Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f .
Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3.
W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) =
3x2+ y − 2z; fy0(x , y , z) = x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+
y − 2z; fy0(x , y , z) = x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y
− 2z; fy0(x , y , z) = x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) =
x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x
+ 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y
+ 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3;
fz0(x , y , z) =
− 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3;
fz0(x , y , z) = − 2x
+ 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3;
fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3;
fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).
By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3;
fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12. Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 15 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).
Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12. Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x .
Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12. Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 15 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 .
Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12. Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12. Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 15 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są
x = 1 i x = −12. Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12.
Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 15 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2 + y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2; fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 16 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) =
6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2; fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) =
1, fxz00(x , y , z) = − 2; fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 16 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) =
− 2; fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
fyx00(x , y , z) =
1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 16 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
f00(x , y , z) = 1, f00(x , y , z) =
2, fyz00(x , y , z) = 0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) =
0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 16 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
f00(x , y , z) = 1, f00(x , y , z) = 2, f00(x , y , z) = 0;
− 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0;
fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) =
0, fzz00(x , y , z) = 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 16 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
f00(x , y , z) = 1, f00(x , y , z) = 2, f00(x , y , z) = 0;
4.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0;
fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 16 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
jest dodatnio określony. Stąd f ma minimum lokalne w (1, −2,12).Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
jest dodatnio określony. Stąd f ma minimum lokalne w (1, −2,12).Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 17 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
jest dodatnio określony. Stąd f ma minimum lokalne w (1, −2,12).Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
jest dodatnio określony. Stąd f ma minimum lokalne w (1, −2,12).Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 17 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
jest dodatnio określony. Stąd f ma minimum lokalne w (1, −2,12).Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
jest dodatnio określony. Stąd f ma minimum lokalne w (1, −2,12).Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 17 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 18 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 18 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 18 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Ostatecznie, funkcja f ma dokładnie jedno ekstremum lokalne: jest to minimum lokalne w (1, −2,12). Wartość f w tym minimum wynosi f (1, −2,12) = −32.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 19 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Ostatecznie, funkcja f ma dokładnie jedno ekstremum lokalne: jest to minimum lokalne w (1, −2,12).
Wartość f w tym minimum wynosi f (1, −2,12) = −32.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Ostatecznie, funkcja f ma dokładnie jedno ekstremum lokalne: jest to minimum lokalne w (1, −2,12). Wartość f w tym minimum wynosi f (1, −2,12) = −32.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 19 / 30