Index of /rozprawy2/10011

Pełen tekst

(1)Wydzial Fizyki i Informatyki Stosowanej. Praca doktorska. Slawomir Sroka. Symulacje zapisu qubit´ ow i dzialania kwantowych bramek logicznych realizowanych na kropkach kwantowych. Promotor: prof. dr hab. Stanislaw Bednarek. Krak´ ow, 2008.

(2) Spis tre´sci Wst˛ep 1. 3. Wprowadzenie 1.1 Idea komputera kwantowego . . . . . . 1.2 Algorytmy kwantowe . . . . . . . . . . 1.3 Fizyczne modele kwantowych obliczeń 1.4 Słabe punkty kwantowych algorytmów .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 5 . . . . 5 . . . . 6 . . . . 8 . . . . 10. 2. Podstawy kwantowych obliczen´ 12 2.1 Informacja klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Informacja kwantowa i jej przetwarzanie . . . . . . . . . . . . . . 15. 3. Qubity na orbitalnych stopniach swobody 3.1 Oddziaływanie układu z fala˛ elektromagnetyczna˛ 3.2 Wyciekanie prawdopodobieństwa . . . . . . . . 3.3 Model kwantowej bramki kontrolowanej negacji . 3.4 Symulacje działania bramki . . . . . . . . . . . . 3.5 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. Qubity na spinowych stopniach swobody 4.1 Model dynamiki spinów w podwójnej kropce kwantowej . . . . 4.2 Ustawienia eksperymentu obliczeniowego . . . . . . . . . . . . 4.3 Wyniki symulacji dla pionowo sprz˛ez˙ onych kropek kwantowych 4.4 Wyniki symulacji dla bocznie sprz˛ez˙ onych kropek kwantowych 4.5 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. . . . . .. 24 25 28 31 39 45. . . . . .. 48 50 53 55 66 78.

(3) ´ SPIS TRESCI. 2. Podsumowanie. 80. Bibliografia. 83.

(4) Wst˛ep Od połowy lat 90-tych XX-go wieku silnie zacz˛eło wzrastać zainteresowanie tematyka˛ kwantowych obliczeń i komputerów kwantowych. Stało si˛e to za sprawa˛ zaledwie kilku prac, w których wykazano, z˙ e wykorzystujac ˛ zasady mechaniki kwantowej moz˙ na stworzyć algorytmy wydajniejsze od algorytmów realizowanych przez współczesne komputery [1, 2, 3]. Obliczenia kwantowe zyskały jeszcze wi˛ekszy rozgłos, gdy pewne własno´sci złoz˙ onych układów kwantowych zastosowano do skonstruowania bezpiecznych algorytmów szyfrowania i transmisji danych [4, 5]. Prace te ukazały nowe oblicze mechaniki kwantowej, a wiele laboratoriów badawczych zdało sobie spraw˛e, z˙ e posiada gotowe narz˛edzia do tego by wcielać w z˙ ycie nowe koncepcje przetwarzania informacji. Liczba pomysłów na fizyczna˛ realizacj˛e kwantowych obliczeń szybko rosła, a same pomysły obejmowały coraz to nowe dziedziny fizyki. Spo´sród wielu koncepcji najwi˛ekszym zainteresowaniem ciesza˛ si˛e te, w których wykorzystuje si˛e ciała stałe, a w szczególno´sci propozycje z wykorzystaniem półprzewodnikowych kropek kwantowych, co wynika po cz˛esći z dobrze opanowanej technologii wytwarzania układów półprzewodnikowych. Innym, istotnym faktem przemawiajacym ˛ na korzy´sc´ ciał stałych jest to, z˙ e stosunkowo łatwo moz˙ na łaczy´ ˛ c ze soba˛ pojedyncze elementy w wi˛eksze kompleksy (skalowalno´sc´ ). W niniejszej pracy prezentujemy wyniki numerycznych symulacji działania kwantowej bramki logicznej kontrolowanej negacji (CNOT), a takz˙ e kwantowej bramki wymiany (ang. Swap Gate). Bramki te sa˛ jednymi z waz˙ niejszych kwantowych bramek logicznych. W pracy analizujemy fizyczne modele wymienionych bramek logicznych, z których oba zbudowane zostały na bazie układu dwóch sprz˛ez˙ onych kropek kwantowych. Pierwszy z rozwaz˙ anych modeli, model bramki CNOT wykorzystuje orbitalne stopnie swobody elektronów oraz impuls fa3.

(5) ´ SPIS TRESCI. 4. li elektromagnetycznej o odpowiednio dobranej cz˛estotliwo´sci. Natomiast drugi z modeli, bramki wymiany wykorzystuje spinowe stopnie swobody elektronów oraz mechanizm kontrolowanego właczania ˛ i wyłaczania ˛ oddziaływania wymiany. Badania prowadzone były poprzez symulacje zachowania si˛e tych układów w czasie. Rozwaz˙ amy moz˙ liwie proste modele fizyczne pomijajac ˛ takie zjawiska jak oddziaływanie spin-orbita, oddziaływanie elektronu ze spinami jader ˛ w materiale półprzewodnika, a takz˙ e oddziaływanie elektronu z fononami. W obu przypadkach badania prowadzili´smy rozwiazuj ˛ ac ˛ numerycznie zalez˙ ne od czasu równanie Schrödingera dla rozwaz˙ anego układu. Charakter badań stawia t˛e prac˛e pomi˛edzy teoria˛ i do´swiadczeniem. Celem naszej pracy było uzyskanie odpowiedzi na nast˛epujace ˛ pytania: 1) Czy kwantowa bramka kontrolowanej negacji zbudowana na bazie układu dwóch pionowo sprz˛ez˙ onych kropek kwantowych i orbitalnych stopni swobody, sterowana impulsem fali elektromagnetycznej, b˛edzie mogła stanowić wydajny element komputera kwantowego? 2) Czy kwantowa bramka wymiany zbudowana na bazie układu dwóch, bocznie sprz˛ez˙ onych kropek kwantowych i spinowych stopni swobody, sterowana poprzez kontrolowanie oddziaływania wymiennego mi˛edzy elektronami, b˛edzie mogła stanowić wydajny element komputera kwantowego? Praca zorganizowana jest w nast˛epujacym ˛ porzadku. ˛ W rozdziale 1 wprowadzamy w tematyk˛e komputerów kwantowych i obliczeń kwantowych. W rozdziale 2 omawiamy podstawowe poj˛ecia zwiazane ˛ z obliczeniami kwantowymi oraz prezentujemy kilka podstawowych, kwantowych bramek logicznych. W rozdziale 3 prezentujemy wyniki badań dla kwantowej bramki logicznej kontrolowanej negacji zbudowanej na orbitalnych stopniach swobody, natomiast w rozdziale 4 bramki wymiany zbudowanej na spinowych stopniach swobody..

(6) Rozdział 1 Wprowadzenie 1.1. Idea komputera kwantowego. Dzisiejsze procesory to owoc 50 lat ciagłych ˛ udoskonaleń w dziedzinie wytwarza1 nia układów scalonych . W duz˙ ej mierze da˛z˙ enia w tej materii koncentrowały si˛e na zwi˛ekszaniu g˛esto´sci upakowania tranzystorów i szybko´sci ich pracy. Na drodze miniaturyzacji zbliz˙ amy si˛e do granicy w g˛esto´sci upakowania tranzystorów 2 , która okre´slona jest przez sama˛ natur˛e. Zmniejszenie rozmiarów tranzystora poniz˙ ej pewnej warto´sci powoduje znaczacy ˛ wpływ efektów kwantowych, na skutek czego przestaje on działać zgodnie z przewidywaniami klasycznej elektroniki. Do tego problemu moz˙ na podej´sc´ w dwojaki sposób. Mianowicie, moz˙ emy zadać sobie pytanie jak udoskonalić budow˛e klasycznego tranzystora, aby zmniejszyć wpływ efektów kwantowych. W innym podej´sciu moz˙ emy zadać pytanie stawiajace ˛ przed nami wi˛eksze wyzwanie. W jaki sposób wykorzystać efekty kwantowe do stworzenia nowych, wydajniejszych układów obliczeniowych działajacych ˛ w oparciu o zasady mechaniki kwantowej. 1. Pierwszy układ scalony opracował i skonstruował w 1958 J. Kilby, za co otrzymał Nagrod˛e Nobla z fizyki w 2000 r. 2 W dominujacej ˛ obecnie technologii wytwarzania monolitycznych układów scalonych (technologia CMOS) cz˛esto uz˙ ywanym wska´znikiem g˛esto´sci upakowania elementów układów scalonych jest minimalna długo´sc´ kanału tranzystora (lub długo´sc´ bramki tranzystora). Im jest on mniejszy, tym upakowanie tranzystorów jest wi˛eksze. W najnowszych technologiach, w których mi˛edzy innymi produkowane sa˛ procesory firm Intel i AMD, minimalna długo´sc´ bramki wynosi obecnie 65 nm (dane z 2007r.) [Na podstawie encyklopedii internetowej Wikipedia.]. 5.

(7) ROZDZIAŁ 1. Wprowadzenie. 6. Zanim osiagni˛ ˛ eto technologiczne granice miniaturyzacji, prowadzono juz˙ ogólne rozwaz˙ ania nad wykorzystaniem mechaniki kwantowej do przetwarzania informacji oraz nad naturalnymi ograniczeniami na działanie komputerów wynikajacymi ˛ z praw fizyki 3 . Istotny wkład na tym polu pochodzi od R. Feynmana [7, 8], który wykazał, z˙ e mechanika kwantowa nie stawia z˙ adnych fundamentalnych (tj. wynikajacych ˛ z teorii) ograniczeń na działanie komputera 4 . Pokazał on takz˙ e, z˙ e układy kwantowe, które miałyby symulować zachowanie si˛e innych kwantowych układów b˛eda˛ wykonywać to zadanie wydajniej niz˙ komputery klasyczne. Prace Feynmana zapoczatkowały ˛ okres duz˙ ego zainteresowania tematem obliczeń kwantowych. W ten sposób narodziła si˛e idea komputera kwantowego komputera działajacego ˛ w oparciu o prawa mechaniki kwantowej. W dalszej cz˛esći pracy współczesne komputery b˛edziemy nazywać komputerami klasycznymi, aby odróz˙ nić je od komputerów kwantowych. Wraz z idea˛ komputera kwantowego pojawiły si˛e nowe dziedziny nauki takie jak informatyka kwantowa, kwantowa teoria informacji, czy kwantowa kryptografia. Temat kwantowych obliczeń i kwantowych komputerów zyskał szerszy rozgłos w latach 90-tych kiedy to pojawiły si˛e pierwsze prace, w których zasady mechaniki kwantowej zostały wykorzystane do stworzenia wydajnych algorytmów obliczeniowych. Pojawiła si˛e nowa klasa algorytmów obliczeniowych - algorytmy kwantowe.. 1.2. Algorytmy kwantowe. Pierwszy algorytm kwantowy został przedstawiony przez D. Deutsch i R. Jozsa w 1992 roku [1]. Sam algorytm był prosty i okre´slał czy dana funkcja jest stała czy zmienna. Był to pierwszy niepodwaz˙ alny dowód na to, z˙ e zasady mechaniki kwantowej pozwalaja˛ na skonstruowanie algorytmów obliczeniowych wydajniejszych niz˙ algorytmy klasyczne. Bardziej doniosłe odkrycie w tej dziedzinie przedstawił P. Shor w 1994 roku. Mianowicie skonstruował kwantowy algorytm wykonujacy ˛ rozkład liczb całkowitych na liczby pierwsze [2]. Jednocze´snie wykazał, z˙ e 3. Szerzej na temat historii idei kwantowych obliczeń moz˙ na przeczytać w pracy [6] „Prawa fizyki nie stawiaja˛ z˙ adnej bariery miniaturyzacji na działanie komputerów, dopóki g˛esto´sc´ zapisu informacji nie jest wi˛eksza niz˙ 1 bit na atom i dopóki prawa mechaniki kwantowej pozostaja˛ słuszne” fragment z [R. P. Feynman, „Komputery kwantowe”, Post˛epy fizyki, Tom 39, str. 411, 1988] 4.

(8) ROZDZIAŁ 1. Wprowadzenie. 7. czas potrzebny na rozłoz˙ enie liczby całkowitej n na czynniki pierwsze, przy pomocy jego algorytmu, ro´snie wraz z n wielomianowo ∼ (log n)a , podczas gdy dla klasycznych komputerów czas ten ro´snie wykładniczo ∼ exp (log n)a . Odkrycie to wzbudziło duz˙ e zainteresowanie głównie dlatego, z˙ e wi˛ekszo´sc´ powszechnie uz˙ ywanych algorytmów szyfrowania opiera si˛e na rozkładzie liczb całkowitych na czynniki pierwsze. Kolejny uz˙ yteczny przykład wydajnego algorytmu kwantowego przedstawił L. K. Grover w 1997 roku [3]. Był to algorytm przeszukiwania nieposortowanej bazy. Grover pokazał, z˙ e czas potrzebny na znalezienie wybranego elementu w bazie n-elementowej, przy pomocy kwantowego algorytmu, ro´snie √ jak ∼ n. Współczesne komputery potrzebuja˛ na to czasu, który ro´snie liniowo z rozmiarem bazy n. Do listy waz˙ nych algorytmów kwantowych nalez˙ y dodać algorytmy przedstawione w pracach [9, 10, 11]. Mimo duz˙ ego optymizmu jaki wzbudziły pierwsze algorytmy kwantowe nalez˙ ało liczyć si˛e z tym, z˙ e ich praktyczna realizacja wymaga pokonania kilku istotnych problemów. Jednym z nich jest dekoherencja w układach kwantowych, która jest z´ ródłem bł˛edów obliczeniowych. Nieuniknione oddziaływanie układu z otoczeniem wprowadza nieunitarny przyczynek do ewolucji i niszczy informacj˛e zakodowana˛ w stanie kwantowym układu. Utrzymanie układów kwantowych w stanach koherentnych jak i prowadzenie koherentnej ewolucji czasowej nawet w przypadku najprostszych układów kwantowych jest ogromnym wyzwaniem dla fizyki do´swiadczalnej. Fakt ten zmotywował wiele grup badaczy do prac nad kwantowymi algorytmami korekcji bł˛edów. Pierwsze prace na ten temat pojawiły si˛e w połowie lat 90-tych. Bardzo waz˙ nym osiagni˛ ˛ eciem w tej dziedzinie było stworzenie klasy algorytmów pozwalajacych ˛ na realizowanie dowolnie długich obliczeń w układach kwantowych i jednocze´snie całkowicie pozbawionych bł˛edów obliczeniowych, nawet je´sli bł˛edy wyst˛epowałyby w samych operacjach korekcji bł˛edów [12, 13, 14]. Wi˛ecej na temat kwantowych algorytmów kwantowej korekcji bł˛edów moz˙ na znale´zc´ w pracach [15, 16, 17, 18, 19, 14, 20, 21, 22, 23]. Kolejna˛ klasa˛ bardzo waz˙ nych algorytmów kwantowych sa˛ algorytmy kwantowej kryptografii oraz kwantowej komunikacji. Okazało si˛e bowiem, z˙ e dzi˛eki takim własno´sciom jak kwantowe splatanie ˛ moz˙ na skonstruować algorytmy szyfrowania i transmisji informacji całkowicie odporne na ”podsłuch”. Jakakolwiek próba przechwycenia zakodowanej informacji jest bowiem równoznaczna z jej znisz-.

(9) ROZDZIAŁ 1. Wprowadzenie. 8. czeniem. W´sród wielu prac na ten temat warto wymienić pozycje [4, 16, 24, 5].. 1.3. Fizyczne modele kwantowych obliczen´. Wizja kwantowych komputerów nabrała blasku, gdy wykazano, z˙ e moga˛ one wykonywać pewne zadania obliczeniowe wydajniej niz˙ komputery klasyczne. Pojawienie si˛e wydajnych algorytmów kwantowych, zapoczatkowało ˛ dynamiczny wzrost zainteresowania tematem kwantowych obliczeń. W efekcie, w drugiej połowie lat 90-tych moz˙ na było zaobserwować znaczacy ˛ wzrost liczby prac zarówno teoretycznych jak i do´swiadczalnych w tej nowej dziedzinie. Prace te prowadzone sa˛ nadal w wielu róz˙ nych obszarach fizyki takich jak optyka [25], fizyka atomowa [26], fizyka jadrowa ˛ [27], fizyka półprzewodników [28], nadprzewodników [29] i wiele innych. Pierwsze, fizyczne modele kwantowych obliczeń pojawiły si˛e pod koniec XX wieku. W 1995 roku zaprezentowany został model kwantowej bramki CNOT z wykorzystaniem układu zimnych pułapkowanych jonów [26]. Model ten doczekał si˛e praktycznej realizacji jeszcze w tym samym roku [30], a takz˙ e w roku 2003 [31]. W 1997 roku pojawiła si˛e praca [27], w której wykorzystano techniki NMR do skonstruowania kwantowego algorytmu rozkładu liczb pierwszych na czynniki (Algorytm Shore’a [2]). Cztery lata pó´zniej zaimplementowano ten algorytm w układzie 7 qubitów [32], co pozwoliło na rozłoz˙ enie liczby 15 na czynniki pierwsze. Realizacje kwantowych obliczeń zaproponowano takz˙ e z udziałem układów takich jak wn˛eki rezonansowe [33, 25]. Na przełomie XX-go i XXI-go wieku pojawiły si˛e pierwsze propozycje obliczeń kwantowych z wykorzystaniem układów półprzewodnikowych, a w tym kropek kwantowych [34, 35, 36, 37, 38, 39]. W 2000 roku, D. P. DiVincenzo sformułował list˛e kryteriów jakie musza˛ być spełnione przez układy kwantowe, aby mogły stanowić podstaw˛e do budowy wydajnego komputera kwantowego (kryteria DiVincenzo [40]). Jednym z kryteriów jest moz˙ liwo´sc´ łaczenia ˛ ze soba˛ wielu układów reprezentujacych ˛ qubity (skalowalno´sc´ ). Bramki kwantowe zbudowane z wykorzystaniem wn˛ek rezonansowych, technik NMR, a takz˙ e pułapkowanych jonów napotykaja˛ powaz˙ ny problem na tym polu. Dlatego tez˙ mimo wielu kierunków badań nad budowa˛ kwantowych układów obliczeniowych najwi˛eksze szanse powodzenia wydaja˛ si˛e mieć obecnie.

(10) ROZDZIAŁ 1. Wprowadzenie. 9. te, w których wykorzystywane sa˛ ciała stałe. Jako jedne z nielicznych układów spełniaja˛ wi˛ekszo´sc´ kryteriów DiVincenzo. Aktualnie, w´sród wielu propozycji na fizyczne realizacje kwantowych bramek logicznych, najbardziej obiecujace ˛ sa˛ modele wykorzystujace ˛ własno´sci ciał stałych. W´sród nich z kolei bardzo popularne stały si˛e propozycje z udziałem półprzewodnikowych kropek kwantowych, co wynika z dost˛epnych, dobrze rozwini˛etych technologii wytwarzania układów półprzewodnikowych. Nowe technologie pozwalaja˛ coraz precyzyjniej modelować układy kropek kwantowych, a w ten sposób wpływać na struktur˛e poziomów energetycznych. Ma to decydujace ˛ znacznie przy projektowaniu układów do przetwarzania kwantowej informacji. W 1995 roku zaprezentowano po raz pierwszy model kwantowej bramki logicznej CNOT z wykorzystaniem półprzewodnikowych kropek kwantowych [41]. Zaproponowany model wykorzystuje elektronowe stopnie swobody układu dwóch sprz˛ez˙ onych kropek kwantowych oraz fal˛e elektromagnetyczna˛ o odpowiednio dobranej cz˛estotliwo´sci do zrealizowania operacji CNOT. Wzrost zainteresowania tematem zaowocował w krótkim czasie kolejnymi pracami bazujacymi ˛ na układach kropek kwantowych [35, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 23, 52, 53, 54, 55, 56, 57]. Powaz˙ na˛ przeszkoda˛ na drodze do realizacji kwantowych obliczeń z wykorzystaniem orbitalnych stopni swobody elektronów w półprzewodnikowych kropkach kwantowych sa˛ krótkie czasy dekoherencji dla stanów orbitalnych. Znacznie dłuz˙ sze czasy dekoherencji rejestruje si˛e dla spinowych stopni swobody. Jedna˛ z pierwszych prac, w której zaproponowano spinowy model obliczeń była publikacja B. E. Kane z 1998 roku [34]. W proponowanym modelu informacja kwantowa kodowana jest w stanach spinowych jader ˛ domieszek donorowych (fosforu) osadzonych w krzemie. Operacje kwantowej logiki na pojedynczych spinach realizowane sa˛ przy pomocy przyłoz˙ onych z zewnatrz ˛ pól elektrycznych. W s´lad za praca˛ B. E. Kane pojawiały si˛e kolejne, w których wykorzystywano spinowe stopnie swobody do konstruowania układów kwantowej logiki [35, 58, 59, 60, 45, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74]. Kontrolowany proces wymiany spinów elektronów w układzie dwóch kropek kwantowych został zademonstrowany przez zespół eksperymentatorów pod kierownictwem C. M. Marcusa [75]. Eksperyment pokazał, z˙ e odpowiednia zmiana po-.

(11) ROZDZIAŁ 1. Wprowadzenie. 10. tencjałów elektrod nanourzadzenia ˛ pozwala na przygotowanie stanu spinowego elektronów, przeprowadzenie kontrolowanego procesu wymiany spinów, a takz˙ e odczyt końcowych stanów spinowych. Wyniki osiagni˛ ˛ ete przez zespół C. M. Marcusa stanowia˛ solidna˛ podstaw˛e do budowy złoz˙ onych układów mogacych ˛ realizować kwantowe obliczenia.. 1.4. Słabe punkty kwantowych algorytmów. Wydajne algorytmy kwantowe przedstawione w podrozdziale 1.2 bazuja˛ na jednej z podstawowych zasad mechaniki kwantowej - zasadzie superpozycji. Załóz˙ my, z˙ e mamy dany układ znajdujacy ˛ si˛e w stanie b˛edacym ˛ superpozycja˛ wszystkich jego moz˙ liwych stanów własnych. Teraz działajac ˛ na tak przygotowany stan operatorem ewolucji czasowej przeprowadzimy go przez odpowiedni ciag ˛ operacji logiki kwantowej. Poniewaz˙ układ był w stanie superponowanym, ewolucja prowadzona była dla wszystkich składowych stanu superponowanego jednocze´snie. Gdyby taki proces udało si˛e zrealizować w rzeczywisto´sci komputery kwantowe mogłyby przeprowadzać równoległe obliczenia dla wielu stanów układu jednocze´snie i w ten sposób przewyz˙ szyć wydajno´scia˛ komputery klasyczne. W najogólniejszym uj˛eciu, pełny cykl pracy komputera kwantowego b˛edzie składał si˛e z nast˛epujacych ˛ etapów: 1) przygotowanie stanu poczatkowego, ˛ 2) kontrolowana z zewnatrz, ˛ koherentna ewolucja układu realizujaca ˛ okre´slony ciag ˛ operacji logiki kwantowej (obliczenia), 3) odczyt informacji kwantowej. Moz˙ emy załoz˙ yć, z˙ e pierwszy etap pracy, polegajacy ˛ na przygotowaniu układu kwantowego w stanie superponowanym jest obecnie osiagalny. ˛ Jednakz˙ e, etapy 2 i 3 sa˛ niezwykle trudne do zrealizowania w praktyce. W etapie drugim, aby wykonać okre´slony ciag ˛ operacji logicznych musimy w kontrolowany sposób włacza´ ˛ c i wyłacza´ ˛ c oddziaływanie układu z pewnym zewn˛etrznym zaburzeniem. Ewolucja czasowa układu musi przebiegać koherentnie, aby informacja zakodowana w stanie kwantowym układu nie została zniszczona. Tymczasem, efekty interferencji kwantowej sa˛ niezwykle czułe na jakiekolwiek, choćby najmniejsze zaburzenia z zewnatrz. ˛ Nawet je´sli zostanie pokonany problem koherentnej ewolucji układu, to pojawia si˛e kolejne wyzwanie. Mianowicie, odczyt pełnej informacji zawartej w superponowanym stanie kwantowym. W mechanice kwantowej.

(12) ROZDZIAŁ 1. Wprowadzenie. 11. nie da si˛e przewidzieć wyniku jaki otrzymamy w pojedynczym pomiarze na układzie kwantowym znajdujacym ˛ si˛e w stanie, który jest superpozycja˛ stanów własnych operatora odpowiadajacego ˛ mierzonej wielko´sci fizycznej. Jednocze´snie, pojedynczy pomiar zmieni w sposób niekontrolowany stan układu, a wi˛ec zniszczy zakodowana˛ w nim informacj˛e. Tymczasem, aby wydobyć pełna˛ informacj˛e kwantowa˛ zakodowana˛ w stanie układu, na ogół trzeba wykonać dostatecznie duz˙ a˛ liczb˛e pomiarów na układzie. Rozwiazaniem ˛ takiej niedogodno´sci mogłoby być utworzenie kopii stanu kwantowego przed wykonaniem pomiaru. Jednak zgodnie z twierdzeniem o nieklonowaniu [76] przy kopiowaniu stanu kwantowego niszczymy równocze´snie stan klonowany. Tylko w szczególnych przypadkach, pojedynczy pomiar wykonany na układzie znajdujacym ˛ si˛e w stanie superponowanym pozwala wydobyć pełna˛ informacj˛e w nim zakodowana˛ [1]. Nie ulega watpliwo´ ˛ sci, z˙ e wydajne obliczenia realizujace ˛ algorytmy kwantowe wymienione w podrozdziale 1.2 b˛eda˛ moz˙ liwe dopiero wtedy, gdy uda si˛e pokonać trudno´sci 2-go i 3-go etapu cyklu pracy komputera kwantowego. Na podstawie osiagni˛ ˛ ec´ w dziedzinie wytwarzania półprzewodnikowych kropek kwantowych, moz˙ na przewidywać, z˙ e najpierw powstanie generacja komputerów wykorzystujaca ˛ efekty kwantowe do wykonywania klasycznych operacji logicznych. Wydajno´sc´ takich ”hybrydowych” komputerów nie b˛edzie wiele wi˛eksza od wydajno´sci komputerów klasycznych. Wydajne komputery kwantowe powstana˛ dopiero wtedy, gdy moz˙ liwa b˛edzie pełna kontrola nad kwantowa˛ interferencja˛ w układach złoz˙ onych i gdy rozwiazany ˛ zostanie problem odczytu informacji kwantowej. Prace nad komputerem kwantowym nalez˙ y rozpocza´ ˛c od badań nad kwantowymi bramkami logicznymi, z których b˛eda˛ konstruowane bardziej złoz˙ one operacje kwantowej logiki..

(13) Rozdział 2 Podstawy kwantowych obliczen´ W tym rozdziale wprowadzamy kilka podstawowych poj˛ec´ i zagadnień zwia˛ zanych z tematyka˛ komputerów kwantowych i kwantowego przetwarzania informacji, którymi b˛edziemy posługiwać si˛e w dalszej cz˛esći pracy. Dla przejrzysto´sci nowe poj˛ecia wprowadzamy odwołujac ˛ si˛e do poj˛ec´ znanych z klasycznej teorii informacji, podkre´slajac ˛ jednocze´snie róz˙ nice mi˛edzy nimi. Szersze wprowadzenie w tematyk˛e kwantowych obliczeń moz˙ na znale´zc´ w pracach [77, 78, 6, 79, 80, 81, 82].. 2.1. Informacja klasyczna. Przez klasyczne bramki logiczne b˛edziemy rozumieć podstawowe elementy logiczne, stanowiace ˛ podstaw˛e budowy współczesnych układów elektronicznych i realizujace ˛ w praktyce algebr˛e Boola. Klasyczne bramki logiczne moz˙ emy tez˙ zdefiniować jako bramki konstruowane w oparciu o zasady fizyki klasycznej. Podstawowymi, klasycznymi bramkami logicznymi, z których konstruowane sa˛ obecnie złoz˙ one systemy przetwarzania informacji, sa˛ bramka negacji (NOT), koniunkcji (AND), zaprzeczenia koniunkcji (NAND), alternatywy (OR) oraz bramka wykluczenia alternatywy (XOR). W´sród wielu moz˙ liwych, fizycznych reprezentacji takich bramek dominuja˛ obecnie układy półprzewodnikowe działajace ˛ zgodnie z zasadami klasycznej elektroniki. W ogólno´sci kaz˙ da bramka logiczna posiada pewna˛ liczb˛e linii wej´scia i pewna˛ liczb˛e linii wyj´scia. Stan logiczny na 12.

(14) ROZDZIAŁ 2. Podstawy kwantowych obliczeń. 13. liniach wej´scia determinuje stan logiczny na liniach wyj´scia. W praktyce stany logiczne 1 i 0 reprezentowane sa˛ przez odpowiednie warto´sci napi˛ecia podawane na przewody, które reprezentuja˛ linie wej´scia. Jako przykład klasycznej bramki logicznej prezentujemy bramk˛e wykluczenia alternatywy (XOR, z ang. eXclusive OR). Bramka ta posiada swój odpowiednik kwantowy, o którym szerzej piszemy w rozdziale 3. Rysunek 2.1a przedstawia schemat bramki XOR, natomiast rysunek 2.1b odpowiadajac ˛ a˛ jej tabel˛e prawdy. Bramka posiada dwie linie wej´scia i jedna˛ lini˛e wyj´scia. Kaz˙ da linia wej´scia i wyj´scia reprezentuje pewna˛ porcj˛e informacji. Dlatego tez˙ bramka logiczna jest elementarnym narz˛edziem przetwarzania informacji. (a). (b). x f (x,y) y. x 0 0 1 1. y f (x, y) 0 0 1 1 0 1 1 0. Rys. 2.1: (a) schemat klasycznej bramki XOR, (b) tabela prawdy przedstawiajaca ˛ moz˙ liwe stany logiczne bramki XOR.. Klasyczna jednostka informacji. Podstawowa,˛ klasyczna˛ jednostka˛ informacji jest bit (z ang. binary digit). Bit moz˙ e przyjmować tylko dwie róz˙ ne warto´sci. Zwykle oznacza si˛e je jako 0 (zero) i 1 (jeden), choć moz˙ na przyja´ ˛c dowolna˛ par˛e oznaczeń (np. prawda i fałsz czy -1 i +1). Jednak w tym pierwszym przypadku moz˙ liwe warto´sci bitu odpowiadaja˛ cyfrom w systemie dwójkowym (binarnym), a wła´snie zgodnie z tym systemem liczbowym współczesne komputery realizuja˛ operacje arytmetyczne. Na kaz˙ da˛ lini˛e wej´scia/wyj´scia przypada jeden bit informacji. Warto wspomnieć w tym miejscu, z˙ e we wczesnej historii komputerów próbowano konstruować takz˙ e maszyny liczace ˛ w oparciu o inne systemy liczbowe takie jak system trójkowy czy dziesi˛etny. W praktyce okazało si˛e, z˙ e mimo iz˙ wszystkie systemy liczbowe matematycznie sa˛ równowaz˙ ne, to jednak z technicznego punktu widzenia niektóre z nich sa˛ lepsze od pozostałych. W zalez˙ no´sci od wyboru systemu liczbowego, fizyczne układy realizujace ˛ podstawowe.

(15) ROZDZIAŁ 2. Podstawy kwantowych obliczeń. 14. Rys. 2.2: Sieć logiczna.. operacje arytmetyczne, b˛eda˛ mniej lub bardziej złoz˙ one. Na bazie teorii obliczeń dowiedziono, z˙ e najbardziej optymalnym rozwiazaniem ˛ jest budowanie układów obliczeniowych w oparciu wła´snie o system dwójkowy [83]. Klasyczne sieci obliczeniowe. Przez klasyczne sieci obliczeniowe b˛edziemy rozumieć sieci zbudowane z klasycznych bramek logicznych (Rys. 2.2). Kaz˙ da sieć obliczeniowa posiada pewna˛ liczb˛e linii wej´scia i wyj´scia, z których kaz˙ da moz˙ e przyjmować tylko dwa stany logiczne 0 i 1. Informacja wprowadzana jest do sieci w postaci uporzadkowanego ˛ ciagu ˛ stanów logicznych na liniach wej´scia. Stan logiczny linii wej´scia determinuje jednoznacznie stany logiczne na liniach wyj´scia (współczesne komputery sa˛ urzadzeniami ˛ deterministycznymi). Przykładowo je´sli mamy dana˛ sieć, która posiada 4 linie wej´scia moz˙ emy ustawić 16 róz˙ nych stanów logicznych na wej´sciu. W ogólno´sci, sieć logiczna˛ posiadajac ˛ a˛ n n linii wej´scia moz˙ na ustawić w 2 stanach logicznych. W uj˛eciu matematycznym kaz˙ da sieć obliczeniowa realizuje pewna˛ funkcj˛e logiczna˛ postaci f:. {0, 1}n → {0, 1}m .. (2.1). Uniwersalny zbiór bramek logicznych. W teorii obliczeń definiuje si˛e tzw. uniwersalny zbiór bramek logicznych jako najmniejszy zbiór bramek, przy pomocy których moz˙ na skonstruować sieć obliczeniowa˛ realizujac ˛ a˛ dowolna˛ operacj˛e logiczna,˛ tj. funkcj˛e dana˛ wyraz˙ eniem 2.1. Dobrym przykładem jest bardzo prosty, jednoelementowy zbiór, którego jedynym elementem jest klasyczna bramka.

(16) ROZDZIAŁ 2. Podstawy kwantowych obliczeń. 15. logiczna NAND. Majac ˛ do dyspozycji tylko t˛e bramk˛e moz˙ emy konstruować sieci obliczeniowe realizujace ˛ dowolne operacje logiczne.. 2.2. Informacja kwantowa i jej przetwarzanie. W przypadku fizycznych realizacji klasycznych bramek logicznych mamy do czynienia z liniami wej´scia i wyj´scia. Stany napi˛eciowe na liniach wej´scia determinuja˛ stany napi˛eciowe na liniach wyj´scia. W przypadku kwantowych bramek logicznych schemat działania jest inny. Mamy dany pewien układ kwantowy, który poddawany jest unitarnej ewolucji. Najpierw ustawiamy układ w stanie poczat˛ kowym, nast˛epnie poddajemy unitarnej ewolucji i na końcu dokonujemy odczytu stanu końcowego. Kwantowa bramka logiczna jest wi˛ec wyróz˙ niona˛ operacja˛ unitarna˛ na odpowiednio przygotowanym układzie kwantowym [1]. Z kolei kwantowe obliczenia/kwantowe sieci obliczeniowe b˛eda˛ ciagami ˛ operacji unitarnych wykonywanymi na układach kwantowych reprezentujacych ˛ qubity [8, 84, 85]. W kwantowym przetwarzaniu informacji wykorzystywane sa˛ dwie charakterystyczne własno´sci teorii kwantów. Pierwsza˛ z nich jest zasada superpozycji, druga˛ - kwantowe splatanie, ˛ które omawiamy w dalszej cz˛esći niniejszego rozdziału. Zasada superpozycji wynika z liniowo´sci równania Schrödingera. Natomiast kwantowe splatanie ˛ jest najbardziej niezwykła˛ własno´scia˛ układów fizycznych, która była tematem wnikliwych rozwaz˙ ań przez kilka dziesi˛ecioleci (paradoks EPR). Pierwsze eksperymenty weryfikujace ˛ t˛e własno´sc´ zacz˛eto przeprowadzać w latach 70-tych XX wieku jednak dopiero w 1998 r. przeprowadzono eksperyment, który dowiódł ponad wszelka˛ watpliwo´ ˛ sc´ wyst˛epowanie kwantowego spla˛ tania pary fotonów [86]. Kwantowe splatanie ˛ stało si˛e podstawa˛ dla takich dziedzin jak kwantowa teleportacja [5], komunikacja [87] i szyfrowanie [5]. Szerzej na temat kwantowego splatania ˛ i eksperymentalnych dowodów na wyst˛epowanie takiej własno´sci moz˙ na przeczytać w pracy [88]. Odwracalno´sc´ bramek logicznych. Klasyczne bramki logiczne sa˛ urzadzenia˛ mi nieodwracalnymi oznacza to, z˙ e nie da si˛e sterować stanem wej´scia przy pomocy napi˛ec´ przyłoz˙ onych do wyj´scia bramki. Fakt ten ma odzwierciedlenie w symbolach graficznych reprezentujacych ˛ poszczególne bramki (Rys. 2.1). W przy-.

(17) ROZDZIAŁ 2. Podstawy kwantowych obliczeń. 16. padku kwantowych bramek logicznych spodziewamy si˛e, z˙ e b˛eda˛ to urzadzenia ˛ odwracalne. Cecha ta wynika wprost z praw mechaniki kwantowej, które sa˛ odwracalne w czasie 1 . Fakt ten uwzgl˛ednił R. Feynman zakładajac ˛ w swych rozwaz˙ aniach odwracalno´sc´ operacji logicznych realizowanych przez układy kwantowe [7, 8]. Feynman m. in. wprowadził symetryczne symbole bramek logicznych, które uz˙ ywane sa˛ obecnie do oznaczania kwantowych bramek logicznych. Przykładem odwracalnej bramki kwantowej jest bramka kontrolowanej negacji (CNOT) b˛edaca ˛ odwracalnym odpowiednikiem klasycznej bramki wykluczenia alternatywy (XOR). ´ Jak juz˙ wspominali´smy, wydajno´sc´ alSuperpozycja i równoległo´sc´ obliczen. gorytmów kwantowych bazuje na zasadzie superpozycji. To wła´snie z ta˛ własnosćia˛ mechaniki kwantowej wia˛z˙ e si˛e poj˛ecie równoległych obliczeń kwantowych. Aby przybliz˙ yć t˛e ide˛e zakładamy dla uproszczenia, z˙ e mamy dany pewien układ kwantowy, który moz˙ e znajdować si˛e tylko w dwóch stanach - oznaczmy je przez |0i i |1i. Zasada superpozycji mówi, z˙ e je´sli |0i i |1i sa˛ dwoma róz˙ nymi stanami tego samego układu to układ ten moz˙ e znajdować si˛e takz˙ e w stanie α|0i + β|1i, gdzie α i β to liczby zespolone spełniajace ˛ warunek normalizacji |α|2 + |β|2 = 1. Czasowa ewolucja takiego układu jest deterministyczna, (tj. zgodna z zalez˙ nym od czasu równaniem Schrödingera). W praktyce, oznacza to, z˙ e dokonujemy jednocze´snie operacji na dwóch stanach |0i i |1i. Wykorzystujac ˛ t˛e własno´sc´ mechaniki kwantowej stworzono wydajne algorytmy kwantowe takie jak algorytm rozkładu liczb pierwszych na czynniki [2] czy algorytm wyszukiwania informacji w nieposortowanej bazie [3]. Kwantowe splatanie. ˛ Kwantowe splatanie ˛ dwóch układów kwantowych jest specyficznym rodzajem korelacji pomi˛edzy tymi układami, która nie zalez˙ y od ich wzgl˛ednej lokalizacji [89, 90, 88]. Poj˛ecie kwantowego splatania ˛ (ang. quantum entanglement) wprowadził E. Schrödinger w 1935 roku [91], aby opisać wyjatkowy ˛ zwiazek ˛ jaki moz˙ e wyst˛epować mi˛edzy kwantowymi układami. Aby wyja´snić zjawisko kwantowego splatania, ˛ załóz˙ my, z˙ e mamy dwa dwustanowe Ewolucja czasowa wstecz w czasie zdefiniowana jest poprzez operator U −1 = U † , który zawsze istnieje co wynika z jego unitarno´sci 1.

(18) ROZDZIAŁ 2. Podstawy kwantowych obliczeń. 17. układy kwantowe. Moz˙ liwe stany takiego układu moz˙ emy przedstawić przy pomocy ketu |xyi, gdzie x, y ∈ {0, 1}. Przykładowo stan reprezentowany ketem |10i b˛edzie odpowiadał sytuacji, w której jeden z układów b˛edzie znajdował si˛e w sta√ nie |1i, a drugi - w stanie |0i. Załóz˙ my teraz, z˙ e stan (|01i − |10i)/ 2 opisuje w sposób kompletny cały układ. Wówczas poszczególne podukłady nie maja˛ dobrze zdefiniowanego stanu - sa˛ splatane. ˛ Splatanie ˛ takich dwóch układów oznacza, z˙ e nie jest moz˙ liwy opis jednego układu niezalez˙ nie od drugiego. W ogólno´sci, je´sli podukłady wi˛ekszego układu kwantowego nie oddziałuja˛ mi˛edzy soba,˛ wówczas Hamiltonian układu jest suma˛ hamiltonianów podukładów H = H1 + H2 + H3 + · · · + Hn ,. (2.2). a wektory reprezentujace ˛ stan całego układu na iloczyn tensorowy wektorów reprezentujacych ˛ stany podukładów |ψi = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i ⊗ |ψ3 i ⊗ · · · ⊗ |ψn i.. (2.3). Stan splatany ˛ jest kwantowa˛ superpozycja˛ złoz˙ onego układu, którego podukłady sa˛ od siebie zalez˙ ne w tym sensie, z˙ e nie jest moz˙ liwy kompletny opis poszczególnych podukładów w sposób niezalez˙ ny od innych podukładów. Z matematycznego punktu widzenia oznacza to, z˙ e całkowitego stanu układu nie moz˙ na wyrazić w postaci iloczynu tensorowego stanów poszczególnych podukładów. W praktyce oznacza to, z˙ e informacja zawarta w stanie kwantowym takiego układu obejmuje wszystkie podukłady. Kwantowe splatanie ˛ jest druga˛ z własno´sci układów kwantowych, która została wykorzystana do budowania algorytmów kwantowych. Ta do´sc´ specyficzna własno´sc´ pozwoliła na skonstruowanie bezpiecznych algorytmów szyfrowania i transmisji informacji. Kwantowa jednostka informacji, rejestr kwantowy. Podstawowa,˛ kwantowa˛ jednostka˛ informacji jest qubit (z ang. Quantum Bit) [92]. Podobnie jak bit klasyczny, qubit moz˙ e przyjmować dwa róz˙ ne stany logiczne odpowiadajace ˛ fizycznym stanom układu, który go reprezentuje. Zgodnie z notacja˛ Diraca stany te przyj˛eło si˛e oznaczać przez |0i i |1i. Jednak poza tymi dwoma stanami qubit moz˙ e znajdować si˛e takz˙ e w stanie b˛edacym ˛ dowolna,˛ liniowa˛ superpozycja˛ stanów |0i.

(19) ROZDZIAŁ 2. Podstawy kwantowych obliczeń. 18. i |1i |ψi = α|0i + β|1i,. (2.4). gdzie α i β to liczby zespolone spełniajace ˛ warunek normalizacji |α|2 + |β|2 = 1. Spo´sród wielu moz˙ liwych, fizycznych reprezentacji qubitu, najlepszymi kandydatami sa˛ dwupoziomowe układy kwantowe. Dobrym przykładem układu, który w naturalny sposób reprezentować moz˙ e qubit, jest elektron w polu magnetycznym. Spin elektronu moz˙ e przyjmować tylko dwie róz˙ ne warto´sci rzutu na wybrana˛ o´s kwantyzacji. W ogólno´sci, qubit moz˙ e być reprezentowany przez dowolny układ kwantowy, w którym wyróz˙ nimy dwa charakterystyczne poziomy energetyczne, które b˛eda˛ odpowiadały stanom logicznym qubitu |0i i |1i. Zbiór qubitów nazywa si˛e rejestrem kwantowym (ang. Quantum Register). Liczba qubitów wchodzaca ˛ w skład rejestru definiuje jego rozmiar. Rejestr kwantowy o rozmiarze N posiada N qubitów. Zbiór 2N ortogonalnych stanów rejestru kwantowego nazywamy stanami bazowymi. Aby moz˙ liwe było skonstruowanie wydajnie działajacego ˛ komputera kwantowego, nalez˙ y wybrać odpowiednie układy fizyczne reprezentujace ˛ rejestr kwantowy. Kryteria jakimi powinno si˛e kierować przy wyborze takich układów zostały zebrane i omówione szczegółowo przez D. DiVincenzo (kryteria DiVincenzo [40]). Dekoherencja w układach kwantowych. Dekoherencja jest wynikiem oddziaływania układu kwantowego z otoczeniem. Z punktu widzenia kwantowych obliczeń takie zjawisko prowadzi do zniszczenia informacji kwantowej zakodowanej w stanie układu. W przypadku spinu elektronu dekoherencj˛e opisuje si˛e przy pomocy dwóch parametrów T1 i T2 . Pierwszy z nich to czas relaksacji podłuz˙nej zwany tez˙ czasem relaksacji spin-sieć. Jest to czas powrotu wzbudzonego stanu spinowego do równowagi termicznej i jest bardzo waz˙ nym parametrem charakteryzujacym ˛ dynamik˛e spinu. Drugi z wymienionych parametrów to czas relaksacji poprzecznej zwany tez˙ czasem relaksacji spin-spin lub czasem dekoherencji. Jest on miara˛ szybko´sci strat zgodno´sci fazy pomi˛edzy indywidualnymi spinami. Na ogół zachodzi relacja T2 < T1 stad ˛ tez˙ z punktu widzenia kwantowych obliczeń parametrem, który ma najwi˛eksze znaczenie jest T2 . Im wi˛eksze T2 tym wi˛eksza b˛edzie liczba operacji jaka˛ wykona dany układ kwantowy..

(20) ROZDZIAŁ 2. Podstawy kwantowych obliczeń. 19. Szacowane oraz zmierzone czasy relaksacji T1 dla elektronów zlokalizowanych w kropkach kwantowych uformowanych w GaAs sa˛ stosunkowo długie co daje nadziej˛e na potencjalne zastosowania takich układów do obliczeń kwantowych. Oszacowania czasu relaksacji T1 dla spinowych stopni swobody, daja˛ warto´sc´ rz˛edu 1 ms [93]. Dla elektrostatycznie formowanych kropek kwantowych w GaAs, pomiary czasu relaksacji wykazały, z˙ e T1 > 50 µs w polu magnetycznym B = 7.5 T [68]. Inne pomiary w podobnej strukturze dały wynik T1 = (0.85 ± 0.11) ms w polu B = 8 T [94]. W układzie samozorganizowanych kropek kwantowych In(GA)As otrzymano oszacowanie T1 20 ms przy temperaturze 1 K i polu magnetycznym B = 4 T [69]. Zjawiska relaksacji spinu badane były takz˙ e w układach bocznie sprz˛ez˙ onych kropek kwantowych [75, 95] dajac ˛ wynik T2 > 10 ns. Odczyt kwantowej informacji. Jednym z istotnych problemów w kwantowym przetwarzaniu informacji jest wydobywanie informacji zakodowanej w stanie układu, które polega na wykonaniu odpowiedniego pomiaru na układzie. Taki pomiar wia˛z˙ e si˛e z oddziaływaniem tego układu z pewnym zaburzeniem z zewnatrz, ˛ które na ogół zmienia jego stan w sposób niedeterministyczny. Załóz˙ my dla przykładu, z˙ e mamy dany qubit w stanie |Ψi = α|0i + β|1i b˛edacym ˛ superpozycja˛ jego stanów bazowych |0i i |1i. Wielko´sci zespolone α i β interpretuje si˛e jako amplitudy prawdopodobieństwa tego, z˙ e w wyniku pomiaru uzyskamy wynik odpowiednio 0 lub 1. Jednakz˙ e mechanika kwantowa nie pozwala przewidzieć jednoznacznie, który z wyników otrzymamy w pojedynczym pomiarze. Wyznaczenie warto´sci prawdopodobieństw |α|2 i |β|2 wymagałoby wykonania serii pomiarów na zbiorze identycznych układów kwantowych przygotowanych w tym samym stanie kwantowym. Załóz˙ my teraz, z˙ e mamy rejestr kwantowy złoz˙ ony z pewnej liczby qubitów, przygotowany w okre´slonym stanie poczatkowym ˛ b˛edacym ˛ superpozycja˛ jego stanów własnych (bazowych). Nast˛epnie wykonujemy ciag ˛ operacji realizujacych ˛ okre´slone zadanie obliczeniowe. Jako wynik końcowy operacji mamy dany rejestr kwantowy w okre´slonym stanie końcowym. Pojedynczy pomiar na takim rejestrze na ogół wydob˛edzie tylko pewna˛ cz˛esć´ informacji niszczac ˛ jednocze´snie końcowy stan rejestru. Problem odczytu informacji dałoby si˛e rozwiaza´ ˛ c, gdyby moz˙ liwe było tworzenie kopii stanu qubitu/rejestru. Dzi˛eki.

(21) ROZDZIAŁ 2. Podstawy kwantowych obliczeń. 20. temu moz˙ na byłoby wykonać odpowiednia˛ liczb˛e kopii stanu końcowego rejestru i wykonać seri˛e pomiarów dajacych ˛ w sumie pełna˛ informacj˛e w nim zakodowana.˛ Mechanika kwantowa stawia jednak jeszcze jedna˛ przeszkod˛e. W 1982 roku wykazano, z˙ e nie jest moz˙ liwe wykonanie kopii stanu kwantowego bez jednoczesnego zniszczenia stanu kopiowanego (No cloning theorem [76]). Zatem, pojawia si˛e pytanie, jak odczytać pełna˛ informacj˛e zawarta˛ w kwantowym rejestrze? Przykładowe rozwiazanie ˛ tego problemu dla konkretnego przypadku przedstawione zostało w pracy [1]. Przykłady kwantowych bramek logicznych. Przez kwantowe bramki logiczne rozumie si˛e okre´slone operacje unitarne wykonywane na układzie kwantowym reprezentujacym ˛ pewien zbiór qubitów (kwantowy rejestr). W tej cz˛esći przedstawimy tylko kilka najwaz˙ niejszych, kwantowych bramek logicznych. Kompletne opracowanie na temat kwantowych bramek logicznych moz˙ na znale´zc´ m. in. w pracach [84, 81, 80]. Wyróz˙ nia si˛e dwie grupy kwantowych bramek logicznych bramki jednoqubitowe i dwuqubitowe. W 1995 r. wykazano, z˙ e na bazie bramki dwuqubitowej CNOT i bramek jednoqubitowych moz˙ na zrealizować dowolna˛ operacj˛e logiczna˛ [84]. Jednoqubitowe operacje logiczne realizowane przez zmian˛e orientacji spinu sa˛ duz˙ o wolniejsze niz˙ operacje dwuqubitowe realizowane z wykorzystaniem oddziaływania wymiany. Pierwsze z wymienionych wia˛z˙ a˛ si˛e bowiem z operacja˛ zmiany orientacji spinu, która jest duz˙ o dłuz˙ sza niz˙ operacja wymiany spinów. Fakt ten zmotywował do poszukiwania wydajniejszych rozwia˛ zań. W 1995 r. pojawiła si˛e praca [85], w której wykazano, z˙ e do zrealizowania dowolnej operacji logicznej wystarczajace ˛ sa˛ same bramki dwuqubitowe. Przy załoz˙ eniu, z˙ e bramki dwuqubitowe realizowane b˛eda˛ przy udziale oddziaływania wymiany moz˙ na pokazać, z˙ e oddziaływanie to jest wystarczajace ˛ do zrealizowania dowolnej operacji kwantowej logiki [40]. Bramka Hadamarda. Aby moz˙ liwe było prowadzenie równoległych obliczeń potrzeba ustawić rejestr kwantowy w stanie, który jest superpozycja˛ jego wszystkich stanów bazowych. Zadanie to realizuje kwantowa bramka logiczna zwana bramka˛ Hadamarda, której symbol przedstawia rysunek 2.3. Bramka Hadamarda moz˙ e działać na jeden lub wi˛eksza˛ liczb˛e qubitów. Załóz˙ my dla uproszczenia, z˙ e.

(22) ROZDZIAŁ 2. Podstawy kwantowych obliczeń. 21. mamy dany układ jednoqubitowy. Niech kety |0i i |1i rozpinaja˛ przestrzeń stanów tego układu. Bramka Hadamarda realizuje nast˛epujac ˛ a˛ funkcj˛e 1 Hd : |ni → √ [(−1)n |ni + |1 − ni] , 2. (2.5). gdzie n ∈ {0, 1}. Korzystajac ˛ z formalizmu operatorowego moz˙ emy zapisać działanie bramki Hadamarda w postaci działania operatora Hd na stany |0i i |1i, odpowiednio 1 Hd |0i = √ (|0i + |1i) , 2 1 Hd |1i = √ (|0i − |1i) . 2. H Rys. 2.3: Symbol bramki Hadamarda.. Bramka kontrolowanej negacji. Kwantowa bramka kontrolowanej negacji (CNOT) wraz ze zbiorem wszystkich bramek jednoqubitowych stanowi uniwersalny zbiór bramek logicznych w tym sensie, z˙ e przy pomocy bramek z tego zbioru moz˙ na skonstruować dowolna˛ operacj˛e logiczna˛ [84]. Stad ˛ tez˙ opracowanie i stworzenie sprawnie działajacych ˛ i wydajnych nanourzadze´ ˛ n realizujacych ˛ takie elementarne operacje logiczne, a w szczególno´sci operacj˛e CNOT, jest powaz˙ nym wyzwaniem dla grup badawczych. Zgodnie z formalizmem mechaniki kwantowej podstawowe operacje kwantowej bramki CNOT moz˙ na opisać nast˛epujacymi ˛ wy-.

(23) ROZDZIAŁ 2. Podstawy kwantowych obliczeń. 22. raz˙ eniami. UCN OT |00i = |00i,. (2.6a). UCN OT |01i = |01i,. (2.6b). UCN OT |10i = |11i,. (2.6c). UCN OT |11i = |10i,. (2.6d). gdzie UCN OT jest operatorem unitarnym, a wektory {|00i, |01i, |10i, |11i} sa˛ stanami bazowymi dwuqubitowego rejestru. Na rysunku 2.4 przedstawiony jest symbol kwantowej bramki kontrolowanej negacji. Linie górna i dolna reprezentuja˛ qubity odpowiednio kontrolny i docelowy. We prowadzonej wyz˙ ej notacji stany tych qubitów reprezentowane sa˛ przez wektory {|00i, |01i, |10i, |11i}. Waz˙ na˛ cecha˛ kwantowej bramki CNOT jest jej zdolno´sc´ do generowania stanów splatanych. ˛ Aby splata´ ˛ c ze soba˛ stany dwóch qubitów musimy najpierw ustawić jeden z nich do stanu b˛edacego ˛ superpozycja˛ jego dwóch stanów bazowych (|0i i |1i), a nast˛epnie zadziałać na tak przygotowany układ operatorem UCN OT UCN OT (α|0i + β|1i)|0i = α|00i + β|11i.. (2.7). √ Maksymalnie splatany ˛ stan uzyskamy w przypadku, gdy α = β = 1/ 2. Stany splatane ˛ stanowia˛ podstawowy element w schematach kwantowych obliczeń równoległych, kwantowego szyfrowania i transmisji informacji.. Rys. 2.4: Symbol bramki kontrolowanej negacji [8].. W praktyce, realizacja urzadzenia ˛ wymaga znalezienia fizycznych reprezentacji operatora UCN OT oraz wybrania odpowiednich stanów bazowych. W działaniu kaz˙ dej kwantowej bramki logicznej najwaz˙ niejszym parametrem jest czas jej.

(24) ROZDZIAŁ 2. Podstawy kwantowych obliczeń. 23. działania. Czas ten powinien być kilka rz˛edów wielko´sci krótszy niz˙ czas dekoherencji [79, 96]. Tylko te układy, które spełniaja˛ ten warunek b˛eda˛ mogły stanowić podstaw˛e do budowy komputera kwantowego. Fakt, z˙ e bramka CNOT jest jedna˛ z najwaz˙ niejszych bramek logicznych, sprawił, z˙ e pojawiło si˛e wiele propozycji jej fizycznej realizacji [41, 26, 29, 34, 35, 43]..

(25) Rozdział 3 Qubity na orbitalnych stopniach swobody Jedne z pierwszych propozycji kwantowych bramek logicznych zbudowanych w oparciu o kropki kwantowe wykorzystywały elektronowe stopnie swobody [41,43,44,45,97,46]. Proponowane modele konstruowane były w oparciu o wiele upraszczajacych ˛ załoz˙ eń co zmotywowało nas do wykonania badań z wykorzystaniem bardziej kompletnego opisu układu. Spo´sród wymienionych wyz˙ ej wybrali´smy do badań model kwantowej bramki kontrolowanej negacji (CNOT) zaproponowany w pracy [41]. Przedstawiony w niej model bazuje na układzie dwóch jednoelektronowych kropek kwantowych. Potencjał lokalizujacy ˛ elektrony wybrany został w postaci dwóch prostokatnych ˛ studni potencjału rozdzielonych bariera.˛ Kaz˙ da ze studni zawiera tylko jeden elektron. Parametry studni potencjału dobrano tak, aby mie´sciły tylko stan podstawowy i pierwszy wzbudzony. Stany bazowe odpowiadaja˛ czterem moz˙ liwym obsadzeniom poziomów energetycznych układu. Rol˛e operatora UCN OT pełni mikrofala o cz˛estotliwo´sci dopasowanej do odpowiedniego przej´scia. Rozdział ten rozpoczynamy od opisu oddziaływania czastki ˛ naładowanej z polem fali elektromagnetycznej, który wykorzystujemy do opisu zjawiska b˛edacego ˛ główna˛ przyczyna˛ ograniczenia od dołu czasu działania bramki CNOT w proponowanym modelu. W drugiej cz˛esći niniejszego rozdziału przedstawiamy kompletny, dwuczastkowy ˛ opis układu oraz wyniki symulacji działania bramki. 24.

(26) ROZDZIAŁ 3. Qubity na orbitalnych stopniach swobody. 3.1. 25. Oddziaływanie układu z fala˛ elektromagnetyczna˛. Rozwaz˙ amy jednowymiarowy układ elektronu zlokalizowanego w potencjale U0 (x), który na´swietlamy fala˛ elektromagnetyczna.˛ Hamiltonian układu uwzgl˛edniajacy ˛ oddziaływanie z fala˛ b˛edzie ogólnej postaci 2. e 1 p + A (x, t) H= 2me c . − eΦ(x, t) + U0 (x),. (3.1). gdzie me jest masa˛ elektronu, e - ładunkiem elementarnym, c - pr˛edko´scia˛ s´wiatła, A (x, t) potencjałem wektorowym pola fali, a Φ(x, t) - skalarnym potencjałem pola fali. Zakładamy cechowanie Coulomba ∇ · A = 0 oraz Φ(x, t) = 0. Dodatkowo uwzgl˛edniajac ˛ relacje p · A = A · p − i~∇ · A i pomijajac ˛ wyrazy w drugiej pot˛edze, otrzymujemy H=. p2 e + U0 (x) + A ·p. 2me me c |. {z. H0. }. |. {z. H 0 (t). (3.2). }. Potencjał wektorowy pola fali przyjmujemy w postaci fali płaskiej . . A (x, t) = A0 eikx−iwt + e−ikx+iwt ,. (3.3). gdzie jest wersorem polaryzacji fali, a A0 jej amplituda.˛ Zakładamy dalej, z˙ e układem, na który działa fala, jest półprzewodnikowa kropka kwantowa zawierajaca ˛ jeden elektron. Poniewaz˙ rozmiary kropek sa˛ małe, rz˛edu 10−9 m, stad ˛ róz˙ nice energii mi˛edzy elektronowymi poziomami energetycznymi w takich układach sa˛ rz˛edu 10−3 eV . Oznacza to, z˙ e k jest rz˛edu 104 m−1 , a stad ˛ wyraz kx w wykładniku wyraz˙ enia 3.3 moz˙ na zaniedbać, gdyz˙ b˛edzie on rz˛edu 10−5 . Uwzgl˛edniajac ˛ powyz˙ sze oszacowania i przyjmujac, ˛ z˙ e fala jest spolaryzowana w kierunku prostopadłym do kierunku propagacji x, otrzymujemy H 0 (t) = −i. ~eA0 ∂ cos(ωt) . me c ∂x. (3.4).

(27) ROZDZIAŁ 3. Qubity na orbitalnych stopniach swobody. 26. Przykład układu dwupoziomowego. Zgodnie z mechanika˛ kwantowa,˛ aby fala elektromagnetyczna mogła wywołać przej´scie pomi˛edzy wybranymi stanami układu, jej cz˛estotliwo´sc´ musi być dopasowana do odległo´sci mi˛edzy poziomami energetycznymi odpowiadajacym ˛ tym stanom. Na poczatek ˛ załóz˙ my, z˙ e mamy dany układ posiadajacy ˛ tylko dwa poziomy energetyczne np. elektron znajduja˛ cy si˛e w stałym polu magnetycznym, którego spin moz˙ e przyjmować tylko dwie moz˙ liwe warto´sci rzutu na kierunek pola ±~/2. Stanami bazowymi b˛eda˛ tylko dwa wektory, które oznaczamy przez kety |ψ1 i i |ψ2 i. Majac ˛ dany tak prosty układ moz˙ na znale´zc´ analityczne rozwiazanie ˛ równania Schrödingera zalez˙ nego od czasu z Hamiltonianem danym równaniem 3.2. Przy całkowitym dopasowaniu energii fali do róz˙ nicy poziomów energetycznych w układzie, rozwiazaniem ˛ tym jest funkcja falowa postaci |Ψ(t)i = cos(αt)e−iω1 t |ψ1 i − sin(αt)e−iω2 t |ψ2 i,. (3.5). gdzie α = A0 hψ1 |p|ψ2 i/~, p = −i~∇, a ω1 = E1 /~ i ω2 = E2 /~ to czynniki fazowe charakteryzujace ˛ ewolucj˛e stanu układu. Gdy teraz policzymy prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w tych dwóch moz˙ liwych stanach własnych reprezentowanych przez kety |ψ1 i i |ψ2 i otrzymujemy. P1 (t) = |hψ1 |Ψ(t)i|2 = cos2 (αt) i. P2 (t) = |hψ1 |Ψ(t)i|2 = sin2 (αt). (3.6). Oznacza to, z˙ e przy całkowitym dopasowaniu cz˛estotliwo´sci do róz˙ nicy energii mi˛edzy poziomami układ b˛edzie cyklicznie ewoluował mi˛edzy stanem podstawowym a wzbudzonym. Te cykliczne zmiany prawdopodobieństwa obsadzenia stanu nazywane sa˛ oscylacjami Rabiego (Rys. 3.1a). Czas w jakim nast˛epuje całkowite przej´scie układu do stanu wzbudzonego jest równy tπ = π/2α, co stanowi połow˛e okresu oscylacji Rabiego [98]. Impuls fali elektromagnetycznej o czasie trwania dobranym tak, aby nast˛epowało całkowite przej´scie pomi˛edzy wybranymi stanami, przyj˛eło si˛e nazywać π-pulsem, lub impulsem π [98]. W przypadku, gdy cz˛estotliwo´sc´ zmian pola fali nie odpowiada dokładnie cz˛estotliwo´sci rezonansowej, fala nie doprowadzi do całkowitego przej´scia układu do stanu o wyz˙ szej energii (Rys. 3.1b). Nastapi ˛ jedynie cz˛esćiowe wzbudzenie, a maksymalna warto´sc´ praw-.

(28) ROZDZIAŁ 3. Qubity na orbitalnych stopniach swobody. 27. dopodobieństwa obsadzenia stanu docelowego nie osiagnie ˛ warto´sci 1. (a). (b). PSfrag repla ements. 1. P (t). P (t). 1. ω = ω0. 0.5. ω 6= ω0. 0.5. PSfrag repla ements 0. 0 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. t [j.u.]. t [j.u.]. Rys. 3.1: Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w stanie |ψ1 i (linia przerywana) i w stanie |ψ2 i (linia ciagła) ˛ w przypadku gdy energia fali elektromagnetycznej oddziałujacej ˛ z układem (a) jest dopasowana do przej´scia mi˛edzy poziomami energetycznymi (ω = ω2 − ω1 ) , (b) nie jest dopasowana do przej´scia mi˛edzy poziomami energetycznymi (ω 6= ω2 − ω1 ).. Przypadek małej amplitudy fali. Teraz zakładamy, z˙ e amplituda fali elektromagnetycznej oddziałujacej ˛ z układem jest mała (α → 0), a jej cz˛estotliwo´sc´ ω jest dopasowana do cz˛estotliwo´sci rezonansowej ω0 . Wówczas, oszacowania rachunku zaburzeń zalez˙ nych od czasu na prawdopodobieństwo przej´scia do stanu wzbudzonego daja˛ wynik P (t)1→2 ≈ α2 t2 . Oszacowanie to b˛edzie poprawne dopóki α2 t2 ¬ 1. Je´sli natomiast ω 6= ω0 , to prawdopodobieństwo przej´scia zalez˙ y od róz˙ nicy ∆ = ω − ω0 i wyraz˙ a si˛e wzorem . P (t)1→2. . sin2 ∆2 t = α2 t2 2 . ∆ t 2. (3.7). Im mniejsza b˛edzie amplituda fali tym dłuz˙ ej b˛edzie zachodziło przej´scie. Jednocze´snie, wraz z wydłuz˙ aniem si˛e czasu przej´scia zw˛ez˙ a si˛e spektrum cz˛estotliwo´sci fali jakie moga˛ doprowadzić do przej´scia (Rys. 3.2). W granicy t → ∞ przej´scie nastapi ˛ tylko dla fali o cz˛estotliwo´sci dokładnie dopasowanej do przerwy energetycznej ~ω0 . Je´sli zalez˙ y nam na krótkich czasach przej´sc´ wówczas musimy zwi˛ekszyć nat˛ez˙ enie fali, jednak wówczas przej´scie moz˙ e zaj´sc´ nawet dla cz˛estotliwo´sci fali róz˙ nej niz˙ cz˛estotliwo´sc´ rezonansowa ω0 . Fakt ten ma waz˙ ne konsekwencje, o których piszemy w nast˛epnej cz˛esći 3.2..

(29) ROZDZIAŁ 3. Qubity na orbitalnych stopniach swobody. 28. PSfrag repla ements. P (t)1→2/(αt)2. 1. t = t1. t 1 > t2. t = t2 0.5. 0 0. 0.5. 1. 1.5. 2. ω/ω0. Rys. 3.2: Prawdopodobieństwo przej´scia układu ze stanu |ψ1 i do |ψ2 i dla dwóch wybranych czasów na´swietlania: (a) krótszego (linia przerywana) i (b) dłuz˙ szego (linia ciagła). ˛. Maksymalna warto´sc´ jaka˛ osiaga ˛ prawdopodobieństwo obsadzenia stanu |ψ2 i przy na´swietlaniu układu fala,˛ której niedopasowanie wynosi ∆, b˛edzie równe max P1→2 =. 1 . ∆2 1 + 4α 2. (3.8). max b˛edzie zalez˙ ało od amplitudy fali. Przyjmujac ˛ ∆ 6= 0 prawdopodobieństwo P1→2 max . Wraz ze wzrostem amplitudy zwi˛ekszać si˛e b˛edzie warto´sc´ P1→2. 3.2. ´ Wyciekanie prawdopodobienstwa. Załóz˙ my teraz, z˙ e w bliskim sasiedztwie ˛ poziomu energetycznego, do którego chcemy przeprowadzić układ znajduje si˛e inny poziom, a ponadto zalez˙ y nam, aby przej´scie to zaszło moz˙ liwie szybko, co oznacza, z˙ e musimy uz˙ yć fali o odpowiednio duz˙ ej amplitudzie. W konsekwencji na´swietlanie układu moz˙ e doprowadzić do jednoczesnego wzbudzenia układu zarówno do wybranego stanu jak i stanu sasiedniego. ˛ Końcowy stan układu b˛edzie wówczas superpozycja˛ dwóch stanów wzbudzonych. Z punktu widzenia kwantowego przetwarzania informacji takie zjawisko jest niepoz˙ adane ˛ gdyz˙ prowadzi do zniszczenia informacji zakodowanej w stanie kwantowym układu. Zjawisko to b˛edziemy nazywać wyciekaniem prawdopodobieństwa, ze wzgl˛edu na charakter zmian warto´sci odpowiednich prawdopodobieństw przej´scia. Dla przykładu ustalmy, z˙ e czas przej´scia nie moz˙ e być krótszy niz˙ tπ =.

(30) ROZDZIAŁ 3. Qubity na orbitalnych stopniach swobody. 29. 10−12 ps. Zgodnie z wynikami rachunków z poprzedniego rozdziału moz˙ emy oszacować, z˙ e amplituda fali α powinna być wi˛eksza niz˙ π/2tπ = 1.6×1012 ps−1 . Załóz˙ my teraz, z˙ e w odległo´sci 1 meV od poziomu docelowego znajduje si˛e inny poziom energetyczny układu. Wówczas, na´swietlajac ˛ układ fala˛ o tak dobranej amplitudzie, prawdopodobieństwo przej´scia do tego sasiedniego ˛ stanu wynomax si P1→2 ∼ 0.8. Warto w tym miejscu dodać, z˙ e w oszacowaniu tym nie został uwzgl˛edniony rozkład widmowy wiazki ˛ promieniowania. W omówionym wymax z˙ ej przykładzie wielko´sc´ P1→2 moz˙ na zinterpretować jako prawdopodobieństwo bł˛ednego zadziałania bramki. Aby dokładniej przedstawić powyz˙ szy problem po(b). 0.5. 0.008. PSfrag repla ements. 1. 1. 0.5. 0.5. P3(t), P4(t). 0.016. P1(t), P2(t). 1. P3(t). P1(t), P2(t). (a). PSfrag repla ements 0 0. 60. 120. t [ps]. 180. 0 240. 0. 0 0. 6. 12. 18. 24. t [ps]. Rys. 3.3: Ewolucja czasowa prawdopodobieństwa obsadzenia kilku najniz˙ ej lez˙ acych ˛ stanów własnych układu w czasie na´swietlania fala˛ elektromagnetyczna˛ dopasowana˛ do cz˛esto´sci rezonansowej dla przypadku (a) małej amplitudy fali i (b) dziesi˛eciokrotnie wi˛ekszej amplitudy fali. Linia kreskowana - P1 (t), linia ciagła ˛ - P2 (t), linie kropkowane - P3 (t) oraz P4 (t).. słuz˙ ymy si˛e jednowymiarowym modelem półprzewodnikowej kropki kwantowej, w której elektron lokalizowany jest w potencjale oscylatora harmonicznego. Odległo´sci mi˛edzy poziomami energetycznymi w takim potencjale sa˛ równoodległe. W rozwaz˙ anym modelu na brzegach obszaru obliczeniowego wystawiamy nieskończenie wysokie bariery potencjału. To sprawia, z˙ e odległo´sci mi˛edzy poziomami energetycznymi nie sa˛ jednakowe lecz zwi˛ekszaja˛ si˛e wraz z warto´scia˛ energii. Dobierajac ˛ odpowiednio szeroko´sc´ i gł˛eboko´sc´ parabolicznej studni potencjału moz˙ emy sterować wielko´scia˛ przyrostu odległo´sci mi˛edzy kolejnymi poziomami energetycznymi. Przykładowo, wybieramy tak parametry potencjału, z˙ e odległo´sci mi˛edzy kolejnymi poziomami energetycznymi tworzyły ciag ˛ warto´sci: 33.86, 33.98, 34.58, 36.36,... meV . Dla tak wybranego układu wykonujemy na-.

(31) ROZDZIAŁ 3. Qubity na orbitalnych stopniach swobody. 30. st˛epujacy ˛ eksperyment numeryczny. W chwili poczatkowej ˛ ustawiamy układ w stanie podstawowym. Nast˛epnie poddajemy go działaniu fali elektromagnetycznej o energii równej 33.86 meV . Symulacje prowadzimy najpierw dla małej amplitudy fali, a nast˛epnie dla dziesi˛eciokrotnie wi˛ekszej (Rys. 3.3). Obserwujemy zachowanie si˛e w czasie wielko´sci Pi (t) = |hΨi |ψ(t)i|2 . Tzn. rzutujemy biez˙ a˛ cy stan układu ψ(t) na i-ty stan własny Ψi . Niezerowe warto´sci całki oznaczać b˛eda˛ domieszk˛e i-tego stanu w biez˙ acym ˛ stanie układu. B˛edzie to oznaczało, z˙ e fala elektromagnetyczna przeprowadziła układ cz˛esćiowo takz˙ e do wyz˙ szych stanów wzbudzonych. W trakcie ewolucji suma poszczególnych prawdopodobieństw P Pi jest stała i równa 1 ( i Pi (t) = 1). W przypadku, gdy amplituda fali jest mała (Rys. 3.3a), układ cz˛esćiowo zostaje wzbudzony do 3-go stanu własnego (|hΨ3 |ψ(t)i|2 > 0). Jednocze´snie prawdopodobieństwo znalezienia układu w 2im stanie wzbudzonym nie osiaga ˛ w czasie ewolucji warto´sci 1. Cz˛esć´ prawdopodobieństwa ”wyciekła” do 3-go stanu wzbudzonego. Fala elektromagnetyczna przeprowadziła układ cz˛esćiowo do 2-go stanu wzbudzonego, a cz˛esćiowo do 3go. Wła´snie to zjawisko nazywamy wyciekaniem prawdopodobieństwa. Jeszcze wyra´zniej zjawisko to widoczne jest w sytuacji, gdy amplituda padajacej ˛ fali jest wi˛eksza (Rys. 3.3b). W tym przypadku po czasie tπ układ posiadał najwi˛ecej domieszki 3-go stanu i duz˙ o mniej domieszki 2-go stanu. Nieznaczna cz˛esć´ domieszki przypadła takz˙ e na stan czwarty i piaty ˛ (niewidoczne na rysunku ze wzgl˛edu na skal˛e). Aby unikna´ ˛c niekorzystnego zjawiska musieliby´smy zmniejszyć amplitud˛e padajacej ˛ fali do odpowiedniej warto´sci, ale to z kolei skutkuje wydłuz˙ eniem czasu przej´scia. Je´sli fala elektromagnetyczna ma słuz˙ yć jako narz˛edzie do zmiany stanów logicznych bramki kwantowej, to waz˙ ne jest aby poziomy energetyczne stanów własnych operatora energii, reprezentujace ˛ stany bazowe, były dobrze rozdzielone, a odległo´sci mi˛edzy nimi były silnie zróz˙ nicowane. To sugeruje, z˙ e dobrymi kandydatami na stany bazowe b˛eda˛ na ogół najniz˙ ej lez˙ ace ˛ stany własne operatora energii..

(32) ROZDZIAŁ 3. Qubity na orbitalnych stopniach swobody. 3.3. 31. Model kwantowej bramki kontrolowanej negacji. Współczesne układy elektroniczne, realizujace ˛ funkcje logiczne, posiadaja˛ pewna˛ liczb˛e linii wej´scia i wyj´scia. Fizycznie, tymi liniami sa˛ cienkie przewody. Na linie wej´scia podawane sa˛ okre´slone napi˛ecia, co z kolei determinuje stany napi˛eciowe na liniach wyj´scia. Zupełnie inaczej wygladał ˛ b˛edzie schemat przetwarzania informacji z udziałem układów kwantowych. W tym przypadku musimy posługiwać si˛e poj˛eciem stanu układu. Jest to obiekt matematyczny, który w pełni i jednoznacznie opisujace ˛ dany układ (jego stan fizyczny w jakim si˛e znajduje). Majac ˛ dany układ w jakim´s stanie poczatkowym, ˛ moz˙ emy przeprowadzić go poprzez pewne zewn˛etrzne oddziaływanie do jakiego´s innego stanu – stanu końcowego. Dlatego tez˙ , klasyczne poj˛ecie linia zast˛epujemy poj˛eciem podukład natomiast poj˛ecia stan linii na wej´sciu/wyj´sciu zast˛epujemy poj˛eciami stan poczatkowy/ko´ ˛ ncowy podukładu. Rozwaz˙ any układ składa si˛e z dwóch kropek kwantowych rozdzielonych bariera˛ potencjału. W kaz˙ dej z kropek znajduje si˛e tylko jeden elektron. Szeroko´sc´ bariery jest na tyle duz˙ a, z˙ e efekt tunelowania jest zaniedbywalny. Zakładamy, z˙ e uwi˛ezienie elektronów w płaszczyznie (xy) prostopadłej do osi przechodzacej ˛ przez s´rodki geometryczne obu kropek, jest silniejsze od uwi˛ezienia w kierunku z. Potencjał uwi˛ezienia bocznego przybliz˙ amy potencjałem oscylatora harmonicznego, a potencjał w kierunku z przyjmujemy w postaci prostokatnych ˛ studni jak na rysunku 3.4. Przy tych załoz˙ eniach problem trójwymiarowy moz˙ na zredukować do kwazi-jednowymiarowego [99], w którym potencjał oddziaływania w kierunku z mi˛edzy elektronami dany jest przez √ q e2 πβ β|z1 −z2 |2 erfc e β|z1 − z2 | , Uef (z1 , z2 ) = 4π0 . (3.9). gdzie zmienne z1 , z2 okre´slaja˛ połoz˙ enia elektronów, e - oznacza ładunek elementarny, ε0 - przenikalno´sc´ elektryczna˛ próz˙ ni, a ε - przenikalno´sc´ elektryczna˛ materiału półprzewodnika. Parametr β, którego warto´sc´ decyduje o sile oddziaływania elektrostatycznego mi˛edzy elektronami, zdefiniowany jest jako β = m∗ ω⊥ /(2~),.

(33) ROZDZIAŁ 3. Qubity na orbitalnych stopniach swobody. 32. przy czym ~ω⊥ oznacza odległo´sc´ mi˛edzy poziomami energetycznymi w potencjale uwi˛ezienia bocznego. Przy powyz˙ szych załoz˙ eniach Hamiltonian układu przyjmuje postać dana˛ wyraz˙ eniem ~2 H0 (z1 , z2 ) = − ∗ 2m. !. ∂2 ∂2 + +U (z1 )+U (z2 )+Uef (z1 , z2 )+2~ω⊥ , (3.10) ∂z12 ∂z22. gdzie potencjał uwi˛ezienia U (zi ) dla i-tego elektronu w kierunku z jest asymetryczny i róz˙ ny dla obu kropek (Rys. 3.4). Lewa kropka b˛edzie pełnić rol˛e podukładu kontrolnego i b˛edzie nazywana kropka˛ kontrolna,˛ a prawa - kropka˛ docelowa.˛ Asymetria studni prowadzi do przesuni˛ecia rozkładów g˛esto´sci ładunków w studniach w porównaniu z odpowiednimi rozkładami w studniach symetrycznych (Rys. 3.6). Zwroty tych przesuni˛ec´ dla sasiaduj ˛ acych ˛ stanów sa˛ przeciwne i w konsekwencji energia oddziaływania mi˛edzy elektronami w układzie podwójnej kropki kwantowej b˛edzie zalez˙ ała od tego jakie stany sa˛ obsadzone. Podobny efekt moz˙ na uzyskać przykładajac ˛ zewn˛etrzne pole elektryczne, jak zaproponowane zostało to w pracy [41], jednak takie rozwia˛ zanie jest niekorzystne, gdyz˙ dla płytkich studni juz˙ przy niewielkich warto´sciach nat˛ez˙ eń pola moz˙ e doj´sc´ do wypływu elektronów (Rys. 3.6b). W przypadku studni asymetrycznych, ustawiajac ˛ odpowiednio rozmiary i gł˛eboko´sci poszczególnych obszarów studni, moz˙ na sterować wielko´scia˛ przesuni˛ecia rozkładu g˛esto´sci ładunku w szerokim zakresie bez obawy o wypływ elektronu ze studni. Dodatkowa˛ zaleta˛ jest to, z˙ e wielko´sc´ przesuni˛ecia moz˙ emy ustawiać indywidualnie dla kaz˙ dej kropki z osobna co nie jest moz˙ liwe przy zastosowaniu pola elektrycznego. Jako stany bazowe wybrali´smy stany singletowe, poniewaz˙ stanem o najniz˙ szej energii w układzie jest wła´snie stan singletowy. Stan podstawowy jest najłatwiej uzyskać, gdyz˙ układ do niego relaksuje. Wybrane stany własne operatora energii odpowiadaja˛ konkretnym konfiguracjom elektronów w kropkach. Stan |00i odpowiada sytuacji, w której oba elektrony znajduja˛ si˛e w róz˙ nych kropkach i obsadzaja˛ stan podstawowy. Ket |01i oznacza stan, w którym elektron z kropki kontrolnej jest w stanie podstawowym a z kropki docelowej - w pierwszym stanie wzbudzonym. Analogicznie stan |10i odpowiada sytuacji, w której elektron z kropki kontrolnej obsadza pierwszy stan wzbudzony a elektron z kropki docelowej - podstawowy. Natomiast stan reprezentowany ketem |11i odpowiada sytuacji, w.

(34) ROZDZIAŁ 3. Qubity na orbitalnych stopniach swobody. 33. której oba elektrony, w kropce kontrolnej i docelowej obsadzaja˛ pierwszy stan wzbudzony. SL. DL. B. DP. SP. Rys. 3.4: Profil potencjału lokalizujacego ˛ elektrony w kierunku z. Dodatkowo wykre´slone zostały jednoelektronowe funkcje g˛esto´sci prawdopodobieństwa odpowiadajace ˛ stanom podstawowemu |0i i pierwszemu wzbudzonemu |1i dla elektronu znajdujacego ˛ si˛e w studni lewej. W studniach wyróz˙ niamy dwa obszary płytszy, którego szeroko´sc´ oznaczamy litera˛ S i gł˛ebszy - D. Indeksy L i P wskazuja˛ kropki odpowiednio lewa˛ i prawa.˛ Litera B oznacza szeroko´sc´ bariery.. W zaproponowanym, asymetrycznym układzie kropek, energia oddziaływania kulombowskiego pomi˛edzy elektronami zalez˙ y od tego jakie obsadzaja˛ stany w kropkach. Dlatego tez˙ kolejne poziomy energetyczne odpowiadajace ˛ stanom własnym układu b˛eda˛ przesuni˛ete w gór˛e osi energii o róz˙ na˛ warto´sc´ . Okazuje si˛e, z˙ e wła´snie to zróz˙ nicowanie pełni kluczowa˛ rol˛e w procesie działania bramki ograniczajac ˛ od dołu czas operacji UCN OT . Wyszczególniamy nast˛epujace ˛ róz˙ nice mi˛edzy poziomami energetycznymi odpowiadajacymi ˛ stanom bazowym: ∆EI = E01 − E00 i ∆EII = E11 − E10 oraz ∆E =| ∆EI − ∆EII |, gdzie Eij : i, j = 0, 1 oznaczaja˛ energie odpowiadajace ˛ okre´slonym stanom bazowym |iji : i, j = 0, 1. Warto´sc´ ∆E zalez˙ y zarówno od róz˙ nicy w wielko´sci oddziaływania kulombowskiego w poszczególnych stanach bazowych jak i od wielko´sci asymetrii w rozmiarach kropek i dlatego jest istotnie ograniczona od góry. W tym miejscu chcemy uzasadnić wybór profilu potencjału Uz (i) (Rys. 3.4). Jak wcze´sniej pisali´smy, układ prostokatnej, ˛ symetrycznej studni potencjału z przyłoz˙ onym polem elektrycznym moz˙ na zastapi´ ˛ c układem prostokatnej, ˛ asymetrycznej studni potencjału. Natomiast układowi dwóch, prostokat˛ nych, symetrycznych studni potencjału z przyłoz˙ onym zewn˛etrznym polem elektrycznym odpowiadałby układ dwóch, asymetrycznych studni potencjału, których profil przedstawia rysunek 3.5. Jednakz˙ e wybierajac ˛ potencjał studni w postaci.

(35) ROZDZIAŁ 3. Qubity na orbitalnych stopniach swobody. 34. Rys. 3.5: Układ dwóch asymetrycznych studni potencjału odpowiadajacy ˛ układowi dwóch symetrycznych studni potencjału w obecno´sci pola elektrycznego.. jak na rysunku 3.4 otrzymujemy wi˛eksza˛ warto´sc´ ∆E. Róz˙ nica ∆E powinna być dostatecznie duz˙ a, aby zapewnić selektywno´sc´ pochłaniania fali elektromagnetycznej. Zgodnie z zasada˛ nieokre´slono´sci im krótszy jest czas przej´scia pomi˛edzy danymi stanami tym wi˛eksze jest niedopasowanie energetyczne przej´scia. W konsekwencji, je´sli w bliskim sasiedztwie ˛ stanu, do którego chcemy przeprowadzić układ znajduja˛ si˛e inne stany, to zostana˛ one takz˙ e cz˛esćiowo obsadzone. Dlatego tez˙ na warto´sc´ amplitudy fali istnieje ograniczenie od góry wynikajace ˛ ze struktury poziomów energetycznych w układzie. Zbyt duz˙ a amplituda fali moz˙ e prowadzić do niepoz˙ adanych ˛ wzbudzeń do stanów lez˙ acych ˛ blisko stanu docelowego. To ograniczenie na warto´sc´ amplitudy jest niekorzystne, gdyz˙ czas pojedynczego cyklu pracy bramki powinien być moz˙ liwie najkrótszy, aby rozwaz˙ ane urzadzenie ˛ mogło stanowić wydajny element komputera kwantowego. Stad ˛ widać jak waz˙ ne jest odpowiednie zróz˙ nicowanie energetyczne w strukturze poziomów energetycznych układu, a w szczególno´sci poziomów energetycznych odpowiadajacych ˛ stanom bazowym. (a). (b). (c). Rys. 3.6: Rozkłady g˛esto´sci prawdopodobieństwa dla elektronu zlokalizowanego w (a) prostokat˛ nej i symetrycznej studni potencjału, (b) prostokatnej ˛ i symetrycznej studni potencjału w obecno´sci przyłoz˙ onego z zewnatrz ˛ pola elektrycznego (c) asymetrycznej studni potencjału. Strzałki wskazuja˛ zwroty przesuni˛ec´ rozkładów g˛esto´sci ładunku, które dla stanów parzystych i nieparzystych sa˛ przeciwne..

(36) ROZDZIAŁ 3. Qubity na orbitalnych stopniach swobody. 35. Uwzgl˛edniajac ˛ powyz˙ sze uwagi zoptymalizowali´smy kształty studni potencjału U (zi ) tak, aby struktura poziomów energetycznych w układzie była najkorzystniejsza, tj. minimalizowała czas trwania pojedynczego cyklu bramki. Przy czym na prawdopodobieństwo przej´scia narzucili´smy dodatkowo warunek Pi→k 99.9%. Aby zminimalizwać czas działania bramki, zmienili´smy profil potencjału układu kropek do postaci takiej jak przedstawiona na rysunku 3.4. Proste oszacowania pokazuja,˛ z˙ e przy takim profilu otrzymujemy wi˛eksze zróz˙ nicowanie w strukturze poziomów energetycznych stanów bazy obliczeniowej (∆E) w stosunku do odpowiedniego zróz˙ nicowania tej struktury dla studni przedstawionej na rysunku 3.5. Nast˛epnie dobrali´smy odpowiednie warto´sci parametrów, które zestawione zostały w tabeli 3.1. Chcemy w tym miejscu podkre´slić, z˙ e wybór szeroko´sci bariery mi˛edzy kropkami jest ograniczony od dołu, gdyz˙ zbyt waska ˛ bariera prowadziłaby do wyra´znego wzrostu warto´sci całki przekrywania, co jest niezgodne z załoz˙ eniem braku efektu tunelowego. Obszar SL DL B DP SP. Szeroko´sc´ [nm] Gł˛eboko´sc´ [meV ] 19 200 4 305 10 0 4 305 27 200. Tab. 3.1: Parametry studni potencjału wybrane w wyniku optymalizacji, której celem było osia˛ gni˛ecie moz˙ liwie najwi˛ekszej liczby cykli pracy bramki CNOT.. W dalszej cz˛esći pracy przedstawiamy metody rachunkowe, przy pomocy których znajdowali´smy stany własne operatora energii oraz przeprowadzali´smy ewolucj˛e czasowa.˛ Nast˛epnie przedstawiamy wyniki symulacji procesu działania kwantowej bramki CNOT i omawiamy je w aspekcie moz˙ liwo´sci zastosowania proponowanego układu do budowy komputera kwantowego. Procedury numeryczne. Dwuelektronowe stany własne hamiltonianu (3.10) znajdujemy przy pomocy metody ewolucji układu w czasie urojonym [100]. Wy-.