11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne
Grzegorz Kosiorowski
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
1 Definicje
2 Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
3 Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego
4 Metoda najmniejszych kwadratów
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 2 / 30
Wstęp
Jak w poprzednich rozdziałach, badamy funkcję f : Rn ⊃ Df → R zmiennych (x1, . . . , xn). Zakładamy o niej, że jest dwukrotnie różniczkowalna (chyba, że jest wyraźnie napisane inaczej).
Jak w wypadku funkcji jednej zmiennej, w wielu zagadnieniach kluczowe jest znajdowanie ekstremów lokalnych funkcji wielu
zmiennych (maksymalizacja zysku, minimalizacja kosztu itp.). W tej części wykładu przedstawimy sposoby znajdowania takich ekstremów.
Wstęp
Jak w poprzednich rozdziałach, badamy funkcję f : Rn ⊃ Df → R zmiennych (x1, . . . , xn). Zakładamy o niej, że jest dwukrotnie różniczkowalna (chyba, że jest wyraźnie napisane inaczej).
Jak w wypadku funkcji jednej zmiennej, w wielu zagadnieniach kluczowe jest znajdowanie ekstremów lokalnych funkcji wielu
zmiennych (maksymalizacja zysku, minimalizacja kosztu itp.). W tej części wykładu przedstawimy sposoby znajdowania takich ekstremów.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 3 / 30
Ekstrema - przykład
Intuicyjnie, pojęcie ekstremum funkcji wielu zmiennych jest oczywiste i analogiczne do odpowiedniej definicji dla funkcji jednej zmiennej (zmienia się tylko definicja otoczenia). Maksima są to „szczyty”
wykresów funkcji, a minima to „dolinki”.
Na przykład, funkcja f (x , y ) = 14(x2+ y2) ma minimum w (0, 0).
Ekstrema - przykład
Intuicyjnie, pojęcie ekstremum funkcji wielu zmiennych jest oczywiste i analogiczne do odpowiedniej definicji dla funkcji jednej zmiennej (zmienia się tylko definicja otoczenia). Maksima są to „szczyty”
wykresów funkcji, a minima to „dolinki”. Na przykład, funkcja f (x , y ) = 14(x2+ y2) ma minimum w (0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 4 / 30
Ekstrema - przykład
Na przykład, funkcja f (x , y ) = 14(x2+ y2) ma minimum w (0, 0) - być może lepiej to widać na wykresach „poziomicowych”:
Ekstrema - formalna definicja
Ekstrema lokalne
Funkcja f ma w punkcie a = (a1, a2, . . . , an) maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu a, że każde x 6= a z tego otoczenia spełnia zależność f (x ) < f (a). Dla a ∈ Rn możemy ten warunek formalnie zapisać:
∃>0∀x ∈U(a)\{a}f (x ) < f (a).
Funkcja f ma w punkcie a = (a1, a2, . . . , an) minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu a, że każde x 6= a z tego otoczenia spełnia zależność f (x ) > f (a). Dla a ∈ Rn możemy ten warunek formalnie zapisać:
∃>0∀x ∈U(a)\{a}f (x ) > f (a).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 6 / 30
Ekstrema - definicja - uwagi
Ekstrema lokalne
Funkcja f ma w punkcie a = (a1, a2, . . . , an) maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu a, że każde x 6= a z tego otoczenia spełnia zależność f (x ) < f (a). Funkcja f ma w punkcie
a = (a1, a2, . . . , an) minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu a, że każde x 6= a z tego otoczenia spełnia zależność f (x ) > f (a).
Jak w przypadku jednej zmiennej, wszystkie minima i maksima nazywamy ekstremami funkcji.
Jeśli w powyższych zdaniach możemy uzyskać tylko słabe nierówności to mówimy o słabym minimum/maksimum lokalnym.
Ekstrema - definicja - uwagi
Ekstrema lokalne
Funkcja f ma w punkcie a = (a1, a2, . . . , an) maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu a, że każde x 6= a z tego otoczenia spełnia zależność f (x ) < f (a). Funkcja f ma w punkcie
a = (a1, a2, . . . , an) minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu a, że każde x 6= a z tego otoczenia spełnia zależność f (x ) > f (a).
Jak w przypadku jednej zmiennej, wszystkie minima i maksima nazywamy ekstremami funkcji.
Jeśli w powyższych zdaniach możemy uzyskać tylko słabe nierówności to mówimy o słabym minimum/maksimum lokalnym.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 7 / 30
Ekstrema - definicja - uwagi
Ekstrema lokalne
Funkcja f ma w punkcie a = (a1, a2, . . . , an) maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu a, że każde x 6= a z tego otoczenia spełnia zależność f (x ) < f (a). Funkcja f ma w punkcie
a = (a1, a2, . . . , an) minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu a, że każde x 6= a z tego otoczenia spełnia zależność f (x ) > f (a).
Jak w przypadku jednej zmiennej, wszystkie minima i maksima nazywamy ekstremami funkcji.
Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
Wobec tego, że w otoczeniu ekstremum, wzdłuż żadnej prostej przechodzącej przez ekstremum, funkcja nie będzie rosnąca ani malejąca (bo zawsze wzdłuż takiej prostej będzie osiągała
ekstremum), nie da się wyznaczyć kierunku w którym funkcja rośnie najszybciej, za co odpowiadał gradient.
Nie powinno zaskakiwać poniższe twierdzenie:
Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
Jeśli funkcja f ma ekstremum w punkcie a i wszystkie jej pochodne w tym punkcie istnieją to
∇f(a) = (0, 0, . . . , 0). Punkty spełniające to równanie nazywamy stacjonarnymi lub krytycznymi.
Funkcja zatem może mieć ekstrema tylko w punktach stacjonarnych i w punktach, w których choć jedna pochodna cząstkowa nie istnieje.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 8 / 30
Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
Wobec tego, że w otoczeniu ekstremum, wzdłuż żadnej prostej przechodzącej przez ekstremum, funkcja nie będzie rosnąca ani malejąca (bo zawsze wzdłuż takiej prostej będzie osiągała
ekstremum), nie da się wyznaczyć kierunku w którym funkcja rośnie najszybciej, za co odpowiadał gradient. Nie powinno zaskakiwać poniższe twierdzenie:
Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
Jeśli funkcja f ma ekstremum w punkcie a i wszystkie jej pochodne w tym punkcie istnieją to
∇f(a) = (0, 0, . . . , 0). Punkty spełniające to równanie nazywamy
Funkcja zatem może mieć ekstrema tylko w punktach stacjonarnych i w punktach, w których choć jedna pochodna cząstkowa nie istnieje.
Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
Wobec tego, że w otoczeniu ekstremum, wzdłuż żadnej prostej przechodzącej przez ekstremum, funkcja nie będzie rosnąca ani malejąca (bo zawsze wzdłuż takiej prostej będzie osiągała
ekstremum), nie da się wyznaczyć kierunku w którym funkcja rośnie najszybciej, za co odpowiadał gradient. Nie powinno zaskakiwać poniższe twierdzenie:
Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
Jeśli funkcja f ma ekstremum w punkcie a i wszystkie jej pochodne w tym punkcie istnieją to
∇f(a) = (0, 0, . . . , 0). Punkty spełniające to równanie nazywamy stacjonarnymi lub krytycznymi.
Funkcja zatem może mieć ekstrema tylko w punktach stacjonarnych i w punktach, w których choć jedna pochodna cząstkowa nie istnieje.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 8 / 30
Warunek konieczny - przykład 1
Funkcja może mieć ekstremum w punkcie, w którym nie jest różniczkowalna.
Na przykład, funkcja f (x , y ) = |x | + |y | ma ekstremum w punkcie (0, 0).
Warunek konieczny - przykład 1
Funkcja może mieć ekstremum w punkcie, w którym nie jest różniczkowalna. Na przykład, funkcja f (x , y ) = |x | + |y | ma ekstremum w punkcie (0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 9 / 30
Warunek konieczny - przykład 2
Nie każdy punkt stacjonarny jest jednak ekstremum lokalnym.
Na przykład (0, 0) jest punktem stacjonarnym funkcji f (x , y ) = xy , ale funkcja f nie ma w nim ekstremum, bo f (0, 0) = 0, a w każdym otoczeniu punktu (0, 0) istnieją punkty, w których f ma wartości dodatnie (I i III ćwiartka) oraz takie, w których f ma wartości ujemne (II i IV ćwiartka). Wykres w okolicy tego punktu wygląda jak górska przełęcz, zamiast szczytu lub dolinki.
Warunek konieczny - przykład 2
Nie każdy punkt stacjonarny jest jednak ekstremum lokalnym. Na przykład (0, 0) jest punktem stacjonarnym funkcji f (x , y ) = xy , ale funkcja f nie ma w nim ekstremum, bo f (0, 0) = 0, a w każdym otoczeniu punktu (0, 0) istnieją punkty, w których f ma wartości dodatnie (I i III ćwiartka) oraz takie, w których f ma wartości ujemne (II i IV ćwiartka).
Wykres w okolicy tego punktu wygląda jak górska przełęcz, zamiast szczytu lub dolinki.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 10 / 30
Warunek konieczny - przykład 2
Nie każdy punkt stacjonarny jest jednak ekstremum lokalnym. Na przykład (0, 0) jest punktem stacjonarnym funkcji f (x , y ) = xy , ale funkcja f nie ma w nim ekstremum, bo f (0, 0) = 0, a w każdym otoczeniu punktu (0, 0) istnieją punkty, w których f ma wartości dodatnie (I i III ćwiartka) oraz takie, w których f ma wartości ujemne (II i IV ćwiartka). Wykres w okolicy tego punktu wygląda jak górska przełęcz, zamiast szczytu lub dolinki.
Hesjan
Zanim sformułujemy warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego, czyli sposób rozstrzygania o istnieniu ekstremum w punkcie stacjonarnym, przypomnijmy definicję hesjanu.
Hesjan
Hesjanem, czyli macierzą Hessego dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f : Rn→ R w punkcie a ∈ Rn nazywamy macierz złożoną z jej drugich pochodnych cząstkowych w tym punkcie, zapisanych w sposób następujący:
Hf(a) =
fx001x1(a) fx001x2(a) . . . fx001xn(a) fx002x1(a) fx002x2(a) . . . fx002xn(a)
. . . . . . . . . . . . fx00nx1(a) fx00nx2(a) . . . fx00nxn(a)
Dla rozważanych funkcji, hesjan jest zawsze macierzą symetryczną.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 11 / 30
Hesjan
Zanim sformułujemy warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego, czyli sposób rozstrzygania o istnieniu ekstremum w punkcie stacjonarnym, przypomnijmy definicję hesjanu.
Hesjan
Hesjanem, czyli macierzą Hessego dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f : Rn→ R w punkcie a ∈ Rn nazywamy macierz złożoną z jej drugich pochodnych cząstkowych w tym punkcie, zapisanych w sposób następujący:
H (a) =
fx001x1(a) fx001x2(a) . . . fx001xn(a) fx00x (a) fx00x (a) . . . fx00x (a)
Dla rozważanych funkcji, hesjan jest zawsze macierzą symetryczną.
Hesjan
Zanim sformułujemy warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego, czyli sposób rozstrzygania o istnieniu ekstremum w punkcie stacjonarnym, przypomnijmy definicję hesjanu.
Hesjan
Hesjanem, czyli macierzą Hessego dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f : Rn→ R w punkcie a ∈ Rn nazywamy macierz złożoną z jej drugich pochodnych cząstkowych w tym punkcie, zapisanych w sposób następujący:
Hf(a) =
fx001x1(a) fx001x2(a) . . . fx001xn(a) fx002x1(a) fx002x2(a) . . . fx002xn(a)
. . . . . . . . . . . . fx00nx1(a) fx00nx2(a) . . . fx00nxn(a)
Dla rozważanych funkcji, hesjan jest zawsze macierzą symetryczną.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 11 / 30
Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego
Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego
Niech f będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną, której drugie pochodne są ciągłe w otoczeniu U punktu a. Załóżmy, że w punkcie a spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum
(∇f(a) = (0, 0, . . . , 0)).
a) Jeśli hesjan Hf(a) jest dodatnio określony to funkcja f osiąga minimum lokalne w punkcie a.
b) Jeśli hesjan Hf(a) jest ujemnie określony to funkcja f osiąga maksimum lokalne w punkcie a.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego - komentarz
Jak widać, twierdzenie to nie rozstrzyga zagadnienia istnienia ekstremum we wszystkich przypadkach (np. półokreśloności).
W takich wypadkach trzeba badać punkt a jako „kandydata na
ekstremum” innymi metodami - jednak zdarza się to na tyle rzadko, że nie będziemy tego typu sytuacji rozważać na wykładzie (ani na egzaminie).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 13 / 30
Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego - komentarz
Jak widać, twierdzenie to nie rozstrzyga zagadnienia istnienia ekstremum we wszystkich przypadkach (np. półokreśloności). W takich wypadkach trzeba badać punkt a jako „kandydata na
ekstremum” innymi metodami - jednak zdarza się to na tyle rzadko, że nie będziemy tego typu sytuacji rozważać na wykładzie (ani na egzaminie).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f .
Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3.
W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) =
3x2+ y − 2z; fy0(x , y , z) = x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+
y − 2z; fy0(x , y , z) = x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y
− 2z; fy0(x , y , z) = x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) =
x + 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x
+ 2y + 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y
+ 3; fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3;
fz0(x , y , z) =
− 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3;
fz0(x , y , z) = − 2x
+ 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3;
fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3;
fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).
By wskazać punkty stacjonarne - jedynych kandydatów na ekstrema lokalne, musimy przyrównać ∇f(x , y , z) do wektora (0, 0, 0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 14 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zaczynamy, jak zwykle, od sprawdzenia dziedziny funkcji f . Naturalnie, Df = R3. W tej dziedzinie obliczamy pochodne f fx0(x , y , z) = 3x2+ y − 2z;
fy0(x , y , z) = x + 2y + 3;
fz0(x , y , z) = − 2x + 4z.
Stąd ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).By wskazać
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12. Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 15 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).
Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12. Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x .
Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12. Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 15 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 .
Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12. Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12. Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 15 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są
x = 1 i x = −12. Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12.
Obliczając y i z za pomocą poprzednich zależności, otrzymujemy dwóch kandydatów na ekstrema lokalne: (1, −2,12) i (−12, −54, −14).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 15 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Rozwiązujemy (0, 0, 0) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z).Z porównania ostatniej współrzędnej mamy, że z = 12x . Z porównania drugiej współrzędnej otrzymamy, że y = −x +32 . Zatem równanie dla pierwszej współrzędnej, po wstawieniu tak obliczonych y i z będzie mieć postać: 3x2− x +32 − x = 0, co jest równoważne
6x2− 3x − 3 = 0. Rozwiązaniami tego równania są x = 1 i x = −12.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2 + y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2; fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 16 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) =
6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2; fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) =
1, fxz00(x , y , z) = − 2; fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 16 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) =
− 2; fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
fyx00(x , y , z) =
1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 16 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
f00(x , y , z) = 1, f00(x , y , z) =
2, fyz00(x , y , z) = 0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) =
0; fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 16 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
f00(x , y , z) = 1, f00(x , y , z) = 2, f00(x , y , z) = 0;
− 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0;
fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) =
0, fzz00(x , y , z) = 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 16 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
f00(x , y , z) = 1, f00(x , y , z) = 2, f00(x , y , z) = 0;
4.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Aby rozstrzygnąć, czy ekstrema w punktach krytycznych faktycznie istnieją, potrzebujemy obliczyć drugie pochodne funkcji f .
Pamiętając, że ∇f(x , y , z) = (3x2+ y − 2z, x + 2y + 3, −2x + 4z) obliczamy kolejno:
fxx00(x , y , z) = 6x , fxy00(x , y , z) = 1, fxz00(x , y , z) = − 2;
fyx00(x , y , z) = 1, fyy00(x , y , z) = 2, fyz00(x , y , z) = 0;
fzx00(x , y , z) = − 2, fzy00(x , y , z) = 0, fzz00(x , y , z) = 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 16 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zbadamy hesjan f w (1, −2,12):
Hf(1, −2,1 2) =
6 1 −2
1 2 0
−2 0 4
deth 6 i= 6 > 0; det
"
6 1 1 2
#
= 11 > 0;
det
6 1 −2
1 2 0
−2 0 4
= 48 − 8 − 4 = 36 > 0, a zatem Hf(1, −2,12) jest dodatnio określony. Stąd f ma minimum lokalne w (1, −2,12).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zbadamy hesjan f w (1, −2,12):
Hf(1, −2,1 2) =
6 1 −2
1 2 0
−2 0 4
deth 6 i= 6 > 0; det
"
6 1 1 2
#
= 11 > 0;
det
6 1 −2
1 2 0
−2 0 4
= 48 − 8 − 4 = 36 > 0, a zatem Hf(1, −2,12) jest dodatnio określony. Stąd f ma minimum lokalne w (1, −2,12).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 17 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zbadamy hesjan f w (1, −2,12):
Hf(1, −2,1 2) =
6 1 −2
1 2 0
−2 0 4
deth 6 i= 6 > 0; det
"
6 1 1 2
#
= 11 > 0;
det
6 1 −2
1 2 0
−2 0 4
= 48 − 8 − 4 = 36 > 0, a zatem Hf(1, −2,12) jest dodatnio określony. Stąd f ma minimum lokalne w (1, −2,12).
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zbadamy hesjan f w (1, −2,12):
Hf(1, −2,1 2) =
6 1 −2
1 2 0
−2 0 4
deth 6 i =
6 > 0; det
"
6 1 1 2
#
= 11 > 0;
det
6 1 −2
1 2 0
−2 0 4
= 48 − 8 − 4 = 36 > 0, a zatem Hf(1, −2,12) jest dodatnio określony. Stąd f ma minimum lokalne w (1, −2,12).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)11b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema lokalne 17 / 30
Wyznaczanie ekstremów lokalnych - przykład
Zadanie
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x , y , z) = x3+ xy + y2− 2zx + 2z2+ 3y − 1.
Zbadamy hesjan f w (1, −2,12):
Hf(1, −2,1 2) =
6 1 −2
1 2 0
−2 0 4
deth 6 i = 6 > 0; det
"
6 1 1 2
#
=
11 > 0;
det
6 1 −2
1 2 0
−2 0 4
= 48 − 8 − 4 = 36 > 0, a zatem Hf(1, −2,12) jest dodatnio określony. Stąd f ma minimum lokalne w (1, −2,12).
