Zjawisko Starka polega na zmianie poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.
Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),
hH0, ~L2i= [H0, Lz] = 0.
Zaburzenie wywołane takim polem opisywane jest hamiltonianem H0 = ~F · ~r = e ~E · ~r = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ,
gdzie e jest wielkością dodatnią. Zauważmy, żeH0 jest funkcją nieparzystą.Rzeczywiście
~
r → −~r ⇒ z → −z a cos θ → cos(π − θ) = − cos θ
⇒ H0 = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H0.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Zjawisko Starka polega na zmianie poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.
Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H0 tak, aby były stanami własnymi orbitalnego momentu pędu,
Zaburzenie wywołane takim polem opisywane jest hamiltonianem H0 = ~F · ~r = e ~E · ~r = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ,
gdzie e jest wielkością dodatnią. Zauważmy, żeH0 jest funkcją nieparzystą.Rzeczywiście
~
r → −~r ⇒ z → −z a cos θ → cos(π − θ) = − cos θ
⇒ H0 = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H0.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Zjawisko Starka polega na zmianie poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.
Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H0 tak, aby były stanami własnymi orbitalnego momentu pędu,co jest możliwe, gdyż hH0, ~L2i= [H0, Lz] = 0.
gdzie e jest wielkością dodatnią. Zauważmy, żeH0 jest funkcją nieparzystą.Rzeczywiście
~
r → −~r ⇒ z → −z a cos θ → cos(π − θ) = − cos θ
⇒ H0 = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H0.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Zjawisko Starka polega na zmianie poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.
Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H0 tak, aby były stanami własnymi orbitalnego momentu pędu,co jest możliwe, gdyż hH0, ~L2i= [H0, Lz] = 0.
Zaburzenie wywołane takim polem opisywane jest hamiltonianem H0 = ~F · ~r = e ~E · ~r = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ,
gdzie e jest wielkością dodatnią.
~
r → −~r ⇒ z → −z a cos θ → cos(π − θ) = − cos θ
⇒ H0 = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H0.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Zjawisko Starka polega na zmianie poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.
Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H0 tak, aby były stanami własnymi orbitalnego momentu pędu,co jest możliwe, gdyż hH0, ~L2i= [H0, Lz] = 0.
Zaburzenie wywołane takim polem opisywane jest hamiltonianem H0 = ~F · ~r = e ~E · ~r = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ,
gdzie e jest wielkością dodatnią.Zauważmy, że H0 jest funkcją nieparzystą.
⇒ H0 = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H0.
atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.
Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H0 tak, aby były stanami własnymi orbitalnego momentu pędu,co jest możliwe, gdyż hH0, ~L2i= [H0, Lz] = 0.
Zaburzenie wywołane takim polem opisywane jest hamiltonianem H0 = ~F · ~r = e ~E · ~r = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ,
gdzie e jest wielkością dodatnią. Zauważmy, żeH0 jest funkcją nieparzystą.Rzeczywiście
~r → −~r ⇒ z → −z a cos θ → cos(π − θ) = − cos θ
⇒ H0 = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H0.
atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.
Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H0 tak, aby były stanami własnymi orbitalnego momentu pędu,co jest możliwe, gdyż hH0, ~L2i= [H0, Lz] = 0.
Zaburzenie wywołane takim polem opisywane jest hamiltonianem H0 = ~F · ~r = e ~E · ~r = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ,
gdzie e jest wielkością dodatnią. Zauważmy, żeH0 jest funkcją nieparzystą.Rzeczywiście
~r → −~r ⇒ z → −z a cos θ → cos(π − θ) = − cos θ
⇒ H0 = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H0.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
To powoduje pewną komplikację, gdyżwartość oczekiwana H0 w stanach o określonej parzystości znika.
Elementy macierzowe hj |H0 |ki opisujące poprawki do energii zawierają całkowanie po całej przestrzeni R3.
po obszarze symetrycznym względem początku układu współrzędnych jest równa 0.Rzeczywiście
Za
−a
f (x )dx =
( x = −y dx = −dy
)
= −
−a
Z
a
f (−y )dy =
−a
Z
a
f (y )dy
= −
a
Z
−a
f (y )dy = 0.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
To powoduje pewną komplikację, gdyżwartość oczekiwana H0 w stanach o określonej parzystości znika.
Elementy macierzowe hj |H0 |ki opisujące poprawki do energii zawierają całkowanie po całej przestrzeni R3.
Całka z funkcji nieparzystej, dla której
f (−x ) = −f (x ), dla wszystkich x ∈ D, po obszarze symetrycznym względem początku układu współrzędnych jest równa 0.
−a
f (x )dx =
dx = −dy = −
a
f (−y )dy =
a
f (y )dy
= −
a
Z
−a
f (y )dy = 0.
stanach o określonej parzystości znika.
Elementy macierzowe hj |H0 |ki opisujące poprawki do energii zawierają całkowanie po całej przestrzeni R3.
Całka z funkcji nieparzystej, dla której
f (−x ) = −f (x ), dla wszystkich x ∈ D, po obszarze symetrycznym względem początku układu współrzędnych jest równa 0.Rzeczywiście
a
Z
−a
f (x )dx =
( x = −y dx = −dy
)
= −
−a
Z
a
f (−y )dy =
−a
Z
a
f (y )dy
= −
a
Z
f (y )dy = 0.
stanach o określonej parzystości znika.
Elementy macierzowe hj |H0 |ki opisujące poprawki do energii zawierają całkowanie po całej przestrzeni R3.
Całka z funkcji nieparzystej, dla której
f (−x ) = −f (x ), dla wszystkich x ∈ D, po obszarze symetrycznym względem początku układu współrzędnych jest równa 0.Rzeczywiście
a
Z
−a
f (x )dx =
( x = −y dx = −dy
)
= −
−a
Z
a
f (−y )dy =
−a
Z
a
f (y )dy
= −
a
Z
f (y )dy = 0.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Wybierzmy jako funkcje własne niezaburzonego hamiltonianu H0 harmoniki sferyczne,które są funkcjami własnymi orbitalnego momentu pędu.
Wcześniej pokazaliśmy, żeharmoniki sferyczne mają parzystość l , gdyż przy odbiciu przestrzennym
~
r → −~r ⇔ θ → π − θ, ϕ → π + ϕ
tzn.dla l = 0, 2, 4, ... są funkcjami parzystymi, adla l = 1, 3, 5, ... – funkcjami nieparzystymi.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Wybierzmy jako funkcje własne niezaburzonego hamiltonianu H0 harmoniki sferyczne,które są funkcjami własnymi orbitalnego momentu pędu.
Wcześniej pokazaliśmy, żeharmoniki sferyczne mają parzystość l , gdyż przy odbiciu przestrzennym
~
r → −~r ⇔ θ → π − θ, ϕ → π + ϕ zachodzi
Ylm(π − θ, π + ϕ) = (−1)lYlm(θ, ϕ) ,
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Wybierzmy jako funkcje własne niezaburzonego hamiltonianu H0 harmoniki sferyczne,które są funkcjami własnymi orbitalnego momentu pędu.
Wcześniej pokazaliśmy, żeharmoniki sferyczne mają parzystość l , gdyż przy odbiciu przestrzennym
~
r → −~r ⇔ θ → π − θ, ϕ → π + ϕ zachodzi
Ylm(π − θ, π + ϕ) = (−1)lYlm(θ, ϕ) , tzn.dla l = 0, 2, 4, ... są funkcjami parzystymi,
Wybierzmy jako funkcje własne niezaburzonego hamiltonianu H0 harmoniki sferyczne,które są funkcjami własnymi orbitalnego momentu pędu.
Wcześniej pokazaliśmy, żeharmoniki sferyczne mają parzystość l , gdyż przy odbiciu przestrzennym
~
r → −~r ⇔ θ → π − θ, ϕ → π + ϕ zachodzi
Ylm(π − θ, π + ϕ) = (−1)lYlm(θ, ϕ) ,
tzn.dla l = 0, 2, 4, ... są funkcjami parzystymi, adla l = 1, 3, 5, ...
– funkcjami nieparzystymi.
Wybierzmy jako funkcje własne niezaburzonego hamiltonianu H0 harmoniki sferyczne,które są funkcjami własnymi orbitalnego momentu pędu.
Wcześniej pokazaliśmy, żeharmoniki sferyczne mają parzystość l , gdyż przy odbiciu przestrzennym
~
r → −~r ⇔ θ → π − θ, ϕ → π + ϕ zachodzi
Ylm(π − θ, π + ϕ) = (−1)lYlm(θ, ϕ) ,
tzn.dla l = 0, 2, 4, ... są funkcjami parzystymi, adla l = 1, 3, 5, ...
– funkcjami nieparzystymi.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
PonieważH0 jest funkcją nieparzystą, to element macierzowy hj |H0|ki nie znika tylko jeśli |ji i |ki są stanami o przeciwnych parzystościach.
Jako |j i i |ki wybieramy stany własne orbitalnego momentu pędu
|l , mi.
|l , mi = |0, 0i , który jest parzysty, stąd
h0, 0 |H0 |0, 0i = 0.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
PonieważH0 jest funkcją nieparzystą, to element macierzowy hj |H0|ki nie znika tylko jeśli |ji i |ki są stanami o przeciwnych parzystościach.
Jako |j i i |ki wybieramy stany własne orbitalnego momentu pędu
|l , mi.
Dla najniższego poziomu:n = 1 (⇒ l = 0)
|l , mi = |0, 0i , który jest parzysty, stąd
h0, 0 |H0 |0, 0i = 0.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
PonieważH0 jest funkcją nieparzystą, to element macierzowy hj |H0|ki nie znika tylko jeśli |ji i |ki są stanami o przeciwnych parzystościach.
Jako |j i i |ki wybieramy stany własne orbitalnego momentu pędu
|l , mi.
Dla najniższego poziomu:n = 1 (⇒ l = 0)istnieje tylko jeden stan
|l , mi = |0, 0i , który jest parzysty,
PonieważH0 jest funkcją nieparzystą, to element macierzowy hj |H0|ki nie znika tylko jeśli |ji i |ki są stanami o przeciwnych parzystościach.
Jako |j i i |ki wybieramy stany własne orbitalnego momentu pędu
|l , mi.
Dla najniższego poziomu:n = 1 (⇒ l = 0)istnieje tylko jeden stan
|l , mi = |0, 0i , który jest parzysty,stąd
h0, 0 |H0 |0, 0i = 0.
PonieważH0 jest funkcją nieparzystą, to element macierzowy hj |H0|ki nie znika tylko jeśli |ji i |ki są stanami o przeciwnych parzystościach.
Jako |j i i |ki wybieramy stany własne orbitalnego momentu pędu
|l , mi.
Dla najniższego poziomu:n = 1 (⇒ l = 0)istnieje tylko jeden stan
|l , mi = |0, 0i , który jest parzysty, stąd
h0, 0 |H0 |0, 0i = 0.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Pierwszy stan wzbudzony atomu wodoru on = 2 (⇒ l = 0, 1) jest czterokrotnie zdegenerowany.Odpowiadają mu stany
|l , mi = |0, 0i , |1, −1i , |1, 0i , |1, 1i .
= e| ~E | (x [py, z] − y [px, z])= 0.
Zatem operatory Lz i H0 mają wspólne wektory własne |l , mi.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Pierwszy stan wzbudzony atomu wodoru on = 2 (⇒ l = 0, 1) jest czterokrotnie zdegenerowany. Odpowiadają mu stany
|l , mi = |0, 0i , |1, −1i , |1, 0i , |1, 1i .
Obliczmy komutator
Lz, H0 = hLz, e| ~E |zi= e| ~E | [Lz, z] = e| ~E | [xpy − ypx, z]
= e| ~E | (x [py, z] − y [px, z])= 0.
Pierwszy stan wzbudzony atomu wodoru on = 2 (⇒ l = 0, 1) jest czterokrotnie zdegenerowany. Odpowiadają mu stany
|l , mi = |0, 0i , |1, −1i , |1, 0i , |1, 1i .
Obliczmy komutator
Lz, H0 = hLz, e| ~E |zi= e| ~E | [Lz, z] = e| ~E | [xpy − ypx, z]
= e| ~E | (x [py, z] − y [px, z])= 0.
Zatem operatory Lz i H0 mają wspólne wektory własne |l , mi.
Pierwszy stan wzbudzony atomu wodoru on = 2 (⇒ l = 0, 1) jest czterokrotnie zdegenerowany. Odpowiadają mu stany
|l , mi = |0, 0i , |1, −1i , |1, 0i , |1, 1i .
Obliczmy komutator
Lz, H0 = hLz, e| ~E |zi= e| ~E | [Lz, z] = e| ~E | [xpy − ypx, z]
= e| ~E | (x [py, z] − y [px, z])= 0.
Zatem operatory Lz i H0 mają wspólne wektory własne |l , mi.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Obliczmy element macierzowy równania[Lz, H0] = 0 pomiędzy stanami własnymi orbitalnego momentu pędu.
l0, m0 |Lz, H0|l , mi = l0, m0 | LzH0− H0Lz|l , mi
= l0, m0 |LzH0 |l , mi −l0, m0 |H0Lz|l , mi
= m0− m~l0, m0 |H0 |l , mi= 0.
Skąd wynika, że
m0= m lub l0, m0|H0 |l , mi = 0.
Obliczmy element macierzowy równania[Lz, H0] = 0 pomiędzy stanami własnymi orbitalnego momentu pędu.
l0, m0 |Lz, H0|l , mi = l0, m0 | LzH0− H0Lz|l , mi
= l0, m0 |LzH0 |l , mi −l0, m0 |H0Lz|l , mi
= m0− m~l0, m0 |H0 |l , mi= 0.
Skąd wynika, że
m0= m lub l0, m0|H0 |l , mi = 0.
Czylitylko elementy macierzowe pomiędzy stanami o tych samych wartościach m mogą być niezerowe.
Obliczmy element macierzowy równania[Lz, H0] = 0 pomiędzy stanami własnymi orbitalnego momentu pędu.
l0, m0 |Lz, H0|l , mi = l0, m0 | LzH0− H0Lz|l , mi
= l0, m0 |LzH0 |l , mi −l0, m0 |H0Lz|l , mi
= m0− m~l0, m0 |H0 |l , mi= 0.
Skąd wynika, że
m0= m lub l0, m0|H0 |l , mi = 0.
Czylitylko elementy macierzowe pomiędzy stanami o tych samych wartościach m mogą być niezerowe.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Rozważmy ponownie drugie równanie naszego układu (H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i . Wstawmy
|ψ0i = c1 |0, 0i + c2|1, −1i + c3 |1, 0i + c4 |1, 1i i pomnóżmy obustronnie kolejno przez h0, 0| , h1, −1| , h1, 0| i h1, 1| .
= hl , m| (H0− W0)|ψ1i= 0,
gdyż stany |l , mi są również stanami własnymi hamiltonianu H0.
Rozważmy ponownie drugie równanie naszego układu (H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i . Wstawmy
|ψ0i = c1 |0, 0i + c2|1, −1i + c3 |1, 0i + c4 |1, 1i i pomnóżmy obustronnie kolejno przez h0, 0| , h1, −1| , h1, 0| i h1, 1| .Zauważmy, że lewa strona każdego równania znika
hl , m| (H0− W0) |ψ1i =hl , m| (H0− W0)†|ψ1i
= hl , m| (H0− W0)|ψ1i= 0,
gdyż stany |l , mi są również stanami własnymi hamiltonianu H0.
Rozważmy ponownie drugie równanie naszego układu (H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i . Wstawmy
|ψ0i = c1 |0, 0i + c2|1, −1i + c3 |1, 0i + c4 |1, 1i i pomnóżmy obustronnie kolejno przez h0, 0| , h1, −1| , h1, 0| i h1, 1| .Zauważmy, że lewa strona każdego równania znika
hl , m| (H0− W0) |ψ1i =hl , m| (H0− W0)†|ψ1i
= hl , m| (H0− W0)|ψ1i= 0,
gdyż stany |l , mi są również stanami własnymi hamiltonianu H .
współczynniki ci, i = 1, 2, 3, 4
h0, 0| H0− W1(c1 |0, 0i + c2 |1, −1i + c3|1, 0i + c4 |1, 1i) = 0 h1, −1| H0− W1(c1 |0, 0i + c2 |1, −1i + c3|1, 0i + c4 |1, 1i) = 0 h1, 0| H0− W1(c1 |0, 0i + c2 |1, −1i + c3|1, 0i + c4 |1, 1i) = 0 h1, 1| H0− W1(c1 |0, 0i + c2 |1, −1i + c3|1, 0i + c4 |1, 1i) = 0 którego wyznacznik musi się zerować
gdzie uwzględniliśmy fakt, że elementy macierzowe H0 zarówno pomiędzy stanami o tej samej parzystości, jak i stanami o różnych
współczynniki ci, i = 1, 2, 3, 4
h0, 0| H0− W1(c1 |0, 0i + c2 |1, −1i + c3|1, 0i + c4 |1, 1i) = 0 h1, −1| H0− W1(c1 |0, 0i + c2 |1, −1i + c3|1, 0i + c4 |1, 1i) = 0 h1, 0| H0− W1(c1 |0, 0i + c2 |1, −1i + c3|1, 0i + c4 |1, 1i) = 0 h1, 1| H0− W1(c1 |0, 0i + c2 |1, −1i + c3|1, 0i + c4 |1, 1i) = 0 którego wyznacznik musi się zerować
gdzie uwzględniliśmy fakt, że elementy macierzowe H0 zarówno
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Rozwińmy względem czwartego wiersza, wówczas otrzymamy
−W1(−1)4+4
Rozwińmy względem czwartego wiersza, wówczas otrzymamy
Skąd rozwiązania na W1 mają postać W1 = 0, 0,
1, 0|H0|0, 0 , −
1, 0|H0|0, 0 .
Rozwińmy względem czwartego wiersza, wówczas otrzymamy
Skąd rozwiązania na W1 mają postać W1 = 0, 0,
1, 0|H0|0, 0 , −
1, 0|H0|0, 0 .
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Obliczmy element macierzowy h1, 0|H0|0, 0i 1, 0|H0|0, 0 = e| ~E |
Z
d3r u210∗ (~r )r cos θ u200(~r ).
unlm(~r ) są niezaburzonymi funkcjami własnymi atomu wodoru danymi wzorem
unlm(~r ) = unlm(r , θ, ϕ) = Rnl(r ) Ylm(θ, ϕ),
gdzie Rnl(r ) jest częścią radialną funkcji falowej, a Ylm(θ, ϕ) to sferyczne harmoniki.
Obliczmy element macierzowy h1, 0|H0|0, 0i 1, 0|H0|0, 0 = e| ~E |
Z
d3r u210∗ (~r )r cos θ u200(~r ).
unlm(~r ) są niezaburzonymi funkcjami własnymi atomu wodoru danymi wzorem
unlm(~r ) = unlm(r , θ, ϕ) = Rnl(r ) Ylm(θ, ϕ),
gdzie Rnl(r ) jest częścią radialną funkcji falowej, a Ylm(θ, ϕ) to sferyczne harmoniki.Przy czym
u200(~r ) = R20(r ) Y00(θ, ϕ), u210(~r ) = R21(r ) Y10(θ, ϕ).
Obliczmy element macierzowy h1, 0|H0|0, 0i 1, 0|H0|0, 0 = e| ~E |
Z
d3r u210∗ (~r )r cos θ u200(~r ).
unlm(~r ) są niezaburzonymi funkcjami własnymi atomu wodoru danymi wzorem
unlm(~r ) = unlm(r , θ, ϕ) = Rnl(r ) Ylm(θ, ϕ),
gdzie Rnl(r ) jest częścią radialną funkcji falowej, a Ylm(θ, ϕ) to sferyczne harmoniki. Przy czym
u200(~r ) = R20(r ) Y00(θ, ϕ), u210(~r ) = R21(r ) Y10(θ, ϕ).
Przypomnijmy otrzymane wcześniej wyniki dla funkcji falowych
i wstawmy je do wzoru na element macierzowy operatora H0 1, 0|H0|0, 0 =e| ~E |
Przypomnijmy otrzymane wcześniej wyniki dla funkcji falowych
i wstawmy je do wzoru na element macierzowy operatora H0 1, 0|H0|0, 0 =e| ~E |
Musimy obliczyć całkę
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Całkujemy przez części. Podstawmyu = r5 ⇒ du = 5r4dr ,
Zacznijmy od całkiI5 = R
0
dr r5e−a0r. Całkujemy przez części. Podstawmy
u = r5 ⇒ du = 5r4dr ,
Zacznijmy od całkiI5 = R
0
dr r5e−a0r. Całkujemy przez części. Podstawmy
u = r5 ⇒ du = 5r4dr ,
Granicę we wzorze na I5 obliczymy korzystając z reguły
Co odzwierciedla znany fakt, żeeksponenta ex rośnie do nieskończoności szybciej niż dowolna skończona potęga x .
Granicę we wzorze na I5 obliczymy korzystając z reguły
Co odzwierciedla znany fakt, żeeksponenta ex rośnie do nieskończoności szybciej niż dowolna skończona potęga x .
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
W takim razie
I5= 5a0
Z I4. Teraz obliczmy całkęI4=
+∞R
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
W takim razie
I5= 5a0
Z I4. Teraz obliczmy całkęI4=
+∞R
0
dr r4e−
Z a0r
.Całkujemy przez części.
Podstawmy
u = r4 ⇒ du = 4r3dr , dv = e−
Z a0r
dr ⇒ v = −a0 Ze−
Z a0r
| {z }
0
0
| {z }
I3
I5= 5a0
Z I4. Teraz obliczmy całkęI4=
+∞R
0
dr r4e−
Z a0r
.Całkujemy przez części.
Podstawmy
I5= 5a0
Z I4. Teraz obliczmy całkęI4=
+∞R
0
dr r4e−
Z a0r
.Całkujemy przez części.
Podstawmy
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Teraz obliczmy całkęI3=
+∞
R
0
dr r3e−
Z a0r
. Ponownie całkujemy przez części. Podstawmy
u = r3 ⇒ du = 3r2dr , dv = e−
Z a0r
dr ⇒ v = −a0
Ze−
Z a0r
| {z }
0
0
| {z }
I2
Teraz obliczmy całkęI3= Ponownie całkujemy przez części. Podstawmy
u = r3 ⇒ du = 3r2dr ,
Teraz obliczmy całkęI3= Ponownie całkujemy przez części. Podstawmy
u = r3 ⇒ du = 3r2dr ,
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Teraz obliczmy całkęI2=
+∞
R
0
dr r2e−
Z a0r
. Ponownie całkujemy przez części. Podstawmy
u = r2 ⇒ du = 2r dr , dv = e−
Z a0r
dr ⇒ v = −a0 Ze−
Z a0r
| {z }
0 | {z }
I1
Teraz obliczmy całkęI2= Ponownie całkujemy przez części. Podstawmy
u = r2 ⇒ du = 2r dr ,
Teraz obliczmy całkęI2= Ponownie całkujemy przez części. Podstawmy
u = r2 ⇒ du = 2r dr ,
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Teraz obliczmy całkęI1=
+∞
R
0
dr r e−
Z a0r
. Ponownie całkujemy przez części. Podstawmy
u = r ⇒ du = dr , dv = e−
Z a0r
dr ⇒ v = −a0
Ze−
Z a0r
| {z }
0
0 | {z }
−1
Teraz obliczmy całkęI1= Ponownie całkujemy przez części. Podstawmy
u = r ⇒ du = dr ,
Teraz obliczmy całkęI1= Ponownie całkujemy przez części. Podstawmy
u = r ⇒ du = dr ,
Podsumujmy wyniki dla całek I4 i I5:
Podsumujmy wyniki dla całek I4 i I5:
Wstawmy wynik do wzoru na element macierzowy operatora H0 W atomie wodoru Z = 1, wobec tego
1, 0|H0|0, 0 = −3e| ~E |a0.
Wstawmy wynik do wzoru na element macierzowy operatora H0 W atomie wodoru Z = 1, wobec tego
1, 0|H0|0, 0 = −3e| ~E |a0.
Zjawisko Starka pierwszego rzędu
Przypomnijmy, że w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń poprawki do energii pierwszego poziomu wzbudzonego (n = 2) atomu wodoru w zewnętrznym polu elektrycznym ~E = (0, 0, | ~E |) mają postać
W1 = 0, 0, 1, 0|H0|0, 0 , − 1, 0|H0|0, 0
= 0, 0, 3e| ~E |a0, −3e| ~E |a0,
a więc czterokrotna degeneracja poziomu n = 2 została usunięta w połowie.
elektrycznego ~E .
Przypomnijmy, że w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń poprawki do energii pierwszego poziomu wzbudzonego (n = 2) atomu wodoru w zewnętrznym polu elektrycznym ~E = (0, 0, | ~E |) mają postać
W1 = 0, 0, 1, 0|H0|0, 0 , − 1, 0|H0|0, 0
= 0, 0, 3e| ~E |a0, −3e| ~E |a0,
a więc czterokrotna degeneracja poziomu n = 2 została usunięta w połowie.Widzimy, że w tym stanie atom wodoru zachowuje się tak jakby miałelektryczny moment dipolowy 3e| ~E |a0,który może być zorientowany zgodnie, albo przeciwnie do zewnętrznego pola elektrycznego ~E .
Przypomnijmy, że w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń poprawki do energii pierwszego poziomu wzbudzonego (n = 2) atomu wodoru w zewnętrznym polu elektrycznym ~E = (0, 0, | ~E |) mają postać
W1 = 0, 0, 1, 0|H0|0, 0 , − 1, 0|H0|0, 0
= 0, 0, 3e| ~E |a0, −3e| ~E |a0,
a więc czterokrotna degeneracja poziomu n = 2 została usunięta w połowie.Widzimy, że w tym stanie atom wodoru zachowuje się tak jakby miałelektryczny moment dipolowy 3e| ~E |a0,który może być zorientowany zgodnie, albo przeciwnie do zewnętrznego pola elektrycznego ~E .