Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu i zjawisko Starka

Wykłady 19-20

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu

Zjawisko Zeemana polega na rozszczepieniu poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu magnetycznym.

Dla prostoty rozważymy zmianę pierwszego rzędu w natężeniu pola magnetycznego ~B

samego rzędu co efekt, który obliczymy.

Przypomnijmy, że hamiltonian cząstki naładowanej o ładunku q znajdującej się w zewnętrznym polu elektromagnetycznym o potencjale skalarnym φ i potencjale wektorowym ~A ma postać

H =

p −~ ^q_cA~^2

2m + qφ.

Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu

Zjawisko Zeemana polega na rozszczepieniu poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu magnetycznym.

Dla prostoty rozważymy zmianę pierwszego rzędu w natężeniu pola magnetycznego ~B i zaniedbamy oddziaływanie wewnętrznego momentu magnetycznego elektronu - związanego ze spinem elektronu - z zewnętrznym polem magnetycznym, które jest tego samego rzędu co efekt, który obliczymy.

H =

p −~ ^q_cA~^2

2m + qφ.

Zjawisko Zeemana polega na rozszczepieniu poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu magnetycznym.

Dla prostoty rozważymy zmianę pierwszego rzędu w natężeniu pola magnetycznego ~B i zaniedbamy oddziaływanie wewnętrznego momentu magnetycznego elektronu - związanego ze spinem elektronu - z zewnętrznym polem magnetycznym, które jest tego samego rzędu co efekt, który obliczymy.

Przypomnijmy, że hamiltonian cząstki naładowanej o ładunku q znajdującej się w zewnętrznym polu elektromagnetycznym o potencjale skalarnym φ i potencjale wektorowym ~A ma postać

H =

~p − ^q_cA~^2 2m + qφ.

Zjawisko Zeemana polega na rozszczepieniu poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu magnetycznym.

Dla prostoty rozważymy zmianę pierwszego rzędu w natężeniu pola magnetycznego ~B i zaniedbamy oddziaływanie wewnętrznego momentu magnetycznego elektronu - związanego ze spinem elektronu - z zewnętrznym polem magnetycznym, które jest tego samego rzędu co efekt, który obliczymy.

Przypomnijmy, że hamiltonian cząstki naładowanej o ładunku q znajdującej się w zewnętrznym polu elektromagnetycznym o potencjale skalarnym φ i potencjale wektorowym ~A ma postać

H =

~p − ^q_cA~^2

2m + qφ.

Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu

Natężenie pola elektrycznego ~E i indukcja magnetyczna ~B wiążą się z potencjałami wzorami

E (~~ r , t) = − ~∇φ (~r , t) − 1 c

∂ ~A (~r , t)

∂t , B (~~ r , t) = ~∇ × ~A (~r , t) . Użyliśmy tutaj tzw. zracjonalizowanego układu CGS, albo inaczej układu Lorentza-Heviside’a.

Ponieważ indukcja ~B jest stała, to A(~~ r , t) = ~A(~r ),

φ (~r , t) = 0.

Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu

Natężenie pola elektrycznego ~E i indukcja magnetyczna ~B wiążą się z potencjałami wzorami

E (~~ r , t) = − ~∇φ (~r , t) − 1 c

∂ ~A (~r , t)

∂t , B (~~ r , t) = ~∇ × ~A (~r , t) . Użyliśmy tutaj tzw. zracjonalizowanego układu CGS, albo inaczej układu Lorentza-Heviside’a.

Ponieważ indukcja ~B jest stała, to A(~~ r , t) = ~A(~r ),

a z faktu, że nie ma pola elektrycznego wynika, że φ (~r , t) = φ (t),

φ (~r , t) = 0.

się z potencjałami wzorami E (~~ r , t) = − ~∇φ (~r , t) − 1

c

∂ ~A (~r , t)

∂t , B (~~ r , t) = ~∇ × ~A (~r , t) . Użyliśmy tutaj tzw. zracjonalizowanego układu CGS, albo inaczej układu Lorentza-Heviside’a.

Ponieważ indukcja ~B jest stała, to A(~~ r , t) = ~A(~r ),

a z faktu, że nie ma pola elektrycznego wynika, że φ (~r , t) = φ (t), ale człon w hamiltonianie zawierający tylko jawną zależność od czasu nie odgrywa roli, więc dla prostoty przyjmiemy

φ (~r , t) = 0.

się z potencjałami wzorami E (~~ r , t) = − ~∇φ (~r , t) − 1

c

∂ ~A (~r , t)

∂t , B (~~ r , t) = ~∇ × ~A (~r , t) . Użyliśmy tutaj tzw. zracjonalizowanego układu CGS, albo inaczej układu Lorentza-Heviside’a.

Ponieważ indukcja ~B jest stała, to A(~~ r , t) = ~A(~r ),

a z faktu, że nie ma pola elektrycznego wynika, że φ (~r , t) = φ (t), ale człon w hamiltonianie zawierający tylko jawną zależność od czasu nie odgrywa roli, więc dla prostoty przyjmiemy

φ (~r , t) = 0.

Stałe pole magnetyczne ~B może być reprezentowane przez potencjał wektorowy

A =~ 1 2B × ~~ r . Rzeczywiście

B_i = ^∇ × ~~ A^

i = ε_ijk∂A_k

∂x_j = 1

2ε_ijk∂ (ε_kmnBmxn)

∂x_j = 1

2ε_ijkε_kmnB_m∂xn

∂x_j

= 1

2(δimδjn− δ_inδjm) Bm

∂x_n

∂xj

= 1

2(δimδjn− δ_inδjm) Bmδnj

= 1

2(B_iδ_jj− δ_ijB_j) = 1

2(3B_i − B_i)= B_i.

Stałe pole magnetyczne ~B może być reprezentowane przez potencjał wektorowy

A =~ 1 2B × ~~ r . Rzeczywiście

B_i = ^∇ × ~~ A^

i = ε_ijk∂A_k

∂x_j = 1

2ε_ijk∂ (ε_kmnBmxn)

∂x_j = 1

2ε_ijkε_kmnB_m∂xn

∂x_j

= 1

2(δimδjn− δ_inδjm) Bm

∂x_n

∂xj

= 1

2(δimδjn− δ_inδjm) Bmδnj

= 1

2(B_iδ_jj− δ_ijB_j) = 1

2(3B_i − B_i)= B_i.

wodoru znajdującym się w jednorodnym, stałym, zewnętrznym polu elektromagnetycznym ma postać

H |ψi = W |ψi , gdzie

H = 1

2µ



~ p + e

cA~

2

−Ze² r = 1

2µ



−i ~~∇ +e cA~

2

− Ze² r

= 1

2µ −~²∇²−i ~e

c ∇ · ~~ A − i ~e c

A · ~~ ∇ + e² c²

A~²

!

−Ze² r

= −~²

2µ∇²− Ze² r

!

| {z }

H0

+ 1 2µ

"

−i ~e c

∇ · ~~ A + ~A · ~∇^+e² c²

A~²

#

| {z }

H⁰

,

wodoru znajdującym się w jednorodnym, stałym, zewnętrznym polu elektromagnetycznym ma postać

H |ψi = W |ψi , gdzie

H = 1

2µ



~ p + e

cA~

2

−Ze² r = 1

2µ



−i ~~∇ +e cA~

2

− Ze² r

= 1

2µ −~²∇²−i ~e

c ∇ · ~~ A − i ~e c

A · ~~ ∇ + e² c²

A~²

!

−Ze² r

= −~²

2µ∇²− Ze² r

!

| {z }

H0

+ 1 2µ

"

−i ~e c

∇ · ~~ A + ~A · ~∇^+e² c²

A~²

#

| {z }

H⁰

,

Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu

Rozważmy część “zaburzeniową” równania Schr¨odingera H⁰|ψi = 1

2µ

"

−i ~e c

∇ · ~~ A+ ~A · ~∇^+ e² c²A~²

#

|ψi .

Przekształćmy wyraz

∇ ·~ ^A |ψi~ ^=^∇ · ~~ A^|ψi + ~A · ~∇ |ψi ,

∇ · ~~ A= ⁱ

∂xi

= 2εijkBj k

∂xi

= 2εijkBjδki= 0. W takim razie

H⁰ |ψi = −i ~e

µc A · ~~ ∇ + e² 2µc²A~²

!

|ψi .

Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu

Rozważmy część “zaburzeniową” równania Schr¨odingera H⁰|ψi = 1

2µ

"

−i ~e c

∇ · ~~ A+ ~A · ~∇^+ e² c²A~²

#

|ψi .

Przekształćmy wyraz

∇ ·~ ^A |ψi~ ^=^∇ · ~~ A^|ψi + ~A · ~∇ |ψi , aleA_i = ¹₂^B × ~~ r^

i = ¹₂ε_ijkB_jx_k,więc

∇ · ~~ A= ∂Ai

∂xi

= 1 2εijkBj

∂xk

∂xi

= 1

2εijkBjδki= 0.

µc 2µc²

H⁰|ψi = 1 2µ

"

−i ~e c

∇ · ~~ A+ ~A · ~∇^+ e² c²A~²

#

|ψi .

Przekształćmy wyraz

∇ ·~ ^A |ψi~ ^=^∇ · ~~ A^|ψi + ~A · ~∇ |ψi , aleA_i = ¹₂^B × ~~ r^

i = ¹₂ε_ijkB_jx_k,więc

∇ · ~~ A= ∂Ai

∂xi

= 1 2εijkBj

∂xk

∂xi

= 1

2εijkBjδki= 0.

W takim razie

H⁰ |ψi = −i ~eA · ~~ ∇ + e² A~²

!

|ψi .

H⁰|ψi = 1 2µ

"

−i ~e c

∇ · ~~ A+ ~A · ~∇^+ e² c²A~²

#

|ψi .

Przekształćmy wyraz

∇ ·~ ^A |ψi~ ^=^∇ · ~~ A^|ψi + ~A · ~∇ |ψi , aleA_i = ¹₂^B × ~~ r^

i = ¹₂ε_ijkB_jx_k,więc

∇ · ~~ A= ∂Ai

∂xi

= 1 2εijkBj

∂xk

∂xi

= 1

2εijkBjδki= 0.

W takim razie

H⁰ |ψi = −i ~e

µc A · ~~ ∇ + e² 2µc²A~²

!

|ψi .

PodstawmyAi = ¹₂^B × ~~ r^

i = ¹₂εijkBjxk w pierwszym wyrazie hamiltonianu H⁰

−i ~e

µcA · ~~ ∇ = e

µcA · ~~ p = e

2µcε_ijkB_jx_kp_i = e

2µcB_jε_jkix_kp_i

= e

2µcBj(~r × ~p)_j = e

2µcBjLj= e 2µcB · ~~ L.

Natomiast drugi wyraz hamiltonianu H⁰ przyjmie postać e²

2µc²A~² = e² 2µc²

1 2

B × ~~ r^

2

= e²

8µc²| ~B|²r²sin²θ, gdzie θ jest kątem pomiędzy wektorami ~B i ~r , a e jest wielkością dodatnią.

PodstawmyAi = ¹₂^B × ~~ r^

i = ¹₂εijkBjxk w pierwszym wyrazie hamiltonianu H⁰

−i ~e

µcA · ~~ ∇ = e

µcA · ~~ p = e

2µcε_ijkB_jx_kp_i = e

2µcB_jε_jkix_kp_i

= e

2µcBj(~r × ~p)_j = e

2µcBjLj= e 2µcB · ~~ L.

Natomiast drugi wyraz hamiltonianu H⁰ przyjmie postać e²

2µc²A~² = e² 2µc²

1 2

B × ~~ r^

2

= e²

8µc²| ~B|²r²sin²θ, gdzie θ jest kątem pomiędzy wektorami ~B i ~r , a e jest wielkością dodatnią.

Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu

Hamiltonian H⁰ ma więc postać H⁰ = e

2µc

B · ~~ L + e²

8µc²| ~B|²r²sin²θ,

a jeśli uwzględnimy tylko wyrazy liniowe w zewnętrznym polu | ~B|, to

H⁰= e 2µcB · ~~ L.

0

własnymi trzeciej składowej orbitalnego momentu pędu.

Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu

Hamiltonian H⁰ ma więc postać H⁰ = e

2µc

B · ~~ L + e²

8µc²| ~B|²r²sin²θ,

a jeśli uwzględnimy tylko wyrazy liniowe w zewnętrznym polu | ~B|, to

H⁰= e 2µcB · ~~ L.

Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora indukcji zewnętrznego pola magnetycznego ~B = (0, 0, | ~B|),

Hamiltonian H⁰ ma więc postać H⁰ = e

2µc

B · ~~ L + e²

8µc²| ~B|²r²sin²θ,

a jeśli uwzględnimy tylko wyrazy liniowe w zewnętrznym polu | ~B|, to

H⁰= e 2µcB · ~~ L.

Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora indukcji zewnętrznego pola magnetycznego ~B = (0, 0, | ~B|),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H₀ tak, aby były stanami własnymi trzeciej składowej orbitalnego momentu pędu.

Hamiltonian H⁰ ma więc postać H⁰ = e

2µc

B · ~~ L + e²

8µc²| ~B|²r²sin²θ,

a jeśli uwzględnimy tylko wyrazy liniowe w zewnętrznym polu | ~B|, to

H⁰= e 2µcB · ~~ L.

Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora indukcji zewnętrznego pola magnetycznego ~B = (0, 0, | ~B|),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H₀ tak, aby były stanami własnymi trzeciej składowej orbitalnego momentu pędu.

Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu

Przypomnijmy równania własne orbitalnego momentu pędu.

~L² Y_lm(θ, ϕ) = l (l + 1)~² Y_lm(θ, ϕ) Lz Y_lm(θ, ϕ) = m~ Ylm(θ, ϕ) , gdzie l = 0, 1, 2, ..., m = −l , −l + 1, ..., l .

niezaburzonego hamiltonianu H0

H0 = ~p² 2µ−Ze²

r , gdyż komutuje on zarówno z ~L², jak i Lz.

Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu

Przypomnijmy równania własne orbitalnego momentu pędu.

~L² Y_lm(θ, ϕ) = l (l + 1)~² Y_lm(θ, ϕ) Lz Y_lm(θ, ϕ) = m~ Ylm(θ, ϕ) ,

gdzie l = 0, 1, 2, ..., m = −l , −l + 1, ..., l . W atomie wodoru l = 0, 1, 2, ..., n − 1, gdzie n = 1, 2, 3, ... – główna liczba kwantowa.

H0 = ~p² 2µ−Ze²

r , gdyż komutuje on zarówno z ~L², jak i Lz.

Przypomnijmy równania własne orbitalnego momentu pędu.

~L² Y_lm(θ, ϕ) = l (l + 1)~² Y_lm(θ, ϕ) Lz Y_lm(θ, ϕ) = m~ Ylm(θ, ϕ) ,

gdzie l = 0, 1, 2, ..., m = −l , −l + 1, ..., l . W atomie wodoru l = 0, 1, 2, ..., n − 1, gdzie n = 1, 2, 3, ... – główna liczba kwantowa.

Harmoniki sferyczne są również funkcjami własnymi niezaburzonego hamiltonianu H0

H0 = ~p² 2µ−Ze²

r , gdyż komutuje on zarówno z ~L², jak i L_z.

Przypomnijmy równania własne orbitalnego momentu pędu.

~L² Y_lm(θ, ϕ) = l (l + 1)~² Y_lm(θ, ϕ) Lz Y_lm(θ, ϕ) = m~ Ylm(θ, ϕ) ,

gdzie l = 0, 1, 2, ..., m = −l , −l + 1, ..., l . W atomie wodoru l = 0, 1, 2, ..., n − 1, gdzie n = 1, 2, 3, ... – główna liczba kwantowa.

Harmoniki sferyczne są również funkcjami własnymi niezaburzonego hamiltonianu H0

H0 = ~p² 2µ−Ze²

r , gdyż komutuje on zarówno z ~L², jak i L_z.

Dla dowodu obliczmy komutator [H0, Li] =

"

p~² 2µ −Ze²

r , Li

#

= 1

2µ[pjpj, Li] − Ze²

1 r, Li



= 1

2µ

p_j[p_j, L_i]+[p_j, L_i]p_j^− Ze²

1 r, L_i

 .

Musimy teraz obliczyć komutatory [pj, Li] i ^h1_r, Li

i.

[p_j, L_i] = [p_j, ε_iknx_kp_n] = ε_ikn[p_j, x_k] p_n= ε_ikn(−i ~δjk) p_n

= −i ~εijnp_n= i ~εjinp_n,

1 r, L_i



= ε_ijk

1 r, x_jp_k



= ε_ijkx_j

1 r, p_k

 .

Dla dowodu obliczmy komutator [H0, Li] =

"

p~² 2µ −Ze²

r , Li

#

= 1

2µ[pjpj, Li] − Ze²

1 r, Li



= 1

2µ

p_j[p_j, L_i]+[p_j, L_i]p_j^− Ze²

1 r, L_i

 .

Musimy teraz obliczyć komutatory [pj, Li] i ^h1_r, Li

i.

[p_j, L_i] = [p_j, ε_iknx_kp_n] = ε_ikn[p_j, x_k] p_n= ε_ikn(−i ~δjk) p_n

= −i ~εijnp_n= i ~εjinp_n,

1 r, L_i



= ε_ijk

1 r, x_jp_k



= ε_ijkx_j

1 r, p_k

 .

Niech f (~r ) będzie dowolną funkcją różniczkowalną. Obliczmy

1 r, pk



f (~r ) = −i ~

1 r, ∂

∂x_k



f (~r ) = −i ~

1 r

∂f (~r )

∂x_k − ∂

∂x_k f (~r )

r



= −i ~





 1 r

∂f (~r )

∂x_k −

∇f (~~ r ) ·_∂x^∂~r

kr − f (~r )^∂(xixi)

1 2

∂x_k

r²







= −i ~



 1 r

∂f (~r )

∂x_k −

∇f (~~ r ) ·_∂x^∂xi

keˆ_ir − f (~r )^2x_2rⁱ _∂x^∂xi

k

r²





= −i ~



 1 r

∂f (~r )

∂x_k −

∂f (~r )

∂x_k r − f (~r )^x_r^k r²



= −i ~xk

r³f (~r ).

Równość

1 r, p_k



f (~r ) =−i ~x_k r³f (~r ) zachodzi dla dowolnej, różniczkowalnej funkcji f (~r ).

Stąd wnioskujemy, że

1 r, p_k



= −i ~x_k r³.

Równość

1 r, p_k



f (~r ) =−i ~x_k r³f (~r ) zachodzi dla dowolnej, różniczkowalnej funkcji f (~r ).

Stąd wnioskujemy, że

1 r, p_k



= −i ~x_k r³.

Wróćmy do komutatora

1 r, L_i



= ε_ijkx_j

1 r, p_k



= ε_ijkx_j



−i ~x_k r³



= −i ~ r³ε_ijkx_jx_k

= −i ~ r³

1

2ε_ijkx_jx_k+ 1 2ε_ikjx_kx_j



= −i ~ r³

1

2ε_ijkx_jx_k− 1 2ε_ijkx_kx_j



= 0.

Wstawmy obliczone komutatory do wzoru [H0, Li] = 1

2µ(pj[pj, Li] + [pj, Li] pj) − Ze²

1 r, Li



= 1

2µ(p_ji ~εjinp_n+i ~εjinp_np_j) = i ~

µε_jinp_jp_n= 0.

Wróćmy do komutatora

1 r, L_i



= ε_ijkx_j

1 r, p_k



= ε_ijkx_j



−i ~x_k r³



= −i ~ r³ε_ijkx_jx_k

= −i ~ r³

1

2ε_ijkx_jx_k+ 1 2ε_ikjx_kx_j



= −i ~ r³

1

2ε_ijkx_jx_k− 1 2ε_ijkx_kx_j



= 0.

Wstawmy obliczone komutatory do wzoru [H0, Li] = 1

2µ(pj[pj, Li] + [pj, Li] pj) − Ze²

1 r, Li



= 1

2µ(p_ji ~εjinp_n+i ~εjinp_np_j) = i ~

µε_jinp_jp_n= 0.

wodoropodobnego opisywanego hamiltonianem H0 ze względu na obroty przestrzenne. Przypomnijmy, że

H₀ = ~p² 2µ−Ze²

r ,

gdzie zarówno operator~p²,jak i oprator ¹_r nie zmieniają sie przy obrotach.Przypomnijmy, że infinitezymalny unitarny operator obrotu działający na skalarną funkcję falową w stanie kwantowym α, ψ_α(~r ), ma postać (patrz wykład pt. Symetrie w mechanice kwantowej)

U_R(~φ) = 1 − i

~(~φ · ~L), a warunek, żeby operatorO miał symetrię, tzn.

przetransformowany operatorO⁰ = U OU^†= O, przy operacji

wodoropodobnego opisywanego hamiltonianem H0 ze względu na obroty przestrzenne. Przypomnijmy, że

H₀ = ~p² 2µ−Ze²

r ,

gdzie zarówno operator~p²,jak i oprator ¹_r nie zmieniają sie przy obrotach. Przypomnijmy, że infinitezymalny unitarny operator obrotu działający na skalarną funkcję falową w stanie kwantowym α, ψ_α(~r ), ma postać (patrz wykład pt. Symetrie w mechanice kwantowej)

U_R(~φ) = 1 − i

~(~φ · ~L), a warunek, żeby operatorO miał symetrię, tzn.

0 †

Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu

Oznaczmy Y_lm ≡ |mi. Wtedy

L_z|mi = m~ |mi , a pierwsza poprawka do energii ma postać

W1 = hm |H⁰ |mi = hm | e 2µc

B · ~~ L |mi .

W₁ = hm |e| ~B|

2µcL_z |mi = e| ~B|

2µc hm|L_z|mi = e| ~B|

2µc hm|m~|mi

= e| ~B|m~ 2µc hm|mi

| {z }

1

= e| ~B|m~

2µc , m = −l , −l + 1, ..., l .

Zjawisko Zeemana bez uwzględnienia spinu

Oznaczmy Y_lm ≡ |mi. Wtedy

L_z|mi = m~ |mi , a pierwsza poprawka do energii ma postać

W1 = hm |H⁰ |mi = hm | e 2µc

B · ~~ L |mi . Ponieważ pole ~B skierowaliśmy wzdłuż osi Oz

B =~ ^0, 0, | ~B|^ ⇒ B · ~~ L = | ~B|Lz

= e| ~B|m~ 2µc hm|mi

| {z }

1

= e| ~B|m~

2µc , m = −l , −l + 1, ..., l .

L_z|mi = m~ |mi , a pierwsza poprawka do energii ma postać

W1 = hm |H⁰ |mi = hm | e 2µc

B · ~~ L |mi . Ponieważ pole ~B skierowaliśmy wzdłuż osi Oz

B =~ ^0, 0, | ~B|^ ⇒ B · ~~ L = | ~B|Lz

W₁ = hm |e| ~B|

2µcL_z |mi = e| ~B|

2µc hm|L_z|mi = e| ~B|

2µc hm|m~|mi

= e| ~B|m~

2µc hm|mi= e| ~B|m~

2µc , m = −l , −l + 1, ..., l .

L_z|mi = m~ |mi , a pierwsza poprawka do energii ma postać

W1 = hm |H⁰ |mi = hm | e 2µc

B · ~~ L |mi . Ponieważ pole ~B skierowaliśmy wzdłuż osi Oz

B =~ ^0, 0, | ~B|^ ⇒ B · ~~ L = | ~B|Lz

W₁ = hm |e| ~B|

2µcL_z |mi = e| ~B|

2µc hm|L_z|mi = e| ~B|

2µc hm|m~|mi

= e| ~B|m~

2µc hm|mi= e| ~B|m~

2µc , m = −l , −l + 1, ..., l .

Widzimy, że2l + 1 krotna degeneracja poziomu określonego liczbami kwantowymi n, l została usunięta wskutek przyłożenia zewnętrznego pola magnetycznego.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

Zjawisko Starka polega na zmianie poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.

Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),

hH₀, ~L²ⁱ= [H₀, L_z] = 0.

Zaburzenie wywołane takim polem opisywane jest hamiltonianem H⁰ = ~F · ~r = e ~E · ~r = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ,

gdzie e jest wielkością dodatnią. Zauważmy, żeH⁰ jest funkcją nieparzystą.Rzeczywiście

~

r → −~r ⇒ z → −z a cos θ → cos(π − θ) = − cos θ

⇒ H⁰ = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H⁰.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

Zjawisko Starka polega na zmianie poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.

Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H0 tak, aby były stanami własnymi orbitalnego momentu pędu,

Zaburzenie wywołane takim polem opisywane jest hamiltonianem H⁰ = ~F · ~r = e ~E · ~r = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ,

gdzie e jest wielkością dodatnią. Zauważmy, żeH⁰ jest funkcją nieparzystą.Rzeczywiście

~

r → −~r ⇒ z → −z a cos θ → cos(π − θ) = − cos θ

⇒ H⁰ = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H⁰.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

Zjawisko Starka polega na zmianie poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.

Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H0 tak, aby były stanami własnymi orbitalnego momentu pędu,co jest możliwe, gdyż hH₀, ~L²ⁱ= [H₀, L_z] = 0.

gdzie e jest wielkością dodatnią. Zauważmy, żeH⁰ jest funkcją nieparzystą.Rzeczywiście

~

r → −~r ⇒ z → −z a cos θ → cos(π − θ) = − cos θ

⇒ H⁰ = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H⁰.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

Zjawisko Starka polega na zmianie poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.

Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H0 tak, aby były stanami własnymi orbitalnego momentu pędu,co jest możliwe, gdyż hH₀, ~L²ⁱ= [H₀, L_z] = 0.

Zaburzenie wywołane takim polem opisywane jest hamiltonianem H⁰ = ~F · ~r = e ~E · ~r = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ,

gdzie e jest wielkością dodatnią.

~

r → −~r ⇒ z → −z a cos θ → cos(π − θ) = − cos θ

⇒ H⁰ = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H⁰.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

Zjawisko Starka polega na zmianie poziomów energetycznych atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.

Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H0 tak, aby były stanami własnymi orbitalnego momentu pędu,co jest możliwe, gdyż hH₀, ~L²ⁱ= [H₀, L_z] = 0.

Zaburzenie wywołane takim polem opisywane jest hamiltonianem H⁰ = ~F · ~r = e ~E · ~r = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ,

gdzie e jest wielkością dodatnią.Zauważmy, że H⁰ jest funkcją nieparzystą.

⇒ H⁰ = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H⁰.

atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.

Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H0 tak, aby były stanami własnymi orbitalnego momentu pędu,co jest możliwe, gdyż hH₀, ~L²ⁱ= [H₀, L_z] = 0.

Zaburzenie wywołane takim polem opisywane jest hamiltonianem H⁰ = ~F · ~r = e ~E · ~r = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ,

gdzie e jest wielkością dodatnią. Zauważmy, żeH⁰ jest funkcją nieparzystą.Rzeczywiście

~r → −~r ⇒ z → −z a cos θ → cos(π − θ) = − cos θ

⇒ H⁰ = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H⁰.

atomu w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym | ~E |.

Wybierzmy oś Oz układu współrzędnych w kierunku wektora natężenia zewnętrznego pola elektrycznego ~E = (0, 0, | ~E |),a stany własne |mi niezaburzonego hamiltonianu H0 tak, aby były stanami własnymi orbitalnego momentu pędu,co jest możliwe, gdyż hH₀, ~L²ⁱ= [H₀, L_z] = 0.

Zaburzenie wywołane takim polem opisywane jest hamiltonianem H⁰ = ~F · ~r = e ~E · ~r = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ,

gdzie e jest wielkością dodatnią. Zauważmy, żeH⁰ jest funkcją nieparzystą.Rzeczywiście

~r → −~r ⇒ z → −z a cos θ → cos(π − θ) = − cos θ

⇒ H⁰ = e| ~E |z = e| ~E |r cos θ → −H⁰.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

To powoduje pewną komplikację, gdyżwartość oczekiwana H⁰ w stanach o określonej parzystości znika.

Elementy macierzowe hj |H⁰ |ki opisujące poprawki do energii zawierają całkowanie po całej przestrzeni R³.

po obszarze symetrycznym względem początku układu współrzędnych jest równa 0.Rzeczywiście

Za

−a

f (x )dx =

( x = −y dx = −dy

)

= −

−a

Z

a

f (−y )dy =

−a

Z

a

f (y )dy

= −

a

Z

−a

f (y )dy = 0.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

To powoduje pewną komplikację, gdyżwartość oczekiwana H⁰ w stanach o określonej parzystości znika.

Elementy macierzowe hj |H⁰ |ki opisujące poprawki do energii zawierają całkowanie po całej przestrzeni R³.

Całka z funkcji nieparzystej, dla której

f (−x ) = −f (x ), dla wszystkich x ∈ D, po obszarze symetrycznym względem początku układu współrzędnych jest równa 0.

−a

f (x )dx =

dx = −dy = −

a

f (−y )dy =

a

f (y )dy

= −

a

Z

−a

f (y )dy = 0.

stanach o określonej parzystości znika.

Elementy macierzowe hj |H⁰ |ki opisujące poprawki do energii zawierają całkowanie po całej przestrzeni R³.

Całka z funkcji nieparzystej, dla której

f (−x ) = −f (x ), dla wszystkich x ∈ D, po obszarze symetrycznym względem początku układu współrzędnych jest równa 0.Rzeczywiście

a

Z

−a

f (x )dx =

( x = −y dx = −dy

)

= −

−a

Z

a

f (−y )dy =

−a

Z

a

f (y )dy

= −

a

Z

f (y )dy = 0.

stanach o określonej parzystości znika.

Elementy macierzowe hj |H⁰ |ki opisujące poprawki do energii zawierają całkowanie po całej przestrzeni R³.

Całka z funkcji nieparzystej, dla której

f (−x ) = −f (x ), dla wszystkich x ∈ D, po obszarze symetrycznym względem początku układu współrzędnych jest równa 0.Rzeczywiście

a

Z

−a

f (x )dx =

( x = −y dx = −dy

)

= −

−a

Z

a

f (−y )dy =

−a

Z

a

f (y )dy

= −

a

Z

f (y )dy = 0.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

Wybierzmy jako funkcje własne niezaburzonego hamiltonianu H₀ harmoniki sferyczne,które są funkcjami własnymi orbitalnego momentu pędu.

Wcześniej pokazaliśmy, żeharmoniki sferyczne mają parzystość l , gdyż przy odbiciu przestrzennym

~

r → −~r ⇔ θ → π − θ, ϕ → π + ϕ

tzn.dla l = 0, 2, 4, ... są funkcjami parzystymi, adla l = 1, 3, 5, ... – funkcjami nieparzystymi.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

Wybierzmy jako funkcje własne niezaburzonego hamiltonianu H₀ harmoniki sferyczne,które są funkcjami własnymi orbitalnego momentu pędu.

Wcześniej pokazaliśmy, żeharmoniki sferyczne mają parzystość l , gdyż przy odbiciu przestrzennym

~

r → −~r ⇔ θ → π − θ, ϕ → π + ϕ zachodzi

Y_lm(π − θ, π + ϕ) = (−1)^lY_lm(θ, ϕ) ,

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

Wybierzmy jako funkcje własne niezaburzonego hamiltonianu H₀ harmoniki sferyczne,które są funkcjami własnymi orbitalnego momentu pędu.

Wcześniej pokazaliśmy, żeharmoniki sferyczne mają parzystość l , gdyż przy odbiciu przestrzennym

~

r → −~r ⇔ θ → π − θ, ϕ → π + ϕ zachodzi

Y_lm(π − θ, π + ϕ) = (−1)^lY_lm(θ, ϕ) , tzn.dla l = 0, 2, 4, ... są funkcjami parzystymi,

Wybierzmy jako funkcje własne niezaburzonego hamiltonianu H₀ harmoniki sferyczne,które są funkcjami własnymi orbitalnego momentu pędu.

Wcześniej pokazaliśmy, żeharmoniki sferyczne mają parzystość l , gdyż przy odbiciu przestrzennym

~

r → −~r ⇔ θ → π − θ, ϕ → π + ϕ zachodzi

Y_lm(π − θ, π + ϕ) = (−1)^lY_lm(θ, ϕ) ,

tzn.dla l = 0, 2, 4, ... są funkcjami parzystymi, adla l = 1, 3, 5, ...

– funkcjami nieparzystymi.

Wybierzmy jako funkcje własne niezaburzonego hamiltonianu H₀ harmoniki sferyczne,które są funkcjami własnymi orbitalnego momentu pędu.

Wcześniej pokazaliśmy, żeharmoniki sferyczne mają parzystość l , gdyż przy odbiciu przestrzennym

~

r → −~r ⇔ θ → π − θ, ϕ → π + ϕ zachodzi

Y_lm(π − θ, π + ϕ) = (−1)^lY_lm(θ, ϕ) ,

tzn.dla l = 0, 2, 4, ... są funkcjami parzystymi, adla l = 1, 3, 5, ...

– funkcjami nieparzystymi.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

PonieważH⁰ jest funkcją nieparzystą, to element macierzowy hj |H⁰|ki nie znika tylko jeśli |ji i |ki są stanami o przeciwnych parzystościach.

Jako |j i i |ki wybieramy stany własne orbitalnego momentu pędu

|l , mi.

|l , mi = |0, 0i , który jest parzysty, stąd

h0, 0 |H⁰ |0, 0i = 0.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

PonieważH⁰ jest funkcją nieparzystą, to element macierzowy hj |H⁰|ki nie znika tylko jeśli |ji i |ki są stanami o przeciwnych parzystościach.

Jako |j i i |ki wybieramy stany własne orbitalnego momentu pędu

|l , mi.

Dla najniższego poziomu:n = 1 (⇒ l = 0)

|l , mi = |0, 0i , który jest parzysty, stąd

h0, 0 |H⁰ |0, 0i = 0.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

PonieważH⁰ jest funkcją nieparzystą, to element macierzowy hj |H⁰|ki nie znika tylko jeśli |ji i |ki są stanami o przeciwnych parzystościach.

Jako |j i i |ki wybieramy stany własne orbitalnego momentu pędu

|l , mi.

Dla najniższego poziomu:n = 1 (⇒ l = 0)istnieje tylko jeden stan

|l , mi = |0, 0i , który jest parzysty,

PonieważH⁰ jest funkcją nieparzystą, to element macierzowy hj |H⁰|ki nie znika tylko jeśli |ji i |ki są stanami o przeciwnych parzystościach.

Jako |j i i |ki wybieramy stany własne orbitalnego momentu pędu

|l , mi.

Dla najniższego poziomu:n = 1 (⇒ l = 0)istnieje tylko jeden stan

|l , mi = |0, 0i , który jest parzysty,stąd

h0, 0 |H⁰ |0, 0i = 0.

PonieważH⁰ jest funkcją nieparzystą, to element macierzowy hj |H⁰|ki nie znika tylko jeśli |ji i |ki są stanami o przeciwnych parzystościach.

Jako |j i i |ki wybieramy stany własne orbitalnego momentu pędu

|l , mi.

Dla najniższego poziomu:n = 1 (⇒ l = 0)istnieje tylko jeden stan

|l , mi = |0, 0i , który jest parzysty, stąd

h0, 0 |H⁰ |0, 0i = 0.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

Pierwszy stan wzbudzony atomu wodoru on = 2 (⇒ l = 0, 1) jest czterokrotnie zdegenerowany.Odpowiadają mu stany

|l , mi = |0, 0i , |1, −1i , |1, 0i , |1, 1i .

= e| ~E | (x [p_y, z] − y [p_x, z])= 0.

Zatem operatory Lz i H⁰ mają wspólne wektory własne |l , mi.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

Pierwszy stan wzbudzony atomu wodoru on = 2 (⇒ l = 0, 1) jest czterokrotnie zdegenerowany. Odpowiadają mu stany

|l , mi = |0, 0i , |1, −1i , |1, 0i , |1, 1i .

Obliczmy komutator

Lz, H^0 = ^hLz, e| ~E |zⁱ= e| ~E | [Lz, z] = e| ~E | [xpy − yp_x, z]

= e| ~E | (x [p_y, z] − y [p_x, z])= 0.

Pierwszy stan wzbudzony atomu wodoru on = 2 (⇒ l = 0, 1) jest czterokrotnie zdegenerowany. Odpowiadają mu stany

|l , mi = |0, 0i , |1, −1i , |1, 0i , |1, 1i .

Obliczmy komutator

Lz, H^0 = ^hLz, e| ~E |zⁱ= e| ~E | [Lz, z] = e| ~E | [xpy − yp_x, z]

= e| ~E | (x [p_y, z] − y [p_x, z])= 0.

Zatem operatory Lz i H⁰ mają wspólne wektory własne |l , mi.

Pierwszy stan wzbudzony atomu wodoru on = 2 (⇒ l = 0, 1) jest czterokrotnie zdegenerowany. Odpowiadają mu stany

|l , mi = |0, 0i , |1, −1i , |1, 0i , |1, 1i .

Obliczmy komutator

Lz, H^0 = ^hLz, e| ~E |zⁱ= e| ~E | [Lz, z] = e| ~E | [xpy − yp_x, z]

= e| ~E | (x [p_y, z] − y [p_x, z])= 0.

Zatem operatory Lz i H⁰ mają wspólne wektory własne |l , mi.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

Obliczmy element macierzowy równania[Lz, H⁰] = 0 pomiędzy stanami własnymi orbitalnego momentu pędu.

l⁰, m⁰ |^L_z, H^0|l , mi = l⁰, m⁰ | L_zH⁰− H⁰L_z
|l , mi

= l⁰, m⁰ |L_zH⁰ |l , mi −l⁰, m⁰ |H⁰Lz|l , mi

= m⁰− m
~l⁰, m⁰ |H⁰ |l , mi= 0.

Skąd wynika, że

m⁰= m lub l⁰, m⁰|H⁰ |l , mi = 0.

Obliczmy element macierzowy równania[Lz, H⁰] = 0 pomiędzy stanami własnymi orbitalnego momentu pędu.

l⁰, m⁰ |^L_z, H^0|l , mi = l⁰, m⁰ | L_zH⁰− H⁰L_z
|l , mi

= l⁰, m⁰ |L_zH⁰ |l , mi −l⁰, m⁰ |H⁰Lz|l , mi

= m⁰− m
~l⁰, m⁰ |H⁰ |l , mi= 0.

Skąd wynika, że

m⁰= m lub l⁰, m⁰|H⁰ |l , mi = 0.

Czylitylko elementy macierzowe pomiędzy stanami o tych samych wartościach m mogą być niezerowe.

Obliczmy element macierzowy równania[Lz, H⁰] = 0 pomiędzy stanami własnymi orbitalnego momentu pędu.

l⁰, m⁰ |^L_z, H^0|l , mi = l⁰, m⁰ | L_zH⁰− H⁰L_z
|l , mi

= l⁰, m⁰ |L_zH⁰ |l , mi −l⁰, m⁰ |H⁰Lz|l , mi

= m⁰− m
~l⁰, m⁰ |H⁰ |l , mi= 0.

Skąd wynika, że

m⁰= m lub l⁰, m⁰|H⁰ |l , mi = 0.

Czylitylko elementy macierzowe pomiędzy stanami o tych samych wartościach m mogą być niezerowe.

Zjawisko Starka pierwszego rzędu

Rozważmy ponownie drugie równanie naszego układu (H₀− W₀) |ψ₁i = W₁− H⁰
|ψ₀i . Wstawmy

|ψ₀i = c₁ |0, 0i + c₂|1, −1i + c₃ |1, 0i + c₄ |1, 1i i pomnóżmy obustronnie kolejno przez h0, 0| , h1, −1| , h1, 0| i h1, 1| .

= ^hl , m| (H₀− W₀)^|ψ₁i= 0,

gdyż stany |l , mi są również stanami własnymi hamiltonianu H₀.

Rozważmy ponownie drugie równanie naszego układu (H₀− W₀) |ψ₁i = W₁− H⁰
|ψ₀i . Wstawmy

|ψ₀i = c₁ |0, 0i + c₂|1, −1i + c₃ |1, 0i + c₄ |1, 1i i pomnóżmy obustronnie kolejno przez h0, 0| , h1, −1| , h1, 0| i h1, 1| .Zauważmy, że lewa strona każdego równania znika

hl , m| (H₀− W₀) |ψ1i =^hl , m| (H₀− W₀)^†|ψ₁i

= ^hl , m| (H₀− W₀)^|ψ₁i= 0,

gdyż stany |l , mi są również stanami własnymi hamiltonianu H₀.