ZARYS METODY ODWRACANIA PROFILU LINU ABSORPCYJNEJ

Pierwsze systematyczne numeryczne badania parametrów opisujących atmosferę, możliwych do wyznaczenia poprzez odwrócenie pojedynczego profilu linii absorpcyj­ nej, było zrobione przez H e a r n a i H o l t a (1972, 1973), jeśli nie weźmiemy pod uwagę mniej ogólnej pracy W h i t e ’ a (1968). Odwracanie profilu polega na iteracyj- nym dopasowaniu parametrów atmosfery w wyrażeniu na profil linii tak, aby otrzymać najlepszą zgodność z profilem obserwacyjnym. Istotnym problemem tej metody jest niemożność określenia a priori ilości parametrów opisujących atmosferę, które można wyznaczyć z profilu linii. Próba określenia większej ilości parametrów niż to jest możliwe z danego profilu jest tym samym, co rozwiązywanie układu równań z większą ilością zmiennych niż równań. Sygnałem do zaprzestania dodawania para­ metrów do szukanego modelu atmosfery jest fakt wykazywania zależności rozwiązania od wartości początkowych parametrów.

H e a r n i H o l t (1972, 1973) odwracają profil linii D2 w Słońcu. Ich założony model atmosfery składa się z kilku warstw o grubości T2 — T\, T3 — T2, . . .,

— Tpf wyrażonej w głębokości optycznej centrum linii, gdzie T i jest górną granicą

pierwszej warstwy mierzonej na powierzchni atmosfery. Funkcja źródłowa ma w m-tej warstwie następującą postać:

m —1

S ^ * E - r. ) ł ««<'- r->- <Ł>

f=l

tzn. jest ciągła i liniowa. Relacja pomiędzy głębokością optyczną określonej długości fali a głębokością optyczną centrum linii w i-tej warstwie jest następująca:

Ustalanie parametrów atm osfer gwiezdnych

193

gdzie r (. je st stosunkiem w spółczynnika absorpcji ciągłej do w spółczynnika absorpcji w linii, 0 (( \ ) je s t profilem linii absorpcyjnej w w arstw ie i-tej zn orm alizow anym do jednos'ci w ce n tru m linii; c. oraz r. są ciągłe w i-tej warstwie. Dla ta k zbudow anej atm o sfery p o sta ć natężen ia p rom ieniow ania w ynikająca z rozw iązania ró w n an ia p rze­ p ływ u dla prom ieniow ania p rostopadłego do pow ierzchni, dla fali o długości X dana je s t w zorem : = 6 + 0 1( \) _ + r j t 1 ~ e xP { ~ f o l M + r l l ( T 2 ~ T l ) J ] + N c

+ Z ^m ~T 7. t1 - exP { - + rj] (Tj+1 - Tj)}] (3)

• exP { - Z

p rzy czym Tjy+i — głębokość o p ty c z n a dolnej granicy osta tn ie j w arstw y znajduje się na nieskończonej głębokości o p ty c zn e j ce n tru m linii, a T ^ ńa głębokości zerowej. T o rów nanie nie je s t p rz y d a tn e przy odw racaniu profilu linii innych gwiazd niż Słonce. K onieczność obliczania strum ienia, a więc całkow ania w ychodzącego p ro m ie­ niow ania p o p ółkuli przy w yżej opisanym m odelu atm o sfery , p row adzi do w zoru b ard z o ogólnej postaci:

P rak ty czn e w ykorzystanie tego w zoru je st m ożliw e po scałkow aniu w yrażeń po f, a następnie po x. Prow adzi to do w yrażenia strum ienia //(A ) przez funkcje Dla jed n ej w arstw y o trz y m u je m y :

H{\) = b + ---—

194 E. Bielicz

Wyrażenie to nie jest jednak bezpośrednim przedmiotem naszego zainteresowania. Najlepszą zgodność z profilem obserwacyjnym Słońca można uzyskać minimalizując funkcję:

F =

-z

(

)

gdzie /.(obs) oraz / (obi) są natężeniami obserwowanymi i obliczonymi w i-tym punk­ cie profilu. W przypadku profilu innych gwiazd natężenie należy zastąpić wyrażeniem na strumień energii promieniowania (4).

Minimalizacja polega na iteracyjnym dobraniu wartości parametrów funkcji /(obi) lub //(obi) dających najmniejszą wartość funkcji F. Parametrami dopasowania dla każdej warstwy są: nachylenie funkcji źródłowej cf, r., głębokość optyczna centrum linii T. oraz profil absorpcyjny 0((X). Dla linii sodu D 2 w Słońcu (H e a r n, H o l t 1972 i 1973), można jako profil absorpcyjny użyć profil Voigta. Wówczas parametrami dopasowania zamiast 0(X) jest szerokość dopplerowska A i parametr Voigta a. Dla linii, w powstawaniu których istotną rolę odgrywa efekt Starka, używanie profilu Voigta jest niewłaściwe. Zastosowanie tej metody dla gwiazd i profilów innych niż voigtowskie wymaga wyznaczenia (Jla każdej z warstw profilu absorpcyjnego 0(.(X). Następnie należy znaleźć w tablicach profilów starkowskich ( V i d a l , C o o p e r S m i t h 1973), podających profile w zależności od temperatury i gęstości elektronów, profil najbardziej zbliżony do otrzymanego z odwrócenia. Tym samym wyznacza się gęstość i temperaturę w danej warstwie. Dokładnym opracowaniem tej procedury zajmuje się obecnie autorka niniejszej pracy.

Wielkość b, występującą w (1), (3), (4), (5), tj. wartość funkcji źródłowej na brzegu atmosfery, oraz r stosunek absorpcji ciągłej do liniowej w centrum linii dla najgłębszej warstwy atmosfery można dopasować metodą iteracyjną tak, aby zapew­ nić zgodność natężeń obliczonych i obserwowanych w centrum linii i dla ostatniej częstości w skrzydle.

2. WYNIKI METODY DLA LINII SODU £>2 W SŁOŃCU

W oparciu o metodę sprzężonych gradientów P o w e 11 a (1964) (omówiona w rozdz. 3 niniejszej pracy) H e a r n i H o l t odwracają profil linii D2 sodu w Słońcu z jedno-, dwu- i więcej warstwowym modelem atmosfery. Ponieważ już dla jednowarstwowego modelu można wyznaczyć tylko cztery z pięciu parametrów potrzebnych do opisania atmosfery, autorzy zakładają znajomość parametru Voigta a dla wszystkich warstw. Wartości startowe do iteracji są znajdowane metodą najmniejszych kwadratów z usta­ loną na początku wartością A lub a. Jednowarstwowe rozwiązanie daje średni błąd kwadratowy między profilem obliczonym a obserwowanym ok. 10%, co mogłoby być nienajgorszą wartością w odniesieniu do gwiazd. Rozwiązanie dwuwarstwowe, z parametrem A stałym w całej atmosferze, daje średni błąd kwadratowy między

Ustalanie parametrów atm osfer gwiezdnych 195

T a b e l a 1

Parametry profilu linii dla modelu dwuwarstwowego (H e a r n, H o l t 1972) a 0,005 A, 0,0595 A* 0,0400 Cl 1,29 • 10"2 2,25 • 10"s c2lr 0,782 T2 18,3 b 0,018 r 2,88 • 10"s F 0,0045

a parametr profilu Voigta w warstwie drugiej

A i szerokości dopplerowskie odpowiednio w warstwie pierwszej i drugiej

e j nachylenie funkcji źródłowej wyrażone w głębokości optycznej centrum linii, odpowied­ nio w warstwie pierwszej i drugiej

T2 górna granica pierwszej warstwy wyrażona w głębokości optycznej centrum linii b wartość funkcji źródłowej na brzegu atmosfery

r współczynnik absorpcji ciągłej do liniowej w centrum linii F suma kwadratów odchyleń

Parametr Voigta w warstwie pierwszej jest równy zero.

profilem obliczonym a obserwowanym ok. 2%, rozwiązanie trzywarstwowe — błąd 1,3%, natomiast czterowarstwowe jest zależne od warunków początkowych. Autorzy odwracają również profil dla kilku warstw z różnymi szerokościami dopplerowskimi A. Najlepszym odwróceniem profilu jest rozwiązanie z dwiema warstwami. Każdej z nich odpowiada inna szerokość dopplerowska, tak dobrana, aby jej temperatura była równa temperaturze funkcji źródłowej na głębokości optycznej continuum równej 0,5, co odpowiada założeniu braku mikroturbulencji. Otrzymany model przedstawia tab. 1. Model ten daje pewną niezgodność rozwiązania z profilem obserwacyjnym w odległości ok. 0,7 A od centrum linii. Rozbieżność ta może być przypuszczalnie usunięta, jeśli założy się' zmienność parametru Voigta a z głębokością optyczną w warstwie drugiej.

Otrzymany model pozwala na wyciągnięcie wniosków co do stanu równowagi termodynamicznej atmosfery. Zmiana rozwiązań w zależności od wartości paramet­ ru Voigta świadczy o tym, że funkcja źródłowa w warstwie pierwszej nie jest w LTE. Z kolei tam, gdzie odchylenia od LTE mają duże znaczenie w formowaniu linii absorpcyjnej, zmiana funkcji źródłowej z głębokością optyczną zależy od parametru £ = neC2i/(A 2i + HgC^i), gdzie ng cm"3 jest gęstością elektronów, C21 cm"3 • s"ł jest zderzeniowym współczynnikiem deekscytacji z poziomu górnego na dolny i ^ l S_1 jest prawdopodobieństwem spontanicznej emisji. Z faktu, że na brzegu atmosfery w modelach izotermicznych funkcja źródłowa jest równa t 1/2 B — gdzie B jest funk­ cją Plancka i natężenie w centrum linii wynosi 2 £ ł/2 B a długość termalizacji 0,5/«, mierzona w głębokościach optycznych centrum linii dla wyłącznie dopplerow- skiego rozszerzenia — można wyznaczyć średnią gęstość elektronów. Jest ona równa

196

3 • 1012 cm"1. Możemy również, z funkcji źródłowej, znaleźć rozkład temperatury z głębokością optyczną oraz zbadać zależność funkcji źródłowej od częstości. Otrzy­ many rozkład temperatury daje lepszą zgodność z obserwacjami niż rozkład otrzy­ many z pociemnienia brzegowego. Odwracanie kilku profili linii sodu D 2 obserwowa­ nych z niewielkich rozmiarów powierzchni Słońca prowadzi również do wyznaczenia gęstości elektronów, charakteru zmian warunków fizycznych w atmosferze i innych jej parametrów.