P rz y stą p m y do ro zp a trz e n ia bilansu cieplnego w a rstw y 2 świecącej, k tó ra z n a jd u je się m iędzy w sadem w y sy łający m prom ieniow anie Ea, a w a rstw ą 1 o te m p e ra tu rz e w yższej, odpow iadającej prom ieniow aniu czarnem u E n . P o nad w arstw ą 1 p rz y jm u je m y istnienie stro p u w ysyłającego prom ieniow anie E0.
P rz y założeniu, że w a rstw a rozciąga się bez ograniczeń oraz że te m p e ra tu ry są w yrów nane w p rze strz e n i w arstw , m ożna przeprow adzić obliczenie d la jed n o stk i pow ierzchni. Rów nież odległości p rz y ty m za ło żeniu nie od g ry w ają roli, gdyż zawsze prom ieniow anie jednej w arstw y n a rta fi n a w arstw ę d ru g ą od d alo n ą o skończoną długość.
R ozw ażm y p rzy p a d e k , gd y stro p je s t doskonale izolow any. W p r z y p a d k u ty m całkow ite prom ieniow anie p a d a ją c e n a stro p ulega absorpcji, a n a stę p n ie w p o staci w tórnej em isji przechodzi z pow ro tem w' kierunku w sadu ja k o prom ieniow anie rozproszone. P rz y ty m zan ik a zniekształcający wpływ' ab so rp cji zaw iesin n a ro zkład p rom ieniow ania p rzestrzennego.
R o zw ażania nasze rozpoczniem y od em isji w sadu. P rz y jm u je m y , że w sad i stro p p ro m ie n iu ją jak o ciała czarne.
O znaczym y:
Ą , — k c a l/m 2h — prom ieniow anie czarne odpow iadające te m p e ra tu rze stro p u ,
E1 — kcal/m 2h — p rom ieniow anie czarne o dpow iadające te m p e ra tu rz e wra rstw y 1,
E 2 — k cal/m2 h = prom ien iow an ie czarne odpow iadające te m p e ra tu rz e w a rstw y 2,
— k cal/m 2h - p rom ieniow anie czarne o dp ow iadające te m p e ra tu rz e w sadu,
qnm — k c a l/m 2h — prom ieniow anie po przejściu przez w arstw y p o c h ła n iające, p rz y czym w sk aźnik n określa pochodzenie p rom ieniow ania, m zaś w arstw ę a b so rb u ją cą , n a p rzy k ła d qU2 określa prom ieniow anie w ysyłane przez w arstw ę 1 po ab so rp cji przez w arstw ę 2.
W sad w ysyła prom ieniow anie rozproszone o n a tę ż e n iu E a (rys. 10).
P rom ieniow anie to po p rzejściu przez warstw-ę 2 ulega osłabieniu osiągając w arto ść:
#3,2 — % ' % '
P rzechodząc n astęp n ie przez w arstw ę 1 ulega ono dalszem u osła
bieniu osiągając w artości:
5 3 ,1 + 2 = A V @ (1+ 2) ■
R ys. 10. W ykres S an k eya w y m ia n y prom ieniow ania w u kładzie dw óch w arstw św ie cą cy ch zaw a rty ch m ięd zy d oskonale p och łan iającym w sadem i d oskonale izolow anym stropem : A — strop; B — w arstw a pierw sza w y sy ła ją ca prom ieniow anie; C — w arstw a druga p ośrednicząca; D — w sad; 1 — d op ływ ciep ła do w arstw y pierw szej; 2 — pro
m ieniow anie w y sy ła n e przez w sad; 3 — prom ieniow anie w sadu zw racane przez strop:
4 — prom ieniow anie w a rstw y p ierw szej; 5 — zw rot przez strop prom ieniow ania w arstw y p ierw szej; 6 — prom ieniow anie w arstw y d ru giej; 7 — zw rot przez strop prom ieniow ania w arstw y d ru giej; 8 — prom ieniow anie w tórne w arstw y d ru giej; 9 — zw rot przez strop prom ieniow ania w tórnego w arstw y drugiej; 10 — zw rot do w sad u w łasnego prom ieniow a
nia; 11 — d o p ły w do w sad u prom ieniow ania w arstw y pierw szej; 12 — d op ływ do w sadu prom ieniow ania w arstw y pierw szej zw róconego przez strop; 13 — prom ieniow anie w a r
s tw y drugiej d op ływ ające do w sadu; 14 — d op ływ do w sad u prom ieniow ania w arstw y drugiej zw róconego przez strop; 15 — d op ływ do w sad u prom ieniow ania drugorzędnego w arstw y drugiej; 16 — d o p ły w do w sad u prom ieniow ania drugorzędnego w arstw y d ru
giej zw róconego przez strop
D zia ła n ie 'płom ienia świecącego jako czyn n ik a przenoszącego ciepło
\ / , 77 P rom ieniow anie to uleg a abso rpcji i znów pow tórnej em isji. P o przejściu p o w ro tn y m przez warstwa; 1 osiąga w arto ść:
2 3 ( 1 + 2 + 1 0 = ^ ' 3 [ 0 ( l + 2 ) ] ' @1 ?
n a to m ia s t po przejściu przez obie w arstw y :
<Z3, ( l + 2 + l / + 2 ' ) = ® 3 [ ^ ( l + 2 ) ] 2
-Z prom ien iow ania tego p o ch łan ia w a rstw a 2 p rz y przejściu od w sadu do stro p u w ielkość:
-®3 23,2 —-®3(1 ^2) oraz p rz y drodze p o w ro tn ej:
0.3 ( 1 + 2 + 1 0 ~~ 03 ( l + 2 + x ' + 2 0 = -®3 • 0 ( 1 + 2 ) [ 0 1 — 0 ( 1 + 2 ) ] .
W a rstw a 1 w y sy ła n a o b u sw ych pow ierzchniach prom ieniow anie w ilości:
i i = ^ i [ l - . 0 i ] .
P rom ieniow anie w ysyłane przez w arstw ę 1 w k ieru n k u stro p u w ilości q1 pow raca i u leg a w w arstw ie 1 częściowej abso rp cji osiągając w arto ść:
21>1= -E1[1 - 0 1] -01 .
P rom ieniow anie to su m u je się z prom ieniow aniem w y sy łan y m b ez
pośrednio przez w arstw ę 1 i d latego osiąga w artość:
2i ,i / = -® i(l~ "^ i)' ( l + 0i)= -® i(l — 0i).
Z ró w n an ia tego w y n ik a, że ścian a doskonale izolow ana pow iększa zdolność em isji, i to ty m lepiej, im w iększą w artość p rz y jm u je fu n k cja
Poniew aż prom ieniow anie bezpośrednie p o siad a in n y ro zk ład p rz e strz e n n y niż o d b ite, nie m ożem y ich bezpośrednio dodaw ać p rz y ro z p a try w a n iu ab so rp cji w a rstw y 2. P rom ieniow anie bezpośrednie po przejściu przez w arstw ę 2 osiąga bow iem w artość:
2 l , 2 = ^ ,l [ 0 2 ~ _ ^ ( 1 + 2 ) ] }
n a to m ia s t o d b ite w y ra ż am y przez
0l',Z = E 1( l — 0 i) ■ 0(1+2).
D o d a ją c te dw ie w arto ści o trz y m a m y po uproszczeniu:
2i . a ' + 2 i',a = E 1{<I>2 — 0 1 ■ 0 (1+ 2)).
Z p rom ieniow ania tego w arstw a 2 ab so rb u je ilości w yrażone przez:
2 i , i ' 2 i ,2 ~ i i',2 = - ® i ( 1 0 2+ ^ i ’0(1+2) — 0 i )
-Ogółem w a rstw a d ru g a ab sorbuje:
^ ¡ [ ł ~ 0 2 ~t~ 0 (1 + 2 ) ‘ ( 0 1 — 0 (1 + 2 ))] + - ® l [ l — 0 2 — 0 1 ( 0 t — 0 ( i+ 2 ) ) J .
Poniew aż w edług założenia w arstw a 2 pozostaje w rów now adze cieplnej, p rzeto całkow ita energia zaabso rbow ana m usi zostać w yprom ie- niow ana. Z tego połow a prom ien iu je w k ierunku w sadu, gdzie ulega absorp cji, n a to m ia st d ru g a połow a w yprom ieniow ana w k ieru n k u stro p u , przechodzi przez w arstw ę 1, gdzie ulega częściowej absorpcji i dochodzi do stro p u , s tą d po ab so rp cji i em isji z pow rotem przechodzi przez obie w arstw y u legając dalszem u osłabieniu. E nergia dochodzi wreszcie do
w sadu, gdzie zo staje o statecznie zaabsorbow ana.
J e d n o stro n n e prom ieniow anie p o siad a w artość:
g2= 7i2( l —0 2) = ^{_E3[1 — 02 + 0(1+2)- (0 1 — 0(1+2))] + +2?1[1 - 0 2- 0 1(0i - 0(1+2))]}.
Do ro zw ażan ia przebiegu absorp cji drugiej połow y prom ieniow ania p o trz e b n a nam jest w artość:
-®2 = 2 (1 "11 0 ) ~ 0 2 + 0(1+2) ■ (0 1 — 0(1+2))] + + E i [ l — 0 2 —0 j ( 0 1 — 0(1+2))]}.
Do strop u dopływ a n a s tę p u ją c a ilość energii prom ieniow ania:
32,1=-£<2 [ 0 1 — 0(1+2)];
z ilości tej dopływ a do w sad u:
32', 1' ~ E 2 ’ [0 1 — 0(1+2)] ' 0(1+2) (17 b ) oraz do w arstw y drugiej:
q 2 1 , — 0 a+2)) ■ 0 j .
Różnica ty ch w artości określa prom ieniow anie p ochłonięte przez w a r
stwę. d rug ą:
g2,l' S2'.l/ = ®2(01 0(1+2) )2;
połow a tej w arto ści dopływ a znow u do w sadu:
g . 2 , l ' - g ? ' . l ' ^ ^ . 1 ( 0 i _ 0 ( i + 2 ) ) 2 , ( 1 7 o
gdy ty m czasem d ru g a połow a dochodzi, do w sadu po częściowej absorpcji.
T u ta j o znaczam y:
K = E * 2 (i Z"&2) ‘ (0i ~ 0d+2
))2-D zia ła n ie p ło m ien ia świecącego jako czy n n ik a przenoszącego ciepło 79 Z tego dopływ a do wsadu n a s tę p u ją c a ilość:
E il& l ~ 0(1+2)] ' 0(i+2V Po w staw ieniu w arto ści za E'z o trz y m am y w yrażenie:
¿ V 2 . ( iZ T g g (0i - 0cx+2))8• 0<i+«- (17d) W ty m cyklu pochło n ięte przez w arstw ę d ru g ą prom ieniow anie zo staje znow u w połowie w ysłane w k ieru n k u w sadu w ilości:
Ej, ■ - (0 , — &a+i))2= E 2 ■ ( ^ i ~ ^ d +2))4- (17 e) R eszta dopływ a do w sadu po ab so rpcji w w arstw ie pierw szej i p o w tórnej em isji przez s tro p i osłabieniu w w arstw ie pierw szej i drugiej. P o d obn ie ro zum u jąc o trz y m a m y dalsze człony p rom ieniow ania w a rstw y drugiej:
® 2 0 ' (^ i ~ ^ d +2))5 ’ <£(1+2) ? (17f)
®2‘ 8 (1 , ' ą y , ' - ^ d +2))6. (17g)
W arto ści ty c h członów p rom ieniow ania tw o rzą ciąg zbieżny, całkow ite zaś prom ieniow anie je s t szeregiem zbieżnym . D a się go z a stą p ić dw om a szeregam i g eom etrycznym i. W y ra z y p a rz y ste począw szy od w yrażenia (17b) tw o rzą jeden szereg o w yrazie pierw szym :
al = E 2 ' ( 0 , ~ 0(1+2)) • <^(1+2) ł
oraz czynniku potęgow ym :
m \ = 2 ( 1 - 0 ?) ‘ ( 0 1 ~ 0 <1 + 2 >)2- ,
O kreślim y go:
n—oo n—oo
a i ■ W 1 = ^ E 2( 0 , — 0(1+2)) • 0(1+2) • I2• ( 1 — 0 ?) ’ ~~ ^ < 1 + 2 >)2 •
«=0 «=0
Szereg drugi tw o rzą w yrazy n iep a rzy ste począw szy od w y rażenia (17 c) W yraz pierw szy szeregu p o sia d a p o sta ć :
(l2 — E 2- \ *(0, 0 ( 1+2))2 oraz czynnik potęgow y:
1 1
80 Z b i g n i e w W e r n i c k i
W arto ść szeregu geom etrycznego nieskończonego m alejącego określam y ró w naniem :
n=oo
x ’ a
> a -m " = .
' 1 — TO
n—0
Sum a w artości obu szeregów o kreśla całkow itą ilość ciepła doprow a
d zo ną przez prom ieniow anie do w sad u :
(18)
_ 77i / — ^(1+2)) • 0(1+2) , — ^(l+2))2
> q2= Ł 2{ \ — CP2)H i---1--- ^--- ,
po uproszczeniu:
X 1 ~ yr 071 TO ^2~b^(l+2)' (^1 ^(1+2)) n i l 2 4 , - Ą . 2(1 - * , ) 2 (1 _ (Pi| _ ((Pi _ . (19)
W ogólnym bilansie w sad w y sy ła prom ieniow anie w ilości —i/3, o trz y m u je przez zw rot p rom ieniow ania własnego +-Z?3- (0 (i+2))2, przez prom ieniow anie w arstw y pierwszej -Jr E 1( 0 2 — 0 i-0(i+2)), oraz przez prom ieniow anie w arstw y drugiej:
+ ^ {1 - 0, - 0X - 0(1+2
))}]-Ciepło dostarczo n e do w sadu o kreślam y po uproszczeniu końcow ym ró w n a n ie m :
« - w - » » - , 20)
E ó w n an ie (20) je s t dogodne do obliczeń, je d n a k nie m ożna z jego pom ocą w yznaczyć w artości q, w p rz y p a d k u g d y lc2s2= 0 , a więc jeśli w arstw a d ru g a je s t zupełnie p rzeźroczysta, wówczas 0 2 p rzy jm u je w artość:
0 2 = 1 oraz 0 (i+2) = 0
i-P rz y ty c h w artościach w yrażenie %p p rzy jm u je w arto ść sym bolu nie oznaczonego $ . W celu obliczenia tej w artości p rzekształcim y w yrażenie w naw iasie ip dzieląc licznik przez m ianow nik. O trzy m am y w ted y:
_ 2 • 0 , • 0(i+2) • (1 — 0 2) + (1 — 0ą)2 W~ 2 - ( l - 0 2) - ( 0 1- 0 O+2))2, •
D zia ła n ie p ło m ie n ia świecącego jako czyn n ik a przenoszącego ciepło 81 W iem y, że
<Zlim>a—>1
2 • 0(1-t-2) • ( 1 — 02) + ( 1
-2 - ( l - 0 -2) - ( 0 1 - 0 (1+2)) 2/ = 0 !.
poniew aż drugie potęgi (1 —0 2)2 i (0 i — 0 (i+2))2 dążą szybciej do zera niż (1 —0 2), z atem m ożem y je opuścić p rz y przejściu do granicy, p rzy czym o trz y m u je m y :
yVi.=<. = ( i - 0 1); (21)
je s t to w yrażenie o trz y m an e p o przednio dla prom ieniow ania w arstw y pierw szej w zm ocnionej przez odbicie stro pu .
W dru g im sk ra jn y m p rz y p a d k u , jeśli fc2s2 = o o i w arstw a druga jest zupełnie n ieprzeźro czysta, o trz y m u je m y :
tPkt 'St = o o 0i
0i'
(2 2)
Je śli rów nież pierw sza w a rstw a je s t nieprzeźroczysta, a więc & iSi=oo oraz 0 i = O , prom ieniow anie dochodzące do w sadu stanow ić będzie połowę prom ieniow ania w ychodzącego z w arstw y pierw szej:
(¿COOO— (-&1 ^3) "ff •
W y n ik a to z fa k tu , że w arstw a d ru g a p o ch łan ia całkow icie p ro m ienio w anie w a rstw y pierw szej, w ysy łając n a stę p n ie połowę w k ieru n k u w sadu, resztę zaś w k ie ru n k u w arstw y pierw szej. To sam o dzieje się z prom ienio
w aniem w sadu. O w pływ ie n ieprzeźroczystej w a rstw y d rugiej, p rz y częścio
wej p rzeźroczystości w arstw y pierw szej, m ożem y się p rzeko n ać dzieląc rów nanie (22) przez (21). O trzy m a m y wówczas sto sunek prom ieniow ania dopływ ającego do w sadu za pośred n ictw em w arstw y drugiej do prom ienio
w an ia w ysyłanego przez w arstw ę pierw szą:
M 1 (23)
2 — 0 J
W yrażen ie to zm ienia się od 1 p rz y 0 , = 1 do j p rzy 0 X = 0 (patrz ta b l. 2). W y n ik a z niego, że w arstw a d ru g a ty m intensy w niej chroni przed p ro m i en i o wari i ern. im w iększa je s t zdolność emisji w arstw y pierw szej.
T a b l i c a 2 Zależność M = /'(</>,)
0 ! 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 0,95 1,00
M 0.500 0,510 0.544 0.610 0.736 0.841 0.913 1.000
Podobnie do w arstw nieprzeźro czy stych zachow ują się e k ra n y z u tle nio nych p ły t m etalow ych.
M ech anika zesz. 2 6
Może jeszcze zajść trzeci s k ra jn y p rzy p a d e k : m ianow icie, jeśli w arstw a pierw sza je s t nieprzeźroczysta albo jej działanie z astęp u je p ro m ien iujący strop , wówczas fc1s1 = oo, zaś <!\ = 0 oraz d>(1+£) = 0. D la tego p rzy p ad k u fu n k cja rp z ró w n an ia (2 0) p rz y jm u je p o stać:
T a b l i c a 3 W artości funkcji y w zależności od k 1s i i k 2s2
kiSi
kzSt 0,1 0,2 0,4 0,6 1,0
00 1
0 0,306 0,508 0,736 0,856 0,952 1,000
0,2 0,289 0,459 0,645 0,736 0,814 0,852
0,4 0,274 0,430 0,587 0,665 0,726 0,758
0,6 0,266 0,406 0,545 0,611 0,664 0,689
1,0 0,255 0,380 0,496 0,550 0,588 0,610
00 0,236 0,337 0.425 0,461 0,487 0.500
W arto ści fu n k cji y> w zależności od k1s1 i k2s2 podano n a ry su n k u LI i na ta b lic y 3. Z dan y ch tej tab lic y w idać osłabiający wpływ w arstw y drugiej na w ym ianę prom ieniow ania.
q = ( E i- E J ■ y> y=/(fci«i,fe2s2)
R ys. 11. W spółczynnik rp w y m ia n y prom ieniow ania p o m iędzy w arstw ą św iecącą a w sadem , p rzy uw zględnieniu
w p ływ u w a rstw y przysłaniającej
D zia ła n ie p ło m ien ia świecącego -jako czyn n ika przenoszącego ciepło 83 R ów nanie (18) określa całkow ite prom ieniow anie
warstwy
drugiej.¡Składa się ono z trz e ch członów. P ierw szy z nich określa prom ieniow anie w ysłane w k ieru n k u w sad u k o sztem pochłoniętego prom ienio w ania w y syłanego przez w sad i w arstw ę pierw szą. Człon d ru g i określa część p ro m ieniow ania w ysyłanego przez w arstw ę d ru g ą w k ieru n k u stro p u , k tó ra po d w u k ro tn y m p rzejściu przez w arstw ę pierw szą i w arstw ę d ru g ą d o ciera do w sadu. W reszcie człon trz e ci p o d a je część prom ieniow ania w a r
stw y drugiej w ysłanej w k ieru n k u stro p u , w drodze p o w rotn ej p o chło niętej przez w arstw ę d ru g ą i jak o prom ieniow anie w tó rn e w ysłanej w k ie ru n k u w sadu. S u m a członu pierwszego i trzeciego określa całkow ite p ro m ieniow anie w a rstw y drugiej w k ieru n k u w sad u i pozw ala n a obliczenie te m p e ra tu ry w a rstw y d rug iej. B iorąc to w szystko p o d uw agę o trzy m am y wzór:
1 (<?>!-0(1+2) V2
‘2- 1
E '*(l -<Ż>2) = E 2 0 2
P o w staw ieniu w arto ści E 2 z ró w n an ia (17a) i uproszczeniu d o stajem y zależność:
r = 1__________
' 2 2( l - 0 2) - ( i )1- i > (1+2))2
• { E 3[ 1 - 0 2+ 0 CL+2){0 1 - 0 a+2) ) ] + E 1 [ l - 0 2- 0 , ( 0 1 - 0(1+2))]}- (24) B iorąc p o d uw agę, że w m yśl p ra w a S tefan a-B o ltzm an n a
<25) obliczym y śred n ią te m p e ra tu r w a rstw y drugiej.