch identycznych prostokątnych barier potencjału oddzielonych studnią (rysunki 6.5 i 6.6). Wnioski płynące z analizy pojedynczej prostokątnej bariery są nadal aktualne, ale naleŜy dodatkowo zauwaŜyć pojawienie się stosunkowo wąskich pasm tunelowania w obszarze energii podbarierowych. Ich występowanie jest związane z istnieniem stanów metastabilnych2 w obszarze studni kwantowej, które są rozwiązaniami stacjonarnego równania Schrödingera dla studni kwantowej o skończonej wysokości. Energia stanów kwantowych cząstki w nieskończenie głębokiej studni potencjalnej o szerokości a wyraŜa się wzorem
,....
3 , 2 , 1 2 2 ,
2 2
2 =
= n
ma En n π h
.
Padająca cząstka o energii bliskiej energii stanu metastabilnego tuneluje dzięki zjawisku rezonansu [2-5], co jest ponownie zgodne z wynikami analitycznymi (cząstka tuneluje przez pierwszą barierę, odbija się od drugiej bariery i interferuje z „nadlatującymi” cząstkami, co prowadzi do powstania fali stojącej). Dla danej szerokości i wysokości studni liczba metastablinych stanów jest skończona. Wraz ze wzrostem szerokości studni rośnie ich liczba, co prowadzi do większej liczby pasm rezonansowych na mapach tunelowania (patrz rys. 6.5, 6.6). Ten sam efekt (zwiększanie się liczby pasm transmisji) zachodzi przy zwiększaniu masy cząstki dla ustalonej szerokości studni (porównaj rysunki 6.5, 6.16, 6.17 i 6.18). Dodatkowo, szerokość pasm transmisji ulega istotnemu zmniejszeniu wraz ze wzrostem masy cząstki.
Odwrotna tendencja, potwierdzająca nasz wniosek, jest zauwaŜalna na rys. 6.17-6.18, gdzie przedstawiono mapy transmisji/tunelowania dla cząstek o mniejszych masach.
JeŜeli zakłócimy symetrię barier, np. poprzez zwiększenie szerokości jednej z nich (rys. 6.7-6.9), to zaobserwujemy znaczne zmiany w mapach transmisji/tunelowania.
Współczynnik tunelowania osiąga duŜe wartości dla prawie ściśle określonych energii padającej cząstki. Energie te ponownie odpowiadają energiom stanów metastabilnych cząstki w obszarze studni kwantowej. Na rys. 6.8 i 6.9 współczynnik tunelowania w obszarze podbarierowym jest praktycznie równy zeru za wyjątkiem bardzo wąskich obszarów energii i szerokości barier, które zanikają na mapach wraz ze wzrostem szerokości zewnętrznych barier. Jeśli energia cząstki jest zbliŜona do wysokości barier lub większa, to obserwujemy
2 UŜywamy tutaj słowa metastabilne dla podkreślenia faktu, Ŝe cząstka zlokalizowana w obszarze studni
duŜe wartości współczynników transmisji lub tunelowania. Dla energii cząstki większej od wysokości bariery obserwujemy znaczne róŜnicowanie się współczynnika transmisji w porównaniu z przypadkiem bariery symetrycznej. Niesymetryczność zewnętrznych barier (ich szerokości nie są równe) w obszarze tuŜ nadbarierowym powoduje na mapach transmisji zauwaŜalny wzrost liczby wąskich obszarów wysokiej i niskiej transmisji. (porównaj rys. 6.5 i 6.8). Na rys. 6.8 widocznych jest znacznie więcej obszarów (określonych energią cząstki i szerokością barier), w których współczynnik transmisji przyjmuje małe lub duŜe wartości.
Zaburzenie symetrii barier poprzez zróŜnicowanie ich wysokości (rys. 6.10-6.12) powoduje znikanie wielu pasm tunelowania rezonansowego (obserwowanych np. na mapach z rys. 6.6), co jest konsekwencją zmniejszenia się liczby stanów metastabilnych w płytszej studni kwantowej.
Jeśli wysokość jednej z barier jest duŜo większa od wysokości drugiej, to mapa transmisji odpowiada mapie transmisji przez pojedynczą barierę.
Godnym zauwaŜenia jest równieŜ fakt, Ŝe wyniki obliczeń numerycznych nie zaleŜą od kolejności barier rozdzielonych studnią; uŜytkownik programu moŜe samodzielnie o tym się przekonać. Oznacza to, Ŝe współczynniki transmisji/ tunelowania badanych układów nie zaleŜą od tego z której strony padają cząstki.
Analiza wyników otrzymanych dla wielokrotnych studni potencjalnych (rys. 6.13-6.14) wskazuje równieŜ na rezonansowy charakter tunelowania. Ze względu na to, Ŝe mapa z rys. 6.14 odnosi się do układu zawierającego dwie symetryczne studnie kwantowe, to widoczne są (zwłaszcza w obszarze odpowiadającym wąskim studniom, które reprezentuje lewa część mapy) pasma tunelowania złoŜone z dwóch blisko siebie połoŜonych poziomów rezonansowych. Jest to przejaw istnienia metastabilnych poziomów energetycznych cząstki kwantowej umieszczonej w badanym układzie. W badanym układzie poziomy energetyczne tworzą pary poziomów blisko siebie połoŜonych na skali energetycznej. Odległośc energetyczna tych poziomów maleje wraz ze wzrostem szerokości barier lub studni potencjalnych [1].
JeŜeli do układu dwóch studni dodamy następne, to otrzymamy dodatkowe pasma rezonansowego tunelowania, w których liczba rezonansów będzie równa liczbie studni.