Rozdział 10 Całka Darboux

(1)

Rozdział 10

Całka Darboux

10.1 Dolna i górna suma Darboux

Definicja podziału. Niech a, b ∈ R, a < b.

Każdy skończony ciąg P postaci

(10.1) P = (x₀, ..., x_n), gdzie n ∈ N, a = x₀ < x₁ < . . . < x_n−1 < x_n = b.

nazywamy podziałem przedziału [a, b]. Wyrazy xi, i = 0, ..., n, podziału P nazywamy punktami podziału P.

Dla podziału P postaci (10.1) określamy ciąg ∆x_i = x_i− x_i−1, i = 1, ..., n. Liczbę δ(P) = max{∆x_i : i = 1, ..., n}

nazywamy średnicą podziału P.

Definicja dolnej i górnej sumy Darboux. Niech f będzie ograniczoną funkcją rze- czywistą określoną na przedziale [a, b]. Niech P będzie podziałem przedziału [a, b] postaci (10.1). Połóżmy

m_i = inf f ([x_i−1, x_i]), M_i = sup f ([x_i−1, x_i]), i = 1, ..., n.

Liczby

L(P, f ) =

n

X

i=1

m_i∆x_i oraz U (P, f ) =

n

X

i=1

M_i∆x_i

nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b]

wyznaczoną przez podział P.

Uwaga 10.1.1. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b]. Niech m = inf f ([a, b]), M = sup f ([a, b]). Wówczas m, M ∈ R oraz dla każdego podziału P przedziału [a, b] postaci (10.1) mamy

m 6 mi = inf f ([x_i−1, x_i])6 sup f ([xi−1, x_i]) = M_i 6 M, i = 1, ..., n Zatem L(P, f ) oraz U (P, f ) są liczbami rzeczywistymi oraz

m(b − a) 6 L(P, f ) 6 U (P, f ) 6 M (b − a).

229

(2)

Uwaga 10.1.2. Z definicji dolnej i górnej sumy Darboux dostajemy, że jeśli f, g są funk- cjami ograniczonymi w przedziale [a, b] takimi, że f (x)6 g(x) dla x ∈ [a, b], to dla każdego podziału P przedziału [a, b] mamy

L(P, f ) 6 L(P, g) oraz U (P, f ) 6 U (P, g).

Własność 10.1.3. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b]. Wówczas dla każdego podziału P = (x₀, ..., x_n) przedziału [a, b] mamy

(10.2) L(P, f ) = inf X, U (P, f ) = sup X, gdzie X = {^Pⁿ

i=1

f (t_i)(x_i− x_i−1) : t_i ∈ [x_i−1, x_i], i = 1, ..., n}.

Dowód. Z definicji dolnej sumy Darboux mamy, że L(P, f ) jest ograniczeniem dolnym zbioru X. Weźmy dowolne ε > 0 i niech η = _b−a^ε . Z definicji kresu dolnego mamy, że dla każdego i ∈ {1, ..., n} istnieje t_i ∈ [x_i−1, x_i], że f (t_i) < inf f ([x_i−1, x_i]) + η. Oznaczając c =^Pⁿ

i=1

f (ti)(xi− xi−1), mamy, że c ∈ X. Ponieważ η ^Pⁿ

i=1

(xi− xi−1) = η(b − a) = ε, więc

c <

n

X

i=1

(inf f ([xi−1, xi]) + η)(xi− xi−1) = L(P, f ) + η

n

X

i=1

(xi− xi−1) = L(P, f ) + ε.

Reasumując L(P, f ) = inf X. To daje pierwszą część (10.2). Drugą część (10.2) pokazu-

jemy analogicznie jak pierwszą.

Definicja zagęszczenia podziału. Niech P, P^∗ będą podziałami przedziału [a, b]. Mó- wimy, że podział P^∗ jest zagęszczeniem podziału P, gdy każdy punkt podziału P jest punktem podziału P^∗.

Jeśli podział P^∗ jest zagęszczeniem podziałów P₁, ..., P_j przedziału [a, b], to mówimy, że P^∗ jest wspólnym zagęszczeniem podziałów P₁, ..., P_j.

Uwaga 10.1.4. Jeśli P₁, ..., P_j są podziałami przedziału [a, b], to istnieje podział P^∗ który jest wspólnym zagęszczeniem podziałów P₁, ..., P_j. (¹).

Indukcyjnie, łatwo dowodzimy

Lemat 10.1.5. Jeśli podział P^∗ jest zagęszczeniem podziału P przedziału [a, b] oraz P^∗ 6= P, to istnieje skończony ciąg podziałów P_k, k = 0, ..., m, przedziału [a, b], że

(a) P₀ = P, P_m = P^∗,

(b) podział P_k+1 jest zagęszczeniem podziału P_k dla k = 0, ..., m − 1,

(c) podział P_k+1 ma tylko jeden punkt podziału więcej od podziału P_k dla k = 0, ..., m − 1.

1Istotnie, indukcyjnie łatwo pokazujemy, że każdy skończony podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest zbiorem wartości pewnego ciągu rosnącego. Zatem każdy skończony podzbiór X = {x₀, ..., x_n} ⊂ [a, b]

taki, że x₀= a, x_n = b wyznacza podział przedziału [a, b], którego zbiorem punktów podziału jest zbiór X. Suma wszystkie punktów podziałów P₁, ..., P_j jest zbiorem skończonym, więc jest to zbiór wartości pewnego podziału P^∗.

(3)

10.1. DOLNA I GÓRNA SUMA DARBOUX 231 Dowód. Dla podziału P = (x0, ..., xn) przedziału [a, b], oznaczamy P = n + 1.

Zastosujemy indukcję względem m = P^∗− P . Dla m = 1, wystarczy położyć P₀ = P oraz P1 = P^∗.

Załóżmy, że teza zachodzi dla m ∈ N. Niech P^∗ będzie zagęszczeniem podziału P = (a₀, ..., aj) takim, że P^∗ − P = m + 1. Wówczas biorąc dowolny punkt x podziału P^∗, który nie jest punktem podziału P, istnieje i ∈ {0, ..., j − 1}, że a_i < x < a_i+1. Zatem P⁰ = (a₀, ..., ai, x, ai+1, ..., aj) jest podziałem przedziału [a, b] takim, że P^∗ − P⁰ = m.

Z założenia indukcyjnego, istnieje więc ciąg podziałów P₀, ..., P_m, że P₀ = P⁰, P_n= P^∗ oraz Pk+1 = Pk+1 dla k = 0, ..., m−1. W konsekwencji ciąg P, P₀, ..., Pmjest szukanym ciągiem podziałów spełniającym (a), (b), (c).

Indukcja kończy dowód.

Własność 10.1.6. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b] oraz niech m = inf f ([a, b]), M = sup f ([a, b]). Jeśli P, P^∗ są podziałami przedziału [a, b], przy czym P^∗ jest zagęszczeniem podziału P, to

(10.3) m(b − a) 6 L(P, f ) 6 L(P^∗, f ) 6 U (P^∗, f ) 6 U (P, f ) 6 M (b − a).

W szczególności dla dowolnych podziałów P₁, P₂ przedziału [a, b] mamy L(P₁, f ) 6 U (P2, f ).

Dowód. W myśl uwagi 10.1.1, wystarczy pokazać, że

(10.4) L(P, f ) 6 L(P^∗, f ) oraz U (P^∗, f ) 6 U (P, f ).

Jeśli P = P^∗, to (10.4) jest oczywiste. Załóżmy, że P 6= P^∗. Niech, wobec lematu 10.1.5, P₀, ..., Pj, j ∈ N, będzie ciągiem podziałów przedziału [a, b] spełniającym warunki (a), (b), (c) w lemacie 10.1.5. Wobec warunku (a), wystarczy pokazać, że

(10.5) L(P_k, f ) 6 L(Pk+1, f ) oraz U (P_k+1, f ) 6 U (Pk, f ) dla k = 0, ..., j − 1.

Weźmy dowolne k ∈ {0, ..., j − 1} i niech P_k+1 = (x₀, ..., x_n). Oznaczmy m_i = inf f ([x_i−1, x_i]), M_i = sup f ([x_i−1, x_i]), i = 1, ..., n.

Z warunku (c), istnieje i₀ ∈ {1, ..., n − 1}, że P_k = (x₀, ..., x_i₀−1, x_i₀₊₁, ..., x_n). Oznaczając

˜

m_i₀₊₁ = inf f ([x_i₀−1, x_i₀₊₁]), M˜_i₀₊₁ = sup f ([x_i₀−1, x_i₀₊₁]), mamy ˜m_i₀₊₁ 6 mi0, ˜m_i₀₊₁ 6 mi0+1 oraz ˜M_i₀₊₁ > Mi0, ˜M_i₀₊₁ > Mi0+1, więc (10.6) m˜_i₀₊₁(x_i₀₊₁− x_i₀−1)6 mi0(x_i₀ − x_i₀−1) + m_i₀₊₁(x_i₀₊₁− x_i₀) oraz

(10.7) M˜_i₀₊₁(x_i₀₊₁− x_i₀−1)> Mi0(x_i₀ − x_i₀−1) + M_i₀₊₁(x_i₀₊₁− x_i₀)

Z (10.6) i (10.7), redukując odpowiednie wyrazy w sumach Darboux funkcji f wyznaczo- nych przez przedziały P_k i P_k+1, dostajemy

L(P_k, f ) − L(P_k+1, f ) = ˜m_i₀₊₁(x_i₀₊₁− x_i₀₋₁) − m_i₀(x_i₀− x_i₀₋₁) − m_i₀₊₁(x_i₀₊₁− x_i₀)6 0, U (P_k, f ) − U (P_k+1, f ) = ˜M_i₀₊₁(x_i₀₊₁− x_i₀−1) − M_i₀(x_i₀− x_i₀−1) − M_i₀₊₁(x_i₀₊₁− x_i₀)> 0.

To daje (10.5). Biorąc wspólne zagęszczenie P^∗ podziałów P₁, P₂, z (10.5) dostajemy

L(P1, f ) 6 U (P², f ). To kończy dowód.

(4)

10.2 Dolna i górna całka Darboux

Definicja dolnej i górnej całki Darboux. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczy- wistą określoną na przedziale [a, b]. Oznaczmy przez U (f ) zbiór wszystkich górnych sum Darboux U (P, f ) oraz przez L(f ) zbiór wszystkich dolnych sum Darboux L(P, f ), gdzie P przebiega wszystkie podziały przedziału [a, b].

Liczbę sup L(f ) nazywamy dolną całką Darboux funkcji f w przedziale [a, b].

Liczbę inf U (f ) nazywamy górną całką Darboux funkcji f w przedziale [a, b].

Dolną i górną całkę Darboux funkcji f w przedziale [a, b] oznaczamy odpowiednio

Z b

—a

f (x)dx,

Z b a

f (x)dx lub

Z b

—a

f dx,

Z b a

f dx.

Własność 10.2.1. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b]. Wówczas istnieją dolna i górna całka Darboux funkcji f w przedziale [a, b]. Jeśli ponadto m, M ∈ R są takie, że m 6 f (x) 6 M dla x ∈ [a, b], to

(10.8) m(b − a) 6

Z b

—a

f (x)dx 6

Z b

a f (x)dx 6 M (b − a).

Dowód. Wobec własności 10.1.6 mamy, że dla każdego podziału P przedziału [a, b]

mamy m(b − a)6 L(P, f ) 6 U (P, f ) 6 M (b − a). Stąd wynika, że m(b − a) i M (b − a) są odpowiednio ograniczeniami dolnymi i górnymi zbioru L(f ) wszystkich dolnych sum Darboux oraz zbioru U (f ) wszystkich górnych sum Darboux funkcji f w przedziale [a, b].

Ponieważ L(f ) i U (f ) są niepuste, więc ich kresy dolny i górny są liczbami rzeczywistymi.

To daje pierwszą część tezy. Ponadto mamy (10.9) m(b − a) 6 sup L(f ) =^Ra^b

—f (x)dx, ^R_a^b f (x)dx = inf U (f ) 6 M (b − a).

Udowodnimy, że

(10.10) ^R_a^b

— f (x)dx 6^Ra^b f (x)dx.

Istotnie, z własności 10.1.6 dla dowolnych podziałów P₁, P podziału [a, b] mamy L(P₁, f ) 6 U (P, f ).

Zatem U (P, f ) jest ograniczeniem górnym zbioru L(f ), więc sup L(f ) 6 U (P, f ). Z do- wolności podziału P przedziału [a, b] mamy, że sup L(f ) jest ograniczeniem dolnym zbioru U (f ), więc sup L(f ) 6 inf U (f ). To daje (10.10). Z (10.10) i (10.9) dostajemy (10.8), co

kończy dowód.

(5)

10.2. DOLNA I GÓRNA CAŁKA DARBOUX 233 Uwaga 10.2.2. Wprost z definicji oraz własności 10.2.1 dostajemy, że dla każdej funkcji stałej w przedziale [a, b], dolna i górna całka Darboux w tym przedziale są równe. Ponadto, jeśli c ∈ R oraz f (x) = c dla x ∈ [a, b], to c 6 f (x) 6 c dla x ∈ [a, b], więc z (10.8) dostajemy

Rb

—a f (x)dx =^R_a^b f (x)dx = c(b − a).

Uwaga 10.2.3. Istnieją funkcje ograniczone w przedziale domkniętym, których dolna i górna całka Darboux są różne. Istotnie, rozważmy funkcję Dirichleta f : R → R określoną wzorami f (x) = 0 dla x ∈ Q oraz f (x) = 1 dla x ∈ R \ Q. Jest to funkcja ograniczona, jednak dla dowolnego przedziału [a, b] i jego podziału P mamy L(P, f ) = 0 oraz U (P, f ) = b − a. Zatem

Rb

—a f (x)dx = 0 < (b − a) =^R_a^b f (x)dx.

Podamy warunki równoważne na to aby dana liczba była dolną (odpowiednio górną) całką Darboux funkcji na przedziale domkniętym. Zacznijmy od dwóch lematów.

Lemat 10.2.4. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b] oraz niech M > 0 będzie liczbą taką, że |f (x)| < M dla x ∈ [a, b]. Jeśli P^∗ jest zagęszczeniem podziału P przedziału [a, b] takim, że P^∗ ma o k punktów podziału więcej od P, to

(10.11)

L(P, f ) > L(P^∗, f ) − 3kM δ(P) oraz U (P, f ) 6 U (P^∗, f ) + 3kM δ(P).

Dowód. Jeśli k = 0, to teza jest oczywista. Rozważmy przypadek k = 1. Niech P^∗ = (x₀, ..., x_n). Z założenia, że k = 1 wynika, że istnieje i₀ ∈ {1, ..., n − 1} takie, że P = (x₀, ..., x_i₀−1, x_i₀₊₁, ..., x_n). Wówczas, z wyboru liczby M , mamy

L(P^∗, f ) − L(P, f ) = (x_i₀ − x_i₀₋₁) inf f ([xi0−1, x_i₀] + (xi0+1− x_i₀) inf f ([xi0, x_i₀₊₁]

−(x_i₀₊₁− x_i₀−1) inf f ([x_i₀−1, x_i₀₊₁]6 3M δ(P).

To daje pierwszą część (10.11) dla k = 1. Drugą cząść dowodzimy analogicznie. Stosując

teraz lemat 10.1.5, łatwo indukcyjnie dostajemy tezę.

Lemat 10.2.5. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b]. Wówczas

(a) Dla każdego ε > 0 istnieje K > 0, że dla każdego podziału P przedziału [a, b]

zachodzi

(10.12) −ε − Kδ(P)+

Z b

—a

f (x)dx 6 L(P, f ) 6

Z b

—a

f (x)dx.

(b) Dla każdego ε > 0 istnieje K > 0, że dla każdego podziału P przedziału [a, b]

zachodzi (10.13)

Z b

a f (x)dx 6 U (P, f ) 6 ε + Kδ(P)+

Z b a

f (x)dx.

(6)

Dowód. Udowodnimy (a). Niech B =^R_a^b

— f (x)dx. Nierówność L(P, f ) 6 B wynika z definicji dolnej całki Darboux funkcji f w przedziale [a, b]. Pokażemy pierwszą nierówność w (10.12). Ponieważ f jest funkcją ograniczoną w przedziale [a, b], więc istnieje M > 0, że (10.14) |f (x)| < M dla każdego x ∈ [a, b].

Weźmy dowolne ε > 0. Z (a) i określenia dolnej całki Darboux wynika, że istnieje podział P₁ = (x₀, ..., x_k) przedziału [a, b] taki, że

(10.15) B − ε < L(P₁, f ).

Weźmy dowolny podział P przedziału [a, b]. Niech P^∗ będzie wspólnym zagęszczeniem podziałów P i P₁, którego zbiorem punktów podziału jest suma zbiorów punktów podziału P i P₁. Wtedy z (10.15) i własności 10.1.6 i mamy

(10.16) B − ε < L(P^∗, f ).

Ponieważ podział P^∗ ma co najwyżej k punktów podziału więcej od podziału P, więc z (10.14) i lematu 10.2.4 dostajemy

(10.17) L(P, f ) > L(P^∗, f ) − 3kM δ(P).

Biorąc K = 3kM , z (10.16) i (10.17) wynika pierwszą nierówność w (10.12). To daje (a).

Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a).

Twierdzenie 10.2.6. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na prze- dziale [a, b] oraz niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) ^R_a^b

—f (x)dx = A.

(b) Dla każdego ciągu (P_n)^∞_n=1 podziałów przedziału [a, b] takiego, że lim

n→∞ δ(P_n) = 0, zachodzi lim

n→∞L(P_n, f ) = A.

(c) Istnieje ciąg (P_n)^∞_n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że lim

n→∞ δ(P_n) = 0 oraz

n→∞lim L(P_n, f ) = A.

Dowód. Udowodnimy implikację (a)⇒(b). Weźmy dowolny ciąg (P_n)^∞_n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że lim

n→∞δ(Pn) = 0. Weźmy dowolne ε > 0. Z (a) i z lematu 10.2.5(a) wynika, że istnieje stała K ∈ R, że

(10.18) A − ε

2− Kδ(P_n)6 L(Pn, f ) 6 A dla n ∈ N.

Ponieważ lim

n→∞δ(P_n) = 0, więc istnieje N ∈ N, że dla n > N mamy Kδ(Pn) < ^ε₂. Stąd i z (10.18) wynika, że

A − ε < L(P_n, f ) 6 A dla n > N.

To, wobec dowolności ε > 0 daje, że lim

n→∞L(Pn, f ) = A, czyli mamy (b).

Implikacja (b)⇒(c) wynika z faktu, że istnieją ciągi podziałów (P_n)^∞_n=1 przedziału [a, b] takie, że lim

n→∞δ(Pn) = 0.

(7)

10.2. DOLNA I GÓRNA CAŁKA DARBOUX 235 Udowodnimy implikację (c)⇒(a). Niech (P_n)^∞_n=1 będzie ciągiem podziałów przedziału [a, b] takim, że lim

n→∞ δ(P_n) = 0 oraz lim

n→∞ L(P_n, f ) = A. Niech B =^R_a^b

— f (x)dx. Weźmy dowolne ε > 0. Z lematu 10.2.5(a) wynika, że istnieje stała K ∈ R, że

(10.19) B − ε

2− Kδ(Pn)6 L(Pⁿ, f ) 6 B dla n ∈ N.

Ponieważ lim

n→∞δ(P_n) = 0, więc istnieje N ∈ N, że dla n > N mamy Kδ(Pn) < ^ε₂. Stąd i z (10.19) wynika, że B − ε < L(P_n, f ) 6 B dla n > N. Przechodząc teraz do granicy przy n → ∞ dostajemy B − ε 6 A 6 B. To, wobec dowolności ε > 0 daje, że B = A,

czyli mamy (a).

Analogicznie jak twierdzenie 10.2.6 dowodzimy

(a) ^R_a^b f (x)dx = A.

n→∞ δ(P_n) = 0, zachodzi lim

n→∞U (Pn, f ) = A.

(c) Istnieje ciąg (P_n)^∞_n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że lim

n→∞ δ(P_n) = 0 oraz

n→∞lim U (P_n, f ) = A.

Z twierdzeń 10.2.6, 10.2.7 wynika

Twierdzenie 10.2.8. Niech f , g będą ograniczonymi funkcjami rzeczywistymi określony- mi na przedziale [a, b] oraz c ∈ R, c 6= 0. Wówczas

(a) Jeśli f (x)6 g(x) dla x ∈ [a, b], to ^Ra^b

— f dx 6^Ra^b

—gdx oraz ^R_a^b f dx 6^Ra^b gdx.

(b) ^R_a^b

—f dx+ ^R_a^b

—gdx 6^Ra^b

—(f + g)dx6^Ra^b (f + g)dx6^Ra^b f dx+ ^R_a^b gdx.

(c) ^R_a^b

—cf dx = c ^R_a^b

—f dx oraz ^R_a^b cf dx = c ^R_a^b f dx, gdy c > 0 (d) ^R_a^b

—cf dx = c ^R_a^b f dx oraz ^R_a^b cf dx = c ^R_a^b

—f dx, gdy c < 0.

Dowód. Część (a) wynika natychmiast z definicji dolnej i górnej całki Darboux, bo- wiem z założenia, że f (x) 6 g(x) dla x ∈ [a, b], dostajemy że dla każdego podziału P przedziału [a, b] zachodzi L(P, f )6 L(P, g) oraz U (P, f ) 6 U (P, g).

Niech P = (x₀, ..., x_k) będzie podziałem przedziału [a, b]. Zanim przejdziemy do do- wodów dalszych części twierdzenia, udowodnimy trzy pomocnicze własności:

(i) L(P, f ) + L(P, g) 6 L(P, f + g) 6 U (P, f + g) 6 U (P, f ) + U (P, g).

(ii) L(P, cf ) = cL(P, f ) oraz U (P, cf ) = cU (P, f ), gdy c > 0.

(iii) L(P, cf ) = cU (P, f ) oraz U (P, cf ) = cL(P, f ), gdy c < 0.

(8)

Istotnie, liczba inf f ([x_i−1, x_i]) + inf g([x_i−1, x_i]) jest ograniczeniem dolnym zbioru (f + g)([x_i−1, x_i]), więc

inf f ([x_i−1, x_i]) + inf g([x_i−1, x_i])6 inf(f + g)([xi−1, x_i]) dla i = 1, ..., k.

Stąd i z definicji dolnej sumy Darboux wynika pierwsza nierówność w (i). Druga nie- równość wynika z własności 10.1.6. Trzecią nierówność w (i) dowodzimy analogicznie jak pierwszą.

Z własności kresów dolnego i górnego zbioru mamy

inf cf ([xi−1, xi]) = c inf f ([xi−1, xi]), sup cf ([xi−1, xi]) = c sup f ([xi−1, xi]), gdy c > 0.

Stąd dostajemy (ii). Ponadto

inf cf ([x_i−1, x_i]) = c sup f ([x_i−1, x_i]), gdy c < 0.

Stąd wynika (iii).

Weźmy dowolny ciąg (P_n)^∞_n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że lim

n→∞δ(P_n) = 0.

Z własności (i) dla każdego n ∈ N mamy

L(P_n, f ) + L(P_n, g) 6 L(Pn, f + g) 6 U (Pn, f + g) 6 U (Pn, f ) + U (P_n, g).

Przechodząc więc do granicy przy n → ∞, w myśl twierdzeń 10.2.6, 10.2.7 dostajemy (b).

Niech c > 0. Z własności (ii) dla każdego n ∈ N mamy

L(P_n, cf ) = cL(P_n, f ) oraz U (P_n, cf ) = cU (P_n, f ),

więc przechodząc do granicy przy n → ∞ dostajemy (c). Analogicznie, opierając się na

własności (iii), dowodzimy część (d).

Twierdzenie 10.2.9. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na prze- dziale [a, b] oraz niech c ∈ R, a < c < b. Wówczas

Z b

—a

f dx =

Z c

—a

f dx+

Z b

—c

f dx oraz

Z b a

f dx =

Z c a

f dx+

Z b c

f dx.

Dowód. Niech (P^a_n)^∞_n=1 oraz (P^b_n)^∞_n=1 będą ciągami podziałów odpowiednio przedzia- łów [a, c] oraz [c, b] takimi, że lim

n→∞ δ(P^a_n) = 0 oraz lim

n→∞ δ(P^b_n) = 0. Niech P_n będzie podziałem przedziału [a, b] utworzonym przez sumę zbiorów punktów podziału P^a_n oraz P^b_n dla n ∈ N. Wtedy lim_n→∞ δ(P_n) = 0 oraz z definicji dolnej i górnej sumy Darboux dostajemy

L(P_n, f ) = L(P^a_n, f ) + L(P^b_n, f ), U (P_n, f ) = U (P^a_n, f ) + U (P^b_n, f ).

Stąd, przechodząc do granicy przy n → ∞, z twierdzeń 10.2.6, 10.2.7 dostajemy tezę.

(9)

Rozdział 11

Całka Riemanna

11.1 Całka Riemanna

Definicja całki Riemanna. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b].

Mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale [a, b] lub, że jest całkowalna w przedziale [a, b], gdy dolna i górna całka Darboux funkcji f w przedziale [a, b] są równe, to znaczy ^R_a^b

—f (x)dx =^R_a^b f (x)dx.

Zbiór wszystkich funkcji całkowalnych w sensie Riemanna w przedziale [a, b] oznacza- my R([a, b]).

Jeśli f ∈ R([a, b]), to wspólną wartość dolnej i górnej całki Darboux oznaczamy

Z b a

f dx lub

Z b a

f (x)dx

i nazywamy całką Riemanna funkcji f w przedziale [a, b] lub całką oznaczoną Riemanna funkcji f w przedziale [a, b].

Dla uproszczenia zapisu przyjmuje się następujące oznaczenia

Definicja . Jeśli funkcja f jest określona w punkcie a, to przyjmujemy^R_a^af dx = 0.

Jeśli f ∈ R([a, b]), to przyjmujemy^R_b^af dx = −^R_a^bf dx.

Uwaga 11.1.1. Wprost z definicji oraz uwagi 10.2.2 dostajemy, że każda funkcja stała w przedziale [a, b] jest całkowalna w sensie Riemanna w tym przedziale. Ponadto, jeśli c ∈ R oraz f (x) = c dla x ∈ [a, b], to ^R_a^bf dx = c(b − a).

Istnieją funkcje ograniczone w przedziale domkniętym, które nie są całkowalne w sensie Riemanna. Przykładem takiej funkcji jest funkcja Dirichleta (patrz uwaga 10.2.3).

Z własności 10.1.6 dostajemy natychmiast

Własność 11.1.2. Niech f ∈ R([a, b]) oraz niech m = inf f ([a, b]), M = sup f ([a, b]).

Wówczas

(11.1) m(b − a) 6

Z b

a f dx 6 M (b − a).

237

(10)

Z własności dolnej i górnej całki Darboux (twierdzenia 10.2.8, 10.2.9) dostajemy Twierdzenie 11.1.3. Niech f, f₁, f₂ ∈ R([a, b]), niech g : [a, b] → R oraz niech c ∈ R.

Wówczas

(a) f₁+ f₂ ∈ R([a, b]) oraz cf ∈ R([a, b]) i

Z b a

(f₁+ f₂)dx =

Z b a

f₁dx +

Z b a

f₂dx oraz

Z b a

cf dx = c

Z b a

f dx.

(b) Jeśli f₁(x)6 f2(x) dla x ∈ [a, b], to

Z _b

a

f₁dx 6

Z _b

a

f₂dx.

(c) Jeśli M ∈ R jest takie, że |f (x)| 6 M dla x ∈ [a, b], to

Z b a

f dx

6 M (b − a).

(d) Jeśli a < c < b, to f ∈ R([a, c]) i f ∈ R([c, b]) oraz

Z b a

f dx =

Z c a

f dx +

Z b c

f dx.

(e) Jeśli a < c < b i g ∈ R([a, c]) oraz g ∈ R([c, b]), to g ∈ R([a, b]).

Dowód. Ad. (a) Z twierdzenia 10.2.8(b) dostajemy (11.2) ^R_a^b

—f₁dx+ ^R_a^b

— f₂dx 6^Ra^b

—(f₁+ f₂)dx6^Ra^b (f₁+ f₂)dx6^Ra^b f₁dx+^R_a^b f₂dx.

Z założenia f₁, f₂ ∈ R([a, b]), mamy

Z b a

f₁dx =

Z b

—a

f₁dx =

Z b a

f₁dx oraz

Z b a

f₂dx =

Z b

—a

f₂dx =

Z b a

f₂dx.

Zatem (11.2) jest ciągiem równości. To daje pierwszą część (a). Druga część (a) wynika natychmiast z twierdzenia 10.2.8(c)(d). Istotnie dla c = 0 teza jest oczywista. Dla c > 0 mamy

Z b

—a

cf dx = c

Z b

—a

f dx = c

Z b a

f dx = c

Z b a

f dx =

Z b a

cf dx.

Dla c < 0 zaś

Z b

—a

cf dx = c

Z b a

f dx = c

Z b a

f dx = c

Z b

—a

f dx =

Z b a

cf dx.

Ad. (b) Część (b) wynika natychmiast z twierdzenia 10.2.8(a).

(11)

11.1. CAŁKA RIEMANNA 239 Ad. (c) Ponieważ −M 6 f (x) 6 M dla x ∈ [a, b], więc −M 6 inf f ([a, b]) oraz sup f ([a, b])6 M . Zatem z własności 11.1.2 dostajemy

−M (b − a) 6

Z b

a f dx 6 M (b − a), co daje (c).

Ad. (d) Z twierdzenia 10.2.9, mamy

Z b

—a

f (x)dx =

Z c

—a

f (x)dx+

Z b

—c

f (x)dx 6

Z c a

f (x)dx+

Z b c

f (x)dx =

Z b a

f (x)dx.

Z założenia ^R_a^b

— f (x)dx =^R_a^b f (x)dx, więc powyżej zachodzi ciąg równości. Z własności 10.2.1 mamy ^R_a^c

—f (x)dx 6^Ra^c f (x)dx oraz ^R_c^b

—f (x)dx 6^Rc^b f (x)dx. W konsekwencji,

Z c

—a

f (x)dx =

Z c a

f (x)dx oraz

Z b

—c

f (x)dx =

Z b c

f (x)dx.

To daje, że f ∈ R([a, c]), f ∈ R([c, b]) i zachodzi (d).

Ad. (e) Ponieważ g ∈ R([a, c]) oraz g ∈ R([c, b]), więc z twierdzenia 10.2.9 dostajemy

Z b

—a

g(x)dx =

Z c

—a

g(x)dx+

Z b

—c

g(x)dx =

Z c a

g(x)dx+

Z b c

g(x)dx =

Z b a

g(x)dx,

więc g ∈ R([a, b]).

Uwaga 11.1.4. W analizie rozważa się również tak zwaną całkę Riemanna-Strieltjesa lub krótko całkę Stieltjesa. Jest to uogólnienie całki Riemanna. Całkę Stieltjesa definiujemy następująco:

Definicja całki Stieltjesa. Niech α będzie funkcją rosnącą określoną na przedziale [a, b].

Dla każdego podziału P = (x₀, ..., x_n) przedziału [a, b] określamy ∆α_i = α(x_i) − α(x_i−1).

Dla dowolnej funkcji rzeczywistej f ograniczonej na przedziale [a, b], kładziemy kolejno m_i = inf f ([xi−1, x_i]), M_i = sup f ([xi−1, x_i]), i = 1, ..., n.

L(P, f, α) =

n

X

i=1

m_i∆α_i oraz U (P, f, α) =

n

X

i=1

M_i∆α_i

Z b a

f dα = inf{U (P, f, α) : P jest podziałem przedziału [a, b]}.

Z b

—a

f dα = sup{L(P, f, α) : P jest podziałem przedziału [a, b]}.

Jeśli ^R_a^b f dα =^R_a^b

— f dα, to tę wspólną wartość nazywamy całką Riemanna-Strieltjesa lub krótko całką Stieltjesa funkcji f względem funkcji α na przedziale [a, b] i oznaczamy^R_a^bf dα.

(12)

Można pokazać, że całka Stieltjesa ma analogiczne własności do twierdzenia 11.1.3 oraz do twierdzeń z następnych punktów: 11.2.1, 11.2.2, 11.3.1, 11.4.2. Przy dodatkowych założeniach o funkcji α zachodzą również analogiczne własności do pozostałych twierdzeń w następnych punktach.

11.2 Warunki istnienia całki Riemanna

Podamy teraz równoważne warunki całkowalności funkcji w sensie Riemanna.

Z definicji całki Riemanna i z twierdzeń 10.2.6 oraz 10.2.7 mamy

(a) f ∈ R([a, b]) oraz (11.3)

Z b a

f (x)dx = A.

n→∞ δ(P_n) = 0, zachodzi

(11.4) lim

n→∞L(P_n, f ) = A oraz lim

n→∞U (P_n, f ) = A.

(c) Istnieje ciąg (Pn)^∞_n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że zachodzi (11.4).

Dowód. Wobec definicji całki Riemanna, (11.3) jest równoważne temu, że

Z b

—a

f (x)dx = A oraz

Z b a

f (x)dx = A.

Zatem z twierdzeń 10.2.6, 10.2.7 dostajemy implikacje (a)⇒(b)⇒(c). Z (c) mamy A 6^Ra^b

—f dx i ^R_a^b f dx 6 A, zatem ^Ra^bf dx = A. To daje implikację (c)⇒(a). Twierdzenie 11.2.2. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na prze- dziale [a, b]. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) f ∈ R([a, b]).

(b) dla każdego ε > 0 istnieje η > 0, że dla każdego podziału P przedziału [a, b] takiego, że δ(P) < η zachodzi

(11.5) U (P, f ) − L(P, f ) < ε.

(c) dla każdego ε > 0 istnieje podział P przedziału [a, b] taki, że zachodzi (11.5).

Dowód. Udowodnimy implikację (a)⇒(b). Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje ε₀ > 0 takie, że dla każdego η > 0 istnieje podział P przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η,

(13)

11.2. WARUNKI ISTNIENIA CAŁKI RIEMANNA 241 że zachodzi U (P, f ) − L(P, f )> ε0. W szczególności dla każdego n ∈ N istnieje podział P_n przedziału [a, b] taki, że δ(P_n) < ¹_n oraz

(11.6) U (P_n, f ) − L(P_n, f ) > ε0. Niech A =^R_a^bf dx. Ponieważ lim

n→∞δ(P_n) = 0, więc twierdzenia 11.2.1 wynika, że

n→∞lim L(P_n, f ) = A = lim

n→∞U (P_n, f ).

To przeczy (11.6). Otrzymana sprzeczność daje, że przypuszczenie było fałszywe.

Implikacja (b)⇒(c) jest oczywista.

Udowodnimy implikację (c)⇒(a). Weźmy dowolne ε > 0. Z (c) mamy, że istnieje podział P przedziału [a, b] taki, że zachodzi (11.5). Zatem z definicji dolnej i górnej całki Darboux mamy

06

Z b a

f (x)dx−

Z b

—a

f (x)dx 6 U (P, f ) − L(P, f ) < ε.

Stąd i z dowolności ε > 0 mamy^R_a^b f (x)dx =^R_a^b

—f (x)dx, więc f ∈ R([a, b]). To daje (a).

Twierdzenie 11.2.3. Niech f ∈ R([a, b]) oraz m, M ∈ R będą takie, że m 6 f (x) 6 M dla x ∈ [a, b],

przy czym niech m < M . Niech ϕ będzie funkcją ciągłą w przedziale [m, M ] oraz niech h(x) = ϕ(f (x)), x ∈ [a, b].

Wówczas h ∈ R([a, b]).

Dowód. Niech K ∈ R będzie takie, że |ϕ(t)| < K dla t ∈ [m, M ]. Weźmy dowolne ε > 0 i niech

ε⁰ = ε b − a + 2K.

Ponieważ ϕ jest funkcją jednostajnie ciągłą, więc istnieje δ > 0 taka, że δ < ε⁰ oraz dla każdych t⁰, t⁰⁰ ∈ [m, M ] zachodzi

(11.7) |t⁰− t⁰⁰| < δ ⇒ |ϕ(t⁰) − ϕ(t⁰⁰)| < ε⁰.

Ponieważ f ∈ R([a, b]), więc istnieje podział P = (x₀, ..., x_n) przedziału [a, b] taki, że (11.8) U (P, f ) − L(P, f ) < δ².

Niech

m_i = inf f ([x_i−1, x_i]), M_i = sup f ([x_i−1, x_i]) oraz niech

m^∗_i = inf h([x_i−1, x_i]), M_i^∗ = sup h([x_i−1, x_i])

(14)

dla i = 1, ..., n. Niech A będzie zbiorem tych i ∈ {1, ..., n} dla których M_i− m_i < δ oraz niech B – zbiorem tych i ∈ {1, ..., n}, że M_i− m_i > δ.

Zauważmy, że dla i ∈ A mamy

(11.9) ^X

i∈A

(M_i^∗ − m^∗_i)(x_i− x_i−1)6 ε⁰(b − a).

Istotnie, z definicji M_i^∗ i m^∗_i dostajemy, że dla każdego η > 0 istnieją x⁰, x⁰⁰ ∈ [x_i−1, x_i] takie, że h(x⁰)> Mi^∗− ^η₂ oraz h(x⁰⁰)6 m^∗i + ^η₂. Zatem

M_i^∗− m^∗_i − η 6 h(x⁰) − h(x⁰⁰).

Ponieważ i ∈ A, więc

|f (x⁰) − f (x⁰⁰)| < δ i wobec (11.7), |h(x⁰) − h(x⁰⁰)|6 ε⁰.

Stąd dostajemy, że M_i^∗− m^∗_i− η 6 ε⁰ i wobec dowolności η > 0, że M_i^∗− m^∗_i 6 ε⁰. To daje (11.9).

Z (11.8) i określenia zbioru B mamy δ^X

i∈B

(x_i− x_i−1)6^X

i∈B

(M_i− m_i)(x_i − x_i−1)6 U (P, f ) − L(P, f ) < δ²,

więc ^P_i∈B(x_i− x_i−1) < δ. Z wyboru liczby K mamy M_i^∗ − m^∗_i 6 2K dla i ∈ {1, ..., n}, więc

X

i∈B

(M_i^∗− m^∗_i)(x_i− x_i−1)6 2K^X

i∈B

(x_i− x_i−1) < 2Kδ < 2Kε⁰. Stąd i z (11.9) mamy

U (P, h)−L(P, h) =^X

i∈A

(M_i^∗−m^∗_i)(x_i−x_i−1)+^X

i∈B

(M_i^∗−m^∗_i)(x_i−x_i−1) < ε⁰(b−a+2K) = ε.

To, wobec twierdzenia 11.2.2 daje, że h ∈ R([a, b]) i kończy dowód. Twierdzenie 11.2.4. Jeśli f, g ∈ R([a, b]), to

(a) f g ∈ R([a, b]), (b) |f | ∈ R([a, b]) oraz

Z b a

f dx

6

Z b a

|f |dx.

Dowód. Ad. (a) Wobec twierdzenia 11.1.3 mamy f + g, f − g ∈ R([a, b]). Zatem biorąc funkcję ϕ(t) = t², t ∈ R, w myśl twierdzenia 11.2.3 mamy, że

(f + g)² = ϕ(f + g) ∈ R([a, b]) oraz (f − g)² = ϕ(f − g) ∈ R([a, b]).

W konsekwencji

f g = 1

4[(f + g)²− (f − g)²] ∈ R([a, b]).

(15)

11.3. CIĄGŁOŚĆ A CAŁKOWALNOŚĆ 243 Ad. (b) Przyjmując ϕ(t) = |t|, t ∈ R, z twierdzenia 11.2.3 dostajemy, że |f | ∈ R([a, b]).

Niech c ∈ {−1, 1} będzie takie, że c^R_a^bf dx > 0. Wtedy, cf (x) 6 |f (x)| dla x ∈ [a, b], zatem z twierdzenia 11.1.3(a)(b) mamy

Z b a

f dx

= c

Z b a

f dx =

Z b

a cf dx 6

Z b a

|f |dx.

To kończy dowód.

Twierdzenie 11.2.5. Niech f ∈ R([a, b]). Jeśli f (x) > 0 dla x ∈ [a, b], to^R_a^bf (x)dx > 0.

Dowód. Ponieważ f (x) > 0 dla x ∈ [a, b], to z twierdzenia 11.1.3(b) dla dowolnych c, d ∈ R takich, że a 6 c < d 6 b dostajemy, że ^Rc^df (x)dx > 0. Przypuśćmy przeciwnie, że^R_a^bf (x)dx 6 0. Wtedy ^Ra^bf (x)dx = 0. Zauważmy, że

(11.10)

Z d c

f (x)dx = 0 dla dowolnych c, d ∈ R takich, że a 6 c < d 6 b.

Istotnie, w przeciwnym razie dla pewnych a6 c < d 6 b zachodzi ^Rc^df (x)dx > 0, a więc

Z b a

f (x)dx =

Z c a

f (x)dx +

Z d c

f (x)dx +

Z b d

f (x)dx > 0, co przeczy przypuszczeniu.

Zauważmy, że istnieje ciąg przedziałów domkniętych (Pn)^∞_n=1 taki, że

(11.11) [a, b] ⊃ P₁ ⊃ P₂ ⊃ . . .

oraz dla każdego n ∈ N,

(11.12) f (x) 6 1

n dla x ∈ P_n.

Istotnie, ^R_a^bf (x)dx = 0, więc z twierdzenia 11.2.1 istnieje podział P₁ = (x₀, ..., x_n) prze- działu [a, b] taki, że U (P1, f ) < b − a, a więc istnieje i, że dla P₁ = [xi−1, x_i] zachodzi (11.12). Wobec (11.10) mamy^R_x^xⁱ

i−1f (x)dx = 0, więc podobnie jak wyżej istnieje podział P₂ = (y₀, ..., y_m) przedziału P₁ taki, że U (P₂, f ) < ¹₂(x_i− x_i−1), a więc istnieje przedział P₂ ⊂ P₁ dla którego zachodzi (11.12). Postępując dalej indukcyjnie dostajemy, że istnieje zapowiedziany ciąg przedziałów (P_n).

Ponieważ (P_n) jest ciągiem przedziałów domkniętych spełniającym (11.11), więc ist- nieje punkt z ∈^T^∞_n=1P_n. Wtedy z ∈ [a, b] i wobec (11.12), f (z)6 0. To przeczy założeniu.

11.3 Ciągłość a całkowalność

Z twierdzenia 11.2.2 dostajemy