Środowisko programowe do symulacji zjawiska tunelowania

(1)

Wydział Podstawowych Problemów Techniki

Ś rodowisko programowe do symulacji zjawiska tunelowania

Praca dyplomowa inŜynierska Michał Chometa

Opiekun:

dr hab. inŜ. Włodzimierz Salejda prof. PWr.

(2)

Opiekunowi prof. Włodzimierzowi Salejdzie

serdecznie dziękuję za pomoc, cenne rady i dyskusję.

Bez Jego cierpliwości niniejsza praca by nie powstała.

(3)

Spis Treści

1. Wprowadzenie ... 4

2. Równanie Schrödingera... 5

3. Tunelowanie – analiza ilościowa zjawiska ... 7

4. Macierze przejść ... 10

4.1. Macierz przejścia M1... 11

4.4. Macierz przejścia M₄... 15

4.5. Macierz przejścia M₅... 17

4.6. Macierz przejścia M₆... 19

4.7. Macierz transmisji ... 20

5. Opis środowiska programowego... 22

6. Wybrane wyniki... 28

6.1. Bariera prostokątna ... 28

6.2. Podwójna symetryczna bariera... 30

6.3. Podwójna prostokątna bariera niesymetryczna ... 31

6.4. Wielokrotne studnie potencjału... 34

6.5. Tunelowanie cząstek o róŜnych masach ... 35

7. Wnioski ... 38

8. Podsumowanie ... 41

9. Literatura ... 42

(4)

1. Wprowadzenie

Celem pracy było opracowanie środowiska obliczeniowego pozwalającego uŜytkownikowi na projektowanie układu prostokątnych barier potencjalnych (ich wysokości i szerokości) oraz wyznaczanie, dla zaprojektowanego układu barier, współczynnika tunelowania i transmisji cząstek kwantowych.

Przenikanie cząstek przez bariery potencjału o skończonej grubości jest efektem czysto kwantowym, nie dającym się uzasadnić na gruncie fizyki klasycznej. W fizyce atomowej jednak wykryto zjawiska nie dające się wytłumaczyć inaczej niŜ jako przenikanie przez bariery potencjału, co zostało nazwane efektem tunelowym [1], [2]. Jądra atomów utrzymywane są w całości silnym potencjałem przypominającym zwęŜający się na szczycie wał. Energie nukleonów, z których są zbudowane jądra nawet w stanach wzbudzonych mają energie mniejszą od wysokości tego wału potencjału. Pomimo tego obserwujemy przenikanie cząstek α na zewnątrz pola oddziaływań jądrowych [3]. W ten sposób moŜna rozumieć zjawisko promieniotwórczości, samorzutne rozszczepianie się niektórych jąder, tzw. zimną emisję elektronów z metalu, zjawiska kontaktowe w ciałach stałych i inne.

Fakt, Ŝe cząstki o energii wyŜszej od bariery potencjału równieŜ ulegają rozproszeniu jest tłumaczony znaczną zmianą pędu (zaleŜnego od potencjału ) [4].

W następnym rozdziale przedstawiamy krótkie wprowadzenie do zjawiska tunelowania w ramach mechaniki kwantowej. Rozdział trzeci zawiera analizę ilościową zjawiska tunelowania w przypadku jednowymiarowym, oraz przykład tunelowania obserwowany w mikroelektronice. W rozdziale czwartym przedstawimy niezbędne przekształcenia numeryczne wykorzystywane w zaprojektowanym środowisku programowym. Rozdział piąty zawiera opis środowiska programowego. Rozdział szósty jest poświęcony prezentacji wybranych wyników i ich porównaniu z wynikami analitycznymi.

W rozdziale siódmym i ósmym przedstawiono odpowiednio wnioski końcowe i podsumowanie pracy. Ostatni rozdział zawiera spis literatury.

(5)

2. Równanie Schrödingera

Przełom wieków XIX i XX zaowocował eksperymentami, które ukazywały dualność natury na poziomie atomowym. Falowe własności cząstek i korpuskularność promieniowania wynikające z tych doświadczeń stały w jawnej sprzeczności z ówczesną wiedzą. Fizyka klasyczna precyzyjnie określała połoŜenia cząstek. Ponadto wiadomo było Ŝe cząstki elementarne są niepodzielne – nie moŜna zaobserwować lub uzyskać połówki elektronu.

Natomiast fale moŜna dzielić, ale nie moŜna ich precyzyjnie zlokalizować. Fale posiadają długość λ i częstotliwość υ i są rozciągnięte w czasoprzestrzeni.

Ta dualność stawia nas przed dylematem: opis cząstki zdaje się być niekompatybilny z opisem fali, w szczególności, w przypadku zjawiska interferencji. Relacje de Broglie’a, p = h / λ, oraz Bohr’a, E = h υ, określają dynamiczne własności cząstki, właśnie dzięki zjawisku interferencji .

Równanie Schrödingera dla cząstki poruszającej się pod wpływem niezaleŜnej od czasu siły potencjalnej [5]:

Ψ

= Ψ + Ψ

∇

−

∂ = Ψ

− ∂ V H

m t

i

2 2

2 h h

(2.1) moŜe zostać przekształcone na niezaleŜne od czasu równanie funkcji ψ

(

^x^,^y^,^z

)

zakładając, Ŝe

( ) ( ^t ^x ^y ^z )

f ψ , ,

=

Ψ

^, (2.2)

skąd otrzymujemy

{ } ^.

1 2

1

2

const H

m V t

f i

f = =

 



 

 − ∇ +

 =

 

 



∂

− ∂ ψ

ψ ψ ψ ψ

h h

(2.3) PoniewaŜ musi to być prawdziwe dla wszystkich wartości t oraz x, y, z, lewa i prawa strona równania muszą być równe stałej.

Fizyczne znaczenie stałej moŜe być rozumiane jako energia E

( ) ^t ^e

ⁱ^Et

^,

f =

⁻^h (2.4)

oraz

ψ ψ

ψ + ^V = ^E

∇

− h

² ²

. (2.5)

(6)

W szczególności dla jednego wymiaru

( )

( ) ⁰ ^.

2

2 2

2

ψ + − ψ =

x V m E

dx d

h

^(2.6)

ZałóŜmy, Ŝe potencjał oraz energia całkowita cząstki E są stałe. Wtedy energia kinetyczna

T = E – V = p

²

/ 2ma

(2.7) a ogólne rozwiązanie równania (2.6) ma postać

(^E ^V)^x ⁱ ^m(^E ^V)^x

i m

Be

Ae

⁻

+

⁻ ⁻

=

^h ² ^h ²

ψ

^(2.8)

gdzie A i B są stałymi całkowania [6].

Widzimy, Ŝe stanowi ono superpozycję dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Długość tych fal odpowiada długości fali de Broglie’a

( ^E ^V ) ^h ^mT ^h ^p

m = =

= −

2 2

2 h π

λ

. (2.9)

(7)

3. Tunelowanie – analiza ilościowa zjawiska

Wyobraźmy sobie teraz strumień cząstek padających z x = -∞ na barierę potencjału zadaną wzorem





≤

>

= <

a x V

a x V x

0 ,

lub 0 ,

0

. (3.1)

Eksperymentalnie moŜemy zauwaŜyć, Ŝe nie wszystkie cząstki o energii większej niŜ wysokość bariery potencjału są rejestrowane po drugiej stronie bariery, gdzie wykrywamy cząstki o energii niŜszej od bariery.

Tunelowanie moŜna opisać jako zjawisko kwantowe polegające na przejścia cząstki kwantowej pomiędzy dwoma obszarami dozwolonymi, o jednakowej energii, poprzez oddzielającą je barierę potencjału o większej energii.

Przykładem omawianego zjawiska moŜe być tunelowanie elektronów poprzez bariery tlenkowe [4], co bezpośrednio prowadzi do wycieku prądu w tranzystorach polowych (MOSFET). Jest to podstawowym ograniczeniem w postępującej miniaturyzacji układów elektronicznych. Dla ścieŜek nanoskopowych rozmiarach, tranzystor nie moŜe poprawnie funkcjonować poniewaŜ obserwujemy znaczne i niepoŜądane efekty tunelowania nośników prądu przez nanoelementy układu elektronicznego.

Analiza ilościowa jednowymiarowego zjawiska tunelowania jest prowadzona w ramach równania Schrödingera

( )

⁰^,

2 ⁰

2

2 ∇ Ψ+ − Ψ=

− V E

m h

(3.2) które rozwiązujemy po obu stronach oraz wewnątrz bariery.

Wyobraźmy sobie cząstkę o energii E opisywaną funkcją falową Ψ(x) padającą na ₀ barierę potencjału opisaną (3.1), o wysokości V₀ >E₀. Wtedy funkcja falowa ma postać:

( ) ( ) ( ) ( )

 

 



≥

=

≤

≤ +

=

≤ +

=

Ψ

⁻

−

a x Ee

x

a x De

Ce x

x Be

Ae x

x

x ik

x ik x

ik

x ik x

ik

3

2 2

1 1

3 2 1

0 0

ϕ ϕ ϕ

(3.3)

gdzie

( )

2 0 2 0

2 2 2 0 1

2 2

h h

E V k m

mE ,

k = = − .

(8)

Naszym zadaniem będzie obliczenie prawdopodobieństwa (szansy) na zajście zjawiska tunelowania przy określonych parametrach modelu (energia i masa cząstki;

szerokość i wysokość bariery). W tym celu obliczamy współczynniki transmisji T i odbicia R

2.

2

2 2

A R B i A

T = E = (3.4)

Funkcja falowa musi być klasy C1, a więc ciągła wraz ze swoją pochodną.

W szczególności ciągłość musi być zachowana w miejscach zszycia funkcji, a więc na granicy barier

( ) ( )

( )

 



 





=

−

= +

−

=

− +

= +

−

a ik a

k a

k

a ik a

k a

k

Ee ik De

Ce k

Ee De

Ce

D C k B A ik

D C B A

1 2

2

1 2

2

1 2

2 1

. (3.5)

Dwa ostatnie równania pozwalają wyznaczyć wartości współczynników C i D

( )

1

( )

,

, 2 2 1

2 1 2

1

2 1 2

1 ik k a ik k a

k e i k D E

k e i k

C E

⁻



⁺





 

 −

 =





 

 +

=

(3.6)

co po podstawieniu do dwóch pierwszych równań daje

( ) ( ) ( )

( )

^sh

( )

^.

ch 2 2

, sh

ch 2 sh

1

2 2

1 2 1 2 2 2

1

2 2

1 2 1 2 2 2

2 2

1 2 2 2 1

1

−







 + −

=







 + −

− +

=

a k k

k k ik a k A e

E

a k k

k k ik a k a

k k k

k ik A B

a ik

(3.7)

Znając zaleŜności (3.7) moŜna przystąpić do wyznaczania współczynników (3.4)

( ) ( ) ( )

( )

1

2 2 2

2 1

2 2 2 1 1

2 2 2

2 1

2 2 2 1 1

2 2 2

2 1

2 1 2 2 2

2 2

2

1

2 2 2

2 1

2 1 2 2 2

2 2

2 1

2 2 2 1 2 2

4 sh 1 1

4 sh sh

ch 4 4

sh ch

4 sh

2

2 −

=

−



















 +

+

=







 +

=

 ⇒



















 −

+

=



















 −

 +







 +

=

a k k

k k T k

a k k

k k T k

R a

k k k

k a k

k A

T E

a k k

k k a k

k a

k k k

k k A

R B

x sh x ch

(3.8)

(9)

Współczynniki odbicia i transmisji moŜna przedstawić na kilka sposobów. Korzystając z zaleŜności

(

0 0

)

0 2 0 2

2 1

2 2 2 1

E V E

V k

k k k

= −







 +

(3.9) uzyskujemy

( ) ( )

( ) (

0 0

)

¹

2

0 0 0

2 0

0 0 2

0 0 0

2 0

2 4 sh

1

2 4 sh

1

−







 



 



 −

+ −

=



 



 −

= −

E V a m

E V E T V

E V a m

E V E

T R V

h h

(3.10)

a podstawiając do (3.10)

0 0 2

2 0

V E

a mV =

=

ε

λ

i

h (3.11)

ostatecznie otrzymujemy

( ) ( )

( )

_ε

(

^λ ^ε

)

^R

T ε

ε ε λ

ε R T

−

 =







 −

+ −

=

− −

=

−

1 1

1 sh 4 1 1

1 1 sh

4

1 2

2

(3.12)

PowyŜsze wzory (3.8, 3.10, 3.12) są analitycznymi formułami dla pojedynczej prostokątnej bariery przy załoŜeniu, Ŝe energia cząstki jest mniejsza od wysokości bariery.

JeŜeli energia cząstki jest większa od wysokości bariery analityczny wzór na współczynnik przejścia przyjmuje następującą postać:

( ) ( )

^R

T  = −







 −

+ −

=

1 1

1 sin 4

1 1

1

2

λ ε

ε

^(3.13)

PoniŜej opisane środowisko obliczeniowe korzysta z metod numerycznych, opisanych w następnym rozdziale, pozwalających na obliczanie współczynnika transmisji przez kilka rodzajów barier potencjału, zaprojektowanych przez uŜytkownika z klawiatury PC lub po wczytaniu parametrów modelu.

(10)

4. Macierze przejść

Macierze przejścia wyliczam korzystając z warunków ciągłości funkcji falowej i jej pierwszej pochodnej w punktach charakterystycznych potencjału.

Zaprezentuję macierze dla wszystkich rozpatrywanych rodzajów przejść cząstki kwantowej przez granice barier potencjalnych.

Najprostszy wariant to bariera prostokątna. Do opisania wszystkich moŜliwych przypadków wystarczą cztery macierze przejścia: M₁, M₂, M₃, M₄ (patrz rys.4.1).

Rys.4.1. Prostokątna bariera potencjału z zaznaczonymi 4 róŜnymi macierzami przejścia.

JeŜeli pójdziemy krok dalej, to uzyskamy barierę schodkową. By rozpatrzyć wszystkie przypadki potrzeba sześciu macierzy: czterech przedstawionych wyŜej, oraz M5, M6 (patrz rys.4.2)

Rys.4.2. Prostokątna bariera potencjału z zaznaczonymi 6 macierzami przejścia.

M1 M2

M3 M4

M1

M2

M₃

M4

M5

M₆

(11)

We wszystkich rozpatrywanych w pracy przypadkach cząstki kwantowe padają z lewej strony na bariery potencjalne.

PoniŜej przedstawiamy kolejno jawne postacie macierzy przejść odpowiadających przypadkom: cząstka wchodzi do obszaru o wyŜszym potencjale (M1); cząstka wchodzi do obszaru o niŜszym potencjale (M2).

4.1. Macierz przejścia M₁

W tym przypadku cząstki mają energię E0 większą od wysokości bariery (rys.4.3), a wektor falowy jest rzeczywisty po obu stronach bariery.

Rys.4.3. Skok potencjału; cząstka kwantowa ma energię większą od wysokości bariery.

Dwie pierwsze macierze dotyczą przypadku E₀ > V₁> V₀. Stosujemy następujące oznaczenia:

(

0 0

)

1 2

V E m

k = −

h , (4.1.1)

(

0 1

)

1 2

' m E V

k = −

h . (4.1.2)

Z warunków ciągłości otrzymujemy

 



−

=

−

+

= +

−

' : / '

'

^' ^'

' '

ik De

ik Ce

ik ikBe

ikAe

De Ce

Be Ae

a ik a

ik ika

ika

a ik a

ik ika

ika

. (4.1.3) PoniŜej prezentujemy (4.1.4 – 4.1.11) wyprowadzenie elementów macierzy przejścia M1. Przytaczamy jedynie wzory bez zbytecznych komentarzy.

( ^Ae

^ika

^Be

^ika

) ^Ce

^ik^a

^De

^ik^a

k

_' _'

'

−

= −

−

, (4.1.4)

(12)

(

^ika ^ika

)

^ik^a

a

ik Ae Be De

k

Ce ^' k ^'

'

−

− +

−

= , (4.1.5)

(

^ika ^ika

)

îkâ îkâ

ika

Ae Be De De

k Be k

Ae

^' ^'

'

−

 +



 



 − +

=

+

, (4.1.6)

 

 



 



 



 + +

 

 



 −

=

⁻

−

1 ' 1 '

2

'

1 k Be k

k Ae k

De

îkâ îka îka _, _(4.1.7)

( ) ( )

 

 



 



 



 + +

 

 



 −

=

⁺ ⁻ ⁻

1 ' 1 '

2

1

' '

k Be k

k Ae k

D

ⁱ ^k ^k ^a ⁱ ^k ^k ^a _, _(4.1.8)

( )  





 





 

 



 



 



 + +

 

 



 − +

−

=

⁻ ⁻

1 ' 1 '

2 1 '

'

k Be k

k Ae k

Be k Ae

Ce

^ik^a

k

îka îka îka îka _, _(4.1.9)

 



 

 



 



 − +

 

 



 +

=

⁻

1 ' 1 '

2

'

1 k Be k

k Ae k

Ce

îkâ îka îka _, (4.1.10)

( ) ( )



 



 



 



 − +



 



 +

= ⁻ ⁻ ⁺

1 ' 1 '

2

1 ' '

k Be k

k Ae k

C ⁱ ^k ^k ^a ⁱ^k ^k ^a . (4.1.11)

Składamy (4.1.11) i (4.1.8) w macierz

 



 

= 

 



 



B M A D C

1 , (4.1.12)

gdzie

( ) ( )

.

1 ' 1 '

2 1

' '

1

 





 





 

 



 +

 

 



 −

 

 



 −

 

 



 +

=

+ − −

+

−

k e k

M

a k k i a

k k i

a k k i a

k k i

(4.1.13)

4.2. Macierz przejścia M₂

Oznaczenia (4.1.1) i (4.1.2) nadal są aktualne, ale tym razem mamy do czynienia z wychodzeniem cząstki kwantowej z obszaru podwyŜszonego potencjału (rys.4.4).

(13)

Rys.4.4 Skok potencjału; cząstka kwantowa ma energię większą od „stopnia” bariery.

Jak w poprzednim przypadku wychodzimy z warunków ciągłości funkcji falowej i jej pierwszej pochodnej i dalej prowadzimy obliczenia analogicznie do przedstawionych wcześniej

 



−

=

−

+

= +

−

ikb ikb

b ik b

ik

ikb ikb

b ik b

ik

Fe ik Ee

ik De

ik Ce

ik

Fe Ee

De Ce

' '

'

^' ^'

' '

, (4.2.1)

( ^Ce

^ik^b

^De

^ik^b

) ^Ee

^ikb

^Fe

^ikb

k

k '

^'

−

₋ ^'

= −

₋

, (4.2.2)

(

^ik^b ^ik^b

)

^ikb

ikb

Ce De Fe

k

Ee = k '

^'

−

⁻ ^'

+

⁻

, (4.2.3)

(

^ik^b ^ik^b

)

^ikb ^ikb

b ik b

ik

Ce De Fe Fe

k De k

Ce

⁻ ⁻ ⁻

 +

⁻



 



 − +

=

+

^' ^' ^'

'

, (4.2.4)

 



 

 



 



 + +

 

 



 −

=

⁻

−

k De k

k Ce k

Fe

îkb îk^b îk^b

'

' 1 2 1

1

_' _'

, (4.2.5)

( ) ( )







 



 



 + +



 



 −

= ⁺ ⁻ ⁻

k De k

k Ce k

F ⁱ ^k ^k ^b ⁱ ^k ^k ^b '

' 1 2 1

1 ' '

, (4.2.6)

( )  





 





 



 

 



 



 + +

 

 



 − +

−

=

⁻ ⁻

k De k

k Ce k

De k Ce

Ee

^ikb

k

îk^b îk^b îk^b îk^b

' ' 1

2 1 1

'

_' _' _' _'

, (4.2.7)

 

 



 



 



 − +

 

 



 +

=

⁻

k De k

k Ce k

Ee

îkb îk^b îk^b

'

' 1 2 1

1

_' _'

, (4.2.8)

(14)

( ) ( )

 



 

 



 



 − +

 

 



 +

=

⁻ ⁻ ⁺

k De k

k Ce k

E

ⁱ ^k ^k^b ⁱ ^k ^k^b

'

' 1 2 1

1

_' _'

, (4.2.9)

 



 

= 

 



 



D M C F

E

2 , (4.2.10)

gdzie

( ) ( )

.

1 ' 1 '

2 1

' '

2

 





 





 

 



 +

 

 



 −

 

 



 −

 

 



 +

=

+ − −

+

−

k e k

M

b k k i b

k k i

b k k i b

k k i

(4.2.11)

4.3. Macierz przejścia M3

Teraz rozpatrzymy przypadek, gdy cząstka znajduje się „pod” barierą,

1 0

0 E V

V < < (patrz rys.4.5). Wprowadzamy nowe oznaczenie

( )

^,

1 2

0 1

1= mV −E

ℵ h ^(4.3.1)

dla wektora falowego, gdy x > a; dla x < a dalej obowiązuje (4.1.1). Spełniona jest relacja

1 1

= i ℵ

k

. (4.3.2)

Rys.4.5. Skok potencjału; cząstka kwantowa ma energię mniejszą od wysokości bariery.

PoniŜej prezentujemy jawne przekształcenia prowadzące do elementów macierzy M3

 



ℵ ℵ

+

−ℵ

=

−

+

= +

ℵ ℵ

−

ℵ

−ℵ

−

1

1 ¹ ¹

/ :

1 1

a a

ika ika

a a

ika ika

De Ce

ikBe ikAe

De Ce

Be Ae

, (4.3.3)

( ^Ae

^ika

^Be

^ika

) ^Ce

^a

^De

^a

ik

₁ ₁

1

ℵ ℵ

−

= − +

ℵ −

^, ^(4.3.4)

(15)

(

^ika ^ika

)

^a

a

ik Ae Be De

Ce

¹ ¹

1

ℵ

− ℵ

−

− + +

= ℵ

_, _(4.3.5)

(

^ika ^ika

)

^a ^a

ika

ik Ae Be De De

Be

Ae

¹ ¹

1

ℵ

− ℵ

−

 +





 

 − + +

= ℵ

+

_, _(4.3.6)

 





 





 



 



− ℵ

 +





 

 + ℵ

=

⁻

ℵ

1 1

1 2 1

1

1 ik

ik Be Ae

De

â îka îka _, _(4.3.7)

( ) ( )

 





 





 



 



− ℵ

 +





 

 + ℵ

=

⁻^ℵ ⁻ ⁺^ℵ

1 1

1 2 1

1

₁ ₁

ik

ik Be Ae

D

îk â îk â _, _(4.3.8)

( ) _ ^





 





 





 





 



 



− ℵ

 +





 

 + ℵ +

+ ℵ −

=

⁻ ⁻

ℵ

−

1 1

1

1 2 1

1

1 ik

ik Be Ae

Be ik Ae

Ce

â îka îka îka îka , (4.3.9)

 





 





 



 

 + ℵ

 +





 



− ℵ

=

⁻

ℵ

−

1 1

1 2 1

1

1 ik

ik Be Ae

Ce

â îka îka _, _(4.3.10)

( ) ( )

 





 





 



 

 + ℵ

 +





 



− ℵ

=

⁺^ℵ ⁺^ℵ

1 1

1 2 1

1

₁ ₁

ik

ik Be Ae

C

îk â îk â _, _(4.3.11)

 



 

= 

 



 



B M A D

C

3 , (4.3.12)

gdzie

( ) ( )

.

1 1

2 1

1 1

3

1 1

 







 







 



 



− ℵ

 



 

 + ℵ

 



 

 + ℵ

 



 



− ℵ

=

ℵ +

− ℵ

−

ℵ

−

− ℵ

+

e ik e ik

M

a ik a

ik

a ik a

ik

(4.3.13)

4.4. Macierz przejścia M₄

Stosujemy oznaczenia (4.1.1) oraz (4.3.1). Rozpatrujemy przypadek tunelowanie, który ilustruje rysunek 4.6.

(16)

Rys.4.6. Skok potencjału; cząstka kwantowa ma energię mniejszą od wysokości bariery.

Wyprowadzenie wyraŜeń na elementy macierzy M4

 



−

= ℵ

+ ℵ

−

+

= +

− ℵ

ℵ

−

− ℵ

ℵ

−

ikb ikb

b b

ikb ikb

b b

ikFe ikEe

De Ce

Fe Ee

De Ce

1 1

, (4.4.1)

( ^Ce

^b

^De

^b

) ^Ee

^ikb

^Fe

^ikb

ik

− ℵ

ℵ

−

+ = −

ℵ

₁

−

₁ ₁

, (4.4.2)

(

^b ^b

)

^ikb

ikb

Ce De Fe

Ee = ℵ ik

¹

−

⁻^ℵ¹

+

^ℵ¹

+

⁻ , (4.4.3)

(

^b ^b

)

^ikb ^ikb

b

Ce De Fe Fe

De ik

Ce

⁻^ℵ ^ℵ ⁻^ℵ ^ℵ ⁻

 +

⁻



 



 ℵ − + +

=

+

¹ ¹ ¹

1 1

, (4.4.4)

 



 

 



 



 − ℵ +

 

 



 + ℵ

=

⁻^ℵ ^ℵ

−

De ik Ce ik

Fe

^ikb ^b

1

¹ ^b

1

¹

2

1

₁ ₁

, (4.4.5)

( ) ( )

 



 

 



 



 − ℵ +

 

 



 + ℵ

=

⁻^ℵ⁻ ^ℵ⁺

De ik Ce ik

F

^ik^b

1

¹ ^ik ^b

1

¹

2

1

₁ ₁

, (4.4.6)

( )  





 





 



 

 



 



 − ℵ +

 

 



 + ℵ +

+ ℵ −

=

⁻^ℵ ^ℵ ⁻^ℵ ^ℵ

De ik Ce ik

De ik Ce

Ee

^ikb ¹ ^b ^b ^b

1

¹ ^b

1

¹

2

1

₁ ₁

1

1 ,(4.4.7)

 



 

 



 



 + ℵ +

 

 



 − ℵ

=

⁻^ℵ ^ℵ

De ik Ce ik

Ee

^ikb ^b

1

¹ ^b

1

¹

2

1

₁ ₁

, (4.4.8)

( ) ( )

 



 

 



 



 + ℵ +

 

 



 − ℵ

=

⁻^ℵ⁺ ^ℵ⁻

De ik Ce ik

E

^ik ^b

1

¹ ^ik ^b

1

¹

2

1

₁ ₁

, (4.4.9)

 



 

= 

 



 



D M C F

E

4 , (4.4.10)

(17)

( ) ( )

.

1 1

2 1

1 1

4

1 1

 





 





 

 



 − ℵ

 

 



 + ℵ

 

 



 + ℵ

 

 



 − ℵ

=

+ ℵ

− ℵ

−

− ℵ +

ℵ

−

e ik e ik

M

b ik b

ik

b ik b

ik

(4.4.11)

4.5. Macierz przejścia M₅

Dwie ostatnie macierze opisują przypadek cząstek, przechodzących przez granicę dwóch potencjałów, o energiach mniejszych od wysokości potencjału: E0 < V0 < V1 (rys.4.7).

Stosujemy oznaczenia

( ) ^,

1 2

0

E

V m −

=

ℵ h

^(4.5.1)

( )

^,

1 2

0 1

1 = mV −E

ℵ h ^(4.5.2)

które będą obowiązywać w tym i następnym podrozdziale.

Rys.4.7. Skok potencjału; cząstka kwantowa ma energię mniejszą od wartości potencjału na dnie bariery.

Środowisko programowe do symulacji zjawiska tunelowania

Wydział Podstawowych Problemów Techniki