Matematyka i fizyka część IV Ogólnometodologiczne aspekty zastosowania matematyki w fizyce teoretycznej

Matematyka i fizyka część IV

Ogólnometodologiczne aspekty zastosowania matematyki w fizyce teoretycznej

***************************************************************************************************

Data powstania tekstu : 2014-01-01

Ostatnie poprawki : 2014-03-10

***************************************************************************************************

I. Czym w istocie jest matematyka ?

Odpowiedź na powyższe pytanie w zależności od punktu widzenia jest albo oczywista, albo wielce zagmatwana.

Oczywiście, jak się powszechnie mówi, sami matematycy pytań takich nie zadają – pozostawiają je metodologom, filozofom nauki lub innym uczonym, których nie zadowalają odpowiedzi w stylu :

Matematyka, to po prostu pewna dziedzina nauki.

Istotnie, z formalnego punktu widzenia matematyka jest określoną przez własną metodologię dziedziną nauki – jest, to mianowicie nauka aksjomatyczno – dedukcyjna ( i obok np. logiki jest ona przykładem nauki sformalizowanej ).

Jakkolwiek nie będziemy dalej próbowali uściślić lub po prostu wyartykułować definicje matematyki, to powinniśmy się strzec, albo zbytniej ogólności, albo popadania w sztywne (wielokrotnie zbyt sztywne ) formalizacje.

Punkt widzenia, jak wiadomo zależy od punktu siedzenia, co akurat w obecnym przypadku znaczy – od konkretnej dziedziny, z jaką wiąże się matematykę. Logik powie, że matematyka jest działem logiki ( ogólnie powiedziawszy stanowisko takie w filozofii matematyki zwie się logicyzmem ), lingwista ( lub specjalista od języków programowania ) powie, że z jego punktu widzenia matematyka jest odpowiednio zinterpretowanym językiem, rządzącym się określonymi prawami. Matematyk praktyk – po prostu pokaże, czym zajmuje się matematyka na konkretnych przykładach np. pokaże nam teorie równań różniczkowych zwyczajnych (cząstkowych ) wraz z całym swym bogactwem zastosowań i powiązań.

( patrz np. [3] - jeśli nie podano inaczej numery w nawiasie kwadratowym odnoszą się do spisu literatury ogólnej ) Formalista, przykładowo zbuduje układ aksjomatów ( np. aksjomatów teorii mnogości ) i powie iż matematyka (lub konkretny jej dział ) jest ich konsekwencją

Przeglądając liczne opracowania możemy znaleźć poglądowe stwierdzenia w stylu : 1) Matematyka - jest to nauka o nieskończoności ( H. Weyl )

2) Matematyka jest nauką o liczbie i przestrzeni [ 2, str. 17 ]

3) Matematyka jest zbiorem wniosków płynących z dowolnych aksjomatów [1r]

4) Matematyka, jako wyraz myśli ludzkiej, odzwierciedla czynną wolę, kontemplacji rozumu i dążenie do doskonałości estetycznej. Jej podstawowymi elementami są : logika i intuicja, analiza i konstrukcja, uogólnianie i indywidualizowanie.

Różne tradycje podkreślały różne spośród tych aspektów, jednak tylko gra tych przeciwstawnych sił, walka o ich syntezę stanowi o żywotności, użyteczności i ogromnym znaczeniu matematyki. [3, str. 21]

5) Na pytanie „co to jest matematyka” nie można odpowiedzieć w sposób sensowny używając ogólników filozoficznych, definicji semantycznych albo dziennikarskiej paplaniny. Takie charakteryzacje nadają się również do muzyki czy malarstwa. Nie można ocenić wartości tych sztuk bez pewnego wyczucia rytmu, harmonii i struktury, lub formy barwy i kompozycji. Do oceny znaczenia matematyki jest jeszcze bardziej niezbędne wnikniecie w jej istotę. [8, str. 12]

Do tego mamy również różnorakie definicje słownikowe i encyklopedyczne. Nie ma zatem czegoś takiego jak ścisła (lub nawet powszechnie przyjmowana ) definicja matematyki. Fakt ten nie powinien ani dziwić, ani niepokoić – tak być musi. Tak, jak nie ma jednoznacznej definicji czym jest sztuka, filozofia, czy nawet fizyka, tak nie możemy w jednej formule wypowiedzieć, czym jest matematyka ( pomijając zasadność takiego pytania – czym jest to, albo tamto ? - w stosunku do określonej dyscypliny naukowej – czym jest np. psychologia, medycyna, religia itp. ? )

Należy również podkreślić pewną graniczność powyższych dyscyplin naukowych – no, bo przykładowo, gdzie kończy się klasycznie rozumiana filozofia, a zaczyna filozofia matematyki, gdzie poprowadzić granicę pomiędzy matematyką, a fizyką matematyczną, czy chemia to w istocie dział fizyki teoretycznej ( mechaniki kwantowej ) ? itp.

Wraz z rozwojem pojęć matematycznych typu geometrycznego i arytmetycznego ( rozszerzenie pojęcia liczby, obiektu geometrycznego, funkcji itp. ) stało się jasne, że trudno jest utrzymać stanowisko zajmowane np. przez Hermite’a :

„Wierzę, że liczby i funkcje analizy nie są dowolnym wytworem naszego umysłu; sądzę, że istnieją na zewnątrz nas, z takim samym charakterem konieczności, jak przedmioty rzeczywistości obiektywnej, a my spotykamy je lub odkrywamy i badamy, jak fizycy, chemicy i zoologowie” [10, 28].

W miarę jak gromadzą się nowe idee matematyczne, matematycy musieli porzucić wiele ze swych „apriorycznych i rozsądnych” wyobrażeń. Przykładowo dla przypadku pojęcia liczby ( przypomnę, że na początku rozwoju matematyki jedyną „rozsądną” liczbą była liczba naturalna ; dla wielu cywilizacji była to sekwencja 1, 2, 3, 4, 5 , wiele ... ) najpierw pojawiają się liczby niewymierne, ujemne, urojone (zespolone), kwateriony, oktoniony, oraz liczne dalsze uogólnienia.

W stosunku do liczb zespolonych A. Girard powiedział : „Można by rzec : do czego służą te rozwiązania, które są niemożliwe ?. Odpowiadam - do trzech rzeczy, do tego, by upewnić się o regule ogólnej i że nie ma innych rozwiązań i z powodu ich pożyteczności”. [10, str. 29]

Mamy zatem do czynienia z klasycznym schematem recepcji pojęcia matematycznego ( czy też fizycznego ) : odrzucenie jako bezsensowne – przyjęcie jako użyteczne – akceptacja jako nieodzowne.

W pewnym momencie zdano sobie sprawę, że rozszerzenie metody aksjomatycznej jest faktem dokonanym i

nieuchronnym. Natura obiektów matematycznych jest w gruncie rzeczy sprawą drugorzędną, badanie relacji pomiędzy obiektami, które poznajemy i opisujemy następuje za pośrednictwem niektórych ich własności, mianowicie tych, które jako aksjomaty umieszczamy u podstaw ich teorii.

Cantor (1883) mówi :

„matematyka jest całkowicie wolna w swym rozwoju, a pojęcia jej poddane są tylko temu ograniczeniu, że muszą być niesprzeczne i podporządkowane pojęciom wprowadzonym poprzednio za pomocą ścisłych definicji” [10, str. 32]

Dalej Hilbert powie, że nazwy podstawowych pojęć jakieś teorii matematycznej mogą być obrane dowolnie :

„... jeśli słowa „punkt”, „prosta” i „płaszczyzna” zastąpimy słowami „stół”, „krzesło” i „kufel do piwa”, to w geometrii nic się nie zmieni”

Poincare zaś wyraża pogląd, że aksjomaty są „ukrytymi definicjami”.

Współcześnie dominującym jest pogląd zbliżony do logicyzmu, który wyraża się w stwierdzeniu, że całą matematykę można sprowadzić do języka logiki i teorii mnogości. Mówimy o paradygmacie logiczno-teoriomnogościowym Główne cechy tego paradygmatu można scharakteryzować następująco :

i) teoria mnogości staje się podstawową dyscypliną matematyczna, w szczególności metody i pojęcia teorii mnogości pojawiają się we wszystkich teoriach matematycznych i wszystkie pojęcia matematyczne mogą być zdefiniowane za pomocą pojęć teorii mnogości.

ii) język teorii matematycznych zostaje ściśle oddzielony od języka potocznego, staje się on językiem sztucznym w którym wszystkie pojęcia są ściśle zdefiniowane za pomocą pojęć pierwotnych, przy czym definiowanie to odbywa się według ściśle określonych i sprecyzowanych zasad.

iii) wszystkie teorie matematyczne zostały w zasadzie zaksjomatyzowane.

iv) wyraźnie oddziela się teorię matematyczną i jej język z jednej strony oraz metateorię i jej język z drugiej v) sprecyzowano dwa istotne pojęcia dla matematyki, a mianowicie pojęcie konsekwencji i pojęcie dowodu.

[14, str. 11]

W kontekście niniejszej pracy warto zauważyć i uwypuklić istnienie koncepcji quasi-empirystyczne, których prekursorem był Imre Lakatos ( pośrednio wpływ na ten kierunek miał również K. Popper ). W takim podejściu akcentuje się wpływ praktyki badawczej matematyków na tworzoną przez nich matematykę. Lakatos stawia tezę, że matematyka tak jak i nauki przyrodnicze, jest nauką omylną, a nie pewną i niepodważalną :

„Matematyka nie rośnie poprzez monotoniczne gromadzenie niepodważalnie ustalonych twierdzeń, lecz poprzez ciągłe ulepszanie zgadywań metodą spekulacji i krytyki, za pomocą posługiwania się logiką dowodów i kontrprzykładów”.

[14, str. 31]

W kontekście quasi-empiryzmu ważnym jest zauważenie, iż mamy tutaj do czynienia ze specyficzną formą poznania matematycznego podobną (ale nie identyczną ) z metodą empiryczną. Matematycy wielokrotnie w swej drodze ku nowym odkryciom posługują się pewnym schematem w którym sens używanych symboli jest nieformalny, a ich użycie wynika z metody prób i błędów ( jest pewnym dopasowaniem ). Przykładem jest tutaj metoda różniczek – nieskończenie małych ( dx/dy ), rachunek z użyciem pojęcia nieskończoności ∞ ( np. arytmetyka typu ∞ + ∞ = ∞ ).

Można tutaj również wymienić wiele pojęć analizy matematycznej – kształtowanie się pojęcia granicy funkcji, zbieżności szeregów, pojęcie pochodnej itp.

Jeszcze inne podejście proponuje Raymond L. Wilder ( Mathematics as a cultural system ) – matematyka jest jednym z wielu systemów kulturowych ( tak jak technika czy polityka ), „prawdy” matematyczne są wytwarzane w toku rozwoju historycznego ( a nie odkrywane ), rozwój matematyki ma charakter ewolucyjny ( ewolucja jest tutaj rozumiana w sensie darwinowskim ), historią matematyki rządzą „prawa” rozumiane jako pewne wzory zachowań kulturowych

charakteryzujące się powtarzalnością.

[16, str. 273]

Mamy więc pierwsze zagadnienie związane z relacją matematyki i praktyki empirycznej :

Pojęcia - konstrukcje matematyczne mogą pojawiać się jako twory powstałe w wyniku potrzeby empirycznej – np.

powstanie geometrii, arytmetyki, funkcji i jej pochodnej, mogą również powstawać w jako wynik konsekwencji pewnego schematu logicznego np. sformalizowana teoria mnogości, teoria modeli.

Obie takie drogi splatają się w licznych miejscach i we współczesnej matematyce trudno je rozdzielić.

Rozwiniecie powyższego zagadnienia będzie stanowiło treść dalszego tekstu – jaki jest związek matematyki i świata zewnętrznego ( przejawiającego się nam poprzez dane empiryczne )

Czy możemy przychylić się do następującej (mniej lub bardziej reprezentatywnej ) opinii :

„Matematyka jest częścią fizyki. Fizyka jest nauką doświadczalną, jedną z nauk o przyrodzie, a matematyka jest tą częścią fizyki, w której

doświadczenia są bardzo tanie” – W. I. Arnold ( artykuł pt. „O nauczaniu matematyki” ) Czy też powinniśmy poprowadzić wyraźną linie podziału pomiędzy światem fizycznym, a konstrukcjami matematycznymi :

„Czy matematykę wymyślamy, czy odkrywamy ? Czy matematycy tylko tworzą skomplikowane konstrukcje umysłowe, które choć naprawdę nie są „realne”, to jednak ich elegancja i siła tak dalece ogłupiają nawet ich twórców, że wierzą oni w ich „realność” ?

Czy też matematycy rzeczywiście odkrywają prawdy już istniejące – prawdy, których istnienie zupełnie nie zależy od ich działań ?”

[21, str. 116] ( podaje cytat z książki Penrosea, ponieważ jest on obecnie uważany za czołowego platonika pośród fizyków matematycznych, jednakże zobacz również [20] )

Metoda dedukcyjno –aksjomatyczna.

Dla dalszych celów niniejszego tekstu wystarczy określone podejście formalno-logiczne – ogólnie mówiąc przyjmiemy, że matematyka jest pewnym zbiorem aksjomatów oraz reguł wnioskowania. Jak wiemy stanowisko takie nie jest ani jedyne, ani w pełni zadowalające. [ 1, od str. 124]

Jak już powiedziano, nie ma jednakże w tej materii podejścia, które byłoby jednoznacznie i dla wszystkich

satysfakcjonujące (w każdym aspekcie ). Jest to raczej reguła – nie ma nauki ( z którą wiążą się nietrywialne i niebanalne treści ), którą można byłoby ująć w karby jednoznacznych i zupełnych definicji.

Wydaje się, że o jasności i pewności takich klasyfikacji, możemy mówić tylko w pewnych konkretnych i wysoce sprecyzowanych obszarach nauki np. w teorii liczb, geometrii euklidesowej, teorii względności – w pewnych ich aspektach. Innymi słowy możemy jedynie jasno i klarownie powiedzieć np. czym zajmuje się teoria liczb, na jakich aksjomatach się opiera, jakie stosuje narzędzia, np. jaki jest zakres zastosowania ma teoria względności i jakich używa modeli itp.

Można powiedzieć - nie ma ściśle określonych teorii globalnych. Nie ma jednoznacznego fundamentu na jakim opiera się matematyka. Można oczywiście powiedzieć iż matematyka opiera się np. na teorii mnogości tj. wszelkie inne działy matematyki można wyprowadzić korzystając z pojęć mnogościowych, ale po pierwsze sama teoria mnogości opiera się na określonych i dowolnych w pewnym zakresie aksjomatach ( np. istnieje podejście nicantorowskie ), a po drugie wiemy, że matematykę można uprawiać i bez korzystania z wyników teorii mnogości.

Taki status nieostrości ( lub precyzji, ale tylko dla zagadnień tylko wyidealizowanych ) jak będę starał się wykazać przysługuje również teoriom fizycznym ( jako konsekwencja lub jako powód – nieostrości świta fizycznego )

W tym kontekście zapewne zrozumiałe jest zniechęcenie do matematyki ludzi, którzy upatrywali w niej opoki na jakiej spocząć może myśl ludzka. Od matematyki spodziewali się pewności i jednoznaczności, ale kiedy zagłębili się w jej detalach okazało się, że jest to konstrukcja równie chwiejna i umowna jak np. fizyka, czy nawet astrologia.

[2, str. 292]

Być może pierwszymi ludźmi, którzy napotkali tego rodzaju nieprzyjemności płynące ze strony rozumowania

matematycznego byli pitagorejczycy – świat miał być liczbą ( miał się wyrażać przez liczby ), oczywiście chodziło o liczby całkowite. Los ( a raczej nieubłagane konsekwencje określonej struktury ) był nieubłagany – liczby całkowite nie są jedynymi możliwymi, ba nie są nawet czymś dominującym. Tak po raz pierwszy upada idea jednoznacznego zamknięcia konstrukcji świata w modelu matematycznym, realizowanym poprzez określone konstrukcje matematyczne.

Oczywiście pewność i jednoznaczność istnieje (musi istnieć generycznie ) w matematyce : 2 + 2 = 4 , poprzez dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta itp.

Wiemy jednakże iż pewność taka nie wynika z samej matematyki, ale z reguł posługiwania się obiektami matematycznymi.

Jeśli zdefiniujemy trójkąt ( na płaszczyźnie w przestrzeni Euklidesa, lub przy innych założeniach ) jako figurę geometryczną, mającą dokładnie trzy boki o dokładnie jednym wspólnym punkcie dla każdego z nich ( lub podając definicje analogiczne ), to nie możemy mówić, że np. każdy kwadrat jest trójkątem.

Jeśli określimy konkretne reguły arytmetyki, to 2 + 2 = 4 – zawsze i bez warunkowo.

Jeśli takie są zasady, to i takie są wnioski płynące z tych zasad. Jeśli nie łamiemy zasad, a więc nie łamiemy praw wnioskowania określonych na wstępie – nie otrzymujemy wtedy niejednoznaczności ( lub nawet sprzeczności ).

Powiemy, że wnioski z twierdzeń matematycznych są niepodważalne – tak działa metoda aksjomatyczno-dedukcyjna.

Jednakże same aksjomaty i prawa wedle jakich posługujemy się nimi w celu uzyskania dalszych twierdzeń danego systemu formalnego mogą być dowolne.

Metoda aksjomatyczna. Jak powszechnie wiadomo najwcześniejszym znanym systemem dedukcyjnym określonym metoda aksjomatyczną tj. poprzez wyróżnienie pewnych zdań jako aksjomatów, był system geometrii wyłożony w Elementach przez Euklidesa ( IV w p.n.e. )

Ogólne zarysy tego systemu są również powszechnie znane. Najpierw wyodrębniamy układu tzw. pojęć pierwotnych, tj.

pojęć o możliwie jasnym sensie intuicyjnym. Następnie ustalamy pewien układ zdań zwanych aksjomatami, w których sformułowane są niektóre własności pojęć pierwotnych. Aksjomaty powinny ujmować w formie abstrakcyjnej pewne związki zachodzące pomiędzy przedmiotami rzeczywistymi, z których wyabstrahowaliśmy pojęcia pierwotne.

Za twierdzenia danej teorii uznaje się aksjomaty oraz te zdania, które są logicznymi konsekwencjami aksjomatów, definicji oraz twierdzeń poprzednio już udowodnionych.

Oczywiście już na początku pojawia się problem jakie wybrać aksjomaty, które są bardziej odpowiednie dla danej teorii, które są bardziej logiczne, intuicyjne, poglądowe itp.

Można powiedzieć iż podstawowym celem jaki chce się osiągnąć aksjomatyzując daną teorię jest wyraźne oddzielenie jej struktury logicznej od intuicyjnych lub nieokreślonych wyraźnie treści. Łatwiej jednak powiedzieć niż wykonać.

Współcześnie zdajemy sobie sprawę ze wszystkich problemów i stajemy na kompromisowym stanowisku :

„Przy wyborze aksjomatyk logicznie równoważnych specjaliści kierować się mogą bardzo różnymi kryteriami. Cenną zaletą może być „komunikatywność” aksjomatyki, wyrażająca się „intuicyjnością” oraz „prostotą” aksjomatów, a także

„przejrzystością” wzajemnych powiązań między nimi. Wszystkie te cechy są stopniowalne, ale żadna z nich nie jest definiowalna w sposób ścisły. Stanowią one pewne praktyczne kryteria doboru aksjomatyk, nie dające się wyrazić w formie jasnych dyrektyw teoretycznych” [12, str. 26]

Z krytyką roli aksjomatów w matematyce ( szczególnie teorii mnogości ) można zapoznać się np. z artykułu P. Maddy „Wierząc w aksjomaty” [14, str. 158]

Dalej pojawia się problem tego czym w istocie jest definicja. Termin „definicja” używany jest w nauce, filozofii i w praktyce życiowej w sposób wieloznaczny tak, że nie można podać jakieś jednej jego definicji. Teoria definicji stanowi obszerny dział metodologii nauk w której to wyróżnia się różnorakie rodzaje definicji. [ zobacz 12, str. 79]

Dla celów matematycznych możemy przyjąć iż :

„Najpopularniejsza jest następujące koncepcja – jeśli dana jest formuła Φ(a1, ... , an , x ) taka, że dla dowolnych a1, ... , an istnieje dokładnie jedno x spełniające warunek Φ(a1, ... , an , x ), to Φ nazywamy definicją x.

Wątpliwości co do takiego ujęcia najczęściej są następujące :

1) czy koniecznie musi istnieć x ( dlaczego mielibyśmy pozbawić się możliwości definiowania czegoś, czego nie ma ? ) 2) czy istnieje dokładnie jedno z ( czemu nie : każdy taki, że ... )

3) czym musimy umieć wskazać ( = skonstruować ) owo x.

Na pierwsze dwa pytania współcześni matematycy odpowiadają zgodnie – koniecznie. Trzecie pytanie stało się punktem podziału, tym bardziej, ze odpowiedź „nie musimy” każe zapytać : a jakimi środkami wolno nam dowodzić istnienia ?”

[11, str. 48]

Aksjomatyzacja jest pierwszym krokiem do zbudowania systemu aksjomatycznego, krokiem drugim jest formalizacja.

Przeprowadzając formalizacje systemu aksjomatycznego dokonujemy sprecyzowania pojęcia wyrażenia zdaniowego ( sensownego ) tego systemu oraz aksjomatów i reguł wnioskowania z których korzysta się w dowodach i twierdzeniach tego systemu. Od zbioru aksjomatów i zbioru definicji na gruncie formalnym wymaga się by były one obliczalne tj. aby można było efektywnie rozstrzygnąć o każdym wyrażeniu danego systemu, czy jest ono aksjomatem i czy jest definicją.

Od zbioru pierwotnych operacji wnioskowania wymaga się by był on obliczalnym zbiorem operacji obliczalnych.

Można pokusić się o następującą definicję :

Systemem aksjomatycznym jest uporządkowana para < A, K > , gdzie A – jest obliczalnym zbiorem będącym sumą trzech rozłącznych zbiorów obliczalnych : zbioru aksjomatów logicznych, zbioru aksjomatów specyficznych i zbioru definicji, K – jest obliczalnym zbiorem obliczalnych operacji wnioskowania.

Od takiego systemu wymagamy aby był on :

- niesprzeczny ( wśród jego tez nie występują dwa wyrażenia sprzeczne ) - zbiór jego aksjomatów był niezależny

- zbiór jego aksjomatów był zupełny ( z każdej pary zdań sprzecznych zapisanych w języku tego systemu przynajmniej jedno jest tezą tego systemu )

- rozstrzygalny ( zbiór jego tez jest zbiorem obliczalnym ) [17, od str. 322]

Formalizacja teorii. Ogólnie powiedziawszy - formalizacja danej teorii T na płaszczyźnie syntaktycznej polega na scharakteryzowaniu języka tej teorii L, zbioru jej aksjomatów A oraz zdefiniowaniu operatora konsekwencji C.

Język formalny jest w pełni scharakteryzowany ( syntaktycznie tj. gdy pomija się znaczenie wyrażeń ), gdy ustalony jest jego słownik – zbiór wyrażeń prostych S i gramatyka G.

Słownik zawiera wyrażenia proste (atomowe) należące w ogólności do różnych kategorii syntaktycznych – stałe logiczne ( spójniki zdaniowe i kwantyfikatory ), stałe indywiduowe ( nazwy określonych obiektów ), zmienne indywiduowe ( reprezentujące dowolne obiekty z pewnego zbioru ), symbole predykatów ( nazwy relacji ), nazwy funkcji, znaki

przestankowe ( średniki, przecinki , nawiasy itp. ). Zazwyczaj rozpatruje się języki elementarne pierwszego rzędu. Ponadto zbiór wyrażeń prostych musi być obliczalny tj. musi istnieć efektywna metoda rozstrzygająca, czy dany obiekt – wyrażenie jest lub nie jest elementem zbioru. Słownik może jednakże być zbiorem nieskończonym np. możemy wprowadzić

nieskończoną liczbę zmiennych lub stałych indywiduowych.

Gramatyka języka musi określać jakie ciągi wyrażeń prostych są wyrażeniami poprawnie zbudowanymi danym języku.

Zbiór aksjomatów jest dowolnym, niepustym, niesprzecznym i obliczalnym zbiorem formuł ( wyrażeń ) języka L.

Najczęściej jest to zbiór skończony. Aksjomaty z definicji są oczywiście wyrażeniami przyjmowanymi bez dowodu, często jednakże do zbioru aksjomatów dołącza się również definicje ( również przyjmowane bez dowodu )

Operator konsekwencji jest definiowany przez wskazanie skończonego zbioru inferencji { r1 , ... rn } tj. pewnej reguły wskazującej jakiej postaci wyrażenie może być dołączone do podanego sytemu ( jako kolejne twierdzenie ).

Reguły takie muszą posiadać określone własności np. powinny być niezawodne tj. powinny prowadzić do prawdziwych wniosków na podstawie prawdziwych przesłanek.

Wykorzystując operator konsekwencji C ze zbioru aksjomatów A otrzymujemy dalszy zbiór aksjomatów A*.

Można powiedzieć – dobrze, ale w powyższy schemat można byłoby wpisać np. teorię muzyki – przecież tu też mamy do czynienia z określonym językiem i określoną struktura utworu muzycznego, poezja – jest tutaj język i określona forma ( może i dowolna ale jakaś jest ), numerologia czy też astrologia również szczycą się własnym językiem ( hermetycznym, lub sformalizowanym jak kto woli ) i własną strukturą wnioskowań.

II. Sztandarowe teorie aksjomatyczne w matematyce.

Bez wątpienia głównym celem matematyki ( jak można przeczytać w stwierdzeniu nr 2, punkt I ) jest badanie liczby i przestrzeni tj. analiza zależności arytmetycznych i geometrycznych. Oczywiście fakt ten nie jest bez związku z faktem, jakie pojęcia matematyczne zostały wypracowane w pierwszej kolejności – zważywszy na potrzeby życia codziennego, były to pojęcia liczby i miary (geometrycznej ) - zobacz tekst pt. „Szkic o fizyce i jej historii, matematyce i filozofii”.

Poprzez pryzmat geometrii i arytmetyki, widać doskonale sedno samej metody aksjomatyczno-dedukcyjnej tj. jej

możliwości, uogólnienia i ograniczenia. Teorie te miały również głęboki wpływ na kształtowanie się fizyki matematycznej.

Przecież to właśnie liczba naturalna i geometria Euklidesa stały się podstawą dla sformułowania paradygmatu

matematyczności przyrody – mechanika newtonowska, to w istocie odpowiednio zinterpretowana geometria euklidesowa.

Z wymienionych powodów warto krótko, zastanowić się nad sednem aksjomatycznego sformułowania tych dwóch teorii.

Geometria jako przykład pierwszej teorii aksjomatycznej.

Jako pojęcia pierwotne geometrii euklidesowej przyjmuje się : zbiór S zwany przestrzenią, którego elementy nazywamy punktami, dwie klasy podzbiorów zbioru S, których elementy nazywamy odpowiednio – prostymi i płaszczyznami oraz dwie relacje na elementach zbioru S – jedną trójargumentową, nazywaną relacją leżenia między, druga czteroargumentową, nazywana relacją równej odległości.

Układ aksjomatów geometrii euklidesowej dzieli się na pięć grup : pierwsza grupa składa się z 9 aksjomatów, które ustalają teoriomnogościowe zależności pomiędzy punktami, prostymi i płaszczyznami ; druga grupę stanowi 9 aksjomatów

uporządkowania, które mówią o relacji leżenia między ; trzecia grupa składająca się z 8 aksjomatów przystawania, dotyczy relacji równej odległości ; grupę czwartą tworzy jeden aksjomat ciągłości, podobnie grupę piąta tworzy jeden aksjomat Euklidesa. Aksjomat ten jest równoważny piątemu postulatowi Euklidesa. Dla geometrii Bolyai-Łobaczewskiego mamy zaprzeczenie tego aksjomatu. Geometrie w których nie wprowadza się tego postulatu nazywa się geometriami absolutnymi.

Oczywiście wprowadzając wszystkie te aksjomaty geometrii, korzystamy w sposób istotny z teorii mnogości, logiki matematycznej czy też pojęć topologicznych.

Każdy model opisanej teorii aksjomatycznej można nazywać 3-wymiarową przestrzenią euklidesową, oznacza się ją jako E3 [ zobacz 13]

Oczywiście powyżej wymieniony układ aksjomatów nie jest jedynym możliwym.

Przykładowo Euklides wychodzi od następujących aksjomatów ( oczywiście spis ten nie jest pełny ) : 1) Punkt jest tym co nie ma części

2) Linia to długość bez szerokości 3) Końcami linii są punkty

4) Prosta to linia jednakowo położona względem swoich punktów 5) Powierzchnia jest tym, co ma tylko długość i szerokość 6) Brzegami powierzchni są linie

7) Płaszczyzna to powierzchnia jednakowo położona względem swoich punktów Dalej określa się kąty pomiędzy liniami i inne pojęcia geometryczne [11, str. 49]

Pierwszym, który podjął się próby konsekwentnego zaksjomatyzowania geometrii Euklidesa był D. Hilbert ( 1899, Grundlagen der Geometrie – jest tłumaczenie rosyjskie )

[10, str. 27]

Korzystając z pojęć pierwotnych i opierając się na aksjomatach geometrii euklidesowej możemy wyprowadzić nowe pojęcia i badać ich własności. W zależności od przyjętych aksjomatów możemy budować różne rodzaje geometrii : Euklidesową, Bolyai-Łobaczewskiego, rzutową, Minkowskiego, Riemanna lub jeszcze inne.

Która geometria jest lepsza, prawdziwa czy też bardziej użyteczna ?

Oczywiście pytania takie są pozbawione sensu – każda z tych geometrii, a nawet geometrii jakie powstaną w dalszym toku rozwoju matematyki jest odpowiednia i prawdziwa w ramach swoich kompetencji.

Aksjomatyzacja arytmetyki.

Pierwsze aksjomatyczne ujęcie arytmetyki liczb naturalnych zostało zaproponowane w 1889 roku przez G. Peano.

Sformułowanie to było w dalszym okresie wielokrotnie modyfikowane i ulepszane.

Arytmetyką Peano PA nazywa się teorię sformalizowaną I rzędu oparta na klasycznym rachunku predykatów.

Aksjomaty arytmetyki Peano dzieli się na trzy grupy : aksjomaty logiczne, aksjomaty równości i aksjomaty pozalogiczne.

Aksjomaty logiczne tworzą pełny układ aksjomatów rachunku zdań.

Aksjomaty równości systemu arytmetyki Peano są następujące : 1) x = x

2) x = y → y = z 3) x = y ∧ y = z → x = z 4) x = y → S(x) = S(y) 5) x = y → x + z = y + z 6) x = y → z + x = z + y 7) x = y → x • z = y • z 8) x = y → z • x = z • y

Aksjomaty pozalogiczne, a więc właściwie aksjomaty arytmetyki Peano są następujące : 1) S(x) = S(y) → x = y

2) ¬ ( 0 = S(x)) 3) x + 0 = x

4) x + S(y) = S(x + y ) 5) x • 0 = 0

6) x • S(y) = x • y + x

7) ϕ(0) ∧

∧

∧

x x

Aksjomat 1) mówi, że funkcja następnika jest różnowartościowa, aksjomat 2) mówi, że 0 nie jest następnikiem żadnej liczby, aksjomaty 3) – 6) przyjmuje się niekiedy za definicje rekurencyjne funkcji dodawania i mnożenia, aksjomat 7) zwany aksjomatem indukcji jest schematem nieskończenie wielu aksjomatów – dla każdej konkretnej formuły zdaniowej ϕ(x) języka arytmetyki Peano otrzymujemy jeden aksjomat głoszący, że jeżeli 0 ma własność ϕ i jeżeli dla dowolnego x, z tego, iż x ma własność ϕ wynika, ze s(x) ma też własność ϕ, to dla dowolnego x, x ma własność ϕ.

Jako reguły wnioskowania przyjmujemy następujące reguły :

[15, str. 70 - 75] ( zobacz również [1a, str. 115] )

Opierając się na przyjętych aksjomatach i regułach dowodzenia można udowodnić w arytmetyce Peano wszystkie podstawowe twierdzenia elementarnej teorii liczb naturalnych. Arytmetyka Peano jest więc oparta na nieskończonym zbiorze aksjomatów.

Język arytmetyki Peano możemy interpretować na różne sposoby. Standardowo wyróżnia się pewną interpretacje naturalną ℜ, nazywaną dalej interpretacją standardową. Niech ℜ = ( N, 0, S + , • ) , gdzie N jest zbiorem liczb naturalnych

{ 0, 1, 2, ... } , 0 – to liczba zero, S – jest funkcją następnika, + , • - są odpowiednio dodawaniem i mnożeniem liczb naturalnych.

Wszystkie aksjomaty arytmetyki Peano są spełnione przy interpretacji ℜ i dlatego ℜ nazywa się modelem standardowym arytmetyki PA. Jednakże arytmetyka Peano ma dużo modeli i to nawet nieizomorficznych z ℜ.

Teoria mnogości.

Teoria mnogości ( wraz z logiką matematyczną ) jest przez wielu matematyków uważana za system podstaw matematyki.

Całość współczesnej matematyki daje się w zasadzie ugruntować na układzie aksjomatów fundujących teorie mnogości np.

na systemie Zermelo-Fraenkla-Skolema ( w skrócie ZFS ). Oznacza to z jednej strony, że wszystkie pojęcia matematyczne dają się zdefiniować za pomocą spójników logicznych, kwantyfikatorów i podstawowych pojęć teorii mnogości, oraz z drugiej – że wszystkie twierdzenia każdego z działów matematyki dają się wyprowadzić z aksjomatów teorii mnogości oraz definicji odpowiednich pojęć.

Nie jest jednak tak, że teoria mnogości pozbawiona jest własnych ( wewnętrznych ) trudności. W pierwszej kolejności kantorowskie pojęcie zbioru ( oparte na pojęciu intuicyjnym ), okazało się wewnętrznie sprzeczne, co stwarzało możliwość zaistnienia różnych sposobów precyzowania tego pojęcia.

W wyniku czego oprócz systemu ZFS powstały inne aksjomatyczne systemy teorii mnogości np. von Neumanna-Bernaysa- Gödla lub Morse’a-Kelleya. ( i nie są one całkowicie równoważne )

Teoria mnogości w pierwotnym ujęciu Cantora nie miała charakteru aksjomatycznego. Z tego względu nazywa się ją niekiedy naiwną.

Aby pojęcie zbioru sformalizować w pewnym stopniu, wprowadzimy następujące cztery aksjomaty [ 18 str. 17 ] : 1) Aksjomat jednoznaczności. Jeśli zbiory A i B mają te same elementy, to A i B są identyczne.

( jeżeli zbiory są identyczne to zapisujemy A = B ). Jest to aksjomat ekstensjonalności.

2) Aksjomat sumy. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B i który nie zawiera żadnych innych elementów.

3) Aksjomat różnicy. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami są te i tylko te elementy zbioru A, które nie są elementami zbioru B.

4) Aksjomat istnienia. Istnieje co najmniej jeden zbiór. ( może to być np. zbiór pusty )

Oczywiście nie wyczerpujemy w ten sposób pełnej listy aksjomatów, są to jedynie aksjomaty które wystarczają do sformułowania pojęcia zbioru(ów) i wprowadzenia na nich działań algebraicznych. Dla dalszego ugruntowania pojęć mnogościowych wprowadza się jeszcze inne. Przykładami dalszych aksjomatów mogą być :

5) Aksjomat wyróżniania. Dla każdego zbioru A i warunku S(x) istnieje zbiór B złożony z tych i tylko tych elementów x zbioru A, które spełniają warunek S(x).

Warunek wyróżniania zastępuje warunek abstrakcji ( prowadzący do paradoksu Russella ). Nie zakładał on bowiem, że zakres zmienności x ograniczony jest do A. Właśnie ta dowolność prowadziła do wspomnianego paradoksu.

6) Aksjomat pary. Dla każdych dwóch zbiorów istnieje zbiór, do którego oba te zbiory należą ( zatem postulujemy istnienie rodziny zbiorów)

7) Aksjomat zbioru potęgowego. Dla każdego zbioru istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie podzbiory danego zbioru. Cantor wykazał, że zbiór potęgowy ma zawsze większą liczebność niż zbiór wejściowy.

8) Aksjomat nieskończoności. Istnieje zbiór, który zawiera 0 i następnik każdego swojego elementu.

Aksjomat ten pozwala zdefiniować liczby naturalne.

9) Aksjomat wyboru. Dla każdego zbioru A istnieje funkcja wyboru f, taka, ze dla każdego niepustego podzbioru B zbioru A, f(B) jest elementem B.

Aksjomatyka ZFS

[ 2, str. 123]

III. Matematyka na nie – geometria nieeuklidesowa, niecantorowska teoria mnogości analiza niestandardowa i inne.

Zapewne pierwszą teorią matematyczną na nie, była geometria nieeuklidesowa. Jak wiadomo zakwestionowanie słuszności V postulatu Euklidesa ( postulatu o równoległych ) doprowadziło do zbudowania systemów aksjomatycznych, geometrii innych niż geometria Euklidesa. Jak również wiadomo, w zależności od przyjętego aksjomatu, który zastępuje pierwotny V aksjomat Euklidesa możemy wyróżnić geometrię :

Łobaczewskiego ( hiperboliczną ) i Riemanna ( eliptyczną )

Logiczną niesprzeczność geometrii nieeuklidesowych wykazujemy na podstawie niesprzeczności 3-wymiarowej geometrii euklidesowej – jeśli ta ostatnia jest niesprzeczna, to niesprzeczna jest również 2-wymiarowa geometria nieeuklidesowa.

Mówimy, że powierzchnia sfery euklidesowej jest modelem aksjomatów geometrii nieeuklidesowej [2, str. 196]

Tabela 3.1 Porównanie własności trzech różnych geometrii.

[2, str. 195]

Niecantorowska teoria mnogości – alternatywne teorie mnogości.

W analogiczny sposób w jaki powstały geometrie nieeuklidesowe, zbudowano strukturę matematyczną którą nazywa się niecantorowską teoria mnogości. ( prace Paula J. Cohena ). Podobnie jak geometria euklidesowa i nieeuklidesowa posługują się tymi samymi aksjomatami, z jednym wyjątkiem – aksjomatu o równoległych, tak cantorowska i niecantorowska teorie mnogości różnią się tylko jednym aksjomatem. Niecantorowska teoria mnogości przyjmuje aksjomaty ograniczonej teorii mnogości i dołącza do nich nie aksjomat wyboru, ale pewną formę jego negacji.

W szczególności można przyjąć jako aksjomat negacje hipotezy continuum.

Jak widać w przykładach geometrii nieeulidesowych i niecantorowskich teorii mnogości, jedna z możliwości budowania nowych „podejść” do „starych, dobrych” teorii jest przyjęcie innych aksjomatów ( jednego, kilku – można wziąć ich zaprzeczenia lub aksjomaty równoważne ). Należy również w tym kontekście zauważyć w jaki sposób matematycy formułują teorie aksjomatyczne. Aksjomaty nie są czymś przyjmowanym ad hoc, aksjomaty są czymś przyjmowanym raczej pos factum. Zazwyczaj jest tak, że najpierw powstaje, nie sformalizowana wersja danej teorii, a później próbuje się podać dla takiej teorii odpowiednie aksjomaty.

Kolejną możliwością formułowania (przeformułowywania ) teorii matematycznych jest przyjęcie zupełnie nowej aksjomatyki. Takie podejście dla przypadku teorii mnogości proponuje np. szkoła Petra Vopênki

Petr Vopênka – “Mathematics in the alternative set theory” , Leipzing 1979 Tłumaczenie rosyjskie Moskwa Mir 1983

[14, str. 137]

Dla niniejszego tekstu pozwolę sobie podać pewien reprezentatywny cytat z pracy : Petr Vopênka – “Mathematics in the alternative set theory” , Leipzing 1979 Tłumaczenie rosyjskie Moskwa Mir 1983

“Matematyk tworzy obiekty i ustanawia związki pomiędzy nimi. Robi to różnymi sposobami i nie będziemy próbowali opisywać ich tutaj w pełnej ogólności.

Obiekty i relacje, tworzące przedmiot badań matematyki istnieją tylko w naszej wyobraźni. Dla różnorodnych celów matematycy tworzą złożone światy złożone z takich obiektów. Nasza analiza będzie poświęcona jednemu ze szczególnych takich światów obiektów matematycznych”

Analiza niestandardowa.

Analiza niestandardowa stanowi pewne nowe ( sformalizowane ) podejście do starego problemu, zapoczątkowanego przez Leibniza ( jednego z twórców rachunku różniczkowego ), mianowicie problemu wielkości nieskończenie małych

( np. w postaci infinitezymalnych przyrostów dx, dy i ich stosunku dx/dy )

Centralnym pojęciem jest sformalizowanie własności zbioru liczb hiperrzeczywistych.

„Pierwsze co należy uściślić w podanych w poprzednim rozdziale „niestandardowych” rozważaniach – to pojęcie wielkości nieskończenie małej. Jeden z zasadniczych momentów analizy niestandardowej związany jest z tym, że nieskończenie małe rozpatrywane są nie jak wielkości zmienne ( tj. jako funkcje, dążące do zera, jak uczą nas współczesne podręczniki ), a jak wielkości stałe. Warto zauważyć, ze takie podejście jest zgodny zarówno z intuicją badacza, jak i z rzeczywista historią narodzin analizy matematycznej. Co tyczy się intuicji, to wystarczy otworzyć dowolny podręcznik fizyki, aby natknąć się na nieskończenie małe przyrosty, nieskończenie małe objętości itp. Wszystkie te wielkości są rozumiane nie jako zmienne, po prostu jako wielkości bardzo małe – prawie równe zero. Byłoby nieprawidłowe przyjmować iż tego typu analizy intuicyjne są obecne tylko w podręcznikach do fizyki. Czy bowiem matematycy nie przyjmują ( poglądowo) element długości ds jako „nieskończenie małą drogę” ?

Matematyk, zestawiając odpowiednie równanie różniczkowe, powie że w nieskończenie małym czasie dt punkt przebył nieskończenie małą drogę ds, a ilość materii radioaktywnej zmienia się o nieskończenie małą wielkość dN.

Co zaś tyczy historii analizy matematycznej, to w najbardziej jaskrawej formie przedstawione podejście pojawiło się u jednego z twórców tej dyscypliny – Leibniza. W maju 1984 roku upłynęło 300 lat od dnia, w którym symbole dx i dy po raz pierwszy pojawiły się na stronach publikacji matematycznej, a dokładnie na stronach artykułu Leibniza [7]

Właśnie to Leibniz lepiej niż inni odczuwał wielkości nieskończenie małe, jako wielkości stałe ( chociaż robił to w postaci wyobrażeniowej ), wielkości specyficzne, to Leibniz sformułował zasady operowania takimi wielkościami w postaci określonych rachunków.

Zatem będzie nam chodziło o liczby nieskończenie małe. Jaka liczbę należy nazwać nieskończenie małą ? Oczywiście, w pierwszej kolejności będzie to zero !

Jednakże fakt taki nie jest interesujący – interesujące będzie znaleźć liczbę nieskończenie małą, nie równą zero ( np. liczbę dodatnią ).

Zatem jaką dodatnią liczbę większą od zera, należy nazywać nieskończenie małą ?”

Cytat pochodzi z książki pt.

Co to takiego analiza niestandardowa ? -- W. A. Uspienskij ; Moskwa Nauka 1987 ( dostępne tłumaczenie własne )

Logiki nieklasyczne.

1) Logika intuicjonistyczna.

Intuicjonizm jest kierunkiem w podstawach matematyki, który przeciwstawia się innym poglądom w podejściu do kwestii dotyczących natury struktur nieskończonych, natury dowodu, istnienia przedmiotów matematycznych. Logika

intuicjonistyczna ma odzwierciedlać intuicjonistyczne metody dowodu, kodyfikować intuicjonistyczne dopuszczalne metody argumentacji. Koncepcja intuicjonistyczna, została rozwinięta przez Brouwera. Dla Brouwera matematyka jest swobodnym tworzeniem właściwym dla umysłu ludzkiego. Język i symbolizm, to tylko środek komunikacji i

zapamiętywania. Logika daje reguły języka, operowania symbolami, ale nie samej matematyki. Fundament matematyki stanowi „pierwotna intuicja” liczb naturalnych. Ta intuicja jest aprioryczna i może być sprowadzona do zjawiska podziału jedności, powtarzanej nieograniczenie wiele razy.

Niesprzeczność jest dla intuicjonistów warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym istnienia. „Istnieć” – znaczy – być skonstruowanym. Wystarczające jest okazanie możliwości wykonania konstrukcji. Konstrukcje te maja z konieczności charakter skończony. Nie jest uprawnione rozpatrywanie jako zakończonych procesów składających się z nieskończenie wielu oddzielnych aktów. Dlatego niektóre prawa logiki klasycznej mogą nie stosować się do dziedzin nieskończonych.

Tak jest z prawem wyłączonego środka. Może się bowiem zdarzyć, że dla pewnego zdania A nie potrafimy udowodnić konstruktywnie A ani dowieść konstruktywnie sprzeczności z A. Tak więc nie zachodzi A ∨ ~A.

Tertium non datur i niektóre prawa logiki klasycznej są więc odrzucone przez Brouwiera jako nie uzasadnione, a właściwie błędne uogólnienia rozumowań, dotyczące skończonych dziedzin świata fizycznego. Dla dziedzin skończonych Brouwer utrzymywał wszystkie prawa logiki klasycznej i klasyczne dowody.

2) Logiki wielowartościowe.

W logice klasycznej przyjmujemy, że zdaniom logicznym możemy przyporządkować tylko dwie wartości – zdania logiczne są albo prawdziwe, albo fałszywe ( innej możliwości nie ma - tertium non datur ). W latach 20 tych XX wieku pojawiła się konkretna propozycja, aby wprowadzić trzecią ( później dalsze ) możliwość – zdanie może być „możliwe”.

Idee te tradycyjnie wiąże się z nazwiskiem polskiego logika Jana Łukasiewicza. Zapoczątkowanie takiej logiki wiąże się z jego książką pt. „O zasadzie sprzeczności u Arystotelesa” ( PWN 1987 ).

Na podstawie :

„Logika formalna – zarys encyklopedyczny” - red. W. Marciszewski ; PWN 1987 3) Logika kwantowa.

Bardzo wyraźnym przykładem w jaki sposób dane empiryczne generują nowe struktury matematyczne jest powstanie logiki związanej z mechaniką kwantową. Jak widać nawet w tak bardzo formalnej kwestii jaką są prawa logiki doświadczenie może nam bardzo wiele podpowiedzieć ( poprowadzić ku nowym schematom ).

Jeden z twórców MQ John von Neumann postawił pytanie dlaczego własności obiektów kwantowych opisywane są właśnie przez operatory w przestrzeni Hilberta ?

Odpowiedział on na tak postawione wraz z Birkhoffem – jest to związane z istnieniem szczególnej struktury

matematycznej – kraty ortomodularnej, posiadającej własności określonej struktury logicznej z operacjami logicznymi AND ∧, OR ∨, NOT ~

w której jednakże naruszane jest klasyczne prawo logiki boolowskiej : A ∧ ( B ∨ C ) ≠ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )

co w konsekwencji prowadzi do teorii kwantowej wraz z jej niekomutującymi operatorami.

Logika naszego myślenia jest logiką dystrybucyjną (boolowską ) w MQ realizuje się inna logika – ogólnie logika nie boolowska. W takiej logice możliwe jest np. stwierdzenie, że punktowy elektron o określonym pędzie ( własność A ), przelatujący przez ekran z dwoma szczelinami ( własności B, C ) tj. A ∧ ( B ∨ C ) – nie jest tym samym, co punktowy elektron przelatujący albo przez szczelinę B albo przez szczelinę C.

Na podstawie artykułów.

„O zagadnieniu interpretacji fizyki kwantowej” – A. A. Grib UFN, grudzień, 2013 t. 183 Nr. 12

„

IV. Teoria modeli.

Różne modele algebry Boole’a

Algebrą Boole’a nazywa się układ uporządkowany < K, 0, 1, ‘ , +, *, = > wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki :

1) K jest niepustym zbiorem, zaś 0 i 1 są jego dwoma różnymi elementami.

2) Zbiór K jest zamknięty ze względu na działania oznaczone symbolami ‘, +, *.

Pierwsze z tych działań jest działaniem jednoargumentowym, nazywanym dopełnieniem, dwa następne są działaniami dwuargumentowymi, zwanymi dodawaniem i mnożeniem.

3) Relacja oznaczona symbolem =, jest relacją dwuczłonową równoważnościową taką, że dla dowolnych elementów x, y, z ∈ K : jeśli x = y to x + z = y + z i x * z = y * z

4) Dla dowolnych elementów x, y, z ∈ K prawdziwe są następujące aksjomaty dotyczące działań oraz elementów 0 i 1 : a1) x + 0 = x b1) x * 1 = x

a2) x + x’ = 1 b2) x * x’ = 0 a3) x + y = y + x y b3) x * y = y * x

a4) x + ( y * z ) = ( x + y ) * ( x + z ) b4) x * ( y + z ) = ( x * y ) + ( x * z )

Na podstawie przyjętych założeń można dowieść następujących twierdzeń : x = y → x’ = y’

x + ( y + z ) = ( x + y) + z x * ( y * z ) = ( x * y) * z x + x = x

X * x = x ( x + y )’ = x’ * y’

( x * y )’ = x’ + y’

x’’ = x x * 0 = 0 x + 1 = 1 1’ = 0 0’ = 1

Jeśli po zastąpieniu stałych systemu algebry Boole’a danego systemu otrzymujemy z aksjomatów systemu algebry Boole’a twierdzenia danego systemu, to mówimy, że system algebry Boole’a ma interpretacje w danym systemie.

System algebry Boole’a ma interpretacje w wielu różnych systemach.

Przykładowo zastępując znak ‘ znakiem \ , znak + przez ∪, znak * , znakiem ∩, symbol 1 na zbiór jednostkowy, 0 na zbiór pusty ∅ i rozumiejąc znak = jako znak równości zbiorów, otrzymujemy interpretacje systemu algebry Boole’a w rachunku zbiorów.

A. Grzegorczyk – Filozoficzne aspekty matematyki , w Leksykon matematyczny – red. M. Kordos, M. Skwarczyński , W. Zawadowski, WP 1993

Jak zatem widać system formalny może mieć wiele modeli.

W tym miejscu warto wspomnieć o twierdzeniach związanych z teorią modeli, myślę tutaj głownie o twierdzeniach Löwenheima-Skolema.

Niech T będzie dowolnym zbiorem zdań danego języka L. System A nazywamy modelem T, jeśli każde zdanie F ze zbioru T jest prawdziwe w A.

Twierdzenie. Każdy niesprzeczny zbiór formuł ( danego języka L ) ma model.

Twierdzenie. Jeśli każdy skończony podzbiór danego zbioru T ma model, to również i T ma model.

Twierdzenie Löwenheima-Skolema. Jeżeli zbiór T zdań języka L ma model nieskończony, to ma model każdej mocy

≥ card L = card Fm(L) , gdzie card Fm(L) – jest, to moc zbioru wszystkich formuł języka L.

Izomorfizm modeli. Dwa modele systemu formalnego są izomorficzne, jeśli mają tę sama formę, a różnią się co najwyżej treścią. Model systemu formalnego nazywamy modelem niestandardowym, jeśli nie jest on izomorficzny ze standardowym ( lub zamierzonym ) modelem tego systemu.

Twierdzenie (Skolem ). Jeśli teoria arytmetyczna pierwszego rzędu ( z identycznością ) posiada model zamierzony, to posiada również model normalny, który nie jest izomorficzny z tym modelem zamierzonym

Lub inne sformułowanie powyższego twierdzenia. Każda teoria pierwszego rzędu ( z identycznością ), która ma być aksjomatyzacją teorii liczb, o ile w ogóle posiada model, to ma model, który nie jest nawet izomorficzny z jej modelem zamierzonym.

Teoria niestandardowych modeli arytmetyki znana jest jako arytmetyka niestandardowa. Abraham Robinson stosując podobne podejście do systemu formalnego teorii liczb rzeczywistych zbudował teorię analizy niestandardowej.

Twierdzenie. Żadna teoria pierwszego rzędu nie może mieć jako jedynego swego modelu, modelu którego dziedziną jest zbiór liczb naturalnych.

Na podstawie :

„Logika matematyczna” - Z. Adamowicz, P. Zbierski ; PWN 1991

„Metalogika” - G. Hunter ; PWN 1982

Zobacz również (omówienie semantycznych implikacji twierdzeń Löwenheima-Skolema ) :

„Teizm i filozofia analityczna” cz. 2 - J. Źyciński ; Znak 1985 Podam pewien reprezentatywny cytat :

IVa. Teoria kategorii.

W ramach teorii modeli napotykamy więc kolejny problem ( wcześniej już mowa była o problemach metody aksjomatyczno-dedukcyjnej ) związany z funkcjonowaniem złożonych struktur matematycznych. W tym miejscu podkreślam iż wszystkie takie problemy w kontekście celów jakie stawia sobie niniejszy tekst, należy odnosić do relacji matematycznych modeli fizyki. Innymi słowy problemy matematyczne są w istocie problemami z jakimi należy liczyć się w modelowaniu matematycznym.

Oprócz zagadnień związanych z teorią modeli np. paradoks Skolema, w strukturach matematycznych wyróżnić możemy określone prawidłowości – struktury matematyczne mogą być pomiędzy sobą powiązane określonym rodzajem morfizmów i dualności. Najogólniej zagadnienie to można ująć w ramach teorii kategorii i funktorów

Według opinii wielu matematyków teoria kategorii i funktorów stanowi kolejną czwartą rewolucje w sposobie formułowania pojęć matematycznych.

Zgodnie z Ju. I. Maninem „język kategorii realizuje „socjologiczne” podejście do obiektu matematycznego : grupa lub przestrzeń rozpatruje się nie jako zbiór z wewnętrznie przysługującą mu strukturą, ale członek rodziny sobie podobnych”.

Jak się okazuje język ten jest językiem naturalnym, wiążącym różnorodne obiekty i konstrukcje i pozwalającym na jasne i treściwe definicje w złożonych sytuacjach.

1. Pojęcie kategorii

Ogólnie kategorią ℑ nazywamy :

1) klasę ( lub też mniej ogólnie zbioru ) Ob ℑ, której elementy nazywamy obiektami kategorii

2) zbiór morfizmów między dowolnymi dwoma obiektami Mor (A, B ) ; A, B ∈ Ob ℑ, o następujących własnościach :(

morfizm jest to w istocie funkcją , która każdej parze obiektów A, B przypisuje pewien zbiór – elementy tego zbioru nazywamy morfizmami – odwzorowania z A do B.

i) Mor(A, B) ∩ Mor(C, D) = ∅ dla (A, B ) ≠ ( C, D ) A, B, C, D ∈ Ob ℑ,

ii) dla każdej trójki A, B, C ∈ Ob ℑ, określono prawo kompozycji tj. odwzorowania : Mor (A, B ) × Mor( B, C ) → Mor( A, C )

f ∈ Mor (A, B ), g ∈ Mor( B, C ) → g ° f ∈ Mor( A, C )

iii) f ° ( g ° h ) = ( f ° g ) ° h dla wszystkich h ∈ Mor (A, B ), g ∈ Mor( B, C ), f ∈ Mor (C, D ) iv) dla każdego A ∈ Ob ℑ,istnieje morfizm :

idA ∈ Mor( A, A ) taki, że :

idA ° f = f , g ° idA = g

dla wszystkich f ∈ Mor (B, A ), g ∈ Mor( A, B ) Sumę :

∪

wszystkich kategorii ℑ oznaczamy jako Mor ℑ.

Często morfizm f ∈ Mor( A, B ) wygodnie jest zapisywać jako : f : A → B

Jeżeli obiekty kategorii są wyposażone w struktury tego samego typu ( np. przestrzenie topologiczne lub grupy ), to jako morfizmy wybiera się zazwyczaj odwzorowania, które zachowują te struktury ( np. odwzorowania ciągłe, homomorfizmy grup lub odwzorowania zachowujące porządek )

W ten sposób możemy otrzymać kategorię przestrzeni topologicznych, kategorię grup lub kategorię zbiorów

uporządkowanych. Według takiej ogólnej definicji klasa przestrzeni metrycznych i morfizmów będących odwzorowaniami ciągłymi jest kategorią.

W wielu kategoriach morfizmy nazywają się homomorfizmami i zamiast Mor piszemy Hom.

Morfizm Mor(A, A ), nazywa się endomorfizmem, co zapisujemy jako End(A, A ) Morfizm f ∈ Mor(A, B ), nazywa się :

i) izomorfizmem ( bijekcją ), jeśli istnieje taki morfizm g ∈ Mor(B, A ), ze : f ° g = idB i g ° f = idA

W tym przypadku g nazywa się morfizmem odwrotnym do f, co zapisujemy następująco : g = f–1

Izomorfizmy z End(A) nazywa się automofrizmami.

ii) monomorfizmem ( injekcją ), jeśli równość : f ° g1 = f ° g2 ; g1, g2 ∈ Mor(C, A)

jest możliwa tylko przy g1= g2.

iii) endomorfizmem ( surjekcją ), jeśli równość : h1° f = h2 ° f ; h1, h2 ∈ Mor(B, D)

jest możliwa tylko przy h1= h2.

Obiekt X ∈Ob ℑ nazywa się uniwersalnym obiektem odpychającym kategorii ℑ, jeśli dla dowolnego A ∈ Ob ℑ zbiór Mor(X, A) składa się dokładnie jednego elementu.

Wszystkie uniwersalne obiekty odpychające, jeśli takie istnieją w danej kategorii są wzajemnie izomorficzne.

Obiekt Y ∈Ob ℑ nazywa się uniwersalnym obiektem przyciągającym kategorii ℑ, jeśli dla dowolnego A ∈ Ob ℑ zbiór Mor(A, Y ) składa się dokładnie jednego elementu.

Wszystkie uniwersalne obiekty odpychające, jeśli takie istnieją w danej kategorii są wzajemnie izomorficzne.

Jeśli ℑ jest kategorią, to kategoria dualna ℑ° definiowana jest jako kategoria mająca te same obiekty, co kategoria ℑ, ale w której ℑ°(X, Y ) = ℑ(Y, X). Kompozycja izomorfizmów f i g w ℑ° definiowana jest jako kompozycja morfizmów g i f w kategorii ℑ.

2. Przykłady kategorii.

1) Kategoria Ens ( jest to najważniejsza z kategorii, ens – jest skrótem od francuskiego słowa ensemble oznaczającego zbiór ). Elementami tej kategorii są zbiory. Zbiorem morfizmów jest zbiór wszystkich odwzorowań

f : A → B

Superpozycją kategoryjną jest superpozycja odwzorowań.

2) Kategoria grup. ( symbolicznie ℜ ) Obiektami tej kategorii są grupy, morfizmami są homomorfizmy grup 3) Kategoria zbioru częściowo uporządkowanego. Morfizmami tej kategorii wcale nie muszą być odwzorowania.

Aby można było wiązać ze sobą kategorie wprowadza się pojęcie funktoru. Funktor przyporządkowuje każdemu obiektowi pierwszej kategorii dokładnie jeden obiekt drugiej kategorii, a każdemu morfizmowi pierwszej kategorii pewien morfizm drugiej kategorii tak, aby spełnione były następujące warunki :

Z własności tych wynika, że np. dowolny funktor z kategorii przestrzeni topologicznych

( lub jakieś jej podkategorii ) w kategorię grup – przeprowadza homeomorfizm w izomorfizm grup, zatem topologicznym przestrzeniom homeomorficznym odpowiadają grupy izomorficzne. Funktory pojawiające się w topologii algebraicznej przyporządkowują przestrzeniom topologicznym grupy jako niezmienniki topologiczne.

Funktorem kowariantnym z kategorii ℑ w kategorie ℑ’ nazywamy zasadę F, która każdemu obiektowi X ∈ℑ przyporządkowuje obiekt F(X) ∈ℑ’ i każdemu morfizmowi f ∈ℑ(X, Y) – morfizm F(f) ∈ℑ’(F(X), F(Y)) i przy tym spełnione są następujące warunki :

i) dla dowolnego X ∈ Obℑ F(idX ) = idF(X)

ii) dla dowolnych dwóch morfizmów f, g ∈ℑ, dla których określona jest ich kompozycja g ° f, powinno być : F( g ° f ) = F(g) ° F(f)

Funktorem kontrawariantnym z kategorii ℑ w kategorie ℑ’ nazywamy funktor kowariantny : F : ℑ° → ℑ’

Pojęcie to jest pojęciem dualnym do funktora kowariantnego.

Pojęcia morfizmów pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki ( czasami pod różnymi nazwami ) i tak przykładowo mamy

i) Izomorfizm przestrzeni liniowych n-wymiarowych.

Definicja. Dwie przestrzenie liniowe Q i Q*, zbudowane nad tym samym ciałem K, nazywa się izomorficznymi, gdy istnieje odwzorowanie, wzajemne jednoznaczne q* = f(q) wektorów przestrzeni Q na Q* o następujących własnościach :

a) f ( α + β ) = f (α) + f (β) b) f (aα ) = a f(α)

Sama funkcja f nazywa się izomorfizmem.

Twierdzenie. Przestrzeń liniowa Q o wymiarze n, zbudowana nad ciałem K, jest izomorficzna z przestrzenią liniowa Kn.

Wniosek. Każdą przestrzeń liniową wymiaru n zbudowaną nad ciałem K możemy badać sprowadzając ją do izomorficznej z nią przestrzeni Kn.

Twierdzenie. Dla każdego n wszystkie przestrzenie n-wymiarowe, rzeczywiste są między sobą izomorficzne.

Twierdzenie. Dla każdego n, wszystkie przestrzenie n-wymiarowe, zespolone są między sobą izomorficzne.

Izomorfizm przestrzeni liniowych jest matematycznym stwierdzeniem faktu, że przestrzenie o tych samych wymiarach i zbudowane nad tym samym ciałem, mają podobne własności np. przestrzeń wektorów geometrycznych ma podobne własności jak przestrzeń odpowiadających im ciągów liczbowych.

ii) Przestrzeń dualna do danej przestrzeni liniowej. Rozpatrzmy w przestrzeni Qn wszystkie możliwe formy liniowe tj.

liniowe funkcje skalarne o argumencie wektorowym.

Twierdzenie. Zbiór Q*n wszystkich form liniowych określonych na przestrzeni Qn sam tworzy przestrzeń liniową.

Operacjami w tej przestrzeni są : dodawanie form liniowych i mnożenie form liniowych przez skalary.

Definicja. Przestrzeń liniową Q*n nazywamy „przestrzenią sprzężoną Q* do danej przestrzeni Q”

( mówimy również – przestrzeń dualna Q* do przestrzeni Q )

( przestrzeń Q*n jest oczywiście zbudowana nad tym samym ciałem co przestrzeń Q oraz dim Q*n = dim Q ) iii) Morfizmy grup.

Definicja. Niech będą dane dwie grupy (G, •) i ( H, ° ). Mówimy, że grupy te są izomorficzne i piszemy G ≅ H, jeżeli istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna α : G → H taka, że α zachowuje działanie grupowe :

∧ α( x • y) = α(x) ° α(y) x, y∈ G

Funkcję α nazywamy wtedy izomorfizmem grupy G na grupę H. Izomorfizm grupy G na siebie tj. przekształcenie β : G→ G nazywamy automorfizmem.

Grupy izomorficzne są jednakowego rzędu, ale grupy jednakowego rzędu nie muszą być izomorficzne.

Twierdzenie. Jeżeli α : G → H jest izomorfizmem grupy (G, •) na grupę ( H, ° ), to α-1 jest izomorfizmem grupy ( H, ° ) na grupę (G, •).

Przykład. Grupa addytywna wszystkich liczb całkowitych jest izomorficzna z grupą addytywną wszystkich liczb parzystych.

Jeżeli dwie grupy są izomorficzne to odpowiedniość izomorficzną między nimi możemy ustalić, ogólnie mówiąc na wiele sposobów. Grupy izomorficzne mogą różnić się między sobą tylko charakterem swoich elementów i być może nazwą operacji określonej w grupie. Wszystkie własności grup izomorficznych wynikające z własności określonych w nich operacji są jednakowe i niezależne od charakteru elementu grupy.

Izomorfizm jest szczególnym przykładem pewnego morfizmu grup ( jest to jednak najważniejszy z takich morfizmów).

Definicja. Niech będą dane dwie grupy (G, •) i ( H, ° ). Odwzorowanie f : G → H nazywamy homomorfizmem grupy G w grupę H jeżeli :

∧ α( x • y) = α(x) ° α(y) x, y∈ G

Funkcja f nie musi być funkcją wzajemnie jednoznaczną. Ogólnie mówiąc w przypadku homomorfizmu w dany element grupy H mogą przejść różne elementy grupy G, lecz może również nie przechodzić żaden z nich.

Definicja. Homomorfizm grupy G w siebie nazywamy endomorfizmem.

Definicja. Homomorfizm w którym funkcja f jest surjektywna nazywamy epimorfizmem.

Definicja. Homomorfizm w którym f jest injektywna nazywamy monomorfizmem.

Definicja. Homomorfizm w którym f jest bijektywna nazywamy izomorfizmem.

( jak zatem widać izomorfizm jest przypadkiem homomorfizmu )

W istocie można podać wiele podobnych przykładów w których dostrzec możemy analogie konstrukcji matematycznych

Strukturalizm - struktury matematyczne Nicolasa Bourbakiego.

Przez pryzmat teorii kategorii możemy wyraźnie dostrzec istotę strukturalnego podejścia do matematyki.

Sztandarowym przykładem takiego podejścia są prace N. Bourbakiego ( kolektywu matematyków, głownie francuskich działających w połowie XX wieku, który przyjął pseudonim - Nicolas Bourbaki )

Dla Bourbakiego matematyka jest to analiza wszelkich możliwych „struktur matematycznych”, rozumiejąc pod pojęciem struktury matematycznej określony zbiór ( w żaden sposób nie wyróżniony ) obiektów

( lub np. rodzinę zbiorów różnej natury ) z zadanym układem relacji zachodzących pomiędzy elementami takiego zbioru lub zbiorów.

Poglądowym przykładem takiej struktury jest zbiór liczb naturalnych w którym wyróżniono dwie relacje binarne : dodawanie i mnożenie liczb :

m + n , m • n

Ogólnie struktura matematyczna jest to układ : S = < M, R1 , R2 , … , Rk )

Złożony ze zbioru M = { a, b, c, ... } oraz zadanych na tym zbiorze relacji R1 , R2 , … , Rk – unarnych, binarnych, trynarnych itp. Oczywiście wszystko to przypomina nam, znane już pojęcie struktury algebraicznej.

Dla zastosowań w modelowaniu matematyczny istotne będzie odniesienie takie struktury do zbioru danych

doświadczalnych – czy świat nie jest zbiorem danych empirycznych na którym można wprowadzić określone relacje ?

V. Matematyka czysta i stosowana.

Poprzez liczne przykłady starałem się pokazać, że matematyka jest istotnie swobodnym tworem myśli człowieka, powiązanym ściśle z jego codziennym doświadczeniem. Odnosząc się do znanej sentencji - nie ma bowiem w umyśle ludzkim niczego, czego wcześniej nie podpowiedziałoby doświadczenie. Matematyka jest tworem (konstrukcją ) quasi- empirycznym. Doświadczenie podpowiada nam zasadnicze idee ( Pierwotne ujęcie geometrii i algebry – przypominam wywodzą się właśnie z codziennego doświadczenia ). Zatem pierwotnym fundamentem matematyki jest doświadczenie.

W dalszej fazie dochodzi do głosu abstrakcja – płodna metoda uogólnienia. Abstrahujemy pewne konstrukcje, starając się w jak największym stopniu „wyłowić” z nich, to co może być oderwane od swej strony praktycznej.

Dwa cytaty :

„W matematyce ani – w rzeczy samej – gdziekolwiek poza nią nie dokonano żadnych odkryć wysiłkiem dedukcji logicznej. Są one rezultatem działania wyobraźni twórczej, budującej to, co wydaje się prawdziwe, kierującej się czasami analogiami, czasem ideałem estetycznym, nie opierającym się bynajmniej na solidnych podstawach logicznych. Natomiast z chwilą dokonania odkrycia logika interweniuje jako środek kontrolny i ona decyduje ostatecznie, czy odkrycie jest rzeczywiście prawdziwie czy też iluzorycznie. Jej rola przeto, chociaż znaczna jest jedynie wtórna.”

H. Lebesgue Wiadomości matematyczne t. XXI 2 (1979) str. 212

„....

2) Co znaczą pojęcia matematyczne, do jakiej rzeczywistości się odnoszą?

...

Przechodząc do pytania drugiego, z dotychczasowych rozważań uzyskujemy dwie odpowiedzi :

1. Pojęcia matematyczne, są cechami świata materialnego, oderwanymi (abstrakcyjnymi), ale wydobytymi z rzeczywistości.

2. Pojęcia matematyczne są swobodnymi tworami umysłu.

Refleksja intuicjonistyczna pozwala twierdzić, ze jest i jedno i drugie. Na początek może jest zwykłe zauważenie cech świata. Później już samo twórcze działanie umysłu, produkuje dalsze pojęcia. Jeśli są swobodnymi tworami umysłu, to rzeczywistość do której się odnoszą, należałoby opisać jako być może nie istniejącą, ale możliwą. Odnoszą się więc do wszelkiej możliwej rzeczywistości. Same jednak stanowią świat idei nie istniejący samodzielnie”

A. Grzegorczyk – Filozoficzne aspekty matematyki , w Leksykon matematyczny – red. M. Kordos, M. Skwarczyński , W. Zawadowski, WP 1993

Dalej można powiedzieć iż metody dedukcji, indukcji stanowią pewne uniwersalne schematy, jednakże wszystkie takie lub podobne metody podpadają pod konkretne logiczne schematy rozumowania. Ale logika (klasyczna ) jest również wynikiem doświadczenia. Oczywiście pojawiają się również ( zapewne niespodziewane ) konstrukcje wynikające z konsekwentnego stosowania raz użytych praw logiki. Nieoczekiwane twierdzenia i wnioski, które nie mają nic wspólnego ( a przynajmniej tak się wydaje ) z codziennym doświadczeniem.

Czym jest liczba ujemna, zero, liczba urojona ?

Przecież w życiu codziennym nie mamy do czynienia z liczbami urojonymi, kwaterionami, liczbami hiperrzeczywistymi, czy też z geometriami różniącymi się od geometrii Euklidesowej.

Czy matematyka jest tutaj czymś oderwanym od empirii. Oczywiście tak, ale czy nie jest to wynikiem konkretnego schematu abstrahowania.

Jeżeli zdefiniowałem (zbudowałem ) pewien model, to nic nie wzbrania mi, aby dokonywać nad nim określonych modyfikacji. Jeżeli zdefiniowałem system relacyjny, to ktoś inny może go zdefiniować nieco inaczej, konsekwencje logiczne takich dwóch różnych sformułowań będą oczywiście różne.

Jeżeli zdefiniowałem operacje mnożenia : a • a = a2, oraz równanie postaci : a2 = –1

to muszę przyjąć określone tego konsekwencje tj. albo przyjmuje do wiadomości istnienie liczby √–1, albo wzbraniam takich działań.

Czy istnieją zatem konstrukcje matematyczne całkowicie oderwane od doświadczenia, coś w rodzaju matematyki superczystej ?

Odpowiedź na to pytanie jest oczywiście kwestią gustu, czy też wyrobienia matematycznego, zapewne istnieją działy matematyki w których abstrakcja i formalizacja posunięte zostały do granic możliwości.

Czy jest to np. analityczna teoria liczb ?

W ten sposób dochodzimy do klasycznego już podziału na tzw. matematykę czysta i stosowaną.

Najbardziej wyrazistym przypadkiem takiego podejścia, jest stanowisko wyrażone przez matematyka brytyjskiego G. H. Hardy’ego :

[ G. H. Hardy – „Apologia matematyka”, Prószyński i S-ka 1997, str. 101 ]

Oczywiście podział samej matematyki na matematykę taką lub -owaką, mniej lub bardziej stosowalną, jest kwestią umowy i obecnie nie jest popularny.

„W karykaturze kreślonej przez matematyków stosowanych czysta matematyka to wieża z kości słoniowej, pełna

intelektualnego nonsensu i pozbawiona praktycznego znaczenia. Matematyka stosowana, odpowiadają twardziele z wieży, jest intelektualnie niechlujna, brak jej ścisłości, a zrozumienie zastępuje mieleniem liczb w obliczeniowej maszynce do mięsa. W obu stwierdzeniach – jak we wszystkich dobrych karykaturach – tkwi ziarnko prawdy, ale nie powinniśmy ich brać dosłownie”

...

„Stanowisko pośrednie, ochrzczone jako „matematyka stosowalna” pojawiło się w latach siedemdziesiątych, ale jego nazwa nigdy tak naprawdę nie została uznana. Uważam, że wszystkie dziedziny matematyki są równe, to znaczy hipotetycznie stosowalne, choć jest to równość taka, jak na Folwarku zwierzęcym – niektóre dziedziny są bardziej stosowalne od innych”

[ I. Steward – “Listy do młodego matematyka” Prószyński i S-ka 20087 ; str. 137, 138 ]

Poprzez pryzmat zajmowanego stanowiska – empirycznego pochodzenia matematyki - trudno nie zgodzić się z stwierdzeniem, głoszącym iż każdy dział matematyki, tak czy owak jest „stosowalny(lny)”.

Niejako z założenia, nie ma struktury matematycznej, której nie można byłoby odnieść do odpowiedniego fragmentu świata fizycznego. Jeśli nie w samej fizyce to, chociażby w biologii, chemii, medycynie, ekologii, ekonomii itp.

Zatem własność bycia matematycznym nie jest jakąś nadzwyczajną cechą świata.

Można oczywiście kusić się na próby oderwania – abstrahowania struktur matematycznych od jakiegokolwiek związku z rzeczywistością fizyczną.

Klasycznym przykładem takich konstrukcji jest teorio-mnogościowa konstrukcja zbioru liczb naturalnych, podana przez Russella i Whiteheada Principia Mathematicae ( 1910 –1913 )

Ogólnie wedle takiego podejścia - liczbie zero przyporządkowujemy zbiór pusty ∅, liczbie jeden zbiór {∅}, liczbie dwa – zbiór {∅, {∅}} itp.

Dążność do abstrahowania od wszelkich konotacji poglądowej reprezentacji była również sztandarowa dla szkoły N.

Bourbakiego.

Czy jednakże takie podejście do matematyki jest całkowicie wolne od wszelkich konotacji stosowalności praktycznej ? W dalszej kolejności spróbuje pokazać iż nawet takie próby nie niweczą takiej możliwości.

VI. Matematyka i fizyka – modelowanie matematyczne w fizyce teoretycznej.

„Prawdziwie realistyczna matematyka powinna być uprawiana łącznie z fizyką, jako gałąź teoretycznej konstrukcji jednego rzeczywistego świata i powinna sobie przyswoić ten sam trzeźwy i ostrożny sposób hipotetycznego rozszerzania swych podstaw, który cechuje fizykę”

H. Weyl

„Przyroda nie tylko sugeruje nam zadania, podpowiada też ich rozwiązania”

H. Poincare

„Matematycy często sądzą, że „matematyka jest autonomiczna”, że „nie potrzebuje fizyki” ( jest to normalna reakcja człowieka na nieznane, przy jednoczesnym podświadomym przekonaniu o wadze spraw mu obcych ). Wobec takiej postawy jednym skutecznym argumentem za jednością matematyki i fizyki jest historia obu nauk”

K. Maurin cytat z artykułu „Matematyka a fizyka” w Leksykon matematyczny – red. M. Kordos, M. Skwarczyński , W. Zawadowski, WP 1993

( O modelowaniu matematycznym mówiłem już w tekście pt.

„Metodologia fizyki. Matematyka i fizyka

Wybrane zagadnienia zastosowania matematyki w fizyce” )

Ogólnie modelowaniem nazywamy proces w trakcie którego dany obiekt (zjawisko, proces ) stanowiący przedmiot badania naukowego zastępujemy innym obiektem. W kontekście nauk empirycznych ( fizycznych ) najczęściej mówimy o

modelowaniu matematycznym danego procesu fizycznego tj. zastąpieniu go pewnymi obiektami matematycznymi np. : równaniami - różniczkowymi, różniczkowo-całkowymi, całkowymi, operatorowymi, wariacyjnymi,

strukturami - algebraicznymi, relacyjnymi, obiektowymi, lub innymi obiektami matematycznymi.

Najczęściej też modelowanie takie ma charakter dynamiczny tzn. wprowadzamy modele procesów zależnych od czasu.

Najczęściej modelem matematycznym danego procesu jest pewne zinterpretowane fizycznie równanie różniczkowe cząstkowe (rrc) ( dla modeli dyskretnych są to oczywiście równania różnicowe). Dla fizyki matematycznej największe