ZBIORY LICZBOWE
ZBIÓR LICZB ZESPOLONYCH C
Iloczyn kartezja ski RxR nazywa b dziemy zbiorem liczb zespolonych oznacza i liter C. Elementy zbioru C, tak zwane liczby zespolone identyfikowa mo emy wi c z punktami płaszczyzny RxR.
Niech z∈C = RxR. Z definicji iloczynu kartezja skiego zbiorów wynika, e z jest uporz dkowan par punktów (x,y), przy czym x,y∈R. Zatem
z = (x,y)
Na oznaczenie powy szej uporz dkowanej pary liczb rzeczywistych u ywa b dziemy innego symbolu mianowicie x + iy, czyli
(PK) z= (x,y) ≡ x + iy.
U yte wy ej symbole "+" oraz "i" słu jedynie do innego zapisu pary (x,y) w i nie maj adnego innego znaczenia. W szczególno ci "+" nie oznacza tu adnego dodawania, "i" nie jest wielo ci mog c przyjmowa ró ne warto ci, to po prostu symbole.
Przedstawienie liczby zespolonej z = x + iy nosi nazw postaci kartezja skiej liczby zespolonej.
Liczb rzeczywist x nazywamy cz ci rzeczywist liczby zespolonej z =x+iy i oznaczamy j symbolem re(z).
Liczb rzeczywist y nazywamy cz ci urojon liczby zespolonej z =x+iy i oznaczamy j symbolem im(z).
W zwi zku z tymi umowami i przyj tymi oznaczeniami zapisa mo emy:
z= (x,y) ≡ x + iy = re(z) + i(im(z))
Dwie liczby zespolone jako elementy iloczynu kartezja skiego s (jak wiemy) równe wtedy i tylko wtedy gdy ich poprzedniki i nast pniki s równe. Wyra aj c t własno
w dopiero co przyj tej terminologii powiedzie mo emy, e dwie liczby zespolone s równe wtedy i tylko wtedy, gdy maj te same cz ci rzeczywiste i te same urojone.
Przyjmujemy nast puj ce umowy co do zapisu liczby zespolonej:
x + iy ≡ iy + x ≡ x + yi
cz urojona liczby zespolonej to ta liczba rzeczywista, która "stoi przy i" w odró nieniu od jej cz ci rzeczywistej.
1) x + i(-y) ≡ x - iy ≡ -iy + x 2) 0 + iy ≡ iy
3) x + i1 ≡ x + i 4) x + i0 ≡ x
W zwi zku z t ostatni umow liczby zespolone o cz ci urojonej równej zeru identyfikowa mo emy z liczbami rzeczywistymi. W konsekwencji R ⊂ C.
Jeszcze inaczej. Liczby rzeczywiste traktowa mo emy jako liczby zespolone o cz ci urojonej równej zeru.
Uwaga: R ⊂ C na mocy poczynionej przez nas umowy, poniewa formalnie rzecz bior c R nie jest podzbiorem RxR = C.
W zbiorze C wprowadzimy teraz działania arytmetyczne, które oka si by uogólnieniem działa arytmetycznych znanych ze zbioru liczb rzeczywistych R.
Niech z = x +iy ∈C oraz s = a +ib ∈C.
Definiujemy:
[suma] z + s = (x +iy)+(a +ib) ≡ (x + a) + (y + b)i
Tak wi c przez sum liczb zespolonych rozumiemy liczb zespolon której cz rzeczywista jest sum cz ci rzeczywistych dodawanych liczb i cz urojona sum cz ci urojonych dodawanych liczb. Takie przyporz dkowanie jest oczywi cie jednoznaczne, okre lili my wi c funkcj "+":CxC→C.
Operacj znajdowania sumy dwóch liczb zespolonych nazywamy dodawaniem liczb zespolonych.
Wprost z powy szej definicji wynika poni sza własno (WS) re(z+s) = re(z) + re(s) ∧ im(z+s) = im(z) + im(s)
Zauwa my, e dodawanie liczb zespolonych jest przemienne (co wynika bezpo rednio z przemienno ci dodawania liczb rzeczywistych i definicji [suma].
Zauwa my te , e dodawanie liczb zespolonych, których cz ci urojone s zerami sprowadza si (w my l przyj tych umów) do dodawania liczb rzeczywistych.
Uwaga: wzór [suma] jest wprawdzie bardzo czytelny, zwró my jednak uwag , e wyst puj cy tam symbol "+" oznacza trzy ró ne rzeczy. Mianowicie "+" po lewej stronie tego wzoru jest symbolem definiowanego wła nie dodawania liczb zespolonych. Symbole "+" wyst puj ce tam po prawej stronie w nawiasach oznaczaj dodawanie liczb rzeczywistych. Symbol "+" umieszczony pomi dzy nawiasami po prawej stronie omawianego wzoru jest jedynie symbolem postaci kartezja skiej liczby zespolonej.
Okazuje si , e oznaczanie tym samym symbolem trzech ró nych rzeczy nie tylko nie prowadzi do nieporozumie , ale jest nawet bardzo wygodne.
[ró nica] z - s = (x +iy)-(a +ib) ≡ (x - a) + (y - b)i
Analogicznie jak zdefiniowan wy ej sum skomentowa mo na zdefiniowan wła nie ró nic liczb zespolonych. Natychmiast te otrzymujemy:
(WR) re(z-s) = re(z) - re(s) ∧ im(z-s) = im(z) - im(s)
Prosz sformułowa teraz uwag analogiczn do tej jak umie cili my po definicji sumy. Zauwa my jeszcze, e "-":CxC→C jest funkcj .
Operacj znajdowania ró nicy dwóch liczb zespolonych nazywamy odejmowaniem liczb zespolonych.
Zauwa my, e odejmowanie nie jest ani przemienne ani ł czne.
[iloczyn] z.s = (x +iy).(a +ib) ≡ (ax - by) + (ay + bx)i
Definicja iloczynu liczb zespolonych jest o wiele bardziej zło ona ni dwie poprzednie, poniewa jak wida zale no ci opisuj ce cz rzeczywist i urojon iloczynu s zło one. Nie obowi zuje jak wida łatwa zale no podobna do (WS) czy (WR). Zauwa my, e ".":CxC→C jest funkcj .
Operacj znajdowania iloczynu dwóch liczb zespolonych nazywamy mno eniem liczb zespolonych.
Zauwa amy (po chwili refleksji), e mno enie liczb zespolonych jest przemienne (co wynika z przemienno ci mno enia liczb rzeczywistych po uwa nym przyjrzeniu si definicji iloczynu liczb zespolonych). Nawet bardzo uwa ne obejrzenie zale no ci [iloczyn] nie skłania nas do stwierdzenia, e jest mno enie liczb zespolonych jest ł cze. Tak jednak okazuje si by o czym przekonamy si w dalszej cz ci skryptu.
Zdefiniujemy teraz naturaln pot g liczby zespolonej.
[pot ga] z1 ≡ z
∀n∈N\{1} zn ≡ z.zn-1
Zauwa my, e w my l tej definicji otrzymujemy
z2 = z.z1 = z.z ; z3 = z.z2 = z.z.z; z4 = z.z3 = z.z.z.z i ogólnie
razy n n z ... z z
−
⋅
⋅
= .
Powy sza obserwacja prowadzi do natychmiastowego wniosku:
∀m,n∈N zm+n = zm + zn
Zauwa my teraz, e
(*) i2 = (0+1i).(0+1i) = (0.0 - 1.1) + (0.1 - 1.0)i = -1 + 0i = -1.
Powy sza zale no pozwala stworzy bardzo łatwy do spami tania algorytm mno enia liczb zespolonych. Zauwa my mianowicie, e mno c ni ej przedstawione liczby zespolone tak jak wielomiany (to znaczy "ka dy" czynnik przez "ka dy" i traktuj c "i" jak pewn liczb ) otrzymujemy:
(x +iy).(a +ib) = ax +xbi + ayi + byi2 = (ax - by) + (bx + ay)i.
W praktyce tak wła nie mno ymy liczby zespolone pami taj c jednak o tym, e to tylko algorytm mno enia liczb zespolonych a nie definicja.
Zdefiniujemy teraz odwrotno liczby zespolonej, Niech z = x + iy∈C\{0}. wi c z pewnym przymru eniem oka) mamy
y i
Jest to algorytm znajdowania odwrotno ci liczby zespolonej. Zamiast pami ta do zło ony wzór [odwrotno ] post pujemy nieformalnie zapisuj c jak wy ej liczb 1, korzystamy ze wzoru skróconego mno enia udaj c, e nie pami tamy co to jest "i"
działamy dalej jak w przypadku funkcji wymiernych.
Podamy poni ej definicj ilorazu liczb zespolonych. Niech z = x +iy ∈C oraz s = a +ib ∈C\{0}. Definiujemy
Operacj znajdowania ilorazu liczb zespolonych nazywamy dzieleniem liczb zespolonych. Łatwo spostrzec, e iloraz jest funkcj :CxC\{0}→C. Do znajdowania ilorazu liczb zespolonych stosujemy jednoczenie algorytmy znajdowania iloczynu i odwrotno ci liczby zespolonej.
29i
Własno ci działa arytmetycznych w zbiorze liczb zespolonych.
Niech z,s,t∈C. Wówczas: wynikaj wprost z definicji działa , albo nietrudne (cho do mudne) w oparciu o poznane algorytmy. Pozostawiamy je czytelnikowi.
Twierdzenie bezpo rednio z definicji iloczynu i odwrotno ci liczby zespolonej (nie wspomagaj c si wypracowanymi algorytmami - eby pokaza , e i tak mo na) otrzymujemy:
+ =
Niech z∈C. Element -z∈C nazywamy odwrotnym (czasami przeciwnym) do elementu z wzgl dem dodawania.
Niech z∈C\{0}. Element
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
.
Niech z = x + iy = re(z) + im(z)i∈C. Na płaszczy nie C=RxR liczb t mo emy przedstawi jak na rysunku obok.
Przyjmijmy, e z∈C\{0}. Liczb α spełniaj c warunki :
1) cos
| z
| x =
2) sin
| z
| y =
nazywamy argumentem liczby zespolonej z.
Oczywi cie ka da liczba zespolona z∈C\{0} posiada argument, ale jak z trygonometrii wynika, je eli α∈R jest argumentem liczby zespolonej z∈C\{0}, to dla dowolnego k∈Z jest nim równie liczba α+2kπ. W przedziale [0, 2π) znajduje si tylko jedna taka liczba (k t jak kto woli). T liczb nazywamy argumentem głównym liczby zespolonej z∈C\{0} i oznaczamy symbolem arg(z). Jest on wyznaczony jednoznacznie. Dla liczby zespolonej 0 nie definiujemy argumentu.
Zauwa my, e dla liczby z = x + iy = re(z) + im(z)i∈C\{0} warunki 1) i 2) zapisa w postaci
1') x = |z|cosα [ lub re(z) = |z|cos(arg(z)) ] 2') y = |z|sinα [ lub im(z) = |z|sin(arg(z)) ] W zwi zku z tym mamy
(PT) z = |z|(cosα + isinα) [ lub z = |z|(cos(arg(z)) + isin(arg(z)) ]
y z=x+iy
|z|
α
x
Powy sze przedstawianie liczby zespolonej z∈C\{0} nazywamy jej postaci trygonometryczn .
Zauwa my, e dwie liczby zespolone (ró ne od zespolonego zera) s równe wtedy i tylko wtedy, gdy maj ten sam moduł i ten sam argument główny.
Istotnie niech z = x + iy ; s = a + ib ∈C\{0}. argument główny liczby s. Wówczas:
A) cos
Udowodnili my wi c twierdzenie
Twierdzenie (o równo ci liczb zespolonych)
Niech z,s∈C\{0}. Na to by liczby z i s były sobie równe, potrzeba i wystarcza by miały te same moduły i te same argumenty.
Wniosek
Je eli liczby z,s∈C\{0} maj ró ne moduły lub ró ne argumenty, to s ró ne.
Umawiamy si , e w zapisie z = |z|(cosα + isinα), α - oznacza b dzie dowolny argument liczby z∈C\{0}.
Twierdzenie Moivre'a
Dla dowolnej liczby zespolonej z∈C\{0} mamy
∀n∈N zn =[|z|(cos +isin )]n =|z|n (cosn +isinn ) Zale no (M) nazywamy wzorem Moivre'a.
Dowód (indukcyjny)
We my pod uwag funkcj zdaniow @(n)≡ zn =|z|n (cosn +isinn )
Zgodnie z definicj pot gi naturalnej liczby zespolonej (w szczególno ci pierwszej jej pot gi) mamy:
co ko czy dowód tezy indukcyjnej i całego twierdzenia.
Przykład
Obliczy (1 - i)77. Bez wzoru Moivre'a przyznacie Pa stwo, e to niewyobra alnie mudne zaj cie. Tymczasem przyjmuj c z ≡ 1 - i zapiszemy t liczb w postaci trygonometrycznej. W tym celu wyznaczamy kolejno:
|z| = |1 - i| = 12 +(−1)2 = 2
i według wzoru Moivre'a mamy zdefiniowali my wcze niej jej naturaln pot g .
Definicja dowolny argument liczby z mamy:
= −
Wnioskujemy st d, e je eli α jest pewnym argumentem liczby z, to -α jest jednym z argumentów liczby z-1. stanowi ce uogólnienie twierdzenia Moivre'a na przypadek pot g całkowitych. Mamy wi c
Twierdzenie ( uogólnienie Moivre'a )
Dla dowolnej liczby zespolonej z∈C\{0} mamy
∀n∈Z zn =[|z|(cos +isin )]n =|z|n (cosn +isinn )
Definicja
Pierwiastkiem stopnia naturalnego n≥2 z liczby zespolonej z∈C\{0} nazywamy tak liczb zespolon s∈C, dla której
sn = z.
Twierdzenie (o pierwiastkach zespolonych)
Dla dowolnego z∈C\{0} i liczby naturalnej n≥2 istnieje dokładnie n ró nych pierwiastków stopnia n-tego z tej liczby. Pierwiastkami tymi s liczby w postaci:
(PZ) )
Ka da z opisanych w tezie liczb k∈C podniesiona według wzoru Moivre'a do pot gi n-tej daje jak łatwo zauwa y liczb z, wi c ka da z nich jest według powy szej definicji pierwiastkiem stopnia n-tego z liczby z.
Zauwa my, e wypisane w (PZ) argumenty liczb k s argumentami, po mi dzy sob pierwiastkami zespolonymi liczby z.
Pozostaje jeszcze wykaza , e poza opisanymi w tezie liczbami k, liczba z nie ma innych pierwiastków zespolonych.
Niech =| |(cos +isin )b dzie pierwiastkiem stopnia n-tego z liczby z.
Przyjmijmy, e α jest jej argumentem głównym (α∈[0,2π). Wówczas z = |z|(cos(arg(z))+isin(arg(z)) = n =| |n (cosn +isinn )
St d wobec twierdzenia o równo ci liczb zespolonych mamy
n|z|
|
| =
arg(z) = arg( n)
Wobec (1) jednym z argumentów liczby njest nα. Zatem dla pewnego r∈Z mamy nα = arg( n) + 2rπ
(7) 0 ≤ r < n [ r∈{0,1,2, ... } ]
Tak wi c wobec (2), (6) oraz (7) liczba je eli ε jest pierwiastkiem stopnie n-tego z liczby z∈C\{0}, to jest jedn z liczb k opisanych w tezie.
Uwaga. Cho definicja pierwiastka z liczby rzeczywistej jest prawie zupełnie analogiczna jak pierwiastka z liczby zespolonej, to ró nice mi dzy pierwiastkami rzeczywistymi i zespolonymi s bardzo istotne.
Przypomnijmy, e pierwiastkiem z liczby rzeczywistej nieujemnej a nazwali my tak nieujemn liczb b, dla której a = b2 [ a =b⇔b2 =a]. Nie dla wszystkich liczb okre lali my pierwiastki rzeczywiste cho by stopnia drugiego . Poza tym pierwiastek rzeczywisty wyznaczony był jednoznacznie (niezale nie od stopnia). W przypadku pierwiastków zespolonych okre lonych dla ka dej liczby zespolonej ró nej od zespolonego 0, mamy ich tyle ró nych ile wynosi stopie pierwiastka.
Niech z∈C\{0}. Symbolem n z oznacza b dziemy n- elementowy zbiór pierwiastków stopnia n- tego z liczby z.
Przykłady
Znale 4 −1+i 3 .
Aby skorzysta z twierdzenia o pierwiastkach zespolonych znajdujemy moduł i argument liczby z ≡ 3 + 8i
2 )i
Znale 2 −4 [umawiamy si przy okazji, e podobnie jak w przypadku pierwiastków rzeczywistych stopnia drugiego pisa z - zamiast 2 z ]
Post pujemy podobnie jak w poprzednim przykładzie i mamy przyjmuj c z = -4.
|z| = |-4 +0.i| = (−4)2+(0)2 =4
Znale 4. Trzeba tu doda , e chodzi o pierwiastek zespolony, czyli zbiór.
Wida , e 4 = {-2,2}, ale podobnie jak w poprzednich przykładach wyznaczymy ten zbiór w oparciu o twierdzenie o pierwiastkach zespolonych. Przyjmuj c z = 4 mamy
|z| = |4 +0.i| = 42 +(0)2 =4
2
Niech z,s∈C\{0} i n∈N. Wówczas
n
Dowód wynika wprost z definicji pierwiastków zespolonych i przemienno ci mno enia.
Istnieje wówczas liczba z
Ta niepozorna własno okazuje si mie bardzo du e znaczenie. Warunek (DZ) wypowiadamy nast puj co: "mno enie liczb zespolonych nie posiada dzielników zera".