Modelowanie dynamicznych procesów przestrzennych

(1)

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I

EKONOMIA XXXIX – NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE – ZESZTYT 389 – TORUŃ 2009

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki

Elżbieta Szulc

MODELOWANIE DYNAMICZNYCH PROCESÓW

PRZESTRZENNYCH

Z a r y s t r e ś c i. Artykuł przedstawia ekonometryczną analizę procesu przestrzenno-czasowego na przykładzie PKB w wybranych krajach europejskich. Przedmiotem rozważań są przestrzenne i przestrzenno-czasowe trendy oraz autozależności charakteryzujące składnikową strukturę badanego procesu. Składniki te są podstawą do specyfikacji dynamicznych modeli prze-strzennych. Zaproponowane w artykule specyfikacje dynamicznych modeli przestrzennych pod-daje się empirycznej weryfikacji.

S ł o w a k l u c z o w e: trend przestrzenno-czasowy, autokorelacja, model przesunięć prze-strzennych, dynamiczny model przestrzenny.

1. WPROWADZENIE

Przedmiotem rozważań niniejszego opracowania jest ekonometryczne mo-delowanie dynamicznych procesów przestrzennych. Jest to kolejny artykuł z cyklu analiz ekonomicznych procesów przestrzennych i przestrzenno-czasowych, który przedstawia metodologię ekonometrycznego modelowania struktury tych procesów (patrz także Szulc, 2008, 2009).

Ilustracją empiryczną przeprowadzonych rozważań jest, podobnie jak w po-przednich artykułach, kształtowanie się PKB per capita w wybranych krajach europejskich. Są to: Austria, Niemcy, Czechy, Polska, Słowacja oraz Węgry. Dane dotyczą regionów ustalonych według europejskiej klasyfikacji systemu NUTS i pochodzą z bazy EUROSTATU.

W pracy Szulc (2008) analizowano PKB per capita na wyodrębnionym ob-szarze w 2004 r. Badano strukturę składnikową pojedynczego procesu prze-strzennego Z s , obserwowanego na płaszczyźnie w przestrzennych lokaliza-

( )

_i

(2)

przeprowa-dzonej wcześniej analizy dołączono aspekt czasowy, tj. rozważano zmiany PKB per capita na wyodrębnionym obszarze w latach 2000–2006. Badano składni-kową strukturę procesu przestrzennego w kolejnych latach, tj.

( )

i i

[

i i

]

t x y

Z s ,s = , , i = 1, 2, ..., 84, t = 1, 2, ..., 7, przyjmując w ten sposób wa-runkowe względem czasu podejście do analizy procesu przestrzenno-czasowego. Wnioski dotyczące łącznej struktury przestrzenno-czasowej, pro-wadzące do odpowiedniego modelu empirycznego, wyciągnięto wówczas jedy-nie w odjedy-niesieniu do tzw. trendu przestrzenno-czasowego. Ponadto zapropono-wano pewną ograniczoną specyfikację dynamicznego modelu przestrzennego. Niniejszy artykuł łączy wspomniane podejścia prezentując bardziej rozwi-nięte modele, opisujące składnikową strukturę procesu przestrzenno-czasowego

( )

t

Z s_i, , gdzie s_i =

[

x ,_i y_i

]

, i = 1, 2, ..., 84, t = 1, 2, ..., 7. Nadal obowiązują następujące założenia (por. Szulc, 2009):

1. Ekonomiczne procesy przestrzenne wykazują trendy przestrzenne i/lub przestrzenno-czasowe, które utożsamia się ze zmieniającą się w przestrzeni i/lub w czasie wartością średnią procesu.

2. Zazwyczaj wykazują one także autozależności, które w strukturze procesu tworzą składnik autoregresyjny.

3. Składnik autoregresyjny tworzy jednorodny/stacjonarny proces przestrzen-ny lub/i przestrzenno-czasowy.

Oznacza to, że przyjmuje się podstawową strukturę składnikową procesu prze-strzenno-czasowego, którą symbolicznie można zapisać w następującej postaci ogólnej:

( ) ( ) (

t P t A u

) ( ) ( )

Z t t

Z s_i, = s_i, + W, s_i, +ε s_i, , (1)

gdzie:

( )

t

Ps_i, – trend przestrzenno-czasowy, zazwyczaj wyrażany w postaci trójwy-miarowej funkcji wielomianowej;

(

u

)

AW, – sumacyjny przestrzenno-czasowy operator przesunięć, zdefiniowany w taki sposób, że W (macierz powiązań przestrzennych) powoduje przesunięcia zmiennej w przestrzeni, natomiast u (operator przesunięć wstecz) powoduje przesunięcia w czasie;

( )

s_i,t

ε – przestrzenno-czasowy proces białego szumu. 2. WNIOSKI Z POPRZEDNICH BADAŃ

W zakresie badania trendów przestrzennych stwierdzono, iż trendy takie występują we wszystkich latach badanego okresu. We wszystkich przypadkach dopasowano modele stopnia 1. Wykres 1. przedstawia teoretyczne powierzch-nie trendu. Niemal równoległe położepowierzch-nie tych powierzchni pokazuje, że trendy

(3)

przestrzenne PKB per capita na badanym obszarze w zasadzie nie zmieniają się co do kształtu w kolejnych latach. Powierzchnie odpowiadające kolejnym okre-som są położone coraz wyżej względem osi wartości PKB, co oznacza, że war-tość średnia PKB per capita w regionach rośnie w czasie.

Wykres 1. Powierzchnie wartości wyrównanych PKB per capita według trendu

prze-strzennego w latach 2000–2006

Źródło: opracowanie własne.

Wniosek 1.

PKB per capita w rozważanym układzie przestrzennym w badanym okresie kształtuje się według przestrzenno-czasowego trendu stopnia 1.

Empiryczny model przestrzenno-czasowego trendu PKB per capita przed-stawia równanie (2) ( ) ( ) x ( ) y ( ) t B K P _i_t _i _i 242 , 113 001012 , 0 000707 , 0 882 , 509 , 14367,2 0,017656 0,009296 748,582 ˆ ₌ ₋ ₋ ₊ _, ₍₂₎ R2_{= 0,55038.}

W zakresie badania autokorelacji przestrzennej rzędu pierwszego1_{dla reszt}

z dopasowanych wcześniej modeli trendu, stwierdzono niezbyt wysoką ale sta-tystycznie istotną autokorelację dodatnią we wszystkich latach.

Wniosek 2.

Wartości PKB per capita w regionach sąsiedzkich są do siebie podobne. W kolejnych latach wartości statystyki Morana zmniejszały się 2_.

1_{Obliczono wartości statystyk Morana oraz oceniono ich istotność. Wyniki zaprezentowano} w pracy Szulc (2009).

(4)

Wniosek 3.

Podobieństwo PKB per capita w regionach sąsiedzkich maleje w czasie.

Badając zakres przestrzenny autokorelacji3_{stwierdzono (w zależności od}

zastosowanej metody) istotność współczynników pierwszego oraz piątego rzę-du, lub też rzędu pierwszego, trzeciego, czwartego, a nawet piątego. Wartości odpowiednich współczynników można przedstawić na wykresie. Na przykład, wykres 2. prezentuje przestrzenne korelogramy szóstego rzędu dla PKB per

ca-pita w 2006 r. (korelogramy dla pozostałych lat przedstawiono na zbiorczym

wykresie 3.). -0 .1 5 -0 .1 0 -0 .0 5 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 0 (a) lags Mo ra n 's I 1 2 3 4 5 6 -1 .0 -0 .5 0 .0 0 .5 1 .0 (b) lags S p a tia l a u to co rr e la tio n 1 2 3 4 5 6

Wykres 2. Przestrzenne korelogramy szóstego rzędu dla PKB w 2006 r.: (a)

współczyn-niki Morana, (b) klasyczne współczynwspółczyn-niki korelacji.

Źródło: opracowanie własne.

Wniosek 4.

Autokorelacja przestrzenna PKB per capita na badanym obszarze może doty-czyć nie tylko tzw. najbliższych sąsiadów.

3_{Do badania wykorzystano dwie metody. Pierwsza polegała na obliczeniu i ocenie istotności} odpowiednich statystyk Morana, przy założeniu sąsiedztwa różnych rzędów, druga zaś polegała na wykorzystaniu klasycznego współczynnika korelacji, obliczanego dla każdego ustalonego przesunięcia przestrzennego. Wartości i oceny istotności odpowiednich współczynników przed-stawiono w pracy Szulc (2009).

(5)

-0 .1 0. 1 0.3 1.a. lags Mor an's I 1 3 5 -1 .0 0. 0 1.0 1.b. lags S pat ia l aut oc or re la tion 1 3 5 -0 .1 0. 1 2.a. lags Mor an's I 1 3 5 -1 .0 0. 0 1.0 2.b. lags S pat ia l aut oc or re la tion 1 3 5 -0 .1 0. 1 3.a. lags Mor an's I 1 3 5 -1 .0 0. 0 1.0 3.b. lags S pat ia l aut oc or re la tion 1 3 5 -0 .1 0. 1 4.a. lags Mor an's I 1 3 5 -1 .0 0. 0 1.0 4.b. lags S pat ia l aut oc or re la tion 1 3 5 -0 .1 0. 1 5.a. lags Mor an's I 1 3 5 -1 .0 0. 0 1.0 5.b. lags S pat ia l aut oc or re la tion 1 3 5 -0 .1 5 0.0 5 0.2 0 6.a. lags Mor an's I 1 3 5 -1 .0 0. 0 1.0 6.b. lags S pat ia l aut oc or re la tion 1 3 5

Wykres 2. Przestrzenne korelogramy szóstego rzędu dla PKB w latach 2000–2005.

*Kolejne pary wykresów dotyczą kolejnego jednego roku. Źródło: opracowanie własne.

Ze względu na niejednoznaczność wyników co do autokorelacji przestrzen-nej wyższych rzędów, uzyskanych za pomocą różnych metod, za najbardziej prawdopodobną uznano autokorelację pierwszego rzędu.

Wniosek 5.

Proponuje się następującą postać przestrzennego modelu ekonometrycznego PKB per capita:

(

i

)

i i i i x y PKB PKB =θ₀₀+θ₁₀ +θ₀₁ +ρW +ε , (3)

(6)

3. MODELOWANIE TRENDOWO-AUTOREGRESYJNEJ STRUKTURY PRZESTRZENNO-CZASOWEGO PROCESU PKB

Przeprowadzone badania prowadzą do rozważenia następujących modeli przestrzenno-czasowych.

Model z trendem przestrzenno-czasowym i przestrzenną autoregresją

Przeprowadzenie oddzielnych analiz przestrzennych dla każdego punktu w czasie oraz porównanie uzyskanych wyników, skłoniło do sformułowania wniosku ogólnego, odnoszącego się do łącznej przestrzenno-czasowej struktury badanego procesu, w postaci następującego modelu teoretycznego:

(

it

)

it i i t i x y t PKB PKB_, =θ₀₀₀+θ₁₀₀ +θ₀₁₀ +θ₀₀₁ +ρW _, +ε_, , (4)

Wyniki szacowania parametrów i weryfikacji modelu (4) przedstawia tabela 1. Tabela 1. Zestawienie wyników estymacji i weryfikacji modelu (4)

Parametry Szacunki

parametrów Błędy standardowe Statystyki z Pr (>|z|) θ000 θ100 θ010 θ001 8584,5 -0,010805 -0,005248 447,98 875,05 0,001068 0,001021 112,72 9,8104 -10,1139 -5,1403 3,9742 0,0000000 0,0000000 0,0000003 0,0000710 ρ = 0,41449 test LR: 49,408, p-value: 0,000000 Statystyka Walda: 70,115, p-value: 0,000000 AIC: 11754 (AIC dla lm: 11801)

Autokorelacja reszt

Test LM: 0,0032316, p-value: 0,95467 Źródło: obliczenia własne.

Model z trendem przestrzenno-czasowym i przesunięciami przestrzennymi charakteryzuje się istotnymi parametrami, reszty nie wykazują autokorelacji i jest on lepszy od modelu uwzględniającego jedynie trend.

Model z trendem przestrzenno-czasowym oraz przestrzenną, a także czasową autoregresją

Istnienie bardzo silnej autokorelacji czasowej PKB per capita (współczyn-nik autokorelacji czasowej rzędu pierwszego dla reszt modelu z trendem prze-strzenno-czasowym stopnia 1. równa się 0,9951) uzasadnia włączenie do mode-lu opisującego strukturę PKB składnika PKBi,t-1. Zatem kolejna specyfikacja

modelu jest następująca:

(

it

)

it t i i i t i x y t PKB PKB PKB_, =θ₀₀₀ +θ₁₀₀ +θ₀₁₀ +θ₀₀₁ +α _,₋₁ +ρW _, +ε _, . (5) Wyniki szacowania parametrów oraz weryfikacji modelu (5) przedstawia tabela 2.

(7)

Tabela 2. Zestawienie wyników estymacji i weryfikacji modelu (5)

Parametry Szacunki parametrów

Błędy standardowe Statystyki z Pr (>|z|) θ000 θ100 θ010 θ001 α 161,68 -0,00021899 -0,00030464 125,35 1,0420 121,88 0,00014506 0,00012093 13,627 0,0042246 1,3265 -1,5097 -2,5191 9,1985 246,6556 0,18467 0,13111 0,01176 0,00000 0,00000 ρ = -0,034921 test LR: 17,139, p-value: 0,000000 Statystyka Walda: 17,519, p-value: 0,000000 AIC: 7643,4

Autokorelacja reszt

Pomimo poprawy ogólnego stopnia dopasowania modelu, nie można uznać go za ostateczny, ponieważ w resztach pojawiła się autokorelacja.

Model z trendem przestrzenno-czasowym, przestrzenną, czasową oraz prze-strzenno-czasową autoregresją

Podobnie jak współczynniki autokorelacji przestrzennej oraz czasowej, współczynnik autokorelacji przestrzenno-czasowej pierwszego rzędu okazał się istotny. Jego wartość wyniosła 0,1636. Dlatego następny model przestrzenno-czasowej struktury PKB uwzględnia dodatkowo składnik W(PKBi,t-1).

Przyjmu-je on następującą postać:

(

_,

)

(

_, ₁

)

_,. 1 , 001 010 100 000 , t i t i t i t i i i t i PKB PKB PKB t y x PKB ε γ ρ α θ θ θ θ + + + + + + + = − − W W (6)

Wyniki szacowania parametrów i weryfikacji modelu (6) przedstawia tabela 3. Tabela 3. Zestawienie wyników estymacji i weryfikacji modelu (6)

Parametry Szacunki

parametrów Błędy standardowe Statystyki z Pr (>|z|) θ000 θ100 θ010 θ001 α γ 252,99 -0,00028963 -0,00027527 78,610 1,0458 -0,42254 115,64 0,00013734 0,00014 13,9317 0,0040193 0,057249 2,1879 -2,1088 -2,4146 5,6485 260,1819 -7,3808 0,02868 0,03496 0,01575 0,00000 0,00000 0,00000 ρ = 0,37102 test LR: 37,425, p-value: 0,000000 Statystyka Walda: 44,667, p-value: 0,000000 AIC: 7600,3

Autokorelacja reszt

(8)

Rozważany model charakteryzuje się istotnymi parametrami. Reszty mode-lu nie wykazują autokorelacji. Pod względem ogólnego dopasowania do danych jest on najlepszym spośród proponowanych w tej pracy modeli.

4. PODSUMOWANIE

Rozważania niniejszego artykułu potwierdzają znaczenie badania własności i struktury przestrzennych i przestrzenno-czasowych procesów ekonomicznych dla ich modelowania.

Ekonometryczne modele procesów przestrzenno-czasowych powinny mieć charakter dynamiczny, co wyraża się w odpowiednim wyspecyfikowaniu tren-dowo-autoregresyjnej struktury, charakteryzującej czasowe, przestrzenne i prze-strzenno-czasowe tendencje, oraz opóźnienia i przesunięcia przestrzenne lub/i przestrzenno-czasowe obserwowanych zależności.

PKB per capita na wyodrębnionym obszarze w badanym okresie realizuje

przestrzenno-czasowy proces, wykazujący trend przestrzenno-czasowy oraz au-tozależności przestrzenne i przestrzenno-czasowe. Specyfikacja dynamicznego modelu przestrzennego dla PKB per capita doprowadziła do otrzymania „do-brego” modelu empirycznego.

LITERATURA

Szulc E. (2008), Analiza struktury ekonomicznych procesów przestrzennych na przykładzie PKB w wybranych krajach europejskich, „Acta Universitatis Nicolai Copernici”, Ekonomia XXXVIII, z. 388, 7–20.

Szulc E. (2009), Analiza zmian w czasie struktury ekonomicznych procesów przestrzennych na przykładzie PKB w wybranych krajach europejskich, referat wygłoszony na III Konferen-cji Naukowej im. Profesora Aleksandra Zeliasia, pt. Modelowanie i prognozowanie zja-wisk społeczno-gospodarczych, Zakopane 5 – 8 maja 2009, złożony do druku w: J. Pocie-cha (red.), „Współczesne problemy modelowania i prognozowania zjawisk społeczno-gospodarczych”, Studia i Prace Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie.

MODELLING OF DYNAMIC SPATIAL PROCESSES

A b s t r a c t. The paper concerns econometric modelling of the dynamic spatial processes on the example of GDP per capita in chosen European countries. The considerations of the paper are fo-cused on investigations of the structure of components of the spatio-temporal process. As a result of the analysis some specifications of the dynamic spatial models are obtained. Next the issues of the estimation and verification of the models are presented. The main conclusion from the analy-sis is that the econometric models of the spatio-temporal processes ought to be of the dynamic character, e.g. considering spatial and temporal trends and spatial, temporal and spatio-temporal autodependences as well.