Uogólniony przepływ Poiseuille'a płynu mikropolarnego drugiego rzędu w szczelinie między dwoma współosiowymi walcami

M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA 3/4, 20 (1982)

UOG ÓLN ION Y PRZEPŁYW POISEU ILLE'A PŁYNU  MIKROPOLARN EG O DRUGIEGO RZĘ DU  W SZCZELIN IE MIĘ D ZY DWOMA

WSPÓŁOSIOWYMI WALCAMI EDWARD   W A L I C K I , JANUSZ  Z A C H W I E J Ą Bydgoszcz Wstę p Skomplikowane przepływy cieczy newtonowskich i nienewtonowskich w kanał ach, mają ce miejsce w rozmaitych procesach przemysł owych, nie są  jak dotą d szczegół owo zbadane. Dotyczy to zwłaszcza pł ynów mikropolarnych Eringena ze wzglę du na cechują cą je mikrobezwł adność oraz dodatkowy moment masowy i naprę ż enie momentowe. Tym samym, celem wyznaczenia wielkoś ci opisują cych pole przepł ywu, należy rozwią zywać ukł ad równań wynikają cych z zasad zachowania: masy, energii, pę du oraz momentu pę du pierwszego a w szczególnych przypadkach również wyż szych rzę dów. Stwarza to problemy zarówno natury czysto matematycznej jak również fizycznej wobec koniecznoś ci wyznaczenia wartoś ci dodatkowych współ czynników lepkoś ci.

Pierwszej próby konstrukcji ogólnej teorii oś rodka z mikrostrukturą  dokonali bracia E. i F . Cosserat w 1909 roku, jednakże dopiero w ostatnim dwudziestoleciu problem ten został  podję ty na nowo, skupiają c uwagę  badaczy. Współ czesne poglą dy odnoś nie pł ynów mikropolarnych bazują  gł ównie na zał oż eniach teorii naprę ż eń momentowych oraz teorii mikropł ynów Eringena [1]. Tenże [2] wraz z Suhubim [3] rozwiną ł  ogólną  teorię  oś rodka mikropolarnego, dyskutują c w [4] termodynamiczne ograniczenia wartoś ci współ czynników lepkoś ci dla płynów mikropolarnych. Podobne problemy był y przedmiotem rozważ ań Kazakii i Arimana [5]. Ciekawy przeglą d prac na temat płynów z mikrostrukturą  został dokonany przez Arimana, Turka i Sylvestra [6, 7].

Porównanie zał oż eń fizycznych stanowią cych podstawę  modeli pł ynów Stokesa oraz Eringena prowadzi do wniosku, że ten ostatni wierniej opisuje przepł ywy zawiesin, co potwierdził y badania Kline'a, Allena i De Silvy [8] nad mechanicznymi i Teologicznymi wł asnoś ciami zawiesin, emulsji, pł ynych kryształ ków oraz krwi i pł ynów fizjologicznych. Ahmadi, Koh i G oldschmidt [9, 10] uogólnili teorię  pł ynów mikropolarnych na przypadek oś rodka w którym mikroruch opisywany jest dodatkowo wektorem mikrorotacji drugiego rzę du. Równania ruchu tych pł ynów wyprowadzone w pracach [11, 12] nie został y dotą d rozwią zane dla przypadków bardziej zł oż onych przepł ywów.

Celem niniejszej pracy jest analiza uogólnionego przepł ywu Poiseuille'a pł ynu mikro-polarnego drugiego rzę du w przestrzeni mię dzy dwoma współ osiowymi cylindrami, ze szczególnym uwzglę dnieniem wpływu wielkoś ci szczeliny n a kształ t profili prę dkoś ci i mikrorotacji.

396 E. WAU C K I , J. ZACHWIEJĄ

1. Równania ruchu

R ówn an ia ruchu nieś ciś liwego pł ynu mikropolarnego drugiego rzę du, wyprowadzone w oparciu o zasady zachowania masy, pę du oraz momentu pę du pierwszego i drugiego rzę du mają  postać [11, 12]

(1.1)  d i v F =  0,

dV

(1.2) d - jr~ -  e/ /  dv dV \

(1.3) eUjf + - Jj7 x i] =  efi - y„rot(rotv) + (uu+ pv + yv )gi:ad(divv) + k„rotV-- 2/ c„ v)gi:ad(divv) + k„rotV-- / 90rot/ ł , 3 dV

(1- 4) - JJQ - dj =  e /2 +  2(/ 30 -  rlv)fi + (y„ - 0 , ) r o t v +

+  3 [( a0 +  a, +  a2) grad (div /«) -  a2 rot(rot/ t)], gdzie: V—wektor prę dkoś ci przepł ywu

g —•  gę stość p — ciś nienie v — wektor mikrorotacji pierwszego rzę du H — wektor mikrorotacji drugiego rzę du / — wektor sił  masowych jednostkowych /t — wektor jednostkowych momentów masowych pierwszego rzę du f2 — wektor jednostkowych momentów masowach drugiego rzę du i — wektor mikrobezwł adnoś ci j — gę stość mikrobezwł adnoś ci

Av —•  współ czynnik lepkoś ci obję toś ciowej

k„ — współ czynnik lepkoś ci sprzę ż enia

(j.v — współ czynnik lepkoś ci ś cinania

<xe, fiv,  $u — współ czynniki lepkoś ci obrotowych a0, <*i, «2 > Vv —' dodatkowe współ czynniki lepkoś ci

P om ię dzy wartoś ciami współ czynników lepkoś ci istnieją  wzajemne zwią zki. Warunki termodynamiczne nakł adają  n a nie nastę pują ce ograniczenia [11]

0, 2/ x„ + kv ź 0, /c„ > 0,

3 a_o+ 2 a₀ ^ 0 ,  - a ₂< a ₁< a ₂ ,  a₂ > 0 ,

2. Konfiguracja przepł ywu

R ozważ ony zostanie przepł yw pł ynu mikropolarnego drugiego rzę du w szczelinie pomię dzy dwom a współ osiowymi cylindrami przy uż yciu równań (1.1 - 1.4). W tym celu wprowadzim y ukł ad współ rzę dnych walcowych czynią c jednocześ nie zał oż eni

a stacjonar-UOG ÓLN ION Y PRZEPŁYW POISEUILLE'A ₃₉₇

noś ci przepł ywu oraz dopuszczalnoś ci pominię cia sił  i m om en tów m asowych. W obran ym ukł adzie współ rzę dnych wektory V, v,fi posiadają  nastę pują ce skł adowe;

(2- 1) V~ vx(r) v~ v0(r) n ~ Mz(f).

R ówn an ia ruchu (1.2 -  1.4) wobec nał oż onych warunków, oraz po uwzglę dnieniu równ an ia (1.1) sprowadzają  się  d o ukł adu:

(2.2) (2.3) (2.4) dr [ r dr

Rys. 1. Schemat ukł adu geometrycznego przepł ywu

Rozwią zania równ ań (2.2 - 2.4) podlegają  nastę pują cym warun kom brzegowym :

vz =  V dla r =  i ?2,

(2.5) vz =  0 dla r =  R2,

vz =  fiz =  0 dla r =  ^  i r =  R2. przy czym i?2 > 7?!.

3. Rozwią zanie równań ruchu

W celu rozważ enia wpł ywu wielkoś ci szczeliny R2—Ri n a kształ t profili prę dkoś ci i mikrorotacji wprowadzon o nastę pują ce zmienne bezwym iarowe:

r =

398 E. WALICKI J. ZACHWIEJĄ

Z godn ie z przyję tymi zmiennymi bezwymiarowymi (3.1), liczby podobień stw a wyra-ż ają ce stosun ki wielkoś ci charakterystycznych wystę pują cych w rozwaa wyra-ż anym przepł ywie d o stał ych m ateriał owych dają  się  wyrazić ja ko :

Re =  - - - - — -•  — newtonowska liczba Reynoldsa,

JRem =  ~-  ~—.- - - —-  — m ikropolarn a liczba Reynoldsa,

QU(R2—RI) — liczba Reynoldsa oddział ywania pomię dzy kv prę dkoś cią  przepł ywu i mikrorotacją , Rw =  •  — mikrorotacyjna liczba Reynoldsa C3 o) y " K }   , _ . 3QU(R2- RJ) 3 P

  4 ( / ^"T

Wystę pują ca w zwią zkach (3.2) wielkość C/  posiada sens pewnej charakterystycznej prę dkoś ci, którą  jest ś redn ia prę dkość przepł ywu pł ynu newtonowskiego o tej samej liczbie R eyn oldsa, w identycznym ukł adzie geometrycznym. W celu przeanalizowania wpł ywu waru n kó w C ouette'a i P oiseuille'a na przepł yw uogólniony wprowadzon o wielkoś ci bezwym iarowe a i /?. D zię ki temu rozpatrywaną  prę dkość ś rednią  m oż na wyrazić w nastę -pują cej p o st ac i: — ( < 3 3 ) k 2 p \ \ ~k 2mkI gdzie:

Jeż eli przyjmiemy stał y wydatek cieczy, wówczas a+ jS =  1. W zależ noś ciach (3.4)

wielkoś ci I—T—} i vm są  odpowiednio gradientem ciś nienia w przepł ywie P oiseuille'a oraz

\  az / ,„

prę dkoś cią  przem ieszczania się  wewnę trznego walca w przepł ywie C ouette'a. R ozwią zan ie ukł adu równ ań (2.2- 2.4) w postaci bezwymiarowej m a form ę :

UOG ÓLN ION Y PRZEPŁYW POISEUILLE'A 399 L lnfc

(3

-

6)

  ^ -

S { W ) ] W

_{1- fej}

+  (a

 -  f

) C

 I

 [y (r +  - j- ^- Jj +  (a

 -  <p

) C

 K

 [c> (r +   - j ^

4«( l- fc)2 Lp2 przy czym: (3.8) j 2 gdzie: , Rw /  Rem. \   , , Lp3 „ Rw •  Lp3 a2 =  12 1 62 =  d2 =  -R in t \   -R in t /  L p l Lp2Lp4

Stał e cał kowania C i ,  C2,  C3, C4,  C5 ) C6 m oż na wyznaczyć z warun ków brzegowych

(2.5), które we współ rzę dnych bezwymiarowych mają  p o st ać :

v-  =  0 dla 7 =  1,

(3.9) l  *• " fc2 1  d l a ?= ° >

T ^ F "+ 21nfe

re =  ~jit =  0 dla / • =  0; 1.

W równaniach (3.5 -  3.7)  Io,  I i , Ko,  K i , są  odpowiedn io: zm odyfikowan ym i funkcjam i

Bessela zerowego i pierwszego rzę du oraz funkcjami M acD o n ald a także zerowego i pierw-szego rzę du.

Ł atwo zauważ yć, że uzyskan e rozwią zania sł uszne są  jedyn ie dla k > 0, wówczas bowiem speł niony jest warunek ograniczonej wartoś ci vx, v9, //,, w pun kcie o współ rzę dn ej r =  0. P rzypadek rozwią zań dla k =  0 należy rozpatrzeć osobn o. O dpowiada on wa r u n ko m

400 ' E. WALICKI J. ZACHWIEJĄ

przepł ywu P oiseuille'a w rurze koł owej. Tym samym rozwią zania ukł adu równ ań (2.2 -  2.4) przy waru n kac h brzegowych

v2 — ve =  ]HZ =  0 d l a 7 =  1 ^ ' vz,v0,'jix skoń czone dla r = 0,

przedstawiają  się  nastę pują co:

(3.11) vz =   2 ( l - r 2 ) _cp yi[ o ( P ) o r ) ] (3.12) ve = (3.13) Ji  ^ \ ( 2 2 ) [ I ( ) l ( ) ] gdzie: B= 4 (3.14)

A = -P on ieważ przy R± ~* 0 r - * —=— tym samym ulegną  odpowiednio zmianie okreś lenia

R2 pozostał ych wielkoś ci bezwymiarowych.

Wa r u n ki (1.5) dyktują  zwią zki pomię dzy liczbami podobień stwa:

JL Rw /  3 1 \

 8

, L p l ^ 6 \ 2Lp2 L p 4/ +

 3 L p 4 ' 1 < 4

Lp2~ 3R w"'

Wart o ś ci liczb podobień stwa R em , R in t, Rw został y przyję te w oparciu o wyniki prac

ALLE N A i K L I N E ' A [13] oraz ARIM AN A, TU R KA i SYLVESTRA [14]. Wartoś ci dodatkowych

liczb podobień st wa  L p l , Lp2, Lp3, Lp4 wynikają  bezpoś redn io z ograniczeń term ody-n am iczody-n ych .

R ys.  2 - 4 ilustrują  wpł yw wielkoś ci szczeliny n a kształ t profili bezwymiarowych prę d-koś ci : liniowej prę dd-koś ci przepł ywu oraz m ikrorotacji pierwszego i drugiego rzę du okreś lo-n ych zależ lo-n oś ciami (3.1). D o ko n an o również analizy wpł ywu wartoś ci dodatkowych liczb podobień stwa n a kształ t profilu bezwymiarowej m ikrorotacji drugiego rzę du dla przepł ywu w szczelinie oraz przepł ywu P oiseuille'a w kan ale walcowym. Wyniki przed-stawion o  n a rys. 5- 6,

4. Wnioski

D yskusja formuł  (3.5- 3.7) oraz (3.11- 3.14) jak również analiza prezentowanych wykresów prowadzi do nastę pują cych wniosków:

O 0,1 02 0,3 0A 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 r a -  oe=0 ' J3 = 1 b -  oc=0,5 p=0,5 c -  a = 1 p =0 Nr 1 i 3 Rint 0,0833 Rw 0,1 Rem 0,0625 LP1 0,01 LP2 0,1 Lp3 0,1 [pL 0.1 k 0,125 0,250 0,500

Rys. 2. Wpływ wielkoś ci szczeliny na kształ t profili prę dkoś ci przepł ywu pł ynu mikropoł arnego drugiego rzę du 1  0 0,1 0,2 0?. OA 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 a -  ot=0 p =1 b -  a=0,5 0=0,5 e -  a=1 p=0 Nr 1 / 3 Rinł 0,0833 Rw 0,1 Rem 0,0625 Lp1 0,01 lP2 0,1 LP3 0,1 L p i 0,1 k 0.125 0,250 0,500

Rys. 3. Wpływ wielkoś ci szczeliny na kształ t profili mikrorotacji pierwszego rzę du

402 E. WALicKr, J. Z AC H WI E JĄ 0,0i8 O.Oii O.OiO 0,036 0,028 2 0,024 ao2o 0,016 0,012 0,008 0,00i 0,0 - 0.0OA - 0,008 - 0,012 - 0.016,

-W

w

V

/>

Rys. 4. Wpł yw wielkoś ci szczeliny na kształ t profili mikrorotacji drugiego rzę du

1. Wzrost wymiaru szczeliny pocią ga za sobą  zmniejszenie się  wartoś ci vz  zarówno w prze-pł ywie Couette'a jak i prze zarówno w prze-pł ywie Poiseuille'a. Podobnie rzecz się  ma z bezwymiarową mikrorotacją  pierwszego rzę du vQ.

2. Wartość liczbowa bezwymiarowej mikrorbtacji drugiego rzę du maleje ze wzrostem wielkoś ci szczeliny w przypadku przepł ywu Couette'a. W przepł ywie Poiseuille'a w są siedztwie oraz pewnej odległ oś ci od wewnę trznej powierzchni walcowej istnieją obszary w których wzrost wymiaru szczeliny wywołuje zmniejszenie liczbowej wartoś ci bezwymiarowej mikrorotacji drugiego rzę du. W okolicach zewnę trznej powierzchni efekt jest odwrotny.

3. W są siedztwie zewnę trznej powierzchni walcowej nastę puje zmiana znaku wartoś ci bezwymiarowej mikrorotacji drugiego rzę du.

4. W rozpatrywanym zakresie zmian wartoś ci dodatkowych liczb podobień stwa wzrostowi Lp3 w przepł ywie Poiseuille'a i Couette'a w szczelinie towarzyszy wzrost bezwzglę dnej wartoś ci bezwymiarowej mikrorotacji drugiego rzę du, a wzrostowi Lp2 jej spadek. Wię kszym liczbom Lpl odpowiadają  wię ksze wartoś ci bezwymiarowej mikrorotacji

- 0,006 02 0,3 0£ 05 06 0,7 0,8 09 ID Nr 0 10 1|) 2a 2b 3a 3b 40 4b Rint 0,0833 Rw 0,1 Rem 0,0625 Lp1 0,01 0,015 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 LP2 0,1 0,1 0,1 0.08 0.15 0,1 0.1 0,1 0,1 Lp3 0,1 0.1 0,1 0.1 0,1 0,08 0.15 0,1 0.1 Lp4-0.1 0.1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,08 0,15 - 0,020 'O 0,1 0,2 0 3 0 , i 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1J0 a -  ot=0 0=1 r b -  a=05 0=05 • c -  ot=1 (3=0 Nr 0 1 2 3 u Rint 0,0833 Rw 0,1 Rem 0,0625 Lp1 0.01 0.02 0.01 0,01 0.01 LP2 0J_ 0,1 0,15 0.1 0.1 Lp3 0.1 0,1 0.1 0.15 0.1 Lp4 0.1 0.1 0.1 0,1 0.15 Rys. 6. Wpł yw wartoś ci dodatkowych liczb podobień stwa na kształ t profili

mikrorotacji drugiego rzę du dla przepł ywu Poiseuille'a w kanale walcowym

Rys. 5. Wpł yw wartoś ci dodatkowych liczb podobień stwa na kształ t profili mikrorotacji drugiego rzę du

404 E. WALICKI J. ZACHWIEJĄ

drugiego rzę du, natomiast wpływ Lp4 okazał  się  nieznaczny. Analogiczne zmiany zachodzą  w przypadku przepł ywu Poiseuille'a w kanale walcowym.

Wnioski tak sformuł owane są  sł uszne dla prawie wszystkich punktów płaszczyzny przepł ywu przechodzą cej przez normalną  do obu powierzchni walcowych.

Literatura cytowana w tekś cie

. 1. A. C. ER I N G EN , Int. J. Engng. Sci. 2, 205, 1964. 2. A. C. ER I N G EN , I nt. J. Engng. Sci. 8, 819, 1970.

3. A. C. E R I N G E N , E, SUHTJBI, I nt. J. Engng. Sci. 2, 189, 1964. 4. A. C. E R I N G E N , J. M at h . M ech. 16, 1, 1966.

5. Y. KAZAKIA, T. AM M AN , Reol. Acta, 10, 319, 1971.

6. T . AM M AN , M . A. T U R K , N . D . SYLVESTER, Int, J. Engng. Sci. 11, 905, 1973. 7. T . ARIM AN , M . A. T U R K , N . D . SYLVESTER, I n t. J. Engng. Sci. 12, 273, 1974. 8. K. A. K LI N E , S. J. ALLEN , C. N .  D E SILVA, Biorheology, 5, 111, 1968.

9. G . AH M AD I, S. L. K O H , V. W. G OLDSCHMIDT, Recent Adv. Engng. Sci. Part 2, 5, 9, 1970. 10. G . AH M AD I, S. L.  K O H , V. W. G OLDSCHMIDT, Iranian J. Sci. an d Techn. 1, 233, 1971. 11. G . AH M AD I, Bulletin de L'Academie Polonaise des Sciences, 6, 15, 1977.

12. G . AH M AD I, Rheol. Acta, 14, 710, 1975.

13. S. J. ALLEN , K. A. KLIN E, Trans. Soc. Rheol. 12, 4457, 1968. 14. M . A. T U R K , N . D . SYLVESTER, T . ARIMAN , J. Biomech, 5, 185, 1973.

P e 3 IO M e

OBOEU TEH H OE T E ^I E H H E n YAC E H JlH  BT O P O rO PflflA M H KP OIIOJIH P H OK JKH flKOCTH ME>KflY RBYMfl KOAKCH AJIbH BIM M I T H J I H I WAM H

B pa6oT e npeflCTaBJieHo p em eir a e ypaBH einoi H3o6pa>i<aiomHX flBtD KeH ue MH KponoJiapnoH  >KHfl-KOCTH BToporo n opfl/ tfo B OSOSIH SH H OM Teneiaw n yaceftjui B aa3ope MOKRY #ByM*r KoaKCHajiLHMMii HHJIHHflpeMH. npOBefleH  aHaHH3 BJIH H H H H ao6aBOqHbIX KO3l|)tbHU,HeHTOB BH3KOCTH  H  BejIHiIHHM 3a30pa n a {popiviy npocpH JiH  CKOBOCTH H  M H KpopoTannn. Pe3yjibTaTbi H JunocTpH poseH Bi

S u m m a r y

T H E G E N E R ALI Z E D  P OISEU ILLE F LOW OF  A SECON D  OR D E R M ICROPOLAR F LU ID  IN TH E C LEAREN C E BETWEEN  TWO CYLIN D ERS

The solution is presented of the set of equations describing a generalized Poiseuille flow of a second order m icropolar fluid in the clearence between the cylinders of the same axis. The effect is discussed of additional coefficients of viscosities and the width of clearance between the cylinders on the shapes of pro-files of linear an d micropolar velocities. The results are given in the form of diagrams and tables.