ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGO CI

ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGO CI

POJ CIA PIERWOTNE I AKSJOMATY

Jedynymi poj ciami, które w niniejszym skrypcie nie b d definiowane (poprzez inne poj cia) s : zbiór, zdanie, warto logiczna zdania (prawda b d fałsz), zdanie x∈∈∈X (x jest elementem zbioru X). ∈

S to tak zwane poj cia pierwotne. Odwołujemy si do ich intuicyjnego rozumienia. Zapewne intuicja tworzy u ka dego z nas nieco inne obrazy wy ej wymienionych poj . Opisuj c np. zbiór powiadamy najcz ciej, e jest to pewna

„mnogo ” zło ona z „elementów”. Zwró my uwag , e dokonuj c opisu takiego czy innego ogólnego poj cia szukamy zazwyczaj jakiego odniesienia do otaczaj cej nas rzeczywisto ci. I tak, je li przyjdzie nam opisa co rozumiemy np. przez

„bohaterstwo” wywołujemy z pami ci kilka, czy kilkana cie czynów, które w powszechnym odczuciu uwa ane s za bohaterskie i wybieramy ł cz ce je cechy. W ten sposób powstaje bardziej czy mniej precyzyjny opis danego poj cia - opis a nie definicja w rozumieniu niniejszego skryptu. Definicja bowiem rozumiana tu b dzie jako całkowicie jednoznaczny i precyzyjny opis poj cia.

Wracaj c do poj cia zbioru - opisuj c je widzimy oczami wyobra ni np. jabłka w koszu, li cie na drzewie (kosz mo e by pusty, drzewo całkowicie pozbawione li ci) i st d zapewne powtarzaj ca si w opisach zbioru u osób od wieku przedszkolnego do pó nej staro ci: „mnogo ” zło ona z „elementów”.

Gdyby my przyj li tak wła nie definicj zbioru, to znaczy przez zbiór rozumiemy mnogo zło on z elementów, to powstaje pytanie co to jest mnogo , co to jest element i co oznacza termin „zło ona” ? Je eli wymienione poj cia posiadaj swe definicje, to bazuj one na innych, „wcze niejszych” poj ciach, te z kolei na jeszcze wcze niejszych itd. Gdzie musi by jednak pocz tek tego ła cucha poj . Ten pocz tek stanowi musi poj cie, b d poj cia, nie odwołuj ce si do wcze niejszych, czyli tak zwane poj cie pierwotne. Okazało si , e w matematyce wygodnie jest przyj wła nie zbiór jako poj cie pierwotne.

Podobnie rzecz si ma ze zdaniem, dokładnie zdaniem w sensie logiki.

Wprawdzie w szkole redniej formułowana jest definicja zdania w sensie logiki, jako takiej wypowiedzi, której mo na przyporz dkowa jedn (i tylko jedn ) z dwóch ocen:

prawdy b d fałszu, ale traktowa j trzeba jako udany opis poj cia zdania, a nie jego definicj . Co to bowiem oznacza np. „przyporz dkowa ”? Z przyporz dkowaniem kojarzy si jedno z podstawowych poj matematyki, jakim jest funkcja. Nie jest to poj cie pierwotne. Poznamy definicj funkcji, która odwoływa si b dzie mi dzy innymi do takich poj jak zbiór i wła nie zdanie, nie mo na wi c definiowa zdania poprzez poj cia w których wyst puje „zdanie”. Okazuje si , e wygodnie przyj zdanie za poj cie pierwotne.

Przyjmujemy wi c (odwołuj c si wył cznie do intuicji), e wiemy co to jest zbiór, co to jest zdanie i jego warto logiczna (prawda i fałsz) i co oznacza zdanie x∈X (element x nale y do zbioru X). W przypadku tego ostatniego nie ma potrzeby osobnego precyzowania, co rozumie si przez element i co to znaczy „nale y”. Jako poj cie pierwotne przyjmuje si tu cało zdania x∈X, które mo e by zdaniem prawdziwym lub nie.

Przyjmujemy nast puj ce umowy.

Je eli p jest zdaniem prawdziwym, to piszemy w(p) = 1 Je eli p jest zdaniem fałszywym, to piszemy w(p) = 0.

Dla zdania p zachodzi dokładnie jedna z wykluczaj cych si mo liwo ci: albo w(p) = 1, albo w(p) = 0.

Je eli w(x∈X) = 0, to piszemy x∉X i czytamy: „x nie jest elementem zbioru X”.

w(x∈X) = 1 czytamy: „x jest elementem zbioru X”.

Okazuje si , e zupełnie swobodne operowanie poj ciami pierwotnymi prowadzi mo e do powstania tak zwanych paradoksów, czyli zda p dla których nie zachodzi

aden z warunków: w(p) = 1, w(p) = 0.

Jednym z bardziej znanych paradoksów jest poni szy.

Przyjmijmy, e istnieje zbiór X, którego elementami s zbiory, które nie s swymi elementami.

Skoro X jest zbiorem, to X∈X jest zdaniem. Rozwa my przypadki:

( i ) w(X∈X) = 1

Wówczas X jest elementem zbioru X, wi c nie jest jego elementem W my l powy szego okre lenia. Warunek (i) prowadzi, wi c do sprzeczno ci. Spodziewa si nale y tego, e w(X∈X) = 0. Tymczasem w przypadku

( ii ) w(X∈X) = 0

X nie jest elementem zbioru X, wi c w my l jego okre lenia jest jego elementem. I tu mamy wi c sprzeczno .

Skonstruowanie powy szego paradoksu było mo liwe dzi ki temu, e przyj li my i zbiór X o którym wy ej, istnieje. Nie mo na wi c zupełnie swobodnie operowa poj ciem zbioru. O istnieniu b d nieistnieniu zbiorów i o ich własno ciach wnioskuje si na podstawie tak zwanej aksjomatyki Logiki i Teorii mnogo ci. S to własno ci jakie narzucamy (jakich oczekujemy) od poj pierwotnych. Poni ej podamy cz wspomnianej Aksjomatyki Logiki i Teorii mnogo ci, wystarczaj c do zrozumienia tre ci niniejszego skryptu.

A1. Istnieje pewien zbiór.

A2. Istnieje pewne zdanie.

A3. Dla dowolnych zda p i q istniej zdania p∧q;p∨q;p q;p⇔q;~q, których warto logiczna zale y jedynie od warto ci logicznych zda p i q w sposób przedstawiony w poni szej tabelce:

Definicje →→→→ alternatywa koniunkcja implikacja równowa no negacja

p q p∨q p∧q p q p⇔q ~ q

1 1 1 1 1 1 0

1 0 1 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0

0 0 0 0 1 1

A4. Zbiory X i Y uznajemy za równe (identyczne, X i Y to ten sam zbiór) je eli w(x∈X⇔x∈Y) = 1.

A5. Dla dowolnych zbiorów A,B istnieje zbiór A∪B dla którego w(x∈A∨ x∈B) = 1.

Zbiór ten nazywamy sum zbiorów A i B.

Umawiamy si pisa A∪B≡{x: x∈A∨ x∈B}

A6. Dla dowolnych zbiorów A,B istnieje zbiór A∩B dla którego w(x∈A∧ x∈B) = 1.

Zbiór ten nazywamy iloczynem zbiorów A i B.

Umawiamy si pisa A∩B≡{x: x∈A∧ x∈B}.

A7. Dla dowolnych zbiorów A,B istnieje zbiór A\B dla którego w(x∈A ∧ x∉B) = 1.

Zbiór ten nazywamy ró nic zbiorów A i B.

Umawiamy si pisa A\B≡{x:x∈A∨ x∈B}

Podamy jeszcze dwa aksjomaty, ale w tym miejscu dobrze jest zauwa y , e niektóre z wy ej wymienionych aksjomatów s zb dne. Np. równowa no zda mo emy zdefiniowa przy pomocy implikacji i koniunkcji. Nie ma wi c potrzeby postulowania w aksjomacie A3 istnienia zdania p⇔q, bo jego istnienie wynika z wcze niej przyj tych własno ci. Symbole: ∨, ∧, , ⇔, ~ nazywamy funktorami zdaniotwórczymi odpowiednio: alternatywy, koniunkcji, implikacji, równowa no ci i negacji. Okazuje si , e w aksjomacie A3 wystarczy postulowa istnienie zdania p q zale nego jedynie od warto ci logicznych zda p i q w nast puj cy sposób:

p q p q

1 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Zdanie p q nazywamy dyzjunkcj zda p i q, za " " funktorem dyzjunkcji. Przy jego pomocy zdefiniowa mo na wcze niej podane funktory (pozostawiam to czytelnikowi).

Zb dnym okazuje si te aksjomat postuluj cy istnienie iloczynu zbiorów Zbiór ten mo na zdefiniowa przy pomocy aksjomatów A5 i A7 w nast puj cy sposób A∩B

≡ A\(A\B).

Powy sze uwagi maj na celu zasygnalizowanie, e podawana tu aksjomatyka ma charakter jedynie informacyjny. W celu dokładnego zapoznania si z zasygnalizowan problematyk odsyłam czytelników do podr czników specjalnie jej po wi conej.

Zajmiemy si teraz konsekwencjami podanej aksjomatyki. Zauwa my, e dla zdania p, którego istnienie jest konsekwencj A2 i o którym nie wiemy nawet czy jest prawdziwe, czy nie istniej na podstawie tabelki z A3 zdania p∧~p oraz p∨~p, przy czym:

p p∧~p p∨~p

1 0 1

0 0 1

Istnieje wi c zdanie prawdziwe p∨~p i zdanie fałszywe p∧~p.

Ze zda "elementarnych" przy pomocy funktorów zdaniotwórczych i ewentualnie nawiasów budowa mo emy bardzo zło one zdania. Np. dla zda p, q, r istniej zdania:

[(p q)∨(r∧p)] {[p∧(q⇔r)]∨(~q)}

~(p∨q)⇔[(~p)∧(~q)]

(p∨q) [p∧(~q)]

Poni ej zbadamy warto ci logiczne dwóch ostatnich zda w zale no ci od warto ci logicznych zda p i q. W tym celu budujemy tabelki:

Dla zdania (b) mamy:

p q p∨q ~(p∨q) ~p ~q (~p)∧(~q) ~(p∨q)⇔[(~p)∧(~q)]

1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 0 1 1 1 1 1

Wida , e warto logiczna zdania: ~(p∨q)⇔[(~p)∧(~q)] jest niezale na od warto ci logicznych tworz cych je zda p i q i e jest to zdanie prawdziwe.

Dla zdania (c) mamy:

p q p∨q ~q p∧(~q) (p∨q) [p∧(~q)

1 1 1 0 0 0

1 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1

Wida , e warto logiczna zdania: (p∨q) [p∧(~q)] zale y do warto ci logicznej tworz cych je zda p i q. Jest to zdanie fałszywe np. gdy w(p) = 1 = w(q) i zdanie prawdziwe np. gdy w(p) = 0 = w(q).

W dalszym ci gu litery symbolizuj ce zdania nazywa b dziemy zmiennymi zdaniowymi a utworzone z nich przy pomocy funktorów zdaniotwórczych i ewentualnie nawiasów zdania, nazywa b dziemy schematami zda . Wyszczególnione wy ej zdania (a), (b) i (c) traktowa mo emy jako schematy zda w których p,q,r s zmiennymi zdaniowymi (cho w (b) i (c) r nie wyst puje efektywnie).

Schematy zda , które staj si zdaniami prawdziwymi niezale nie od warto ci logicznych jakie przyjmowa mog wyst puj ce w nich zmienne nazywamy tautologiami (albo prawami rachunku zda ). Np. ~(p∨q)⇔[(~p)∧(~q)] jest tautologi .

Tautologie maj w matematyce bardzo du e znaczenie. Pozwalaj bowiem na formułowanie bardzo ogólnych praw.

Aby sprawdzi czy dany schemat jest tautologi tworzymy tabelk w n - pierwszych kolumn stanowi wyst puj ce w schemacie zmienne zdaniowe.

Wypisujemy w nich wszystkie mo liwe układy zer i jedynek symbolizuj ce warto ci logiczne zmiennych zdaniowych. Tabelka ma tyle wierszy ile jest mo liwych wszystkich takich układów. Z kombinatoryki wiadomo, e jest ich 2ⁿ. Kolejne kolumny tabelki stanowi "proste" schematy zda składaj cych si na dany schemat. Ostatni kolumn stanowi badany schemat. Tabelk wypełniamy zgodnie z definicjami funktorów zdaniotwórczych w oparciu o przyj te warto ci logiczne zmiennych zdaniowych z pierwszych n - kolumn. Je eli w ostatniej kolumnie wyst pi same jedynki, to dany schemat jest tautologi i nie jest ni w przeciwnym wypadku Np.

definiujemy schemat zda zmiennych zadaniowych x, y, z jako:

S(x,y,z) ≡ [x (y z)] [(x y) (x z)]

x y z y z x (y z) x y x z (x y) (x z) S(x,y,z)

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 1 0 0 1

1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 1 1 1 1 1

Wida wi c, e sprawdzanie, czy dany schemat jest tautologi jest bardzo prost , wr cz mechaniczn czynno ci . W niniejszym skrypcie bardzo cz sto wykorzystywali b dziemy poni sze tautologie:

1) ~(p∨q)⇔[(~p)∧(~q)] ← zaprzeczenie alternatywy 2) ~(p∧q)⇔[(~p)∨(~q)] ← zaprzeczenie koniunkcji 3) ~(p q) ⇔ [p∧(~q)] ← zaprzeczenie implikacji 4) [(p q)∧(q r)] (p r) ← przechodnio implikacji

5) p q ⇔ (~q) (~p) ← transpozycja (cz sto wykorzystywana przy dowodzeniu twierdze )

Prawa algebry zbiorów

Niech A,B,C b d zbiorami. Wówczas:

(1) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)

(2) A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) (3) A∩B ⊂ A ; A∩B ⊂ B

(4) A ⊂ A∪B ; B ⊂ A∪B

(5) Je eli A ⊂ X i B ⊂ X wówczas A ∩ B = X ⇔ A = X ∧ B = X.

(6) A = B ⇔ A⊂B ∧ B⊂A Dowód

Ad. 1)

Zauwa my, e zgodnie z definicj sumy i iloczynu zbiorów zdanie x∈A∩(B∪C) oznacza x∈A ∧ x∈ (B∪C) , to za x∈A ∧ (x∈B ∨ x∈C).

Natomiast zdanie x∈ (A∩B) ∪ (A∩C) oznacza (x∈A ∧x∈B) ∨ (x∈A ∧x∈C).

Niech p,q,r oznaczaj odpowiednio zdania x∈A , x∈B , x∈C. We my pod uwag schemat zda :

p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r). Łatwo sprawdzi , e jest on tautologi . Z faktu tego wynika równo 1).

Analogicznie ( buduj c stosowne schematy zda i sprawdzaj c, czy s one tautologiami) udowodni mo na pozostałe wymienione prawa.

Przyst pimy teraz do konstruowania w oparciu o poj cia pierwotne i dot d sformułowan aksjomatyk logiki i teorii mnogo ci nowych zbiorów,

Dla zbioru X o którym mowa w A1 istnieje na podstawie A7 zbiór X\X.

Zauwa my, e w(x∈X\X) = 0, bo w(x∈X∧x∉X) = 0. Je eli dla pewnego zbioru A mamy w(x∈A) =0, to na podstawie tabelki z A3 mamy w(x∈X\X⇔x∈A) = 1, wi c zbiory X\X i A s wobec A4 identyczne.

Zbiór A dla którego w(x∈A) = 0 nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem ∅. Wobec powy szych rozwa a zbiór taki jest tylko jeden.

Definicja

Niech A i B b d zbiorami. Powiemy, e A jest podzbiorem zbioru B (A zawarty jest w B) je eli prawdziwe jest zdanie x∈A x∈B. Piszemy wtedy A⊂B.

Mamy wi c A⊂B ≡ w(x∈A x∈B) = 1.

Twierdzenie 0.1

Dla dowolnego zbioru A mamy:

1) A⊂A 2) ∅⊂A.

Dowód

Zauwa my, e schemat S(x)≡ x x jest tautologi , bo

x x x

1 1

0 1

Zatem w(x∈A x∈A) = 1, a to oznacza, e A⊂A.

Zauwa my dalej, e skoro jak wiemy w(x∈∅)=0, to wobec definicji implikacji w(x∈∅ x∈A)=1, co daje ∅⊂A.

Przyst pujemy teraz do sformułowania kolejnych aksjomatów logiki i teorii mnogo ci.

A8. Dla dowolnego zbioru X istnieje zbiór wszystkich jego podzbiorów.

Zbiór ten nazywamy zbiorem pot gowym zbioru X i oznaczamy symbolem 2^X.

Zauwa my, e W my l twierdzenia 0.1 w(∅∈2^∅)=1, czyli zbiór 2^∅ nie jest pusty. O takim mówimy, e jest niepusty. Ogólnie, je eli dla pewnego zbioru A mamy w(x∈A)=1, to mówimy, e zbiór A jest niepusty. Piszemy wtedy A≠∅ i mówimy, e x jest elementem zbioru A.

W my l powy szej umowy stwierdzamy, e zbiór pusty jest elementem zbioru 2^∅.

Zauwa my dalej, e

(1) w(2^∅∈2^∅)=0. [innymi słowy 2^∅ nie jest podzbiorem zbioru ∅]

Istotnie, poniewa w(∅∈2^∅)=1 oraz w(∅∈∅)=0, to w(∅∈2^∅ ∅∈∅)=0.

W my l A8 istnieje zbiór pot gowy zbioru 2^∅ czyli zbiór 2 . Zauwa my, e ^2∅ 2^∅∈2 , wi c wobec (1) 2^{2∅ ∅}≠2 , ale 2^{2∅ ∅}⊂2 . W ten sposób powstaje "ła cuch" ^2∅ zbiorów o poni szych własno ciach:

(2) ∅⊂2^∅ ⊂2^2∅ ⊂2^22∅ ⊂...

(2') ∅≠2^∅ ≠2^2∅ ≠2^22∅ ≠...

Przypomnijmy, e na tym etapie budowania matematyki od podstaw nie wiemy jeszcze co to jest np. zbiór liczb rzeczywistych, funkcja itd. Ła cuch zbiorów opisany własno ciami (2) i (2') jest jak dot d jedynym "tworem" jaki udało si nam skonstruowa w oparciu o poj cia pierwotne i dot d podane aksjomaty. Zauwa my, e wspomniany "ła cuch" ustawia wyst puj ce w nim zbiory w "naturalnym"

porz dku ("mniejszy" poprzedza "wi kszy"). Rzec by mo na, e ka dy ze zbiorów

"ła cucha" (z wyj tkiem ∅) posiada swój poprzednik (zbiór bezpo rednio wyst puj cy przed nim) i ka dy posiada swój nast pnik (zbiór bezpo rednio wyst puj cy po nim). S to najistotniejsze cechy zbioru liczb naturalnych [ka da liczba naturalna (z wyj tkiem 1) posiada swój poprzednik, czyli liczb naturaln bezpo rednio j poprzedzaj c i ka da (bez wyj tku) posiada swój nast pnik, czyli liczb naturaln bezpo rednio po niej wyst puj c . Liczby naturalne nie został dot d skonstruowane (nie podali my ich definicji). Wida jednak w jaki sposób mo emy to uczyni . Mianowicie nazywaj c elementy ła cucha 2^∅,2^2∅,2^22∅,... liczbami naturalnymi.

Celem wst pu do niniejszego skryptu nie jest budowanie matematyki od podstaw (odsyłam czytelników do specjalnie temu celowi po wi conemu podr czników posiadaj cych w tytule "Podstawy Matematyki"), lecz jedynie zasygnalizowanie problemu. Przyjmijmy wi c, e skonstruowali my ju nie tylko same liczby naturalne, ale i ich zbiór. Przyjmujemy wi c, e wiemy co to jest zbiór liczb naturalnych i przyjmujemy jego oznaczenie: N ≡ {1,2,3,4, ... }. Maj c do dyspozycji zbiór N stosunkowo łatwo zdefiniowa zbiór liczb całkowitych Z i zbiór liczb wymiernych W. Znacznie wi cej kłopotów napotykamy przy konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych R. Przyjmijmy jednak, e i tymi zbiorami dysponujemy.

Przed sformułowaniem kolejnego aksjomatu podamy definicj .

Definicja

Niech X b dzie dowolnym zbiorem. Wyra enie @(x) zawieraj ce zmienn x, które staja si zdaniem (prawdziwym lub fałszywym) gdy w miejsce zmiennej x

wstawimy dowolny element ze zbioru X, nazywamy funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór X. Piszemy @(x), x∈X.

Do zawiła to definicja, dlatego zilustrujemy w czym rzecz na kilku przykładach.

Przykład 0.1

Niech @(x) ≡ 7x-13>5, x∈R.

@(x) jest funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór R, bowiem dowolne dwie liczby rzeczywiste mo emy z sob porówna . Dla dowolnego ustalonego a∈R jest albo w(7a-13>5)=1, albo w(7a-13>5)=0. Np. w(7^.4-13>5)=1 oraz w(7^.1-13>5)=0. Tak wi c dla dowolnego a∈R , 7a-13>5 jest zdaniem.

Przykład 0.2

Niech @(x) ≡ x

3 x

12

x =

−

+ _{, x∈R.}

@(x) nie jest funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór R, bo dla a=3∈R, @(3) nie jest zdaniem (z oczywistych powodów). Zauwa my jednak, e

@(x) ≡ x

3 x

12

x =

−

+ , x∈R\{3}.

jest funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór R\{3}.

Przykład 0.3

Niech A - b dzie zbiorem liter alfabetu łaci skiego oraz

@(x) ≡ x - jest samogłosk , x∈A.

@(x) jest funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór A, bo dowolna litera alfabetu jest albo samogłosk , albo ni nie jest (czyli jest spółgłosk ).

Przykład 0.4

Niech @(x) ≡ x²+7<0, x∈R.

@(x) jest funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór R, na tej samej zasadzie jak w przykładzie 0.1. Dla ustalonego a∈R a²+7<0 jest zdaniem. Jest ono niezale nie od a∈R fałszywe [w(a²+7<0)=0].

Przykład 0.5

Niech @(x) ≡ x²+7>0, x∈R.

@(x) jest funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór R, na tej samej zasadzie jak w przykładzie 0.1. Dla ustalonego a∈R a²+7>0 jest zdaniem. Jest ono niezale nie od a∈R prawdziwe [w(a²+7>0)=1].

Przyst pujemy do sformułowania kolejnego aksjomatu.

A9. Dla dowolnego zbioru X i funkcji zdaniowej @(x), której zakresem zmienno ci jest zbiór X istnieje zbiór tych x elementów zbioru X, dla których @(x) jest zdaniem prawdziwym.

Zbiór ten zapisujemy symbolicznie {x∈X: w(@(x))=1}.

Aksjomat A9 nazywamy aksjomatem podzbiorów.

Uwagi:

Niewykluczone, e zbiór o którym mowa w A9 jest pusty.

Do tej pory stwierdzenie, e zdanie a∈A jest prawdziwe notowali my jako w(a∈A)= 1 i e jest ono fałszywe jako w(a∈A)=0. Było bardzo wygodne gdy operowali my schematami zda . Od tej pory jednak, w celu uproszczenia zapisów pisz c:

a∈A - rozumie b dziemy, e w(a∈A)=1 a∉A - rozumie b dziemy, e w(a∈A)=0.

W zwi zku z t umow zbiór wyst puj cy w A9 zapisywa b dziemy w postaci

{x∈X: @(x) } - czyta : jest to zbiór tych elementów zbioru X, dla których spełniony jest warunek @(x).

Na przykład odwołuj c si do przykładów od 0.1 do 0.5 na mocy A9 istniej poni sze zbiory:

{x∈R:7x-13>5 } = ( 7 18_,∞)

{x∈R\3: x

3 x

12

x =

−

+ }= {-2, 6}

{x∈A: x- jest samogłosk } = {a, e, i, o, u, y}

{x∈R: x²+7<0 } = ∅ {x∈R: x²+7>0 } = R.

Twierdzenie 0.1 [ o sumie i iloczynie zbiorów]

Niech @(x), &(x) b d funkcjami zdaniowymi, których zakresem zmienno ci jest zbiór X. Wówczas:

I) {x∈X: @(x)∨&(x) } = {x∈X: @(x) } ∪ {x∈X: &(x) } II) {x∈X: @(x)∧&(x) } = {x∈X: @(x) } ∩ {x∈X: &(x) } Dowód

Uwaga: w dalszej cz ci skryptu bardzo cz sto b dziemy dowodzili równo ci dwóch zbiorów. Najcz ciej wykazywali b dziemy, e pierwszy z nich zawarty jest w drugim i odwrotnie ( co wobec punktu 6 praw algebry zbiorów równowa ne jest ich równo ci). Dowód poni szego twierdzenia stanowi mo e bardzo ogólny schemat tego typu dowodów.

Ad (I).

Niech A ≡ {x∈X: @(x)∨&(x) } oraz B ≡ {x∈X: @(x) } i C ≡ {x∈X: &(x) }.

Niech y∈A. Oznacza to, e w(@(y)∨&(y)) = 1, wi c wobec definicji alternatywy mamy:

(1) w(@(y)) = 1∨ w(&(y)) = 1.

przyjmijmy, e np.

(2) w(@(y)) = 1.

mamy wi c y∈B i wykorzystuj c prawa algebry zbiorów mamy B ⊂ B∪C i w konsekwencji

(3) y∈B∪C.

Pisz c na pocz tku dowodu "niech y∈A" przyj li my, e w(y∈A) = 1. W (3) uzyskali my w(y∈B∪C)=1. Poniewa implikacja p q nie jest zdaniem prawdziwym jedynie w przypadku gdy w(p) = 1 i w(q) = 0 stwierdzamy, e wobec

w(y∈A) = 1 oraz w(y∈B∪C)=1 mamy (4) w[(y∈A) (y∈B∪C)]=1

udowodnili my tym samym, e (5) A ⊂ B∪C

Do analogicznego winisku dochodzimy przyjmuj c w (2) w(&(y)) = 1.

Uwaga: przeprowadzone wy ej rozumowanie skłania ku nast puj cej konkluzji. Aby wykaza , e zbiór X zawarty jest w zbiorze Y wystarczy wykaza , e ka dy element zbioru X jest elementem zbioru Y. Je eli zbiór X jest pusty, to nie ma adnego elementu, ale jak wiemy ∅⊂Y. Pisz c na pocz tku dowodu "niech y∈X rozumiemy,

e bierzemy oto pod uwag dowolny, lecz ustalony na czas rozumowania element zbioru X ( to znaczy poza faktem, e y∈X o elemencie y niczego nie zakładamy). Nie przejmujemy si przy tym mo liwo ci X = ∅ z wy ej wspomnianych powodów.

Wypisujemy nast pnie logiczne konsekwencje przynale no ci elementu y do zbioru X. Je eli jedn z nich b dzie (a do tego zmierzamy) przynale no elementu y do zbioru Y, to mo emy stwierdzi , e X ⊂ Y.

W duchu powy szej uwagi przyst pujemy do dalszej cz ci dowodu.

Niech teraz y∈B∪C. Oznacza to, e (6) y∈B ∨ y∈C

Przyjmijmy, e np.

(7) y∈B czyli

(8) w(@(y))=1

Wnioskujemy st d, e (9) w(@(y)∨&(y)) = 1 a to oznacza, e (10) y∈A

Udowodnili my wi c, e (11) B∪C⊂A,

co razem z (5) daje tez .

Przyjmuj c w (7) y∈C dochodzimy do tego samego wniosku w zupełnie analogiczny sposób.

Zupełnie analogicznie (nawet łatwiej, bo nie zachodzi potrzeba rozwa ania pewnych przypadków) wykaza mo na (II) cz tezy.

KWANTYFIKATORY

Definicja

Niech @(x) b dzie funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór X. Na mocy aksjomatu A9 istnieje zbiór {x∈X: @(x) }.

Je eli {x∈X: @(x) } = X, to mówimy, e dla ka dego x nale cego do X jest

@(x) i piszemy ^∀_x∈X @(x).

Je eli {x∈X: @(x) } ≠ ∅, to mówimy, e istnieje x nale cy do X dla którego

@(x) i piszemy ^∃_x∈X @(x).

Mamy wi c

∀x∈X @(x) ≡ {x∈X: @(x) } = X oraz

∃x∈X @(x) ≡ {x∈X: @(x) } ≠ ∅.

Symbole ∀, ∃ nazywamy kwantyfikatorami. Pierwszy z nich kwantyfikatorem ogólnym, drugi kwantyfikatorem szczegółowym.

Przykłady zastosowania kwantyfikatorów.

Zdanie: istnieje liczba rzeczywista spełniaj ca równanie x² - 1 = 0 zapisa mo emy nast puj co ^∃_x∈R x² - 1 = 0.

Zdanie: dla ka dej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna od niej wi ksza zapisa mo emy nast puj co: ^∀_x∈R ^∃_n∈N n>x.

Zauwa my, e zdanie : ^∃_n∈N ^∀_x∈R n>x ró ni ce si od poprzedniego jedynie kolejno ci kwantyfikatorów oznacza zupełnie co innego. Mianowicie powiada ono, e istnieje taka liczba naturalna, która jest wi ksza od wszystkich liczb rzeczywistych.

Zdanie to w przeciwie stwie do poprzedniego jest oczywi cie fałszywe.

Wida wi c, e kolejno wyst powania w zdaniu kwantyfikatorów ma istotne znaczenie.

Prze led my jeszcze jeden przykład zastosowania kwantyfikatorów. We my pod uwag zdania:

istnieje liczba rzeczywista b d ca jednocze nie mniejsza ni 9 i wi ksza ni 7.

Mo emy zapisa je jako: ^∃_x∈R (7<x ∧ x<9)

istnieje liczba rzeczywista b d ca mniejsza ni 9 i istnieje liczba rzeczywista wi ksza ni 7. Mo emy zapisa je jako: ^∃_x∈R 7<x ∧^∃_x∈R x<9.

Zdania (a) i (b) s prawdziwe, wi c i zdanie:

∃x∈R (7<x ∧ x<9) ^∃_x∈R 7<x ∧^∃_x∈R x<9 jest prawdziwe.

We my pod uwag zdania:

istnieje liczba rzeczywista b d ca jednocze nie mniejsza ni 6 i wi ksza ni 7.

Mo emy zapisa je jako: ^∃_x∈R (7<x ∧ x<6)

istnieje liczba rzeczywista b d ca mniejsza ni 6 i istnieje liczba rzeczywista wi ksza ni 7. Mo emy zapisa je jako: ^∃_x∈R 7<x ∧^∃_x∈R x<6.

Zdanie (d) jest prawdziwe a zdanie (c) jest fałszywe, wi c zdanie:

∃x∈R 7<x ∧^∃_x∈R x<6 ^∃_x∈R (7<x ∧ x<6) jest fałszywe.

Z powy szych przykładów wynika, e "rozdzielno " kwantyfikatorów wzgl dem funktorów zdaniotwórczych nie jest spraw łatw .

Prawa rozdzielno ci kwantyfikatorów wzgl dem funktorów zdaniowórczych.

Niech &(x) i @(x) i $(x) b d funkcjami zdaniowymi, których zakresem zmienno ci jest zbiór X. Przy czym $(x) nie zale y wówczas od elementów zbioru X. (Zamiast

$(x) piszemy wtedy $). Wówczas:

(1) ^∀_x∈X [&(x)∧@(x)] ⇔ [^∀_x∈X &(x) ∧ ^∀_x∈X @(x)]

(2) ^∃_x∈X [&(x)∨@(x)] ⇔ [^∃_x∈X &(x) ∨ ^∃_x∈X @(x)]

(3) [^∀_x∈X &(x) ∨ ^∀_x∈X @(x)] ^∀_x∈X [&(x)∨ @(x)]

(4) ^∃_x∈X [&(x)∧@(x)] [^∃_x∈X &(x) ∧ ^∃_x∈X @(x)]

(5) ^∀_x∈X [&(x) @(x)] [^∀_x∈X (&(x) ^∀_x∈X @(x)]

(6) ^∀_x∈X [&(x) @(x)] [^∃_x∈X (&(x) ^∃_x∈X @(x)].

(7) ^∀_x∈X [ $ ∨ @ (x)] ⇔ [ $ ∨ ^∀_x∈X @(x) ] (8) ^∀_x∈X [ $ ∧ @ (x)] ⇔ [ $ ∧ ^∀_x∈X @(x) ] (9) ^∃_x∈X [ $ ∨ @ (x)] ⇔ [ $ ∨ ^∃_x∈X @(x) ] (10) ^∃_x∈X [ $ ∧ @ (x)] ⇔ [ $ ∧ ^∃_x∈X @(x) ]

(11) ^∀_x∈X [ $ @ (x)] ⇔ [ $ ^∀_x∈X @(x) ] (12) ^∃_x∈X [ $ @ (x)] ⇔ [ $ ^∀_x∈X @(x) ]

Dowód

Ad 1) ^∀_x∈X [&(x)∧@(x)] ≡ {x∈X: &(x)∧@(x) } =X ≡(1)≡ {x∈X: &(x)} ∩ {x∈X: @(x) } = X

≡(2)≡ [{x∈X: &(x)} = X ∧ {x∈X: @(x)} = X ] ≡ [ ^∀_x∈X &(x) ∧ ^∀_x∈X @(x)].

- wynika z twierdzenia o iloczynie zbiorów, (2)- wynika z jednego z praw algebry zbiorów.

Ad. 4) [ ^∃_x∈X [&(x)∧@(x)] ≡ {x∈X: &(x)∧@(x)} ≠ ∅ ≡ {x∈X: &(x)} ∩ {x∈X: @(x)} ≠∅

∅ ≠ {x∈X: &(x)}∩{x∈X: @(x)} ⊂ {x X: &(x)} ∧ ∅ ≠ {x∈X: &(x)}∩{x∈X: @(x)} {x∈X:

@(x)} {x∈X: &(x)} ≠∅ ∧ {x∈X: @(x)} ≠ ∅ [ ^∃_x∈X &(x) ∧ ^∃_x∈X @(x)].

Zauwa my przy tym, e nie jest prawdziwa przeciwna implikacja. Niech bowiem &(x)≡x>7 i @(x)≡x<7, dla x∈N. & i @ s oczywi cie funkcjami zdaniowymi, których zakresem zmienno ci jest zbiór N. Poniewa 3∈{x∈N: x<7} oraz 8∈{x∈N:x>7}, wi c {x∈N:x>7}≠∅∧{x∈N:x<7}≠∅, czyli [^∃_x∈N &(x)∧^∃_x∈N @(x)].

Zauwa my dalej, e {x∈N: x>7}∩{x∈N: x<7} = ∅, zatem ~[ ^∃_x∈X [&(x)∧@(x)]].

Ad. 7) Rozwa my przypadki:

(i) $ jest zdaniem prawdziwym. Wówczas: zdanie $ ∨ ^∀_x∈X @(x) jest prawdziwe i {x∈X:$} = X.

Zauwa my, e

{x∈X:$∨@(x)} = {x∈X: $ ∨ @(x)} = {x∈X: $ }∪{ x∈X:@(x)} =X∪{x∈X:@(x)} = X, czyli zdanie

∃x∈X [ $ ∨ @ (x)] te jest prawdziwe. W tym przypadku warto ci logiczne zda w (7) s jednakowe.

(ii) $ jest zdaniem fałszywym. Wówczas {x∈X:$} = ∅ a warto logiczna zda [$ ∨ ^∀_x∈X @ (x)] jest taka sama jak zdania ^∀_x∈X @(x). Zauwa my, e

(*) {x∈X:$∨@(x)} = {x∈X: $ }∪{ x∈X:@(x)} =∅∪{x∈X:@(x)} = {x∈X:@(x)}

Zdanie ^∀_x∈X [ $ ∨ @ (x)] jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy {x∈X:$∨@(x)} = X, co na mocy (*) równowa ne jest prawdziwo ci zdania ^∀_x∈X@ (x). W efekcie i w tym przypadku warto ci logiczne zda w (7) s jednakowe.

Podobnie udowodni mo na pozostałe z wymienionych praw.

RELACJE I FUNKCJE

Definicja

Niech A i B b d zbiorami niepustymi i niech a∈A i b∈B. Zbiór {{a},{a,b}} nazywamy par uporz dkowan o poprzedniku a i nast pniku b i oznaczamy symbolem (a,b).

Tak wi c (a,b) ≡ {{a},{a,b}}.

Okazuje si , e dla dowolnych, niepustych zbiorów A i B istnieje zbiór wszystkich par uporz dkowanych o poprzednikach ze zbioru A i nast pnikach ze zbioru B. Zbiór ten nazywamy iloczynem kartezja skim zbiorów A i B i oznaczamy symbolem A×B. Piszemy A×B = {(a,b): a∈A ∧ b∈B}. Je eli A = B to piszemy zamiast AxA piszemy A².

Iloczyn kartezja ski trzech zbiorów niepustych A,B,C definiujemy jako zbiór Ax(BxC). Analogicznie definiujemy iloczyn kartezja ski dowolnej sko czonej ilo ci zbiorów. Zamiast pisa

razy n

xA ...

Ax

−

piszemy Aⁿ.

Znanym nam ze Szkoły redniej przykładem iloczynu kartezja skiego jest zbiór RxR czyli płaszczyzna.

Podamy poni ej twierdzenie rozstrzygaj ce problem sygnalizowanej wcze niej kolejno ci kwantyfikatorów. Mo emy to uczyni dopiero w tym miejscu, gdy niezb dnym do tego jest poj cie iloczynu kartezja skiego zbiorów.

Twierdzenie (Prawa przestawiania kwantyfikatorów)

Niech @(x,y) b dzie funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór X×Y. Wówczas:

1) ^∀_x∈X ^∀_y∈Y @((x,y) ⇔ ^∀_y∈Y ^∀_x∈X @((x,y)

2) ^∃_x∈X

Dowód Ad. 1)

∀x∈X ∀

y∈Y @((x,y) ≡ ^∀_x∈X { y∈Y: @((x,y)} = Y ≡ {x∈X: { y∈Y: @((x,y)} = Y} = X.

Załó my, e zdanie

(1) {x∈X: { y∈Y: @((x,y)} = Y} = X - jest prawdziwe. (czyli ma miejsce ta równo zbiorów).

Przypu my, e

(2) {y∈Y: {x∈X: @(x,y)} = X} ≠ Y.

Oznacza to, e

(3)^∃_z∈Y z∉{y∈Y: {x∈X: @(x,y)} = X}, czyli

(4)^∃_t∈X t∉{x∈X: @(x,z)} , wi c zdanie @(t,z) jest fałszywe.

Wobec (1) t∈{x∈X: { y∈Y: @(x,y)} = Y}, zatem { y∈Y: @((t,y)} = Y, ale wobec (3) z∈Y\{ y∈Y: @((t,y)}. Uzyskana sprzeczno jest konsekwencj przypuszczenia (2) i dowodzi prawdziwo ci zdania {y∈Y: {x∈X: @(x,y)} = X} ≠ Y, czyli

(5)^∀_y∈Y ^∀_x∈X @(x,y).

Je eli zdanie (1) jest fałszywe za przypu cimy, e zdanie (6) {y∈Y: {x∈X: @(x,y)} = X} = Y

jest prawdziwe, to w zupełnie analogiczny sposób uzyskamy sprzeczno . Zatem warto ci logiczne obu zda w punkcie 1) twierdzenia s jednakowe, co ko czy dowód.

Ad. 3)

∃x∈X

Załó my, e zdanie {x∈X:{y∈Y:@(x,y)} = Y} ≠∅ jest prawdziwe. Niech (1) t∈ {x∈X:{y∈Y:@(x,y)} = Y}.

Wówczas

(2) {y∈Y:@(t,y)} = Y.

Niech z∈Y. Wówczas wobec (1) @(t,z) jest zdaniem prawdziwym. W konsekwencji t∈{x∈X:@(x,z)}, czyli {x∈X:@(x,z)}≠∅ a wi c z∈{y∈Y: {x∈X:@(x,y)} ≠∅}.

Udowodnili my, e Y ⊂ {y∈Y: {x∈X:@(x,y)} ≠∅}. Poniewa przeciwna inkluzja jest oczywista mamy równo Y = {y∈Y: {x∈X:@(x,y)} ≠∅}, czyli prawdziwo zdania

∃x∈X

Uwaga

Funktora implikacji w (3) nie mo emy zast pi funktorem równowa no ci.

Niech bowiem @(x,y)≡ x+y=1 dla (x,y)∈RxR. Niech z∈R, wówczas {x∈R: x+z = 1} ≠ ∅ , bo (1-z)∈ {x∈R: x+z = 1}.

Zatem {y∈R: {x∈X: x+y = 1}≠∅} = R, czyli prawdziwe jest zdanie

∀y∈R ∃

x∈R x+y = 1.

Przypu my, e równie zdanie

∃x∈R ∀

y∈R x+y = 1≡ {x∈R:{y∈R: x+y = 1} = R}≠∅.

jest prawdziwe. Niech t∈{x∈R:{y∈R: x+y = 1} = R}. Wówczas {y∈R: t+y = 1} = R.

Poniewa -t∈R wi c zdanie 0 = 1 jest prawdziwe. Uzyskane sprzeczno jest konsekwencj przypuszczenia, e zdanie (8) jest prawdziwe.

Definicja

Ka dy podzbiór @ iloczynu kartezja skiego A×B nazywamy relacj w tym iloczynie.

Zamiast pisa (a,b)∈@ piszemy a@b. W przypadku gdy @ jest relacj w A×A mówimy te e @ jest relacj okre lon w zbiorze A.

Przykłady.

Zbiór @ ≡ { (x,y)∈RxR: x<y} jest relacj w zbiorze R. Geometrycznie jest to zbiór punktów płaszczyzny le cy ponad wykresem prostej o równaniu y=x.

Zbiór @ ≡ { (x,y)∈RxR: x² + y² = -7} jest relacj w zbiorze R przy czym @ = ∅.

Definicja

Relacj @ okre lon w zbiorze A nazywamy relacj równowa no ci je eli:

1) ^∀_{x ∈A}

2) ^∀_x,y∈A

3) ^∀_x,y,z∈A

Trywialnym wr cz przykładem relacji równowa no ci jest równo elementów w dowolnym zbiorze niepustym.

Definicja

Niech @ b dzie relacj równowa no ci w zbiorze X i niech a∈X. Zbiór [a]

≡ {x∈X: x@a} nazywamy klas abstrakcji elementu a w relacji @. Element a∈X nazywamy reprezentantem klasy abstrakcji [a].

Zauwa my, e wobec zwrotno ci relacji @ zawsze reprezentant danej klasy abstrakcji jest jej elementem, czyli ^∀_a∈X a∈[a].

Przykład

Niech H b dzie zbiorem liczb całkowitych podzielnych przez 3, czyli H ≡ {x∈Z:

∃k∈Z x = 3k }. W zbiorze Z definiujemy relacj „@” nast puj co:

^∀_x,y∈Z x@y ≡ x-y∈H.

Wyka emy, e „@” jest relacj równowa no ci w Z.

Niech x,y,z∈Z. Mamy:

1) x-x = 0 = 3^.0 ∈ H, bo 0∈Z. Zatem x@x.

2) Je eli x@y, to x-y∈H, wi c ^∃_k∈Z x-y = 3^.k. Zatem ^∃_k∈Z -x+y = 3^.(-k), czyli y-x∈H, bo -k∈Z. Tak wi c y@x.

3) Je eli x@y ∧ y@z, to x-y∈H ∧ y-z∈H, wi c ^∃_k,r∈Z x-y = 3^.k ∧ y-z = 3^.r. Mamy wi c x-z = x-y+y-z = 3(k+r). St d x-z∈H, bo k+r∈Z. Tak wi c x@z.

Zajmiemy si teraz wyznaczeniem klas abstrakcji relacji @.

[0] = {x∈Z: x@0} = {x∈Z: x-0∈H} = {x∈Z: x∈H} = H

[1] = {x∈Z: x@1} = {x∈Z: x-1∈H} = {x∈Z: ^∃_k∈Z x-1 = 3^.k} = {x∈Z: ^∃_k∈Z x = 3^.k+1} -jest to zbiór liczb całkowitych, które przy dzieleniu przez 3 daj reszt 1.

[2] = {x∈Z: x@2} = {x∈Z: x-2∈H} = {x∈Z: ^∃_k∈Z x-2 = 3^.k} = {x∈Z: ^∃_k∈Z x = 3^.k+2} -jest to zbiór liczb całkowitych, które przy dzieleniu przez 3 daj reszt 2.

[3] = {x∈Z: x@3} = {x∈Z: x-3∈H} = {x∈Z: ^∃_k∈Z x-3 = 3^.k} = {x∈Z: ^∃_k∈Z x = 3(k+1)} = = H.

Z poni szego twierdzenia wywnioskujemy, e znale li my w tym przykładzie wszystkie ró ne mi dzy sob klasy abstrakcji danej relacji.

Zauwa my w tym miejscu, e [1]∪[2]∪[3] = Z

Twierdzenie (O rozł czno ci klas abstrakcji)

Klasy abstrakcji dowolnej relacji równowa no ci @ okre lonej w zbiorze X s albo zbiorami rozł cznymi, albo identycznymi.

Dowód

Niech @ b dzie relacj równowa no ci w zbiorze X i niech a,b∈X. Je eli [a] ∩ [b] ≠∅, to

(1) ^∃_k∈X k∈[a] ∧ k∈[b].

St d

(2) k@a ∧ k@b

Wobec symetrii @ mamy te (3) a@k ∧ b@k.

Niech x∈[a]. Wówczas x@a

Z (2), (3) i (4) oraz z przechodnio ci relacji @ wnioskujemy, e x@b, czyli x∈[b].

Wykazali my wi c, e [a] ⊂ [b]. Analogicznie wykaza mo na przeciwn inkluzj .

Wniosek

Suma mnogo ciowa klas abstrakcji z poprzedniego przykładu dała cały zbiór Z. W zwi zku z tym dowolna liczba całkowita a jest elementem dokładnie jednego ze zbiorów [1], [2] lub [3]. Poniewa a∈[a], to wobec powy szego twierdzenia [a] = [1], lub [a] = [2], lub [a] = [3].

Definicja

Relacj f okre lon w iloczynie D×P spełniaj c warunek:

∀x∈D ∃

y∈Pxfy ∧ ^∀_z∈P(xfz z=y)

nazywamy funkcj (odwzorowaniem). Zbiór D nazywamy dziedzin a zbiór P przeciwdziedzin funkcji f.

Zapis: f:D→P, czytamy „ f jest funkcj okre lon na zbiorze D i o warto ciach w zbiorze P”.

Zamiast pisa xfy b dziemy pisali f(x) = y.

Zbiór W≡{(x,y)∈D×P: y = f(x)} nazywamy wykresem funkcji f.

Uwaga

U yli my wy ej znaku "≡", którego u ywali b dziemy w przypadkach definiowania pewnych obiektów np. zbioru (jak powy ej) b d funkcji.

Niech A⊂D i B⊂P. Zbiór f(A)≡{y∈P: ^∃_x∈A y = f(x)}

nazywamy obrazem zbioru A (przy odwzorowaniu f).

W szczególno ci zbiór f(D) nazywamy obrazem funkcji f.

f^-1(B)≡{x∈D: f(x)∈B} nazywamy przeciwobrazem zbioru B (przy odwzorowaniu f).

Oczywi cie f^-1(P) = D.

Definicja

Funkcj f:D→P nazywamy:

ró nowarto ciow gdy ^∀_x,y∈D. x≠y f(x)≠f(y).

Poniewa schemat (a b)⇔(~b ~a) jest tautologi , to warunek (a) zapisa te mo emy nast puj co:

(a’) ró nowarto ciow gdy ^∀_x,y∈D. f(x) = f(y) x = y.

surjekcj (odwzorowaniem „na”) gdy f(D) = P,

czyli gdy ^∀_y∈P ^∃_x∈D y = f(x). Piszemy wówczas f:D P

→na .

odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym ( w skrócie: [wj]) gdy f jest ró nowarto ciow surjekcj .

Piszemy wówczas f:D P

→wj .

Funkcj ró nowarto ciow nazywamy te injekcj za [wj] bijekcj . Definicja

Niech ∅≠A⊂D i f:D→P. Funkcj g:A→P zdefiniowan jak nast puje ^∀_x∈A g(x)≡f(x) nazywamy funkcj zredukowan (obci t ) do zbioru A i oznaczmy przez f|A.

Definicja

Niech ∅≠D⊂R. Funkcj f:D→R nazywamy:

rosn c (niemalej c ) je eli ^∀_x,y∈D x<y f(x)<f(y) ( f(x)≤f(y) ) malej c (nierosn c ) je eli ^∀_x,y∈D x<y f(x)>f(y) ( f(x)≥f(y) ).

Funkcje: rosn c , malej c , nierosn c lub niemalej c nazywamy monotoniczn . Funkcje rosn c lub malej c nazywamy ci le monotonicznymi.

Uwaga

Funkcje ci le monotoniczne s oczywi cie ró nowarto ciowe.

Definicja

Funkcje f:D→P i g:D→P nazywamy równymi je eli ^∀_x∈D f(x) = g(x).

Piszemy wtedy f = g.

Przykład 1.2

Definiujemy funkcje f,g:R→R nast puj co: ^∀_x∈R f(x)≡sin²x+cos²x ; g(x)≡1 oraz funkcje h,k:R\{0}→R nast puj co: ^∀_R\{0} h(x)≡ x

x ; k(x)≡x. Stwierdzamy, e f = g, natomiast g ≠ h, bo dziedziny tych funkcji s ró ne oraz

h ≠ k, bo dla x=2∈R\{0} mamy h(2) = 1 ≠ 2 = k(2). Zauwa my jeszcze, e h|{1} = k|{1}.

Definicja

Niech g:D→P’ i f:D’→P i niech P’⊂D’. Funkcj f g:D→P zdefiniowan nast puj co:

∀x∈D (f g)(x)≡f(g(x)) nazywamy superpozycj (zło eniem) funkcji f i g.

Przykład 1.3

Definiujemy f,g:R→R nast puj co: ^∀_x∈R f(x)≡2x+3 i g(x)≡x². Znale f g i g f.

Niech x∈R. Mamy (f g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x²+3, (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x+3) = 4x²+12x+12.

Zauwa my, e f g ≠ g f, bo dla 1∈R mamy (f g)(1) = 5 ≠ 28 = (g f)(1).

Definicja

Niech f:D→P b dzie funkcj ró nowarto ciow . Funkcj f ^-1:f(D)→D zdefiniowan nast puj co:

∀y∈f(D) f ^-1(y) = x ⇔ f(x) = y nazywamy funkcj odwrotn do funkcji f.

Uwaga

Dla dowolnej funkcji ró nowarto ciowej istnieje funkcja odwrotna, natomiast funkcje nieró nowarto ciowe nie posiadaj funkcji odwrotnej poniewa w ich przypadku przyporz dkowanie: „^∀_y∈f(D) f ^-1(y) = x ⇔ f(x) = y” nie jest jednoznaczne.

Definicja

Funkcj idD:D D okre lon wzorem ^∀_x∈D idD(x) ≡ x nazywamy identyczno ciow . Jest ona oczywi cie ró nowarto ciow bijekcj .

Twierdzenie (własno ci funkcji odwrotnej)

Niech f:D→P b dzie funkcj ró nowarto ci . Wówczas:

1) f f ^-1 = idf-1

(D) czyli ^∀_y∈f^-1_(D) f(f ^-1(y)) = y.

2) f ^-1 f = idD czyli ^∀_x∈D f ^-1(f(x)) = x .

Łatwy dowód pozostawiamy czytelnikowi.

ZBIORY LICZBOWE

W rozdziale tym podamy podstawowe własno ci znanych ze Szkoły redniej zbiorów liczbowych uwypuklaj c te z nich, które w szkole z reguły były mało eksponowane. Umówimy si te co do oznacze tych zbiorów.

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH R.

Przyjmujemy, e znamy własno ci działa (dodawanie, odejmowanie, mno enie, dzielenie i pot gowanie) w tym zbiorze. Geometrycznie liczby rzeczywiste uto samiamy z punktami na prostej.

Wszystkie ni ej podane zbiory b d podzbiorami zbioru R.

ZBIÓR LICZB NATURALNYCH N Przyjmujemy, e N ≡ {1,2,3,4, ... }

Elementarne własno ci tego zbioru to np. suma i iloczyn dowolnych liczb naturalnych s liczbami naturalnymi (ró nica i iloraz nie zawsze), dowolne dwie liczby naturalne porówna mo na przy pomocy relacji "≤", ka da liczba naturalna posiada swój nast pnik i ka da z wyj tkiem 1 ma swój poprzednik .

W niniejszym skrypcie cz sto wykorzystywa b dziemy poni sze własno ci zbioru liczb naturalnych N.

(n1) Ka dy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych posiada element najmniejszy, czyli

n N n

n A n } {

\ 2

A ^N ₀ ∀ ∈ ⁰ ≤

∃ ∈

∅

∀ ∈

Element ten oznacza b dziemy symbolem minA i nazywa minimum zbioru A.

(n2) Zasada indukcji matematycznej.

Wykorzystuj c poj cie funkcji zdaniowej okre lonej na zbiorze N zasad t sformułowa mo na nast puj co:

Niech @(n) b dzie funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór liczb naturalnych N.

Je eli:

(I) dla pewnego no∈N jest w(@(no)) = 1 (II) ^∀_n∈N [n≥no ∧ w(@(n))=1] w(@(n+1))=1, to

∀n∈N n>no w(@(n))=1,

czyli { no, no+1, no+2, ... } ⊂ {n∈N: @(n) } .

W szczególno ci dla no = 1 mamy {n∈N: @(n) } = N.

Dowód

Przyjmijmy, e dla pewnego no∈N mamy (1) w(@(no)) = 1

Niech A ≡ { no, no+1, no+2, ... } oraz B ≡ {n∈N: @(n) }.

Nale y wykaza , e A ⊂ B. Przypu my, e tak nie jest. Mamy wówczas (2) ^∃_m∈A m∉B

Oznacza to, e

(3) ^∃_m∈N m>no ∧ w(@(m)) = 0 [m>no a nie m ≥no na mocy (1)]

Niech C ≡ {n∈N: n>no ∧ w(@(n)) = 0}. Wobec (3) C ≠ ∅ [ bo m∈C] . Własno (n1) gwarantuje wi c istnienie minimum zbioru C. Niech k ≡ minC ∈ C. Wobec definicji minimum zbioru mamy k - 1 ∉C i k - 1 ≥ no.

(4) k>no ∧ w(@(k)) = 0 ∧ w(@(k-1)) = 1 Wobec zało enia II. i (4) mamy

(5) w(@(k-1+1)) = w(@(k)) = 1

co przeczy (4). Uzyskana sprzeczno jest konsekwencj przypuszczenia (2). Mamy wi c A ⊂ B.

Na koniec zauwa my jeszcze, e dla no=1 mamy

A ≡ { no, no+1, no+2, ... } = { 1, 2, 3 ... } = N. Poniewa B ≡ {n∈N: @(n) }⊂N i jak wykazali my A ⊂ B, zatem {n∈N: @(n) } = N.

Ta ostatnia równo oznacza, e "^∀_n∈N @(n) " , wi c @(n) jest zdaniem prawdziwym dla dowolnego n∈N.

Zilustrujemy teraz powy sz zasad dwoma przykładami.

Przykład 1

Wykaza , e dla dowolnego n∈N liczba w postaci 6ⁿ-1 jest podzielna przez 5.

Aby skorzysta z zasady indukcji nale y najpierw zdefiniowa funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór N. Zastanówmy si najpierw co to znaczy, e liczba całkowita podzielna jest przez 5. Po chwili refleksji odpowiemy z pewno ci , e to taka liczba, która jest całkowit wielokrotno ci liczby 5, czyli istnieje taka liczba całkowita k, e 6ⁿ-1=5k.

W tym przypadku definiujemy wi c

@(n) ≡ ^∃_k∈Z 6ⁿ-1 = 5k , n∈N.

Sprawdzamy teraz zgodnie z zasad indukcji prawdziwo zdania @(no) dla pewnego no∈N. Oczywi cie sprawdzanie to rozpoczynamy od no=1 [ w przypadku niepowodzenia, to znaczy gdy @(1) jest zdaniem fałszywym, sprawdzamy prawdziwo @(n) dla kolejnych liczb naturalnych. Kiedy poszukiwania staj si zbyt długie zaczynamy zastanawia si , czy w ogóle taka liczba istnieje ]

Mamy

I. 6¹-1 = 5 = 5^.1 ∧ 1∈Z Zatem w(@(1)) = 1.

II. Niech n∈N. Zakładamy, e

(zał) n≥1 ∧ ^∃_k∈Z 6ⁿ-1 = 5k [czyli n≥no=1 ∧ w(@(n))=1] ← tak zwane zało enie indukcyjne nale y wykaza , e

(teza) ^∃_r∈Z 6ⁿ⁺¹-1 = 5r [czyli w(@(n+1))=1] ← tak zwana teza indukcyjna.

Przyst pujemy do dowodu tezy indukcyjnej, czyli wskazania takiej całkowitej liczby r dla której 6ⁿ⁺¹-1 = 5r, wiedz c e ≥1 ∧ ^∃_k∈Z 6ⁿ-1 = 5k. Mamy

6ⁿ⁺¹-1 = 6^. 6ⁿ-1 = 6^.6ⁿ-1-5+5 = 6^. (6ⁿ-1) + 5 = (zał) = 6^.5k + 5 = 5(6k+1) ∧ r ≡ 6k+1∈Z

Udało si . Wskazali my (wykorzystuj c zało enie indukcyjne i dokonuj c inteligentnych przekształce rachunkowych) liczb r całkowit (bo iloczyn i suma liczb całkowitych jest liczb całkowit ) tak , e 6ⁿ⁺¹-1 = 5r.

Zasada indukcji matematycznej pozwala wnioskowa , e dla dowolnego n∈N liczba w postaci 6ⁿ-1 jest podzielna przez 5.

Przykład 2

Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówno : 2^n-1 > n². Definiujemy funkcj zdaniow

@(n) ≡ 2^n-1 > n² , n∈N.

Autor sprawdził, e dla liczb 1,2,3,4,5,6 w(@(n)) = 0, czyli nierówno 2^n-1 > n² jest fałszywa. (Sprawd cie Pa stwo autora, czy si nie pomylił). Zauwa my, e dla no = 7∈N mamy

I. 2^7-1 = 2⁶ = 64 > 49 = 7², czyli w(@(7)) = 1.

II. Niech n∈N i n≥7. Zakładamy, e (zał) 2^n-1 > n²

Twierdzimy, e (teza) 2ⁿ > (n+1)² Mamy

2ⁿ = 2^. 2^n-1> (zał) >2^.n² = n²+ n² = n² + n^.n >(n≥7>3)> n² + 3^.n = n² + 2^.n + n>(n≥7>1)>

> n² + 2^.n + 1 = (n+1)²

Tak wi c 2ⁿ > (n+1)². Z zasady indukcji matematycznej wnioskujemy wi c, e

nierówno 2^n-1 > n² jest prawdziwa w zbiorze {7,8,9, ... }. Poniewa sprawdzili my, e w zbiorze {1,2,3,4,5,6} nie jest ona prawdziwa mo emy zapisa

∀n∈N 2^n-1 > n² ⇔ n≥7.

Zbiór liczb przeciwnych do naturalnych N_- Definiujemy N_- ≡ {-1,-2,-3,-4, ... }.

Jest to zbiór "symetryczny" do zbioru liczb naturalnych, wi c i jego własno ci s

"symetryczne". Np. ka dy niepusty podzbiór zbioru N_- ma element najwi kszy itd.

ZBIÓR LICZB CAŁKOWITYCH Z.

Definiujemy Z ≡ N_- ∪ {0} ∪ N = { ... -3,-2,-1,0,1,2,3, ... }.

Elementarne własno ci tego zbioru, to np. suma, ró nica i iloczyn dowolnych liczb całkowitych s liczbami całkowitymi (o ilorazie z racji 0∈Z nie zawsze mo na mówi ).

Zbiór ten nie ma własno ci zwi zanej ani z najwi kszym ani z najmniejszym elementem niepustego jego podzbioru. W zwi zku z tym w zbiorze Z nie obowi zuje zasada indukcji matematycznej, której dowód ,jak wiemy bazuje na istnieniu elementu najmniejszego w ka dym niepustym podzbiorze N. W zbiorze Z ka dy (bez wyj tku) element posiada zarówno swój poprzednik jak i nast pnik. Podobnie jak we wcze niej opisanych zbiorach ka de dwie liczby całkowite mo emy z sob porówna przy pomocy relacji "≤".

W niniejszym skrypcie cz sto wykorzystywali b dziemy znan ze Szkoły redniej własno dzielenia liczb całkowitych z reszt . Własno t zapiszemy poni ej rzadko u ywanej w szkole. Mianowicie:

(DZR) ^∀_m∈Z^∀_n∈Z\{0} ^∃_c,r∈Z m = c^.n + r ∧ 0 ≤ r < n.

ZBIÓR LICZB WYMIERNYCH W.

Definiujemy W ≡ {x∈R: ^∃_g∈Z^∃_d∈N d x= g}

Istotn cech ró ni c ten zbiór od wcze niej opisanych jest to, e adna liczba wymierna nie posiada ani swego nast pnika ani poprzednika. Co wi cej mi dzy ka dymi dwiema ró nymi liczbami wymiernymi znale mo na pewn liczb wymiern (np. ich redni arytmetyczn ).

ZBIÓR LICZB NIEWYMIERNYCH IW.

Definiujemy IW ≡ R\W.

Wiadomo ze szkoły redniej, e np. 2 nie da si przedstawi w postaci ułamka o liczniku całkowitym i naturalnym mianowniku. Zatem 2∈IW. Okazuje si , e liczb niewymiernych jest w pewnym sensie nawet wi cej ni wymiernych. Tym jednak w niniejszym skrypcie zajmowa si nie b dziemy.

Zauwa my e: N ⊂ Z ⊂ W ⊂ R.

Skonstruujemy teraz zbiór jeszcze obszerniejszy ni wszystkie dot d podane. Nie b dziemy odwoływali si tu do własno ci tego zbioru wyniesionych ze Szkoły redniej, bo z reguły o zbiorze tym w szkołach rednich nie wspomina si nawet.

Dlatego te omówieniu tego zbioru po wi cimy osobny rozdział.

ZBIÓR LICZB ZESPOLONYCH C.

Iloczyn kartezja ski RxR nazywa b dziemy zbiorem liczb zespolonych oznacza i liter C. Elementy zbioru C, tak zwane liczby zespolone identyfikowa mo emy wi c z punktami płaszczyzny RxR.

Niech z∈C = RxR. Z definicji iloczynu kartezja skiego zbiorów wynika, e z jest uporz dkowan par punktów (x,y), przy czym x,y∈R. Zatem

z = (x,y)

Na oznaczenie powy szej uporz dkowanej pary liczb rzeczywistych u ywa b dziemy innego symbolu mianowicie x + iy, czyli

(PK) z= (x,y) ≡ x + iy.

U yte wy ej symbole "+" oraz "i" słu jedynie do innego zapisu pary (x,y) w i nie maj adnego innego znaczenia. W szczególno ci "+" nie oznacza tu adnego dodawania, "i" nie jest wielo ci mog c przyjmowa ró ne warto ci, to po prostu symbole.

Przedstawienie liczby zespolonej z = x + iy nosi nazw postaci kartezja skiej liczby zespolonej.

Liczb rzeczywist x nazywamy cz ci rzeczywist liczby zespolonej z =x+iy i oznaczamy j symbolem re(z).

Liczb rzeczywist y nazywamy cz ci urojon liczby zespolonej z =x+iy i oznaczamy j symbolem im(z).

W zwi zku z tymi umowami i przyj tymi oznaczeniami zapisa mo emy:

z= (x,y) ≡ x + iy = re(z) + i(im(z))

Dwie liczby zespolone jako elementy iloczynu kartezja skiego s (jak wiemy) równe wtedy i tylko wtedy gdy ich poprzedniki i nast pniki s równe. Wyra aj c t własno

w dopiero co przyj tej terminologii powiedzie mo emy, e dwie liczby zespolone s równe wtedy i tylko wtedy, gdy maj te same cz ci rzeczywiste i te same urojone.

Przyjmujemy nast puj ce umowy co do zapisu liczby zespolonej:

x + iy ≡ iy + x ≡ x + yi

cz urojona liczby zespolonej to ta liczba rzeczywista, która "stoi przy i" w odró nieniu od jej cz ci rzeczywistej.

1) x + i(-y) ≡ x - iy ≡ -iy + x 2) 0 + iy ≡ iy

3) x + i1 ≡ x + i 4) x + i0 ≡ x

W zwi zku z t ostatni umow liczby zespolone o cz ci urojonej równej zeru identyfikowa mo emy z liczbami rzeczywistymi. W konsekwencji R ⊂ C.

Jeszcze inaczej. Liczby rzeczywiste traktowa mo emy jako liczby zespolone o cz ci urojonej równej zeru.

Uwaga: R ⊂ C na mocy poczynionej przez nas umowy, poniewa formalnie rzecz bior c R nie jest podzbiorem RxR = C.

W zbiorze C wprowadzimy teraz działania arytmetyczne, które oka si by uogólnieniem działa arytmetycznych znanych ze zbioru liczb rzeczywistych R.

Niech z = x +iy ∈C oraz s = a +ib ∈C.

Definiujemy:

[suma] z + s = (x +iy)+(a +ib) ≡ (x + a) + (y + b)i

Tak wi c przez sum liczb zespolonych rozumiemy liczb zespolon której cz rzeczywista jest sum cz ci rzeczywistych dodawanych liczb i cz urojona sum cz ci urojonych dodawanych liczb. Takie przyporz dkowanie jest oczywi cie jednoznaczne, okre lili my wi c funkcj "+":CxC→C.

Operacj znajdowania sumy dwóch liczb zespolonych nazywamy dodawaniem liczb zespolonych.

Wprost z powy szej definicji wynika poni sza własno (WS) re(z+s) = re(z) + re(s) ∧ im(z+s) = im(z) + im(s)