yz — zy = Cj , zx - x ż = c2 , xy - yx = c,
oraz całkę pierwszą analogiczną do całki energii:
— (x2 + y~ + ż2 ) = —
f
F (r) dr + h .2 *
Równania ruchu uogólnionego zagadnienia dwóch c ia ł nie m ają natomiast całek pierwszych analogicznych do całek ruchu środka mas układu w klasycznym zagadnieniu. O znaczając przez r^, £ współrzędne środka mas mg i Bij w prostokątnym układzie współrzędnych (£, Ht £)> którego początek znajduje się w dowolnym punkcie, a osie s ą odpowiednio równoległe do układu (*, y, z) można wyprowadzić następujące równości, określające ruch środka mas w tym układzie:
‘ l * 5 = °1 * + 6 1 (r) - F10(r) xdtdt . (m0 + m j) n = “ 2J + b2 + m0m f f F o i ( r ) - F 10(r) (mQ + m ^ ę ~ a 3t + ż>3 + rrigm^JJ--- zdtdt ,
gdzie a i b z odpowiednimi indeksami są stałym i. Równości te nie stanow ią jednak całek pierwszych, gdyż wyrażenia podcałkowe sta ją się znanymi funkcjami dzasu dopie ro po scałkowaniu równali (1). Jak łatwo zauw ażyć, je śli trzecie prawo dynamiki New tona będzie spełnione, tzn.:
a dowolny pozostanie jedynie zależnośó siły od odległości między ciałam i, wtedy rów nania ruchu tak sformułowanego uogólnienia zagadnienia dwóch c ia ł posiadają wszyst kie 10 klasycznych całek pierwszych.
Przejdźm y do zagadnienia trzech c ia ł o masach mQ, m j i m2> Tak jak poprzednio załóżm y, że siła z jaką ciało o masie mj działa na ciało o masie m^ (i, j = 0,1, 2; i 4- j) jest proporcjonalna do iloczynu mas obu c ia ł i funkcji F.. ich wzajemnej odle głości A(. ., przy czym oczywiście . = A ^ . Przyjmijmy ponadto, że w układzie nie jest spełnione trzecie prawo dynamiki piewtona, tzn.;
Fif < \ ) * F., (A ,,) .
W prostokątnym układzie współrzędnych (x, y, z) o początku w punkcie, w którym znajduje się ciało o masie m0 równania ruchu mas m^ (k - 1,2) będą:
Z literatury naukowej 347 " 0 ^ 0 + ™kFQk F 0s F ks ii --- *fc - ms --- * s + m5 — — (xs - xk ) , r, r_ A m Fko + m’k,Fok Fo s Fk s
yk
--- ; --- * k ~ m s —y*
+ ms ~ Y (y* ~ yfc) • (2) m0 Fk0 + mkF0 k F0 s F k Zk --- l k ~ ms --- ' ms — — rk rs Agdzie s = 1,2 przy czym, je ś li k = 1, to * = 2 i na odwrdt oraz:
A 01 = A 10 = r l > A 02 = A 20 " r 2 * A 12 “ A 21 “ A *
r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , r 2 = x 2 + y 2 + z2
1 1 7 1 1 2 2 2 2
= ( * 2 " * / + {y2 + ( v Z i ) 2
-Układ równań (2) nie jest całkowalny w kwadraturach i podobnie jak w poprzednim przypadku posiada wszystkie 10 klasycznych całek pierwszych tylko wtedy, gdy speł nione jest trzecie prawo dynamiki Newtona, przy czym trzy zasady wzajemnych od działywań:
" F10 • F02 ~ F20 • FU = F21 mogą by<i różne.
Układ równań (2) można jednak sca-łkowad w kilku przypadkach szczególnych. Je ó li np.:
f 0 1 “ F02 F 12 F 21 = 0 •
wtedy problem rozpada się na dwa niezależne zagadnienia dwóch c iał, z których każde jest całkowalne w kwadraturach, o czym była mowa wyżej. Następnie, jed li zależność s iły od odległości ma postać:
Fu = fij Aa * fu = co n su
-to równania (2) sprow adzają się do trzech niezależnych układów równań liniowych ze stałym i współczynnikami i zagadnienie jest również całkowalne. We wszystkich in nych przypadkach można zn ale źć jedynie pewne rozwiązania szczególne.
Ja k wiadomo klasyczne zagadnienie trzech c ia ł posiada dwa rozwiązania szcze gólne, w których stosunki odległości między ciałam i s ą stałe: jedno, je ś li trzy ciała tworzą stale trójkąt równoboczny (tzw. rozwiązanie trójkątne) i drugie, gdy trzy ciała le żą stale na jednej prostej (tzw. rozwiązanie prostoliniowe). Jeszcze L a p l a c e
z, — m ---- z + m ---- (z — z . ) ,
348
Z l it e r a tu r y n a u k o w e jp o k a z a ł, ż e r o z w ią z a n ia tr ó jk ą tn e z a g a d n ie n ia tr z e c h c i a ł i s t n i e j ą p rz y d o w o ln e j z a s a d z ie p r z y c ią g a n ia z a le ż n e g o ty lk o od o d l e g ł o ś c i m ię d z y c ia ła m i. W p rz y p a d k u , gdy k a ż d e dw a c ia ł a d z i a ł a j ą n a s i e b i e w e d łu g in n e g o p ra w a , a le d z ia ł a n i e j e s t ró w n e p r z e c iw d z ia ła n iu , m ogą i s t n i e ć ty lk o r o z w ią z a n ia p ro s to lin io w e .
W j e s z c z e b a r d z ie j o g ó ln y m p rz y p a d k u , gdy k a ż d e c ia ło d z ia ła n a d ru g ie w e d łu g in n e g o p ra w a , tz n , gdy d z i a ł a j ą c e w u k ła d z ie tr z e c h cia-ł s iły o k re ś lo n e s ą p rz e z s z e ś ć ró ż n y c h fu n k c ji F , D u b o s h i n (1 9 6 9 ) p o k a z a ł, ż e w aru n k iem k o n ie c z n y m i d o s ta te c z n y m i s tn ie n ia r o z w ią z a li tr ó jk ą tn y c h j e s t :
F10 = F20 ’ F01 = F21 ’ F 12 ~ F02 •
c z y l i k a ż d e c ia ło p o w in n o d z ia ł a ć n a d w a p o z o s ta łe w e d łu g tego sa m e g o p ra w a . P rz y s p e ł n ie n i u ty c h w aru n k ó w fu n k c je o k r e ś l a j ą c e je d n a k o w ą d la r o z w ią z a n ia tró jk ą tn e g o o d le g ło ś ć m ięd zy c ia ła m i 6 i je d n a k o w ą p rę d k o ś ć k ą to w ą c i a ł w z g lę d e m ic h ś ro d k a m a s y co s a o k r e ś lo n e p r z e z c a łk o w a ln y w k w a d ra tu ra c h u k ła d ró w n ań : 6 - 5 co2 + F (6) = 0 c 2
_
o co - c o n s t ., g d z ie : F(6) =
mQF l 0 (5) + nij^j (6) + m2F12(6) .
K a ż d e z c ia ł p o r u s z a Big w z g lęd e m śro d k a m asy po ta k ie j s a m e j o r b ic ie , k tó re j k s z t a ł t z a le ż y od p o s t a c i fu n k c ji F (6 ). % s z c z e g ó ln o ś c i j e ś l i n ie ró w n o ś ć : F ( 6 ) > 0 j e s t s p e łn io n a c h o ć b y d la je d n e j d o d a tn ie j w a r to ś c i 6 w te d y o rb ita m o że b y ć o k rę g ie m , tr ó jk ń t ró w n o b o c z n y w y z n a c z o n y p rz e z c ia ła n ie z m ie n ia ro z m iaró w i o b ra c a s i ę w w y zr n a c z o n e j p rz e z s i e b i e p ła s z c z y ź n i e w o k ó ł ś ro d k a m as z e s t a ł £ p r ę d k o ś c i ą k ą to w y : co = ± V — F (5) , 6 = c o n s t . 6
W o g ó ln o ś c i je d n a k o w e d la w s z y s tk ic h c i a ł o rb ity m o ^ b y ć zaró w n o krzyw ym i z a m k n ię ty m i i w ó w c z a s mamy d o c z y n ie n ia z ru c h em o k reso w y m ( tr ó jk ą t ró w n o b o c z n y o k re s o w o z m ie n ia s w e ro z m ia ry ), j a k te ż k rzy w y m i o tw a rty m i. P rz y k ła d e m ty c h o s t a t n i c h m o że b y ć p r z y p a d e k k la s y c z n y , w któ ry m w s z y s tk ie s z e ś ć s i ł sp ro w ad z ają^ s i ę do je d n e g o p r z y c ią g a n ia n e w to n o w s k ie g o i o r b ity w ie rz c h o łk ó w tr ó jk ą ta ró w n o b o c z n e g o w y z n a c z o n e g o p r z e z c ia ła m ogą b y ć h ip e rb o la m i, p a ra b o la m i lu b lin ia m i p r o s ty m i. R o z w ią z a n ia p ro s to lin io w e w u k ła d z ie tr z e c h c ia ł , w któ ry m d z i a ł a j ą s i ł y o k r e ś lo n e p r z e z s z e ś ć ró ż n y c h fu n k c ji F.. z a w s z e i s t n i e j ą , gdy c ia ł a p o r u s z a j ą s i ę w o k ó ł s w e g o śro d k a m a s y po o r b ita c h k o ło w y c h z e s ta łą , p rę d k o ścią ^ k ą to w ą . W p r z y p a d k a c h , gdy c ia ł a p o r u s z a ją s i ę po in n y c h n iż k o ło w e o r b ita c h r o z w ią z a n ia p ro s to lin io w e i s t n i e j ą , j e ś l i w s z y s tk ie fn n k c je F^. p o s i a d a j ą n a s t ę p u j ą c ą p o s t a ć :
Z literatury naukowej 349
gdzie drugi czynnik z prawej strony nie zależy od indeksów i, /, a funkcje (x) raogy by i różne. Przykładem takiej zależności siły od odległości może być funkcja postaci:
F.. (A ..) = A ."
*; ii ' i) ii •
w której f ^ są dowolnymi stałym i, a n jest liczb y rzeczywisty.
Załóżmy teraz, że ciało o masie nie działa żądny s iły na ciała o masach i m j , tzn.:
F0 2 ~ F1 2 = 0 •
Problem ruchu punktu materialnego m^ można nazwaó uogólnionym ograniczonym zagadnieniem trzech ciał. Wprowadźmy podobnie jak w traktowaniu klasycznego za gadnienia ograniczonego, rotujący układ współrzędnych (*, y, z) o środku w punkcie, w którym znajduje się ciało o masie mQ. Niech p i v będą współrzędnymi biegunowymi cia-la o masie m ^ w ruchu względem ciała o masie m^. Załóżm y, że prędkość kytowa rotacji układu (*, y, z) równa się 0. Równania ruchu masy m j będą miały wtedy nastę pującą postać: * _ 2vy - {,2* _ -0 y = _ (r) 1 _ (p) _ m i F 2 1 (A ) - 1 — ? , y + 2vx - i>2y + vx - - m0 F2Q (r)— - m jF 21 (A )— , (3) r A Z - — "*0^2 0 ^ ~ ~ m i F 2 l ’ gdzie: r2 = x 2 + y2 + z2 i A2 = r 2 — 2px + p 2 . Je ś li: p = const., v = 0 ,
tzn. w przypadku kołowego zagadnienia ograniczonego łatwo pokazad, że równania (3) posiadają następujący całkę pierwszą analogiczny do całki Jacobiego w klasycznym zagadnieniu:
i 2 + y2 - V 2 (x2 +y2 ) = — 2m0 [ FM (r) dr - 2njj [ F21(A ) d A - (p) * + 2H
gdzie H jest dowolny stałą.
Ja k wiadomo klasyczne ograniczone zagadnienie trzech c ia ł przy dowolnym keple- rowskim ruchu dwóch c ia ł o masach skończonych względem ich wspólnego środka masy posiada rozwiązania szczególne, analogiczne do rozwiązań trójkątnych i prosto liniowych nieograniczonego zagadnienia trzech ciał. Rozwiązaniom tym odpowiadają pewne szczególne punkty, tzw. punkty lib racji. D u bo s h i n (1970a) pokazał, że
350 Z literatu ry n a u k o w e j
w uogólnionym zagadnieniu ograniczonym trzech c ia ł trójkątne punkty lib r a c ji istn ie ję tylko wtedy, gdy:
F = F F = F
10 20 • 01 21 •
tzn. gdy każde z c ia ł o m asach m Q i m j d ziała na dwa pozostałe według tego samego prawa, w ogólności innego dla obu mas. Warto zauw ażyć, ze również ciało o m asie d ziała na dwa p ozostałe według tego samego prawa, gdyż nie działa w cale. N atom iast warunkiem koniecznym istn ien ia prostoliniow ych punktów lib r a c ji uogólnionego ograni czonego zagadnienia trzech c i a ł je s t kołowy ruch masy m j wokół" masy /7^ ze s ta łą pręd kością kątową.
L I T E R A T U R A Du b o s h i n , G.N., 1969, Astron* Zhurn*, 4 6 , 6, 1279—12B9. Du b o s h i n , G*N*, 1970a, Astron* Zhurn*, 4 7 , 5 , 1100—1111* D u b o s h i n , G.N., 1970b, C elestial M echanics, 2, 4, 454—466*
POSTĘPY ASTRONOMII Tom XIX (]971)* Zeszyt 4
NOWE ROZWINIĘCIA FUNKCJI PERTU RBACYJN EJ
K. Z I O Ł K O VTSK I
K la s y c zn e ro zw in ię c ia fu n k c ji perturbacyjnej s ę zb ie żn e je d y n ie w tych przy p adkach, w których orbity c ia ł perturbowanego i perturb ujące go m a ją m ałe mimośrody, l e ż ą w p ła s z c z y z n a c h nachylo nych w zajem nie pod n ie w ie lk im i k ą ta m i, m a ją różne w arto ści w ie lk ic h p d lo s i, n ie p r z e c in a ją s ię itp . O g ra n ic ze n ia te z a w ę ż a ją zakres w ykorzystania tych r o zw in ię ć nie m al jedy nie do o p is u ruchów w ie lk ic h p lan e t (chód i tu is tn ie je w yjątek: w zajem ne perturbacje N eptuna i P lu to n a , ktdrych orbity w rzu c ie na p ła s z c z y z n ę p rze c in a ją s ię ) , n ie których planetoid i s a te litó w . Ważnym o siąg n ię c ie m w teorii perturbacji w ydaje s ię w ię c uzyskanie przez P i e t r o w s k ą (1970a) takich ro zw in ię ć fun k cji perturbacyjnej, ktdre s ą zb ie żn e przy z up ełn ie dow olnych w artościach elem entów orbit obu d z ia ła ją c y c h na s ie b ie c ia ł.
K onstrukcja szere gu Fouriera dla fu n k c ji perturbacyjnej opiera s ię na ro zw in ię c iu ujem nych potęg w zajem nej o d le g ło ś c i m iędzy c ia ła m i A :
_ r
A y = (r2 + rj* - 2rrjCos H) 2 fgdzie r i Tj s ą prom ieniam i w o dzącym i c ia ł perturbowanego i perturbującego a H je st k ą te m m iędzy n im i. F u n k c ję tę można przedstaw ić w postaci:
A " * = (r + r , ) " *
przy czym wprowadźmy o z n a c ze n ie :
2 r rj (1 + cos H) (r + r t ) 2
(1)
^ _ 2rrl d + cos
(r + rj) 2
Ł a tw o za u w a ży ć, że w m om entach, w których nie n a stę p u je zderzenie c i a ł (A i 0) nie mog| być je d n o c ze śn ie spe łn io ne rów ności r = /-j i H - 0. Stąd w ynika, że dla
H = 0 będzie A < 1( gdyż r 4 r^. Podobnie przy r = b ędzie 1 + cos H < 2, poniew aż
H4- 0 i wobec tego rów nie ż i w tym przypadku A < 1. T ak w ięc nierów no ść A < 1 zacho
d z i zaw sze z w yjątkiem momentów, w których n a stępuje zd e rze n ie , co pozw ala przed s ta w ić funkcję (1) w p o s ta c i s zere gu w zględem p o tę g A zb ie żn e g o z a w s z e , gdy A 0:
352 Z literatury naukowej
i 1 )
■y = (" i ) ł U + cos H i (r + ri r 2*- y , (2) k = Q ( l \
gdzie symbolem (z)^ oznaczono iloczyn k czynnikdw z (z + 1) (z + 2) ... (z + k — 1), przy czym (z ) q = 1. Aby rozw inięcie (2) można było wykorzystać w praktyce należy je przekształcić tak, aby ogdlny wyraz szeregu m iał postać iloczynu czynnikdw, z ktdrych każdy zależy tylko od elementów jednego ciała.
W przypadku eliptycznego ruchu obu c ia ł odległości r i Tj m ają górne granice: r ^ 2a i rj ^ 2flj, gdzie a i Oj oznaczają wielkie półosie orbit i wtedy:
-i—2*-y Wprowadzając oznaczenia: a 2a + 2oj — r — rj 1 ---2 (a + a j) (3) a + O j 1 a + O j * ł ! “l - ' - ' 1
I, , \ I,
'1 \ ■ 2 (o + Oj )---- “ “ l 1- ^ ) + “1 - 2^,) •łatwo zauważyć, że ponieważ r/2a ^ 1, f j / 2 a j ^ 1 i ot + cc^ — 1, to 1 zawsze z wy jątkiem momentdw, w ktdrych następuje potrdjne zderzenie c ia ł (r - r j - A - 0). Tak więc wyrażenie (3) można rozwinąć w zbieżny szereg względem potęg (3. Podobne rozwinięcia można otrzymać również w przypadku, gdy np, tylko jedna z odległości r i r. ma górną granicę, tzn. gdy ruch jednego ciała jest eliptyczny, a drugiego hi per boliczny.
Aby w wyrażeniach (1 + cos H)k uzyskać rozdzielenie zmiennych należy je rozwi nąć względem wielomianów Legandre’a o argumencie cos H. Odpowiednie wzory podał B r u m b e r g (1967).
Ostatecznie więc, dla przypadku eliptycznego ruchu obu ciał, rozwinięcie (2) przyjmie postać: E E E Ć x
k , l " 0 p - 0 q - 0
*,*„;■ 0 fc+p i + i-p _ , , _„,k, 9
-2
*.. „,k , - q+ 2si , .
X “ ° 1 ( i ) ( r > v ) W l - P ° - l * » l > * x exp (g — 2s) co — (ę — 2s j) coj + / (ft — ft j ) l + ^ + Wk’ ~ Q + 2s (r.v ) 2*‘ (rx , v j) e x p ^T [- (? - 2s) co + (9 - 2 s J cOj - / ( f t - f t j ) l łZ literatury naukowej
353
gdzie: Aklpqj = ( 2 “ 6;. 0> £ ) k (2A + y\ (Z - p + l)p (fc - q + 1)? (l)ł _ / (29 + 1) < u * u > , « V < * + 1 > , + i < » , ♦ / . ~ symbol Kroneckera, X ( s i n - , _____ 2 2 X. F {—m, 2q — m + 1, 1+1 9 — / — 2sl ; sin2-^) , *« i i — nachylenia orbit, £(£_/)+ m ■* |0, ~q + j * 2*|(1^ + y + max|0, ł - / - 2*t ^ + 9 “ / >m .x|o,- <j+; + 2*t A . = (-1)qj s m - q — — (I 9 — / — 2s I +1 q + j — 2sl), F (a, 6, c;z) — funkcja hipergeometryczna,.k
- i . i
«;■ « * *■ <r. ») =. ( i ) „ p ^ T T K , - i . ) , ) ( l - £ ) ,
vt vl — anomalie prawdziwe,
co.coj — argumenty pericentrów,
S I,U l ~ długości węzłów.
Wykorzystując rozwinięcie (4) łatwo już, całkując wyraz po wyrazie, uzyskać? analityczne przedstawienie całek występujących we współczynnikach rozwinięcia fourierowskiego funkcji A które można uzyskać, jeżeli orbity nie przecinają się. Szybkość zbieżności takiego szeregu zależy od minimalnej odległości między orbitami ciał. W ogólnym przypadku, dopuszczającym orbity przecinające się, nie da się roz winąć w zbieżny szereg Fouriera ujemnych potęg wzajemnej odległości między ciałami, ponieważ może nastąpić zderzenie (A = 0), Ale wyrazy rozwinięcia (4), będące ciągłymi funkcjami anomalii średnich, można rozwinąć w szeregi Fouriera, ponieważ mają one postad iloczynu funkcji elementów orbit oddzielnie obu rozpatrywanych ciał. W wyniku wymnożenia takich dwóch szeregów Fouriera, odpowiadających obu ciałom, każdy wyraz szeregu (4) będzie miał postad podwójnego szeregu Fouriera względem anomalii śred nich. Szybkość zbieżności szeregu przedstawiającego w tym przypadku funkcję A ^ zależy od wartości minimalnej odległości między ciałami w ich rzeczywistym ruchu.
Uzyskane szeregi, w przeciwieństwie do klasycznych rozwinięć, są zbieżne dla dowolnych mimośrodów i nachyleń, równych wielkich póhjsi, dowolnych stosunków promieni wodzących ciał perturbowanego i perturbującego itp. Mogą więc być stosowane do obliczania perturbacji małych planet, komet, sztucznych c ia ł niebieskich, wzajem nych perturbacji Neptuna i Plutona itp.
354 Z literatury naukowej
P i e t r o w s k a (1970b) zaproponowała również nowe rozwinięcie funkcji perturba cyjnej w przypadku bliskiej współmieroości średnich ruchów n i B j. Funkcję A - ^ przedstawia w postaci szeregu Taylora, względem małej wielkości 6, gdzie n j/n = = p /q + 6, przy czym p i q s% niew ielkim i liczbam i całkowitymi. W spółczynniki szere gu sę funkcjami okresowymi anom alii średniej ciała perturbowanego o bkresie 2tTq, Dla małych 6 uzyskane rozwinięcie zbiega się szybciej niż zwykły dwuargumentowy szereg Fouriera i je st zbieżne wszędzie oprócz punktów, w których następuje zderzenie. Metoda rozwinięcia wyklucza pojawienie sie małych dzielników przy całkowaniu równań ruchu. Szczegóły, dotyczące rozw inięcia funkcji perturbacyjnej w przypadku bliskiej współmierności średnich ruchów, będą opublikowane w Biuletynie Instytutu Astronomii Teoretycznej Akademii Nauk ZSRR w Leningradzie.
L I T E R A T U R A
B r u m b e r g , V .A ., 1967, B iu le ty n IT A , X I 2 (1 2 5 ).
P i e t r o w s k a, M .S ., 1970a, C e le s tia l M e c h a n ic s , 3 , 1, 121—12ft. P i e t r o w s k a , M .S ., 1970b, ro zp ra w a d o k to rs k a , L e n in g r a d .
NOTATKI
POSTĘPY ASTRONOMII Tom XIX (1971). Zeszyt 4
JOHN M. WILCOX, DAVID S. COLBURN (Space Science Laboratory, Series 12, Issue 51, 24 czerwiec 1971): Obserwacje pola magnetycznego dokonywane przez Explorera 33 i 35 w 1969 (maksimum aktywności słonecznej) wykazują istnienie w przestrzeni międzyplanetarnej dwóch sektorów — w jednym pole skierowane je st od, w drugim — do Słońca. Jedynie sporadycznie można było zaobserwować dodatkowo dwa małe sek- toiy. Wynik ten je st o tyle interesujący, że w okresie spokojnego Słoóca (1963—1964) obserwowano stale cztery niemal równe sektory.
M. Sroczyńska
SPIS TREŚCI ZESZYT U 4
A R T Y K U Ł Y
M. K u b i a k , Skala temperatur efektywnych i poprawek bolometrycznych . . . . 285 B. K u c h o w i c z , Początki kosmochemii organicznej ... 299 M. K a r p o w i c z , Problem gromad galaktyk wyższego rzędu ... 313
Z P R A C O W N I I O B S E R W A T O R I Ó W
J . M a c h a l s k i , Aparatura odbiorcza 15 m radioteleskopu krakowskiego na pasmo 23 c m ... ... 325 T. K w a s t , Statystyczne poszukiwanie materii m ię d z y g a la k ty c z n e j... 335 Naukowe ośrodki astronomiczne w k r a j u ... 343
Z L I T E R A T U R Y N A U K O W E J
K. Z i o ł k o ws k i, 0 pewnych uogólnieniach zagadnień dwdch i trzech ciał. 345 K, Z i o ł k o w s k i , Nowe rozw inięcia funkcji p e rtu r b a c y jn e j...351
N O T A T K I
C O ^E P M H M E TETPA4M 4
C T 3T b M
M. K y 6 h k, Ukana ocjxjjeKTHBHbix TeMrreparyp u 6oJioMerpw4ecKMX
no-n p a B O K ... B. K y x o a i m , H auana oprawmecKoR k o c m o x h m h h... 299 M. K a p n o b u m, npoóJieM a CKoruiemiti Bbicuiero nopaflKa r a n a K i m . . . . 313
143 J i a ó o p a T o p n ii u o ó c e p B a T o p M f t
E. M a x a j i b C K H , npweMHaa- annapaTypa 15 Merp. KpanoBCKoro paAMo
T e^ecKona Ha n o jio ce 23 c m ... 325
T . K B a C T , CTaTMCTMMeCKMe nOMCKM Me)KTaJiaKTMMeCKO{i MaTepMM . . . . 335
Haymiue acTp0H0MHHecKMe yqpeaaieHKH b c T p a H e...343
*
143 H a y MH o i i j i M T e p a T y p u
K. Bh o j i k o b c k h, 0 HeKOTopux o6o6meHHHM npo6jieM AByx u Tpex Ten. 345 K. 3hOJ1 KOBCKK, MOBbie pa3BMTHH nepTypÓblllMOHHOti $ y HKUMH 351
Spis treści 357
CONTENTS A R T I C L E S
M. K u b i a k , The Scale of Effective Temperatures and Bolometric Corrections. 285 B. K u c h o w i c z , The Beginnings of Organic Cosmochemistry . ... 299 M, K a r p o w i c z , The Problem of Super-Clustering of Galaxies ... 313
F R O M L A B O R A T O R I E S AND O B S E R V A T O R I E S
J . M a c h a l s k i , 23 cm Receiver for Cracow 15 m Radiotelescope , , . , * , 325 T. K w a s t, Statistical Search for the Intergalactic M a t t e r ...335
Scientific Astronomical I nstitutions in P o l a n d ...343
F R O M S C I E N T I F I C L I T E R A T U R E
K, Z i ó ł k o w s k i , On Some Generalizations of the Problems of Two and Three B o d i e s ... 345
K. Z i ó ł k o w s k i , New Expansions of the Perturbation Function . . . 351 NO TE S
58£ ,„ a o h o f n o 3 ołv*n<A oH bo# * * b o 9 * 9 ło * !* > 8 sdT . j U i d i ,
-, . m i • *U0 k »ł w o . q i
B a t a o T A v a a g a o * * / ?. s e i h . o ta u g h a •* m o j t *
■