Wydłużanie modelu

W swojej pracy Van Disseldorp et al. [159] wykazali, iż modelowanie tętniaków aorty brzusznej w zbyt wąskim przedziale obrazowania prowadzi do zaniżenia estymowanych wartości naprężeń w modelu. Zjawisko to ma dwojakie przyczyny – po pierwsze, zignorowanie podczas rejestracji zdrowych fragmentów aorty i modelowanie wyłącznie patologicznego odcinka prowadzi do pominięcia efektów rozszerzenia aorty na odpowiedź mechaniczną modelu. Po drugie, przeprowadzenie symulacji numerycznej wymaga utwierdzenia (odebrania stopni swobody) węzłów w skrajnych warstwach modelu (rozdział 4.4). Tak zdefiniowane warunki brzegowe są propagowane na kolejne warstwy modelu i powodują sztuczne ograniczenie przemieszczeń węzłów w tych warstwach.

Zalecane przez autorów rozwiązanie to wykorzystanie modelu obejmującego tętniak oraz fragmenty zdrowej aorty z obu jego stron. Ponadto, jeżeli rzeczywiste obrazy nie są dostępne, w celu ograniczenia wpływu warunków brzegowych należy sztucznie wydłużyć model z obu stron tętniaka.

74 W opisywanych doświadczeniach szczególną uwagę, podczas rejestracji danych obrazowych, poświęcono uzyskaniu danych obejmujących zarówno patologiczny odcinek aorty, jak i jej fizjologiczne fragmenty z obu stron tętniaka. Ponadto, podczas budowy modeli MES, skrajne warstwy modelu z obu jego stron powielono dziesięciokrotnie, uzyskując w ten sposób bufor niwelujący wpływ warunków brzegowych na model (Rysunek 24).

Owe dodatkowe fragmenty modelu są pomijane podczas liczbowej analizy wyników modelowania (Rozdział 5).

Rysunek 24. Sztucznie wydłużony model zewnętrznej powierzchni tętniaka: czerwony - efekt obrazowania, niebieski - dodatkowe warstwy.

75 4.3.6. Próbkowanie konturów i triangulacja

Kolejnym etapem przetwarzania jest przekształcenie ciągłych konturów, wyekstrahowanych z poszczególnych przekrojów aorty lub jej tętniaka, w trójwymiarowy model powierzchniowy danego obiektu opisany trójkątną siatką. W tym celu analizowane są serie par konturów opisujących poszczególne elementy aorty lub jej tętniaka w konkretnych przekrojach, np. zewnętrzne i wewnętrzne krawędzie ściany tętniaka.

Zakładając, że X={x1…xn} i Y={y1…yn} to zbiory zawierające odpowiednio ciągłe kontury zewnętrznej (xi) i wewnętrznej powierzchni (yi) obiektu, konieczne jest ich spróbkowanie do dyskretnej postaci xi(m) i yi(m). W tym celu kontury zostały spróbkowane jednorodnie, zakładając maksymalną odległość między punktami równą 2mm (Rysunek 25).

Rysunek 25. Przykładowe kontury zewnętrznej krawędzi tętniaka spróbkowane co 2 mm

76 Następnie, dysponując dyskretnymi reprezentacjami konturów, konieczne jest zdefiniowanie trójkątów, o wierzchołkach w spróbkowanych wcześniej punktach, które opisują wewnętrzną, zewnętrzną, górną i dolną krawędź analizowanego obiektu.

Procedura triangulacji jest prowadzona iteracyjnie dla par kolejnych konturów opisujących zewnętrzną (xi i xi+1, dla i=1:n-1) i wewnętrzną (yi i yi+1, dla i=1:n-1) krawędź przekroju, a także dla skrajnych krawędzi obu powierzchni (x1 i y1) i (xn i yn).

Siatka definiująca powierzchnię łączącą dwa zamknięte kontury a={a1,…am} i b={b1,…bm} jest wyznaczana w następujący sposób:

1: Znajdź parę punktów [ai,bj] o najmniejszej odległości euklidesowej:

2: Posortuj kontury a i b tak, aby elementy ai i bj były odpowiednio ich pierwszymi elementami 3: Zdefiniuj tymczasowe indeksy p=0,q=0 oraz segment |ap,bq|

4: Dopóki p<m i q<n:

5: Jeżeli |ap,b(q+1)%n|<|a(p+1)%m,bq|:

6: Dodaj do listy trójkątów trójkąt {ap,bq,b(q+1)%n} 7: Zaktualizuj indeks q: q=q+1

8: Jeżeli |ap,b(q+1)%n|≥|a(p+1)%m,bq|:

9: Dodaj do listy trójkątów trójkąt {ap,a(p+1)%m,bq } 10: Zaktualizuj indeks p: p=p+1

Rysunek 26 prezentuje procedurę wyznaczania siatki trójkątnej estymującej powierzchnię pomiędzy dwoma zamkniętymi konturami. Czerwony odcinek odpowiada najkrótszej odległości pomiędzy konturami, niebieskie odcinki to krawędzie trójkątów dodanych do siatki, fioletowy odcinek odpowiada jednej z potencjalnych krawędzi kolejnego trójkąta, rozpatrywanej w krokach 5. i 8. powyżej.

Rysunek 27 przedstawia przykładową kompletną siatkę trójkątnych dla jednej z powierzchni tętniaka aorty brzusznej.

77

Rysunek 26. Procedura wyznaczania siatki trójkątnej dla dwóch sąsiednich konturów

Rysunek 27. Przykładowa siatka trójkątna opisująca zewnętrzną powierzchnię tętniaka

78

4.4. Modele MES i analiza

Analiza MES modeli aorty i tętniaków została przeprowadzona za pomocą oprogramowania Symulia Abaqus dzięki grantowi obliczeniowemu Poznańskiego Centrum Superkomputerowo-Sieciowego.

W pierwszym etapie obiekty trójwymiarowe, opisane trójkątnymi siatkami powierzchniowymi poddawano procedurze dzielenia na przestrzenną siatkę elementów trójwymiarowych (ang. mesh). Do reprezentacji obiektów wybrano czworościenne elementy (tetrahedrony) w ujęciu hybrydowym. Podczas procesu generowania siatki docelowy, średni rozmiar elementu miał wartość 2mm. Wartość ta zapewniała tworzenie regularnych elementów przy jednoczesnym zachowaniu ich nienadmiarowej liczebności – takie optimum pozwalało na przeprowadzenie obliczeń wytrzymałościowych w rozsądnym czasie. Następnie dla modelu określono warunki brzegowe oraz dodatkowe ograniczenia. Skrajne warstwy aorty lub tętniaka zostały utwierdzone poprzez odebranie wszystkim węzłom w końcowych warstwach translacyjnych stopni swobody. Ponadto, wszystkim węzłom modelu odebrano możliwość translacji w osi Z, co miało na celu odzwierciedlenie oporu stawianego przez inne narządy w organizmie. W modelach zawierających więcej niż jedną warstwę (trójwarstwowy model aorty i dwuwarstwowy model tętniaka) reakcja pomiędzy powierzchniami poszczególnych warstw była modelowana poprzez nałożenie odpowiednich więzów na stykające się powierzchnie. Powierzchnie te zostały ze sobą sztywno związane – oddawało to zachowanie się między sobą poszczególnych komponentów naczynia w warunkach naturalnych. Obciążenie modelu było zadawane jako jednorodne ciśnienie wywierane na wewnętrzną powierzchnię analizowanego obiektu. Jako wartość ciśnienia przyjęto 15998 Pa, odpowiadających 120mm Hg, czyli normatywnemu ciśnieniu systolicznemu krwi. Należy tu zauważyć, iż osoby chorujące na tętniaka aorty brzusznej podlegają obowiązkowej kontroli ciśnienia tętniczego i jeśli wartość nadmiarowa wystąpi, to jest ona farmakologicznie obniżana. Można zatem przyjąć, iż wszycy pacjenci wykazywali co najwyżej ciśnienie normalne krwi.

79

4.5. Wyznaczanie naprężenia początkowego

Parametry mechaniczne aorty i jej tętniaka wykorzystane w prezentowanych eksperymentach zostały estymowane w warunkach zerowego obciążenia początkowego – rozciąganie mechaniczne próbek pobranych od pacjentów bez wpływu krwi tętniczej. Jednakże geometria poszczególnych obiektów, ekstrahowana za pomocą obrazowania MRI w fazie skurczu, była już odkształcona pod wpływem niezerowego ciśnienia. W rzeczywistości, pewne nieznane naprężenie było obecne w tak uzyskanym modelu, podczas gdy prawdziwa geometria odpowiadająca zerowemu ciśnieniu pozostawała nieznana. Biorąc pod uwagę nieliniową charakterystykę materiałów hiperelastycznych, analiza nie mogła być wykonana wyłącznie przez zastosowanie ciśnienia odpowiadającego różnicy między ciśnieniem skurczowym i rozkurczowym. Z tego powodu konieczne było uwzględnienie dodatkowego kroku – wyznaczania naprężeń początkowych (ang. pre-stressing).

W badaniach wykorzystano metodę wstecznych przemieszczeń (ang. backward displacement) zaproponowaną przez Bolsa et al [160] do oszacowanie geometrii odpowiadającej zerowemu ciśnieniu na podstawie modelu zarejestrowanego w fazie systolicznej. Algorytm ten iteracyjnie aktualizuje estymatę geometrii poddanej zerowemu ciśnieniu zgodnie z procedurą MES opisaną poniżej:

1:

2: dla j=1:nLoads 1: i=0 2:

3: dopóki i == 0 or

4: i = i + 1

5:

6:

7:

8:

80 9: Referencyjna geometria przy zerowym ciśnieniu

Gdzie oznacza model opisany geometrią x i naprężeniem σ. Funkcja odpowiada analizie modelu Ω pod wpływem obciążenia p, a to błąd residualny wyznaczany jako średnia odległości między węzłami aktualnej estymaty geometrii pod zerowym ciśnieniem ( ) i geometrii wyznaczonej na podstawie obrazowania MRI ( ).

W celu poprawienia zbieżności oryginalnego algorytmu w ramach niniejszej rozprawy zaproponowano dwie modyfikacje. Po pierwsze, dodano zewnętrzną pętlę inkrementalnie zwiększająca obciążenie. W prezentowanych badaniach stosowane obciążenia wynosiły gdzie ps to ciśnienie diastoliczne wynoszące 80 mmHg (10666 Pa). Po drugie, w celu zredukowania oscylacji estymowanej geometrii, zastosowano parametr skalujący α . Empirycznie dobrano wartość parametry równą 0.5, co zaowocowało równowagą między stabilnością rozwiązania i wymaganą liczbą iteracji.

Dla każdego z analizowanych przypadków wyestymowano geometrię odpowiadającą zerowemu ciśnieniu z progiem dokładności ε=0.001 mm. Następnie poddawano ją analizie z obciążeniem odpowiadającym pełnemu ciśnieniu systolicznemu w wysokości pd=120mmHg (15998 Pa) i uzyskiwano ostateczną geometrię , która mogła być porównana z geometrią referencyjną.

4.6. Porównanie geometrii

W końcowym etapie analizy referencyjne geometrie aort i tętniaków były porównywane z wynikami analizy MES. Porównania powyższych kształtów dokonano za pomocą specjalizowanego oprogramowania opracowanego w Instytucie Automatyki, Robotyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej.

Do wyznaczenia geometrycznego błędu modeli wykorzystano Metodę Różnicowego Pola Powierzchni (ang. Differential Surface Area Method - DSAM) [161]. Metoda bazuje na spróbkowaniu tej samej liczby odpowiadających sobie przekrojów analizowanego obiektu (ostatecznego rezultatu analizy - ) i obiektu referencyjnego (geometrii uzyskanej na podstawie obrazowania MRI w fazie diastolicznej - ). Obrazy są próbkowane w płaszczyźnie XY odpowiadającej płaszczyźnie obrazowania MRI.

Następnie, dla każdej pary odpowiadających sobie obrazów wyznaczany jest obraz

81 różnicowy. Uzyskany w ten sposób obraz binarny zawiera n spójnych składowych (ang.

connected components) odpowiadających różnicom pomiędzy porównywanymi modelami geometrycznymi w analizowanej warstwie (Rysunek 28). Dla każdej i-tej składowej wyznaczane jest pole powierzchni i obwód (odpowiednio, and ).

Podobnie pole i obwód są wyznaczane dla prostokątów opisanych na powyższych składowych – odpowiednio and . Ostatecznie, błąd dla warstwy jest wyznaczany zgodnie z równaniem:

(15) Uwzględnienie stosunku obwodów w metryce błędu umożliwia porównywanie obiektów w obecności wąskich, wydłużonych składowych obrazu różnicowego. Wyniki mogą być analizowane w poszczególnych warstwach lub poprzez współczynnik średniego błędu geometrii (ang. Average Geometry Error – AGE) całego modelu, uzyskiwany jako średnia arytmetyczna błędów poszczególnych warstw.

Rysunek 28.Obrazy binarne wykorzystywane do wyznaczania błędu geometrii w poszczególnych warstwach

82

5. Wyniki

5.1. Modele aort

W ramach przeprowadzonych badań poddano analizie 7 przypadków fizjologicznych aort opisanych powyżej (rozdział 4.2.2.) zamodelowanych zgodnie z założeniami przedstawionymi w rozdziale 4.2.3. Rysunek 29 przedstawia modele 3D analizowanych przypadków, zrekonstruowane na podstawie obrazowania MRI w systolicznej fazie pracy serca. Ponadto, dla wybranego przypadku zastosowano celowo zaburzoną geometrię i parametry materiałowe w celu wykazania skuteczności proponowanej metody weryfikacji poprawności modelu.

Rysunek 29. Jednowarstwowe modele aort wykorzystane w badaniach.

83

Tabela 15. Średni błąd analizy aorty dla wszystkich pacjentów i stosowanych modeli

Pacjent A_1_HA A_1_E A_3_HA A_3_E A_3_HI Średnia 1 2,673131 2,671313 2,635354 2,709596 2,717475 2,681374 2 2,716696 2,718957 2,698783 2,70913 2,758261 2,720365 3 3,638791 3,57967 3,593846 3,600549 3,522198 3,587011 4 2,694478 2,75194 2,715075 2,800746 2,735672 2,739582 5 2,749189 2,791351 2,81027 2,781351 2,635405 2,753513 6 2,500241 2,653855 2,557711 2,667229 2,532048 2,582217 7 2,649035 2,589035 2,696491 2,696491 2,600965 2,646403 Średnia 2,80308 2,822303 2,815361 2,852156 2,786003

Tabela 15 przedstawia dystrybucję błędu analizy aorty dla poszczególnych pacjentów i stosowanych modeli. Szczególnie wysoki, odstający od pozostałych przypadków, błąd zaobserwowano dla pacjenta 3. Jest to prawdopodobnie wynikiem nietypowej geometrii aorty powyższego pacjenta, charakteryzującej się znacznym stopniem skręcenia (Rysunek 30). Ten niefizjologiczny kształt sugeruje wystąpienie czynników zewnętrznych (np. skrzywienia kręgosłupa), które doprowadziły do tak specyficznego ukształtowania aorty. Czynniki te nie są modelowane podczas symulacji, jednakże nadal wywierają wpływ na zachowanie tętnicy w organizmie pacjenta np. poprzez blokowanie ekspansji naczynia w pewnych kierunkach.

84

Rysunek 30. Błąd DSAM w poszczególnych przekrojach modelu aorty pacjenta 3.

Najmniejszy błąd zaobserwowano w przypadku pacjenta 6. W tym przypadku kształt aorty sugeruje w pełni poprawny rozwój i brak zewnętrznych czynników potencjalnie zakłócających symulację (Rysunek 31).

85

Rysunek 31. Błąd DSAM w poszczególnych przekrojach modelu aorty pacjenta 6.

W przypadku pacjenta 3 widoczny jest także znaczny błąd w skrajnych fragmentach modelowanego odcinka, co jest efektem wpływu wprowadzenia warunków brzegowych do symulacji. Przekrój aorty tego pacjenta odbiegał od kołowego, ponadto oba końce aorty nie były współosiowe w płaszczyźnie XY. Zjawisko to jest w mniejszym stopniu widoczne u pacjenta 6, gdzie w dolnym odcinku (lewa strona rysunku) przekrój był zbliżony do idealnego koła. Opisana wcześniej procedura sztucznego wydłużania modelowanych obiektów (rozdział 4.3.5) ma na celu zniwelowanie wpływu opisanych powyżej oddziaływań. Wszystkie analizowane modele zostały wydłużone o 10 warstw z obu stron. Owe sztucznie dodane fragmenty modeli nie były brane pod uwagę podczas analizy błędu.

86 5.1.1. Modele elastyczne

W badaniach porównano jedno- i trójwarstwowe modele aorty wykorzystujące elastyczną definicję materiału. Rysunek 32 przedstawia porównanie błędu analizy dla poszczególnych pacjentów. Wyraźnie widoczny jest fakt, iż stosowanie modelu jednowarstwowego pozwala na uzyskanie w zdecydowanej większości przypadków lepszych wyników, niż stosowanie, bliższego rzeczywistości, modelu trójwarstwowego.

Przyczyny tego zjawiska są dwojakie. Po pierwsze wykorzystanie trzech warstw wymaga uwzględnienia w modelu kontaktu pomiędzy warstwami i nałożenia odpowiednich więzów, co nieuchronnie prowadzi do zwiększenia złożoności modelu i wprowadza dodatkowe źródła niepewności. Ponadto, liniowy charakter materiałów elastycznych w połączeniu ze stałymi grubościami warstw w modelu pozwala na łatwe zastąpienie trzech warstw o różnych właściwościach pojedynczą warstwą o właściwościach wynikających z zasady superpozycji.

Rysunek 32. Porównanie błędu modelowania aort dla materiału elastycznego

5.1.2. Modele hiperelastyczne

W pracy zastosowano trzy różne modele materiałowe aorty bazujące na założeniu o hiperelastycznych właściwościach. Rysunek 33 przedstawia zestawienie błędu analizy uzyskanego przy zastosowaniu powyższych modeli dla poszczególnych pacjentów.

87 Wyniki są bardziej zróżnicowane niż w przypadku modeli elastycznych, jednak najmniejszy błąd był najczęściej obserwowany przy użyciu trójwarstwowego modelu izotropowego, który ponadto, pozwolił na uzyskanie najmniejszego błędu w najtrudniejszym analizowanym przypadku (pacjent 3).

W odróżnieniu od materiału elastycznego materiały hiperelastyczne cechuje nieliniowa charakterystyka. Nie jest wobec tego możliwe bezpośrednie zastąpienie trzech warstw jedną o parametrach uzyskanych poprzez superpozycję.

Jednowarstwowy materiał hiperelastyczny jest zatem wyłącznie próbą uogólnienia właściwości trójwarstwowego obiektu poprzez numeryczne dopasowanie parametrów, co oznacza, że w mniejszym stopniu modeluje rzeczywiste zachowanie analizowanych aort.

Różnica w wynikach uzyskanych dla materiałów izotropowych i anizotropowych prawdopodobnie znajduje przyczynę w dokładności modelowania geometrii aorty.

Właściwości materiałowe modeli anizotropowych zostały wyestymowane przy założeniu, że wiązki włókien kolagenowych są równoległe do powierzchni aorty.

Ponadto, procedura estymacji tych właściwości wykorzystywała rozciąganie próbki aorty w maszynie wytrzymałościowej w dwóch wymiarach, co de facto idealizowało geometrię naczynia. Modele uzyskane na podstawie obrazowania MRI są budowane na podstawie serii dyskretnych pomiarów, a powierzchnie łączące poszczególne przekroje są estymowane wyłącznie na podstawie tych przekrojów. W rezultacie w modelu występują punkty nieciągłości orientacji poszczególnych elementów (szczególnie wzdłuż osi długiej modelowanej aorty), co z kolei prowadzi do braku ciągłości kierunku modelowanych włókien. Efektem takiego podejścia jest zmniejszenie dokładności kompletnego modelu, pomimo zastosowania bardziej przystającej do rzeczywistości definicji materiałów.

88

Rysunek 33. Porównanie błędu modelowania aort dla materiałów hiperelastycznych

5.1.3. Porównanie modeli elastycznych i hiperelastycznych

Błąd analizy uzyskany podczas stosowania jednowarstwowego modelu elastycznego i trójwarstwowego modelu hiperelastycznego był zbliżony. Jednakże, średni błąd uzyskany przy wykorzystaniu modelu hiperelastycznego był niższy (tabela 15).

Ponadto, w przypadku skomplikowanej geometrii aorty zaobserwowanej u pacjenta 3, wykorzystanie modelu hiperelastycznego zaowocowało lepszymi wynikami.

Rysunek 34. Porównanie błędu modelowania aort dla materiałów elastycznych i hiperelastycznych

89 5.1.4. Porównanie modeli

Wobec zbliżonych wartości błędów analizy dla poszczególnych przypadków i braku modelu dającego najlepsze rezultaty niezależnie od pacjenta wskazanie najbardziej adekwatnego i uniwersalnego modelu nie było intuicyjne. Dlatego dla każdego pacjenta zastosowane modele posortowano pod względem dokładności uzyskanych wyników. Następnie, dla każdego modelu wyznaczono medianę z przypisanych w ten sposób rang w indywidualnych, odpowiadających poszczególnym pacjentom, rankingach.

Tabela 16 zawiera wyniki powyższej analizy. Wyraźnie widoczny jest fakt, że wykorzystanie trójwarstwowego, izotropowego modelu hiperelastycznego pozwalało na uzyskanie najdokładniejszych wyników w całej populacji analizowanych przypadków. W tym samym czasie wykorzystywanie modeli elastycznych, pomimo dobrych rezultatów dla pojedynczych przypadków, w skali analizowanej próby było najgorszym wyborem.

Przewaga izotropowego modelu wynika z jednej strony z uwzględnienia nieliniowej natury tkanek tworzących aortę i różnic pomiędzy jej poszczególnymi warstwami.

Pozwala to na budowę modelu odpowiadającego charakterystykom materiału występującego w rzeczywistym ludzkim organizmie. Z drugiej strony, założenie o izotropowości materiału, wbrew wyraźnym przesłankom biologicznym, pozwala na uniknięcie nadmiernego skomplikowania modelu i bazowaniu na dokładnej rekonstrukcji geometrii tętniaka, która jest trudna do osiągnięcia przy wykorzystaniu aktualnie dostępnych metod obrazowania.

Tabela 16. Ranking modeli aorty dla poszczególnych pacjentów

Pacjent A_1_HA A_1_E A_3_HA A_3_E A_3_HI

90 5.1.5. Weryfikacja modeli

Kolejnym etapem prac była możliwość wykorzystania prezentowanej metody do oceny wiarygodności stosowanych modeli. Założenia odnośnie do kształtu aorty (np. grubości poszczególnych warstw) czy też parametrów opisujących właściwości mechaniczne materiałów zostały oszacowane przez autorów cytowanych w rozdziale 3 badań na podstawie analizy kilku do kilkunastu przypadków. W związku z tym odzwierciedlają one pewne generalne tendencje w ramach populacji, lecz nie uwzględniają czynników indywidualnych – wieku, wagi, płci, historii chorób etc. Dotychczas estymacja indywidualnych parametrów była możliwa wyłącznie poprzez analizę próbek pobranych podczas operacji – co jest oczywiście spóźnione z punktu widzenia diagnostyki i określenia potrzeby takiej operacji.

W celu oceny przydatności bramkowanego MRI i prezentowanej metody do weryfikacji założeń modelu aorty dla wybranego pacjenta wygenerowano szereg modeli o parametrach geometrycznych i materiałowych odbiegających od przyjętych w literaturze. Jako wariant podstawowy wykorzystano trójwarstwowy model aorty pacjenta 7, bazujący na izotropowej, hiperelastycznej definicji materiału. Dla modelu bazowego zmieniono wartości parametrów materiałowych oraz grubości poszczególnych warstw aorty. Tabela 17 zawiera dokładne wartości wykorzystanych parametrów. Wariant A1 jest wariantem bazowym.

Tabela 17. Zestawienie zmodyfikowanych wartości parametrów materiałowych i geometrycznych dla aorty

Model Parametry geometryczne – model trójwarstwowy

91

Rysunek 35 przedstawia wartości błędu uzyskane dla poszczególnych wariantów modelu. Wyraźnie widoczny jest fakt, że najniższy błąd uzyskano dla niezmodyfikowanego modelu. Pokazuje to, iż dzięki zastosowaniu prezentowanej metody możliwa jest ocena wiarygodności i dokładności przyjętych założeń modelowania.

Rysunek 35. Błąd analizy dla zmodyfikowanych modeli aorty

92

5.2. Modele tętniaków

W ramach przeprowadzonych badań poddano analizie 11 przypadków tętniaków aorty brzusznej opisanych powyżej (rozdział 4.2.2.). Tętniaki zamodelowano zgodnie z założeniami przedstawionymi w rozdziale 4.2.3. Rysunek 36 przedstawia modele 3D analizowanych przypadków, zrekonstruowane na podstawie obrazowania MRI w fazie systolicznej pracy serca. Podobnie jak w przypadku aort, dla wybranego przypadku zastosowano celowo zaburzoną geometrię i parametry materiałowe.

Rysunek 36. Jednowarstwowe modele tętniaków wykorzystane w badaniach

93

Tabela 18. Średni błąd analizy tętniaków dla wszystkich pacjentów i stosowanych modeli

T_F_HI T_F_HA T_F_E T_2_HI T_2_HA T_2_E T_1_HI T_1_HA T_1_E Średnia 1 3,0015 3,0017 3,0472 2,9921 2,9695 3,0144 3,0045 2,9927 3,0158 3,0044 2 2,8159 2,8013 2,7812 2,7977 2,9079 2,7368 2,7021 2,7246 2,7096 2,7752 3 3,2948 3,2629 3,2798 3,2882 3,3122 3,316 3,3028 3,3041 3,3171 3,2975 4 2,9859 2,9509 3,0392 2,9602 2,9562 3,0401 3,0443 5,5663 3,0881 3,2924 5 3,2357 3,2415 3,2595 3,2325 3,2351 3,2367 3,2849 3,2862 3,2606 3,2525 6 2,0178 2,0232 2,0150 2,0431 2,0670 1,9877 1,9907 2,0004 1,9690 2,0126 7 3,1252 3,1471 3,1690 3,1108 3,1094 3,1071 2,9956 2,9413 3,0533 3,0843 8 2,3995 2,4048 2,4054 2,3812 2,4585 2,3025 2,2481 2,2094 2,2602 2,3411 9 3,1003 3,0953 3,1464 3,1130 3,4765 3,1221 3,1096 3,1006 3,1106 3,1527 10 3,5097 3,4955 3,5278 3,4931 3,4653 3,4025 3,2961 3,2318 3,3443 3,4185 11 5,1491 5,0688 5,1390 5,0810 5,0378 5,1215 5,0171 4,9620 5,0247 5,0668 Śr. 3,1487 3,1357 3,1645 3,1357 3,1814 3,1261 3,0905 3,3018 3,1048

Najniższy błąd zaobserwowano dla pacjenta nr 6 (Rysunek 37) Jest to spowodowane brakiem gwałtownych lokalnych zmian geometrii – zmiany kształtu i średnicy pomiędzy poszczególnymi przekrojami są relatywnie płynne. Ponadto przeciwne końce tętniaka są niemalże współosiowe w płaszczyźnie XY, co minimalizuje negatywny wpływ propagacji warunków brzegowych.

Tętniak zarejestrowany u pacjenta nr 11, dla którego uzyskano najgorsze wyniki analizy, charakteryzował się skrajnie odmienną geometrią (Rysunek 38). Szczególnie wysoką lokalną wartość błędu zaobserwowano w pobliżu gwałtownego rozszerzenia tętniaka zakończonego nagłą zmianą kierunku normalnych do powierzchni. Ponadto, przeciwne końce tętniaka nie są współosiowe, wpływu czego nie udało się całkowicie zniwelować pomimo sztucznego wydłużenia tętniaka.

Obserwowane tu efekty wyraźnie świadczą o kluczowej roli poprawnej rekonstrukcji geometrii i potrzebie dalszego rozwoju odpowiednich algorytmów przetwarzania i znalezienia nowych modeli materiałowych, odpornych na nieregularne kształty naczynia.

94

Rysunek 37. Błąd DSAM w poszczególnych przekrojach modelu tętniaka pacjenta 6

95

Rysunek 38. Błąd DSAM w poszczególnych przekrojach modelu tętniaka pacjenta 11

96 5.2.1. Modele elastyczne

W badaniach porównano modele bazujące na samej ścianie tętniaka oraz na zestawieniu ściany tętniaka z warstwą skrzepliny przyściennej, a także model reprezentujący ścianę i skrzeplinę jako jeden obiekt.

Rysunek 39. Porównanie błędu modelowania tętniaków dla materiałów elastycznych

Podobnie jak podczas analizy fizjologicznych aort, najdokładniejsze wyniki uzyskano przy użyciu jednowarstwowego modelu elastycznego o stałej grubości (T_1_E). Także i w tej sytuacji, przewagę modelu jednowarstwowego nad dwuwarstwowym można uzasadnić liniowością materiału i idącą za tym możliwością superpozycji materiałów.

Połączenie ściany tętniaka ze skrzepliną w jednym obiekcie dało gorsze wyniki, gdyż wykorzystano materiał, którego właściwości materiałowe zostały numerycznie estymowane przy założeniu stałej grubości ścian. Porzucenie tego założenia nieuchronnie prowadzi do pogorszenia uzyskiwanych w drodze symulacji wyników.

5.2.2. Modele hiperelastyczne izotropowe

Również w przypadku wykorzystania materiałów hiperelastycznych o izotropowych właściwościach najdokładniejsze wyniki uzyskano dla modelu jednowarstwowego wykorzystującego wyłącznie ścianę tętniaka. Przyczyny tego stanu są zbliżone do poprzedniego przypadku – zastosowanie jednego materiału dla połączonych geometrii

0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Błąd AGE

Pacjent

Porównanie materiałów elastycznych - tętniaki

T_F_E T_2_E T_1_E

97 ściany i skrzepliny okazuje się dawać odbiegające od realiów rezultaty. Natomiast w modelu 2-warstwowym skrzeplina przyścienna może wykazywać dodatkowe aspekty interakcji ze ścianą niż te, dotąd poznane. Ponadto, skład skrzepliny, a zatem właściwości mechaniczne, są indywidualne dla każdego pacjenta i zależą od toczących się procesów zapalnych w naczyniu (rozdział 2.1.4.).

Rysunek 40. Porównanie błędu modelowania tętniaków dla materiałów hiperelastycznych izotropowych

5.2.3. Modele hiperelastyczne anizotropowe

W kolejnym etapie porównano modele o anizotropowych właściwościach ściany tętniaka (Rysunek 41). W przypadku modelu dwuwarstwowego, niezależnie od materiału modelującego ścianę i skrzeplinę, dla skrzepliny przyjęto materiał izotropowy, gdyż brak jest przesłanek mogących uzasadniać jego anizotropowość.

0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Błąd AGE

Pacjent

Porównanie materiałów hiperelastycznych izotropowych - tętniaki

T_F_HI T_2_HI T_1_HI

98

Rysunek 41. Porównanie błędu modelowania tętniaków dla materiałów hiperelastycznych anizotropowych

Jednorodny model ściany tętniaka okazał się (z jednym znaczącym wyjątkiem) najdokładniejszy. Należy jednak zwrócić uwagę na niezwykle duży błąd materiału

Jednorodny model ściany tętniaka okazał się (z jednym znaczącym wyjątkiem) najdokładniejszy. Należy jednak zwrócić uwagę na niezwykle duży błąd materiału

W dokumencie Wspomaganie obrazowej oceny ryzyka pęknięcia tętniaka aorty brzusznej. (Stron 74-117)