Postępy Astronomii nr 4/1964

P O L S K I E T O W A R Z Y S T W O A S T R O N O M I C Z N E

POSTĘPY

ASTRONOMII

K W A R T A L N I K

T O M XII — Z E S Z Y T 4

1

9

6

4

WARSZAWA • P A Ź D Z I E R N I K - G R U D Z I E Ń 1964

K O L E G IU M R E D A K C Y JN E Redaktor Naczelny Stefan Piotrowski, W arszawa

C zło n k o w ie : Józef W itkow ski, Poznań W łodzim ierz Zonn, W arszawa

Sekretarz R ed ak cji: Lndosław C ichow icz, Warszawa Adres R e d ak cji: W arszawa, ul. Koszykowa 75

O bserw atorium Astronom iczne Politechniki

Printed in Poland

Państwowe W ydaw nictw o N aukow e Warszawa 1964

W ydanie I. Nakład 423 + 127 egz. Ark. wyd. 4,50, ark. druk. 4,00 + 1 w kl. Papier offsetowy kl. III, 80 g, 70 X 100. Oddano do druku 28. X . 1964 r. Druk

ukończono w październiku 1964 r. Zam. nr 308. F-U Cena zl 10.— Z ak ład G raficzny PW N

WIDMO SŁOŃCA W U L T R A F IO L E C IE

T A D E U S Z J A R Z Ę B O W S K I

y jl bTPA $MOJ1ETOB bl M CIIEKTP COJIHIJA

T . H * e M 6 o B C K M

C o A e p * a H H e

B cTaTbe npeflCTaBJieHH coBpeMeHHbie paKeraue Ha6jiiOAeHHfl AaJienoro yjib-

Tpa4)MOJieTOBOPO

cneKTpa

Cojuma (oóJiacTb

\

3000-60

A )

. OroBopeHa

TO*e

npo-

ojieMa

HHTepnpeTanMH H3M6H6HMfl

b

o6jiaCTH A-1800 jMHefi noro

cneKTpa Cojmija

M3 aOcopnimoHHoro b smhccmohhhh .

THE ULTRAVIOLET SPECTRUM OF THE SUN

Sum m ary

In the article the present state of knowledge of the rocket spectrum of the

sun in extreme ultraviolet (A. 3000 — 60 A) is described. The problem of interpre­

tation of the change from an absorption line spectrum to an emission line spec­

trum for

1800 is also discussed.

1. WZMIANKA HISTORYCZNA

Obecna wiedza o widmie Słońca datuje się w zasadzie od roku 1895, kiedy

to R o w l a n d sfotografował widmo Słońca w wysokiej dyspersji i opracował

tabele około 20 0 00 linii absorpcyjnych w zakresie długości fal od 2975 do

73 30 angstremów. Jednym z późniejszych kroków milowych w tym kierunku było

opracowanie w Utrechcie w roku 1940 słynnego Atlasu fotometrycznego widma

Stońca w rejonie długości fal 3332—8871 X.

Dalsze kroki idą w kierunku rozszerzenia danych o widmie Słorfca ku podczer­

wieni. Na przykład w roku 1950 ukazuje się w Michigan Atlas widma Słońca

w zakresie długości fal od 8465 / do 25242 /f. Parę lat później obserwacje na

Jungfraujoch dostarczają danych do opracowania w Liege atlasu widma Słońca

226

_{T. Jarzębowski}

w rejonie od 28040

A

(2.8 /z) do 237500

A

(23.75 /x), który to p rz e d z ia ł widma

je s t stosunkow o wolny od absorpcji przez parę wodną.

J a k wiadomo w arstw a ozonu w atm osferze ziem sk iej obcina nam c a łą u ltra ­

fio leto w ą c z ę ś ć prom ieniow ania w ysyłanego p rzez c ia ła n ie b ie s k ie . Skrajna

długość fa li, o s ią g a ln a je s z c z e z pow ierzchni Ziem i, p rzypada

w

rejonie 2870

A.

W rejonie fal k ró tszy c h , do c z a su z a sto so w a n ia ra k ie t, widmo S łońca pozo staw ało

n iezn an e.

P ie rw s z a próba otrzym ania przy użyciu rak iety widma S łońca w u ltra fio le c ie

dokonana z o s ta ła d n ia 10 p a ź d z ie rn ik a 1946 roku ( D u r a n d , O b e r l y , T o u s e y

1949). Wyniki z teg o o k resu m ają ra c z e j tylko h isto ry c z n e z n a c z e n ie . Jako prze­

łom ow ą d atę m ożna by tu p rz y ją ć rok 1952, kiedy to R e n s e i P i e t e n p o l

w dniu 12 grudnia sfotografow ali lin ię wodorow ą Lym an —

a.

(1215.67 A), stw ie r­

d z a ją c , że j e s t to lin ia e m isy jn a ( R e n s e 1953). N a stęp n e la ta p rzyniosły bardzo

szy b k i p o stęp w tym kierunku. Do chw ili obecnej o bserw acje wykonywane z ra­

k ie t, a o statn io również i ze sztu czn y ch s a te litó w , d o starc zy ły danych o .u ltra ­

fioletow ej c z ę ś c i widma Słońca do d łu g o ści fali 56 angstrem ów *.

Widmo rakietow e S łońca om aw iane było o b szern ie n a Sympozjum „Widmo

S ło ń ca” , odbytym w 1963 roku w U trechcie z okazji 7 0 -le c ia urodzin profesora

M innaerta. D ane w tym artykule op arte s ą między innymi o m ateriały z teg o Sym­

pozjum ( H i n t e r e g g e r 1963).

2. APARATURA

P ra w ie w sz y stk ie d o ty ch czaso w e am erykańskie eksperym enty w d zie d z in ie

sp ek tro sk o p ii S łońca w u ltra fio le c ie dokonywane były przy z a sto so w an iu ra k ie t

typu A erobee. Szczytow a w y so k o ść o sią g a ln a p rzez ra k ietę tego typu w y n o siła

235 km- O kres pracy spektrografu m ógł w y n o sić 3 do 6 m inut. A paratura lądow ała

n a sp adochronie i m ogła byc w niektórych p rzypadkach używ ana pow tórnie.

D odajm y, że o statn io rozp o częto już rów nież próby badania widma Słońca przy

użyciu sztucznych sa te litó w (typ OSO = o rb itin g s o la r observatory); u zy sk an e

jechak t ą drogą wyniki n ie w y k ra c z a ją je s z c z e p o z a stadium próbne.

W szystkie widma otrzym yw ane były przy zasto so w an iu spektrografu z s ia tk ą

dyfrakcyjną. P rz y re je s tra c ji dłuższych w ycinków widma z d o ln o ść ro z d z ie lc z a

w ynosiła 20 ew entualnie 10

A/mm;

przy r e je s tr a c ji p ro fili lin ii, np. profilu

L y —

a,

zd o ln o ść ro z d z ie lc z a była zn acznie w ię k sz a , rzędu 0 .5

A/mm.

U zyskiw ane widmo było albo utrwalane n a k lisz y fo to g raficzn ej albo re je ­

strow ane bezpośrednio na taśm ie w drodze fo to e lek try czn ej. W przypadku sto so ­

w ania techniki fo to g ra fic z n ej o k res ek sp o zy cji w ynosił od k ilk u n astu se k u n d do

jed n ej m inuty. S to su jąc te c h n ik ą elektronow ą, o k re s za p isu całe g o badanego

* Zgodnie z propozycją T o u s e y a — jednego z najbardziej zasłu żon ych obserw ato­ rów widma rakietowego Słońca — promieniowanie w dalekim u ltra fio lecie łą c z n ie z mięk­ kimi promieniami X przyjęto o zn a cza ć symbolem XUV (T o u s e y 1963).

Widmo Słońca w ultrafiolecie

227

w ycinka widma w ynosił tylko 10 sekund; w p ó ź n ie jsz y c h eksperym entach o k res

te n zw ięk szan o do 100 sekund.

T e c h n ik a fo to g rafic zn a sto so w an a b y ła głównie przy ob serw acjach bardziej

d ługofalow ej c z ę ś c i widma; w c z ę ś c i krótkofalow ej stosow ano technikę elek tro ­

nową, która z re sz tą , o sta tn io w yraźnie w yprzedza fotografię. N iektóre wycinki

widma re je stro w an e były zarów no w drodze fo to g raficzn ej, jak i fotoelektrycznej

— zgodność obu re je s tra c ji j e s t bardzo dobra. O dcinek widma, przedstaw iony na

ry s. 2 , rejestro w an y b y ł n a k lisz y fo to g raficzn ej; o d cin ek widma n a ry s. 3 i 4

z a p isa n y był b ezpośrednio n a re je s tra to rz e d rogą fotoelektryczną.

N ie z a le ż n ie od re je s tra c ji widma wykonywano już również monochromatyczne

fotografie S ło ń ca w u ltra fio le c ie . Na przykład otrzym ano w spaniałe fotografie

S łońca i p rotuberancji w lin ii Ly —

a

(1215.67

A).

C iekaw ie w ygląda rów nież

fo to g rafia ta rc z y Słońca w m iękkich prom ieniach X (w p rzed ziale 20—60

A),

w ykonana w roku 1960 ( C h u b b i inni 1961). W reszcie o sta tn io uzy sk an o przy

zasto so w an iu sp ektroheliografu m onochrom atyczne obrazy ta rc z y Słońca w d z ie ­

d zin ie XUV w n a stę p u ją c y c h lin ia c h : He II Lym an

—a

(303.78

A),

F e XVI (335.4

A)

i F e XV (284.2

A)

( T o u s e y 1964).

3. ZMIANY CHARAKTERU WIDMA SŁOŃCA W R EJO N IE 1800

A

Od czasu h isto ry czn y ch obserw acji F r a u n h o f e r a (1814 rok) w ied zie liśm y ,

że lin ie widmowe S łońca w y stęp u ją w a b so rp cji. F a k ty c z n ie , w całej w id zialn ej

c z ę ś c i widma i w podczerw ieni obserw ujem y tylko lin ie absorpcyjne. Ale w u ltra ­

fio le c ie , jak w ykazały to dopiero ra k ie ty , s y tu a c ja się odm ienia. T a zm iana

charakteru widma S ło ń ca p rzed sta w io n a z o s ta ła sch em atycznie n a ry s. 1, gdzie

n aszk ico w an y j e s t odcinek widma od znanego d o ty c h c z a s rejonu A 3000 A do

rejonu A 1000 A.

Linie emisyjne - linie absorpcyjne

H-Ly-a CII Si III S i 1/ S i II

1 U

W

I

t t t t t tt

S i l S il AU Mg! Fel MgII

— i--- -- -- -- -- -- -- -- -- --

1---1500 2000 2500

R ys. 1. S chem atyczne p rz e d s ta w ie n ie p r z e ję c ia w idma liniow ego Słońca z absorpcyjnego w e m isy jn e w rejo n ie A 1800 A

228

T. Jarzębow ski

J a k w idać z rysunku, w p rz e d z ia le od 3000

A

do 2100

A

ch arak ter widma

S ło ń ca je s t podobny, ja k w c z ę ś c i w id zialn ej. Szczególnie rz u c a się tu w oczy

odkryty je s z c z e w 1946 roku p o d c z a s pierw szego eksperym entu rakietow ego

siln y d u b let absorpcyjny zjonizow anego magnezu (lin ie H i K magnezu —

2802.70 X i 2795.52 A). P rz e k ró j fotom etryczny cen traln ej c z ę ś c i tego dubletu,

ch ara k tery sty cz n eg o ze w zględu n a sw e ją d ra em isy jn e, p rz e d sta w ia ry s. 5.

W omawianym p rzed ziale widma z arejestro w an o łą c z n ie około 1040 lin ii absorp­

cyjnych, w tym z w ła sz c z a sporo lin ii ż e la z a , magnezu i krzem u ( W i l s o n i inni

1954; M a l i t s o n , P u r c e l l i T o u s e y 1960; K a c z a ł o w , J a k o w l e w a

1962).

2085

A

j e s t t ą g ra n ic z n ą w a rto śc ią d łu g o ści fali, od której p o cz y n ają c widmo

Słońca zm ien ia swój ch arak ter. P rz y te j d łu g o ści fali lin ie ab so rp cy jn e dość

raptow nie za c z y n ają zan ik ać, a poziom widma ciągłego o bniża się do średniego

poziomu dna lin ii absorpcyjnych (ry s. 1).

O dcinek widma S łońca od 2085

A

do 1525

A

j s s t rejonem przejściow ym . Ob­

serwujemy tu je s z c z e lin ie a b so rp cy jn e, ale je d n o cześn ie z a c z y n a ją pojaw iać

się i lin ie em isyjne — jedne i drugie s ą je d n a k ie stosunkow o n ie lic z n e i s ła b e .

N a tym odcinku rejestro g ram widma S ło ń ca ma zatem d o ść ,,g ła d k i” w ygląd —

jak to w idać na ry s. 1.

P ie r w s z ą zid e n ty fik o w a n ą lin ią e m is y jn ą w widmie S łońca j e s t lin ia C l —

1993.65 A; p ie rw s z ą n a to m ia st s il n i e j s z ą l i n i ą e m is y jn ą j e s t lin ia Si III —

1892.03 A. O s ta tn ią z id e n ty fik o w a n ą li n i ą a b so rp c y jn ą w widmie S łońca je s t

lin ia Si I — 1693.3 A. K ilka s ła b y c h , niezidentyfikow anych lin ii absorpcyjnych

zd a je s ię w ystępow ać je s z c z e w k ró tszy ch d łu g o ściach fal; jednak poniżej

1525

A

nie wykryto ju ż żadnych śladów lin ii absorpcyjnych.

P ocząw szy od 1525

A

ku krótszym długościom fali obserw ujem y ju ż zatem

w widmie Słońca w yłącznie lin ie e m isy jn e , których ilo ś ć i n atężen ie stopniow o

w z ra sta . Na rysunkach 2, 3 i 4 przedstaw ione s ą rejestrogram y widma em isyjnego

Słońca w p rze d zia łach d łu g o ści fal: 1300—900

A,

305—215

A

i 115—85

A.

4. LINIE EMISYJNE

l

N a js iln ie js z e lin ie em isyjne w widmie Słońca, ja k ie obserw ujem y przecho­

dz ąc ku u ltrafio leto w ej jego c z ę ś c i, to lin ie se rii wodorowej Lyman a. U dało się

d o ty c h c z a s ro z d z ie lić dw an aście składników te j s e rii, którą widzimy n a ry s. 2.

R zu ca s ię tu w oczy z w ła sz c z a duże n a tę ż e n ie lin ii Lym an—

a,

której szero k ie

sk rzy d ła ro z c ią g a ją się n a około

200 A;

niew spółm iernie małe n a tężen ie lin ii

L ym an—y j e s t n a to m ia st efektem atm osferycznym *. P rzy z asto so w a n iu dużej

^G raniczna wysokość 235 km, ja k ą osiągały rakiety, nie z a b ez p ie cza je sz c z e całko­ wicie przed ab sorpcją w atm osferze ziem skiej. Na przykład pasmo Na w rejonie 972.1 A, którego długość fali zgadza się prawie z lin ią Lyman

—y

(972.5

A)

osłabia bardzo znacz­ nie tę linię em isy jn ą wodom. Wpływ atmosfery ziem skiej widzimy również na linii wodorowej L y —

a,

gdzie w ąska ostra c z ę ś ć ją d ra absorpcyjnego je s t też pochodzenia ziem skiego (rys. 6).

Widmo Słońca w ultrafiolecie 229

dyspersji zarówno Ly- a jak i Ly-/3 (1025.7 A) wykazują rozszczepienie. Pro­ fil lin ii L y —a widzimy na rys. O.

Przechodząc ku krótszym długościom fali obserwujemy serię Lymana neutral­ nego helu (He I). Z tej serii lin ia L y - a (584.33 X) prezentuje się bardzo

ja-Rys. 2. Fotograficzna rejestracja widma Słońca na odcinku 1300—900

A.

Na osi odcię­ tych długości fali w angstremach; na osi rzędnych natężenie promieniowania w ergach na cmJ ,sek i angstrem. Krzywe przerywane w dolnej części rysunku odpowiadają pro­

mieniowaniu c iała doskonale czarnego o danej temperaturze

skrawo, L y —fi (537.02 A) ma już natężenie dziewięć razy słabsze. Pozostałych członów tej serii dotychczas nie zidentyfikowano. Granica serii przypada w A 504.27 A.

Znacznie wyraźniej prezentuje się seria Lymana zjonizowanego helu (He H). Dotychczas rozdzielono pięć pierwszych składników tej serii — a, f i, y, 5 , g , którym odpowiadają długości fali odpowiednio: 303.8, 256.3 , 243.0 , 237.3, 234.3 A. Granica serii przypada na długości fali 227.84 A. L inie tej setii widzi­ my na rys. 3.

Neon był pierwiastkiem, którego lin ii nie zaobserwowano w widzialnej części widma Słońca — nie był on na Słońcu dotychczas znany. Eksperymenty rakietowe wykazały jednak jego istnienie. Udało się już zidentyfikować jedną lin ię sześciokrotnie zjonizowanego neonu (A 465.2 A) i dwie linie siedmiokrotnie zjonizowanego neonu — Ne VIII, 770.4 i 780,3 A.

Rzuca się w oczy fakt, że obserwowane linie Słońca w ultrafioletowej czę­ ści jego widma odpowiadają raczej pierwiastkom wielokrotnie z jonizowanym, jakkolwiek mogą występować bardzo różne stopnie jonizacji. Mamy tu np. linie 0 I do 0 VI, Si I do Si XII, czy też Mg X, Fe XVI (potencjały jonizacyjne 0 VI, Mg X , Fe XVI, Si XII wynoszą odpowiednio: 114, 328, 457 , 476 eV). Z rysun­ ków 2, 3 i 4 widać również, że linie pierwiastków o wysokim stopniu zjonizowa- n ia pojawiają się w bardziej krótkofalowych częściach widma. Stąd wniosek ogólny, że obserwowane ultrafioletowe promieniowanie pochodzi z różnych

230

T. Jarzębowski

warstw atmosfery Słońca, przy czym im krótsza długość fa li, tym promieniowa­

nie pochodzi z wyższych warstw (z chromosfery, następnie z korony).

R y s. 3. F otoelektryczn a r e je s tr a c ja widma Słońca na odcinku 305—215

X .

N a o si od­ ciętych dłu gości fali w angstremaoh; na osi rzędnych ilo ś ć impulsów na sekundę

R y s. 4. Widmo Słońca na odcinku 115—85

X.

O znaczenia jak n a rys. 3. Id en tyfik acja linii je s z c z e mało pewna

5. WIDMO CIĄGŁE

Na odcinku przejściowym widma S ło ń ca, od 2085 do 1525

X,

poziom widma

ciągłego określony je s t bardzo wyraźnie, gdyż obserwuje się tu w za sa d z ie

wyłącznie widmo ciąg łe. P rzechodząc ku krótszym długościom fal, n a odcinku

od około 1300 do 1100

X,

na widmo ciągłe nakładają się szerokie skrzydła

lin ii L y —a , co powoduje ..widoczny w zrost kontinuum w tym rejonie (rys. 2). Od

1100 A do granicy serii Lym ana widmo ciągłe je s t widoczne, jakkolw iek prze­

bieg jego je s t zagadkowy i n a strę c z a pewne trudności w interpretacji.

Widmo Słońca w ultrafiolecie

231

Na granicy serii Lymana (912 A), jak widać z rejestrogramu, następuje bar­ dzo silny wzrost poziomu widma ciągłego. To kontinuum lymanowskie wodoru dość szybko obniża się w miarę posuwania się ku krótszym długościom fal. Przy długości fali około 800

X

poziom jego z b liża się do poziomu światła roz­ proszonego — dalej aparatura nie rejestruje już widma ciągłego, gdyż natężenie jego jest mniejsze od natężenia światła rozproszonego.

W rejonie krótszych długości fal widmo ciągłe daje się zarejestrować jeszcze dwukrotnie: 1) na granicy serii Lymana neutralnego helu (504

X),

gdzie obser­ wujemy kontinuum na odcinku kilkudziesięciu angstremów, 2) na granicy serii Lymana zjonizowanego helu (228

X),

gdzie daje się ono dostrzec na odcinku kilkunastu angstremów — widać to na rys. 3.

Sprawa interpretacji widma ciągłego w ultrafiolecie nasuwa jeszcze pewne niejasności. Wzrost natężenia widma ciągłego na granicach serii Lymana wo­

doru, neutralnego helu i zjonizowanego helu jest zupełnie oczywisty, gdyz wynika to z rekombinacji tych elementów. Sprawa jednak interpretacji widma ciągłego na odcinku od 912 A ku falom dłuższym nasuwa trudności. Wpływ jonów H byłby w tym rejonie raczej niewielki; przypuszcza się, że będzie to związane z rekombinacją metali, gdyż granice serii kilkunastu elementów przypadają w re­ jonie 1000 do 2000 A. Wreszcie odnośnie do zagadkowego spadku natężenia widma ciągłego przy A 2085

X,

to sprawa ta nie jest jeszcze wyjaśniona; są pewne sugestie, że mogłoby to mieć związek z absorpcją na granicy serii Al I przypadającej w rejonie A 2071

X.

W tabeli 1 podany jest obserwowany rozkład natężenia promieniowania w widmie ciągłym Słońca w przedziale od 4000

X

do długości fali 1000

X

(do­ kąd jest ono jeszcze mierzalne). Natężenie promieniowania podane jest w ergach na cm1 na sekundę na angstrem, zredukowane na średnią odległość Ziemi od Słońca.

T a b e l a 1

A N a tę ż. prom.

_*

N atę ż. prom.

4000 A 154 2400 A 6.8 3800 123 2200 6.2 3600 116 2000 1.4 3400 111 1800 0.3 3200 85 1600 0.07 3000 61 1400 0.008 2800 24 1200 0.004 2600 14 1000 0.002

Ciekawe wnioski nasuwa porównanie, jakiej temperaturze ciała doskonale czarnego odpowiada obserwowane natężenie w określonej części widma ciągłego. D la zilustrowania tego na rys. 2 naszkicowane s ą dla przykładu odcinki krzy­ wych, odpowiadające przebiegowi krzywej Plancka dla danej temperatury. W tabeli 2 zestawione s ą te dane dla kilku rejonów długości fal w ultrafiolecie, w których widmo ciągłe je st mierzalne.

232

T. Jarzębowski

T a b e l a 2

Rejon długości fali Tempera tura grom ienie wania

> 2100 5500 2085 5000 1800 4750 1400 4700 1280 5150 1100 5300 970 6000

Ja k stąd wynika, promieniowanie z przedziału długości fkl 1800—1400

%

pochodziłoby z warstwy o n ajniższej temperaturze. Promieniowanie natomiast

bardziej długofalowe, jak również bardziej krótkofalowe, pochodziłoby z warstw

o temperaturach wyższych.

6. INTERPRETACJA

Najciekawszym faktem obserwacyjnym w ultrafioletowej części widma

Słońca je s t przejście widma liniowego od absorpcyjnego do emisyjnego. Wy­

tłumaczenie tego faktu pozostaje w bezpośrednim związku ze stwierdzoną przed

chw ilą zależn ością między długością fali w widmie, a odpowiadającą temperaturą

promieniowania.

Wiadome już było w cześniej, że w atmosferze słonecznej, w miarę posuwa­

nia się od dolnych ku górnym warstwom, temperatura początkowo maleje, następ­

nie na pewnej głębokości osiąga minimum, po czym znowu zaczyna wzrastać.

F akt ten wynikał po prostu z tego, że w koronie słonecznej stwierdzono występo*

wanie znacznie wyższej temperatury niż w fotosferze, a skoro wnętrze Słońca

je st oczyw iści^ też gorętsze, to należało spodziewać się gdzieś minimum tem­

peratury.

Jak wynika z oszacowań (de J a g e r 1963) minimum temperatury — 4500 °K ±

+ 5 0 ° — przypada dla głębokości optycznej '’50oo “ °>02; ma to zatem m iejsce

w górnej warstwie fotosfery słonecznej.

Współczynnik absorpcji zależy w dużym stopniu od długości fali — ku krót­

szym długościom fali szybko wzrasta (V i t e n s e 1951). Należy zatem oczeki­

w ać, że im m niejsza długość fali promieniowania, tym warstwa, z której ono

pochodzi, leży wyżej w atmosferze Słońca (gdyż z niższych warstw nie wyszło­

by ono na zewnątrz).

Z omówionych tu danych obserwacyjnych, jak również z rozważań teoretycz­

nych wynika, że obserwowane w widmie Słońca promieniowanie o długości fali

w pobliżu 1800 czy 1700 X powstaje we wspomnianej warstwie górnej fotosfery,

gdzie temperatura je s t n ajniższa. Promieniowanie o dłuższych falach będzie

więc pochodziło z warstw głębszych, w których gradient temperatury skierowany

Widmo Słońca w ultrafiolecie

233

je s t ku dołow i. N a to m iast prom ieniow anie o krótszych fa lach b ęd zie poch odziło z w arstw w yższych (ch rom o sfera, d oln a korona), gdzie grad ien t temperatury skierow any je st ku gó rz e.

Pow yższy fak t w y jaśn ia od razu d la c z e g o d la A > 1800 X obserw ujem y linie ab so rp cy jn e , z a ś d la X < 1800 lin ie e m isy jn e. Prom ieniow anie w lin ii em itow ane j e s t bowiem przez w arstw y w y ż sz e , a n iż e li prom ieniow anie w przyległym widmie ciągłym . J e ż e l i zatem w arstw a le ż ą c a w yżej ma n i ż s z ą tem peraturę, będziem y obserw ow ać lin ię ab so rp cy jn ą; w odwrotnym przypadku — lin ię e m isy jn ą.

2795 2800 2805

R ys. 5. Centralna c z ę ś ć profilu dubletu absorpcyjnego H i K z jonizow anego ma­ gnezu — X 280 2.70 i 2795.52 X (por. ry s. 1)

R y s. 6. P rofil lin ii em isyjn ej H Lym an—a (1215.67 X). F o to grafia wykonana na wy­ so k o śc i pomiędzy 134 a 163 kilometrem lotu rakiety; e k sp o z y c ja 30 se k ; dysper­ s j a 2.6 m m / X ( P u r c e l l , T o u s e y 1960). Przeryw aną lin ią zaznaczono ostre jądro absorpcyjne pochodzenia ziem skiego

P rom ieniow anie w c a łe j w id zialn ej c z ę ś c i widm a, podczerw ieni i bliskim u ltrafio lecie p o w staje w fo to sferze,—gdzie tem peratura m aleje ku górze i d la te g o obserw ujem y w tych d łu g o ściach fa li lin ie ab so rp cy jn e . O bserw ow ane n ato m iast prom ieniow anie w dalekim u ltra fio le c ie p o w sta je w chrom osferze i dolnych war­ stw ach korony, gd zie tem peratura w z ra sta ku górze — i stą d mamy tu lin ie emi­ sy jn e . J e ś l i chodzi o promiertiowanie z rejon u p rz e jśc io w e g o — A 2085 do A 1525 A — to pochodzi ono z w arstw y, w której grad ien t tem peratury p rzech od zi p rze z zero i stą d lin ii tu n iew iele i p ły tk ich , zarów no absorpcyjnych ja k i em i­ syjnych.

D odajm y na zak o ń czen ie, iż potw ierdzeniem pow yższych wywodów m oże być rów nież stw ierdzony o b se rw a c y jn e fak t p o ja ś n ie n ia brzegow ego w dalekim u ltra fio le c ie . J a k dobrze w iadom o, w c z ę ś c i w idzialn ej widma obserw uje się pociem nienie brzegow e, w yn ikające z p ro steg o fak tu , że prom ieniow anie ze sk ra­ ju tarc z y doch od zi do n a s z trochę w yższych w arstw foto sfery, których tem­ peratu ra j e s t n iż s z a . W dalekim u ltra fio le c ie sy tu a c ja pow inna się zatem od­ w rócić (odpow iednia wy ż s z a ow arstw a b ęd zie m ia ła w y ż sz ą tem peraturę). I rze­ c z y w iś c ie , w rejonie 1500 A u dało s ię zao b serw o w ać w widmie ciągłym po­ ja śn ie n ie ta rc z y S ło ń ca ku brzegow i. P o ja śn ie n ie brzegow e zaobserw ow ano rów nież w przypadku niektórych lin ii em isy jn y ch .

234

_{T. Jarzębowski}

L I T E R A T U R A

C h u b b T .A ., F r i e d m a n H., K r e p l i n R.W., B l a k e R .L ., U n z i c k e r A .E ., 1961, Memoires Societe Royale L iśg e, 4, 228.

de J a g e r C .t 1963, B.A.N. 17, 209.

D u r a n d E. , O b e r l y J . J ., T o u s e y R ., 1949, A p .J. 109, 1.

H i n t e r e g g e r H .E ., 1963, Preprint na Sympozjum „Widmo Słońca” w Utrechcie. K a c z a ł o w W.P ., J a k o w i e w a A.W., 1962, Izw iestia Kiymskoj Obs. 27, 5.

M a l i t s o n H.H., P u r c e l l J.D ., T o u s e y R ., I960, A p .J. 132, 746. P u r c e l l J .D ., T o u s e y R ., 1960, J.o f Geoph. Re s., 65, 370. R e n s e W.A., 1953, Phys. Rev., 91, 299.

T o u s e y R ., 1963, Space Science Reviews, 2, 3.

T o u s e y R ., 1964, dane nie opublikowane. ' V i t e n s e E ., 1951, Z s. f. Ap. 28, 81.

W i l s o n N .L ., T o u s e y R. , P u r c e l l J .D ., J o h n s o n F.S., M o o r e C .E . 1954 A p .J., 119, 590.

ZASTOSOWANIE HO WIN ANI A WIRIAŁU

W T EO RII ROT U JĄ CYCH MAS

W O J C I E C H D Z I E M B O W S K I

nPHMEHEHME YPABHEHMfl BMPMAJ1A

K TEOPMM BPAIHAKMUHXCH MACC

B . 4 SeMÓOBCKH

C o f l e p » . a H M e

B CTaTbe npettCTaBjieH OMepK pe3yjibTaT0B Tpyacrn S . C h a n d r a s e k h a r a m N. R . L e b o v i t z a no BonpocaM ycToiwHBOcra h KOJieóaHMU Bpamaiomnxca

Macc. ripMMeHeHMe

ypaBHeHMH

Bnpwajia

k npoóJieMe ycToMqwBOCTM c^epoMfla

MaKjiopeHa u sjumncoHfla Hko6m flocTaBJiaeT B03M0AH0CTb iunpe nofloftTM k wccjie- AOBaHMK) 3Toii npobjieMbi w ycneumee npuKrw k BbiBOflaM, no cpaBHeHMio c npeac- fle npnMCnaeMbiMH MeTOflaMM. IIpMMeHeHwio ypaBHenviH Bnpnajia 0TH0CHTejibH0 M acc, noflBepraroiuMXca c*HMaHJiio, /iejiaeT B03M0>KHbiM npn6jiM3MTejibHoe wccjie- AOBaHne bjimhhmh poTauwM Ha qacTOTy ocumjihuhh m b qacTHocTM — bjimhhmh Ha nyjibcupoBaime 3Be3fl, ocnoBaacb na noJiMTponuqecKwx MOfle^ax.

APPLICATION OF THE TENSOR VIRIAL EQUATION IN THEORY O F ROTATING MASSES

S u m m a r y

An outline is given of the works of S. C h a n d r a s e k h a r and N .R . Le- b o v i t z concerning stability and oscillations of the rotating masses. Application of the tensor virial equation to the stability problem of Maclaurin’ s spheroid and Jacobi’ s ellipsoid allows a more general approach and results are obtained faster that with the methods used previously. F’ or the compressible masses this enables us to examine approximately the influance of the rotation on the oscilla­ tion frequencies, and in particular the influence of the rotation on star pulsa­ tions in the politropic approximation.

236 W. Dziembowski

Szeroko stosowane w astronomii gwiazdowej i w fizyce statystycznej równa­ nie wiriału otrzymuje się przez scałkowanie po objętości zajmowanej przez rozważaną materię równania ruchu cieczy pomnożonego skalarnie przez wektor położenia. Naturalnym uogólnieniem tego równania jest jego tensorowa postać, którą otrzymuje się w analogiczny sposób, z t ą tylko różnicą, że mnożenie przez wektor położenia wykonuje się diadycznie. Tak uogólnione równanie wi­ riału zostało w szczególności użyte do badania stabilności mas gazowych w obe­ cności pola magnetycznego (S. C h a n d r a s e k h a r i E. F e r m i 1953). Cykl prac S. C h a n d r a s e k h a r a i N .R . L e b o v i t z a dotyczących stabilności i oscylacji rotujących mas jest nowym, bardzo owocnym jego zastosowaniem.

W kartezjańskim układzie współrzędnych, rotującym wokół osi * 3 ze stałą szybkością kątową fi, omawiane równanie przyjmuje postać (N .R . L e b o v i t z 1961): -— f p x li j dT+ 2Sj3l U f p X iV ^ T ^ f pUi Uj dr + S^P - f p x t dr + v v v v OXj

(i)

+ J i2 / i;. - 5 3 . f i 2 / i3ł j = 1, 2, 3 / = 1 ,2 , 3 gdzie oznaczono: *,■ — wektor położenia,

Uj — makroskopowa prędkość cząstek, p — gęstość,

P — ciśnienie, P = / pdr, v ij ~ tensor bezwładności, B — potencjał grawitacyjny,

— tensor jednostkowy całkowicie an ty symetryczny, ^ ij ~ symbol Kroneckera.

Wszystkie całkowania wykonuje się po całej objętości cieczy.

Warunek równowagi otrzymuje się kładąc U . = 0, jest on oczywiście jedynie warunkiem koniecznym. W celu zastosowani^ równania (1) do badania stabilności figur równowagi przyjmuje się m ałą zmianę położenia postaci:

= xi ~ xiot

gdzie xio jest wartością xi w położeniu równowagi. Podstawiając xio + ^ w miej­ sce x . w równaniu (1), zaniedbując przy tym kwadraty i wyższe potęgi otrzy­ muje się szukaną postać równania wiriału:

Zastosowanie równania wiriału w teorii rolujących mas

237

d W a y i l

- J i r * - 2e / 3, n —

- ,fiJ lP‘ i - v<> -

^

+ ' ' 3i) +

+

» „ * - f i ( i

* ’

e )

v

^

gilzie dodatkowo oznaczono:

f* ,(xi

^

» /

n r

£

G p

---- ;---

L

----* = *i>,

fpetx,ir-Vti.

T en sor

V i}-

je s t tensorem wiriału (krócej: wiriałem) rzędu drugiego, a tensor

B ij

je s t wprowadzonym przez S . C h a n d r a s e k h a t a tensorem potencjału gra­

w itacyjnego.

Znalezienie ogólnego rozw iązania równania (2) możliwe je s t jedynie w wy­

padku cieczy jednorodnej i n ie śc iśliw e j — i to przy założen iu , że powierzchnią

figury równowagi je s t e lip so id a. P race C h a n d r a s e k h a r a i L e b o v i t z a

dotyczące tego wypadku s ą w znacznej mierze nowym podejściem do dawno już

rozwiązanych problemów. Tym niemniej porównanie stosow anej przez tych auto­

rów metody z metodami klasycznym i w tym problemie stanow ić będzie chyba

dobrą je j ilu strację.

Przypomnijmy na w stępie rozumowanie prowadzące do zn alezienia k ształtu

elipsoidalnych figur równowagi. Z warunku równowagi hydrostatycznej w ukła­

dzie rotującyin ze s t a łą sz y b k o śc ią kątow ą wynika, że na powierzchni cieczy

spełnione je s t równanie:

B

+ ^ f i 2 (x 2 +

xfy -

co n st.

(3)

J e ż e li założym y, że powierzchnia ta je st e lip so id ą o równaniu:

X \ x 2 * 3 i

— - + — + - * • =

1

(4)

i przyjmiemy, że je s t ona wypełniona c ie c z ą o s ta łe j g ę s to sc i, to poten cjał gra­

w itacyjny na niej wyrazi s i ę wzorem:

238 V/. Dziembowski

Uwzględniając tę postać potencjału w równaniu (3) dostajemy:

r d\ “la 2a 3 / 7—

----J

( ° i + i

r\

*

ft2

+ A)A 277Gp r ° ° d. a

io2a 3 /

—.—

J

(a + d\ O 2 2 + A)A 2 nGp x\ + r d\ i , °la 2 a 3 / " --- * 3

J

( o

2

+ A)A I const.

Porównując otrzymane równanie z równaniem (4), dochodzimy do dwóch wa­ runków na osie elipsoidy:

i- i - V 2 2 a l a 2 a\ ' {/A (a l + A) A = 0 . (5) O 2

12nUp ~

a\a3 ° 2 ArfA

Pierwszy z nich spełniony jest, gdy

oi = a 2 albo

/T°

a l a 2 a 3 It/A o-/

j

(o 2 + A) (o j + A) o2 + AJ A = ° ‘ o

Każde z tych równań łącznie z drugim z równań (5) wyznacza przy danym

fi2

elipsoidę z dokładnością do podobieństwa. Pierwsza alternatywa daje ro­ dzinę elipsoid obrotowych zwanych sferoidami Maclaurina, przy czym łatwo sprawdzić, że istnie ją one jako figury równowagi przy dowolnej dodatniej

war-f i2

tości p a r a m e t r u W y n i k a j ą c a z drugiej możliwości rodzina elipsoid Jacobie-O 2

go istnieje dla ——— >0,187.

p

Rodziny sferoid Maclaurina i elipsoid Jacobiego tworzą liniowe ciągi figur równowagi, które przy ustalonych wartościach masy i momentu pędu reprezentu­ j ą ewolucję formy rotującej cieczy w czasie jej powolnej ekspansji lub kontrak­ cji. Rozpatrując ten drugi proces, zaczynamy od małych wartości parametru

Z astosow an ie równania wiriału w teorii rotujacych m as

239

f i 2

^TrCjp

* Wtedy jed yn ą elipsoidalną figurą równowagi j e s t sferoida Maclaurina

o spłaszczeniu wzrastającym ze wzrostem wartości parametru. Sferoida odpowia-

il

2

d a j ą c a = 0,187 je s t jednocześnie pierwszą z elipsoid należących do serii

Jaco b iego. Dla większych wartości parametru obie serie istnieją równolegle.

Problem, którą z tych form przyjmie kontraktująca planeta, wiąże się z pro­

blemem stabilności tych figur równowagi i był przedmiotem obszernych badań

głównie P o i n c a r e , D a r w i n a i C a r t a n a . Nie je s t celem niniejszego

artykułu przedstawienie klasycznego u jęcia tych problemów, które z r e s z tą do­

czekały się licznych monograficznych opracowań — wśród nich może najlepsze

je s t dziełem L y t t l e t o n a (1953). Tutaj ograniczymy się tylko do teg o,co je s t

konieczne dla zrozumienia wartości nowej metody.

Przyjmiemy, że za stabilną będziemy uważali figurę równowagi, której do­

wolna, byle dostatecznie mała, perturbacja prowadzi jedynie do o scy lacji o od­

powiednio małej amplitudzie. W wypadku badania równowagi względem układu

rotującego ze s t a ł ą s zy b k o ś c ią kątową, żądanie silnego minimum energii poten­

cjaln e j* konfiguracji względem wszystkich możliwych je j odkształceń j e s t wa­

runkiem wystarczającym dla stabilności, ale nie koniecznym. Figurę stabiln ą

według przyjętej definicji nazywa się sta b iln ą w sen sie zwykłym. Natomiast

figurę p o s ia d a ją c ą p ow yższą w łasność energii potencjalnej nazywa się stabil­

ną wiekowo. Nazwa ta pochodzi stą d , Ż3 uwzględnienia sił tarcia prowadzi

w wypadku figury stabilnej w sensie zwykłym, a niestabilnej wiekowo do odda-

lania s ię jej od położenia równowagi z s zy b k o śc ią określoną w ielk ością współ­

czynnika tarcia, podczas gdy dla figury stabilnej wiekowo siły tarcia powodują

jedynie tłumienie o sc y la c ji. Charakter zastosowań sprawił, ze pierwotnie

znaczenie astronomiczne wiązano z tym ostatnim rodzajem stabilności.

Dla zbadania stabiln ości wiekowej figury równowagi należy wyznaczyć

zmiany potencjału na jej powierzchni związane z dowolną, małą deformacją.

Metoda zastosow ana do tego celu przez P o i n c a r e , a następnie rozwinięta

przez D a r w i n a , polega na przedstawieniu małej deformacji w postaci sze ­

regu powierzchniowych harmoników elipsoidalnych. Krzywoliniowe współrzęd­

ne elipsoidalne wyznaczone s ą przez trzy rodziny wzajemnie ortogonalnych

powierzchni. Oznacza się je zwykle A, /i,

u.

_{We współrzędnych kartezjańskich}

równanie A = const, przedstawia elipsoidę, równania

ft

_{= const, i}

v

_{= const, od­}

powiednio hiperboloidę jedno- i dwupowłokową. D la znalezienia postaci e lip so i­

dalnych harmoników szuka się rozwiązania równania L a p l a c e ’a V

2(t>

_{(A,/x,v) = 0}

w postaci: $ = L(A)M(/i)A/(v). C ałk ą ogólną równania L a p la c e ’ a we współrzęd­

nych elipsoidalnych je s t kombinacja liniowa rozwiązań szczególnych postaci:

gdzie wskaźnik

i

= —

n, —n +

1, . . . 0 . . . n — 1,

n ,

a wskaźnik n

*P o d słowem: en ergia p oten cjaln a rozumie s ię tutaj energię w yn ik ającą z graw itacji i ruchu obrotowego, w dalszym ciągu będzie to przyjmowane bez objaśn ień .

240 W. Dziembowski

przebiega wartości od zera do nieskończoności i je s t stopniem wielom ianu, jak im je s t odpow iednia funkcja wyrażona we w spółrzędnych k artezjaóskich. Na pow ierzchni e lip so id y funkcje tw orzą u kład zupehiy z warunkiem ortogonalności:

jćiM*NnM? N " d s =

0 dla

i

£

i '

i

n4=n',

gdzie 5

=

,— ..

* * * \ (iv

Zatem k a ż d ą funkcję całk ow alną określoną na powierzchni elipsoidy można rozwinąć n a szereg fu nk cji

J e ż e li składo w ą norm alną zmiany położenia punktu pow ierzchni elip soidy przedstaw ić w postaci: 1t • = C l a; to odpow iadająca je j zm iana ener­ g ii potencjalnej wyrazi się wzorem:

M W ) * ds,

i , n J

gdzie zaniedbano wyrazy rzędu T i w yższych. W spółczynniki (3. zm ie n ia ją się w określony sposób w zd łu ż serii figur równowagi. Z pow yższego wzoru w ynika, że n a to aby figura re alizo w a ła silne minimum energii potencjalnej potrzeba i wystarcza, by wszystkie w spółczynniki były dodatnie. Wtedy bowiem dowolna, m ała je j deformacja będzie prow adzić do wzrostu potencjału.

Badanie tych w spółczynników dla sferoidy M aclaurina prowadzi do w niosku,

q

2

Q

2

że je s t ona stab iln a wiekowo dla wartości parametru ^ < 0,187. D la =

2 2

= 0,187 i deformacja proporcjonalna do ^

_2^2

p ize pr0wadza sferoidę M aclaurina w elipsoidę Jacobiego. Podobne badanie dla serii tych nowych figur równowagi w skazuje, że d la pewnej, za le żn e j od przyjętej jedno stk i gę sto śc i, wartości parametru figura ta traci stab ilność wiekową. Przy czym w punkcie tym pojaw ia się nowa seria figur równowagi o k ształcie ju ż nieelipsoidalnym .

Badanie stab ilno śc i w sensie zwykłym sprowadza się do dyskusji rozw iązań rów nania ruchu cieczy w sąsiedztw ie położe nia równowagi. Równanie to w ukła­ dzie rotującym ze sta łą szy bk o śc ią kątow ą ^ wokół osi * 3ł przy założeniu

p = const, można napisać w postaci:

dU. d l

P ~dtL

+

2p£>31

n U l = ~ 7 7 .

(p +

P B ~ 2 ^ x *3

\

(

6

)

Założenie n ie ś c iś liw o ś c i cieczy pociąga:

Z astosow an ie równania wiń atu w teorii rotujacych m as 241

Podstawienie w tych równaniach:

*< = * i o + i ' - i6t F = F 0 +<pe-i6t

gdzie:

F

= " ~ + B —jj" ^ x x , a wskaźnik 0 oznacza, że odpowiednią wielkość

bierze się w położeniu równowagi — prowadzi, po zaniedbaniu kwadratów.i wyż­

szych potęg £ i ^>do równań:

t Xi = a 2 ^ + 2 ia & > - £ - = ° X - - ^ = o 2 4

3

(

7

)'

dii

<^3

—— + ---+ ---= 0,

dx 1

dx2

dx3

które rządzą małym ruchem cząstek cieczy w sąsiedztw ie położeń równowagi;

dla rozwiązania tych równań konieczny je s t warunek brzegowy, którego dostar­

cza wyrażenie zmian potencjału poprzez s't na powierzchni konfiguracji — mamy

mianowicie:

f R km

tpćods = 2< / / o -

H hm) f R kml

S ds,

₍

₈

₎

gdzie:

= L hM kN ht a współczynniki (H0 — Hhn) dane s ą dla danej figury

rownowagi. Funkcji Ś J ip będących rozwiązaniami tych równań szuka się w po­

staci szeregów:

3 3 3

= 2

L ihi xki +

2

Liklk2

+ ... + 2 LiAi ...

...

xh^ + . . .

k i / i * i . * a / i k u „ . k n

3 3 3

^ i i x ii + ^ ^ A / a x iix ji + • • • + 2 ... j X jx • • ■ x j + • • • ,

ń/i

ń.«/i

ń...wn/i

gdzie pominięto wyrazy stałe, jako nieistotne w rozważanym zagadnieniu.

Podstawienie tych szeregów do (7) i (8) sprowadza problem do rozwiązania

układu równań algebraicznych liniowych i jednorodnych na niewiadome L ik i K-.

Żądanie istnienia ich niezerowych rozwiązań pociąga znikanie wyznacznika

242 If. Dziembowski

współczynników przy niewiadomych (wyznacznika sekulamego), które dostarcza ciągu wartości a n. Ogólnie, s ą to wielkości zespolone, przy czym ich części rzeczywiste d a ją częstotliwości oscylacji, a urojone charakteryzują szybkość eksponencjalnego wzrostu lub malenia odpowiednich amplitud* Z definicji wynika, że warunkiem koniecznym i wystarczającym dla stabilności w sensie zwykłym jest, aby części urojone wszystkich v n były mniejsze od zera. Punkty na seriach Maclaurina i Jacobiego, w których odpowiednie figury tracą stabil­ ność w sensie zwykłym zostały znalezione przez C a r ta n a (1922) na podsta­ wie dyskusji wyznacznika sekulamego, bez podania pełhego przebiegu żadnej z wartości.

D la przedstawienia w zarysie metody C h a n d r a s e k h a r a i L e b o v i t z a znajdywania przebiegu częstotliwości oscylacji elipsoidalnych figur równowagi wróćmy do równania wiriału w postaci (2). Równanie to w istocie przedstawia układ dziewięciu równań różniczkowych liniowych, jednorodnych na składowe tensora wiriału. Założenie p = const, pozwala w przypadku figury elipsoidalnej

f

d Bij dr

na wyrażenie J P — ---- jako kombinacji liniowej składowych Vi . w formie:

v ° xi

3

a .. ( F. . + V■■) + 8. I A- V . I I ' I J ] V i j n l T r T T ’

t/i

gdzie: i Air wyrażają się prosto przez długości osi elipsoidy oraz przez war­ tość stałej gęstości konfiguracji.

Warunek nieściśliwości materii div - 0 pozwala na znalezienie dodatkowe­

go związku pomiędzy składowymi tensora V^:

F 11 ^ 2 2 „ — Li. + _ ł £ . +_ ł L = o

o 2 2 2

l a 2 « 3

Z astosow anie rów nania w iriatu w teorii ro tu ją eych mas

243

1’rzy n a p i s a n i u dwóch o s t a t n i c h ró w n o ś c i sk o r z y s t a n o z t w i e r d z e n i a G a u s s a . O trzym any z w ią z e k u m o ż liw ia wyelimin owanie n ie w i a d o m e j . O s t a t e c z n i e do­ c h o d z i s i ę do o śm iu równarf r ó ż n ic z k o w y c h i j e d n e g o a l g e b r a i c z n e g o na s k ła d o w e

' U k ła d te n z o s t a ł po r a z p i e r w s z y u z y s k a n y i r o z w ią z a n y p r z e z L e b o v i t z a (1961).

W ielkości V (j w ro zw ażanym p rzy p a d k u m a j ą p r o s ty z w ią z e k ze w sp ó ł­ cz y n n ik a m i ro z w in ię c ia n • Ę n a sz e re g p o w ie r z c h n io w y c h h a rm oników . T e n s o r

V u m o ż n a r o z ł o ż y ć n a c z ę ś ć s y m e t r y c z n ą i antysy metry czną:

C z ę ś ć s y m e t r y c z n a r e p r e z e n t u j e d e f o r m a c ję , a c z ę ś ć a n ty s y m e tr)c z n a o b ró t k o n fig u ra c j i ( j e s t w ię c d l a n a s n ie in te r e s u j ą c a ) . D l a s k ła d o w y c h sym etrycznego

t e n s o r a m o ż n a w y k a z a ć z w ią z e k ( L e b o v i t z 1961):

1

/

1

c

»

T v i i + Vi i ) " T J pXi Xi n d s ’ V

w którym c a ł k o w a n i e w ykonuje s i ę po p o w ie r z c h n i f ig u ry . I lo c z y n y m o ż n a p r z e d s t a w i ć j a k o l in i o w e kombinacje p ię c iu p o w ie r z c h n io w y c h harmoników r z ę ­ du d ru g ie g o i n i e i s t o t n y c h tu s t a ł y c h . O i t o g o n a l n o ś ć p o w ie r z c h n io w y c h harmo­

ników p o c i ą g a z a t e m , ż e k a ż d ą z e sk ła d o w y c h t e n s o r a m o ż n a p rz e d ­

s t a w i ć w p o s t a c i k o m b in a cji lin io w y c h w s p ó ł c z y n n i k ó w r o z w i n i ę c i a — i d a l e j , że c z ę s t o t l i w o ś c i zm ian ic h w i e l k o ś c i s ą c z ę s t o t l i w o ś c i a m i o s c y l a c j i z w i ą z a n y ­ mi z d efo rm ac ja m i k o n fig u ra c ji pro p o rc jo n aln y m i do harmoników rz ę d u d ru g ie g o .

Dla z n a l e z i e n i a c z ę s t o t l i w o ś c i o s c y l a c j i k o n f ig u r a c j i, której deformacje s ą p r o p o rc jo n a l n e do harm oników rz ę d u t r z e c i e g o , C h a n d r a s e k h a r (1 932) wpro­ w a d z ił r ó w n a n ie w iriału r z ę d u t r z e c i e g o . M e to d a je g o o tr z y m a n ia j e s t z u p e ł n i e a n a l o g i c z n a ja k w p r z y p a d k u p o p r z e d n ie g o r ó w n a n ia , k tóre d l a o d r o ż n ie n ia na­ z y w a się równaniem w iria ł u r z ę d u d ru g ie g o , z t ą r ó ż n i c ą , ż e m n o ż e n ie d i a d y c z n e równań ruchu w y k o n u je się p r z e z il o c z y n d ia d y c z n y x iXj • W z a s t o s o w a n i u do m a łe g o ruchu w o t o c z e n i u p o ł o ż e n i a równow agi o m a w ia n e rów nanie przyjm uje p o s t a ć :

244

_{V/. Dziem bow ski}

W równaniu tym przyjęte zostały oznaczenia:

Vijk

=

JpŹiX jX hdT, Mijk

= - ! / o

BtjXkdr,

] ijk = f P xi xj xkdT> P i = f P Xidr.

R o zw iąz a n ia jego podane zostały przez C h a n d r a s e k h a r a i L e b o v i t z a (1963a, b). W yeliminowanie P P 2 i P 3 możliwe je s t dzięki istn ie n iu trzech zw iązków między składowymi tensora ^ y * w ynikających z warunku n ie ś c iś li­ w ości. dMijię daje się przedstaw ić jak o kom binacja lin io w a Vi i Viik , gdzie

= f p ^ d r i przez analogię nazywa się tensorem w iriału rzędu pierwszego. V

F izycznie przedstaw ia on zm ianę położenia środka masy konfiguracji, a zatem bez straty ogólności w rozważanych tutaj problemach m o żna p rzy jąć V. = 0. Tensor V^ p o siad a analogiczny zw iązek ze w spółczynnikam i przy harmonikach rzędu trzeciego w rozw inięciu n • £ co tensor ze w spółczynnikam i przy har­ monikach rzędu drugiego. Otrzymany zbiór w artości charakterystycznych wy­ z n a cznik a sekulam ego równań n a Vi - i Vi j h, przy postaci szukanych rozw iązań

- iQ ł - i (S t

• lj = Vi;- (O) e i Vi j k = Vijk (O) e , daje częstotliw ości osc y la cji sferoidy M aclaurina i elipsoidy Jacobiego zw iązanych z deformacjami do harmoników rzędu trzeciego w łąc zn ie . Istnie nie w rozw inięciu n* J harmoników rzędów wyż­

szych nie m a wpływu na otrzymane w artości często tliw o śc i, dodając jedynie nowe ich wartości. Z n a le z ie n ie ic h , dzięki znalezionym przez tych autorów wzorom rekurencyjnym, je s t spraw ą elementarnego, chociaż dość u ciążliw e g o rachunku. Prace C h a n d r a s e k h a r a i L e b o v i t z a potw ierdziły dawne wnio­

sk i dotyczące stab ilności elip soidaln y ch figur równowagi w sensie zwykłym, ja k i wiekowym. Nowym rezultatem je s t podanie przebiegu c zęsto tliw o śc i oscy­ la c ji w zdłuż serii M aclaurina i Jacobiego. Wynik ten jednakże nie wydaje się m ieć bezpośredniego zasto sow ania w problemach astronomicznych.

W łaściw e znaczenie zastosow ania równania wiriału w teorii rotujących mas polega na m o żliw o ści z n a le z ie n ia przy jego użyciu częstotliw ości o sc y la c ji mas ściśliw ych i niejednorodnych (p = p (xj)). W tym og ólniejszym przypadku nie je s t m ożliw e sprowadzenie rów nania (2) do postaci, w której jedynym i zmiennymi n iezależny m i byłyby składowe tensora F^y. Rów nanie to m ożna traktować jako u k ła d równań całkowych n a niewiadome ęit ale w ogólności nie może ono do­

starczyć jednoznacznych ro zw iąza ń , poniew aż prawdziwe m u sz ą spełhiać dodatkowe warunki, na przykład w postaci równań w iriałów wyższych rzędów . Tensorem w iriału n-tego rzędu będziemy nazy w ali tensor zdefiniow any wzorem:

^ i h i 2- • • / „ . ! - / P Śixi i xi 2 " ’ * xi n. ldT ‘ 1 V

Z astosow an ie równania w iriahi w te o rii rolujących n a s

245

Jeżeli

przedstawimy w postaci szeregów:

= Z L ikixki +

1

+ “ * »

to składowe tensorów wiriału można przedstawić jako kombinacje liniowe współ­

czynników tych szeregów, a mianowicie

^ i j i = S L i k l l k l j l + 2 L i k i k j k 1k t j l + ' " + k i k i t k 2 • ••-+- X Lj i i k l , k i . . . k n ‘ * 1 * 1 . . . * n * 1 * 1 . . . * n ;'i + • • • L i k j k l j l . . . j n + 1 L i k l k j k l k i , \ . . . i + - - - +

*i

+ 1 i i k l k 2 . . . k n l k l k , . . . k n i l . . . i m + • • •

n

Wielkości

A - . . . .•

= J p x k . •. x k x-

. . . *.•

cćr s ą uogólnieniem

skła-f i ' * m \ * u 1 ' m

dowych tensora bezwładności dla konfiguracji w położeniu równowagi. Ze związ­

ków ty cli wynika, że dla znalezienia ^ jako szeregów potęgowych z wyrazami

do rzędu n-tego włącznie trzeba rozwiązać równania wiriałów do rzędu n+l-szego

włącznie. Równania poszczególnych rzędów s ą od siebie zależne, a zatem war­

tości częstotliwości oscylacji konfiguracji zależą na ogół od tego, ile wyrazów

zachowa się w rozwinięciach.

C h a n d r a s e k h a r i L e b o v i t z (1962c) rozwiązują równanie (2), przyj­

mując

=

Z

L ikx ke ,

przy czym uważają, że otrzymane stąd częstotliwości

k

oscylacji nie będą różnić się znacznie od tych, jakie otrzymałoby się przy

ścisłym traktowaniu zagadnienia. Jako uzasadnienie podają, że postępowanie

takie j e s t poprawne w wypadku figur jednorodnych, oraz to, że w wypadku nie

rotującej konfiguracji sferycznej to upraszczające założenie nie prowadzi do

wielkich błędów.

R ezygnacja z założenia nieściśliw ości formalnie powoduje zmianę w meto­

dzie eliminacji 5P z równania (2). Przyjmując, że oscylacje odbywają się

w sposób adiabatyczny, mamy związek:

246 IT. Dziem bow ski

Równanie c ią g ło śc i, przy przyjętych oznaczeniach, przyjmuje p o s ta ć :

P 1

K o rzy stając z tych dwóch związków można łatwo pokazać, że

8P = - (y - 1) f p div

dr = - X (y - 1) L u f p dr eĄ‘ ,

V 1 V

gdzie przy napisaniu drugiej równości zo sta ła wykorzystana założona p o stać

Uwzględnienie w równaniu (2) uproszczonej p o staci ^ i otrzymanego wyra­

żenia na SP prowadzi do układu równań na niewiadoma współczynniki L ik :

^

L j k l

= ^ ^ ) h i

~

^

~ Ll>Mrl;ij + L rrS ij f P dr

_{i V} • / *

dBU

Oznaczono tu ,//3 *r --- ~ ^ r l - i i '

3malez*« n>® rozwiązań tego układu

ko-n ieczko-na je s t zko-najom ość w artości

i f p d r .

W szystkie te w ielkości dadzą się w yznaczyć, je ś li znana j e s t struktura

figury równowagi. Skomplikowaną p o stać tensora

sugeruje znaczne trudno­

ści rachunkowe zw iązane z jego wyznaczaniem , jednakże z o sta ją one w znacz­

n ej mierze usunięte dzięki wykazanym przez autorów (Chandrasekhar i Lebovitz

1962a) związkom, jakie sp e łn ia ją jeg o składow e. Ju ż bez jakichkolw iek zało­

żeń odnośnie kształtu zależn o ści p = p f*;), c z ę ść składowych tensora można

wyrazić przez pozostałe oraz przez składowe tensora energii potencjalnej

M

ij

= —"ń Sp

dr. Założenie symetrii rozkładu g ę sto śc i względem trzech p łasz

-Z

czyzn układu odniesienia p o ciąga znikanie niediagonalnych składowych ten­

sorów /.y i Mi;. . Ze składowych tensora

nie zn ik ają tylko te, w których

k ażda z w artości wskaźników powtarza się p a rzy stą ilo ść razy. Przy tym zało­

żeniu warunek równowagi wynikajacy z równania (1) przez położenie w nim

U j = 0 , daje:

M ll + n

2

lu = M

22

+ n

2

l

22

= M

3 3

= - f p dr.

(W)

Równania te w wypadku modeli politropowych pozw alają na algebraiczne

wyrażenie M

poprzez fi i I it. Dodatkowe założenie symetrii osiow ej redukuje

problem w yznaczenia współczynników w równaniach (9) do w yliczenia jednej

Z a s t o s o w a n i e równania wiriału w teorii rotują cych m as 247

s p o ś r ó d n i e z n i k a j ą c y ch s k ła d o w y c h Mr l ; i - n a p o d s t a w i e d e f in i c ji dwóch różnych składow ych dia gonalnych / £/- o r a z do prostych o p e r a c ji a l g e b r a i c z n y c h . W wy­ padku sy m e trii sferycznej d la wy z n a c z e n i a w s z y s t k i c h s k ła d o w y c h t e n s o r a Mrl;ij w y s t a r c z a z n a j o m o ś ć e n e r g ii p o t e n c j a l n e j M = 2

R ó w n a n ia (9) z o s t a ł y r o z w i ą z a n e przy z a ł o ż e n i u tych dw óch o s t a t n i c h ty ­ pów s y m e tr ii, przy czym w a r t o ś c i l i c z b o w e p o d a n e d l a m odeli politro p o w y c h dla kilku w a r t o ś c i w y k ł a d n i k a p o lit r o p y ( C h a n d r a s e k h a r i L e b o v i t z 1962c). W z a s t o s o w a n i u do n i e r o t u j ą c e j , sfeiy c zn e j masy u k ł a d (9) p o z w a l a n a n i e ­ z a l e ż n e tr a k t o w a n ie na s k ł a d o w e d ia g o n a l n e t e n s o r a L ik ( w s p ó ł c z y n n i k i L ik t w o r z ą t e n s o r , co j e s t w id o c z n e z e wzoru n a ę^), o r a z n a k a ż d ą p a r ę je g o n ie - d ia g o n a ln y c h s k ła d o w y c h L . k i L k i . T rz y par}' równań n a L ik przy i £ k d o s t a r ­ c z a j ą dwóch ty pów n i e z e r o w y c h r o z w ią z a ń

Lik = ~ Lki i k = ~ u k i d l a A

2

= 0

> L i k = L k i dl a A2 = - j , g d z i e

l = 2 1u .

P i e r w s z e z tych ro z w ią z a ń r e p r e z e n t u j e o b r ó t k o n fig u ra c ji; w zg lę d em tego ro d za ju p e r t u r b a c j i k o n f i g u r a c j a j e s t z a w s z e w r ó w n o w a d z e o b o j ę t n e j . C z ę s t o ­ tli w o ś c i o s c y l a c j i d a n e s ą w y r a ż e n i e m . R ó w n a n ia na L 22 i ^ 3 3 d o s t a r c z a j ą , ja k o warunku n a i s t n i e n i e n i e ­ zerowych r o z w i ą z a ń , dwóch w a r t o ś c i A2? a m ia n o w ic ie = ~ 7 i A2 = (3 y — 4 ) - ^ • 5 / / P i e r w s z e j z n ic h o d p o w i a d a j ą o s c y l a c j e z a c h o w u j ą c e o b j ę t o ś ć (L j j + i 22 + + ^ 3 3 = 0 ) , drugiej o s c y l a c j e r a d i a l n e ( ^ 1 1 = £ 2 2 = L 3 $). Z w y ra ż e ń ty c h wyni­ k a , ż e k o n f ig u ra c j a j e s t z a w s z e s t a b i l n a w z g lę d e m p i e r w s z e g o typu o s c y l a c j i , bo z a w s z e M < 0 i / > 0, n a t o m i a s t j e s t n i e s t a b i l n a w z g lę d e m p e r tu r b a c j i ra- 4 d i a ln y c h przy y < —• D la y = 1 ,6 o tr z y m a n e c z ę s t o t l i w o ś c i z l e w a j ą s i ę i wtedy

r ó w n a n ia n i e d a j ą ż a d n e g o z w ią z k u pom iędzy sk ła d o w y m i L ik .

W wypadku k o n f ig u ra c j i o sym etrii o s i o w e j z ^ £ 0 r ó w n a n ie (9) d a je się s p r o w a d z i ć do t r z e c h n i e z a l e ż n y c h u k ła d ó w rów na ń na trzy grupy n ie w i a d o m y c h :

L 13

r

L

23> L 3

i

, L 3i ;

^ 1 2 + ^ 2 1> L 22 ~ L W

L 3Z> ^ 1 1 + L

22

, ~ ^ 2 1 * O s c y l a c j e z w i ą z a n e z p i e r w s z ą z n ic h m a j ą p o s t a ć :

248

W. Dziem bow ski

^ 1 ^ 1 3 * 3 6 j ^ 2 - ^ 2 3 X 3e > ^ 3 ~ ^ 3 1* 1 + ^ 3 2*2^ e

Geometrycznie reprezentują one, między innymi, przesuwanie się biegunów konfiguracji w kierunkach przeciwnych względem osi obrotu. D la powolnych rotacji wzory na częstotliwości oscylacji przyjmują poniższą asymptotyczną postać:

a

+

-VF±2 fi(i~p,

o _

= -v?±2 fi(i~p,

aD = ±a~ ,

gdzie

^ 1 3 ; 1 3 13 ^ 1 3 : 1 3 ^ 3 l j 13

r

— >

v-

,--- _ _ _ _ _ _

11 ! 33 / l l / 33

K ładąc w tych wzorach ft = 0 otrzymuje się wyrażenia na częstotliwości w uzyskanej poprzednio postaci:

Wm

,

<7_ = - a + a o = 0 .

Autorzy zwracają uwagę na analogię roli rotacji w problemie oscylacji masy z rolą pola magnetycznego w efekcie Zeemana. Wartości o+, o_, a 0 dla modeli politropowych (p = kpl n) z n = 1 i 3,5, wyrażają się w jednostkach

V c (Pi — gęstość centralna) wzorami:

n = 1 ff+ = - a _ = 0,394 (1 + 0,311i/) ± 0,354 (1 + 0,0466v) y/v, a 0 = ± 0,033vV

n = 3,5 a+ = -<,_= 0,366 (1 - 7,931^) ± 0,354 (1 + 6 , 7 l M y'*7, = ±4,745V?

fi2

gdzie v =

2

n Qp » cał° ś ć rachunków prowadzona była z dokładnością do kwadra­

tów tej wielkości (wyłącznie). Przytoczone są tutaj jedynie wartości częstotli­ wości oscylacji politropowych mas dla skrajnych wartości spośród pięciu, dla których zostały wykonane przez autorów rachunki, ze względu na to, że wartości

liczbowych współczynników zm ieniają się monotonicznie z n.

Częstotliw ości oscylacji otrzymane z drugiej grupy równań wyrażają się wzorem:

Zastosow anie równania wiriatu w teorii rolujących mas

249

q 2 = 2 -

i 2 O (2 A/l2; 1 2 - f t 2) * .

/ 1 1 / l l

1 2 - 1 2

Ł a tw o spraw dzić, że d la to2 = — j- 1---- yO2 = 0. D la d o sta te c z n ie m ałych

war-12

^ 1 2 * 1 2

to ś c i f i 2, o 2 > 0, bo dla fi = 0 , M12. 12 > 0 . W artość O,2 ---1— o d p o w ia d a n a

^ 1 1

liniow ej s e rii niejednorodnych figur równowagi p o siad ający ch sym etrię osiow ą

punktow i analogicznem u do punktu ro z g a łę z ie n ia n a s e rii M aclaurina, w którym

pojaw ia s ie s e ria Ja c o b ie g o . Można bowiem pokazacf, w ychodząc z równan (10)

i w łasn o ści te n s o ra

że is tn ie je s e ria figur równowagi n ie p o siad a jący ch

^ 12

•

12

•

/

sym etrii o sio w ej, d la których w arunek f i 2 = ---1— spełniony j e s t to ż sa m o śc io ­

wi

1

wo. W yrażenia n a cr2 d la tych o s c y la c ji przy fi -» 0 dla modeli politropow ych

(w je d n o stk a c h 4irG pJ s ą odpow iednio

o 2 = 0,155 - 0 ,3 3 9 v ± 0,557 (1 - 2 ,7 0 7 „)v/»'1

d i a n = 1

i

o 2 = 0,051 - 1,581 v ± 0 ,3 1 9 (1 - 20,376v)V »'’ d la n = 3,5

N ajb ard z iej in te re su ją c e z punktu w idzenia zastosow ań a stro fizy czn y ch s ą

ro z w ią z a n ia trz e c ie j grupy rów nań, poniew aż p o zw alają one n a o k re śle n ie wpły­

wu ro ta c ji n a p o d staw o w ą c z ę s to tliw o ś ć p u ls a c ji rad ialn y ch . P rzyrów nanie do

ze ra w yzn aczn ik a sekulam ego tej grupy równań d o sta rc z a trz e c h w a rto ści ^ 2,

z których je d n a j e s t s ta le równa z e ru . O d rzu cen ie teg o ro z w ią z a n ia p o c ią g a

L l2 = L 2l = 0. P o z o s ta łe dwie w arto ści d la fi -» 0 przyjm ują a sy m p to ty czn ą po­

s ta ć :

250 _{V. D ziem bow ski}

a r = (3 y - 4) (0,194 -0,394^) o 2s = 0,155 + 0,575^ d la n = l ,

",2 = (3 y - 4 ) (0,064-1,667^) + i Vf a ] = 0,051 - 0,219i/ dla n = 3,5.

Te asymptotyczne wyrażenia na częstotliwości oscylacji są poprawne dla y dostatecznie odległych od wartości 1,6. D la y = 1,6 odpowiednie wartości o 2 wynoszą f +0,666 v a 2 = 0,155.J d l a n = 1 [-0,073 u f +0,072 v a = 0,051

J

dla n = 3 ,5 . \ -1,291 v

Dl a dostatecznie odległych od 1,6 przy O -* 0 przyjęcie A2 - _ a 2 prowadzi

L n L 22

do wartości ilorazu —-- - --- bliskiej jedności, położenie zaś A2 _ _ 0 1 d0 war* 3 3 ^ 3 3

tości bliskiej —A, a zatem jako wypadkową otrzymuje się zuperpozycję oscylacji ,,niem al” radialnych i , , niemal” zachowujących objętość. W wypadku y = 1,6

Ln

sytuacja jest zupełnie inna, bowiem odpowiednie wartości----w ynoszą-0,186 L 3 3

i 2,687 dla n = 1 oraz -0,096 i 5,201 dla n - 3,5, a zatem nawet dla bardzo

po-.

L H

wolnych rotacji nie ma nawet w przybliżeniu pulsacji radialnych. Poniew aż—--L 3 3 je st ciągłą funkcją i y poza punktem (0, 1,6) sytuacja ta ma miejsce w pewnym otoczeniu y = 1,6 byle niezbyt blisko fi s= 0. Brak oscylacji radialnych dla ta­ kiej konfiguracji powinien, w wypadku warunków fizycznych podtrzymujących pulsację, prowadzić do wzbudzenia oscylacji związanych z harmonikami wyż­

szych rzędów. Taką sytuacją C h a n d r a s e k h a r i L c b o v i t z (1962d) tłuma­ czą istnienie wielu okresów u gwiazd typu fi Canis Maioris, dla których ocenia­ na średnia wartość y je st bliska 1,6.

Z tego co dzisiaj wiemy na temat rotacji gwiazd i ich struktury można, cho­ ciaż bardzo grubo, oszacować wartość parametru v. Okazuje się, że jego ma­ ksymalna wartość je st rzędu 0,01. Przy takiej jego wartości wpływ rotacji na

częstotliwości jest znaczny szczególnie dla politrop z dużą wartością n. Dla drugiej grupy oscylacji (L 2 2 — L u , L 2 1 +• L j j) dla n = 3,5 o 2 = 0 przy v = 0,015, zerowanie się tej częstotliwości odpowiada utracie symetrii osiowej przez