Pomimo że obserwacja ekwiwalentów pewności dostarcza nam wskazó wek dotyczących poglądów jednostki na temat ryzyka, ekonomiści w celu
2
D
lac
z
e
g
o i
n
te
re
su
je n
a
s r
y
z
y
k
o
opracowania modeli postępowania wobec niego pragną większej precy zji w jego pomiarze. współczynniki awersji do niego stanowią naturalne rozwinięcia funkcji użyteczności przedstawionych we wcześniejszej czę ści tego rozdziału. w przypadku kiedy związek pomiędzy użytecznością a bogactwem możemy określić w postaci funkcji, współczynnik awersji do ryzyka mierzy, ile użyteczności zyskujemy (bądź tracimy) w miarę wzro stu (bądź spadku) naszego bogactwa. miarą tego powinna być pierwsza pochodna funkcji użyteczności (dU/dW lub U’), jednakże jest ona przypo rządkowana jednostce i nie może być porównywana pomiędzy jednostka mi posiadającymi różne funkcje użyteczności. Aby poradzić sobie z tym problemem, Pratt i Arrow zaproponowali, abyśmy przyjrzeli się drugiej pochodnej funkcji użyteczności, która to pochodna mierzy, w jaki sposób zmiany w samej użyteczności (wraz ze zmianami w bogactwie) zmieniają się jako funkcja poziomu bogactwa. następnie podzielili ją przez pierwszą pochodną w celu otrzymania współczynnika awersji do ryzyka5. Liczba ta będzie dodatnia dla inwestorów z awersją i będzie wzrastać wraz z jej stopniem.
absolutna awersja do ryzyka ArrowaPratta = –U’’(W)/U’(W) zaletą tej formuły jest to, że w celu wyciągnięcia wniosków dotyczą cych różnic w awersji do ryzyka, możemy ją porównać w odniesieniu do różnych jednostek o różnych funkcjach użyteczności.
możemy również rozgraniczyć pomiędzy tym, jak reagujemy na zmia ny absolutne w bogactwie (na przykład dodatkowe 100 dolarów) oraz na zmiany proporcjonalne w bogactwie (na przykład 1-procentowy wzrost bogactwa), przy czym pierwszy rodzaj reakcji mierzy absolutną awersję do ryzyka, drugi zaś relatywną awersję do ryzyka. malejąca absolutna awersja do ryzyka wskazuje, że wielkość bogactwa, którą skłonni jeste śmy narazić na ryzyko, wzrasta wraz ze wzrostem bogactwa, malejąca relatywna awersja do ryzyka zaś wskazuje, że część bogactwa, którą je steśmy skłonni narazić na ryzyko, wzrasta wraz ze wzrostem bogactwa. w przypadku stałej absolutnej awersji do ryzyka wielkość bogactwa, którą narażamy na ryzyko, pozostaje stała w miarę wzrostu, część bo gactwa zaś pozostaje niezmienna w przypadku stałej relatywnej awersji do ryzyka. wreszcie, w przypadku rosnącej absolutnej awersji do ryzyka w miarę, jak stajemy się bogatsi, jesteśmy skłonni zaryzykować coraz mniejszą część majątku oraz posiadane części bogactwa w przypadku rosnącej relatywnej awersji do ryzyka. zgodnie z pomiarami Arrowa
5 J.w. Pratt, Risk Aversion in the Small and in the Large, „Econometrica” 1964, Vol. 32, s. 122–136; k. Arrow, Aspects of the Theory of Risk-Bearing, yrjö Hahnsson Foundation, Helsinki 1965.
r
yz
y
k
o
s
tr
a
te
g
ic
z
n
e
i Pratta relatywną awersję do ryzyka możemy zapisać w sposób nastę pujący:relatywna awersja do ryzyka Arrowa i Pratta = –WU’’(W)/U’(W) gdzie:
W = poziom bogactwa
U’(W) = pierwsza pochodna użyteczności dla bogactwa mierząca, w jaki
sposób zmienia się użyteczność wraz ze zmianami bogactwa
U’’(W) = druga pochodna użyteczności dla bogactwa, mierząca, w jaki
sposób zmiany w samej użyteczności zmieniają się wraz ze zmianami bogactwa
Powyższą koncepcję można przedstawić, wykorzystując funkcję loga rytmiczną użyteczności.
U = ln(W) U’ = –1/W U’’ = –1/W2
współczynnik absolutnej awersji do ryzyka = U’’/U’ = 1/W współczynnik relatywnej awersji do ryzyka = 1
Logarytmiczna funkcja użyteczności przedstawia więc malejącą abso lutną awersję do ryzyka (w miarę wzrostu bogactwa jednostki inwesto wać będą większe kwoty pieniężne w ryzykowne aktywa) oraz stałą re latywną awersję do ryzyka (w miarę bogacenia się jednostki inwestować będą taki sam procent swojego majątku w aktywa ryzykowne).
w praktyce większość modeli ryzyka oraz stopy zwrotu opiera się na konkretnych założeniach dotyczących absolutnej oraz relatywnej awersji do ryzyka oraz założeniu, czy wraz ze wzrostem lub spadkiem bogactwa pozostają one stałe, rosnące czy też malejące. dlatego też wypadałoby, aby użytkownicy tych modeli byli przynajmniej świadomi podstawowych założeń dotyczących awersji do ryzyka w poszczegól nych funkcjach użyteczności. załącznik do niniejszego rozdziału zawie ra krótkie wprowadzenie do najczęściej używanych w praktyce funkcji użyteczności.
w kontekście szacowania współczynników awersji do ryzyka nale ży przedstawić jeszcze jedną kwestię. miary awersji do ryzyka Arrowa i Pratta mierzą zmiany w użyteczności dla niewielkich zmian w bogac twie i dlatego też są miarami lokalnej awersji do ryzyka, nie zaś miara mi globalnej awersji do ryzyka. krytycy podnoszą następujące kwestie w związku z powyższymi miarami awersji do ryzyka:
miary z
z awersji do ryzyka mogą się znacznie różnić dla tej samej osoby, w zależności od rozmiarów zmiany w bogactwie. tak jak już wspo mnieliśmy przy omawianiu małych oraz dużych zakładów (podrozdział
2
D
lac
z
e
g
o i
n
te
re
su
je n
a
s r
y
z
y
k
o
Użyteczność a bogactwo – jestem bogaty, ale czy jestem szczęśliwy?),
niektórzy ekonomiści podnoszą, że jednostki zachowują się zupełnie inaczej w przypadku małych zakładów (gdzie narażona jest mniejsza część ich bogactwa) niż w przypadku dużych zakładów.
w pracy dotyczącej konwencjonalnych miar z
z awersji do ryzyka ross
twierdzi, że aksjomaty Arrowa i Pratta dotyczące awersji do ryzyka mogą przynosić rezultaty sprzeczne z intuicją, zwłaszcza gdy jednost ki muszą wybierać pomiędzy dwiema ryzykownymi opcjami, i podaje dwa przykłady. w pierwszym przykładzie, w którym dwóch inwesto rów – jeden o mniejszej awersji do ryzyka (w pojęciu ArrowaPratta) niż drugi – postawionych zostanie przed wyborem pomiędzy dwo ma ryzykownymi aktywami; inwestor o mniejszej awersji do ryzyka może w rzeczywistości zainwestować mniej (nie zaś więcej) w ryzy kowniejsze aktywa niż inwestor o większej awersji do ryzyka. w dru gim przykładzie osoby o większej awersji do ryzyka (znów w pojęciu ArrowaPratta) mogą zapłacić mniej za częściowe zabezpieczenie przeciwko danemu ryzyku niż inwestorzy o mniejszej awersji do ry zyka. Argumentacja, którą przedstawia w postaci intuicji, jest prosta: miary Arrowa i Pratta są zbyt słabe, aby dokonać porównania pomię dzy inwestorami posiadającymi różne funkcje użyteczności, w przy padku gdy nie istnieje alternatywna opcja nieniosąca ze sobą ryzyka. ross postuluje przyjęcie pełniejszej wersji współczynnika awersji do ryzyka, która to wersja uwzględniałaby różnice globalne6.
twierdzenie, że pomiar awersji do ryzyka jest istotny dla sposobu, w jaki pojmujemy ryzyko oraz nim zarządzamy, nie budzi większych kon trowersji; istnieją jednak dwa problemy dotyczące wykorzystania tego twierdzenia w praktyce. Pierwszy: czy możemy wiarygodnie oszacować współczynniki awersji do ryzyka, gdy większość osób nie jest pewna do kładnej formy ani parametrów swojej funkcji użyteczności w odniesieniu do bogactwa? drugi: czy współczynniki awersji do ryzyka, nawet jeśli dają się zaobserwować w pewnym segmencie bogactwa, mogą być uogól niane, tak aby objąć wszystkie wybory związane z ryzykiem?