Zasada Prac Wirtualnych - odkształcona postać ramy

Zadanie 1. Narysuj odkształconą postać ramy jak na rysunku. Zadanie rozwiąż zasadą prac wirtualnych.

Wyznaczamy poszczególne przemieszczenia z zasady prac wirtualnych a) kąt obrotu na podporze A A= 1 2EJ0,5⋅72⋅4⋅1 2 3 3⋅42 8 ⋅4⋅1 1 EJ 0,5⋅72⋅6⋅ 2 3⋅1= 224 EJ =224a q=3kN/m P=12kN V =12kN H = 24kNA 6 4 A V =12kN_B EJ 2EJ 72 M₀ [kNm]

V =1/6[1/m]

H = 0

_A

6

4

A

V =

_B EJ 2EJ 1

1/6[1/m]

1

M₁

b) kąt obrotu w węźle: _C= 1 EJ0,5⋅72⋅6⋅ 2 3⋅1= 144 EJ =144a

c) przemieszczenie poziome węzła środkowego:

uC=_2EJ1 0,5⋅72⋅4⋅2₃⋅42₃ 3⋅4 2 8 ⋅4⋅ 1 2⋅4 1 EJ 0,5⋅72⋅6⋅ 2 3⋅4= 784 EJ =784a

V =1/6[1/m]

H = 0

A

6

4

A

V =

_B EJ 2EJ 1

1/6[1/m]

1

M₂ V =2/3 H = 1A

6

4

A V =_B EJ 2EJ 2/3 4 M₃ 1 [m]

e) przemieszczenie poziome podpory B: uB=_2EJ1 0,5⋅72⋅4⋅2₃⋅42₃ 3⋅4 2 8 ⋅4⋅ 1 2⋅4 1 EJ0,5⋅72⋅6⋅ 2 3⋅4= 784 EJ =784a f) kąt obrotu na podporze B _C=−1 EJ0,5⋅72⋅6⋅ 1 3⋅1= −72 EJ =−72a

V =2/3

H = 1

A

6

4

A

V =

_B EJ 2EJ

2/3

4

M₄

1

[m] V =1/6[1/m] H = 0_A 6 4 A V =_B EJ 2EJ 1 1/6[1/m] M₅ 1

Wyznaczone przemieszczenia nanosimy na schemat ramy i rysujemy odkształconą jej postać:

Zadanie 2. Narysuj odkształconą postać ramy jak na rysunku. Zadanie rozwiąż zasadą prac wirtualnych.

Wyznaczenie reakcji:

∑

M_CP =q⋅4⋅2 P⋅6−P₁⋅4−V_B⋅4=0 V_B=8q6P−4P1 4 = 8⋅66⋅12−4⋅8 4 =22kN

∑

R_y=V_A−q⋅4V_B−P=0 V_A=4q−V_BP=4⋅6−2212=14kN 224a 144a 144a -7₂ a 784a _784a q =6kN/m₁ q =6kN/m P=12kN P =8kN1 2EJ EJ EJ EJ EJ 4 4 2 4 V =22kN_B H = 32kNA V =14kN_A M =136kNm_A A B C D E F

∑

Rx=4⋅q1−HAP1=HA=4⋅q1P1=4⋅68=32kN

∑

MCL=HA⋅4VA⋅4−q1⋅4⋅2−MA=0  MA=4HA4VA−8q=4⋅324⋅14−8⋅6=136 kNm

Wykres sił tnących:

Wykres momentów zginających:

Całkowanie wykresów: 136 56 56 8 24 32 M₀ [kNm] 56 136 = 56 136 + + ql /82

+

+

+

-32

8

14

14

10

8

12

T

[kN]

e

Wyznaczenie poszczególnych przemieszczeń z Zasady Prac Wirtualnych: 1) Przemieszczenie poziome punktu D:

2) Kąt obrotu w węźle D: 8 = 8 + ql /82 4 1 1 0 4m 0 M₁ 0 0 1 1 M₂ 0 uD=_2EJ1 1₂⋅56⋅41₃⋅41₂⋅136⋅4⋅2₃⋅4−2₃⋅6⋅4 2 8 ⋅4⋅ 1 2⋅4= 1216 3EJ =1216a D= 1 2EJ 1 2⋅56⋅4⋅1 1 2⋅136⋅4⋅1− 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅1= 176 EJ = 528 3EJ=528a

3) przemieszczenie poziome punktu C:

u_C=u_D=u_E=u_F=1216

3EJ =1216a

4)Przemieszczenie pionowe punktu C:

5) Kąt obrotu z lewej strony przegubu C:

CL= 1 2EJ 1 2⋅56⋅4⋅1 1 2⋅136⋅4⋅1− 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅1 1 EJ 1 2⋅56⋅4⋅1= 288 EJ = 864 3EJ=864a 0 0 1 1 M₅ 0 1 1 1 1 0 4m 0 M₃ 0 1 4m M₄ 0 1 4m vC= 1 2EJ 1 2⋅56⋅4⋅4 1 2⋅136⋅4⋅4− 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅4 1 EJ 1 2⋅56⋅4⋅ 2 3⋅4= 3008 3EJ =3008a

6) Kąt obrotu z prawej strony przegubu C: _CP= 1 2EJ− 1 2⋅56⋅4⋅1− 1 2⋅136⋅4⋅1 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅1 1 EJ− 1 2⋅56⋅4⋅ 2 3 1 2⋅8⋅4⋅ 1 3⋅1 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅ 1 2⋅1 _CP=−688 3EJ =−688a 7) Kąt obrotu węzła E: E=_2EJ1 −1₂⋅56⋅4⋅1−1₂⋅136⋅4⋅12₃⋅6⋅4 2 8 ⋅4⋅1 1 EJ− 1 2⋅56⋅4⋅ 2 3⋅1− 1 2⋅8⋅4⋅ 2 3⋅1− 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅ 1 2⋅1 _E=−832 3EJ =−832a 0 1/4 1 1 M₆ 1 1 0 1/4 1 1 M₇ 1/4 1

8) Przemieszczenie pionowe punktu F: 9) Kąt obrotu w punkcie F 0 1/2 2m M₈ 3/2 2 1 2 0 1/4 1 1 M₉ 1/4 1 1 1 vF= 1 2EJ− 1 2⋅56⋅4⋅2− 1 2⋅136⋅4⋅2 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅2 1 EJ − 1 2⋅56⋅4⋅ 2 3⋅2− 1 2⋅8⋅4⋅ 2 3⋅2− 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅ 1 2⋅2 1 2⋅24⋅2⋅ 2 3⋅2 v_F=−1568 3EJ =−1568a F= 1 2EJ− 1 2⋅56⋅4⋅1− 1 2⋅136⋅4⋅1 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅1 1 EJ − 1 2⋅56⋅4⋅ 2 3⋅1− 1 2⋅8⋅4⋅ 2 3⋅1− 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅ 1 2⋅1 1 2⋅24⋅2⋅1 _F=−760 3EJ =−760a

10) Przemieszczenie poziome punktu B: 11) Kąt obrotu w punkcie B: 1 1 1 8m 4 4 1 M₁₀ 0 1/4 1 1 M₁₁ 1/4 1 1 1 uB= 1 2EJ 1 2⋅56⋅4⋅ 2 3⋅4 1 3⋅8 1 2⋅136⋅4  2 3⋅8 1 3⋅4− 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅ 4 2 8 2  1 EJ  1 2⋅56⋅4⋅ 2 3⋅4 1 2⋅8⋅4⋅ 2 3⋅4 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅2 1 2⋅4⋅4⋅ 2 3⋅32 u_B=5056 3EJ =5056a _B= 1 2EJ− 1 2⋅56⋅4⋅1− 1 2⋅136⋅4⋅1 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅1 1 EJ − 1 2⋅56⋅4⋅ 2 3⋅1− 1 2⋅8⋅4⋅ 2 3⋅1− 2 3⋅ 6⋅42 8 ⋅4⋅ 1 2⋅1− 1 2⋅32⋅4⋅1 _B=−1024 3EJ =−1024a

Wyznaczone przemieszczenia nanosimy na schemat ramy i rysujemy odkształconą jej postać: 1216a 1216a 1216a 1216a 15 68 a 5056a 30 08 a 528a 528a 864a -6₈ 8a _-832a -8₃ 2a 1024a -8 32_a -7₆ 0a