= równe, 5 6= różne, 5
∈ należy do, 5 6∈ nie należy do, 5
∨ znak alternatywy, 5
∧ znak koniunkcji, 5
∼ znak negacji, 5
⇒, ⇐ znaki implikacji, 5
⇔ znak równoważności, 5
∃ znak kwantyfikatora szczegółowego, 5
∀ znak kwantyfikatora ogólnego, 5
∅ znak zbioru pustego, 5 {a} zbiór jednoelementowy, 6
{x : ϕ(x)} zbiór elementów spełniających for-mułę ϕ, 5
(a, b) para uporządkowana, 6 A \ B różnica zbiorów, 6
A × B iloczyn kartezjański zbiorów, 6 xRy x jest w relacji z y, 6
F : A → B funkcja, 6
⊂, ⊃ znaki inkluzji, 6 F (C) obraz zbioru, 7
F (a) wartość funkcji w punkcie a, 7 F−1(D) przeciwobraz zbioru, 7
∩,T znak iloczynu zbiorów, 7
∪,S
znak sumy zbiorów, 7 id funkcja identyczność, 8 f |A obcięcie funkcji8 f−1 funkcja odwrotna, 8 g ◦ f złożenie funkcji, 8 + znak dodawania, 9
· znak mnożenia, 9 0, 1 liczba zero, jeden, 10
−x element przeciwny do x, 10 1/x, 1x element odwrotny do x, 10
|x| moduł liczby x, 14
<, >, 6, > znak nierówności, 9, 12, 14 sgn (x) znak liczby x, 15
R zbiór liczb rzeczywistych, 9 (a, b) przedział otwarty, 14 [a, b] przedział domknięty, 14
|P | długość przedziału P , 15 inf kres dolny, 16, 37 sup kres górny, 16, 37 max maksimum, 17 min minimum, 17
−E, 18 E + F , 18 E · F , 18
N zbiór liczb naturalnych, 19 Fn= {k ∈ N : k < n + 1}, 21 Nn0,m0 = {n ∈ N : n06 n 6 m0}, 22 Nn0 = {n ∈ N : n > n0}, 22
2N zbiór liczb parzystych, 23 2N − 1 zbiór liczb nieparzystych, 23 Z zbiór liczb całkowitych, 23 [x] całość z liczby, 24 Za0 = {a ∈ Z : a > a0}, 24
m n
symbol Newtona, 26 Q zbiór liczb wymierntch, 24 n! silnia, 26
(ak)nk=1 ciąg skończony, 33
Rn= {(a1, ..., an) : a1, ..., an∈ R}, 33 Q znak iloczynu, 33, 34
P znak sumy, 33, 34
+∞, −∞ nieskończoności, 36
R rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych, 36 xy potęga, 39, 42, 45, 47
√n
x,√
x pierwiastek z liczby x, 44 log, logax logarytm, 52
ln logarytm naturalny, 76 inf f (E) kres dolny funkcji, 55
288
WYKAZ SYMBOLI I SKRÓTÓW 289
sup f (E) kres górny funkcji, 55
max f (E) wartość największa funkcji, 55 min f (E) wartość najmniejsza funkcji, 55 deg f stopień wielomianu f , 57
(an)n∈N, (an) ciąg nieskończony, 61 lim granica, 62, 69, 121
e liczba e, 75
(ank)k∈N podciąg ciągu (an)n∈N, 76 lim inf granica dolna, 81
lim sup granica górna, 81
d(x, y) odległość punktów x, y, 84 Int X wnętrze zbioru X, 87 X domknięcie zbioru X, 87
∞
f (x) granica prawostronna funkcji w punk-cie x0, 125
lim
x→x−0
f (x) granica lewostronna funkcji w punk-cie x0, 125
π liczba π, 146 arcsin arcus sinus, 150 arccos arcus cosinus, 150
arctg arcus tangens, 150 arcctg arcus cotangens, 150
f0(x0), (f (x))0x=x0 pochodna funkcji f w punk-cie x0, 151, 157
Df0 dziedzina pochodnej funkcji f , 155 f0, (f (x))0 pochodna funkcji f , 155, 157 Df00 dziedzina pochodnej rzędu drugiego
funk-cji f , 165
f00 pochodna funkcji f rzędu drugiego, 165 f00(x0) pochodna rzędu drugiego funkcji f w
punkcie x0, 165
f(n) pochodna funkcji f rzędu n, 165
f(n)(x0) pochodna funkcji f rzędu n w punkcie x0, 165
C0 klasa funkcji ciągłych, 166
C∞ klasa funkcji nieskończenie wiele razy róż-niczkowalnych, 166
Cn klasa funkcji n krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły, 166
YX rodzina funkcji określonych na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y , 183
fn ⇒ f ciąg funkcyjny (fn)∞n=1 jest jednostaj-nie zbieżny do funkcji f , 184
ω moduł ciągłości, 200 A + B, 212
A ◦ ϕ, 212
R f dx, R f (x)dx całka nieoznaczona, 212 aA, 212
g + A, 212
P podział przedziału, 229 δ(P) średnica podziału, 229 L(P, f ) dolna suma Darboux, 229 U (P, f ) górna suma Darboux, 229 L(f ) zbiór dolnych sum Darboux, 232 U (f ) zbiór górnych sum Darboux, 232 Rb
—a
f (x)dx dolna całka Darboux, 232 Rb
a f (x)dx górna całka Darboux, 232
R([a, b]) zbiór funkcji całkowalnych w sensie Rie-manna w przedziale [a, b], 237
Rb
af dx, Rb
af (x)dx całka Riemanna, 237 Rb
af dα całka Riemanna-Stieltjesa, 239 V (f, a, b) wahanie funkcji f , 246 V (γ) długość krzywej γ, 261 P prostokąt, 262
|P| miara prostokąta, 262
|Π| suma miar prostokątów rodziny Π, 262 mw(D) miara wewnętrzna Jordana zbioru D,
263
mz(D) miara zewnętrzna Jordana zbioru D, 263 J rodzina zbiorów mierzalnych w sensie
Jorda-na, 264
mJ(D) miara Jordana zbioru D, 264 R+∞
a f dx całka niewłaściwa Riemanna, 266 Rb
−∞f dx całka niewłaściwa Riemanna, 266 R+∞
−∞ f dx całka niewłaściwa Riemanna, 267 Rb
af dx całka niewłaściwa Riemanna, 271 Γ funkcja gamma Eulera, 281
Skorowidz
Aksjomat, 5
– antysymetrii relacji mniejszości, 10
– istnienia elementów neutralnych działań, 10 – – różnicy i ilorazu, 10
– przechodzniości relacji mniejszości, 10 – przemienności dodawania i mnożenia, 9 – rozdzielności mnożenia względem dodawania,
9
– spójności relacji mniejszości, 10 – zasada ciągłości Dedekinda, 10 – łączności dodawania i mnożenia, 9 Aksjomaty ciała, 9
– porządku, 10
– rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych, 36 – teorii mnogości, 5
– związku między działaniami i relacją mniejszo-ści, 10
argument funkcji, 6
asymptota pionowa funkcji, 182 – ukośna funkcji, 181
bijekcja, 8
całka Darboux dolna, 232 – Darboux górna, 232 – nieoznaczona, 212
– niewłaściwa rozbieżna, 266, 267, 271, 272 – niewłaściwa zbieżna, 266, 267, 271, 272 – – – bezwzględnie, 266, 267, 271, 272 – – – warunkowo, 266, 267, 271, 272 – – Riemanna, 266, 267, 271, 272, 276 – Poissona, 280
– Riemanna, 237, 246, 260 – Riemanna-Stieltjesa, 239 całość z liczby, entier, 24 ciąg, 61
– Cauchy’ego, 80
– częściowy, podciąg, 76, 93 – funkcyjny, 183, 184 – – rozbieżny, 183 – – zbieżny, 183
– – zbieżny jednostajnie, 184 – liczbowy, 33, 61, 93 – malejący, 61 – monotoniczny, 61 – nieskończony, 61, 93
ciąg ograniczony, 61 – – z dołu, 61 – – z góry, 61
– przybliżeń dziesiętnych liczby, 118 – reszt we wzorze Taylora, 196 – rosnący, 61
– rozbieżny, 62
– różnowartościowy, 61 – skończony, 33, 57
– sum częściowych ciągu, 91, 93 – – – – funkcyjnego, 183, 184 – – – szeregu, 91
– – – – funkcyjnego, 183, 184 – – – – liczbowego, 94 – zbieżny, 62
– ściśle malejący, 61 – – rosnący, 61
element najmniejszy, minimum, 17 – największy, maksimum, 17 – odwrotny, 10 – arcus cosinus, 150 – arcus cotangens, 150 – arcus sinus, 150 – arcus tangens, 150
– całkowalna w sensie Riemanna, 237, 246 – ciągła, 132
290
SKOROWIDZ 291
funkcja ciągła w punkcie, 132 – cosinus, 112
– cotangens, 117 – Dirichleta, 55
– dwukrotnie różniczkowalna, 165 – – – w zbiorze, 165
– Γ, 281
– górnej granicy całkowania, 253 – identyczność, 8
– klasy C0, Cn, C∞, 166 – lewostronnie ciągła, 140 – – – w punkcie, 140 – logarytmiczna, 56 – malejąca, 54 – monotoniczna, 54
– n-krotnie różniczkowalna, 165 – – – w zbiorze, 165
– ”na”, surjekcja, 7 – nieparzysta, 54
– o wahaniu skończonym, 246 – odwrotna, odwracalna, 8 – ograniczona, 55
– prawostronnie ciągła, 140 – – – w punkcie, 140
– rozwijalna w szereg Fouriera, 285 – – – – potęgowy, 195
– rzeczywista, 53 – różniczkowalna, 156 – – w punkcie, 151 – – w zbiorze, 155
– różnowartościowa, injekcja, 8 – silnia, 26
– sinus, 112 – tangens, 117 – wewnętrzna, 8
– wielomianowa, wielomian, 57 – wklęsła w przedziale, 177 – wykładnicza, 56
– wymierna, 60
– – dwóch zmiennych, 221 – wypukła w przedziale, 177 – ζ Riemanna, 98
fnkcja zewnętrzna, 8 – ściśle malejąca, 54 – – monotoniczna, 54 – – rosnąca, 54
funkcje cyklometryczne, 150 – elementarne, 150
– – podstawowe, 150 granica ciągu, 62 – – funkcyjnego, 183 – cząściowa ciągu, 78 – dolna ciągu, 81
– – funkcji w punkcie, 140 – funkcji w nieskończoności, 130 – – w punkcie, 122
– – – – w sensie Cauchy’ego, 121 – – – – w sensie Heinego, 121 – górna ciągu, 81
– – funkcji w punkcie, 141
– lewostronna funkcji w punkcie, 125 – niewłaściwa ciągu, 69
– – funkcji w nieskończoności, 130 – – – w punkcie, 128
– – lewostronna funkcji w punkcie, 129 – – prawostronna funkcji w punkcie, 129 – – funkcji w nieskończoności, 130 – prawostronna funkcji w punkcie, 125 – właściwa funkcji w punkcie, 128 hipoteza Goldbacha, 41
homeomorfizm, 144
iloczyn ciągu skończonego, 33 – dwóch funkcji, 54
– funkcji przez liczbę, 54 – kartezjański, 6
– liczb, 11
– rodziny zbiorów, część wspólna, 7 – szeregu przez liczbę, 92
– szeregów w sensie Cauchy’ego, 106 – wartości funkcji, 34
iloraz funkcji, 54 – liczb, 11
– różnicowy funkcji w punkcie, 151 – szeregu geometrycznego, 95 inkluzja, 6
jednomian, 57
– dwóch zmiennych, 221 jedynka, 10
kres dolny i górny funkcji, 55 – – zbioru, 16, 37
– górny zbioru, 16, 37 kryterium Abela, 99
kryterium Abela jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego, 188
– Cauchy’ego, 101, 102
– całkowe zbieżności szeregów, 270 – d’Alemberta, 100, 101
– Dirichleta, 98
– – jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego, 189
– graniczne, 96 – Leibniza, 99
– monotoniczności funkcji, 172
– porównawcze zbieżności szeregów, 96, 100 – Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu
funk-cyjnego, 187
– ścisłej monotoniczności funkcji, 172 krzywa, 260
– gładka, 260
– koniec krzywej, 260 – początek krzywej, 260 – prostowalna, 261 – rodziny funkcji, 124 metryka, odległość, 84 mianownik, 24
miara Jordana, 264 – – wewnętrzna, 263 – – zewnętrzna, 263 – prostokąta, 262 minimum lokalne, 174 – – właściwe, 174 – rodziny funkcji, 124 moduł ciągłości funkcji, 200 – wartość bezwzględna liczby, 14
najmniejsza wartość funkcji, 55 największa wartość funkcji, 55 nierówność, 12
– Bernoulliego, 40 – Schwarza, 41, 198
nieskończoność +∞, −∞, 36 norma, 259
obcięcie funkcji, 8 obraz zbioru, 7
odległość euklidesowa, 259 odwzorowanie, 6
– całkowalne w sensie Riemanna, 260 ograniczenie dolne zbioru, 16
– górne zbioru, 16 okres funkcji, 54
– podstawowy funkcji, 54
określanie funkcji przez indukcję, 26 – – – – skończoną, 25
otoczenie lewostronne punktu, 84 – prawostronne punktu, 84 – punktu, 84
para uporządkowana, 6
pierwiastek funkcji, zero funkcji, 53 – z liczby rzeczywistej, stopnia n, 44 – – – ujemnej, 45 podstawienie Eulera I, 225 – Eulera II, 227
– Eulera III, 226 podzbiór, 6
podział przedziału, 229 pojęcia pierwotne, 5
potęga o wykładniku całkowitym, 42 – – – naturalnym, 39
– – – rzeczywistym, 47 – – – wymiernym, 45 prawie wszystkie, 62
promień zbieżności szeregu potęgowego, 109 prostokąt, 262
SKOROWIDZ 293
przedział otwarty, 15
– zbieżności szeregu potęgowego, 109 przekrój Dedekinda, 17
przestrzeń metryczna, 84 – zupełna, 88
– zwarta, 88
punkt izolowany zbioru, 85 – nieciągłości funkcji, 139 – – – drugiego rodzaju, 139 – – – pierwszego rodzaju, 139 – osobliwy funkcji, 272 – podziału, 229 – przegięcia, 180 – skupienia zbioru, 85 relacja dwuczłonowa, 6 – mniejszości, 9
– niewiększe, niemniejsze, 14 – rówaoważności, 6
reszta Peano, 168 – we wzorze Taylora, 196
rodzina funkcji jednakowo ciągła, 202 – – – – w punkcie, 205
– – ograniczona, 202 – – – w punkcie, 202 – zbiorów, 7
Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych, 36 rozwinięcie dziesiętne liczby, 119
– – normalne, 119
– funkcji w szereg Fouriera, 285 – – – – potęgowy, 195
różnica dwóch funkcji, 54 – liczb, 11
styczna do wykresu funkcji w punkcie, 169 suma, różnica, iloczyn ciągów, 61
– ciągu skończonego, 33 – Darboux dolna, 229 – – górna, 229 – dwóch funkcji, 53 – – szeregów, 92 – liczb, 11
– rodziny zbiorów, 7 – szeregu funkcyjnego, 184 – – liczbowego, 91, 94 – wartości funkcji, 34 symbol Newtona, 26 szereg Fouriera funkcji, 286 – – , trygonometryczny, 285 – funkcyjny, 183, 184
szereg funkcyjny rozbieżny, 184 – – zbieżny, 183
– – – jednostajnie, 187 – geometryczny, 95 – harmoniczny, 98 – liczbowy, 91, 93 – – rozbieżny, 91, 94 – – zbieżny, 94
– – – bezwarunkowo, 103 – – – bezwzględnie, 100 – – – warunkowo, 103
– pochodnych szeregu funkcyjnego, 194 – potęgowy, Taylora, 109, 171
sąsiedztwo lewostronne punktu, 84 – prawostronne punktu, 84 – punktu, 84 – Bolzano-Weierstrassa, 77, 85 – Cauchy’ego, 81, 92
– Cauchy’ego o wartości średniej, 161 – Cauchy’ego-Hadamarda, 109
– charakteryzacja zbiorów zwartych, 88 – Darboux, 160
– Dirichleta, 286
– Dirichleta-Jordana, 286
– działania na funkcjach ciągłych, 133 – Fermata, 160
– jednoznaczność granicy funkcji, 122 – Jordana, 246
– kryterium ścisłej monotoniczności funkcji, 173 – Lagrange’a o wartości średniej, 161
– Mertensa, 107
– o całkowaniu przez części, 212, 254, 255 – o całkowaniu przez części dla całek
niewłaści-wych, 275, 276
– o całkowaniu przez podstawienie, 213
– o całkowaniu przez podstawienie dla całek nie-właściwych, 275
– o całkowaniu przez podstawienie I, II, 250, 251 – o działaniach na granicach ciągów, 65
– o działaniach na granicach niewłaściwych, 129 – o działaniach na pochodnej funkcji, 156 – o działaniach na pochodnej funkcji w punkcie,
152
– o działanich na granicach funkcji, 123 – o funkcji ciągłej na zbiorze zwartym, 142 – o granicach dwóch funkcji, 122
– o granicach jednostronnych funkcji monoto-nicznej, 126, 130
twierdzenie o granicach niewłaściwych dwóch funk-cji, 129
– o granicy złożenia funkcji, 134
– o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji ciągłej, 210
– o istnieniu kresu dolnego, 18 – o istnieniu kresu górnego, 17 – o istnieniu pierwiastków, 43 – o obcięciu funkcji ciągłej, 136 – o pochodnej funkcji odwrotnej, 156 – o pochodnej funkcji złożonej, 156
– o pochodnej w punkcie funkcji odwrotnej, 154 – o pochodnej w punkcie funkcji złożonej, 153 – o trzech ciągach, 64
– o trzech funkcjach, 123
– o wartości średniej I, II, 255, 257 – o zagęszczaniu, 97
– o zbieżności bezwzględnej i bezwarunkowej sze-regu, 105
– o złożeniu funkcji ciągłych, 133 – podstawowe rachunku całkowego, 250 – prawo łączności dla szeregów, 102 – reguła de l’Hospitala, 163
– Rolle’a, 161 – Stolza, 72
– topologiczna charakteryzacja ciągłości, 134, 135 – topologiczna charakteryzacja ciągłości funkcji
w punkcie, 132
– warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej cią-gu funkcyjnego, 186
– warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej sze-regu funkcyjnego, 187
– warunek Heinego ciągłości funkcji w punkcie, 132
– warunek Heinego ciągłości jednostajnej, 142 – warunek Heinego dla granicy niewłaściwej, 128 – warunek konieczny istnienia ekstremum, 174 – warunek konieczny istnienia punktu przegięcia
I, II, 180
– warunek konieczny różniczkowalności, 156 – warunek konieczny różniczkowalności funkcji w
punkcie, 152
– warunek konieczny zbieżności szeregu, 92 – warunek wystarczający istnienia ekstremum I,
II, 175, 176
– Weierstrassa o aproksymacji, 201 – wzór Taylora I, II, III, 167, 170, 171 – własność Darboux, 137
– zasada Archimedesa, 20
– zasada Archimedesa dla potęgowania, 40 – zasada indukcji, 20, 22, 24
– zasada indukcji o innym początku, 22 – zasada indukcji skończonej, 22 – zasada minimum, 22, 23
twierdzenie zasadnicze arytmetyki, 41 – związek ciągłości z granicą, 133
– związek granicy funkcji z granicami jednostron-nymi, 126
– związek granicy niewłaściwej z granicami jed-nostronnymi, 129
wielomian Bernsteina funkcji, 201 – dwóch zmiennych, 221
– niezerowy, 57
– podzielny przez wielomian, 219 – stały, 57
– zerowy, 57
wnętrze prostokąta, 262 – zbioru, 87
wskaźnik wyrazu ciągu, 33, 61, 93 współczynniki szeregu potęgowego, 109 – wielomianu, 57
wykres funkcji, 6 wykładnik potęgi, 47 wyraz ciągu, 33, 61, 93 – wolny wielomianu, 57 wzory redukcyjne, 146
wzór dwumienny Newtona, 40 – Maclaurina, 168
– Taylora, 168
– wielomianny Newtona, 41 zagęszczenie podziału, 230 – – wspólne, 230
zbieżność szeregu liczbowego, 91 zbiory rozłączne, 7
– równoliczne, 27 zbiór, 5
– co najwyżej przeliczalny, 28 – domknięty, 86
– – w zbiorze, 87 – gęsty w zbiorze, 87 – liczb całkowitych, 23 – – dodatnich, 14 – – naturalnych, 19 – – niedodatnich, 14 – – nieujemnych, 14 – – niewymiernych, 24 – – rzeczywistych, 9 – – ujemnych, 14 – – wymiernych, 24
– mierzalny w sensie Jordana, 264 – mocy continuum, 32
SKOROWIDZ 295
zbiór n-elementowy, 27 – nieograniczony, 16 – – z dołu, 16 – – z góry, 16 – nieprzeliczalny, 28 – nieskończony, 27 – ograniczony, 16, 263 – – z dołu, 16
– – z góry, 16 – otwarty, 86 – – w zbiorze, 87 – przeliczalny, 28 – skończony, 27 – spójny, 89
– wartości funkcji, 7 – zwarty, 88
zero, 10
złożenie funkcji, 8 znak liczby, signum, 15