5.3. Optymalizacja układów logicznych. 5.2. Bramki logiczne. 5.1. Funkcje boolowskie. 5. Układy logiczne

(1)

str. 12

c b a c b a c b a c b a c b a f ( , , )

5. Układy logiczne

5.1. Funkcje boolowskie.

Funkcją boolowską nazywamy funkcję, której argumenty (zmienne logiczne) oraz sama funkcja mogą przybierać tylko jedną z dwu wartości, np. 0 lub 1. Funkcja boolowska o n wejściach i m wyjściach to funkcja

f:{0,1}

ⁿ

{0,1}

^m

Za pomocą funkcji boolowskich opisuje się układy logiczne, tj. układy cyfrowe w których każdy sygnał wejścia i wyjścia przybiera jedną z 2 wartości.

Funkcje logiczne można określić za pomocą:

 opisu słownego

 tabeli prawdy

 wyrażenia boolowskiego

 graficznie za pomocą bramek logicznych

Np. Funkcja f:{0,1}

³

{0,1}, która przyjmuje wartość 1 gdy przynajmniej dwa argumenty przyjmują wartość 0 może być przedstawiona za pomocą

tabeli prawdy: układu logicznego bramek:

wyrażenia boolowskiego:

5.2. Bramki logiczne.

Bramki logiczne to proste układy cyfrowe realizujące podstawowe funkcje boolowskie. Służą do budowy układów logicznych o większej złożoności.

Bramki uniwersalne

negacja b. iloczyn b. suma b. negacja

iloczynu b.

negacja sumy b.

alternatywa wykluczająca

A B NOT (A) AND (A,B) OR (A,B) NAND (A,B) NOR (A,B) XOR (A,B)

0 0 1 0 0 1 1 0

0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0 0 0

5.3. Optymalizacja układów logicznych.

Optymalizacja układów logicznych jest dwutorowa i polega na:

 upraszczaniu wyrażeń logicznych (za pomocą przekształceń algebraicznych wykorzystując prawa algebry Boole’a lub za pomocą specjalnych algorytmów – np. Map Karnaugh)

 ograniczeniu ilości operatorów prowadzące do stosowania bramek uniwersalnych Korzyści z optymalizacji: szybsza stabilizacja sieci, większa niezawodność, niższy koszy wykonania

a b c f(a,b,c)

0 0 0 0 1

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 0

7 1 1 1 0

a b c

f(a,b,c)

(2)

str. 13 c

b a c b a c b a c b a c b a f ( , , )

b a

c a

c b

c b c a b a c b a c b a c b a c b a c b a f ( , , )

5.3.1. Mapy Karnaugh

Mapa Karnaugh to metoda minimalizacji funkcji boolowskiej wykorzystująca zapis tablicy prawdy z zastosowaniem kodu Grey’a opracowana w 1953r przez Maurice Karnaugha.

 Kod Gray’a – kod w którym dowolne 2 sąsiednie słowa (oraz pierwszy i ostatni) różnią się dokładnie 1 bitem, np.

 Algorytm Karnough:

1. Rozdzielamy zmienne na 2 grupy (zapisane w kolumnie i wierszu) i używając kodu Grey’a przypisujemy im wszystkie możliwe wartości

2. Wartości z tablicy prawdy przepisujemy do mapy

3. Wyodrębniamy prostokąty (implikanty) zbudowane z jedynek o bokach 2

ⁿ

każdy. Zaczynamy zawsze od jedynek (jądrowych), które można pokryć tylko na jeden sposób implikantem. Implikantów powinno być jak najmniej i każdy powinien być możliwie jak największy. Implikanty mogą zachodzić na siebie i łączyć pierwszy wiersz (kolumnę) z ostatnim wierszem (kolumną).

4. W ramach każdego implikanta obserwujemy argumenty – jeśli argument ma stałą wartość, to go zapisujemy, jeśli nie – pomijamy. Argument o wartości 0 negujemy.

5. W przypadku stanów nieokreślonych (zaznaczane -), kładziemy taką wartość (1 lub 0), która jest wygodniejsza do optymalizacji)

Np. Uprośćmy funkcję (boldem są zaznaczone jedynki jądrowe)

1. 2. 3. 4.

Ostatecznie otrzymujemy, że:

5.3.2. Układy funkcjonalnie pełne bramek

Mówimy, że bramki tworzą układ funkcjonalnie pełny, gdy za ich pomocą można zrealizować dowolną funkcję boolowską. Podstawowy układ funkcjonalnie pełny tworzą bramki: NOT, AND i OR. Okazuje się, że można zmniejszyć ilość typów używanych bramek, nawet do jednej.

 Twierdzenie Sheffera (1913)

Każda funkcja boolowska może być zdefiniowana za pomocą jednego działania NAND (lub NOR)

 Przykłady układów funkcjonalnie pełnych:

 NOT, AND, OR

 NOT, AND

 NOT, OR

 NAND (bramka uniwersalna)

 NOR (bramka uniwersalna) Kod Gray’a

0 0 0

0 0 1

0 1 1

0 1 0

1 1 0

1 1 1

1 0 1

1 0 0

0 1

0 0 0 1 1 1 1 0

0 1

0 0 1 1

0 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 0

0 1

0 0 1 1

0 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 0

ab c

ab c ab c

(3)

str. 14

cc bb cc

aa bb

aa

c b c a b a

c b c a b a c

b a f ( , , )

Np.

Zadania

5.1. Zbuduj tabelę prawdy i skonstruuj układ logiczny realizujący funkcję:

a) f ( x , y ) x y y x b) f ( x , y , z ) x z x y z x c) f ( x , y , z ) x ( x z x y z x )

d) f ( x , z ) ( x z xz ) z

e) f ( x , y , z ) x y z x y z x y z f) f ( x , y , z , w ) ( x y z ) w x

5.2. Pewien układ logiczny spełnia tabelę prawdy. Zaprojektuj ten układ logiczny i zbuduj funkcję boolowską:

a) b)

5.3. Napisz wzór funkcji i zbuduj tabelę prawdy realizującą dany układ logiczny:

a) b)

5.4. Udowodnij Twierdzenie Sheffera dla bramki NOR.

5.5. Zapisz za pomocą operacji NAND:

a) a ( b c ) b) a b c

c) a b c a d) ( a b ) c a b

5.6. Uprość funkcje korzystając z map Karnaugh i narysuj odpowiedni układ logiczny z użyciem bramki NAND:

a) f ( x , y , z ) x y z x y z x y z x y z x y z x y z

b) f ( x , y , z , w ) x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w

c) f ( x , y , z , w ) x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w

d) x y z w u x y z w u x y z w u x y z w u

u w z y x u w z y x u w z y x u w z y x u w z y x u w z y x

f ( , , , , )

5.7. Zoptymalizuj funkcje z zadania 5.1-5.3.

5.8. Zaprojektuj układ, który będzie sygnalizował sytuację, gdy liczba osób głosujących na tak będzie większa, bądź równa liczbie osób głosujących na nie.

5.9. Zaprojektuj transkoder kodu binarnego na kod Gray’a.

x y z f(x,y,z)

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 0

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 1

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1

x y z f(x,y,z)

0 0 0 0 1

1 0 0 1 0

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 1

7 1 1 1 1

a b c

f(a,b,c)

a b c a b c

f(a,b,c)