1 Andrzej Mróz, WMiI/UMK, 30.12.2009
Wyznaczniki, ukªady równa« liniowych - mini kompendium
(Uwaga: Rozpatrujemy macierze o wspóªczynnikach w R, ale poni»sze rozwa»ania funkcjonuj¡ dla dowolnego ciaªa).
1. Niech A = [aij] ∈ Mn. Wówczas de niujemy wyznacznik A wzorem:
det(A) := X
δ=(i1,i2,...,in)∈Pn
(−1)ε(δ)ai11ai22. . . ainn,
gdzie sumujemy po zbiorze Pn wszystkich permutacji zbioru n-elementowego, tzn. ci¡gów
δ = (i1, i2, . . . , in)takich, »e {i1, i2, . . . , in} = {1, 2, . . . , n}, a ε((i1, i2, . . . , in))jest liczb¡ par
(j, k)takich, »e 1 ≤ j < k ≤ n oraz ij > ik.
Zatem w szczególno±ci: det([a11]) = a11; det a11 a12 a21 a22 = a11a22− a12a21; det a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33+ a21a32a13+ a31a12a23 − a13a22a31− a23a32a11− a33a12a21.
2. Efektywne liczenie wyznacznika: wzór Laplace'a.
Niech A = [aij] ∈ Mn. Ustalmy dowolne k ∈ {1, 2, . . . , n}. Wówczas
det(A) =
n
X
i=1
(−1)i+kaikdet(Aik),
gdzie Aikjest (n − 1) × (n − 1)macierz¡ powstaª¡ z A przez usuni¦cie i-tego wiersza i k-tej
kolumny. (Mówi si¦, »e liczymy wyznacznik rozwijaj¡c wzgl¦dem k-tej kolumny; zachodzi analogiczny wzór w wersji wierszowej).
Natychmiastowy wniosek: je»eli macierz A zawiera zerow¡ kolumn¦ (lub zerowy wiersz), to det(A) = 0.
Przydatna obserwacja: je»eli w macierzy A do dowolnego wiersza dodamy inny wiersz pomno»ony przez skalar, to wyznacznik si¦ nie zmienia (analogicznie dla kolumn). Zatem przed stosowaniem wzoru Laplace'a dobrze najpierw poprzez powy»sz¡ operacj¦ upro±ci¢ macierz, tj. spowodowa¢, by w jednej kolumnie lub wierszu wszystkie oprócz co najwy»ej jednego wspóªczynniki byªy zerowe.
3. Ustalmy m, n ≥ 1. Ukªadem równa« liniowych o wspóªczynnikach rzeczywistych nazywamy ukªad postaci (∗) a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
gdzie aij ∈ R, bi∈ R s¡ ustalonymi skalarami, a x1, . . . , xn s¡ niewiadomymi.
Macierz A = [aij] ∈ Mm×nnazywamy macierz¡ gªówn¡ ukªadu (∗), natomiast macierz [A|b] ∈
Mm×(n+1) macierz¡ rozszerzon¡ ukªadu (∗), gdzie b = [b1, b2, . . . , bm]T (wektor wyrazów
wolnych). Zauwa»my, »e ukªad (∗) jest równowa»ny ukªadowi macierzowemu Ax = b, gdzie x = [x1, x2, . . . , xn]T (wektor zmiennych).
2 Metody rozwi¡zywania ukªadów równa« liniowych
4. Niech n, m, A, b b¦d¡ jak wy»ej. Je»eli n = m oraz det(A) 6= 0, to ukªad (∗) nazywamy ukªadem Cramera. Ukªad taki posiada dokªadnie jedno rozwi¡zanie dane wzorem:
xk=
det([A1, . . . , Ak−1, b, Ak+1, . . . , An])
det(A) ,
dla k = 1, . . . , n, gdzie Ai oznacza i-t¡ kolumn¦ A.
5. Pozostaª przypadek, gdy n 6= m lub n = m oraz det(A) = 0. Wówczas ukªad (∗) mo»e nie mie¢ rozwi¡za« (ukªad sprzeczny), mo»e mie¢ 1 rozwi¡zanie lub niesko«czenie wiele rozwi¡za«. Poj¦cia wst¦pne: ustalamy macierz M ∈ Mx×y.
• Wspóªczynnikiem wiod¡cym, inaczej piwotem, w i-tym wierszu macierzy M nazywamy pierwszy od lewej niezerowy wspóªczynnik w tym wierszu.
• Macierz M nazywamy macierz¡ górnoschodkow¡, o ile piwot w (i + 1)ym wierszu (o ile istnieje) le»y na prawo od piwota w i-tym wierszu, dla ka»dego 1 ≤ i < x.
• Macierz M nazywamy macierz¡ górnoschodkow¡ caªkowicie zredukowan¡ (GCZ ), o ile M jest macierz¡ górnoschodkow¡ i ponadto: ka»dy piwot jest równy 1 oraz wszystkie wspóªczynniki ponad ka»dym piwotem s¡ równe 0.
• Elementarn¡ operacj¡ wierszow¡ (EOW ) na M nazywamy ka»d¡ z nast¦puj¡cych trzech operacji na M: pomno»enie wiersza przez niezerowy skalar, zamiana dwóch wierszy miejscami oraz dodanie dowolnego wiersza pomno»onego przez skalar do innego wiersza. • Fakt. Ka»d¡ macierz N ∈ Mx×y mo»na przeksztaªci¢ stosuj¡c EOW do (jednoznacznie
wyznaczonej!) macierzy Nb w postaci GCZ. (Jest to tzw. metoda Gaussa-Jordana, poni»ej zilustrowana na przykªadzie).
Algorytm rozwi¡zywania ukªadu (∗) (n, m, A, b j.w.):
• Tworzymy macierz rozszerzon¡ M = [A|b] ∈ Mm×(n+1) ukªadu (∗).
• Stosuj¡c eliminacj¦ Jordana-Gaussa sprowadzamy M do macierzyM = [Ac 0|b0]w postaci GCZ, gdzie A0 ∈ M
m×n. (Zauwa»my oczywist¡ oczywisto±¢, »e ukªad (∗) jest
równo-wa»ny ukªadowi A0x = b0, tzn. ukªady te maj¡ ten sam zbiór rozwi¡za«, gdy» EOW nie
zmieniaj¡ zbioru rozwi¡za«!).
• Analizujemy macierzMc. S¡ dwie mo»liwo±ci:
W macierzy A0istnieje zerowy wiersz (o numerze i) oraz w wektorze b0i-ty
wspóªczyn-nik jest niezerowy. Wówczas ukªad A0x = b0, a co za tym idzie równie» (∗), jest
sprzeczny.
W przeciwnym przypadku ukªad (∗) ma rozwi¡zania które otrzymujemy nast¦pu-j¡co: zmienne, które nie stoj¡ w »adnym wierszu w A0x = b0przy piwotach s¡
zmien-nymi wolzmien-nymi, tzn. mog¡ przyjmowa¢ dowolne warto±ci z R, natomiast zmienne stoj¡ce przy piwotach zale»¡ od zmiennych wolnych w sposób opisany przez ukªad A0x = b0. Zilustrujemy to na przykªadzie.
6. Przykªad. Rozwi¡»emy ukªad
(∗∗) x1 + 4x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 5 x1 + 3x2 + x3 + 2x4 + 5x5 = 2 x1 + 7x2 + 5x3 − 2x4 − 3x5 = 14
Macierz rozszerzona ukªadu (∗∗) ma posta¢ (wektor wyrazów wolnych oddzielamy kresk¡ jedynie w celu jego wyró»nienia):
M = [A|b] =
1 4 2 1 3 5
1 3 1 2 5 2
1 7 5 −2 −3 14
3 Przeprowadzimy teraz eliminacj¦ Jordana-Gaussa. Symbolem Ri,j
α oznaczamy operacj¦
do-dania wiersza i-tego pomno»onego przez skalar α ∈ R do wiersza j-tego, a symbolem Ri α,
operacj¦ pomno»enia wiersza i-tego przez α. Najpierw sprowadzimy macierz M do postaci górnoschodkowej prowadz¡c eliminacj¦ z góry w dóª:
1 4 2 1 3 5 1 3 1 2 5 2 1 7 5 −2 −3 14 7→R1,2−1,R1,3−1 1 4 2 1 3 5 0 −1 −1 1 2 −3 0 3 3 −3 −6 9 7→R2,33 1 4 2 1 3 5 0 −1 −1 1 2 −3 0 0 0 0 0 0
Mamy ju» macierz w postaci górnoschodkowej, teraz doprowadzamy j¡ do postaci GCZ prowadz¡c eliminacj¦ z doªu do góry i mody kuj¡c piwoty, by byªy równe 1:
1 4 2 1 3 5 0 −1 −1 1 2 −3 0 0 0 0 0 0 7→R2,14 1 0 −2 5 11 −7 0 −1 −1 1 2 −3 0 0 0 0 0 0 7→R2 −1 1 0 −2 5 11 −7 0 1 1 −1 −2 3 0 0 0 0 0 0 = = [A0|b0]
Otrzymali±my macierz [A0|b0]w postaci GCZ. Ukªad A0x = b0oczywi±cie ma rozwi¡zania i po
przeniesieniu zmiennych wolnych na praw¡ stron¦ ma posta¢:
(∗ ∗ ∗) x1 = −7 + 2x3 − 5x4 − 11x5 x2 = 3 − x3 + x4 + 2x5
Zatem rozwi¡zania ukªadu (∗ ∗ ∗) (i co zatem idzie, (∗∗)) maj¡ posta¢:
x1= −7 + 2s − 5t − 11u, x2= 3 − s + t + 2u, x3= s, x4= t, x5= u,
gdzie s, t, u ∈ R s¡ dowolne.
Zauwa»my, »e powy»sz¡ metod¦ mo»emy stosowa¢ równie» do ukªadów Cramera (wówczas nie b¦dzie zmiennych wolnych, gdy» jest tylko jedno rozwi¡zanie). Metoda ta jest w peªni automatyczna (tj. nie wymaga my±lenia!), zatem mo»na j¡ zaprogramowa¢ na komputerze.
