Dodatek: obliczeniowe dane dla bigrafów Nakayamy (ang.)

(1)

Computational data for Nakayama bigraphs ∆n,r

Andrzej Mróz, 2015

We set ∆n,r := ∆(Λn(r)), qn,r := q∆n,r = qΛn(r), χn,r := χ∆n,r = χΛn(r).

Λn(r) = Nakayama algebra [recall: ∆n,r can be dened in a purely combinatorial way,

without referring to Nakayama algebra Λn(r) see course]

gl.dim Λn(r): n\ r 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 3 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 4 3 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 5 4 3 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 6 5 3 3 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 7 6 4 3 3 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) 8 7 5 3 3 3 2 (1) (1) (1) (1) (1) 9 8 5 4 3 3 3 2 (1) (1) (1) (1) 10 9 6 5 3 3 3 3 2 (1) (1) (1) 11 10 7 5 4 3 3 3 3 2 (1) (1) 12 11 7 5 5 3 3 3 3 3 2 (1) 13 12 8 6 5 4 3 3 3 3 3 2 14 13 9 7 5 5 3 3 3 3 3 3 15 14 9 7 5 5 4 3 3 3 3 3 16 15 10 7 6 5 5 3 3 3 3 3 17 16 11 8 7 5 5 4 3 3 3 3 18 17 11 9 7 5 5 5 3 3 3 3 19 18 12 9 7 6 5 5 4 3 3 3 20 19 13 9 7 7 5 5 5 3 3 3 21 20 13 10 8 7 5 5 5 4 3 3 22 21 14 11 9 7 6 5 5 5 3 3 23 22 15 11 9 7 7 5 5 5 4 3 24 23 15 11 9 7 7 5 5 5 5 3 25 24 16 12 9 8 7 6 5 5 5 4 26 25 17 13 10 9 7 7 5 5 5 5 27 26 17 13 11 9 7 7 5 5 5 5 28 27 18 13 11 9 7 7 6 5 5 5 29 28 19 14 11 9 8 7 7 5 5 5 30 29 19 15 11 9 9 7 7 5 5 5

(2)

Deniteness of qn,r: n\ r 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) 2 (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) 3 > (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) 4 > > (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) 5 > > > (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) 6 > > > > (>) (>) (>) (>) (>) (>) (>) 7 > > > > > (>) (>) (>) (>) (>) (>) 8 > > ≥ > > > (>) (>) (>) (>) (>) 9 > ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ > (>) (>) (>) (>) 10 > ≥ − − ≥ − − > (>) (>) (>) 11 > − − − − − − − > (>) (>) 12 > − − − − − − − − > (>) 13 > − − − − − − − − − > 14 > − − − − − − − − − − 15 > − − − − − − − − − − 16 > − − − − − − − − − − 17 > − − − − − − − − − −

Corank of ∆ = ∆n,r, that is, rank of rad ∆ = {x ∈ Zn: G∆x = 0} = {x ∈ Zn: φ x = x}:

n\ r 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 3 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 4 0 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 5 0 0 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 6 0 0 0 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 7 0 0 0 0 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) 8 0 0 1 0 0 0 (0) (0) (0) (0) (0) 9 0 1 2 1 1 1 0 (0) (0) (0) (0) 10 0 2 1 0 2 0 0 0 (0) (0) (0) 11 0 1 0 0 1 1 0 0 0 (0) (0) 12 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 (0) 13 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 21 0 1 2 0 0 1 2 1 2 1 1 22 0 2 1 0 1 2 1 0 1 0 2 23 0 1 0 1 2 1 0 0 0 0 1 24 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 25 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 26 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 28 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(3)

Classication of ∆n,r up to ∼Z (also ≈Z ?!) by ination algorithm: n\ r 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (A1) (A1) (A1) (A1) (A1) (A1) (A1) (A1) (A1) (A1) (A1) 2 (A2) (A2) (A2) (A2) (A2) (A2) (A2) (A2) (A2) (A2) (A2) 3 A3 (A3) (A3) (A3) (A3) (A3) (A3) (A3) (A3) (A3) (A3) 4 A4 D4 (A4) (A4) (A4) (A4) (A4) (A4) (A4) (A4) (A4) 5 A5 D5 D5 (A5) (A5) (A5) (A5) (A5) (A5) (A5) (A5) 6 A6 E6 E6 D6 (A6) (A6) (A6) (A6) (A6) (A6) (A6) 7 A7 E7 E7 E7 D7 (A7) (A7) (A7) (A7) (A7) (A7) 8 A8 E8 E˜7 E8 E8 D8 (A8) (A8) (A8) (A8) (A8) 9 A9 E˜8 ? E˜8 E˜8 E˜8 D9 (A9) (A9) (A9) (A9) 10 A10 ? E10 ? E10 E10 D10 (A10) (A10) (A10) 11 A11 E11 E11 D11 (A11) (A11) 12 A12 E12 E12 D12 (A12) 13 A13 E13 E13 D13 14 A14 E14 E14 15 A15 E15 16 A16 17 A17 18 A18 19 A19 20 A20 21 A21 22 A22 23 A23 24 A24 25 A25 26 A26 27 A27 28 A28 29 A29 30 A30

(4)

Mahler measure M(χn,r): n\ r 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 3 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 4 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 5 1 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 6 1 1 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 7 1 1 1 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) 8 1 1 1 1 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) 9 1 1 1 1 1 1 1 (1) (1) (1) (1) 10 1 1 1 1.176 1 1.176 1.176 1 (1) (1) (1) 11 1 1 1 1 1 1 1.230 1.230 1 (1) (1) 12 1 1 1 1 1 1 1 1.261 1.261 1 (1) 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1.281 1.281 1 14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.293 1.293 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.302 16 1 1 1 1 1 1 1.224 1 1.224 1.224 1 17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.300 1.300 18 1 1 1 1 1.305 1 1 1 1 1 1.343 19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20 1 1 1 1 1 1.213 1 1.213 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 1 1 1.249 1 1 1 1.284 1 1.245 1 23 1 1 1 1 1 1 1 1 1.241 1 1 24 1 1 1 1 1 1 1 1 1.267 1.267 1 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.289 1 26 1 1 1 1 1 1.288 1.287 1 1 1.302 1.301 27 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.302 28 1 1 1 1 1 1.373 1 1 1 1 1.469 29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(5)

Spectral radius ρ(χn,r): n\ r 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 3 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 4 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 5 1 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 6 1 1 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 7 1 1 1 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1) 8 1 1 1 1 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) 9 1 1 1 1 1 1 1 (1) (1) (1) (1) 10 1 1 1 1.176 1 1.176 1.176 1 (1) (1) (1) 11 1 1 1 1 1 1 1.230 1.230 1 (1) (1) 12 1 1 1 1 1 1 1 1.261 1.261 1 (1) 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1.281 1.281 1 14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.293 1.293 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.302 16 1 1 1 1 1 1 1.106 1 1.106 1.106 1 17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.140 1.140 18 1 1 1 1 1.142 1 1 1 1 1 1.159 19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20 1 1 1 1 1 1.101 1 1.101 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 1 1 1.085 1 1 1 1.100 1 1.084 1 23 1 1 1 1 1 1 1 1 1.114 1 1 24 1 1 1 1 1 1 1 1 1.125 1.125 1 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.135 1 26 1 1 1 1 1 1.066 1.067 1 1 1.141 1.141 27 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.141 28 1 1 1 1 1 1.130 1 1 1 1 1.165 29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 30 1 1 1 1.066 1 1 1 1 1.087 1 1

(6)

Degree of noncyclotomic factor of χn,r: n\ r 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 3 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 4 0 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 5 0 0 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 6 0 0 0 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 7 0 0 0 0 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) 8 0 0 0 0 0 0 (0) (0) (0) (0) (0) 9 0 0 0 0 0 0 0 (0) (0) (0) (0) 10 0 0 0 10 0 10 10 0 (0) (0) (0) 11 0 0 0 0 0 0 10 10 0 (0) (0) 12 0 0 0 0 0 0 0 10 10 0 (0) 13 0 0 0 0 0 0 0 0 8 8 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 10 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 16 0 0 0 0 0 0 16 0 16 16 0 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 14 18 0 0 0 0 18 0 0 0 0 0 12 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 20 0 20 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 0 0 0 22 0 0 0 22 0 22 0 23 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 24 24 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 0 26 0 0 0 0 0 20 26 0 0 12 18 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 28 0 0 0 0 0 28 0 0 0 0 28 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(7)

Comparison of bound quivers (Q, I) of Λn(r)and bigraphs ∆n,r, for r = 3: gd (Q, I) ∆n,3 0 1 1 1 1 //2 1 2 1 1 //2 //3 1 2 3 2 1 //2 //3 //4 1 2 3 4 3 1 //2 //3 //4 //5 1 2 3 4 5 3 1 //2 //3 //4 //5 //6 1 2 3 4 5 6 4 1 //2 //3 //4 //5 //6 //7 1 2 3 4 5 6 7 5 1 //2 //3 //4 //5 //6 //7 //8 1 2 3 4 5 6 7 8

Exemplary ination sequence (showing that inations/weak Z-congruences do not preserve the Coxeter polynomial):

∆5,3: 1 2 3 4 5 7→t14 1 2 3 4 5 T5_{+ T}4_{+ T + 1 = Φ} 2Φ8 T5+ T3+ T2+ 1 = Φ2Φ4Φ6 7→t24 ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ _7→t25 ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ T5_{+ T}3_{+ T}2_{+ 1 = Φ} 2Φ4Φ6 T5+ T4+ T + 1 = Φ2Φ8 7→t35 ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₌ _D 5 T5_{+ T}4_{+ T + 1 = Φ} 2Φ8