Dla wyprowadzenia równania Boltzmanna przyjmujemy iż zajmujemy się klasycznym gazem idealnym
( w szczególności dwie cząstki możemy uważać za rozróżnialne i posiadające w pełni klasyczne własności tj. cząstki mają określone położenie i pęd ), ponadto zakładamy iż cząstki oddziałują ze sobą centralnymi, dwuciałowymi siłami
odpychającymi. Założenie to pozwala nam ominąć komplikacje związane z długożyjącymi stanami „związanymi” dwóch cząsteczek. Zakładamy, że wpływ ścianek naczynia w jakim znajduje się gaz cząstek polega na ich sprężystym odbiciu.
Zakładamy dalej, że potencjał oddziaływania dwuciałowego ma bardzo silny odpychający rdzeń i skończony zasięg a.
Rys. 2.1 Typowe potencjały dwuciałowe – potencjał Lennarda-Jonesa φLJ oraz potencjał Weeksa-Chandlera-Andersona φWCA.
Przyjmijmy że gaz o wymienionych własnościach o liczbie cząsteczek N, znajduje się w naczyniu o objętości V.
Gaz jest rozrzedzony co oznacza, że średnia objętość przypadająca na cząsteczkę jest znacznie większa od rozmiarów cząsteczki :
V/N >> a3 lub równoważnie
na3 << 1 , n = N/V – liczba cząsteczek w jednostce objętości.
Zdefiniujmy funkcje rozkładu F(r, v, t) gazu w 6-wymiarowej przestrzeni położeń i prędkości (r, v) : F(r, v, t) drdv ≡ liczba cząsteczek w obszarze drdv w chwili t
Aby otrzymać równanie spełniane przez F(r, v, t), wybieramy obszar drdv wokół punktu ( r, v) tej przestrzeni, wystarczająco duży, aby zawierał wiele cząstek. Ale mały w porównaniu z zasięgiem zmienności F.
Istnieją cztery procesy zmieniające liczbę cząsteczek w wybranym obszarze – cząsteczki mogą : 1) przepływać do dr i z dr – unoszenie (dryf)
2) opuścić obszar dv w wyniku zderzenia (straty)
3) wejść do obszaru dv w wyniku zderzenia odwrotnego (zysk) 4) zderzyć się ze ścianką
Przyjmijmy, że istnieje taka skala czasu dt wystarczająco długa na to, aby w tym czasie w każdej komórce drdv zaszła wystarczająco duża liczba zderzeń i jednocześnie zbyt krótka na to, aby cząsteczki minęły komórkę o rozmiarach dr.
Wówczas zmianę liczby cząsteczek w drdv zachodzącą w czasie dt możemy przedstawić jako :
[ F(r, v, t + dt ) – F(r, v, t)] drdv = Gf – G– + G+ + Gw (***)
gdzie człony Gf , G– , G+ , Gw – odpowiadają zmianą w F w wyniku czterech wymienionych powyżej procesów.
Wyznaczając zmiany F, zakładamy dodatkowo, ze każda z cząsteczek wybranego małego obszaru zderza się nie więcej niż jeden raz w czasie dt.
Człon dryfowy Gf możemy zapisać jako różnicę liczby cząsteczek wchodzących do wybranego obszaru i opuszczających go w czasie dt. Dla obszaru w kształcie komórki sześciennej otrzymamy (po zaniedbaniu członów rzędu dt2 i wyższych ) : Gf = – drdv dt v •∇ F(r, v, t)
Wyznaczając G– musimy znaleźć liczbę zderzeń jakich w czasie dt doznają cząsteczki o prędkości dv zawarte w obszarze drdv, przy założeniu, że w wyniku każdego zderzenia prędkość cząsteczki ulega zmianie.
Aby to zrobić rozważymy pojedynczą cząsteczkę o prędkości v i założymy, ze w pewnej chwili z przedziału czasu [ t, t + dt] zderza się ona z cząsteczką o prędkości v1. Wprowadzimy teraz układ współrzędnych o początku w środku cząsteczki o prędkości v i o osi z skierowanej wzdłuż wektora :
g = v1 – v
Wprowadzimy teraz pojęcie walca zderzeń :
Sfera tworząca walca ma promień a, równy zasięgowi oddziaływania ( gdy cząsteczki są twardymi kulami, to a jest po prostu ich średnicą )
Jeżeli cząsteczka o prędkości v1 znajduje się w chwili t wewnątrz walca zderzeń o objętości | v1– v |πa2 dt, to zderzy się ona z cząsteczką o prędkości v w pewnej chwili z przedziału czasu [ t, t + dt]
Wyznaczymy G– uwzględniając, że :
i) liczba walców zderzeń w obszarze drdv jest równa liczbie cząsteczek o prędkości v znajdujących się w obszarze F(r, v, t)drdv
ii) każdy walec zderzeń ma podaną objętość, a całkowita objętość takich walców jest równa iloczynowi liczby walców i objętości każdego z nich :
F(r, v, t)drdv | v1– v |πa2 dt
iii) jeśli chcemy wyznaczyć liczbę zderzeń (v1, v ) zachodzących w krótkim odcinku czasu, to musimy dokładnie znać położenie cząsteczki i śledzić ruch wszystkich cząsteczek w czasie od chwili t do t + dt.
Chcąc uniknąć dokładnego wyznaczania trajektorii, zastępując je określonym przekonującym argumentem pozwalającym obliczyć G– przyjmujemy za Boltzmannem takie założenie ( Stosszahlansatz – ansatz zderzeniowy )
Całkowita liczba zderzeń (v1, v ) zachodzących w czasie dt jest równa całkowitej objętości walców zderzeń (v1, v ) pomnożonej przez liczbę cząsteczek o prędkości v1na jednostkę objętości.
Po scałkowaniu względem v1otrzymujemy : G– = F(r, v, t)drdv
∫
dv1 dt πa2 | v1– v | F(r, v1, t )Gaz musi być rozrzedzony, założyliśmy bowiem, że walce nie zachodzą na siebie i zaniedbaliśmy zderzenia więcej niż dwóch cząsteczek. Założyliśmy również, ze funkcja F jest w przybliżeniu stałą na odcinku dr, co pozwala użyć funkcji rozkładu obu zderzających się cząsteczek wyznaczonych dla tego samego położenia r.
Wszystkie założenia poczynione przy wyznaczaniu G– objęte są wspólna nazwą założenia o chaosie molekularnym.
W tym kontekście założenie to oznacza, że prawdopodobieństwo zderzeń dwóch cząsteczek o danych prędkościach można obliczyć, rozważając każdą cząsteczkę oddzielnie i całkowicie zaniedbując wszelkie korelacje pomiędzy
prawdopodobieństwem znalezienia jednej cząsteczki o prędkości v oraz drugiej o prędkości v1 w obszarze dr.
Aby wyznaczyć G+ musimy wiedzieć jak wygląda zderzenie dwóch cząsteczek, jeśli po zderzeniu jedna z nich porusza się z prędkością v.
W pierwszej kolejności wykorzystuje się tutaj zasady zachowania pędu, momentu pędu i energii, spełnienie tych zasad gwarantuje, ze parametr zderzenia b, wektor g oraz długość wektora prędkości względnej nie zmieniają się podczas zderzenia.
Rys. 2.2 Zderzenie i zderzenie odwrotne w układzie środka masy pary zderzających się cząsteczek. Zaznaczono walce zderzeń, odpowiednie kąty rozproszenia oraz kąty azymutalne.
Konstruując odpowiednie walce zderzeń i ponownie stosując założenie o chaosie molekularnym możemy znaleźć następujące wyrażenie :
G+ =
∫ ∫ ∫
dv1b dbdε | v1– v’ | F(r, v’, t ) F(r, v’1, t ) dr dv dt Dokładna postać członu Gw zależna jest od dalszych założeń.Po podstawieniu wszystkich członów G do równania (***) i podzieleniu przez dr dv dt otrzymujemy równanie kinetyczne Boltzmanna :
∂ F(r, v, t )/∂t + v •∇ F(r, v, t ) = J(F, F) + Gw gdzie
J(F, F) =
∫ ∫ ∫
dv1b dbdε | v1– v’ | [ F’F’1 – F1F ]primy i indeksy przy symbolach F określają odpowiednie prędkości będące ich argumentami.
Na podstawie :
„Wprowadzenie do teorii chaosu w nierównowagowej mechanice statystycznej” -- J. Robert Dorfman ; PWN 2001 str. 28
Jak widać przedstawiony model gazu idealnego oraz wyprowadzone równanie Boltzmanna opiera się nasz szeregu nietrywialnych założeń, co jest charakterystyczną cechą każdego modelu fizycznego. Warto jednakże zawsze zdawać sobie sprawę z sensu i ograniczeń postawionych założeń danego modelu. Równanie Boltzmanna wraz z innymi założeniami stanowi punkt wyjścia dla dalszych ogólniejszych równań np. równania Własowa [1, 3, 5].
Jądrem „wignerowskiego zdziwienia” jest fakt, że mimo takich nietrywialnych uproszczeń modeli matematycznych ( np.
modelu służącego powyżej dla wyprowadzenia równania Boltzmanna ) modele te mają określoną ( nie banalną ) siłę predykcji.
Czy naprawdę równania są mądrzejsze od ich twórców, albo czy są tak mądre, jak chcemy aby były ?
Studium przypadku zaczerpnięte z OTW
Jako teksy wstępne zobacz :
Podstawy Ogólnej Teorii Względności (OTW) Wybrane problemy OTW
I. Ogólna teoria względności jako zgeometryzowana teoria fizyczna i możliwości jej uogólnień.
Mówi się, że wraz z pojawieniem się OTW rozpoczął się proces geometryzacji fizyki. Już w STW mówimy o jej geometrycznym ujęciu, które polega na modelowaniu czasoprzestrzeni przez przestrzeń Minkowskiego.
( Jest ona przykładem przestrzeni metrycznej tj. przestrzeni w której zdefiniowano metrykę. Fizycznie metryka określona jest przez długości prętów pomiarowych i wskazania zegarów ). Możemy zatem mówić o wykorzystaniu własności geometrycznych do modelowania zjawisk fizycznych.
W OTW proces geometryzacji jest nadzwyczaj wyraźny : wielkość zbudowana ze składowych tensora metrycznego porównywana jest z wielkością czysto fizyczną - „energią”. ( w jej różnych postaciach )
Siła grawitacji zostaje zastąpiona przez odpowiadająca jej w danym punkcie krzywiznę czasoprzestrzeni.
( a raczej przez jej składowe )
Proces geometryzacji teorii fizycznych możemy przedstawić w postaci następujących macierzy zawierających składowe tensora metrycznego.
mechanika newtonowska „sztywna” czasoprzestrzeń „elastyczna” czasoprzestrzeń ( „metryka” absolutnego STW OTW
„sztywnego” czasu + metryka „sztywnej” przestrzeni )