Kostki obliczeniowe Johna Napiera

E w a Wyka

(K raków )

K O S T K I O B L IC Z E N IO W E J O H N A N A P IE R A '

W artykule opisano siedem nastow ieczny przyrząd ułatw iający w ykonyw anie rachunków, głów nie m nożenia i dzielenia. O pisano budowę przyrządu, sposób posługiw ania się nim oraz kolejne jego m odyfikacje. Przedstaw iono postać au­ tora przyrządu Johna N apiera2 - m atem atyka, w ynalazcy logarytniów (1614). Kostki stanow iły jed en z w cześniejszych etapów w rozw oju zarów no pom ocy w w ykonyw aniu złożonych obliczeń, jak i pom ocy dydaktycznych w nauce aryt­ metyki. W pracy przedstaw iono rolę, ja k ą ten przyrząd odegrał w historycznym ciągu w czesnych m echanicznych m aszyn liczących. Bodźcem do napisania teks­ tu był fakt nabycia do kolekcji instrum entów naukow ych M uzeum U niw ersyte­ tu Jagiellońskiego siedem nastow iecznego zestaw u kostek J. N apiera - jed y n eg o egzem plarza w polskich zbiorach m uzealnych (F o t.l).

„[...] W y łożyliśm y już różne spo so b y liczenia. P rzed staw im y jednak je s z c z e laseczki w zięte z R abdologii N epera. S ą o ne nadzw yczaj przydatne do szy b k ieg o m nożenia i d z ie len ia (Jan B rożek, A ritlielica Integrorum , K raków , 1620’)

W ramach obszaru zagadnień, który obejm uje swymi zainteresow aniam i hi­ storia nauk ścisłych, jakby oddzielnym , niezależnym polem badań jest historia rozwoju instrum entarium naukowego. Stan w yposażenia pracowni badacza, nie­ zależnie od uprawianej dziedziny nauki, pozostaw ał daw niej i pozostaje nadal w ścisłych relacjach z poziomem przeprowadzanych eksperymentów, a stąd z moż­ liwościami uzyskiw ania osiągnięć naukowych.

- typow e formy, ich rozwój i stosow anie - przedstaw ione zostały w pracach poś­ więconych dziejom polskiej geodezji'1. H istoryczne przyrządy liczące, ich rozwój i stan zasobu obiektów zabytkow ych w Polsce - nie zostały jeszcze opra­ cow ane7. N iniejsza praca, dotycząca jednego z w czesnych instrum entów kalku­ lacyjnych, stanowi przyczynek do badań nad historią przyrządów obliczenio­ w ych w Polsce.

ROLA PRZY RZĄ DU N APIERA

W CIĄGU IN STR U M EN TÓ W O BLIC ZEN IO W Y C H XVII W.

A by w łaściw ie docenić rolę tego przyrządu w czasach jego w prow adzania do szerokiego użycia, należy spojrzeć na istniejące ówcześnie, do lat 20. XVII w., m ożliwości instrum entalne w ykonyw ania obliczeń.

C hronologicznie, najstarszą wówczas form ą pom ocy w w ykonyw aniu ra­ chunków był abak. Znany od czasów starożytnych przechodził przez kolejne m odyfikacje. Pierwszymi abakami były linie kreślone wprost na piasku. Z cza­ sem abak stał się tabliczką, planszą o b liczen io w ą zw ykle d rew nianą lub m ar­ m u ro w ą podzieloną pionowymi lub poziom ym i liniami. W poszczególnych po­ lach planszy układano kamyki, sztony czy inne elem enty określające wartość da­ nej liczby. W kolejnych ulepszeniach nacięto rowki do przesuw ania w yprofilo­ w anych wskaźników. Abaki, w yw odzące się z Indii i M ezopotam ii, przetrw ały w Europie Zachodniej aż do XV w. Kolejnym przyrządem było znane do dziś li­ czydło. Kamyki na liniach zastąpione w nim zostały nanizanym i na pręty pacior­ kami. W zależności od regionu kulturowego, liczydła przyjm ow ały różne formy. Pierwsze źródłow e informacje o chińskim liczydle znanym pod nazw ą suan-

pcin, p o chodzą z XV w. Z Chin liczydło przeniknęło do Japonii, gdzie przyjęło

form ę sorobanu. Znane i stosowane były rów nież w Europie, głów nie w handlu, naw et jeszcze w XX w. Starożytny abak, jak i liczydło, były pom ocam i w yko­ rzystującym i technikę liczenia „na liniach“ i typowym i narzędziam i w arytm e­ tyce liniowej. Stanowiły one pierw sze formy w prow adzające stosow any do dziś pozycyjny zapis liczby, w którym poszczególnym cyfrom danej liczby przypisa­ na została odpow iednia pozycja na płaszczyźnie.

skom plikow anych obliczeń. M atem atykę praktyczną coraz szerzej w ykorzysty­ wano w m iernictwie, balistyce, architekturze, w handlu. Precyzyjne instrum en­ ty pom iarow e nowych konstrukcji zwiększały dokładność obserw acji, a stąd p o ­ jaw iała się potrzeba dokładniejszych rachunków. K onieczność stosow ania spra­ wnego aparatu m atem atycznego była szczególnie istotna w astronom ii, rozw i­ jającej się nawigacji, bankowości. N ow oodkryte drogi m orskie pobudziły

rozwój handlu. N iezbędne stało się posiadanie precyzyjnych danych naw igacyj­ nych, by ustalić term iny trw ania rejsów, um ówić w określonym czasie od­ biorców produktów, wyliczyć koszty, rozliczyć podatki. W astronom ii, żm udne i skom plikow ane obliczenia, zajm ujące dużo czasu, stanow iły czynnik utrud­ niający rozwój. G łów ną trudność stanow iło dzielenie i m nożenie liczb w ielocyf- rowych, zw łaszcza w ielkości trygonom etrycznych. R ysow ała się w ięc paląca potrzeba w ynalazku metody ułatwiającej tę pracę.

W 1614 r. przychodzi w sukurs z Anglii potężne narzędzie obliczeniow e - lo- garytmy. Autorem logarytm ów je st John Napier, choć niezależnie idea ta naro­ dziła się ju ż wcześniej na kontynencie europejskim 8. R achunek logarytm iczny oddał do rąk badaczy szybką technikę w ykonyw ania skom plikow anych działań, stosow aną aż do lat 70. naszego wieku. Tym jednym z najw iększych osiągnięć XVII w. N apier na stałe wpisał się na karty historii nauki światowej.

John N apier - baron szkocki, właściciel licznych posiadłości ziem skich, urodził się w Edynburgu w roku 1550 za panow ania króla Edw arda VI, syna Henryka VIII. Pochodził z bogatej i zasłużonej dla Szkocji rodziny, która korze­ niami sw ym i sięgała pierw szej połowy XV w. Syn pow ażanego sir A rchibalda Napiera, pierw sze nauki pobierał w dom u rodzinnym . W wieku lat trzynastu podjął studia w kolegium św. Salw atora uniw ersytetu św. A ndrzeja w E dynbur­ gu. Nie uzyskaw szy żadnego tytułu, John N apier opuścił uniw ersytet. Nie s ą znane dokładnie jego losy do roku 1571. W iadom o jed yn ie, że udał się w podróż do Europy, skąd wrócił ze znajom ością greki. Był praw dopodobnie w N iderlan­ dach i w Paryżu, nigdzie jednak nie uzyskał tytułów naukow ych. Resztę swego życia spędził w rodzinnej posiadłości M erchiston, którą odziedziczył po ojcu. Zm arł 4 kw ietnia 1617 r.

Rye. 1. John Napier (1550-1 6 1 7 ).

bogatą spuściznę naukową. Był autorem praw o trójkątach sferycznych, w pro­ wadzi! przecinek w notacji ułam ków dziesiętnych, głów nie znany jak o autor lo- garytmów.

Ideę te w yłożył po raz pierw szy w traktacie Mirifici logarithmorum canonis descriptio opublikow anym w Edynburgu w roku 1614. Dwa lata później po jaw i­ ło się pierw sze angielskie tłum aczenie tego dzieła w ykonane przez Edw arda Wrighta. Logarytm y szybko zostały zaakceptow ane i w prow adzone do praktyki. W Anglii ich wielkim entuzjastą był m atem atyk Henry B rigg s10, który jeszcze w 1617 r. ułożył jedne z pierw szych tablic logarytm icznych, a w 1624 r. uzupeł­ nił je o logarytm y funkcji trygonom etrycznych. Rachunek logarytm iczny stał się podstaw ow ym instrum entem obliczeniow ym do czasów w prow adzenia na sze­ roką skalę pierw szych m echanicznych przyrządów liczących - arytm om etrów .

John N apier był rów nież autorem prostego przyrządu kalkulacyjnego zw ane­ go od nazw iska w ynalazcy „kostkam i N apiera“ ". K onstrukcja i sposób użycia kostek zostały po raz pierw szy opisane przez N apiera w książce Rabdologiae seu Numerationis p er Virgulas libri d uo'2,wydanej pośm iertnie w Edynburgu w 1617 r. Podobnie jak traktat o logarytm ach, Rabdologiae szybko zyskała po­ pularność. Jeszcze w tym sam ym roku książka dostępna była we Frankfurcie na targach. Pierwsze w ydanie niem ieckie opublikow ano w Strasburgu w 1618 r., kolejne w Berlinie w 1623 r. W tłumaczeniu włoskim książka pojawiła się w 1623 r. i ponow nie w 1630 r. w Veronie. W N iderlandach pierw sza edycja m iała m iej­ sce w latach 1626 (Gouda), 1626 i 1628 ( Lejda) oraz kolejne w 1634 i 1646 r. (A m sterdam ).

W Polsce dzieło Napiera znane było Janowi Brożkowi, profesorowi Akademii Krakowskiej. Brożek posiadał tę książkę w prywatnym księgozbiorze a egzem plarz Rabdologiaezachował się w Bibliotece Jagiellońskiej do dnia dzisiejszego.

OPIS PRZYRZĄDU, ZASA D A DZIAŁANIA

IJBSCmiETIOiSi

O F T H E A*>M I R A BL E

T A B L E

0

£ L O

GA-S ; - ; I ; ^ t y l ^ E T A : ® ń | r i 0 N ; v O F

pola kratek. Następnie dodawano liczby z pól pom iędzy przekątnym i, zaczynając od prawej ku lewej.

Brożek pisał:

„ D la lic z b w ię k s z y c h trz e b a u ło ż y ć w ię k s z ą ta b lic ę . N ie s ą d ź j e d n a k , ż e m a s z j ą o s o b n o b u ­ d o w a ć d la k a ż d e g o p rz y k ła d u . T a b lic a ra z z b u d o w a n a w y s ta rc z y d la n ie z lic z o n y c h p r z y k ła d ó w , j e ś li n a d re w n ia n e j c z a rn e j ta b lic y n a m a lu je s z lin ie p ro s to p a d łe ż ó łto , a p r z e k ą tn e c z e r w o n o “ 14.

Sposób zapisu liczb ilustruje rycina z dzieła Jana B rożka A rithm etica

In teg ro ru m ".

Zestaw kostek Napiera niewiele różnił się w swej zasadzie od „liniowanego abaku“. Wykorzystując tę sam ą ideę, Napier przeniósł tabliczkę m nożenia na pro- stopadłościenne kostki. Na czterech dłuższych ściankach, w odpowiedniej sek­ wencji umieszczone były wyniki mnożenia jednej z liczb z zakresu od 1 do 9 przez w szystkie liczby kolejno od 1 do 9. Wyniki tych m nożeń w pisane zostały w po­ la, z których każde przecięte było p rzek ątn ą oddzielającą pole dziesiątek od po­ la jedności, podobnie jak przy „m nożeniu w kratkach“ . Na szczycie kostki zazna­ czona została wartość liczby, która jest m nożona przez liczbę od 1 do 9. Celem szybkiego orientow ania się o „zaw artości“ danej kostki, sum a szczytow ych liczb um ieszczonych na przeciwległych ściankach daw ała zawsze w artość 9. Przy dziesięciu kostkach w zestawie każda wartość mnożnika pow tarzała się więc cztery razy. Dodatkowo um ieszczona była jed n a szeroka kostka z naniesionym i wartościam i kwadratów i sześcianów liczb od Ido 9. Taka budowa kostek um oż­ liwiała w ykonyw anie mnożenia, dzielenia, pierw iastkow ania i potęgow ania.

O czyw iście, stopień w ykorzystania kostek zależał od um iejętności, poziom u intelektualnego i wiedzy użytkownika. Najprostszym działaniem było m nożenie liczby jednocyfrow ej przez wielocyfrow ą. N a kostce pierw szej, często m ocow a­ nej na stałe do podstawki, czytano mnożną. Spośród pozostałych sw obodnych kostek w ybierano te, które odpow iadały cyfrom m nożnika i ustaw iano je w ko­ lejności od lewej do prawej na podstawce. W ynik czytano od tyłu sum ując w ar­ tości odpow iednio z pól jedności i dziesiątek. M nożenie liczb w ielocyfrow ych przez dw ucyfrow ą w ykonyw ano w ten sam sposób, należało jed y n ie pam iętać o p rzesu n ięciu m iejsca przy dodaw aniu w yn ik ów p o śred nich . W ykonyw ane w pam ięci działanie 72 x 3645 w yglądało w zapisie następująco:

7 x 3645 2, 1 + 4, 2 + 2, 8 + 3, 5 2 5 5 1 5 2 x 3645 6 + 1, 2, 8 + 1, 0 7 2 9 0 po dodaniu otrzym ujem y:

• • C d p u t V I T. y ? , f t r o . i n t e r e a s d e m d i a g o n a l e s q u a r u m f pa c i i ’ n ú m e r o s c o l l e g i í l i . ' Q u o d íl e x c o l l c c h o n e • '

¿ u x

p r o u c n u n c n o t a : , fin i II r a i n a d l e q u c n s d i a g o n a l i u m í p a c i u m r e i i c i c s , d e x c r a e o l i o - - c a t a í u o l o c o . S e d e x é p l o r es fie t m a n i fe íl j o r. S u u m u l t i p l i c a d a ] ^ 6 7 8 4 p e r 4 7 0 1 9

6

p o n o f i e; c r m u l t i p l i c o f e c u n d u m uoi m.xm pr/efeript anu 1 1

A ..

-s ' .1 l i m r liMTt, • • ’ • • F Á i k i c /i 'fit fit.

C ü h t exargentó,ebore, buxo, aqt fimili aliqua materia folida, virjjulx quadrats decem , pro- numeri* infra' hunc u m , quinqué locortHn : vel riginti,' pro nume- ris infra hunc n i m m ooucm locorum: vai triginta, pro oumeris infra hunc

U l l | i i | i | . n > tredecim locorum. ’ Sintque oranes qufdem longitudinis, trium Cciliçct digirorum plus m ia u t., Et fit latitudo cujufque décima pars longirudi- Biï, utcom m odèduaj figurai arithmetical ' capere poffi t, altitudo etiam liritudini arquetur. Atqu^har qûatuorlàciei feu U - tera ad ángulos reûos ram accnraté limen* tur,utquom odociftque jungantur virgu. ICjOmne« quaü única,tabella plana videan- *ur, Hi* itacom planatii.dividaruream n• dem longitudo in decem arquai es partes : itatauien.uroorera integra: partes fintin- « rm ed i*, decirn* aUtem partis dimidium lôperioi pro fuperiore, Se reliqujm dimi- dium inferí us-pro inferiore mafgidc to n - ftitoattjr. Proinde per'fingula dirifionvm p u n û a , ducanxur nCcz h n o r , qœe difti i- Ltuant fingulas /ingularnm virgularunj fa- . d e s , in oovem areolas quadratas, prater tóargines ; quarwn quclibet bifecetur, ;;<JUftis Jiagofjisj â finûtro & irjftriorean- ^ lou d fq p etiiJfetn ^ d fxtrw tp .u t jn fche- marc inferníl'pofito.Vidíre *R Etitapara- ticfant fu » i4 » W à¥ihîr«füm infcriptió¿"

h ' . Pri-;s».. C i p r i M t u r i i .

I

Śchema Vir- gu U . Primó icaqsepo fitú ob oculoi rir rulis , figmtntui ( memoriat & do ¿trina grada ) ea rundecn fací es i* nods delebilibs hit aBtaliis:otpri ma facie* dicacnr qoz nunc ob oca los ponitar, fecon d a, q«x dcitran fpedat, tertia, qaa tírram , &quarta . quar latvam,

Secundó obfer randum eft, quoc prima figura quaeii ctpite íen prinu areola cujufqne fia ciei eft ponenda,a¡ . in deitra parte are’ olat Tculfenda'j íimplexfigura eft, &fim- plum dirimir: qtuc in fecunda areola fe- ■ quunmr/unt ejufdem figur* duplum: qua • in tertia areola triplum.qux in quarta qua- .¿ruptura, & fic de reliquia múltipla ufqoe -*d noncuplom inclufivé : quorum fiquod

aniel tantum figurá conftet,üla eftin de**

. tra parte fu» areolas feulpenda ; fi »ero duaoos, d extra dextrorfum. 8c larra Izvot- - fon mareóla feribamr, ' i í

mi*

_{n i ”}

i •r Tentó Aotaoduo et í qood çgjo

it V f ' ' A * _{tSÄ* TU<}tirgH.

43 x 4 wynosi 172 4 3 x 5 wynosi 215

Tak więc, pierw szą cyfrą w wyniku będzie 4. Odejm ujem y: 207 - 172 i otrzy­ m ujem y 35 jak o początek następnej liczby, która wynosi 359. Ponaw iam y tę sam ą operację, otrzym ując jak o w ynik cyfrę 8 i kolejno: 3 i 7. Otrzym ujem y w y­ nik dzielenia bez reszty 4837. Przy dzieleniu kostki służyły więc jak o narzędzie pom ocnicze w w ykonyw aniu działań cząstkow ych. Przyrząd daw ał też m ożli­ wość w yciągania drugiego i trzeciego pierw iastka przy dość złożonej procedu­ rze postępow ania.

Kto był praw dopodobnym odbiorcą i użytkow nikiem kostek ? N ależy tu w y­ odrębnić dwie grupy potencjalnych użytkow ników przyrządu. Jedna z nich to użytkow nicy na niskim poziom ie edukacji arytm etycznej, których biegłość ra­ chunków pam ięciow ych nie w ychodziła poza proste dodaw anie, i którzy nie po­ siadali spraw ności pam ięciow ego m nożenia. W tej grupie m ieszczą się też m ło­ dzi adepci arytm etyki. Należy pam iętać, że um iejętność m nożenia w pam ięci by­ ła w ów czesnych czasach dom eną ludzi w ykształconych. Sam Brożek pisał:

„ [...] Je śli k to ś m a tru d n o śc i w n a u c e m n o ż e n ia p a m ię c io w e g o , n ie c h się p o słu g u je n a s tę ­ p u ją c ą ta b lic ą , z w a n ą z w y k le ta b lic ą P ita g o ra s a “ 16.

Dla tej grupy użytkow ników jasn o jaw i się podstaw ow a zaleta kostek. Poz­ walały one zam ienić trudne do opanow ania pam ięciow o działanie m nożenia, na dużo łatw iejsze dodaw anie, i to dodaw anie tylko w zakresie do dwudziestu.

Druga, w ęższa grupa odbiorców, to osoby zaangażow ane w w ykonyw anie skom plikow anych, lecz podobnych do siebie operacji obliczeniow ych. W ich rękach kostki mogły przyspieszać w ykonyw anie tych operacji. Taka sugestia by­ łaby uzasadniona choćby faktem, że kostki rekom endow ane były do stosow ania przez Izaaka N ew tona17. Do tych ew entualnych użytkow ników należałoby zali­ czyć uczonych, bankowców, kupców, żeglarzy czy też zarządców majątków.

zdobionym i. W historii instrum entów naukow ych bywa tak, że drogie i w y tw o r­ ne przyrządy były częstokroć przedm iotam i zbytku (stanow iły raczej ozdobę arystokratycznych salonów), a nie w arsztatem scholarów. Te przyrządy, które naprawdę były używane, po prostu zużyw ały się, były przerabiane celem w pro­ w adzenia ulepszeń, a z czasem często popadały w niepam ięć, odrzucone jak o przestarzałe. Inny aspekt to fakt, iż kostki były w swej konstrukcji bardzo pro­ ste. Ich w ykonanie nie w ym agało specjalnego warsztatu. W iadom o, że kostki ro­ bione były naw et z papieru, a więc mógł je zrobić każdy, kto poznał ich zasadę i kto chciał ich używać. Z pew nością kostki zyskały najszerszą rzeszę zw olen­ ników w Europie Zachodniej.

RECEPCJA PRZY RZĄ DU N APIERA W POLSCE

W Polsce głównym propagatorem tak logarytmów, jak i instrum entu napie- rowskiego stał się profesor A kadem ii Krakowskiej Jan Brożek. Brożek posiadał w swej bibliotece dwa traktaty N apiera R abdologiae i M irifici.... W dużym stop­ niu treść traktatów N apiera została przez Brożka w ykorzystana podczas pisania podręcznika A rithm etica Integrom m . Znaleźć tam m ożna rów nież najw cześniej­ szy i praktycznie jedyny w polskim w ydaniu szczegółowy opis kostek Napiera. Brożek pośw ięcił im osobny rozdział18. Pisał on:

„ S ą o n e n a d z w y c z a j p rz y d a tn e d o s z y b k ie g o m n o ż e n ia i d z ie le n ia . W y k o n a n ie ich j e s t n a ­ s tę p u ją c e : s p o r z ą d ź d z ie s ię ć k w a d ra to w y c h la s e c z e k z tw a r d e g o m a te ria łu , n a p r z y k ła d s r e b r a m ie d z i, k o śc i s ło n io w e j lu b b u k sz p a n u . D łu g o ść ich n ie c h w y n o s i m n ie j w ię c e j trz y c a le , s z e ro ­ k o ść z a ś tr z e c i ą c z ę ś ć d łu g o śc i. G ru b o ść n ie c h b ę d z ie r ó w n a sz e ro k o ś c i. M a ją b y ć ta k ie , a b y z ło ­ ż o n e o b o k s ie b ie w d o w o ln y s p o s ó b u tw o rz y ły ja k g d y b y r ó w n ą ta b lic z k ę . K a ż d a z a ś la s e c z k a b ę d z ie m ie ć c z te r y stro n y ... K a ż d ą s tr o n ę la s e c z k i n a le ż y p o d z ie lić n a d z ie s ię ć r ó w n y c h c z ę ś c i w tak i s p o s ó b , by w ś ro d k u z n a jd o w a ło się c a ły c h d z ie w ię ć c z ę ś c i, p o ło w a z a ś g ó rn e j c z ę ś c i d z ie ­ sią te j s ta n o w iła b rz e g g ó rn y , p o z o s ta ła p o ło w a d o ln e j - d o ln y . P rz e z w s z y s tk ie p u n k ty p o d z ia łu p o p ro w a d z ić n a le ż y p ro s te , k tó re p o d z ie lą k a ż d ą p ła s z c z y z n ę la se c z k i n a d z ie w ię ć k w a d r a to w y c h p ó le k n ie lic z ą c b rz e g ó w . K a ż d e z a ś p ó lk o k w a d ra to w e p o d z ie l na p o ło w ę p r z e k ą tn ą p o p r o w a ­ d z o n ą z le w e g o k ą ta d o ln e g o d o g ó rn e g o , ja k w id z is z n a ry s u n k u “ 19.

Po opisie przyrządu, Brożek dokładnie w yjaśnił, jak należy się nim posługi­ wać, tw ierdząc równocześnie:

„ N ie p rz y p is u je m y so b ie w ty m ż a d n e j z a s łu g i, a g e n ia ln e g o w y n a la z c ę u z n a je m y g o d n e g o ta ­ kiej n a g ro d y , ja k ie j z a ż ą d a ł n ie g d y ś f ilo z o f T a le s o d m ie s z k a ń c a m ia sta P rie n e [...]“ .

Brożek nie ograniczył się jed ynie do słow nego propagow ania laseczek. Pisał bowiem dalej:

pryw atne pałeczki. Co więcej, żaden z w ym ienionych tu egzem plarzy kostek nie zachow ał się, niestety, do dnia dzisiejszego. Nie zachow ał się rów nież żaden in­ ny egzem plarz kostek w Polsce, naw et z późniejszym datow aniem . Zachow ane daw ne krakow skie inw entarze przyrządów naukow ych także nie w y m ieniająp a- łeczek N apiera22.

Czy nauczano posługiw ania się przyrządem N apiera w polskich szkołach? M ożna przypuszczać, że przyrząd ten był w ykorzystyw any w nauce arytm etyki w obu koloniach uniw ersyteckich. Obie bowiem kolonie otrzym ały przyrządy w prezencie od Brożka. Być może posługiw anie się kostkam i w łączone zostało do w ykładu arytm etyki również w Akadem ii Krakowskiej. Sugestia taka jest uzasadniona faktem, że podręcznik Brożka był w ykorzystyw any do prow adze­ nia w ykładu z m atem atyki. N ależy jed n ak sądzić, iż m imo w ysiłków Brożka kostki nie znalazły w Polsce tak szerokiego zainteresow ania, jak na Zachodzie. W Europie, głów nie w Anglii, przyrząd N apiera stosow any był do końca XVIII w. W dobie rozwoju i w prow adzania do szerszego użycia m echanicznych urzą­ dzeń liczących, kostkom przypadła rola dydaktycznej pomocy obliczeniowej dla adep­ tów m atem atyki na najniższym poziomie.

M O DY FIKACJE

cylindram i. Na każdym cylindrze na papierow ych paskach w ypisana była tab ­ liczka mnożenia dla liczb w zakresie od 0 do 9. Cylindry osadzone zostały w drew­ nianym, zam ykanym pudełku. Na wieku pudełka, dla ułatw ienia w w ykonyw a­ niu działań pośrednich, um ieszczona była tabela dodaw ania. W takim rozm iesz­ czeniu, w ybór poszczególnych cyfr danej liczby polegał na obracaniu walców. Inna m odyfikacja kostek, to próba zastosow ania tarcz przez Sam uela M orlanda w roku 1673. Przyrząd składał się z wielu tarcz z naniesioną tab liczk ą m nożenia na obw odzie każdej z tarcz. Wyniki m nożenia pojaw iały się oddzielnie ja k o je d ­ ności i dziesiątki, co w ym agało dodatkowej operacji dodaw ania. Zgodnie z po­ mysłem M orlanda, z pudełeczka z tarczami w ybierano krążki z cyfram i stano­ wiącym i m nożną i nakładano je na pionow e ośki. N astępnie nakładana była przesłona i każdą tarczę przekręcano tak, aby w przesłonie w idoczna była cyfra mnożnika. O dczytane iloczyny cząstkowe sum ow ano ręcznie i te sam e czynnoś­ ci pow tarzano z drugą cy frą mnożnika. Przyrząd nie zyskał uznania użytko­ wników, poniew aż praca z tą m aszynką była bardziej skom plikow ana i dłu­ gotrw ała niż przy użyciu kostek. Urządzenie M orlanda, choć nieudane, było je d n ą z kilku prób skonstruow ania m echanicznej m aszyny do liczenia z w yko­

rzystaniem cylindrów Napiera.

Jed n ą z pierw szych konstrukcji był zegar liczący W ilhelm a S chickarda (1592-1635), datow any na rok 1623. W ilhelm Schickard, syn m istrza stolarskie­ go z małej wioski w W irtemberdze, dzięki pom ocy ze strony rodziny, uzyskał magisterium z teologii na uniw ersytecie w Tybindze. K ilka lat później został dziekanem w Nürtingen, gdzie spotkał się z będącym tam przejazdem Johannem Keplerem . Kepler, pełen otw arcia na w szystko, co nowe, bez żadnych uczuć za­ zdrości w stosunku do innych uczonych, p ozo staje przez resztę sw ego ży cia w bliskiej przyjaźni z młodym Schickardem . Schickard w iedział, że K epler pra­ cuje nad tablicam i ruchu planet zwanym i później „Tablicami R udolfińskim i“ . C hcąc ulżyć K eplerow i w żm udnych obliczeniach, Schickard skonstruow ał pier­ w szą m aszynę liczą cą W liście do wielkiego uczonego pisał: „ m e c h a n ic z n ie p r ó b o ­ w a łe m z ro b ić to, c o ty w y k o n u je s z rę c z n ie , i z b u d o w a łe m m a s z y n ę , k tó ra n a ty c h m ia s t, a u to m a ­ ty c z n ie p rz e lic z a z a d a n e liczb y , d o d a je , o d e jm u je , m n o ży , d z ie li [...]. S k a k a ć b ę d z ie s z p e w n ie z ra ­ d o śc i, g d y z o b a c z y sz ja k p rzen o si o n a liczb ę d ziesiątek i se tek lub te ż u jm u je j ą p rzy o d e jm o w a n iu “25.

Ryc. 8. W ła s n o rę c z n e ry su n k i S c h ic k a rd a ilu stru ją c e z a s a d ę d z ia ła n ia je g o m a s z y n y ; p o le w e j „ s z k ic z P u łk o w a “ , po p ra w e j „ s z k ic s z tu tg a rc k i“ .

zastosow ał tu tzw. koła pośredniczące, dziesięciozębow e, poruszane jed ny m zębem tarczy zapisowej. Tarcza um ieszczona była między dziew iątką a zerem i j e ­ den obrót koła pośredniczącego pow odow ał za pośrednictw em tarczy obrót ko­ ła położonego z lewej o je d n ą dziesiątą obrotu. W m aszynie Schickarda znajdo­ wało się pięć kół pośredniczących. W podstaw ie m aszyny m ieściła się „pam ięć czasow a“ do zapisu w yników z poszczególnych etapów obliczeń.

M aszyna ta, choć bardzo obiecująca w swej konstrukcji, nigdy nie ujrzała św iatła dziennego. Jak pisał Schickard w liście do K eplera, spłonęła w lutym 1624 r. w raz z w yposażeniem warsztatu m echanika Johanna Pfistera, który był jej w ykonaw cą26. Schickard nigdy ju ż nie był w stanie odbudow ać sw ego zega­

ra liczącego. Co w ięcej, mgła tajem nicy nad tą m aszyną rozpościerała się do po­ łowy dw udziestego wieku, kiedy to po raz pierwszy, praw ie w tym sam ym cza­ sie, odnalezione zostały dw a rysunki tegoż zegara w dw óch różnych m iejscach: w Pułkow ie i w Stutgarcie. Pierwszy z nich znaleziony został w roku 1935 przez niem ieckiego historyka dra Franza Hammera. Drugi rysunek zegara został odna­ leziony przez tego sam ego badacza ponad dw adzieścia lat później w m ateriałach stanow iących część spuścizny po K eplerze pozostającej w Rosji. M ateriały te kupione zostały w sto lat po śm ierci Johanna Keplera przez cesarzo w ą ro syjsk ą K atarzynę II i przekazane po drugiej w ojnie światowej do archiw um obserw ato­ rium w Pułkow ie27.

Zegar liczący Schickarda był najważniejszym urządzeniem m echanicznym , którego konstrukcję próbow ano częściow o oprzeć na w alcach N apiera. W szel­ kie późniejsze przyrządy w ykorzystyw ały ju ż przede w szystkim m echaniczne układy zazębiających się kół realizujących system autom atycznych p rze­ niesień28. W m iarę w prow adzania m echanicznych m aszyn liczących kostki N a­ piera straciły znaczenie jak o przyrząd przyspieszający m nożenie. Pozostały wciąż istotną pom ocą w nauce arytm etyki na poziom ie podstaw ow ym . Praktycz­ ne użycie kostek m iało miejsce do końca XVIII w.

Patrząc z punktu w idzenia czasów w spółczesnych na te w czesne próby kon­ strukcji pom ocy do w ykonyw ania rachunków, trudno nie pokusić się o p ew ną refleksję. Dziś, w dobie szybko unow ocześnianych komputerów, niewielki przyrząd rozm iarów kieszonkow ego kalkulatora, w ydaje się czymś bezużytecz­ nym. W połow ie XVII w. virgule były je d n ą z niewielu m ożliwości uspraw nie­ nia, choćby częściow ego, czasochłonnych obliczeń. Kostki stanowiły pew ną konkurencję dla liczydła. Dzięki niewielkim rozmiarom pełniły rolę przyrządu „osobistego“, który był zaw sze pod ręką. Nawet, gdy zostały w yparte przez w chodzące do użytku m echaniczne m aszyny liczące, pozostały one p o m o cą w nauce rachunków na poziom ie podstawowym . W odróżnieniu od w spółczes­ nego nam podręcznego kalkulatora, posługiwanie się kostkami wym agało zrozu­ mienia m atem atycznych reguł oraz procedur m nożenia i dzielenia. W tym sen­ sie rola tego przyrządu do dnia dzisiejszego nie uległa zm ianie.

Przypisy

1 Treść tego artykułu była referowana 16 lutego 2000 r. na posiedzeniu Komisji Hi­ storii Nauki PAU w Krakowie.

2 W literaturze źródłowej spotykane są różne formy nazwiska: Jhone Napeir, Nepair, Neper, Nepeir, Napare, Johannes Neperus. Najczęściej stosowana to Jhone Neper. Współcześnie w literaturze z zakresu historii instrumentów naukowych używana jest forma John Napier i taką formę przyjęto w niniejszym tekście.

’ Cytat z tłumaczenia prac Brożka, w: Jan B r o ż e k : Wybór pism. J. Dianni. t. II, Warszawa 1956 s. 198.

4 Na temat historycznych instrumentów astronomicznych :G. R o s i ń s k a : Instru­

menty astronomiczne na Uniwersytecie Krakowskim w X V wieku. Wrocław 1974;

Z. A m e i s e n o w a : Globus Marcina Bylicy z Olkusza oraz mapy nieba na Wscho­

dzie i na Zachodzie. „Monografie z Dziejów Nauki i Techniki“ 19591. XI ; F. K a r I i ń -

s k i : Rys dziejów Obserwatorium Astronomicznego Uniwersytetu Krakowskiego. Kraków 1814; T. P r z y p k o w s k i : Zabytkowe kompasy magnetyczne na instrumen­

tarium astronomicznym Macieja Bylicy z lat 1480-1487. „Acta Geoph. Polon.“ 1956

vol. 4 s. 245-261; L. B i r k e n m a j e r : Marcin Bylicci z Olkusza oraz narzędzia as­

tronomiczne, które zapisał Uniwersytetowi Jagiellońskiemu. Kraków 1892; L. II a j -

d u k i e w i c z : Nieznany inwentarz instrumentarium i biblioteki Jana Brożka z roku

Biblioteka Macieja z Miechowa. „Monografie z Dziejów Nauki i Techniki“ 1960 t. 16;

M. Z a k r z e w s k a : Cataloque oj Globes in the Jagellonian University Museum. Kraków 1965; D. B u r c z y k - M a r o n a : Zegar słoneczny i astrolabiiim prof. Jana

Brożka w zbiorach Muzeum Uniwersytetu Jagiellońskiego. „Zeszyty Naukowe . U.J.“

Opuscula Musealia, 1988 nr 3.

5M. K u c h a r s k i : Zygmunt Floren ty Wróblewski. Szkic o życiu i twórczości. Kraków 1997; Praca zbiorowa: Karol Olszewski. „Zeszyty Naukowe U.J“ DCCCXCIX 1990; D. B u r c z y k - M a r o n a , I I . K u z y k : Karol Olszewski i Zygmunt Wróblew­

ski. Katalog wystawy 100-lecie skroplenia tlenu. Kraków 1983.

K. S a w i c k i : Pięć wieków geodezji polskiej. Warszawa 1964.

7 W obszernej literaturze opisującej historię rozwoju komputerów znajdują się infor­ macje o wczesnych przyrządach liczących, np. R. L i g o n n i é r e : Prehistoria i histo­

ria komputerów od początków rachowania do pierwszych kalkulatorów elektronicznych.

Z języka francuskiego przełożył R. Dulinicz. Wrocław 1992. Konstrukcje przyrządów ob­ liczeniowych w ich aspekcie muzeologicznym omówione zostały w pracach: A. T u r ­ n e r : Early Scientific Instruments Europe 1400-1800. London, N.Y. 1987; G.L’E T u r ­ n e r : Ninetenth-Century Scientific Instruments. London 1983; R. B u d , D. J. W a r - n e r : Instruments o f Science. An Historical Encyclopedia. London, New York 1998.

8 John Napier nie był jedynym, który podał ideę logarytmów. Niezależnie logarytmy zostały opisane w książce Josta BUrgiego (1552-1632). J. Biirgi był szwajcarskim zegar­ mistrzem i konstruktorem przyrządów astronomicznych, najpierw w Kassel, a od 1603 r. w Pradze, gdzie przyjaźnił się z Keplerem. Praca ukazała się drukiem w Pradze w 1620 r., a więc już po wydaniu traktatów Napiera. Nosiła tytuł Arithmetische und geometrische

Progres-Tabulen. sambt gründlichen Unterricht, wie solche nütlich in allerley Rechnun­ gen zu gebrauchen und verstanden werden sol (Tablice postępów arytmetycznego i geo­ metrycznego. wraz z gruntownym pouczeniem ja k należy j e rozumieć i z pożytkiem sto­ sować we wszelkich rachunkach). Opis logarytmów Bürgiego zamieszczony jest m.in.

w: P. J u s z k i e w i c z : Historia matematyki. Od czasów najdawniejszych do

początków XIXstulecia. T. II, Warszawa 1976 s. 63.

0 Byi to traktat z 1594 r. adresowany do króla Jakuba VI i zatytułowany Plaine Dis­

covery o f the whole Revelation o f St John.

10 Henry Brigss (1556-1630) - matematyk, profesor geometrii w Oxford i Cambrid­ ge, pozostawał w bliskich kontaktach z J. Napierem. Logarytmy Napiera, jak i Bürgiego nie posiadały podstawy, co utrudniało posługiwanie się nimi. Briggs zaproponował Na- pierowi przyjęcie za podstawę 10 i wyliczył wartości logarytmów z dokładnością do czternastego miejsca po przecinku dla liczb naturalnych od 1 do 2 0 0 0 0, a później dla wartości od 90 do 100 000 (Arithmetica Logarithmica, Londini. 1617); drugie wydanie pod tym samym tytułem wydał holenderski księgarz Adriaen Vlacq (Gouda 1628). Były to tablice liczb naturalnych dziesięciocyfrowe wraz z logarytmami linii trygonometrycz­ nych co 1 minutę.

Cum Appendice de expeditissimo Multiplicationis Promptuario. Authore &Inventore loanne Nepero. Barone Merchistonii. cfee. Scoto. Sygn. B.J. Math 1386.

13 J. B r o ż e k : Wybór pism. J. Dianni, t. II, s. 129.

14 Tłumaczenie zaczerpnięto z: Jan B r o ż e k : Wybór pism. J. Dianni, t. II, s. 134. 15 Książka J. B r o s c i u s a Arithmetica Integrorum wydana została w Krakowie w 1620 r. jako pierwsza książka z fundacji Bartłomieja Nowodworskiego.

16 Cytat zaczerpnięty z : Jan B r o ż e k : Wybór pism. J. Dianni, t. II, s. 124. 17 Wg D.J. B r y d e n : Napier's bones. A history and Instruction Manual. London 1992 s. 22.

18 Jest to Rozdział XVI traktatu zatytułowany De Virgulis. |l) Cytat przytoczono wg Wybór pism. J. D i a n n i t. II, s. 198.

20 Walenty Raczkowski - sekretarz Zygmunta III i Władysława IV. Przyjaciel Broż­ ka, wspierał finansowo uczonego podczas jego studiów w Padwie. Brożek współnie z Racz­ kowskim, podczas jednej z wizyt w dobrach Raczkowskiego, wykonali doświadczenie wyznaczając stosunek ciężarów przy jednej objętości dla piasku i wody.

21 Franciszek Xawery Zajerski (1568-1631) - biskup argiweński i sufragan oraz pro­ boszcz łucki, archidiakon sandomierski, przyjaciel J. Brożka. W liście do Brożka z dnia 12 lutego 1620 r. Zajerski pisze: „Tymczasem polecam się łasce WPana i proszę usilnie, abyś dał do sporządzenia na mój koszt owe przyobiecane laseczki do mnożenia arytme­ tycznego [...]“. Cytat z: Jan B r o ż e k : Wybów pism. U. Barycz t. I s. 441.

22 Mowa tu o dwóch inwentarzach, w których, ze względu na chronologię, mógłby znaleźć się przyrząd Napiera: inwentarzu instrumentów J. Brożka z 1657 r. oraz pierw­ szym inwentarzu Kolegium Fizycznego z 1786 r. (Arch. U.J. Rkp.398). Jedynym śladem stosowania pomocy napierowskich jest wymieniony przez L. I lajdukiewicza spis około 30 przyrządów, prawdopodobnie z końca XVII w. Jest to spis anonimowy, zawiera mię­ dzy innymi Tabula Naperiana (por. przypis do pracy L. H a j d u k i e w i c z a Niezna­

ny inwentarz instrumentarium i biblioteki Jcma Brożka z 1657 roku). Chodzi tu najpe­

wniej o tzw. szachownicę Nepera złożoną z 24 x 24 = 576 pól, rodzaj abaku szachowe­ go, która służyła do dzielenia i mnożenia liczb wielocyfrowych. Sposób użycia tablicy podaje w swym podręczniku Brożek za opisem Nepera w Rabdologiae.

23 Wg D.J. B r y d e n : Napier's bones. A history and Instruction Manual. London 1992: taki model kostek, wykonany z tektury, opisany został przez W. B a r t o n a w Aritmeticke breviated (London 1634). Podobnie opisuje go W. L e y b o u r n w Cur-

sus Mathemaicus (London 1690), twierdząc że model kostek płaskich wsuwanych do

24 Wg D.J. B r y d e n : Napier's bones. A history and Instruction Manual. London 1992: G. S c h o 11 : Organum Mathematician (Würzburg 1668).

25 Cytat zaczerpnięty z książki Roberta L i g o n n i ć r e : Prehistoria i historia kom­

puterów. Wrocław 1992 s. 25.

26 Istnieją hipotezy co do umyślnego podpalenia warsztatu. Schickard żył w czasach w'ojny trzydziestoletniej (1618-1648), podczas której Wirtembergia wiele ucierpiała, nękana również zarazami. Ofiarami zarazy była także rodzina Schickarda, jego żona, trzy córki, służący, a na końcu sam Wilhelm Schickard.

27 Odnalezienie tych jakże cennych archiwaliów rzuciło inne światło na utarte w hi­ storii nauki stwierdzenie, że konstruktorem pierwszej maszyny liczącej był Blaise Pas­ cal w roku 1642. Obydwie konstrukcje powstawały niezależnie, obydwie też posiadały zasadnicze różnice w budowie. Szczegółowy opis obu maszyn przedstawiony jest w książ­ ce Prehistoria i ..., dz. cyt.

28 Perfekcyjnym przykładem takiej konstrukcji jest maszyna licząca Babbage'a, praktycznie nigdy nie doprowadzona do wersji ostatecznej.

Literatura

1. B r y d e n D. J.: Napier's bones. A history and Instruction Manual. London 1992. 2. L i g o n n i ćr e R.: Prehistoria i historia komputerów. Z języka francuskiego przełożył Ryszard Dulinicz. Wrocław 1992.

3. B u d R., W a r n e r D.J.: Instruments o f Science. An Historical Encyclopedia. N.Y., London 1998.

4. F r a n k e J.N.: Jan Brożek (J. Broscius) Akademik Krakowski 1585-1652. Jego

życie i dzieła ze szczególnym uwzględnieniem prac matematycznych. Kraków 1884.

5. B r o ż e k J: Wybór pism. I I. Barycz, J. Dianni, t. I i II, Warszawa 1956.

6. P e I c z a r A.: Złota Księga Wydziału Matematyczno-Fizycznego U.J. (praca w przygotowaniu).

7. B a r a n i e c k i M.: Krótki rys rozwoju matematyki i o je j nauczaniu. W: Aryt­

metyka, Warszawa 1884 s. XIII-LVI.

8. T r y b u l s k i W.: Arytmetyka, W: Encyklopedia Wychowawcza. T. I, Warszawa 1882 s. 329—436.