Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczenia nr 25 oraz innych.
Zjawisko Halla polega na powstawaniu poprzecznej różnicy potencjałów w płytce półprzewodnika lub metalu, przez którą przepływa prąd elektryczny, jeżeli jest ona umieszczona w polu
magnetycznym prostopadłym do kierunku przepływu prądu (rys. XIV.1).
Rys. XIV.1. Zjawisko Halla.
Niech w przewodzeniu prądu biorą udział elektrony. W polu magnetycznym o indukcji magnetycznej B na elektrony poruszające się z prędkością v
działa siła Lorentza, opisana wyrażeniem:
v B
e FL (XIV.1)Gdy wektor prędkości v
elektronów jest prostopadły do wektora indukcji B wartość bezwzględna siły jest równa:
B v e
FL (XIV.2)
Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego siła Lorentza jest prostopadła do obu wektorów: prędkości elektronu i indukcji pola magnetycznego. Siła prostopadła do wektora prędkości powoduje odchylenie toru ruchu elektronów od prostoliniowego kierunku i zakrzywienie go. Dla rozważanej geometrii układu (rys. XIV.1) tor ruchu elektronów zostaje zakrzywiony w stronę jednej ze ścianek płytki. W efekcie elektrony gromadzą się na jednej powierzchni płytki pozostawiając na przeciwległej powierzchni nieskompensowane ładunki dodatnie. Rozdzielenie dodatnich i ujemnych ładunków powoduje powstanie wewnątrz próbki poprzecznego pola elektrycznego EH
. To pole działa siłą elektryczną Fe e EH
na każdy elektron, przeciwdziałając dalszemu odchylaniu elektronów. W warunkach równowagi siła pola elektrycznego Fe
jest równa co do wartości sile Lorentza FL
, a więc zachodzi równość:
B v e E
e H (XIV.3)
Gęstość prądu płynącego przez płytkę z definicji wyraża się jako:
v n e
j (XIV.4)
gdzie n – koncentracja elektronów.
Po podstawieniu do (XIV.3) wyrażania otrzymanego z (XIV.4):
n j v
e i przeprowadzeniu odpowiednich przekształceń otrzymuje się:
B I - - -I - - -U H
B j R n e B j EH (XIV.5) gdzie en
R 1 jest nazywana stałą Halla.
Stosując widoczne na rysunku XIV.1 oznaczenia opisujące geometrię próbki można gęstość prądu wyrazić jako: d b I j (XIV.6)
Z poprzecznym polem elektrycznym E związana jest poprzeczna różnica potencjałów H U tzw.H
napięcie Halla równe odpowiednio:
b E
UH H (XIV.7)
Po podstawieniu wyrażeń (XIV.6) i (XIV.7) do (XIV.5) i po wykonaniu odpowiednich przekształceń otrzymuje się wyrażenie określające koncentrację nośników ładunku n w następującej postaci:
H U d e I B n (XIV.8)
Koncentrację nośników ładunku n można zatem wyznaczyć wykonując pomiar napięcia Halla i natężenia prądu dla próbki półprzewodnika lub metalu o znanej geometrii, umieszczonej w polu magnetycznym o znanej indukcji, tak aby kierunki płynącego prądu i wektora indukcji były do siebie prostopadłe.
W półprzewodniku istnieją dwa rodzaje nośników ładunku: elektrony i dziury, w obecności pola magnetycznego są one odchylane w kierunku tej samej powierzchni próbki. Odchylenie dziur powoduje zmniejszenie napięcia Halla powstałego w wyniku odchylenia elektronów. Z tego powodu omawiane zjawisko nadaje się do pomiaru koncentracji nośników ładunku tylko w półprzewodnikach domieszkowanych, w których koncentracja większościowych nośników ładunku jest dużo większa od koncentracji mniejszościowych nośników. To znaczy spełniony jest warunek, że koncentracja elektronów jest dużo większa od koncentracji dziur (n p) lub odwrotnie
)
(p n . Przeprowadzenie pomiarów pozwala rozróżnić, z którym z tych przypadków mamy do
czynienia, gdyż znak napięcia Halla zależy od rodzaju przewodnictwa płytki półprzewodnikowej. Jeżeli przewodnictwo jest elektronowe (n p), to napięcie Halla UH ujemne, dla przewodnictwa
dziurowego (p n) UH jest dodatnie. Wyznaczanie napięcia Halla jest jednym z najdokładniejszych sposobów określenia koncentracji nośników prądu w materiałach półprzewodnikowych domieszkowanych.
Mierząc dodatkowo przewodność właściwą lub opór właściwy próbki można wyznaczyć ruchliwość nośników większościowych
E vn
n
, czyli prędkość unoszenia w polu elektrycznym o jednostkowym natężeniu. Uwzględniając definicję ruchliwości nośników wyrażenie (XIV.4) przekształca się do postaci:
E n e
j n (XIV.9)
Zgodnie z definicją przewodności właściwej
E j
, gdzie E natężenie pola elektrycznego wewnątrz próbki wyrażenie na ruchliwość przyjmuje postać:
en n 1 (XIV.10)
gdzie – oporność właściwa, którą z prawa Ohma można związać z napięciem przyłożonym do próbki V, natężeniem płynącego prądu I i wymiarami geometrycznymi próbki w następujący sposób:
l d b I V (XIV.11)
Porównując wyrażenia (XIV.10) i (XIV.11) ruchliwość nośników większościowych możnan przedstawić jako: n e d b l V I n (XIV.12)
Rys. XIV.2. Kształt próbki do pomiarów napięcia Halla.
Próbka do pomiaru napięcia Halla powinna mieć specjalne kontakty, aby wyeliminować niekorzystne efekty utrudniające pomiar (wstrzykiwanie nośników, zwieranie próbki, rekombinację nośników). Przykładowy kształt próbki do pomiaru napięcia Halla jest przedstawiony na rysunku XIV.2. Prąd płynie między kontaktami (1) i (2), natomiast napięcie Halla jest mierzone między kontaktami (3-4) lub (5-6). Napięcie V przyłożone do próbki mierzymy pomiędzy kontaktami (3) i (5) w celu wyeliminowania dodatkowego spadku napięcia na kontaktach. Przez kontakty (3) i (5) w odróżnieniu od (1) i (2) nie płynie prąd elektryczny.
Zjawisku Halla towarzyszy szereg efektów utrudniających prawidłowy pomiar napięcia. Są to: zjawisko Ettingshausena – powoduje ono powstanie poprzecznego względem kierunku
przepływu prądu, gradientu temperatury spowodowanego odchylaniem przez pole magnetyczne w przeciwne strony „gorących” (o prędkości większej od vśr) i „zimnych”
(o prędkości mniejszej od vśr) nośników ładunku. Poprzeczny gradient temperatury
powoduje powstanie napięcia termoelektrycznego na kontaktach (3) i (4), które dodaje się do napięcia Halla (stanowi ono około 5% napięcia UH).
zjawisko Nernsta – powoduje ono powstanie gradientu temperatury wzdłuż kierunku przepływu prądu na skutek różnego rozpraszania „gorących” i „zimnych” elektronów. Podłużny gradient temperatury powoduje powstanie poprzecznego pola elektrycznego w wyniku przepływu strumienia ciepła w polu magnetycznym. Powstałe napięcie dodaje się do napięcia Halla.
zjawisko Righiego-Leduca – przepływ strumienia ciepła powoduje powstanie również poprzecznego gradientu temperatury. Efektowi temu towarzyszy napięcie termoelektryczne dodające się do napięcia Halla.
Wartość napięcia Halla można jednak określić, jeżeli wykona się cztery niezależne pomiary napięć przy dwu przeciwnych kierunkach przepływu prądu I i przy dwu przeciwnych zwrotach indukcji B, czyli odpowiednio: U1(I,B), U2(I,B), U3(I,B), U4(I,B). Wówczas:
4 U U U U UH 1 2 3 4 (XIV.13)
Wyprowadzając równanie (XIV.7) założono, że w warunkach równowagi siła Lorentza kompensuje siłę wywołaną hallowskim polem elektrycznym EH, czyli że w kierunku poprzecznym w płytce nie płynie prąd elektryczny. Zatem pomiar napięcia Halla należy przeprowadzić bez przepływu prądu w tym kierunku. W tym celu do pomiaru napięcia Halla zazwyczaj stosuje się kompensacyjne metody pomiaru małych napięć, woltomierze lampowe i cyfrowe o dużej rezystancji wejściowej lub elektrometry.