Analiza porównawcza optymalnych logicznych drzew Decyzyjnych i indukcyjnych drzew systemu detreex W optymalizacji dyskretnej układów maszynowych

(1)

ADAM DEPTUŁA

Streszczenie

W pracy przedstawiono przykład zastosowaĔ logicznych drzew decyzyjnych do okreĞlenia rangi waĪnoĞci parametrów konstrukcyjnych i eksploatacyjnych głowicy frezarki. NastĊpnie do analizy wykorzystano pakiet DeTreex. Porównano optymalne drzewa logiczne dla danych KAPN funkcji z drzewami indukcyjnymi programu De-Treex

Słowa kluczowe: wielowartoĞciowe drzewa logiczne, podejmowanie decyzji, inĪynieria wiedzy, indukcyjne drzewa decyzyjne, DeTreex

1. Wprowadzenie

We współczesnej technice wystĊpują systemy zawierające układy o róĪnym charakterze fizycznym, np.: elektromechaniczne, pneumatyczne, hydrauliczne, itp. Projektowanie i analiza tego typu systemów wymaga stosowania odpowiednich form opisu i metod badawczych w celu zastosowania odpowiedniej procedury optymalizacyjnej. W studium dynamiki dowolnego systemu wystĊpują zwykle trzy etapy [1, 7, 13]:

– opracowanie modelu matematycznego tzn. sformułowanie związków (np. równaĔ róĪniczko-wych) opisujących procesy zachodzące w przyjĊtym modelu fizycznym;

– okreĞlenie własnoĞci dynamicznych układu na podstawie badaĔ modelu matematycznego. WłasnoĞci te pozwalają przewidywaü przebiegi procesów wywołanych róĪnymi przyczynami; – podjĊcie ewentualnych decyzji projektowych zmierzających do zapewnienia poĪądanych

(opty-malnych) zmian w zachowaniu badanego układu.

Analizując dany problem uzyskuje siĊ zadanie projektowe w postaci pewnego zbioru danych. Metoda morfologiczna, która została opracowana w latach 1938–1948 przez amerykaĔskiego astrofizyka F. Zwicky’ego [18] polega na analizie wszystkich rozwiązaĔ danego problemu. Najlepsze rozwiązania wybierane są z uporządkowanego zapisu moĪliwych rozwiązaĔ (danych). Optymalne przeprojektowanie układu maszynowego polega na zapewnieniu najlepszej zmiany wjego zachowaniu. Oznacza to przyporządkowanie wartoĞci zmiennych decyzyjnych (parametrów konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych), które dają minimalną lub maksymalną wartoĞü funkcji celu (kryterium). OkreĞlenie tego kryterium oraz warunków ograniczających czy definiujących zmienne decyzyjne jest podstawowym krokiem w optymalizacji konstrukcji. Im układ maszynowy jest bardziej skomplikowany, tym liczba tych decyzji jest wiĊksza. W takim przypadku niezbĊdne jest zastosowanie odpowiednich metod matematycznych. Do najczĊĞciej stosowanych metod optymalizacyjnych naleĪą[4, 6]:

(2)

– metoda Monte Carlo, – metoda gradientowa,

– metoda systematycznego przeszukiwania.

Proces wyszukiwania i klasyfikacji informacji na temat parametrów danego układu maszynowego, wymaga zastosowania odpowiednich wyraĪeĔ, których zapis jest równowaĪny zdaną informacją pierwotną i umoĪliwia wyodrĊbnienie najmniej lub najbardziej waĪnych informacji. Takie postĊpowanie umoĪliwia okreĞlenie hierarchii waĪnoĞci danych informacji elementarnych, których klasyfikacja jest oparta na metodach minimalizacji funkcji logicznych lub metodach opartych na przyroĞcie entropii.

W pracy przedstawiono zastosowanie wielowartoĞciowych drzew logicznych i indukcyjnych drzew systemu pozyskiwania wiedzy- DeTreex.

2. WielowartoĞciowe drzewa logiczne

Drzewo logiczne jest logiczną strukturą drzewiastą, w której wartoĞci logiczne zmiennych są kodowane na gałązkach drzewa. Na danym poziomie drzewa moĪe wystĊpowaü tylko jedna zmienna logiczna, przy czym liczba piĊter jest dokładnie równa liczbie zmiennych niezaleĪnych danej funkcji logicznej. W przypadku, gdy kaĪdy parametr konstrukcyjny i/lub eksploatacyjny, przyjmujący wartoĞci liczbowe z okreĞlonego przedziału zostanie oznaczony ustaloną zmienną logiczną dwu – lub wielowartoĞciową, to moĪna przeprowadziü dyskretyzacjĊ takich przedziałów liczbowych [2, 3, 10]. Zbiór wszystkich kombinacji liczbowych tworzy drzewo wariantów o liczbie piĊter równej liczbie parametrów konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych, gdyĪ w przypadku tradycyjnego drzewa logicznego na pojedynczym piĊtrze moĪe byü tylko jedna zmienna logiczna [2, 3, 9, 10, 13].

IloĞü podprzedziałów danego przedziału oznacza liczbĊ gałĊzi w jednej wiązce gałązkowej, aliczba wszystkich ĞcieĪek z dołu do góry drzewa logicznego odpowiada dokładnie liczbie wszystkich kombinacji wartoĞci dyskretnych rozpatrywanych przedziałów. JeĪeli wszystkie ĞcieĪki tradycyjnego drzewa logicznego oznaczają zbiór wszystkich wariantów teoretycznych procesu optymalizacji dyskretnej, to naleĪy wyodrĊbniü tylko warianty prawdziwe, czyli realizowalne, tzn. spełniające wymagania optymalizacyjne [9, 12, 14].

ZłoĪone wielowartoĞciowe funkcje logiczne poprzez zamianĊ piĊter drzewa logicznego ustalają rangĊ waĪnoĞci zmiennych logicznych od najwaĪniejszej (przy korzeniu) do najmniej waĪnej (na górze), gdyĪ istnieje uogólnienie dwuwartoĞciowego wskaĨnika jakoĞci na wielowartoĞciowy: (Ck – kimi) + (ki+Ki), gdzie Ck – liczba gałĊzi k-tego pietra, k+i+ – krotnoĞü upraszczania na k-tym piĊtrze mi – wartoĞciowej zmiennej, Ki – liczba gałĊzi (k-1) – ego piĊtra, zktórych powstały nie upraszczające siĊ gałĊzie k – tego piĊtra. W ten sposób moĪna otrzymaü minimalną złoĪoną alternatywną postaü normalną. Postaü MZAPN danej funkcji logicznej, która na drzewie decyzyjnym nie posiada gałĊzi izolowanych, a jednoczeĞnie posiada minimalną liczbĊ gałĊzi prawdziwych (realizowalnych), które w szczególnoĞci moĪna uznaü za elementarne wytyczne projektowania. Wszystkie przekształcenia opisuje tzw. algorytm Quine’a – Mc Cluskey’a minimalizacji indywidualnych cząstkowych wielowartoĞciowych funkcji logicznych [12, 14].

Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 46, 2011

(3)

Przykład 1.

Dla wielowartoĞciowej funkcji logicznej f(x1, x2, x3), gdzie x1, x2, x3= 0, 1, 2, zapisanej

nume-rycznie KAPN: 100, 010, 002, 020, 101, 110, 021, 102, 210, 111, 201, 120, 022, 112, 211, 121, 212, 221, 122, istnieje jedna MZAPN po zastosowaniu algorytmu Quine’a – Mc Cluskey’a mini-malizacji indywidualnych cząstkowych wielowartoĞciowych funkcji logicznych, która posiada 13 literałów [12]:

(

)

( ) ( )

(

( )

)

( )

( ) ( )

(

( )

)

, , 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 2 2 . 1 1 2 1 2 1 3 1 2 2 2 1 3 f x x x j_o x j_o x j x j x j_o x j x j x j x j_o x j x j x j x j x = + + + + + + +

Na rys. 1. przedstawiono wszystkie moĪliwe ZKAPN danej wielowartoĞciowej funkcji logicz-nej.

Rysunek 1. ZKAPN i MZAPN danej funkcji logicznej ħródło: [12].

(4)

2.1. Zastosowanie wielowartoĞciowych drzew logicznych do ustalenia rangi waĪnoĞci para-metrów konstrukcyjnych i eksploatacyjnych głowicy frezarki

NapĊd głowicy frezarki składa siĊ z silnika asynchronicznego, sprzĊgła podatnego S, przekład-ni stoĪkowej o przełoĪeprzekład-niu

i

oraz wrzeciona głowicy [16].

Rysunek 2. Schemat głowicy frezarki ħródło: [16].

Zredukowane momenty bezwładnoĞci na wał sprzĊgła wynoszą: 2 1 1 20[ ] I =J = kg m⋅ (1) 3 2 2 1 3 1 10 160 20[ ] 16 I =J +J i⋅ = + = kg m⋅ (2) Pulsacja wymuszenia: 1 950 1_{9 224} 1 30 30 4 n i z s

π

ν

= = = ª º_{« »} ¬ ¼ (3) gdzie:

n – obroty silnika w procesie skrawania ₁ z– liczba ostrzy głowicy

Współczynnik wzrostu amplitudy (moduł z transmitancji):

2 2 2 2 1 1 (1 ) 4 α β γ β = ≤ − + (4) co daje: 2 ₀ 2 _{2(1 2 )}2 β ≥ ∨β ≥ − γ (5)

Pomijając tłumienie w sprzĊgle (na korzyĞü pewnoĞci) otrzymuje siĊ:

(5)

2 2 1 2 0 1 2 2 2cI I I I ν ≥ ω = + (6) skąd: 2 3 1 2 1 2 251 10 [ ] 2( ) v I I c Nm I I ≤ = ⋅ + (7)

Przyjmując sztywnoĞü sprzĊgła jako warunek kryterialny, obliczenia przeprowadzono dla róĪnych wartoĞci parametrów n J J oraz ₁, ,₁ ₂ J . Do analizy według Tab.1 wybrano odpowiednie ₃ wartoĞci arytmetyczne badanych parametrów, które zakodowano potem logicznymi zmiennymi decyzyjnymi dla potrzeb logicznych drzew decyzyjnych:

1 900 n = [obr/min] ~ 0; n₁ =880[obr/min] ~ 1; 2 1

15[

]

J

=

kg m

⋅

~ 0; 2 1 20[ ] J = kg m⋅ ~ 1;

J

₁

=

25[

kg m

⋅

2

]

~ 2; 2 2

10[

]

J

=

kg m

⋅

~ 0; 2 2 20[ ] J = kg m⋅ ~ 1; 2 2

30[

]

J

=

kg m

⋅

~ 2; 2 3 150[ ] J = kg m⋅ ~ 0; 2 3 160[ ] J = kg m⋅ ~ 1;

J

₃

=

170[

kg m

⋅

2

]

~ 2; 2 3

180[

]

J

=

kg m

⋅

~ 3. Podstawą wyodrĊbnienia wariantów prawdziwych jest nierównoĞü (1). JeĪeli spełniona została nierównoĞü, to funkcji f n J J J przyjmuje wartoĞü: 1, w przeciwnym razie przyjmuje war-( , ,₁ ₁ ₂, ₃) toĞü: 0.

Tabela 1. WartoĞci logiczne ustalonych parametrów i funkcji celu. KAPN funkcji logicznej 1 n J₁ J2 J3 f n J J J( , , , )1 1 2 3 n1 J1 J2 J3 f n J J J( , , , )1 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 2 0 0 0 0 3 0 1 0 0 3 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 0 1 3 0 1 0 1 3 0 0 0 2 0 0 1 0 2 0 0 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 0 0 2 2 0 1 0 2 2 0 0 0 2 3 0 1 0 2 3 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 2 0 1 1 0 2 0 0 1 0 3 0 1 1 0 3 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 3 1 1 1 1 3 1 0 1 2 0 1 1 1 2 0 1

(6)

1 n J₁ J2 J3 f n J J J( , , , )1 1 2 3 n1 J1 J2 J3 f n J J J( , , , )1 1 2 3 0 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 1 2 3 1 1 1 2 3 1 0 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 2 0 1 0 1 2 0 1 0 0 2 0 2 1 1 2 0 2 0 0 2 0 3 1 1 2 0 3 0 0 2 1 0 1 1 2 1 0 1 0 2 1 1 1 1 2 1 1 1 0 2 1 2 1 1 2 1 2 1 0 2 1 3 1 1 2 1 3 1 0 2 2 0 1 1 2 2 0 1 0 2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 2 2 2 1 1 2 2 2 1 0 2 2 3 1 1 2 2 3 1

ħródło: Opracowanie własne

Dla tabeli 1 istnieje 24 wielowartoĞciowych drzew logicznych. Po redukcji dopuszczalnych pełnych wiązek z góry na dół otrzymano jedno optymalne wielowartoĞciowe drzewo logiczne, które opisujĊ prawdziwą rangĊ waĪnoĞci parametrów konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych od najwaĪniejszego na dole do najmniej waĪnego na górze (rys. 1). Stanowi ono MZAPN danej funkcji logicznej.

Rysunek 3. Optymalne wielowartoĞciowe drzewo logiczne dla Tab. 1 ħródło: Opracowanie własne.

NajwaĪniejszym parametrem konstrukcyjnym i/lub eksploatacyjnym jest J ( w korzeniu 1 drzewa), natomiast najmniej waĪnym parametrem J ( w koronie drzewa). ₃

(7)

3. Indukcyjny system pozyskiwania wiedzy

SpoĞród wielu metod indukcji wiedzy na podstawie przykładów, wyróĪniü moĪna indukcje drzew decyzyjnych. Drzewa decyzyjne reprezentują serie testów wykonanych w okreĞlonej kolejnoĞci, gdzie kaĪdy kolejny test rozdzielał pewne próbki danych na podgrupy o wiĊkszej „czystoĞci", tzn. zawierające coraz wiĊcej próbek z danej tylko klasy. JeĞli dane poddają siĊ podziałowi tą metodą, to koĔcowe gałĊzie drzewa bĊdą zawierały próbki tylko z poszczególnych klas. Dodatkowo uzyskana proporcja wskazuje na prawdopodobieĔstwo poprawnoĞci klasyfikacji. Na przedstawieniu graficznym drzewa decyzyjnego, rozgałĊzienia nastĊpują od wĊzła korzeniowego w dół ku liĞciom. Algorytm rozpoczyna pracĊ na wĊĨle korzeniowym, dzieląc wszystkie dostĊpne tam dane na dalsze wĊzły, dopóki nie zostaną spełnione zadane kryteria koĔczące. Kryterium umoĪliwiającym wybór atrybutu stosowanego do rozbudowy drzewa jest entropia. Entropia jest pewną miarą informacji zawartej w zjawisku, które w przypadkowy sposób moĪe przyjmowaü n-stanów. Oznacza wiĊc takĪe wartoĞü Ğrednią iloĞci informacji niezbĊdnej do zapewnienia faktu, ze dane zjawisko przyjmuje jeden spoĞród n dostĊpnych stanów [5, 10].

Rysunek 4. Entropia, jako Ĩródło informacji ħródło: Opracowanie własne.

Zbiór komunikatów składa siĊ z dwóch niezaleĪnych komunikatów x i ₁ x o apriorycznym ₂ prawdopodobieĔstwie p1i p2 = − . W przypadku rozkładu równego, 1 p1 p2 = − , entropia I1 p1 osiąga maksimum, tzn. Īe niepewnoĞü wyboru komunikatu jest najwiĊksza. Dla p1=0i p2=1, I staje siĊ równe zeru, poniewaĪ w przypadku stanu prawdopodobieĔstwa p2=1 nie ma alternatywy i do dokonania wyboru nie jest potrzebna Īadna dalsza informacja [4, 5, 7, 11].

1 2 1 p 1 1 0 [ ] I bit

(8)

Informacja zawarta w zbiorze przykładów uczących jest równa: | | 2 1 | | | | ( ) log | | | | E i i i E E I E E E = § · = − ⋅ ¨ ¸ © ¹

¦

(8) gdzie:

E– zbiór przykładów uczących,

|E – liczba przykładów, które opisują i-ty obiekt, i | | |E – liczba przykładów w zbiorze uczącym E.

Oczekiwana wartoĞü informacji po podziale zbioru przykładów E na podzbiory ( )m _, _1,..., a

E m= V ,

dla których atrybut a ma wartoĞü V , okreĞlona jest jako [17]: m

( )

( ) ( ) ( ) 1, ,| |, ( , ) | | m a m m m K V E E I E a I E E = =∅ =

¦

⋅ (9) gdzie:

_|_E( )m _|_{– liczba przykładów po podziale zbioru E wzglĊdem wartoĞci m danego atrybutu,}

| |E – liczba przykładów w zbiorze uczącym E.

3.1. Zastosowanie pakietu DeTreex w klasyfikacji parametrów konstrukcyjnych i eksploatacyjnych głowicy frezarki

Do klasyfikacji parametrów konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych napĊdu głowicy frezarki zpkt. 2.1 zastosowano moduł DeTreex, umoĪliwiający tworzenie drzew decyzyjnych. Womawianym systemie moduł tworzący drzewo decyzyjne wymaga odpowiedniego przygotowania danych. W tym celu zostaje przygotowany pojedynczy plik tekstowy zrozszerzeniem .lrn (Tab. 2). Atrybuty i przykłady zapisane są w układzie kolumnowym. Atrybutami wejĞciowymi (we) są parametry konstrukcyjne i/lub eksploatacyjne głowicy frezarki:

1, ,1 2

n J J oraz J₃, natomiast atrybutem wyjĞciowym (wy) jest funkcja f n J J J . WartoĞci ( , ,1 1 2, 3) arytmetyczne atrybutów zostały zakodowane identycznie jak dla potrzeb wielowartoĞciowych drzew logicznych, tzn.: 1 900 n = [obr/min] ~ 0; n₁ =880[obr/min] ~ 1; 2 1

15[

]

J

=

kg m

⋅

~ 0; 2 1 20[ ] J = kg m⋅ ~ 1;

J

₁

=

25[

kg m

⋅

2

]

~ 2; 2 2

10[

]

J

=

kg m

⋅

~ 0; 2 2 20[ ] J = kg m⋅ ~ 1; 2 2

30[

]

J

=

kg m

⋅

~ 2; 2 3 150[ ] J = kg m⋅ ~ 0; 2 3 160[ ] J = kg m⋅ ~ 1;

J

₃

=

170[

kg m

⋅

2

]

~ 2; 2 3

180[

]

J

=

kg m

⋅

~ 3. Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management

(9)

Funkcja

f n J J J

( , ,

₁ ₁ ₂

, )

₃ przyjmuje wartoĞü : 1– gdy warunek (1) jest spełniony, w przeciwnym razie: 0. Zapis przykładów uczących odpowiada kanonicznej alternatywnej postaci normalnej z Tab. 1.

Tabela 2. Plik uczący programu DeTreex dla parametrów konstrukcyjnych i eksploatacyjnych głowicy frezarki

we we we we wy we we we we wy 1 n J₁ J2 J3 f n J J J( , , , )1 1 2 3 n₁ J₁ J₂ J₃ f n J J J( , , , )1 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 2 0 0 0 0 3 0 1 0 0 3 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 0 1 3 0 1 0 1 3 0 0 0 2 0 0 1 0 2 0 0 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 0 0 2 2 0 1 0 2 2 0 0 0 2 3 0 1 0 2 3 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 2 0 1 1 0 2 0 0 1 0 3 0 1 1 0 3 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 3 1 1 1 1 3 1 0 1 2 0 1 1 1 2 0 1 0 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 1 2 3 1 1 1 2 3 1 0 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 2 0 1 0 1 2 0 1 0 0 2 0 2 1 1 2 0 2 0 0 2 0 3 1 1 2 0 3 0 0 2 1 0 1 1 2 1 0 1 0 2 1 1 1 1 2 1 1 1 0 2 1 2 1 1 2 1 2 1 0 2 1 3 1 1 2 1 3 1 0 2 2 0 1 1 2 2 0 1 0 2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 2 2 2 1 1 2 2 2 1 0 2 2 3 1 1 2 2 3 1

(10)

W wyniku analizy wygenerowane zostało drzewo decyzyjne przedstawione na rys. 5.

Rysunek 5. Indukcyjne drzewo decyzyjne dla parametrówn J J J1, ,1 2, 3 ħródło: Opracowanie własne.

Atrybutem przypisanym do budowy drzewa, uwzglĊdniając kryterium wzglĊdnego maksymalnego przyrostu entropii jest parametrJ . Jako kolejny został zastosowany atrybut ₁ J . ₂ BudowĊ drzewa decyzyjnego koĔczy parametr konstrukcyjny J . Algorytm bazujący na iloĞciowej 3 miarze informacji zawartej w sekwencji symboli wskazał takie same parametry w korzeniu oraz w koronie drzewa jak optymalne wielowartoĞciowe drzewo logiczne na rys. 3. Podobnie parametr konstrukcyjny n znajduje siĊ na obu drzewach zaraz za parametrem konstrukcyjnym 1 J . Pomimo 2 tego, Īe na indukcyjnym drzewie decyzyjnym odpowiednie atrybuty okreĞlające parametry konstrukcyjne i/lub eksploatacyjne mogą wystĊpowaü n razy na danych piĊtrach, kolejnoĞü wystĊpowania tych parametrów na kolejnych piĊtrach wzglĊdem siebie zostaje zachowana.

MoĪna stąd wysunąü wniosek, iĪ w procesie pozyskiwania wiedzy za pomocą pakietu DeTreex, nastĊpuje hierarchiczna klasyfikacja wielowartoĞciowa obiektów podobnie jak wprzypadku wielowartoĞciowych logicznych drzew decyzyjnych.

1 J 2 J 1 n 1 J 3 J 0 1

1

0 ≤ >0 1 ≤ >1 0 ≤ >0 0 0 > 0 ≤ 0 1 ≤ >1 0

(11)

4. Przykład indukcyjnych drzew decyzyjnych dla danych KAPN funkcji logicznych

W przypadku optymalizacji dyskretnej układów maszynowych, optymalne wielowartoĞciowe drzewo logiczne pozwala okreĞliü rangĊ waĪnoĞci parametrów konstrukcyjnych i lub eksploatacyjnych po zastosowaniu algorytmu Quine’a – Mc Cluskey’a dla danej KAPN funkcji logicznej.

PoniĪej przedstawiono przykłady KAPN danych funkcji logicznych, które mogą opisywaü kodowanie zmian wartoĞci arytmetycznych parametrów konstrukcyjnych układów maszynowych. NastĊpnie dla danej KAPN zbudowano optymalne wielowartoĞciowe drzewa logiczne oraz wygenerowano drzewa decyzyjne za pomocą pakietu DeTreex.

Tabela 3. KAPN funkcji logicznejf x x x( , , )₁ ₂ ₃

1 x x₂ x3 f x x x( , , )1 2 3 x₁ x₂ x₃ f x x x( , , )1 2 3 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0 0 0 2 1 1 2 1 0 0 1 0 1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 0 0 0 0 1 2 0 2 0 1 1 0 2 0 0 2 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 2 2 0 2 1 1 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 0 1 1 2 2 0 0 1 0 2 1 2 2 1 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 1 1 1

ħródło: Opracowanie własne.

Rysunek 6. Optymalne wielowartoĞciowe drzewo logiczne dla Tab. 3 ħródło: Opracowanie własne.

1 3 2

x

(12)

Rysunek 7 Indukcyjne drzewo decyzyjne dla Tab. 3 ħródło: Opracowanie własne.

Tabela 4. KAPN funkcji logicznejf x x x x( , , , )₁ ₂ ₃ ₄

1 x x₂ x3 x4 f x x x x( , , , )1 2 3 4 x₁ x₂ x₃ x₄ f x x x x( , , , )1 2 3 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 0 0 2 0 1 1 1 2 0 1 1 0 2 1 0 1 1 2 1 0 0 0 2 1 1 1 1 2 1 1 1

(13)

Rysunek 8. Optymalne wielowartoĞciowe drzewo Rysunek 9. Indukcyjne drzewo de cyzyjne dla logiczne dla Tab. 4 Tab. 4

ħródło: Opracowanie własne ħródło: Opracowanie własne Tabela 5. KAPN funkcji logicznejf x x x x( , , , )1 2 3 4

1 x x₂ x3 x4 f x x x x( , , , )1 2 3 4 x₁ x₂ x₃ x₄ f x x x x( , , , )1 2 3 4 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 0 1 1 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 2 1 1 1 1

(14)

Rysunek 11. Indukcyjne drzewo decyzyjne dla Tab. 5 ħródło: Opracowanie własne.

5. Wnioski

Dla KAPN funkcji logicznej z Tab. 3, indukcyjne drzewo decyzyjne z Rys. 7 podobnie jak optymalne drzewo logiczne z Rys. 6 przypisało do korzenia tą samą zmienną decyzyjną

x

₂. Na kolejnym piĊtrze obu drzew, takĪe wystĊpujĊ taka sama zmienna decyzyjna

x

₃. Analogiczna sytuacja wystĊpuje dla KAPN funkcji logicznej z Tab. 4. Zmienną wystĊpującą w korzeniu optymalnego drzewo logicznego (Rys. 8) oraz w korzeniu indukcyjnego drzewa decyzyjnego (Rys. 9) jest

x

₄. Kolejne piĊtra obu drzew zajmowane są kolejno przez parametry

x

₁ i

x

₂.

W obu przypadkach indukcyjne drzewa decyzyjne nie klasyfikują parametru, który został oceniony za najmniej waĪny, tzn. znajduje siĊ na ostatnim piĊtrze optymalnego drzew logicznego.

Metoda wielowartoĞciowych drzew logicznych moĪe w wyniku ostatecznym podaü kilka optymalnych rozwiązaĔ tzn. z najmniejszą liczbą gałĊzi prawdziwych, które naleĪy traktowaü równoprawnie. Dlatego moĪe istnieü rozbieĪnoĞü informacyjna wobec indukcyjnego drzewa decyzyjnego. W przypadku KAPN funkcji logicznej z Tab. 5, całkowita zgodnoĞü istnieje wobec parametru

x

₁, który jest najmniej waĪny. Z punktu widzenia czĊstoĞci zmiennych decyzyjnych w optymalnych wielowartoĞciowych drzewach logicznych (Rys. 10) widaü, Īe jednak

x

₃ jest dosłownie najwaĪniejsza,

x

₄ – mniej waĪna,

x

₂ – jeszcze mniej waĪna, a

x

₁zawsze najmniej waĪna.

(15)

Bibliografia

1. ChalamoĔski M., Diagnozowanie układów hydraulicznych maszyn roboczych, Wydawnictwo Uczelniane ATR, Bydgoszcz 2000.

2. Coner L., Partyka M. A., Application of dendritic classifiers and dependence graphs in CAD of decision processes with use of the machine systems as an example, 4th_{Confer. Neural} Netw. and Their Applic. Zakopane 1999, Depart. of Comput. Engin., Techn. Univ. of CzĊsto-chowa, CzĊstochowa 1999.

3. Deptuła A., Analiza porównawcza optymalnych zmodyfikowanych drzew logicznych w ocenie odpornoĞci parametrów układu na zmiany warunków pracy; XXXVIII Konf. Zast. Mat., Za-kopane 2009, Inst. Mat. PAN, Warszawa 2009.

4. Deptuła A., Analiza właĞciwoĞci dynamicznych układu hydraulicznego za pomocą grafów roz-grywających parametrycznie, Badanie, Konstrukcja, Wytwarzanie i Eksploatacja Układów Hydraulicznych-Cylinder 2010, Instytut Techniki Górniczej KOMAG, Gliwice 2010.

5. Devroye L., Gyori L., Lugosi G., Probabilistic Theory of Pattern Recognition, Berlin, Springer Verlag, 1995.

6. Dickman B. H, Gilman M. J., Monte Carlo Optimization, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 60, No. 1, January 1989.

7. Garbacik A.., Studium projektowania układów hydraulicznych, Ossolineum, Kraków 1997. 8. Jakubowski J., Sztencel R., WstĊp do teorii prawdopodobieĔstwa, SCRIPT, Warszawa 2001. 9. Liu C. L., Lee C. H., Simplify Multi-valued Decision Trees, Lecture Notes in Computer

Sci-ence, Springer Berlin, Heidelberg 2008.

10. Łuszczyna R., Partyka M. A., Standaryzacja danych pomiarowych w badaniach rangi waĪno-Ğci parametrów konstrukcyjno-eksploatacyjnych układów maszynowych z wykorzystaniem logicznych drzew decyzyjnych, Górnictwo Odkrywkowe 4–5/2008.

11. Michalski S., Theory and Methodology of Inductive Learning, Artificial Intelligence 20, (1983), p. 111–161.

12. Partyka M.A., Algorytm Quine’a McCluskey minimalizacji indywidualnych cząstkowych wie-lowartoĞciowych funkcji logicznych, St. i Monog. z. 109, Polit. Opol., Opole 1999.

13. Partyka M.A., Optymalizacja dyskretna pompy wirowej Ğmigłowej w ruchu turbinowym- za-stosowanie wielowartoĞciowych drzew logicznych, Nap. i Ster., Nr 1, 2004

14. Partyka M.A, The Quine-Mc Cluskey minimization algorithm of individual multiple-valued logical function for structural classification of informations and its applications for fifth gen-eration computer systems and artificial intelligence, Inter. Congr.Collog, Paris 1985; France; Jour. Symb. Logic, vol. 52, No. 1987

15. PieczyĔski A., Reprezentacja wiedzy w diagnostycznym systemie ekspertowym, Lubuskie Towarzystwo Naukowe w Zielonej Górze, 2003

16. RyĞ J., Skrzyszowski Z., Podstawy konstrukcji maszyn, Zbiór zadaĔ cz.1- wydanie czwarte poprawione, Politechnika Krakowska im. Tadeusza KoĞciuszki, Kraków 1999.

17. Quinlan J. R., Induction of Decision Trees, Machine learning 1(1986).

18. Zwicky F., Discovery-Invention, Research Trough the Morphological Analysis, Macmil, 1969 Toronto.

(16)

COMPARATIVE ANALYSIS BETWEEN OPTIMAL LOGICAL TREES AND INDUCTIVE DECISION TREES OF DETREEX SOFTWARE IN DISCRETE

OPTIMIZATION OF MACHINE SYSTEMS Summary

The paper concerns application of logical decision trees and inductive decision trees for analysis of importance rank of service parameters of miling head. The pa-per presents comparison of optimal logical trees and decision trees of DeTreex soft-ware for the same KAPN of logical.

Key words: decision making, knowledge engineering, inductive decision trees, DeTreex

Adam Deptuła

Katedra InĪynierii Wiedzy

Wydział InĪynierii Produkcji i Logistyki Politechnika Opolska

ul. Ozimska 75, 45-370 Opole e-mail: a.deptula@po.opole.pl